Theoretische Physik. Zur Vorbereitung der Vordiplomsprüfung. Hanno Rein

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1 Theoretsche Physk Zur Vorberetung der Vordplomsprüfung 6. Aprl 005

2 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete Inhaltsverzechns Newton sche Mechank. Koordnatensysteme Newton sche Axome Konservatve Kraftfelder Phasenraum Keplersche Gesetze Veltelchensysteme Vralsatz Rotatonen 3. Orthogonale Transformatonen Zetabletung m roterenden Koordnatensystem Schenkräfte Starre Körper 3 3. Träghetstensor Satz von Stener Knetsche Energe Lagrange Formalsmus 4 4. Zwangsbedngungen Vrtuelle Verrückungen D Alembertsches Prnzp Lagrange Bewegungsglechungen. Art Lagrange Bewegungsglechungen. Art Geschwndgketsabhängge Kräfte Hamltonsches Prnzp Erhaltungssätze Hamlton Formalsmus 6 5. Hamltonsche Bewegungsglechungen Modfzertes Hamltonsches Prnzp Kanonsche Transformaton Posson Klammer Noether Theorem Klene Schwngungen 8 6. Harmonsche Näherung Normalschwngungen Nchtlneare Systeme, Chaos 8 7. Logstsche Glechung Physkalsche Systeme Satz von Louvlle Stabltät Spezelle Relatvtätstheore 9 8. Verdmensonaler Raum Lorentz Transformaton Zetdlataton Längenkontrakton Relatvstsche Bewegungsglechung Newton sche Mechank. Koordnatensysteme De Enhetsvektoren normert snd: ê q rq, q, q 3 rq, q, q 3 Geschwndgket n belebgen Koordnaten d r r dq q + r dq q + r dq 3 q 3 Zylnderkoordnaten und Kugelkoordnaten: r ρ cos φ sn θ cos φ ρ sn φ r rê r r sn θ sn φ z cos θ. Newton sche Axome. Alle Körper verharren m Zustand der Ruhe oder der glechförmgen, geradlngen Bewegung, wenn kene äußeren Enflüsse vorhanden snd.. F m a 3. FA B F B A acto reacto Das Inertalsystem ruht oder bewegt sch mt konstanter Geschwndgket kene Rotaton oder Beschleungung. Im Intertalsystem glt das Träghetsgesetzt, als se es der ruhende Mttelpunkt der Welt..3 Konservatve Kraftfelder Kraftfeld F st konservatv Energeerhaltung st gültg, wenn es sch folgendermaßen schreben lässt F r V r. Es st Bewes mt Hlfe lnearer Näherung von V dv V d r. Wegntegral über Potental V r st wegunabhängg. Bewes: r r F r d r V r d r r r r r dv V r V r Es glt Drehmpulserhaltung: d l m d r v m [ v v + r a] r F {{ f r r r 0 Drehmoment Zentrales konservatves Kraftfeld F : F r f r r

3 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete.4 Phasenraum Abbldung : Trajektoren m Phasenraum für ungedämpften, schwach und stark gedämpften harmonschen Oszllator.5 Keplersche Gesetze. De Planeten durchlaufen Ellpsenbahnen. Ellpsenbahn: C st Lenz scher Vektor und legt n der Bewegungsebene und st parallel zum Ortsvektor des Perhels. Durch skalare Multplkaton mt r ergbt sch de Ellpsenglechung: r p l m r r r C l r p mr rc cos φ l r l /m C/m cos φ.6 Veltelchensysteme De reduzerte Masse st µ m m m + m. ρ P ɛ cos φ P b a ɛ a b a Be enem elastschen Stoß glecher Massen glt de Impuls- und Energeerhaltung:. Der Fahrstrahl überstrecht n glechen Zeten gleche Flächen df Impulserhaltung. Bewes: df r v r m v m m l const πab T. 3. Mt der großen Halbachse a und der Umlaufzet T glt für alle Planeten a3 T const. Bewes: a 3 T a l 4m π b 4π l m P De Radalbeschleungung lässt sch berechnen zu a ρ ρ ρ φ l m P ρ Das Gravtatonsgesetz sagt nun, dass der erste Faktor konstant st. Des entsprcht aber auch genau dem Faktor n der Glechung von a3 T. Aus der Bewegungsglechung folgt durch Multplkaton mt l: p p + p p m p m + p m Durch Quadreren der Impulserhaltung folgt p p + p + p p 0 p p p p cos φ Handelt es sch ncht um enen zentralen Stoß, st somt φ Vralsatz Befnden sch alle Telchen n enem endlchen Volumen, so gbt der Vralsatz de mttlere knetsche Energe der Telchen an: T F r Bewes: Berechne Abletung von G p r dg T + F r + m r F r d p l p r r 3 p l r 3 r p r r p d m r r p l m r r C Der absolute zetlche Mttelwert ergbt sch somt zu dg τ dg lm τ τ 0 τ p r 0 T + 0 F r

4 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete 3 Rotatonen. Orthogonale Transformatonen Koordnatentransformaton st orthogonal wenn D D T und det D. Drehmatrx um z-achse: cos sn 0 R z sn cos Ene belebge Rotaton wrd beschreben durch dre Eulerwnkel: R Euler, β, γ R z γ R x β R z. Zetabletung m roterenden Koordnatensystem { d f Lab { d f RK + ω f Bewes: Den um den Wnkel ωt transformerten Vektor m RK ableten und Summanden dentfzeren..3 Schenkräfte De Beschleungung m Laborsystem errechnet sch durch -malges Anwenden und Ausmultplzeren der obgen Glechung zu: a Lab a RK + d ω r + ω v + ω [ ω r] Lneare Beschleungung. Corolsbeschleungung 3. Zentrfugalbeschleungung 3 Starre Körper 3. Träghetstensor Der Gesamtdrehmpuls L st de Summe der enzelnen Drehmpulse: L l m [ r ω r ] m y ω x y ω y x z ω z x ω x z z ω y z ω z y x ω x y ω y x x ω z x ω x z y ω y z ω z y m y + z x y x z x y x + z y z ω I ω x z y z x + y Transformaton des Drehmpulses: L R L RI ω R I {{ R R ω I ω Der Träghetstensor st also en Tensor zweter Stufe. Der Vektor ω st en Tensor erster Stufe. Be ener Hauptträghetsachse st L ω. Zur Bestmmung der Haupträghetsachsen und Hauptträghetsmomente st folgendes Egenwertproblem zu lösen: deti λ ˆ 0 Für ene belebge Drehachse errechnet sch das Träghetsmoment zu I ω ê ω Iê ω m r r ê ω De Berechnung enes Träghetsmoments enes Körpers mt kontnuerlcher Massenvertelung erfolgt mt Hlfe enes Volumenntegrals. Der Integrand st dann Volumenelement Dchte Abstand zu ω 3. Satz von Stener Das Träghetsmoment enes starren Körpers mt Masse M um de Drehachse ê ω mt Anstand b zum Schwerpunkt st I ω I Schwerpunkt ω + Mb. Bewes: Se ρ der Ortsvektor enes Massenpunktes m Schwerpunktsystem, und r der Ortsvektor m um den Vektor R verschobenen Koordnatensystem also r R + ρ, so glt: I ω M R + m r r ê ω m [R + R ρ ] + ρ Knetsche Energe m m ρ ρ ê ω M R + I SP ω De knetsche Energe des gesamten starren Körpers st: T Kn m d r dr + d ρ m d { R + d ρ + ω ρ RK M d R + d R ω m ρ + m ω ρ

5 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete 4 4 Lagrange Formalsmus 4. Zwangsbedngungen Holonome Zwangbedngung: f r,..., r N, t 0 Ncht holonome Zwangsbedngung: f r,..., r N, t > 0 Ene skeleronome Zwangsbedngung st zetunabhängg, ene rheonome zetabhängg. 4. Vrtuelle Verrückungen De vrtuelle Verrückung st ene nfntesmale Veränderung des Systems, de mt den Zwangsbedngungen verträglch st. δ r 3N k r q δq Damt de Zwangsbedngungen erfüllt bleben muss für alle l... k gelten f l r,..., r N, t f l r + δ r,..., r N + δ r N, t 0. De Entwcklung an der Stelle r + δ r um den Punkt r ergbt f l r + δ r,..., r N + δ r N, t N f f l r,..., r N, t + δ r. r Daraus folgt de Bestmmungsglechung für de erlaubten vrtuellen Verrückungen N f l δ r 0 l... k D Alembertsches Prnzp De zetlche Entwcklung des Systems erfolgt n Rchtung solcher vrtuellen Verrückungen δ r, für de de Zwangskräfte kene Arbet lesten: N F Zwang δ r 0 Das D Alembertsche Prnzp st en Postulat. 4.4 Lagrange Bewegungsglechungen. Art Das D Alembertsche Prnzp st ene Lnearkombnaton der Bestmmunsglechung der vrtueller Verrückungen: N k N F Zwang δ r λ l f l δ r F Zwang l k λ l f l l..n De Zwangskräfte snd so konstruert, dass sch das Telchen bewegt, als ob ene Gesamtkraft F Gesamt F + F Zwang auf es wrkt. De Lagrange Bewegungsglechungen. Art snd somt m a F + f l r, t 0. k λ l f l r, t l {{ F Zwang 4.5 Lagrange Bewegungsglechungen. Art De Geschwndgket enes Telchens berechnet sch zu v d r 3N k r dq j q j + r j Multplzert man alle Lagrange Bewegungsglechungen. Art mt der zugehörgen vrtuellen Verrückung und addert dese, so st N m a δ r N N F δ r + F Zwang δ r 0 D Alembert Setzt man de Defnton der vrtuellen Verrückungen en, so erhällt man r m a δq r F δq q, q, { d r m r m d r r δq q, q Als Nebenrechnungen st zu zegen: d r q j k sowe r d r q j q j q j dqj, r dq k q j q k + r q j { r dq k q k + r r r q j k Setzt man des oben en, so ergbt sch mt der knetschen Energe T m v : { d r m r m d r r δq q q

6 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete 5 { d m r r m r r δq q, q { d q, m r q m r δq { d T T δq q q Da de vrtuellen Verrückungen belebg snd, glt de Glechung auch für jede generalserte Koordnate enzeln: d T T q q F r q Q Herbe st Q de generalserte Kraft, für de sch m Falle enes konservatven Kraftfeldes mt dem Potental V ergbt Q F r q V r r q V q. Lässt man n enem transformerten Koordnatensystem alle bs auf ene Koordnate q β fx, so beschrebt x q,..., q β,... ene Raumkurve, wobe x / q β der Tangentenvektor an dese Kurve st. Das nnere Produkt der Kraft mt desem Tangentenvektor ergbt de Projekton der Kraft, de generalserte Kraft. Erwetert man das Konzept der Potenzalfunkton V, ndem man de Geschwndgketsabhänggket zulässt, so ergbt sch de generalserte Kraft zu: Q d V V q q Setzt man L T V so lässt sch de Lagrange Bewegungsglechung zweter Art aufstellen: d L L 0 q q 4.6 Geschwndgketsabhängge Kräfte En geladenes Telchen m elektromagnetschen Feld erfährt das verallgemenerte Potenzal M eφ e v A De Lagrangefunkton st somt 4.7 Hamltonsches Prnzp De Bewegungsglechung für en Telchen, auf das de Kraft F und de Zwangskraft F Zwang wrkt lautet 0 F + F Zwang m a Summert über alle Telchen und multplzert mt der vrtuellen Verrückung δ r glt 0 F + F Zwang m a δ r F m a δ r Integrert man über de Zet, wendet zwemal partelle Integraton an und setzt de vertuellen Verrückungen zum Anfangs und Endzetpunkt glech null, so st 0 F m a δ r V δ r r + d V r δ r m a δ r V δ r V r r δ r {{ δ δ δ δ V + V + V + m a δ r V + δ δ V m v δ r v m v δ r T δ r v T δ L 0 De Varaton des Potentals δ V und de entsprechende Varaton der knetschen Energe st verträglch mt den Zwangs- und den Randbedngungen. Mt der Euler-Lagrangeschen Varatonsglechung folgt daraus wederum Lagrange. L T M m v eφ + e v A De relatvstsche Betrachtung lefert L m 0 c v c eφ + e v A

7 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete Erhaltungssätze Der generalserte/kanonsche/konjungerte Impuls p j st defnert zu p j L q j. Ist de Lagrange Funkton ncht von ener generalserten Varablen q j abhängg, so st dese Varable zyklsch. Der zugrhörge generalserte Impuls st ene Erhaltungsgröße. 0 L q j Lagrange II d L d q j p j De Zetabletung der Lagrangefunkton ergbt unter der Annahme, dass L ncht explzt von der Zet abhängt und das Potenzal geschwndgketsunabhängg st zu dl L + d p q. L q q + L q Daraus folgt p q L const. E T + V Zum Bewes, dass es sch be deser Konstanten um de Gesammtenerge handelt, wrd de knetsche Energe berechnet: T lk m j m r q l r q k r q j q j lk Der generalserte Impuls berechnet sch zu p j L q j T q j k Somt st p q T kj q k. lk q l q k und de obge Konstante kann als de Gesammtenerge dentfzert werden. 5 Hamlton Formalsmus 5. Hamltonsche Bewegungsglechungen Um de gekoppelten Lagrange Bewegungsglechungen zu verenfachen, defnert man de Hamltonfunkton n Hq, p, t p q Lq, q, t de nur von den generalserten Koordnaten und den generalserten Impulsen abhängt. Bewes durch Berechnung der Dfferenzalform dh dp q + p d q L dq L q d q L dp q L dq p dp L + dq + Aus dem Verglech der letzten mt der zweten Zele folgen de Hamltonschen Bewegungsglechungen: p q L d L d q p ṗ 5. Modfzertes Hamltonsches Prnzp Aus dem Hamltonschen Prnzp δ L 0 erhällt man das modfzerte Hamltonsche Prnzp n δ p q Hq, p, t 0. 0 Um von desem modfzerten Hamltonprnzp auf de Hamltonschen Bewegungsglechungen zu kommen, parametrsert man den Weg q,p mt ener belebgen Varaton um den rchtgen Weg: q q 0 + η p p 0 + ɛ Damt st: 0 δ n 0 n 0 n 0 n 0 n p q Hq, p, t 0 ɛ q + p η p p ɛ q + p η η p ɛ ɛ q ṗ η η p ɛ ɛ q p η ṗ + Durch ene passende Wahl der Varatonen η und ɛ folgen de Hamltonschen Bewegungsglechungen.

8 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete Kanonsche Transformaton Ene Transformaton heßt kanonsch, wenn mt den neuen Koordnaten Q und P wederum de Hamltonschen Bewegungsglechungen gelten. Des st der Fall wenn das modfzerte Hamltonsche Prnzp gültg st. Es blebt be der Transformaton gültg, wenn sch das Integral nach der Integraton nur noch um enen konstanten Faktor unterschedet. Es muss also gelten: p q h df q, p, Q, P, t P Q H + Im folgenden se F q, p, Q, P, t F q, Q, t o.b.d.a da de Varablen ncht unabhängg snd. Somt st H h F F q p + q Q F + P. Q De Glechung st genau dann dentsch null, wenn glt de Transformatonsglechungen gelten: p F P F Q H h F 5.4 Posson Klammer De Posson Klammer st für de dynamschen Varablen f und g defnert als n f g {f, g : f g p p Es glt de Jacob Identtät {f, {g, h + {g, {h, f + {h, {f, g 0 Ene dynamsche Varable f de ncht explzt von der Zet abhängt st genau dann ene Konstante der Bewegung wenn de Possonklammer mt der Hammltonfunkton verschwndet. Bewes: df f 0 nach Vor. n {f, H! 0 + n [ f p f p De Fundamentalklammern snd [ f q + f ] ṗ p {p, p j {q, q j 0, {q, p j δ j Ene Transformaton st genau dann kanonsch, wenn auch für de neuen Koordnaten de Fundamentalklammern gelten. Zum Bewes wrd berechnet: Q j {Q j, H H p p k ] Q j p Q j p H Q k + H P k Q k p P k p Setzt man de zwete Glechung n de erste en, so ergbt sch nach Umformungen: Q j k H Q k {Q j, Q k + H P k {Q j, P k! H P j. De Bedngung, dass de Bewegungsglechungen gelten, st genau dann erfüllt, wenn de Fundamentalklammern gelten. 5.5 Noether Theorem De nfntesmale kanonsche Transformaton wrd defnert zu p q p + δp β q + δq De erzeugende Funkton F, mt ener belebgen Funkton f de von den alten Koordnaten und den neuen Impulsen abhängt, se n F q, q + ɛfq, Mt den Regeln der kanonschen Transformaton ergbt sch somt p F + ɛ fq, q {{ δp β F q + ɛ fq, {{ δq Durch ene Taylorentwcklung von f ergbt sch durch konsequentes Vernachlässgen quadratscher nfntesmaler Größen: δp ɛ fq, ɛ fq, p ɛ {p, f δq ɛ fq, p ɛ fq, p p ɛ {q, f Betrachtet man nun de Änderung ener dynamschen Varablen g, so ergbt sch wederum nach Taylor: δg g, β gp, q gp, q + [ g δp + g ] δq gp, q p [ g ɛ fq, p + g ɛ fq ], p p p ɛ {g, f Jetzt lässt sch das Noether Theorem formuleren: δh 0 {f, H 0 df f + {f, H 0 De Hamltonfunkton H st genau dann nvarant unter der nfntesmalen Transformaton de durch f erzeugt wrd, wenn f ene Konstante der Bewegung st.

9 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete 8 6 Klene Schwngungen 6. Harmonsche Näherung Be ener mnmalen Auslenkung η q q 0 der generalserten Koordnaten q um en Mnmum q 0 des Potentals V lässt sch deses nähern durch V q V q 0 + V q0 q j q 0j q j j 0 + V q0 q j q 0j q q q j,j const + K j η η j.,j Herbe st K der Kraftkonstantentensor. De knetsche Energe st T m r M j q q j,j 7 Nchtlneare Systeme, Chaos 7. Logstsche Glechung De logstsche Glechung lautet x n+ f a x ax n x n Fxpunkte x n x n+ snd Attraktoren, wenn se Iteratonen anzehen. Bedngung für enen Attraktor fx + ɛ fx < x + ɛ x ɛ Daraus folgt: fx + ɛ fx ɛ df dx < Entwckeln sch durch Verändern des Parameters a aus enem Attraktor zwe Attraktoren, so sprcht man von ener Bfurkaton. mt M j r r m q q j a j q 0 + Taylor De Lagrange Funkton ergbt sch somt zu: L T V M j η η j K j η η j,j Engesetzt n Lagrange II folgt de Vektorglechung M η K η Mt dem harmonschen Ansatz ηt η 0 exp ωt lässt sch de Glechung umformen zu K ω M η 0 0 De Matrx K ω M st symmetrsch und postv defnt. Alle Egenwerte ω snd größer oder glech 0. Um ncht nur de trvale Lösung für ω zu erhallten, muss de Determnante unglech null sen. 6. Normalschwngungen Um de Komponenten A j der Normalschwngungen η 0 der zugehörgen Wnkelfrequenz ω zu bestmmen, glt A j +j det [ K ωm ] j Herbe st [ K ω M ] j de Matrx K ω M,wobe de erste Zele und de j-te Spalte gestrchen st. Der Bewes erfolgt durch Ensetzen. Abbldung : Bfurkatonen der logstschen Abletung 7. Physkalsche Systeme Se x 0 en Fxpunkt enes physkalschen System m s- Phasenraum, so st x F x 0. Um nun festzustellen, ob en Fxpunkt auch en Attraktor st, entwckelt man de Funkton F um den Fxpunkt x 0 n ener Taylorrehe: s F x F x 0 + β 0 Es st x A x x 0 Der Ansatz F x β A,β x β x β 0 xt x 0 exp [A t t 0 ] xt 0 x 0

10 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete 9 löst de obge DGL. De Matrx kann so transformert werden, dass nur noch n deren Dagonalen de komplexen Egenwerte λ ν c + d stehen. Somt st x ν t x ν 0 exp [c + d t t 0 ] x ν t 0 x ν 0 Snd also alle Realtele der Egenwerte negatv, so handelt es sch um gedämpfte Schwngungen um den Fxpunkt. Der Fxpunkt st somt en Attraktor. 7.3 Satz von Louvlle Betrachtet man ene Bahn xt q,..., q s, p,..., p s m Phasenraum, so blebt das Volumen dv n ener nfntesmalen Umgebung enes Bahnpunktes erhalten. De Phasenraumdchte st ρ Anzahl der Trajektoren dv const. 8 Spezelle Relatvtätstheore 8. Verdmensonaler Raum Kontravaranter und kovaranter Verervektor: ct ct x µ x y x µ x y z z Betragsquadrat: r x µ x µ µ x µ x µ c t x y z Der metrsche Tensor g µν wandelt enen kovaranten n enen kontravaranten Vektor um: x µ g µν x ν De Zetlche Änderung von ρ st dρ ρ + ρ q + ρ ṗ p Durch Betrachtung der Ströme durch en Rechteck m Phasenunterraum mt q k, p k ergbt sch ρ dρ 0 s [ ρ q k + q k s [ ρ k k ] ρ ṗ k p k q k q k + q k q k ρ + ρ p k ṗ k + ṗ k p k ρ s [ ρ q k + q k ρ H ρ H + ρ ] ṗ k q k p k p k q k p k k Somt st de zetlche Änderung der Dchte dentsch null. 7.4 Stabltät Bahnstabltät: mn At Bt < ɛ t Asymptotsche Stabltät: lm At lm Bt t t Lyapunov Stabltät: lm At Bt 0 t ] Abbldung 3: Weltlne m Mnkowskraum Punkte mt negatver Mnkowskabstand s.o. snd raumartg, Punkte mt postvem zetartg. 8. Lorentz Transformaton Das Koordnatensystem K bewege sch mt der Geschwndgket vê x m Bezug auf das Koordnatensystem K. De Transformaton x ν a ν µx µ st lnear mt β 0 0 β β a β 0 0 β β β v c. Der Betrag des Vektors m Mnkowskraum st bezüglch deser Transformaton nvarant. Eregnsse m Ursprung von K haben de Koordnaten ct β, 0, 0, 0, befnden sch also tatsächlch m Ursprung.

11 Vordplom - Theoretsche Physk Mechank - Sete Zetdlataton In enem mt der Geschwndgket v geboosteten Koordnatensystem K glt: c t x c t x c t v t. Daraus folgt für zwe Eregnsse de sch aus Scht des ruhenden Koordnatensystems K m Urspung und m zetlchen Abstand t eregnen: c t x c t v t 0 t t v c zu vervollständgen Längenkontrakton De Länge st maxmal n dem Koordnatensystem, n dem der Körper ruht. De Längenmessung fndet n jedem Koordnatensystem glechzetg statt. Im mtbewegten Koordnatensystem glt also x 0, x! l 0 t t 0 Durch de Lorentztransformaton vom bewegten n das ruhende Koordnatensystem zurück, ergbt sch unter der Vorderung der Glechzetgket der Messung de Länge m relatv bewegten Koordnatensystem zu x 0 x v c l Relatvstsche Bewegungsglechung Da de normale Geschwndgket 3er Vektor ken kovaranter Lorentz Vektor st, defnert man de 4er Geschwndgket zu: u d dτ x dτ β d d x ct r β d x β c v Der 4er Impuls ergbt sch dann zu p m u. Letet man desen nach der Egenzet τ ab, so erhällt man de Mnkowskkraft. Im Ruhesystem des Telchens v 0 glt: 0 0 m a F Durch de Lorentztransformaton erhällt man de Kraft n enem belebgen Koordnatensystem: K 0 v F β c K F + β v v F v