Zwischen dem Kronecker Symbol und dem Levi-Cevita Symbol besteht der Zusammenhang

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1 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe Schreben Se folgende Ausdrücke n Indexschrebwese unter Verwendung der Ensten schen Summatonskonventon und der Kommadarstellung für partelle Abletungen! a) C AB b) C T A B c) C AB T v d) x a v v t e) dv T f) g) v a v v rot v t Zwschen dem Kronecker Symbol und dem Lev-Cevta Symbol besteht der Zusammenhang l jl kl jk lmn m jm km l jm kn jl km n kl m jn kl jm n l km jn jl m kn n jn kn Zegen Se mt Hlfe deser Bezehung, dass glt: l jl a) jk klm det l jm jlm, b) jk jkl l, c) jkjk 6 m jm Für das wederholte Kreuzprodukt von dre Vektoren glt de Graßmann-Identtät a b c a c b a b c Bewesen Se dese mt Hlfe des Lev-Cevta Symbols! Hnwes: Nutzen Se de Bezehung aus Aufgabe a) Aufgabe 4 Zegen Se, dass de beden Darstellungen für de Beschleungung v v a v v v v rot v t t aus den Aufgabe f) und g) äquvalent snd! Hnwes: Verwenden Se de Indexschrebwese und nutzen Se weder de Bezehung aus a)

2 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe Ene Abbldung f heßt lnear, wenn de Bedngungen der Homogentät, dh f ( ax) af ( x) und der Addtvtät, dh f ( x y) f ( x) f ( y), x, y erfüllt snd Übertragen Se des auf den D- Fall der lnearen Elastztät und zegen Se, ob es sch bem Hooke schen Gesetz E und der Verzerrungsenergedchte W E um lneare Abbldungen handelt oder ncht! Gegeben se der Spannungstensor σ MPa Berechnen Se für enen Schntt mt T dem Normalenvektor n,, den Spannungsvektor, dessen Normalkomponente und de 3 resulterende Tangentalkomponente! t MPa, 33,33MPa, 54,67 MPa T Lösung: 40,30, 40 Gegeben se en ebener Spannungszustand σ n enem Koordnatensystem mt den Bassvektoren e Stellen Se für de x, ' x n der Skzze dargestellte Rotaton mt dem Wnkel um de Achse x3 de neuen Bassvektoren ' j ' e ' sowe de Transformatonsmatrx A a e e auf und berechnen Se de j Komponenten des transformaterten Spannungstensors! x x 3 3' x x, ' Lösung: zb a e a a ' ' '3, a' a' 0 cos sn 0 A a' a' 0 sn cos , a ' j cos x ', x j a a ' j' kl ' k j' l cos sn sn cos '' sn cos sn cos '' sn cos cos sn ''

3 3 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe Lösen Se das charakterstsche Polynom det σ 0 und ermtteln Se heraus de Invaranten 3 I, II und III n der Darstellung I II III 0 (Cayley-Hamlton Theorem) durch Koeffzentenverglech! En symmetrscher Tensor zweter Stufe A bestzt m Allgemenen dre rreduzble (dh ncht durch andere Invaranten ausdrückbare) Invaranten I, I, I 3 : 3 A A A I tr A, I tr A A, I tr A A A kk j j 3 j jk k Schreben Se dese für den Spannungstensor σ auf und drücken Se de erste und zwete Invaranten des Spannungstensors aus Aufgabe durch rreduzble Invaranten aus! Betrachten Se OBdA enen Spannungszustand σ dag(,, 3) m Hauptspannungsraum a) Berechnen Se de Spannungskomponenten n enem Oktaederschntt! b) Welche physkalsche Bedeutung hat de Oktaedernormalspannung? c) Drücken Se de resulterende Oktaederschubspannung und de Oktaedernormalspannung n den Hauptnvaranten des Spannungstensors aus! d) Stellen Se enen Zusammenhang zwschen der Oktaederschubspannung, der Verglechsspannung nach von Mses und der zweten Invaranten des Spannungsdevators dar und nterpreteren Se das Ergebns! 3 n Aufgabe 4 Berechnen Se für den Spannungstensor σ 3 0 de Hauptspannungen (Egenwer te,, 3 ) und Hauptachsen (Egenvektoren n, n, n 3 )! Führen Se zur Probe ene Koordnatenrotaton des Spannungstensors σ mt der orthogonalen Transformatonsmatrx Φ n, n, n durch! 3

4 4 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe De Determnante ener 3x3-Matrx A lässt sch mttels Lev-Cevta-Symbol we folgt schreben: det A jk lmn Al Ajm Akn 6 J det F det( x J ) und Übertragen Se des auf de Determnante des Deformatonsgradenten, zegen Se, dass glt: LMN J jk FL FjM FkN Leten Se mt Hlfe der Ergebnsse aus Aufgabe de Transformatonsbezehungen dv JdV bzw -T dan JF dan von enem Volumen- und enem Flächenelement zwschen Ausgangs- und Momentankonfguraton her! x :, X, x X t x da dx 3 N dv dx dx dx 3 dx n dv da dx x Zegen Se, dass für de Bezehungen zwschen dem Green-Lagrange Verzerrungstensor E und dem T Euler-Almans Verzerrungstensor e glt: E F ef bzw e F EF quadratschen Dfferenzen dl T Gehen Se herbe von den dl zweer Lnenelemente dl dx und dl dx aus!

5 5 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe a) Erstellen Se de Blanzglechung für de zetlche Änderung (materelle Zetabletung) enes d Volumenelementes dv n der Momentankonfguraton, dh für dv dt J Hnwes: Verwenden Se de Bezehung J J dvv t b) Welche physkalsche Interpretaton der Dvergenz des Geschwndgketsfeldes dv v lässt sch heraus ableten? B a) Zegen Se, dass aus der lokalen Massenblanz n der Momentankonfguraton J 0 (vgl Vorlesung) de Kontnutätsglechung der Hydrodynamk grad v dvv 0 t folgt Schreben Se das Ergebns auch n der Indexnotaton! b) We lautet de Kontnutätsglechung für ene nkompressble Flüssgket? c) Schreben Se de lokale Massenblanz n der Referenzkonfguraton!

6 6 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe Gegeben se ene Bewegung der Form x X, x X X, x X X Ermtteln Se heraus den Rechtsstrecktensor U und den orthogonalen Drehtensor R! Welchen Deformatonszustand beschreben folgende Bewegungen: a) x X, b) x X, x X, x3 X 3, c) x X X, x X, x3 X 3! Prüfen Se herbe jewels mt J det F ob es Restrktonen für de Parameter und gbt! Gegeben se der Rechtsstrecktensor U dag,, 3 Herbe snd de Hauptstreckungen a) Welche Bezehung gbt es zwschen den Hauptstreckungen und den technschen Hauptdehnungen? b) Berechnen Se den Rechts-CAUCHY-GREEN Tensor C, den GREEN-LAGRANGEschen Verzerrungstensor E sowe de logarthmsche Dehnung E ln H U nach HENCKY! Verglechen Se letztere mt Aufgabentel 3a): We lassen sch de HENCKY-Dehungen aus den technschen Hauptdehnungen ermtteln? c) We lauten de Invaranten von C ausgedrückt n den Hauptstreckungen? Aufgabe 4 Gegeben se de Hauptstreckung und 3 We lautet herfür der Deformatonsgradent F m Falle der Volumenkonstanz? Verglechen Se das Ergebns mt b): We müssen m Falle der Volumenkonstanz de Parameter und gewählt werden?

7 7 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe Bestmmen Se den Zusammenhang zwschen den Tensorkomponenten E kl, mt kl,,,3, des Elastztätstensors 4 Stufe c, mt n,,6, der Elastztätsmatrx C E 66 n der Vogtnotaton! 3333 und den Komponenten n Für en sotropes, lnear elastsches Materal lässt sch der Elastztätstensor mt den Lamé-Konstanten und we folgt schreben: Ejkl jkl k jl l jk a) We lautet das Elastztätsgesetz j Ejkl kl mt Hlfe deser Schrebwese? b) Bestmmen Se heraus be gegebenen Spannungen de Verzerrungen! Ermtteln Se de Verzerrungsenergedchte aus und zerlegen Se dese n enen volumetrschen Antel e j j 3 kk j Uvol kk und enen devatorschen Antel dev j a) Welchen physkalschen Ausdruck erhalten Se aus b) We lässt sch U dev e j e j nterpreteren? U e mt dem Verzerrungsdevator c) Schreben Se de Verzerrungsenergedchte als Invarantenfunkton U I II U vol kk kk?, e, wobe I kk de erste Invarante des nfntesmalen Verzerrungstensors j und IIe ej ej de U U zwete Invarante des Verzerrungsdevators st, so dass glt: j j e j I II e Aufgabe 4 Gegeben se en sotropes, lnear elastsches Materal mt den Ingeneurskonstanten E und Ermtteln Se für den äqubaxalen ebenen Spannungszustand σ dag, de Antele für den volumetrschen und den devatorschen Antel der Verzerrungsenergedchte!

8 8 Ü bung zur Vorlesung Aufgabe T bean- Gegeben se en sotroper elastscher 3D-Körper, der durch ene Temperaturänderung sprucht wrd Ermtteln Se für folgende Fälle de Spannungen: a) b) c) T T T a) free Wärmedehnung, b) vollständg behnderte Wärmedehnung, c) setlch behnderte Wärmedehnung, wobe de totale Dehnung n -Rchtung am oberen Rand gemessen wurde In kubschen Nckelbass-Legerungen wurden folgende Gtterkonstanten gemessen : Legerung Phase ac [Å] Nckel-Alumnum N (-Phase) 3,544 Al ( -Phase) 3,56 Nckel-Slzum N (-Phase) 3,56 S ( -Phase) 3,503 Nckel-Chrom-Alumnum N (-Phase) 3,555 Cr-Al ( -Phase) 3,556 Å = 0 7 mm Berechnen Se de Egendehnungen m Materal und dskuteren Se de Ergebnsse! 00 a c a c 00 a c 00 W Hornbogen, M Roth: De Vertelung kohärenter Telchen n Nckellegerungen Z Metallkunde 58 (), Sete , 967