3 Spannungszustand. Das Ziel von Kapitel 2 war die Bereitstellung von Grundgleichungen. mit deren Hilfe eine Spannungsermittlung

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1 6 3 Spannungszustand Das Zel von Kaptel war de Beretstellung von Grundglechungen mt deren Hlfe de Spannungsermttlung n Abhänggket der Bautelgeometre sowe der Art und Höhe der äußeren Beanspruchung ermöglcht wurde. Be enachsger Zugbeanspruchung zum Bespel = F/A. Betrachtet wurden de Grundbelastungsarten Zug, Druck, Begung, Schub (Abscherung) und Torson. Mt Hlfe der n Kaptel abgeleteten Grundglechungen st es allerdngs nur möglch, de wrkenden Normal- und Schubspannungen n denjengen Schnttebenen zu ermtteln, welche für de Herletung der Grundglechungen gewählt wurden. Be enachsger Zugbeanspruchung also bespelswese n Ebenen senkrecht zur Beanspruchungsrchtung. Für Festgketsnachwese st es jedoch erforderlch, unter anderem dejengen Schnttebenen zu ermtteln, n denen de Normalspannungen Extremwerte annehmen (Hauptebenen, sehe Kaptel 6). Das Zel von Kaptel 3 st dementsprechend de Beretstellung von Methoden, mt deren Hlfe ene Spannungsermttlung n belebgen Schnttebenen durchgeführt werden kann. Dese Problemstellung soll am Bespel enes dünnwandgen Behälters unter Innendruck (p ) mt ener überlagerten Torsonsbeanspruchung (Torsonsmoment M t ) erläutert werden (Bld 3.a). Schnedet man entsprechend Bld 3.b en Flächenelement parallel zur Achsrchtung heraus, dann kann man auf enfache Wese de Lastspannungen n den Schnttebenen berechnen. Im vorlegenden Bespel also: d x p 4 s d y p s M yx (sehe Kaptel) (sehe Kaptel) t / W t Spannungszustand Unter dem Begrff Spannungszustand versteht man alle Spannungen (Normal- und Schubspannungen), de an enem belebgen Ort enes Körpers wrken. Bld 3. Normal- und Schubspannungen n unterschedlchen Schnttebenen am Bespel enes dünnwandgen Behälters unter Innendruck mt überlagerter Torsonsbeanspruchung De Spannungen x, y und = yx n enem Flächenelement dessen Schnttebenen parallel zu den Koordnatenachsen x und y verlaufen (Bld 3.b) unterscheden sch von den Spannungen x, y und x y = y x n enem um den Wnkel gedrehten Flächenelement, dessen Schnttebenen parallel zur x - und y -Koordnatenachse verlaufen (Bld 3.c). De Herletung der entsprechenden Zusammenhänge zwschen äußerer Belastung und den Spannungen (Normalund Schubspannungen) n belebgen Schnttebenen bzw. Schnttrchtungen soll nachfolgend getrennt für den en-, zwe- und dreachsgen Spannungszustand erfolgen (Kaptel 3. bs 3.4). Sprnger Fachmeden Wesbaden 06 V. Läpple, Enführung n de Festgketslehre, DOI 0.007/ _3

2 3. Spannungsbegrff Spannungsbegrff Denkt man sch en n A und B gelagertes Bautel unter der Wrkung ener äußeren Beanspruchung (z. B. Kräfte, Streckenlasten und Momente) an ener belebgen Stelle durchgeschntten, dann müssen sch de über de Schnttebene unglechmäßg vertelten nneren Schnttkräfte mt der äußeren Beanspruchung m Glechgewcht befnden. De nnere Beanspruchung an ener bestmmten Stelle der Schnttebene wrd durch de dort angrefende und auf de Telfläche A wrkende Kraft F gekennzechnet. Da de Kräftevertelung über de Telfläche A unglechmäßg st, stellt F de gemttelte, resulterende Kraft dar. Um ene Aussage über de örtlche Beanspruchung machen zu können, also den Enfluss der Größe von A auf F zu elmneren, muss de Schnttfläche A klen gemacht werden. Als Maß für de auf ene unendlch klene Querschnttsfläche bezogene Schnttkraft F führt man de (mechansche) Spannung s en (Bld 3.): F df s lm (3.) A0 A da Bld 3. Defnton der mechanschen Spannung 3.. Normal- und Schubspannungen Spannungen snd, we zum Bespel Kräfte, vektorelle Größen, se haben also ene Rchtung und enen Betrag. Spannungen haben de Dmenson Kraft pro Fläche und werden bespelswese n der Enhet N/mm oder Pa = N/m ( MPa = N/mm ) angegeben ). Der Spannungsvektor s st m Allgemenen schräg zum Flächenelement (Normalenvektor n ) orentert. Für Festgketsnachwese st es dabe zweckmäßg, den Spannungsvektor n ene Komponente senkrecht und tangental zur Schnttebene zu zerlegen. Man bezechnet dann den Betrag der Komponente senkrecht zur Fläche als Normalspannung, den Betrag der Komponente tangental zur Fläche hngegen als Schubspannung (Bld 3.). ) Pa = Pascal, benannt nach dem Mathematker und Physker Blase Pascal ( )

3 64 3 Spannungszustand 3.. Indzerung von Normal- und Schubspannungen Zur endeutgen Kennzechnung von Spannungen führt man zwe Indzes en. Defntonsgemäß soll gelten:. Index: Rchtung der Schnttebenennormalen. Index: Rchtung der Spannung Legt bespelswese ene Schubspannung n ener Schnttebene deren Normalenvektor n x-rchtung zegt, dann st der. Index x. Zegt de Schubspannung selbst n y-rchtung, dann lautet der zwete Index y. De Schubspannung wrd dementsprechend mt bezechnet. Zur Kennzechnung von Normalspannungen verzchtet man üblcherwese auf ene Doppelndzerung, da de Rchtung der Flächennormalen mt der Spannungsrchtung überenstmmt und schrebt dann bespelswese x anstelle von xx. Bld 3.3 Indzerung von Normal- und Schubspannungen 3..3 Vorzechenregelung für Normal- und Schubspannungen Normalspannungen können entweder zur Schnttebene hn oder von hr weg gerchtet sen. Dementsprechend unterschedet man zwschen Zugspannungen (Kaptel.) und Druckspannungen (Kaptel.). De Unterschedung von Zug- und Druckspannungen soll m Folgenden durch en Vorzechen ( + für Zugspannung und - für Druckspannungen) erfolgen. De n Bld 3.3 dargestellten Normalspannungen ( x, y, z ) snd dementsprechend Zugspannungen. Be Schubspannungen st ene Unterschedung der Spannungen mttels Vorzechen physkalsch ncht snnvoll und hat nur für de Rchtung der Schubspannung nnerhalb der Schnttebene ene Bedeutung. Für de Festlegung des Vorzechens ener Schubspannung st de folgende allgemene Vorzechenregelung für Schubspannungen zweckmäßg: Ene Schubspannung st postv, wenn se n Schnttebenen mt Normalenvektor n postver Achsrchtung legt (postves Schnttufer) und hre Rchtung ebenfalls mt ener postven Achsrchtung zusammenfällt. In Schnttebenen mt Normalenvektor n negatver Achsrchtung (negatves Schnttufer) snd Schubspannungen dann postv, wenn hre Rchtung mt ener negatven Achsrchtung zusammenfällt. Demnach snd alle n Bld 3.3 dargestellten Schubspannungen postv. Häufg treten an der zu untersuchenden Stelle des Bautels n ener der dre Schnttebenen weder Normal- noch Schubspannungen auf (z. B. lastfree Bauteloberflächen). Man sprcht dann von enem zweachsgen oder ebenen Spannungszustand (Kaptel 3.3). In desem Fall st es zweckmäßg, de erforderlchen Berechnungen mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses (Kaptel 3.3.4) durchzuführen. Herfür st es jedoch empfehlenswert, von der allgemenen Vorzechenregelung abzurücken und de nachfolgende spezelle Vorzechendefnton für Schubspannungen anzuwenden (sehe auch Kaptel ): Ene Schubspannung st postv (negatv) anzusetzen, falls be Blck n Rchtung der Schubspannung de zugehörge Schnttebene rechts (lnks) von der Schubspannung legt (zweckmäßge Vorzechenregel be Verwendung des Mohrschen Spannungskreses).

4 3. Enachsger Spannungszustand Zugeordnete Schubspannungen In Bld 3.4 st en quaderförmges Werkstoffelement mt den Setenlängen dx, dy und dz dargestellt. Man kann es sch bespelswese aus enem Balken herausgeschntten denken. In den Schnttebenen wrken de Schubspannungen bzw. yx. De Bedngung M A = 0 für das Momentenglechgewcht führt mt dem Momentenbezugspunkt A auf de Glechung: dx dz dy dy dz dx (3.) Heraus folgt: yx yx (3.3) Schubspannungen, de n zuenander senkrechten Schnttebenen wrken und auf ene gemensame Schnttkante zu oder von hr weg zegen, bezechnet man als zugeordnete Schubspannungen. In Bld 3.3 snd somt zugeordnete Schubspannungen: und yx xz und zx yz und zy 3. Enachsger Spannungszustand Für de nachfolgenden Ausführungen soll zunächst en enachsg auf Zug beanspruchter Stab betrachtet werden (Bld 3.5a). Zur Ermttlung des Zusammenhangs zwschen äußerer Beanspruchung und den Spannungen n ener belebgen Schnttebene E, deren Normalenvektor n mt der x-rchtung den Wnkel enschleßt, wrd das Schnttprnzp angewandt (Bld 3.5b). Zur Scherstellung des Kräfteglechgewchts des abgeschnttenen Tels, muss de Schnttkraft F S n der schrägen Schnttebene der äußeren Kraft F das Glechgewcht halten. Es st dabe zweckmäßg, de Kraft F S n ene Normalkomponente F x = F S cos und n ene Tangentalkomponente F y = F S sn zu zerlegen. Geht man von ener glechmäßgen Spannungsvertelung über der Querschnttfläche aus, dann folgt mt A = A/cos und = F S /A für de Normalspannung x n Abhänggket des Schnttwnkels : Fx' FS cos FS x' cos cos (3.4) A A/cos A Bld 3.4 Momentenglechgewcht an enem Würfelelement enes schubbeanspruchten Bautels Bld 3.5 Kräfteglechgewcht an enem enachsg beanspruchten Zugstab

5 66 3 Spannungszustand und für de Tangentalspannung x y n Abhänggket des Schnttwnkels : x' y' F A y' FS sn FS sn cos sn cos A/cos A (3.5) Unter Anwendung der trgonometrschen Bezehungen: cos cos (3.6) sn cos sn (3.7) folgt aus Glechung 3.4 für de Normalspannung: Normalspannung n der Schnttebene E, deren Normalenvektor mt der x-rchtung den Wnkel en- (3.8) x' cos schleßt be enachsgem Spannungszustand und aus Glechung 3.5 für de Schubspannung: Schubspannung n der Schnttebene E, deren Normalenvektor mt der x-rchtung den Wnkel en- (3.9) x' y' sn schleßt be enachsgem Spannungszustand Glechungen 3.8 und 3.9 zegen, dass sch n Abhänggket der gewählten Schnttrchtung, de Normal- und de Schubspannungen stetg ändern. Bld 3.6 zegt nsbesondere, dass n Schnttrchtungen von 45 und 35 de Schubspannungen enen Extremwert annehmen und mt (45 )= (35 )= 0,5 betragsmäßg de Größe der Normalspannung n deser Schnttrchtung errechen. In Schnttebenen parallel zur Beanspruchungsrchtung (90 ) wrken hngegen kene Normal- und kene Schubspannungen. Löst man Glechung 3.8 nach cos und Glechung 3.9 nach sn auf, dann erhält man: x' cos (3.0) x'y' sn (3.) Quadrert und addert man de Glechungen 3.0 und 3., dann folgt: x' Bld 3.6 Spannungsverlauf enes enachsg beanspruchten Zugstabes n Abhänggket der Schnttrchtung x'y' cos sn (3.)

6 3. Enachsger Spannungszustand 67 mt cos sn ergbt sch schleßlch: und somt: x' x'y' (3.3) Glechung des Mohrschen Spannungskreses n der --Ebene be enachsgem Span- (3.4) x' x'y' nungszustand Glechung 3.4 beschrebt enen Kres n der --Ebene mt Mttelpunkt n (0,50) und Radus /, den Mohrschen Spannungskres ) (Bld 3.7). Jeder Bldpunkt des Mohrschen Spannungskreses repräsentert de Spannungen ( x und x y ) n ener bestmmten Schnttebene. So repräsentert bespelswese der Bldpunkt A de Spannungen n ener Schnttebene senkrecht zur Stabachse ( = 0). In deser Ebene trtt bekanntlch nur ene Normalspannung auf. De Schubspannung st hngegen Null (sehe auch Bld 3.6). Zur Ermttlung der Spannungen n ener belebgen Schnttebene B, deren Normalenvektor mt der x- Achse (Beanspruchungsrchtung) den Wnkel enschleßt, trägt man den Wnkel bzw. n der n Bld 3.7a dargestellten Wese ab (Rchtungssnn analog zum Lageplan, Bld 3.7b). De Koordnaten des Bldpunktes B ( x x y ) snd dann de Spannungen n der Schnttebene B. Bld 3.7 Mohrscher Spannungskres für enachsge Zugbeanspruchung ) benannt nach dem deutschen Ingeneur Chrstan Otto Mohr ( )

7 68 3 Spannungszustand 3.3 Zweachsger (ebener) Spannungszustand Als Bespel enes zweachsg beanspruchten Bautels wrd ene dünne Schebe mt der Dcke t entsprechend Bld 3.8a betrachtet. De Schebe wrd durch de Normalspannungen x und y sowe durch de zugeordneten Schubspannungen und yx beansprucht. Zweachsge Spannungszustände fndet man häufg m Berech lastfreer Oberflächen, da senkrecht zur Oberfläche aus Glechgewchtsgründen kene Spannungen auftreten können Spannungszustand und Schnttrchtung Zur Durchführung von Festgketsnachwesen müssen, we n späteren Kapteln noch engehender gezegt wrd, Spannungen n Schnttrchtungen ermttelt werden, de ncht mt der äußeren Beanspruchungsrchtung zusammenfallen. Zur Ermttlung der Spannungen x und x y n ener belebgen Schnttebene E x, deren Normalenvektor n mt der x-rchtung den Wnkel enschleßt, wendet man das berets aus Kaptel 3. bekannte Schnttprnzp an und betrachtet das Kräfteglechgewcht n x- und y-rchtung am abgeschnttenen Bld 3.8 Spannungen an enem zweachsg beanspruchten Schebenele- Schebenelement (Bld 3.8b). ment Kräfteglechgewcht n x-rchtung F x 0: x l cos t yx l sn t x' cos l t x' y' sn l t 0 : ( l t) cos sn cos sn 0 (3.5) x yx x' x' y' Kräfteglechgewcht n y-rchtung ( F y 0) : y l sn t l cos t x' sn l t x' y' cos l t 0 : ( l t) sn cos sn cos 0 (3.6) y Berechnung der Normalspannung x Aus Glechung 3.5 folgt: x' y' x' x' y' cos cos x yx x' (3.7) sn sn Glechung 3.7 n 3.6 engesetzt und mt = yx (zugeordnete Schubspannungen): cos cos y sn cos x' sn x x' cos 0 (3.8) sn sn

8 3.3 Zweachsger Spannungszustand 69 cos cos y sn cos x' sn x cos x' 0 (3.9) sn sn Multplkaton von Glechung 3.9 mt sn lefert: sn cos cos 0 sn cos sn (3.0) y Mt den trgonometrschen Bezehungen: sn cos sn 0,5 ( cos ) cos 0,5 ( cos ) sn cos sn folgt schleßlch aus Glechung 3.0: x' x y x' cos cos sn (3.) x y x y x' cos sn (3.) Normalspannung n der Schnttebene E x, deren Normalenvektor n mt der x-rchtung den Wnkel enschleßt be zweachsgem Spannungszustand. Vorzechen von entsprechend spezeller Vorzechenregelung (Kaptel 3..3). Berechnung der Schubspannung x y Aus Glechung 3.5 folgt: sn sn x' x yx x'y' (3.3) cos cos Glechung 3.3 n 3.6 engesetzt und mt = yx (zugeordnete Schubspannungen): sn sn y sn cos x x'y' sn x' y' cos 0 (3.4) cos cos sn sn y sn cos x sn x'y' x' y' cos 0 (3.5) cos cos Multplkaton von Glechung 3.5 mt cos lefert: cos sn sn cos cos sn 0 sn cos (3.6) y Mt den trgonometrschen Bezehungen: sn cos cos sn cos sn cos 0,5 sn folgt schleßlch aus Glechung 3.6: y x x' y' sn cos sn (3.7) x x x'y'

9 70 3 Spannungszustand x y x' y' sn cos (3.8) Schubspannung n der Schnttebene E x, deren Normalenvektor n mt der x-rchtung den Wnkel enschleßt be zweachsgem Spannungszustand Vorzechen von entsprechend spezeller Vorzechenregelung (Kaptel 3..3). Be der Anwendung von Glechung 3. und 3.8 st hnschtlch des Vorzechens der Schubspannung zu beachten, dass ene Schubspannung als postv anzusetzen st, falls se entsprechend Bld 3.8 wrkt. Des entsprcht der Vorzechenregelung für Schubspannungen für den ebenen Spannungszustand (spezelle Vorzechenregelung). Erhält man aus Glechung 3.8 en negatves Ergebns, dann wrkt de Schubspannung x y entgegen der n Bld 3.8 dargestellten Rchtung. Mtunter fndet man n der Lteratur n Glechung 3. vor dem letzten Summanden en Pluszechen ( x =... + sn) und n Glechung 3.8 en Mnuszechen ( x y =... - cos). De Erklärung für desen schenbaren Untersched fndet sch n der Vorzechenregelung für Schubspannungen. Während be obger Herletung, we berets erwähnt, de spezelle Vorzechenregelung (Kaptel 3..3) zugrunde gelegt wurde ( st n Bld 3.8 postv anzusetzen) wrd n der Lteratur mtunter auch de allgemene Vorzechenregelung für angewandt. Gemäß der allgemenen Vorzechenregelung müsste für de n Bld 3.8 engezechnete Rchtung negatv engesetzt werden, so dass sch de erwähnte Vorzechenumkehr ergbt Mohrscher Spannungskres Zur Ermttlung der Spannungen x und x y n ener belebgen Schnttebene können prnzpell de Glechungen 3. und 3.8 herangezogen werden. Ene anschaulchere Möglchket derartge Fragestellungen zu beantworten, betet der Mohrsche Spannungskres Mttelpunkt und Radus des Mohrschen Spannungskreses Zur Bestmmung von Mttelpunkt und Radus des Mohrschen Spannungskreses elmnert man aus den Glechungen 3. und 3.8 den Wnkel und erhält dann de Glechung enes Kreses n der --Ebene (Mohrscher Spannungskres). Um den Wnkel zu elmneren, werden de Glechungen 3. und 3.8 quadrert und addert. Aus Glechung 3. folgt: x y x y x' cos sn quadrert (3.9) x y x y x' cos sn (3.30) x y x y x' cos x y cos sn sn Aus Glechung 3.8 folgt: x' y' (3.3) x y sn cos quadrert (3.3)

10 3.3 Zweachsger Spannungszustand 7 x y x' y' sn cos (3.33) x y x y x' y' sn cos sn cos (3.34) Addton der Glechungen 3.3 und 3.34 führt auf ene Kresglechung m --Koordnatensystem (Mohrscher Spannungskres): cos sn sn cos x y x y x' x'y' Glechung des Mohrschen Spannungskreses n der --Ebene x y x y x' x' y' be zweachsgem Spannungszustand (3.35) Für den Mttelpunkt des Mohrschen Spannungskreses folgt: x y M 0 Mttelpunkt des Mohrschen Spannungskreses (3.36) Der Radus des Mohrschen Spannungskreses ergbt sch zu: x y R (3.37) Radus des Mohrschen Spannungskreses Jeder Bldpunkt P des Mohrschen Spannungskreses repräsentert de Spannungen ( x und x y ) n ener Schnttebene, deren Normalenvektor durch den Wnkel festgelegt st Konstrukton des Mohrschen Spannungskreses Gegeben se en durch de Spannungen x, y und gekennzechneter ebener Spannungszustand (Bld 3.9a). Gesucht snd der Mohrsche Spannungskres sowe de Spannungen x, y, x y und y x an enem um den Wnkel gegenüber der x-rchtung gedrehten Flächenelement (Bld 3.9b). Zur Konstrukton des Mohrschen Spannungskreses geht man we folgt vor (Bld 3.9c):. Zechnen enes --Koordnatensystems.. Entragen des Bldpunktes P x ( x ) der de Spannungen n der Schnttebene mt der x- Achse als Normale repräsentert (Schnttebene E x ). Für de graphsche Darstellung des Mohrschen Spannungskreses st es nfolge der Kresgeometre zweckmäßg, von der allgemenen Vorzechenregelung für den dreachsgen (räumlchen) Spannungszustand (Kaptel 3..3) abzurücken und de berets n Kaptel 3..3 erwähnte spezelle Vorzechendefnton für Schubspannungen anzuwenden: Ene Schubspannung st postv (negatv) anzusetzen, falls be Blck n Rchtung der Schubspannung de zugehörge Schnttebene rechts (lnks) von der Schubspannung legt.

11 7 3 Spannungszustand Unter Verwendung deser spezellen Vorzechenregelung ergbt sch ene Überenstmmung der Vorzechen der Schubspannungen am Flächenelement und m Mohrschen Spannungskres. Gemäß deser spezellen Vorzechenregelung st de Schubspannung n Bld 3.9a postv, de Schubspannung yx hngegen negatv anzusetzen. 3. Entragen des Bldpunktes P y ( y yx ) der de Spannungen n der Schnttebene mt der y-achse als Normalenvektor repräsentert (Schnttebene E y ). De Schubspannung yx st entsprechend der spezellen Vorzechenregelung negatv anzusetzen. 4. De Schnttebenen E x und E y stehen senkrecht aufenander (sehe Lageplan). Da de Bldpunkte zweer senkrechter Schnttebenen bzw. Schnttrchtungen auf enem Kresdurchmesser legen, schnedet de Strecke P de -Achse m Kres- x P y Bld 3.9 Konstrukton des Mohrschen Spannungskreses mttelpunkt M. 5. Kres um M durch de Bldpunkte P x oder P y st der gesuchte Mohrsche Spannungskres. Zur Ermttlung der Spannungen x und x y ener belebgen Schnttebene E x überträgt man, ausgehend von ener Schnttebene mt bekannten Spannungen (z. B. Schnttebene E x mt der x- Achse als Normale), den doppelten Rchtungswnkel ( ) n den Mohrschen Spannungskres. Der Drehsnn muss dabe dem Lageplan entsprechen. De Koordnaten des Bldpunktes P x ( x x y ) kennzechnen de Spannungen n der Schnttebene E x (Bld 3.9b und 3.9c). Für Festgketsnachwese werden mthn auch de Spannungen y und y x n der Schnttebene mt der y -Achse als Normale (E y ) benötgt. Dese Größen werden auf analoge Wese ermttelt (sehe Bld 3.9c) Hauptnormalspannungen und Hauptspannungsrchtungen Aus dem Mohrschen Spannungskres (Bld 3.9c) st erschtlch, dass ene maxmale Spannung H und ene mnmale Spannung H exsteren (Bldpunkte P und P n Bld 3.9c). Dese beden extremalen Normalspannungen werden als Hauptnormalspannungen bezechnet. Im praktschen Sprachgebrauch nennt man de Hauptnormalspannungen bswelen auch Hauptspannungen (ncht zu verwechseln mt den Hauptschubspannungen, Kaptel ). De Rchtungen zu den Hauptnormalspannungen (Wnkel und ) nennt man dementsprechend Hauptnormalspannungsrchtungen oder kurz Hauptspannungsrchtungen bzw. Hauptrchtungen (ncht zu verwechseln mt den Hauptschubspannungsrchtungen). Schnttebenen, deren Normalenvektor mt der Hauptnormalspannungsrchtung zusammenfällt snd schubspannungsfre.

12 3.3 Zweachsger Spannungszustand 73 Ene Rchtung st auch dann Hauptspannungsrchtung, falls de zugehörge Schnttebene völlg fre von Spannungen st, we zum Bespel ene lastfree Oberfläche (zweachsger Spannungszustand). De zugehörge Hauptnormalspannung st dann Null. Im Hnblck auf de Bezechnung soll verenbart werden, dass mt H de größere der beden (von Null verschedenen) Hauptspannungen bezechnet wrd, also H > H. De beden Hauptnormalspannungen H und H ergeben sch aus den Schnttpunkten des Mohrschen Spannungskreses mt der -Achse (Bld 3.9c), da n desen als Hauptspannungsebenen oder Hauptebenen bezechneten Ebenen, de Schubspannungen zu Null werden. Der Wnkel zwschen der x-rchtung und der Normalen zur ersten Hauptebene (erste Hauptspannungsrchtung) kann graphsch mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses ermttelt werden. Es glt dabe: = (MP x, MP ). Für den Wnkel zwschen der x-rchtung und der Normalen zur zweten Hauptebene (zwete Hauptspannungsrchtung) glt dementsprechend: = (MP x, MP ). De Hauptnormalspannungen H und H können auch rechnersch ermttelt werden. Aus dem Mohrschen Spannungskres lassen sch de folgenden Bezehungen ableten: H H x y x y (3.38) Hauptnormalspannungen n der x-y-ebene be zweachsgem Spannungszustand x y x y (3.39) De Wnkel und zwschen der x-rchtung und den Normalen zur den Hauptebenen (Hauptspannungsrchtungen) lassen sch ebenfalls rechnersch ermtteln. Man erhält de Rchtungswnkel bzw. aus Glechung 3.8 mt der Bedngung x y = 0, da, we berets erwähnt, n Schnttebenen mt den Hauptspannungsrchtungen als Normale voraussetzungsgemäß kene Schubspannungen auftreten: Rchtungswnkel zwschen der x-achse und der ; arctan ersten oder der zweten Hauptspannungsrchtung. Vorzechen von entsprechend spezel- (3.40) x y ler Vorzechenregelung (Kaptel 3..3). Der mt Hlfe von Glechung 3.40 errechnete Wnkel kann der Rchtungswnkel zwschen der x-achse und der ersten oder der zweten Hauptspannungsrchtung sen. Ene Entschedung kann mt Hlfe von Tabelle 3. erfolgen. Aufgrund der -Perodztät des Tangens ergbt sch der zwete Wnkel zu: ; ; (3.4) Hauptschubspannungen De m Bautel auftretenden betragsmäßg größten Schubspannungen max ergeben sch aus dem Mohrschen Spannungskres (Bld 3.9c) zu: max Maxmale Schubspannung n x y H H der x-y-ebene be zweachsgem (3.4) Spannungszustand

13 74 3 Spannungszustand Tabelle 3. Rechnersche Ermttlung der Rchtungswnkel und zwschen der x-rchtung und den Hauptspannungsrchtungen H und H Fall ) Lageplan Wnkel zu den Haupt- Hauptnormalspannungen Mohrscher spannungsrchtungen ) ) Spannungskres ) Fall : x > y > 0 arctan 90 x y Fall : x < y > 0 arctan 90 x y x y x y H Fall 3: x < y < 0 arctan 90 x y x y x y H Fall 4: x > y < 0 arctan 90 x y ) ) Vorzechenregelung für Schubspannungen entsprechend der spezellen Vorzechenregelung für de Konstrukton des Mohrschen Spannungskreses (Kaptel 3..3) : Wnkel zwschen der x-rchtung und der ersten Hauptspannungsrchtung (H). : Wnkel zwschen der x-rchtung und der zweten Hauptspannungsrchtung (H).

14 3.4 Dreachsger Spannungszustand Dreachsger (räumlcher) Spannungszustand Unter der Voraussetzung enes zweachsgen Spannungszustandes war es mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses möglch, de Normal- und de Schubspannungen n belebgen Schnttebenen zu ermtteln. Im Falle enes dreachsgen (räumlchen) Spannungszustandes st dese Vorgehenswese n der Regel ncht möglch ). Zur Beschrebung des Spannungszustandes n enem Punkt P enes belebg beanspruchten Körpers (vgl. Bld 3.) schnedet man en würfelförmges Volumenelement heraus, dessen Kanten parallel zu den Achsen des Koordnatensystems snd. Im allgemenen Fall wrken am Volumenelement dre vonenander unabhängge Normalspannungen ( x, y und z ) sowe dre Paare vonenander unabhängger, zugeordneter Schubspannungen ( und yx, xz und zx, yz und zy ) Spannungstensor Zur Ermttlung der Schnttspannungen n ener belebgen Schnttebene (charaktersert durch den Normalenvektor n ) trennt man, analog zum zweachsgen Spannungszustand, vom Würfelelement enen Tetraeder heraus und betrachtet das Kräfteglechgewcht (Bld 3.0). De Spannungsvektoren s bzw. s, s und s 3 n den enzelnen Tetraederflächen wrken schräg zur jewelgen Fläche (Bld 3.0). Multplzert man den jewelgen Spannungsvektor mt der entsprechenden Tetraederfläche, dann erhält man de auf de jewelgen Flächen wrkenden Kräfte, deren vektorelle Summe aus Glechgewchtsgründen Null sen muss. Ansetzen des Kräfteglechgewchts am fregeschnttenen Tetraederelement lefert (Bld 3.0): s A s A s A s A 0 (3.43) 3 3 Damt Glechung (3.43) weter umgeformt werden kann, müssen zunächst de Flächennhalte der Telflächen A, A und A 3 berechnet werden. De Berechnung soll am Bespel von Telfläche A 3 erfolgen (Bld 3.). Für den Inhalt der Tetraederfläche A glt: A g h (3.44) Für den Inhalt der Tetraederfläche A 3 glt: A3 g h3 (3.45) ) De Berechnung von Spannungen n belebgen Schnttrchtungen mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses gelngt nur, falls das Volumenelement parallel zu den Hauptachsen herausgeschntten vorlegt (Hauptspannungselement, Kaptel 3.4.3). Bld 3.0 Spannungen am räumlchen Tetraederelement Bld 3. Geometrsche Bezehungen am Tetraederelement

15 76 3 Spannungszustand Zwschen den Höhen h und h 3 der beden Dreecksflächen glt weterhn (Bld 3.): h 3 h cos (3.46) Damt folgt aus Glechung 3.45 mt Glechung 3.44: A 3 g h cos A cos (3.47) In analoger Wese folgt für de Telflächen A und A : A A cos (3.48) A A cos (3.49) Setzt man de Glechungen 3.47 bs 3.49 n Glechung 3.43 en, dann folgt: s A s A cos s A cos s3 A cos : A s s cos s cos s3 cos Für de Komponenten der Spannungsvektoren ergbt sch (Bld 3.0): sx s sy sz x s xz yx s y yz zx s3 zy z Engesetzt n Glechung 3.5 folgt für den Spannungsvektor s n der Schnttebene A: sx sy sz x yx zx cos y cos zy cos xz yz z Glechung 3.53 lässt sch auch n Matrzenform darstellen: sx x yx zx cos sy y zy cos s z xz yz z cos s S n (3.50) (3.5) (3.5) (3.53) (3.54) De Größe S wrd als Spannungstensor bezechnet. Der Spannungstensor beschrebt den Spannungszustand n enem belebgen Punkt enes Bautels. De Hauptdagonale des Spannungstensors enthält de Normalspannungen x, y und z, daneben stehen de Schubspannungen. Da jewels dre Paare von Schubspannungen glech snd (zugeordnete Schubspannungen, d. h. = yx, xz = zx und yz = zy ) st de Spannungsmatrx symmetrsch, so dass nur 6 vonenander unabhängge Spannungskomponenten vorlegen. Entsprechend des Gesetzes für zugeordnete Schubspannungen können de Indzes der Schubspannungen vertauscht werden, so dass der Spannungstensor S auch we folgt geschreben werden kann:

16 3.4 Dreachsger Spannungszustand 77 x xz S y yz (3.55) xz yz z 3.4. Berechnung der Normal- und Schubspannungen n ener belebgen Schnttebene Mt Hlfe des Spannungstensors wrd der Spannungszustand n enem belebgen Körperpunkt endeutg beschreben. Mtunter st es von Interesse, de Spannungen n belebgen Schnttrchtungen zu ermtteln. De räumlche Lage der schrägen Schnttebene A wrd durch hren Normalenenhetsvektor n festgelegt, wobe glt: n cos x n ny cos nz cos Be bekanntem Spannungszustand (gekennzechnet durch den Spannungstensor) errechnet sch der Spannungsvektor s zu: x xz s cos y cos yz cos xz yz z x cos cos xz cos cos y cos yz cos xz cos yz cos z cos (3.57) Sofern n kene Hauptspannungsebene kennzechnet und damt s kene Hauptnormalspannung st, fallen s und n ncht zusammen. Dann lässt sch der Spannungsvektor s n ene Komponente n Rchtung der Flächennormalen (Normalspannung) und n ene Komponente senkrecht dazu (Schubspannung) zerlegen (Bld 3.). (3.56) Bld 3. Spannungen n belebger Schnttrchtung be dreachsgem Spannungszustand De Normalspannungskomponente des Spannungsvektors s zur Schnttebene A erhält man durch senkrechte Projekton des Spannungsvektors s auf den Normalenenhetsvektor n. Der Betrag der Normalspannung ergbt sch dann als Skalarprodukt von s und n : x cos cos xz cos cos s n cos y cos yz cos cos xz cos yz cos z cos cos (3.58)

17 78 3 Spannungszustand cos x cos y cos cos cos yz z cos cos xz cos cos (3.59) Betrag der Normalspannung n belebger (räumlcher) Schnttrchtung Für den Betrag der Schubspannung n der Schnttebene A ergbt sch unter Anwendung des Satzes von Pythagoras: Betrag der Schubspannung n belebger (räumlcher) s Schnttrchtung (3.60) Hauptnormalspannungen be dreachsgem Spannungszustand Wrd en Bautel durch äußere Kräfte und Momente beansprucht, dann können zumndest be enfachen geometrschen Verhältnssen, mt Hlfe der n Kaptel beschrebenen Grundglechungen de Lastspannungen und damt der Spannungszustand ermttelt werden. Allgemen wrd der Spannungszustand n enem Punkt P enes beanspruchten Bautels durch dre vonenander unabhängge Normalspannungen ( x, y und z ) sowe dre Paare zugeordneter Schubspannungen (, xz, yz ) beschreben (Bld 3.0) und mathematsch durch den Spannungstensor S ausgedrückt (Kaptel 3.4.). In Lastspannungen ausgedrückt lautet der Spannungstensor: x xz S y yz (3.6) xz yz z Für enen Festgketsnachwes st n der Regel de Kenntns von Betrag und ggf. Rchtung der Hauptnormalspannungen ( H, H und H3 ) erforderlch. Zur Ermttlung der Hauptnormalspannungen dreht man das Würfelelement so, bs de Schubspannungen n den Schnttebenen verschwnden und de Normalspannungen Extremwerte annehmen (Hauptspannungselement, Bld 3.3). De entsprechenden Schnttrchtungen bezechnet man als Hauptnormalspannungsrchtungen und de n desen Schnttebenen (Hauptspannungsebenen bzw. Hauptebenen) wrkenden Normalspannungen als Hauptnormalspannungen (sehe auch Kaptel ). Bld 3.3 Allgemener Spannungszustand und Hauptspannungselement

18 3.4 Dreachsger Spannungszustand 79 Im Allgemenen snd n enem belebgen Punkt enes Bautels der Spannungsvektor s und der Normalenvektor n der zugehörgen Schnttebene ncht parallel zuenander (Bld 3.). De Hauptspannungsrchtungen snd jedoch dadurch gekennzechnet, dass de Spannungsvektoren ( s H H, sh H und sh3 H3 ) senkrecht zu den zugehörgen Schnttebenen bzw. parallel zu deren Normalenvektoren ( nh, nh und nh3 ) snd d. h. de Schubspannungen verschwnden. Der Betrag der Hauptnormalspannungen st dabe das H - bzw. H - bzw. das H3 -fache des Normalenenhetsvektors der jewelgen Hauptspannungsebene. Mathematsch lässt sch deser Sachverhalt we folgt formuleren: n (,,3) (3.6) H H x H y H z daraus folgt: H x H y H z H H H H H H cos cos cos cos cos cos (3.63) Anderersets muss sch be bekannter Hauptspannungsrchtung und bekanntem Spannungszustand (gekennzechnet durch den Spannungstensor S ) derselbe Spannungsvektor H auch entsprechend Glechung 3.54 ergeben: S (3.64) H n H H x H y H z H x H y H z x xz x xz y yz cos cos xz cos yz cos z cos cos cos y yz cos xz yz cos cos z cos cos (3.65) Nach Glechsetzen von Glechung 3.63 mt 3.65 und ordnen, erhält man en homogenes, lneares Glechungssystem für den Rchtungskosnus der Normalenvektoren der jewelgen Hauptspannungsebenen (cos, cos und cos ) und damt auch der Hauptnormalspannungen. x H cos cos cos y H cos cos cos xz yz cos 0 cos 0 cos 0 z yz H xz (3.66) Das Glechungssystem hat nur dann ncht trvale Lösungen, falls de Determnante der Koeffzentenmatrx des Glechungssystems Null st. Des führt auf de charakterstsche Glechung (E = Enhetsmatrx, S = Spannungsmatrx, H = Egenwert der Spannungsmatrx):

19 80 3 Spannungszustand x H xz dets H E y H yz 0 charakterstsche (3.67) Glechung xz yz z H De Lösung der charakterstschen Glechung lefert de Egenwerte ( H, H und H3 ) der Spannungsmatrx. Dese Egenwerte entsprechen den jewelgen Hauptspannungen. De zu den Egenwerten gehörenden Egenvektoren ( nh, nh und nh3 ) snd dentsch mt den Hauptspannungsrchtungen. De Berechnung der Determnante (Glechung 3.67) führt auf ene Glechung drtten Grades (Egenwertglechung), deren Lösung de gesuchten Egenwerte der Spannungsmatrx d. h. de Hauptnormalspannungen H snd. Zu den mathematschen Grundlagen wrd an deser Stelle auf de entsprechende Lteratur we z. B. [3] verwesen. De Egenwertglechung lautet: 3 H H I I I 0 Egenwertglechung (3.68) H 3 De Koeffzenten I, I und I 3 der Egenwertglechung (Glechung 3.68) snd de Invaranten des Spannungstensors (unveränderlche Größen n Bezug auf ene Koordnatentransformaton) und berechnen sch we folgt: I x y z (3.69) Invaranten des I x y y z x z yz xz Spannungs- (3.70) tensors I 3 x y z yz xz x yz y xz z (3.7) Aufgrund der Symmetre der Koeffzentendetermnante hat Glechung 3.68 stets dre reelle Lösungen, de Hauptspannungen H, H und H3. Damt exsteren be enem räumlchen Spannungszustand n jedem Punkt enes Bautels dre zuenander senkrechte, schubspannungsfree Schnttebenen. Zur Lösung ener Glechung 3. Grades der Form entsprechend Glechung 3.68, schrebt man: 3 A B C 0 (3.7) H H H De Zahlenwerte für A, B und C erhält man durch Koeffzentenverglech mt Glechung 3.68: A I B I (3.73) C I3 Zur Lösung von Glechung 3.7 geht man we nachfolgend beschreben vor.. Schrtt: Elmnaton von A H durch Substtuton, gemäß: A H u (3.74) 3 lefert de reduzerte Form der Glechung 3. Grades:

20 3.4 Dreachsger Spannungszustand 8 3 u a u b 0 (3.75) A mt: a B und b A 3 A B C Schrtt: Berechnung der Dskrmnante D von Glechung 3.75: 3 b a D (3.76) 3 für D < 0: ene reelle und zwe konjugert komplexe Lösungen D = 0: zwe vonenander verschedene reelle Lösungen (ene enfache Lösung und ene Doppelllösung) D > 0: dre reelle Lösungen Da de Matrx der Koeffzenten-Determnante symmetrsch st (Glechung 3.67), erhält man dre reelle Lösungen aus denen sch de dre Hauptspannungen ermtteln lassen. 3. Schrtt: Für de dre (reellen) Lösungen der Glechung 3. Grades (Glechung 3.75) folgt: a u cos 3 a b u cos 0 mt arccos (3.77) a / 3 a u 3 cos 40 3 De Hauptspannungen H, H und H3 ergeben sch schleßlch aus Glechung 3.74: A H u (,,3) 3 Verenbarungsgemäß wrd de größte postve Hauptnormalspannung mt und de klenste Hauptnormalspannung mt 3 bezechnet (sehe auch Kaptel 6), so dass glt (ordnen der Hauptspannungen entsprechend hrer algebraschen Größe): max H, H, 3 mn H, H, 3 H3 H3 (3.78) 4. Schrtt: Kontrolle Zur Kontrolle der Berechnungen kann de erste Invarante (I ) herangezogen werden. De Invaranten enes Tensors snd Größen, de sch auch be ener Koordnatentransformaton z. B. vom x-y-z-koordnatensystem ns Hauptachsensystem ncht ändern, so dass gelten muss: H (3.79) H H3 x y z

21 8 3 Spannungszustand Mohrscher Spannungskres für den dreachsgen Spannungszustand Unter der Voraussetzung enes zweachsgen Spannungszustandes konnten mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses de Normal- und Schubspannungen n jeder belebgen Schnttebene ebenso we de Hauptnormalspannungen H und H auf enfache und anschaulche Wese ermttelt werden (Kaptel 3.3.4). Legt hngegen en dreachsger (allgemener) Spannungszustand vor, dann st ene ähnlche Vorgehenswese mt Hlfe des Mohrschen Spannungskreses ncht mehr möglch. De Ermttlung der Hauptnormalspannungen sowe der Spannungen n belebger (räumlcher) Schnttrchtung muss n desem Fall analytsch erfolgen (Kaptel 3.4. und 3.4.3). Snd hngegen de dre Hauptnormalspannungen, und 3 bekannt (sehe Glechung 3.78), dann können für jede durch de Hauptspannungsrchtungen gekennzechnete Hauptspannungsebene ( - -Ebene, - 3 -Ebene und - 3 -Ebene) de Mohrschen Spannungskrese angegeben werden. Man erhält dabe zwe sch berührende Nebenkrese ( - -Ebene und Ebene), de von enem Hauptkres ( - 3 -Ebene) engeschlossen werden (Bld 3.4). Bld 3.4 Mohrsche Spannungskrese für den dreachsgen (allgemenen) Spannungszustand De Spannungen (, ) n enem räumlch belebg gerchteten Flächenelement fndet man als Bldpunkt P nnerhalb des Hauptkreses und außerhalb der beden Nebenkrese (grau markerter Berech n Bld 3.4). Ene graphsche Methode für das Auffnden des Bldpunktes be gegebener Schnttrchtung wrd n Kaptel beschreben.

22 3.4 Dreachsger Spannungszustand 83 Mt Hlfe der Mohrschen Spannungskrese können nunmehr de folgenden Aufgabenstellungen auf anschaulche Wese gelöst werden: Ermttlung der Hauptschubspannungen (Kaptel 3.4.5). Graphsche Bestmmung der Spannungen ( und ) n belebgen räumlchen Schnttrchtungen (Kaptel 3.4.6) Hauptschubspannungen be dreachsgem Spannungszustand Zweckmäßgerwese ermttelt man de Hauptschubspannungen mt Hlfe der Mohrschen Spannungskrese, nachdem de Hauptnormalspannungen bekannt snd (Kaptel 3.4.3). De Hauptschubspannungen ( H, H und H3 ) ergeben sch sofort als Raden der dre Mohrschen Spannungskrese zu: H H H3 3 max (3.80) 3 De Hauptschubspannungen wrken jewels n Schnttebenen, de zu den Hauptspannungsebenen enen Wnkel von 45 enschleßen und zu ener der Hauptachsen parallel snd (Bld 3.5). Bld 3.5 Schnttebenen größter Schubspannungen am Hauptspannungselement

23 84 3 Spannungszustand Graphsche Ermttlung von Schnttspannungen be dreachsgem Spannungszustand Unter der Voraussetzung, dass de Hauptnormalspannungen (, und 3 ) n enem Punkt P enes belebg beanspruchten Bautel bekannt snd, kann de Normalspannung sowe de Schubspannung n ener belebgen Schnttebene E auch graphsch ermttelt werden. De Vorgehenswese soll nachfolgend (ohne Bewes der Konstruktonsbeschrebung) aufgezegt werden. De Normale n der räumlchen Schnttebene E schleßt mt den Hauptspannungsrchtungen (, und 3) de Wnkel,, und en (Bld 3.6a) Bld 3.6 Graphsche Ermttlung von Schnttspannungen be dreachsgem Spannungszustand Konstruktonsbeschrebung:. Konstrukton der Mohrschen Spannungskrese für de dre Hauptspannungsebenen.. De Normale n schleßt mt der ersten Hauptspannungsrchtung () den Wnkel en. Dementsprechend trägt man zu ener Parallelen zur -Achse durch den Rchtungswnkel ab und brngt dessen Schenkel zum Schntt mt den Hauptkres d. h. dem Mohrschen Spannungskres der - 3 -Ebene (Schnttpunkt A). 3. De Normale n schleßt mt der drtten Hauptspannungsrchtung (3) den Wnkel en. Dementsprechend trägt man zu ener Parallelen zur -Achse durch 3 den Rchtungswnkel ab und brngt dessen Schenkel ebenfalls zum Schntt mt dem Mohrschen Spannungskres der - 3 -Ebene (Schnttpunkt B). 4. Kresbogen um M 3 (Mttelpunkt des Mohrschen Spannungskreses der - 3 -Ebene) mt Radus M 3 A und Kresbogen um M (Mttelpunkt des Mohrschen Spannungskreses der - -Ebene) mt Radus M B schneden sch m Punkt C. 5. De Koordnaten des Schnttpunktes C ( ) charakterseren de Spannungen n der Schnttebene E. Ist de Normalspannung postv, dann legt ene Zugbeanspruchung vor, st se hngegen negatv, dann herrscht n der Schnttebene E ene Druckspannung. De Wrkrchtung der Schubspannung kann deser Konstrukton allerdngs ncht entnommen werden.

24 3.5 Aufgaben Aufgaben Aufgabe 3. De Abbldung zegt en durch de Spannungen x = 00 N/mm ; y =00 N/mm und = 75 N/mm zweachsg beanspruchtes Schebenelement aus Werkstoff S35JR. a) Zechnen Se maßstäblch den Mohrschen Spannungskres n der x-y-ebene. b) Berechnen Se de Hauptnormalspannungen H und H sowe de Rchtungswnkel und zwschen der x-rchtung und den Hauptspannungsrchtungen. c) Ermtteln Se de Spannungen x und x y n der Schnttebene E x sowe y und y x n der Schnttebene E y enes um den Wnkel = 30 zur x-rchtung gedrehten Flächenelementes (sehe Abbldung). Aufgabe 3. En Stahlrohr mt enem Außendurchmesser d a = 00 mm und ener Wandstärke s = 0 mm wrd glechzetg durch de Zugkraft F = 45 kn und das Torsonsmoment M t = 950 Nm statsch beansprucht. a) Skzzeren Se den Mohrschen Spannungskres für de höchst beanspruchte Stelle. b) Ermtteln Se de Hauptnormalspannungen, de Hauptschubspannungen und de jewelgen Rchtungswnkel zur x-achse. Aufgabe 3.3 En Blechstrefen wrd zwschen zwe Druckplatten hndurch gezogen. Dabe entstehen an der höchst beanspruchten Stelle des Bleches de folgenden Spannungen: aus Zug: x = 00 N/mm aus Druck: y = -00 N/mm aus Rebung: = 40 N/mm

25 86 3 Spannungszustand a) Berechnen Se de m Blech auftretenden größten Zug- bzw. Druckspannungen d. h. de Hauptnormalspannungen. b) Ermtteln Se de Lage derjengen Schnttebenen, n denen de größten Zug- bzw. Druckspannungen auftreten (Wnkel und zwschen der x-rchtung und den Normalen zu desen Schnttebenen). Aufgabe 3.4 De Abbldung zegt das Maschnengestell für ene Enpressvorrchtung aus dem Gussesenwerkstoff EN-GJL-350 (alle Maßangaben n mm). Das Maschnengestell wrd durch de statsch wrkenden Arbetskräfte F belastet. Zur Ermttlung der unbekannten Arbetskräfte F wrd n der Säulenmtte en Dehnungsmessstrefen (DMS) applzert. Aufgrund ener Montageungenaugket schleßt de Messrchtung des DMS enen Wnkel von 0 zur Säulenlängsachse en. Werkstoffkennwerte EN-GJL-350: R m = 350 N/mm E = N/mm μ = 0,5 a) Auf welche Wese wrd der Querschntt A-B durch de Arbetskräfte F beansprucht? b) Ermtteln Se den Betrag der Arbetskräfte F für ene Dehnungsanzege von DMS = 0,485 c) Ermtteln Se für de höchst beanspruchte Stelle (m Querschntt A-B) de Scherhet gegen Bruch. Ist de Scherhet ausrechend?

26 3.5 Aufgaben 87 Aufgabe 3.5 Der Spannungszustand m Punkt P ener Hochdruckletung wrd durch de folgenden Spannungskomponenten beschreben: x = 500 N/mm = 50 N/mm y = 00 N/mm yz = 00 N/mm z = 300 N/mm xz = 400 N/mm a) Berechnen Se de Normal- und Schubspannung n ener Schnttebene E, deren Normalenvektor mt dem x-y-z-koordnatensystem de Wnkel = 60, = 60 und = 45 enschleßt. b) Berechnen Se de Normalspannung und de Schubspannung n ener Schnttebene E, deren Normalenvektor mt dem x-y-z-koordnatensystem de Wnkel = 40,833, = 69,773 und = 56,9 enschleßt. c) Berechnen Se de Hauptnormalspannungen H, H und H3. d) Ermtteln Se de Hauptspannungsrchtungen m x-y-z-koordnatensystem. e) Bestmmen Se rechnersch und graphsch de Spannungen E3 und E3 n ener Schnttebene E 3, deren Normalenvektor zu den Hauptspannungsrchtungen (zum Hauptachsensystem) de Wnkel = 50, = 50 und = 65,4 enschleßt.

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