Beschreibung von Vorgängen durch Funktionen

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1 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Zechenerklärung: [ ] - Drücken Se de entsprechende Taste des Graphkrechners! [ ] S - Drücken Se erst de Taste [SHIFT] und dann de entsprechende Taste! [ ] A - Drücken Se erst de Taste [ALPHA] und dann de entsprechende Taste! Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen Um ene vorgegebene Kurve durch ene ganzratonale Funkton näherungswese zu beschreben, wählt man mt Hlfe der Kurve Egenschaften aus, de de ganzratonale Funkton erfüllen soll. Häufg soll de ganzratonale Funkton bestmmte Punkte der Kurve enthalten. Es st aber ebenso möglch, Symmetren, Extrema, Wendestellen oder Werte von. bzw.. Abletungen an bestmmten Stellen vorzugeben. Aus desen Bedngungen ergbt sch en lneares Glechungssystem, n dem de Koeffzenten der ganzratonalen Funkton de Unbekannten darstellen. Man wählt de Anzahl der Bedngungen n Überenstmmung mt der Anzahl der unbekannten Koeffzenten, damt ene endeutge Lösung exstert. Ene endeutge Lösung lässt sch mt dem Graphkrechner m Glechungs-Modus bestmmen, wenn de Anzahl der Unbekannten ncht größer st als 6. Möchte man nur Punkte der vorgegebenen Kurve zur Bestmmung der ganzratonalen Funkton heranzehen, kann man m Statstk- Modus des Graphkrechners verschedene Arten von Regressonen durchführen, um ene Funkton zu erhalten, de möglchst weng von den vorgegebenen Punkten abwecht. Wählt man den Grad ener ganzratonalen Regressonsfunkton um klener als de Anzahl der vorgegebenen Punkte (dese entsprcht dann also der Koeffzentenanzahl der Regressonsfunkton.), erhält man n der Regel ene Funkton, welche de vorgegebenen Punkte drekt benhaltet. Der Grad von ganzratonalen Regressonsfunktonen beträgt bem Graphkrechner maxmal. Um zu sehen, nwewet ene gefundene Funkton den gewünschten Verlauf nmmt, kann se mt dem Graphkrechner graphsch dargestellt werden. Zur besseren Beurtelung st es möglch, Punkte der vorgegebenen Kurve n de Graphk enzufügen. Be Anschluss des Graphkrechners an enen Computer st ebenfalls das Ausdrucken des Graphk-Dsplays und der drekte Verglech mt der vorgegebenen Kurve möglch. Im folgenden st dargestellt, we sch ene umfangreche Aufgabe vollständg mt Hlfe des Graphkrechners bearbeten lässt. Ohne ene solche Hlfe leße sch nur der prnzpelle Lösungsweg verdeutlchen, der Rechenaufwand wäre praktsch zu groß, um de komplette Lösung zu erarbeten.. Splnes für schöne Autos (Sete 6) De Karossereform enes Autos (vergleche Bld 6/) soll durch ganzratonale Funktonen beschreben werden. Se st durch de folgenden Messpunkte (x /y ) gekennzechnet. : x : y :, ,6 9,6 6 Cornelsen GmbH & Co. OHG,

2 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Beschrebung der Autokarossere durch kubsche Splnes Bestmmt man mt enem Rechenprogramm ene ganzratonale Funkton.Grades, welche de Messpunkte enthält (vergleche Bld 6/), stellt dese den vorderen Tel des Autos nur unzurechend dar. Man versucht daher de Karosserekurve abschnttswese jewels zwschen zwe Messpunkten zu beschreben und zwar durch kubsche Splnes s (x), d.h. durch ganzratonale Funktonen drtten Grades. Man erhält dann nsgesamt Splnes, von denen s (x) de Kurve auf dem Intervall [x ;x + ] beschrebt. Damt an den Nahtstellen zweer Splnes kene Sprünge entstehen, müssen dort de Funktonswerte der Splnes überenstmmen. Nahelegenderwese sollten se den Messpunkten entsprechen. s (x ) y s (x + ) y + {,,,} Damt de Splnes glatt nenander übergehen und an den Nahtstellen kene Kncke entstehen, fordert man zusätzlch, dass de Stegungen dort überenstmmen. s (x ) s (x ) {,,,} Für de ersten beden Splnes ergbt des: s () s () s () s () s () s () Damt de Koeffzenten der kubschen Splnes s (x) a x + b x + c x + d endeutg bestmmt snd, snd jewels Bedngungen notwendg. Für de ersten beden Splnes snd zusammen 8 Bedngungen erforderlch, zusätzlch zu den bshergen Bedngungen also noch wetere. Bespelswese lässt sch fordern, dass de Krümmungen an den Nahtstellen glech groß snd. s () s (). Ferner soll de Stegung am lnken Rand des ersten Kurvenabschntts der mttleren Stegung auf desem Kurvenabschntt entsprechen. s () Ebenso soll de Stegung am rechten Rand des zweten Kurvenabschntts der mttleren Stegung auf desem Kurvenabschntt entsprechen. s () Cornelsen GmbH & Co. OHG,

3 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Durch de letzten beden Bedngungen errecht man, dass de Splnes de Messpunkte auf enem möglchst drekten Weg verbnden und kene allzu großen Schwankungen aufwesen. De 8 Bedngungen ergeben en lneares Glechungssystem mt 8 Unbekannten. s (x) a x + b x + c x + d s (x) a x + bx + c s (x) 6a x + b s () d s () 8a + b +c + d s () 8a + b +c + d s () a + b +c + d s () s () a + b + c a + b + c s () s () a + b a + b s () c s () a + b + c Durch Ensetzen von c und d und Ordnen der Unbekannten ergbt sch en lneares Glechungssystem, welches sch mt dem Graphkrechner lösen läst: 8 a + b 8 a + b + c + d a + b + c + d a + b a b c a + b a b a + b + c Lösen des Glechungssystems m Glechungs-Modus Im Hauptmenü gelangen Se mt der Taste [ A ] A n den Glechungs- Modus. Für de Lösung enes lnearen Glechungssystems mt 6 Glechungen und 6 Unbekannten drücken Se de Tasten [F] (SIML) [F] (6). En lneares Glechungssystem mt n Glechungen und n Unbekannten ( n 6) lässt sch mt dem Graphkrechner lösen, wenn es endeutg lösbar st. De Bezechnung der Koeffzenten und Unbekannten st vorgegeben. Es st n desem Fall ncht snnvoll, de Bezechnungen des Graphkrechners zu übernehmen. Dennoch sollte de rchtge Zuordnung der Koeffzenten und Unbekannten ncht schwer fallen. Cornelsen GmbH & Co. OHG,

4 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Im Glechungs-Edtor geben Se nun de Koeffzenten des Glechungssystems n de erweterte Koeffzenten-Matrx en. En vorhandener Entrag, der ncht geändert werden soll, kann mt der Cursor-Taste [ ] übersprungen werden. [ 8 ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ 8 ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [ ] [ ][ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [( )][ ][ ] [EXE] [( )][ ] [EXE] [( )][ ] [EXE] [ ] [( )][ ][a b/c][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [( )][ ][ ] [EXE] [( )][ ] [EXE] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [ ][a b/c][ ] [EXE] Zum Lösen drücken Se de Taste [F] (SOLV). Mt den Cursor-Tasten [ ] bzw. [ ] können Se de enzelnen Komponenten der Lösung hervorheben. Der Wert der hervorgehobenen Komponente wrd rechts unten m Dsplay genauer angezegt. Wenn Se de nchtganzen Koeffzenten enes Glechungssystems als Brüche engeben, verwendet der Graphkrechner n der Regel be der genaueren Anzege gemschte Brüche. Mt der Taste [d /c] S können Se enen gemschten Bruch n enen renen Bruch umwandeln. Mt der Taste [F D] können Se von ener Bruchdarstellung zur Dezmaldarstellung wechseln. a b 6 a 9 b c 6 6 d [;]: s (x) x + x x [;]: s (x) x x + x Cornelsen GmbH & Co. OHG,

5 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Bestmmung der weteren Splnes m Glechungs-Modus Für de restlchen Splnes soll gelten, dass se an den Nahtstellen de Messpunkte benhalten. Am rechten Rand enes Abschntts soll de Stegung der mttleren Stegung auf dem Kurvenabschntt entsprechen, am lnken Rand soll de Stegung mt der der vorhergehenden Splne überenstmmen. s (x ) y s (x + ) y +. {,,,} s (x ) s (x ) y y x x (x ) s + y y x+ x + {,,,} Für de drtte Splne ergbt des: s () a + b + c + d s (9) 9 a + 9 b + 9 c + d s () a + b + c s (9) 9 9 a + 9 b + c Mt den Tasten [EXIT] [EXIT] kehren Se zu der Anzege des Glechungs-Modus zurück, n der Se de Anzahl der Unbekannten wählen können, und drücken de Taste [F] (). Im Glechungs-Edtor für Unbekannte geben Se nun weder de Koeffzenten des Glechungssystems n de erweterte Koeffzenten- Matrx en. [ ][ ][ ] [EXE] [ ][ x ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ 9 ][ ][ ] [EXE] [ 9 ][ x ] [EXE] [ 9 ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ][ ][ ][ x ] [EXE] [ ][ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [ ][a b/c][ ] [EXE] [ ][ ][ 9 ][ x ] [EXE] [ ][ ][ 9 ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [ ][a b/c][ ] [EXE] Zum Lösen drücken Se de Taste [F] (SOLV). a 9 b c d 6 [;9]: (x) x x + x s + 6 Cornelsen GmbH & Co. OHG,

6 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c De anderen Splnes lassen sch mt dem Graphkrechner n der glechen Wese bestmmen. Da be der Berechnung der Funktonswerte der Splnes de Koeffzenten mt Faktoren bs zu 6 multplzert werden, müssen be der Dezmaldarstellung entsprechend vele Nachkommastellen berückschtgt werden. Um nsgesamt ene Genaugket von Stellen nach dem Komma zu errechen, sollten be den Koeffzenten der Terme.Grades a Nachkommastellen, be Koeffzenten der quadratschen Terme b Nachkommastellen, be Koeffzenten der lnearen Terme c Nachkommastellen und be den Koeffzenten der konstanten Terme d Nachkommastellen berückschtgt werden. In velen Fällen betet sch de Bruchdarstellung an. Um dese zu erhalten, sollten de nchtganzen Zahlen als Brüche n de erweterte Koeffzentenmatrx engegeben werden. Im folgenden snd de Stegungen an den Nahtstellen, de Funktonsterme der Splnes und de lnearen Glechungssysteme der zugehörgen erweterten Koeffzentenmatrzen aufgeführt. [9;]: s (9),6 s () s (x) x x +,x 8 6 [;6]: 6 8 s () 8,6 s (6) s (x),x +,x,x, 68 + [6;8]: s (6) s 6 (8) s (x),x,x + x 9, [8;]: s (8 s ) s 9 () (x) x x + x Cornelsen GmbH & Co. OHG, 6

7 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c [;]: s ( s () 8 ) 8 s8 (x),8x x +,96x, [;8]: s 9 () s (8) s 9 (x) [8;]: ,6 s (8) s 96 () s (x),6x,x +,x 66, 6 [;]: s 99,6 () s () s(x),x,x + 8,x 9,6 6 [;]: 8 9 s,69 () s 6 () s(x),x,6x + 9,x 9,8 [;9]: s 6,6 () s (9) s (x),x,8x + 9,x 69, 6 8 [9;]: s (9 s 6 () ) 9 s (x),x,8x + 66x Cornelsen GmbH & Co. OHG,

8 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c De Ermttlung der Funktonsterme der Splnes st deal geegnet für ene Auftelung n Gruppenarbet, da de enzelnen Splnes unabhängg vonenander bestmmt werden können. Graphsche Darstellung der Splnes Mt den Tasten [MENU] [ ] wechseln Se n den Graphk-Modus. Be der Engabe des Funktonsterme der Splnes verwenden Se für de Varable x de Taste [X,θ,T]. Nach den Funktonstermen folgen jewels en Komma und n eckgen Klammern durch en Komma getrennt de Intervallgrenzen. [( )][ ][a b/c][ 6 ][ ] [X,θ,T] [ ] [ ] [ + ] [ ][a b/c][ ][ ] [X,θ,T] [ x ] [ + ] [ ][a b/c][ ] [X,θ,T] [, ] [ [ ] S [ ] [, ] [ ] [ ] ] S [EXE] [ ][a b/c][ 9 ][ ] [X,θ,T] [ ] [ ] [ ] [ ][ ][a b/c][ ][ ] [X,θ,T] [ x ] [ + ] [ ][ ][a b/c][ 6 ] [X,θ,T] [ ] [ ][ ][a b/c][ 9 ] [, ] [ [ ] S [ ] [, ] [ ] [ ] ] S [EXE] Analog geben Se de Funktonsterme der restlchen Splnes en. Um den Bldausschntt für ene graphsche Darstellung festzulegen, gelangen Se mt der Taste [V-Wndow] S zum Betrachtungsfenster. Damt be Verwendung der Trace-Funkton de ganzzahlgen x-werte 6 ncht übersprungen werden, wrd x max x mn gewählt. [ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [EXE] [( )][ ] [EXE] [ ][ ][. ][ ] [EXE] [ ] [EXE] Mt den Tasten [EXIT] [F6] (DRAW) lassen Se de Splnes zechnen. Mt der Trace-Funkton können Se de Graphen nachführen und de entsprechenden Funktonswerte der Splnes anzegen lassen. Möchten Se enen bestmmten Berech genauer ansehen, können Se de Zoom-Funkton verwenden. De Trace-Funkton steht nur dann zur Verfügung, wenn das Intervall der Funkton, de m Graphk-Edtor an oberster Stelle steht und aktvert st, ncht außerhalb des dargestellten x-bereches legt. Gegebenenfalls sollten Se be Verwendung der Zoom-Funkton de obersten Funktonen m Graphk-Edtor mt der Taste [F] (SEL) deaktveren. Cornelsen GmbH & Co. OHG, 8

9 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Enfügen der Messpunkte n de Graphk Se können enen Messpunkt (x /y ) graphsch darstellen lassen, ndem Se m Graphk-Edtor de konstante Funkton y auf dem Intervall [x ;x ] engeben, bespelswese den Messpunkt (/) mt den Tasten [ ] [, ] [ [ ] S [ ] [, ] [ ] [ ] ] S [EXE]. Da sch m Graphk- Edtor Funktonen engeben lassen und berets Splne- Funktonen engegeben snd, st des nur noch für 6 Messpunkte möglch. Da n ener Graphk de orangefarbenen Objekte m Vordergrund erschenen, sollten de Messpunkte orange dargestellt werden, damt se ncht von den Graphen der Splnes verdeckt werden. Um alle Messpunkte n de Graphk enzufügen, werden dese n ener egenen Graphk gespechert, de dann zusätzlch zur Graphk der Splnes engeblendet wrd. Se wechseln mt den Tasten [MENU] [ ] n den Statstk-Modus und geben m Statstk-Edtor de x-werte x der Messpunkte n Lste en, de y-werte y n Lste. [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ 9 ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ 6 ] [EXE] [ ][ 8 ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ 8 ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ 9 ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ] [EXE] [ ][. ][ 6 ] [EXE] [ 8 ] [EXE] [ 9 ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ ][ ] [EXE] [ 9 ][. ][ 6 ] [EXE] [ 9 ] [EXE] [ ][. ][ 6 ] [EXE] [ 6 ] [EXE] [ ] [EXE] Damt der Graphkrechner de selbstgewählten Enstellungen des Betrachtungsfensters verwendet, rufen Se mt der Taste [SET UP] S das Set up auf und wählen mt der Taste [F] (Man) de Enstellung Stat Wnd :Manual. Nachdem Se mt der Taste [EXIT] zum Statstk-Edtor zurückgekehrt snd, drücken Se für wetere Enstellungen de Tasten [F] (GRPH) [F6] (SET). Es st engestellt, dass de Werte der Lste auf der y-achse n enem Streuungsdagramm über den Werten der Lste auf der x-achse aufgetragen werden. Se heben durch sechsmalges Drücken der Cursor- Taste [ ] de Rubrk Graph Color hervor und wählen mt der Taste [F] (Orng) de Enstellung Orange für de Darstellung der Messpunkte. Mt den Tasten [EXIT] [F] (GPH) lassen Se de n den Lsten engegebenen Messpunkte graphsch darstellen. Um de Graphk mt den Messpunkten zu spechern, drücken Se de Tasten [OPTN] [F] (PICT) [F] (STO). Mt der Taste [F] (Pc) spechern Se de Graphk bespelswese als Bld. Cornelsen GmbH & Co. OHG, 9

10 Beschrebung von Vorgängen durch Funktonen.. Splnes (Sete 6) a +b c Se kehren mt den Tasten [MENU] [ ] n den Graphk-Modus zurück. Damt be der graphschen Darstellung de Graphk der Messpunkte engeblendet wrd, rufen Se mt der Taste [SET UP] S das Set up auf und heben durch fünfmalges Drücken der Cursor-Taste [ ] de Rubrk Background hervor. Mt den Tasten [F] (PICT) [F] (Pc) wählen Se de Enstellung Pct. Mt den Tasten [EXIT] [F6] (DRAW) lassen Se de neue graphsche Darstellung erstellen. Wenn Se de Enstellung m Betrachtungsfenster verändern, wel Se bespelswese de Zoom-Funkton verwenden, werden de Messpunkte an falschen Stellen engeblendet, Se sollten dann das Enblenden der Messpunkte ausschalten, ndem Se m Set up de Enstellung Background :None wählen. Alternatve Krteren für de Bestmmung der Splnes Es st nahelegend, dass de kubschen Splnes an den Nahtstellen de Messpunkte benhalten sollen. Zusätzlch könnte für de Stegung an den Nahtstellen jewels gefordert werden, dass se der mttleren Stegung auf dem Kurvenabschntt entsprcht, der durch de beden benachbarten Messpunkte begrenzt wrd. s (x ) s (x ) y+ y x+ x {,,,} Auf dem Intervall [x ;x + ] ergeben sch dann folgende Bedngungen: s (x ) y s (x + ) y +. {,,,} s (x ) y+ y x+ x {,,} (x ) s + y y x+ x + {,,} Am Rand könnte weder s () und 6 s () gelten. 9 Der Graphkrechner betet de Möglchket, dass de Schüler ncht nur egene Ideen für Krteren entwckeln, nach denen sch de Splnes bestmmt lassen, sondern dese auch überprüfen können, ndem se mt dem Graphkrechner de Funktonsterme bestmmen und anschleßend mt ener graphschen Darstellung überprüfen, we gut de ermttelten Splnes de vorgegebene Kurve beschreben. Cornelsen GmbH & Co. OHG,