Der Erweiterungsfaktor k

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1 Der Erweterungsfaktor k Wahl des rchtgen Faktors S. Meke, PTB-Berln, 8.40

2 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

3 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

4 1. Was macht der k-faktor? Im klassschen GUM (JCGM 100) verknüpft der k-faktor(genauer: Erweterungsfaktor k p ) de kombnerte Standardunscherhet u c (y) durch Multplkaton mt der erweterten Messunscherhet U: U = k p u c (y) Dadurch wrd aus ener Größe, de de Streuung beschrebt (u c (y)) ene Größe, de angbt, dass m Intervall y - U bs y + U mt ener Wahrschenlchket von p (%) der wahre Wert des Messergebnsses legt.

5 Quelle: G. Wübbeler, PTB 1. Was macht der k-faktor? Standardmessunscherhet k p Erweterte Messunscherhet Streuung = Wurzel(Varanz) Kennzechnet en Intervall Kene Aussage über Wahrschenlchketen Abhängg von Vertelung und gewählter Wahrschenlchket Fortpflanzung von Messunscherheten: drekt verwendbar Fortpflanzung von Messunscherheten: ncht drekt verwendbar

6 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

7 2. Welche Parameter legen den Wert fest? Wel durch den k-faktor ene Umrechnung erfolgt, hängt sen Wert ab von: a. der Wahrschenlchketsvertelung des Messergebnsses b. dem gewählten Grad des Vertrauens p c. den effektven Frehetsgraden ν eff

8 dreeckförmg (ß = 0) 2. Welche Parameter legen den Wert fest? a. Wahrschenlchketsvertelung des Messergebnsses a u x 6 PDF: probablty densty functon, Wahrschenlchketsdchtefunkton

9 2. Welche Parameter legen den Wert fest? Wann kann man annehmen, dass ene Normalvertelung (Gauss-Vertelung) das Ergebns rchtg beschrebt? GUM G.6.6 gbt folgende Empfehlungen: de Engangsgrößen X lassen sch durch Normal- und Rechteckvertelungen beschreben, de domnerende Standardunscherhet u(x ) st normalvertelt (ncht n G.6.6 genannt), de Standardunscherheten u(x ) tragen mt verglechbaren Antelen zur kombnerten Standardunscherhet u c (y ) be, das Modell der Messung st hnrechend lnear, de Anzahl der effektven Frehetsgrade ν eff st erheblch, z.b. > 10. eff N u 1 ( y) ( y) 4 c 4 u

10 Grafken: G. Wübbeler 2. Welche Parameter legen den Wert fest? b. Grad des Vertrauens p Normalvertelung: p p Wahrschenlchket p (n %) Erweterungsfaktor k p 68,27 1,000 90,00 1,645 95,00 1,960 95,45 2,000 99,00 2,576 99,73 3,000 Wahrschenlchket 95,45 % Normal k p = 2,0 Rechteck k p = 1,65 Dreeck k p = 1,93

11 2. Welche Parameter legen den Wert fest? c. effektve Frehetsgrade ν eff Student- oder t-vertelung Se st zu wählen be wengen Wederhohlungsmessungen n, wel dann ν eff oft klen (< 10, besser: < 25) st.. GUM, Tabelle G.2 k-faktoren der Normalvertelung

12 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

13 3. Wo trtt der k-faktor auf? Der k-faktor trtt an 2 Stellen be Messunscherhetsbetrachtungen auf: be der Berechnung der erweterten Messunscherhet U, be der Bestmmung der Standardmessunscherhet u(x ) der verschedenen Engangsgrößen X. Für de Fehlerfortpflanzung, der Berechnung der kombnerten Standardmessunscherhet u c (y) nach müssen de verfügbaren Informatonen n Standardmessunscherhet u(x ) der Engangsgrößen X umgerechnet werden. N N c x u c x u x f y u ) ( ) ( ) (

14 3. Wo trtt der k-faktor auf? Hnwes: Gemäß GUM erfolgt de Fehlerfortpflanzung nach ncht nach wel U = k p u c (y) und de k-faktoren verscheden sen können. N N c x u c x u x f y u ) ( ) ( ) ( U U U

15 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

16 4. Zusammenhang k-faktor und Vertelungen Zur Bestmmung der Standardmessunscherheten u(x ) snd 2 Schrtte notwendg: Abschätzung der Vertelung für jede Engangsgröße, Errechnung der Standardmessunscherheten u(x ) nach festen Regeln auf Grund der Vertelung. Auszug aus dem Qualtätsmanagement-Handbuch der PTB: In Kalbrerschenen und n Prüfberchten... st be der Angabe der Messunscherhet m Falle der Normalvertelung folgende Formulerung zu verwenden: Angegeben st de erweterte Messunscherhet, de sch aus der Standardmessunscherhet durch Multplkaton mt dem Erweterungsfaktor k = 2 ergbt. Se wurde gemäß dem Gude to the Expresson of Uncertanty n Measurement (GUM) ermttelt. Der Wert der Messgröße legt dann m Regelfall mt ener Wahrschenlchket von annähernd 95 % m zugeordneten Überdeckungsntervall.

17 4. Zusammenhang k-faktor und Vertelungen geechtes Gerät Gerät mt Kalbrerschen (der k-faktor sollte angegeben sen) Gerät mt Kalbrerschen und zusätzlchen Informatonen (z.b. k-faktor, effektve Frehetsgrade) Quelle: deutsche Übersetzung des GUM S1

18 4. Zusammenhang k-faktor und Vertelungen c. effektve Frehetsgrade ν eff GUM, Tabelle G.2: Frehets- Antel p n % grade 68,27(a) , ,73 1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,8 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4, ,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 GUM G.6.6 Empfehlung 25 1,02 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 mene Empfehlung 50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3, ,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

19 dreeckförmg (ß = 0) 2. Welche Parameter legen den Wert fest? a. Wahrschenlchketsvertelung des Messergebnsses a u x 6 PDF: probablty densty functon, Wahrschenlchketsdchtefunkton

20 Inhalt: 1. Was macht der k-faktor? 2. Welche Parameter legen den Wert des k-faktors fest? 3. Wo trtt der k-faktor auf? 4. Zusammenhang k-faktor und möglche Messwertvertelungen 5. Zusammenfassung

21 5. Zusammenfassung k = 2 st nur dann rchtg, wenn das Messergebns (de Ausgangsgröße) normal vertelt st, d.h. - de Engangsgrößen überwegend normalvertel snd oder de Antele der Unscherheten der zahlrechen Engangsgrößen annähernd glech groß snd, - der effektve Frehetsgrad größer als 10 (besser: 25) st. Be enem Messergebns, das zwar normalvertelt st, deren effektver Frehetsgrad aber klener als 10 (besser: 25) st, muss der Erweterungsfaktor entsprechend der t-vertelung genutzt werden. Wenn das Messergebns ene andere Vertelung hat, st für den k-faktor en anderer Wert zu nehmen. Der k-faktor hängt von dem Grad des Vertrauens ab, der für das Messergebns gewünscht oder gefordert wrd; m technschen Berech wrd oft 95 % gewählt, für den scherhetsrelevanten oder rechtlchen Berech kann / wrd das mest zu nedrg sen.

22 Velen Dank für Ihre Aufmerksamket, gbt es Fragen?