Theoretische Physik 1 Mechanik

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1 Technsche Unverstät München Fakultät für Physk Ferenkurs Theoretsche Physk 1 Mechank Skrpt zu Vorlesung 4: Starrer Körper, Hamlton-Formalsmus gehalten von: Markus Krottenmüller & Markus Perner

2 Inhaltsverzechns 1 Starrer Körper Defnton Frehetsgrade Bezugssysteme Lagrange-Funkton des starren Körpers Knematk des starren Körpers Knetsche Energe des starren Körpers Lagrange-Funkton Der Träghestensor Allgemene Egenschaften Hauptachsentransformaton Satz von Stener Drehmpuls des starren Körpers Hamlton-Formalsmus 8.1 Motvaton Hamlton-Funkton Phasenraum Kanonsche Glechungen Energe-Erhaltungssatz Posson-Klammern Bespel: Endmensonaler harmonscher Oszllator Abbldungsverzechns 1 Raumfestes und Körperfestes Koordnatensystem Phasenportrat des endmensonalen harmonschen Oszllators

3 Ferenkurs Theoretsche Physk Starrer Körper 1.1 Defnton Als enen starren Körper bezechnet man en System von Massenpunkten m, deren Abstände zuenander konstant snd: r j = r r j = const.. Mest betrachtet man ene sehr große Anzahl von Massenpunkten, so dass sch ene Massendchte ρ( r ) defneren lässt: m ρ( r ) = lm V 0 V = dm( r ). dv De Gesamtmasse des starren Körpers mt der Massendchte ρ( r ) ergbt sch dann aus M = dm = ρ( r ) d 3 r. (1) In deser Defnton st der Spezalfall ener dskreten Massenvertelung, formulert durch de Delta-Dstrbuton, berets enthalten: ρ( r ) = N m δ 3 ( r r ) = M = =1 N m =1 δ 3 ( r r ) d 3 r = N m. =1 1. Frehetsgrade Um de maxmale Anzahl der Bewegungsglechungen enes starren Körpers zu bestmmen, st de Anzahl der Frehetsgrade von Interesse. Wr betrachten dazu folgendes Bespel: En System von N = 3 Massenpunkten wrd durch 9 kartessche Koordnaten beschreben. Aus der Defnton des starren Körpers folgen de 3 Zwangsbedngungen r j = r r j = const., de den Abstand der Massenpunkte zuenander festlegen. Somt bleben noch f = 6 Frehetsgrade übrg. Fügt man nun wetere Massenpunkte zu desem System hnzu, so werden de jewels dre zusätzlchen Frehetsgrade durch de Zwangsbedngungen der konstanten Telchenabstände aufgehoben. Somt folgt: Der starre Körper bestzt 6 Frehetsgrade: 3 Translatons- und 3 Rotatonsfrehetsgrade. Intutve Begründung: De Lage enes belebgen starren Körpers m Raum lässt sch durch de Lage enes Fxpunkts (dre Koordnaten), sowe de Orenterung (dre Wnkel) relatv zu enem raumfesten Inertalsystem endeutg charakterseren. 1 / 14

4 Ferenkurs Theoretsche Physk Bezugssysteme Zur Beschrebung der Dynamk des starren Körpers wählt man en raumfestes Inertalsystem R und en fest an den Körper gebundenes Körpersystem K. Dabe wählen wr folgende Bezechnungen: Raumfestes R-System : R = (X, Y, Z) Körperfestes K-System : r = (x, y, z) ω Z z R Raumfestes KS Y R 0 r x y Körperfestes KS X Abb. 1: Raumfestes und Körperfestes Koordnatensystem Herbe st das Körpersystem K natürlch ken Inertalsystem, da sch Lage durch Translaton und Orenterung durch Rotaton m Raum be der Bewegung ständg ändern. Außerdem st sen Ursprung (Fxpunkt) m starren Körper zunächst belebg wählbar. Desen Umstand nutzt man später aus, um de Bewegungsglechungen zu verenfachen. Mest wählt man aber als Ursprung den Schwerpunkt des starren Körpers R 0 = 1 M ρ( r ) r d 3 r R S () 1.4 Lagrange-Funkton des starren Körpers Um den starren Körper mt dem Lagrange-Formalsmus behandeln zu können, müssen wr nun de Form der knetschen Energe zur Verwendung n der Lagrange-Funkton bestmmen. Des gescheht mt Hlfe der soeben defnerten Bezugssysteme, ndem man de Bewegung des körperfesten Systems K m raumfesten System R ausdrückt. / 14

5 Ferenkurs Theoretsche Physk Knematk des starren Körpers En belebger Punkt des R-Systems hat m K-System folgenden Ortsvektor: R = R 0 + r. Der Schwerpunkt des starren Körpers führt relatv zum R-System ene normale Translaton aus: dr 0 = V dt. Im K-System legt bzgl. des Ursprungs ene Rotaton mt der Wnkelgeschwndgket ω = ϕ vor: d r = ω r. dt Dabe steht der Vektor ω mmer senkrecht auf der Drehebene. Insgesamt ergbt sch also für de Geschwndgket enes Massenpunktes m starren Körper m R-System dr dt = d R 0 + d r dt dt = V + ω r. (3) 1.4. Knetsche Energe des starren Körpers De knetsche Energe m raumfesten R-System lässt sch mt der soeben defnerten Geschwndgket berechnen: T = 1 m R = 1 m ( V + ω r ) = 1 m V + 1 m V ( ω r ) + 1 m ( ω r ) = 1 m V + m r ( V ω) + 1 [ m ω r ( ω r ) ] =0 = 1 m V + 1 T trans m [ ω r ( ω r ) ] } {{ } T rot Dabe haben wr benutzt, dass m Schwerpunktsystem m x m r = m y = 0 m z. 3 / 14

6 Ferenkurs Theoretsche Physk glt. Außerdem haben wr de Invaranz des Spatprodukts unter zyklscher Vertauschung und de Lagrange-Identtät a ( b c ) = c ( a b ) = b ( c a ), ( a b ) ( c d ) = ( a c )( b d ) ( b c )( a d ) verwendet. Der Term n den eckgen Klammern lässt sch nun folgendermaßen umformen: ω r ( ω r ) = [ ] [ ] ωα ω β r δ αβ ω α x α ω β x β = ω α ω β r δ αβ x α x β, α,β wobe δ αβ das Kronecker-Delta bezechnet. Daraus folgt de Defnton des Träghetstensors Î für dskrete Massenvertelungen: α,β I αβ = m [ r δ αβ x α x β ]. Für kontnuerlche Massenvertelungen wrd de Summe n allen Rechnungen zu enem Integral m dm = ρ( r ) d 3 r. Der Träghetstensor lautet damt allgemen I αβ = ρ( r ) [ ] r δ αβ x α x β d 3 r. (4) Damt lässt sch de knetsche Energe n folgender Form schreben: T = 1 M V + 1 I αβ ω α ω β = 1 M V + 1 ω T Î ω. (5) α,β Lagrange-Funkton Mt der Defnton des Träghetstensors lautet nun de Lagrange-Funkton L = 1 M V + 1 ω T Î ω U, (6) wobe sch de potentelle Energe n den mesten Fällen durch de Gesamtmasse und de Lage des Schwerpunkts darstellen lässt. 4 / 14

7 Ferenkurs Theoretsche Physk Der Träghestensor Allgemene Egenschaften In Matrxform hat der Träghetstensor folgende Gestalt: y + z xy xz Î = (I αβ ) = ρ( r ) d 3 r yx x + z yz. zx zy x + y Man nennt de Dagonalelemente des Träghetstensors Träghetsmomente und de restlchen Elemente Devatonsmomente. Dese bewrken be Rotaton durch Flehkräfte en Drehmoment normal zur Drehachse. Î st symmetrsch, d.h. I αβ = I βα bzw. Î = ÎT. Der Träghetstensor hat also nsgesamt nur 6 unabhängge Komponenten. Î st addtv, d.h. wenn en starrer Körper aus mehreren verschedenartgen Körpern zusammengesetzt st, adderen sch de Träghetstensoren der enzelnen Bestandtele. Î lässt sch (we jede reelle symmetrsche Matrx) dagonalseren Hauptachsentransformaton We aus der lnearen Algebra bekannt sen sollte, lässt sch jede reelle symmetrsche Matrx n Dagonalform brngen. Mathematsch entsprcht des enem Basswechsel mt Hlfe ener geegneten orthogonalen Transformatonsmatrx ˆT : Î = ˆT T Î ˆT. Physkalsch bedeutet des enen Wechsel vom körperfesten System K n en gedrehtes System K, n dem de Außerdagonalelemente des Träghetstensors verschwnden. De geegnete Transformatonsmatrx ˆT lässt sch durch Lösung des Egenwertproblems Î v = λ v fnden. De Transformatonsmatrx ˆT enthält dann als Spaltenvektoren de Egenvektoren v zu den jewelgen Egenwerten λ. De Egenwerte ergeben sch als Lösung des charakterstschen Polynoms det(î λê) = 0 mt der Enhetsmatrx Ê und stellen de sog. Hauptträghetsmomente I dar. De zugehörgen Egenvektoren ergeben sch als Lösung von (Î λ Ê) v = 0 5 / 14

8 Ferenkurs Theoretsche Physk und geben de Rchtung der sog. Hauptträghetsachsen an. Nach der Hauptachsentransformaton st de Rotatonsenerge als T rot = 1 3 =1 I ω darstellbar. Bestzt en Körper ene Symmetreachse bzgl. Rotaton, so st dese Achse ene Hauptträghetsachse. De beden anderen legen dann n ener Ebene senkrecht dazu und snd glech. Fällt de Symmetreachse mt ener Koordnatenachse zusammen, so st der Träghetstensor dagonal Satz von Stener Es stellt sch nun natürlch de Frage, welchen Wert das Träghetsmoment bzgl. ener ncht durch den Schwerpunkt gehenden Achse hat. Wr betrachten dazu en um den konstanten Vektor a verschobenes System K mt r = r a. Dann folgt I αβ = m [ ( r a ) δ αβ (x,α a α )(x,β a β ) ] = [( m r r a + a ) δ αβ (x,α x,β x,α a β x,β a α + a α a β ) ] = [ ] [ ] m r δ αβ x,α x,β + m a δ αβ a α a β δ αβ a m r +a β m x,α +a α m x,β = } {{ } =0 } {{ } =0 } {{ } =0 m [ r δ αβ x,α x,β ] + M [ a δ αβ a α a β ]. Her haben wr erneut de Defnton des Schwerpunkts m r = 0 = m x j, ausgenutzt. Somt folgt der Satz von Stener: I αβ = I αβ + M [ a δ αβ a α a β ]. (7) Zur Bestmmung der Bewegungsglechung enes starren Körpers geht man also we folgt vor: 1. Wahl der geegneten Inertalkoordnaten.. Berechnung des Träghetstensors bzw. der relevanten Träghetsmomente. 3. Aufstellen der Lagrange-Funkton und der Euler-Lagrange-Glechung (be velen Aufgabenstellungen handelt es sch um rollende Körper und n der knetschen Energe st de Rollbedngung v = rω zu verwenden). 4. Falls verlangt, Bewegungsglechungen lösen. 6 / 14

9 Ferenkurs Theoretsche Physk Drehmpuls des starren Körpers Analog zur knetschen Energe bestmmt man den Drehmpuls des starren Körpers m raumfesten System R: L = R P = m R R = m ( R 0 + r ) ( V + ω r ) = m R0 V + m R0 ( ω r ) + m r V + = ( R 0 V ) m + ( R 0 ω ) m r V m r + =0 =0 = M( R 0 V ) + m [ ω( r r ) r ( r ω )]. = L SP L rot m r ( ω r ) m r ( ω r ) Her haben wr erneut de Defnton des Schwerpunkts m r = 0 und desweteren de Graßmann-Identtät a ( b c ) = b( a c ) c( a b ) verwendet. Dass es sch bem zweten Term um ene Rotaton des starren Körpers bzgl. senes Schwerpunkts handelt, erkennt man n komponentenweser Darstellung: ( ) Lrot = [ ] m r ω ( r ω ) r = ( ) ] m α α [r ω α x,β ω β x,α β = [ ] m r ω α δ αβ x,α x,β ω β = [ ] m r δ αβ x,α x,β ω β β β =I αβ = ) I αβ ω β = (Î ω. α β Der allgemene Drehmpuls enes starren Körpers setzt sch also aus zwe Antelen zusammen: L SP st der Drehmpuls des Schwerpunkts des starren Körpers bzgl. des Ursprungs des raumfesten Systems R und hängt offenschtlch von der Wahl von R ab. L rot st der Egendrehmpuls des starren Körpers bzgl. senes egenen Schwerpunkts (dem Ursprung des körperfesten Systems K) und lässt sch analog zur knetschen Energe mt dem Träghetstensor ausdrücken. Wr erhalten also nsgesamt mt P 0 = M V L = R 0 P 0 + Î ω. (8) 7 / 14

10 Ferenkurs Theoretsche Physk Hamlton-Formalsmus.1 Motvaton Bsher haben wr en System mt s unabhänggen Frehetsgraden, dargestellt durch de generalserten Koordnaten q = {q 1,..., q s } und de generalserten Geschwndgketen q = { q 1,..., q s }, betrachtet. Deses System kann durch de Lagrange-Glechungen. Art beschreben werden. Dabe handelte es sch um s DGLn zweter Ordnung. Zel st es nun, stattdessen s DGLn erster Ordnung zur Beschrebung des Systems aufzustellen, denn es erwest sch mest als lechter, mehr DGLn erster Ordnung zu lösen, statt wenger höherer Ordnung.. Hamlton-Funkton Zunächst grefen wr de gestern defnerten generalserten kanonschen Impulse p = L q, ṗ = L q (9) auf, welche nur be enem geschwndgketsunabhänggem Potental mt den knematschen Impulsen überenstmmen. De Hamlton-Funkton st nun defnert va H( q, p; t) := q L q L( q, q; t) = q p L( q, q; t) = p q L, (10) was ene Legendre-Transformaton L{f(x)} := x f x f(x) der Lagrange-Funkton bzgl. q darstellt. Dabe st besonders zu beachten, dass de Hamlton-Funkton kene Geschwndgketen enthalten darf. De konjugerten Impulse müssen nach den generalserten Geschwndgketen explzt aufgelöst werden und dese dann n de Defnton der Hamlton-Funkton und n de Lagrange-Funkton engesetzt werden..3 Phasenraum Wr haben jetzt en System n enem (p, q)-raum zu beschreben, welcher Phasenraum genannt wrd und s Dmensonen bestzt. Deser Phasenraum enthält de Menge aller physkalschen Zustände de en dynamsches System ennehmen kann. En Zustand 8 / 14

11 Ferenkurs Theoretsche Physk wrd beschreben durch de Kombnaton der Werte sämtlcher Varablen des Systems zu ener bestmmten Zet, her durch Ort und Impuls enes Telchens, und entsprcht enem endeutg bestmmten Punkt m Phasenraum. De Menge aller möglchen Zustände de en System ennehmen kann wrd durch Trajektore m Phasenraum dargestellt. De Lagrange-Funkton wurde m Ortsraum über de Euler-Lagrange-Glechungen gelöst. Wr müssen nun herausfnden we de Analoge m Phasenraum der Hamlton-Mechank ausseht. Mathematca Applet: Kanonsche Glechungen Um de Gestalt der Bewegungsglechungen m Phasenraum zu bestmmen, betrachten wr das totale Dfferental der Defnton der Hamlton-Funkton : dh = = = d( q p ) dl( q, q; t) ( ( q p ) p = q dp + ( q p ) q =p ( q dp ṗ dq ) L t dt. d q L q =ṗ dq L q =p d q ) L t dt Anderersets glt aber auch, da H ene Funkton von q, p und t st, dh = ( H dp + H ) dq + H p q t dt. Durch enen Koeffzentenverglech der beden totalen Dfferentale erkennen wr de sog. kanonschen Glechungen q = H p ṗ = H H t q = L t (11a) (11b) (11c) Aus der zweten Glechung erkennt man auch sofort, dass der Satz über zyklsche Koordnaten analog n der Hamlton-Mechank glt. Wenn de Hamlton-Funkton ncht explzt von q abhängt, st der dazugehörge konjugert kanonsche Impuls p ene Erhaltungsgröße und de Koordnate q wrd zyklsch genannt. 9 / 14

12 Ferenkurs Theoretsche Physk De kanonschen Glechungen legen de DGLn der Bewegung fest. Zunächst müssen also s DGLn erster Ordnung gelöst werden, um darauf de Impulse n de generalserten Koordnaten enzusetzen. Erst dann st das Problem m Ortsraum gelöst. De kanonschen Glechungen snd völlg äquvalent zu den Euler-Lagrange-Glechungen (wr haben dese auch explzt be der Berechnung des totalen Dfferentals ausgenutzt). De Varablen p und q snd her aufgrund der Symmetre völlg glechberechtgt und haben n erweterten Transformatonen der Koordnaten ncht mehr vel mt den ursprünglchen Koordnaten zu tun und können nsbesondere der Energe oder anderen physkalschen Observablen entsprechen (vgl. Hamlton-Jacob-Theore). Es se noch erwähnt, dass de Lagrange-Funkton de Legendre-Transformaton der Hamlton-Funkton nach p st, wobe be der Rücktransformaton natürlch der kanonsche Impuls weder durch de generalserten Geschwndgketen ausgedrückt werden muss. L( q, q; t) = p H p H( q, p; t) = q p H( q, p; t) = p q H. (1).5 Energe-Erhaltungssatz Für enge Fälle kann de Hamlton-Funkton ene besonders enfache Gestalte annehmen und wr können uns de umständlch Umrechnere über de Lagrange-Funkton sparen. Für skleronome (zetunabhängge) Zwangsbedngungen und en geschwndgketsunabhängges Potental glt H = T + U = E. (13) De Hamlton-Funkton st n desem Fall de Gesamtenerge, ausgedrückt n q, p und t. De Berechnung fällt dann m Wesentlchen darauf zurück de knetsche Energe durch Impulse statt Geschwndgketen auszudrücken. Wr betrachten nun de totale Zetabletung der Hamlton-Funkton unter Berückschtgung der kanonschen Glechungen: dh dt = = ( H q + H ) ṗ + H q p t ( H H H ) H + H q p p q t = H t = L t Wr sehen, dass de Hamlton-Funkton genau dann ene Erhaltungsgröße st, wenn H und L ncht explzt von der Zet abhängen. D.h., dass de Energe wenn H = E glt, genau dann ene Erhaltungsgröße st, wenn de Hamlton-Funkton ncht explzt von 10 / 14

13 Ferenkurs Theoretsche Physk der Zet abhängg st. Allerdngs snd de Identfzerung von H als Energe und als Erhaltungsgröße zwe unterschedlche Dnge und hängen ncht zusammen:.6 Posson-Klammern H t = 0 H = E. Ene Funkton f( q, p; t) auf dem Phasenraum nennen wr Observable. Wollen wr wssen we sch dese Funkton m Laufe der Zet entwckelt, betet es sch an de totale Zetabletung deser Funkton zu blden: df dt = = ( f q + f ) ṗ + f q p t ( f H f ) H + f q p p q t Dabe haben wr de kanonschen Glechungen verwendet. Mt der für zwe Observablen (H st ene Observable) defnerten Posson-Klammer {f, g} q,p = ( f g f ) g q p p q (14) wrd de totale Zetabletung von f um enges enfacher: df dt = {f, H} + f t. De Indzes an der Posson-Klammer werden mest ncht mtgeschreben, da gewöhnlch klar st, nach was abgeletet wrd. De obge Glechung verdeutlcht, dass de zetlche Abletung ener Observablen von der Hamlton-Funkton gesteuert wrd. Erhaltungssätze können wr jetzt durch de Posson-Klammern ausdrücken. Ene Observable st genau dann erhalten, wenn: {f, H} + f t = 0. Wchtge Egenschaften der Posson-Klammern snd (f, g und h snd Observablen): Antsymmetre: {f, g} = {g, f} Lneartät: {λf + g, h} = λ{f, h} + {g, h} Produktregel: {f, gh} = {f, g}h + g{f, h} (15a) (15b) (15c) 11 / 14

14 Ferenkurs Theoretsche Physk Wchtge Posson-Klammern snd: fundamentale Posson-Klammern: {f, f} = {q, q j } = {p, p j } = 0 (16a) {q, p j } = δ j (16b) kanonsche Glechungen: q = {q, H}, ṗ = {p, H} (16c) In Aufgaben genügt es mestens de oberen Egenschaften anzuwenden ohne gar de Klammer explzt ausrechnen zu müssen. Zur Bestmmung der Hamlton-Funkton und der kanonschen Glechungen enes Systems geht man also we folgt vor: 1. Aufstellen der Lagrange-Funkton.. Berechnung der kanonsch konjugerten Impulse p. 3. Impulse nach den generalserten Geschwndgketen q auflösen. 4. De Hamlton-Funkton aufstellen und q elmneren: H( q, p; t) = q ( q, p; t)p L( q, q ( q, p; t); t). In velen Fällen recht aber enfach nur: H( q, p; t) = T ( q, p; t) + U( q, p; t) 5. Kanonsche Glechungen aufstellen (z.b. durch Posson-Klammern). 6. Falls verlangt, Bewegungsglechungen aufstellen und ggf. lösen..7 Bespel: Endmensonaler harmonscher Oszllator 1. De knetsche Energe st durch T = 1 mẋ, de potentelle Energe durch U = 1 kx gegeben. Damt lautet de Lagrange-Funkton L = T U = 1 mẋ 1 kx.. Der kanonsche konjugerte Impuls lautet p x = L ẋ = mẋ und stmmt her natürlch mt dem knematschen Impuls überen. 1 / 14

15 Ferenkurs Theoretsche Physk De generalserte Geschwndgket und de Lagrange-Funkton lauten ausgedrückt durch den kanonsch konjugerten Impuls ẋ = p x m, L = p x m 1 kx. 4. Für de Hamlton-Funkton glt nun H(x, p x ; t) = p x ẋ L = p x p x m p x m + 1 kx = p x m + kx = T + U = E we schon zu erwarten war. 5. De kanonschen Glechungen ergeben: ẋ = H p x = p x m und ṗ x = H x = kx. Das selbe Resultat erhalten wr auch mt den Posson-Klammern: ẋ = { } {x, H} = x, p x m + kx = 1 m {x, p x} + k {x, x } =0 = 1 ( ) p x {x, px } p m x + p x {x, p x } = m ṗ x = =1 =1 { } {p x, H} = p x, p x m + kx = 1 m {p x, p }{{ x} + k } {p x, x } = k ( ) {px, x} x + x {p x, x} = kx = 1 = 1 6. Aus den kanonschen Glechungen folgt nun natürlch de Bewegungsglechung m Ortsraum ẍ = ṗx m = kx = mẍ + kx = 0. m 7. Zum Abschluss zechnen wr noch das Phasenraumportrat des endmensonalen harmonschen Oszllators: Aus der Hamlton-Funkton folgt =0 p x m + kx = E = const. = p x + x p 0 x 0 wobe p 0 = me und x 0 = E/(mω ) mt ω = k/m. Des st de mplzte Glechung ener Ellpse mt den Halbachsen p 0 und x 0. = 1 13 / 14

16 Ferenkurs Theoretsche Physk p x E E 1 E > E 1 p 0 x 0 x Abb. : Phasenportrat des endmensonalen harmonschen Oszllators 14 / 14