Zur Erinnerung: System von Massenpunkten. dt i dt. 1 dt. Massenschwerpunkt

Transkript

1 Massenschwerunkt r Zur rnnerung: yste on Massenunkten r dr dt r t M, M dr P dt M M M F dp d dt d M dt dt Ma chwerunktsyste Der chwerunkt enes ystes aus Massenunkten bewegt sch so, als ob er en Körer t der Masse M wäre, auf den de äußere Kraft F wrkt. r d 0 r 0 dt De ue der Iulse chwerunktsyste (P) st Null erentalhysk I 00 9-

2 yste on Massenunkten Drehoent Glechgewcht Äußere Kräfte D r g r F r F D De ue der Drehoente (ausgehend on allen Masse-leenten) st glech de Drehoent be Verengung der Gesatasse chwerunkt ue der Drehoente bezogen auf den chwerunkt st Null. d D Σ dt Innere Kräfte tragen ncht zu Drehoent be. r F r F LΣ, LΣ r r De zetlche Änderung des Gesatdrehulses bezogen auf enen belebgen Punkt, st glech de Gesatdrehoent aller Kräfte. erentalhysk I 00 9-

3 Reduzerte Masse Glechgewchtsbedngung: Voraussetzungen: äußere Kräfte 0 F 0 d dt F, d dt F, F F d dt µ ( ) F d dt Relatgeschwndgket Reduzerte Masse µ Bewegungsglechung der Relatbewegung: F µ dt d erentalhysk I

4 Drehuls enes Telchensystes P L L Σ Σ ( r ) ( r ) M L P L P O (Herletung s. Detröder bzw. Übungen) Gesatdrehuls L Σ läßt sch darstellen als ue der Drehulse L,P der enzelnen Telchen bezogen auf den chwerunkt PLU Drehuls L P-O der chwerunkt erengten Gesatasse bezogen auf den Koordnaten-Ursrung (Bezugsunkt). -Telchen-yste: L P L r P r r ( r r ) µ r µ r erentalhysk I

5 Knetsche Gesatenerge yste on Massenunkten M M chwerunkt M Knetsche Gesatenerge: De etsche Gesatenerge lässt sch auftelen n de etsche nerge der Bewegung P und der Translatonsenerge des Gesatsystes: µ s. atheat. rgänzung µ M erentalhysk I

6 toßrozesse toßrozesse zwschen zwe Telchen: Ohne nwrkung äußerer Kräfte chlussfolgerungen aus rhaltung der Gesatenerge (be elastschen tößen) und rhaltung des Gesatulses toßrozesse snd onden für Kräfte, nsbesondere n der Mkro-Physk (Kräfte zwschen Atoen) Verlauf der Bahn Wechselwrkungsgebet her ncht untersucht Grundlage: () rhaltung der Gesat-nerge:,,,, () rhaltung des Gesat-Iulses erentalhysk I

7 Klassfzerung on tößen,,,, Q wobe Q den Austausch on nerge (n anderer For als etsche nerge) zwschen den Telchen angbt. lastsche töße: Unelastsche töße: uer-elastsche töße: Q 0 elastsche töße de ue der nneren nerge der Telchen (chwngung und Rotaton) blebt unerändert, Bs: H ( n,h ) Cl ( n,cl ) toß H ( n, H ) Cl ( n, Cl ) Q > 0 unelastsche töße etsche nerge wrd n nnere nerge der Telchen (oder Rebungswäre) ugewandelt H ( n,h ) Cl ( n,cl ) H ( n, H ) Cl ( n, Cl ) t, z.b.: n,cl < n, Cl Q < 0 suer-elastsche töße nnere nerge der Telchen wrd n etsche nerge ugewandelt H ( n,h ) Cl ( n,cl ) H ( n, H ) Cl ( n, Cl ) t, z.b.: n,cl > n, Cl erentalhysk I

8 Bestung on Iuls und nerge Ausgangsunkt: Gesucht: Gesatdrehuls: 4 Glechungen,, or de toß y z, 6 Größen (??), nach de toß (,, ), (, ) y z y, z ( r ) ( r ) M ( r ) LΣ LP LP O M rhaltung der chwerunktsbewegung kene neue Inforaton Aber: Drehuls P st konstant ( r r ) ( r r ) µ ) ) ( r r ) ( r r ),,, L µ P bene senkrecht zu L P P O LP-O const. legen n ener toß erläuft n ener bene ( 4 Unbekannte übrg) L erentalhysk I

9 erentalhysk I Zentraler toß Iuls: nerge: Geschwndgketen nach de toß: Relatgeschwndgket: Vektoren und snd kollnear! Gesucht werden nur noch zwe Größen:, 0,,

10 Zentraler toß 0 nergeübertrag: Zentraler toß: Ncht-zentraler toß: Von Masse auf Masse (anfangs ruhend) übertragene nerge: a 4 ( ) < a 4 a ( ) ( ) µ 4 M µ 4 M nergeaustausch zwschen und. erentalhysk I

11 Zentraler toß Gleche Massen: 0 Vor de toß: Nach de toß (für ):, 0, ges 0 0,, Waru ncht??? Dann wäre:, Gesatuls or und nach de toß, ( ) Gesatuls ncht erhalten erentalhysk I 00 9-

12 Zentraler toß Zusaenfassung: erentalhysk I 00 9-

13 lastscher toß t ener Wand Feste Wand: " ", << Geschwndgketen: nergen: Iulse:, 0, a 4 ( ) wegen ( ) 0 0 Ken nergeübertrag an de Wand! wrd De Wand nt den doelten Iuls der auftreffenden Masse auf. Iulsübertrag an de Wand! nergeübertrag?? elastsche Refleon erentalhysk I

14 Iuls- und nergeübertrag: lastscher toß t ener Wand Feste Wand: 0 0 endlch, ( α ) Wand nt kene nerge auf, aber Wand nt Iuls auf. α, α,, 0 Ken nergeübertrag: ( α) ( α) 0 α α für α α Iulsübertrag: Aber: α α α erentalhysk I

15 nergeübertrag und Massenerhältns Massenerhältns / : 4 µ M a ruht or de toß: erentalhysk I

16 erentalhysk I Unelastsche töße Voll unelastsche töße: Iulssatz: nergesatz: toß t zusätzlchen Nebenbedngungen (z.b.: Wagen kleben zusaen, geensae Geschwndgket nach de toß) ) ( µ µ ) ( ) ( Q,,,, t Q Deforatonsarbet und Wäre

17 Unelastsche töße Voll unelastsche töße: Verglech zu elastschen toß: Für Für < wrd wrd Für wrd Wegen der rhaltung der Gesatenerge folgt: µ M, µ < ue der etschen nergen bleben ncht erhalten (en Tel geht n Deforatonsenerge über) rhaltungssatz nerge wrd odfzert rhaltungssatz Iuls blebt unerändert Gesatuls ( Iuls des chwerunktes) blebt erhalten (kene äußeren Kräfte) erentalhysk I

18 Voll unelastsche töße: Unelastsche töße µ M, µ Be ene oll unelastschen toß wrd de etsche nerge der Relatbewegung n Anregungsenerge (Deforaton, Wäre) ugewandelt. De etsche nerge der chwerunktbewegung blebt als etsche nerge der toßartner erhalten., Besel: erentalhysk I

19 erentalhysk I Unelastsche töße Iulserhaltung: M M 0 P Vor de toß: Nach de toß: M M Iuls des chwerunkts:

20 töße und rhaltungssätze Zusaenfassung: Iulserhaltung: ges ges Drehulserhaltung:,,, legen alle n ener bene nergeerhaltung: Bestung des Betrages on und erentalhysk I

21 erentalhysk I Zwedensonale elastsche töße Ncht-zentrale töße: Koordnatensyste: onderfall : 0 a) I Labor erankert oder b) chwerunktsyste 0 s glt: ( ) y y P P und ( ) ( ) y y Rechnung ( ) ( ) y µ µ Glechung für Kres ( ), R R y M M µ

22 Zwedensonale ncht-zentrale töße tze des Vektors legt auf ene Kres ( µ ) y ( µ ) Radus: Mttelunkt: R µ M ( µ,0), µ erentalhysk I 00 9-

23 Zwedensonale ncht-zentrale töße Maaler Ablenkwnkel: snθ,a µ µ ( µ ) ( µ ) < Ma. Ablenkwnkel Tangente an den Kres t R µ erentalhysk I

24 Zwedensonale ncht-zentrale töße ezalfall glecher Massen: nchtzentraler elastscher toß zweer glechgroßer Massen: Iulse stehen nach de toß senkrecht aufenander R µ µ erentalhysk I

25 Zwedensonale ncht-zentrale töße tre ungleche Massen: << R µ µ treuwnkel kann alle Werte zwschen 0 (orwärts) und 80 (rückwärts) annehen. erentalhysk I

26 Zwedensonale ncht-zentrale töße Glechung für Kres ( M ) y R t M R µ R µ < y Mt Wahl der Rchtung on snd alle anderen Größen durch nerge- und Iulssatz festgelegt Θ Θ R µ erentalhysk I

27 Zwedensonale ncht-zentrale töße Glechung für Kres ( M ) y R t M R µ R µ < y Θ Θ,a R µ snθ,a µ µ ( µ ) ( µ ) erentalhysk I

28 Zwedensonale elastsche töße Glechung für Kres ( M ) y R t M R µ R µ < y R µ Θ Θ erentalhysk I

29 Zwedensonale ncht-zentrale töße ezalfall: µ ½ ( M ) y R t M R µ ½ y er:!! 90 o R µ, her, her: > erentalhysk I

30 Zwedensonale ncht-zentrale töße ezalfall: <<< µ ( M ) y R t M R µ y treu-rchtung ( ) bezogen auf setwärts treuung orwärts treuung R µ, >>>, rückwärts treuung erentalhysk I

31 Zwedensonale ncht-zentrale töße Wnkelertelung be toßrozessen: toßaraeter b Iulsübertrag während des Vorbefluges d dt F ( t) - F ( t) dt F ( r) gradv ( r), r r( t) Gesucht θ (b) be bekannte V (r) Kraft st en Maß für das Wechselwrkungsotental zwschen A und B erentalhysk I

32 Zwedensonale ncht-zentrale töße chwerunktsyste: Knetsche nerge P: Für 0 und 0 st es günstger chwerunktsyste zu rechnen: 0, Aus de nergesatz folgt:,, Verwendung der reduzerten Masse:,, Q µ µ Q 0, Q,,,, µ, I P behält jeder toßartner be elastschen toß sene etsche nerge erentalhysk I

33 Zwedensonale ncht-zentrale töße lastscher toß chwerunktsyste: Relatstsche töße: I Detröder nachlesen (. ff.), Übungen, rgänzungen, erentalhysk I