Aufgabe 1: Portfolio Selection

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1 Aufgabe 1: Portfolo Selecton En Investor mt ener Präferenzfunkton der Form (, ) a verfügt über en 2 Anfangsvermögen n Höhe von 100 Slbermünzen. Am Markt werden de folgenden dre Wertpapere gehandelt, n de er sen Vermögen nvesteren kann: p e WP WP WP Es glt folgende Notaton: p = Kurs der Akte zum Zetpunkt t = 0 e ~ = stochastscher Kurs der Akte zum Zetpunkt t = 1 e Ee~ cov e ~, ~ = Kovaranzmatrx mt den Elementen Da sch de Lösung der folgenden Telaufgaben durch de Anwendung der Vektor- und Matrzenrechnung erheblch verenfacht, wrd nachstehend de nverse Kovaranzmatrx -1 angegeben: Gehen Se davon aus, dass Wertpapere belebg telbar und Leerverkäufe zulässg snd. e j 1 Der Rskoaversonsparameter a des Investors beträgt a =. 250 a) Welche Anlageentschedung wrd der Investor unter den bsher genannten Voraussetzungen treffen? Ermtteln Se den Erwartungswert und de Varanz des optmalen Portfolos sowe de dazugehörgen Wertpaperstückzahlen! (16 Punkte) b) Lösen Se das Entschedungsproblem des Investors unter der zusätzlchen Voraussetzung, dass dem Investor am Kaptalmarkt en rskofreen Zerobond zur Verfügung steht, der sch über de Planungsperode des Investors mt 0% verznst. Berechnen Se den Erwartungswert und de Varanz des optmalen Portfolos sowe de dazugehörgen Wertpaperstückzahlen! Geben Se außerdem de Höhe der Inanspruchnahme des Kaptalmarkts an! (8 Punkte)

2 c) Gehen Se nun von enem gespaltenen Kaptalmarkt mt dfferenzerten Znssätzen für schere Geldanlagen n Höhe von Haben = 0% und für schere Kredte n Höhe von Soll = 10% aus! Bestmmen Se den effzenten Rand unter Rückgrff auf de bshergen Ergebnsse. Auf welchem Abschntt des effzenten Randes legt jetzt das Investtonsoptmum? Geben Se den Erwartungswert, de Varanz sowe de Wertpaperstückzahlen des optmalen Portfolos des Investors an! In welchem Umfang nmmt der Investor den Kaptalmarkt n Anspruch? Beschreben Se de Struktur des optmalen Portfolos kurz verbal! Hnwes: Bestmmen Se zunächst de Koordnaten der beden Tangentalportfolos für Haben und Soll. Geben Se de Defntonsbereche der verschedenen Abschntte des effzenten Randes an und prüfen Se dann, für welchen Abschntt des effzenten Randes sch ene m Defntonsberech legende Lösung für das optmale Portfolo des Investors ergbt. Berückschtgen Se dabe auch de Ergebnsse der vorangegangenen Telaufgaben! (14 Punkte) d) Es glt nun der gespaltene Kaptalmarkt aus Telaufgabe c). Aufgrund der Fnanzmarktkrse beschleßt de Regerung Leerverkäufe von Wertpaper 3 zu verbeten. Beschreben Se kurz verbal, we sch der effzente Rand aus Telaufgabe c) ändert. Ändert sch durch dese Maßnahme de optmale Anlagestratege des Investors? Skzzeren Se den Verlauf des effzenten Randes mt und ohne Leerverkaufsverbot von Wertpaper 3 n der glechen Graphk. Kennzechnen Se dabe alle relevanten Ergebnsse! (10 Punkte)

3 Aufgabe 2: Agency-Theore Der Investor A hat de Bernoull-Nutzenfunkton 2. st der auf hn entfallende Tel des Zahlungsüberschusses Z, den das jewelge Projekt m Umweltzustand abwrft. Es stehen zwe sch gegensetg ausschleßende Projekte (IP1 und IP2) zur Wahl, wobe bede n t = 0 ene Anfangsnvestton von 12,8 GE (Goldenheten) erfordern. Der Investor verfügt über Egenmttel von 12,8 GE. Im Zetpunkt t= 1 können 5 verschedene Umweltzustände entreten. Jedem deser Umweltzustände st ene für alle betelgten Akteure gültge Entrttswahrschenlchket p zugeordnet. De für de Berechnung notwendgen Daten können Se aus der folgenden Matrx entnehmen: p Z /IP Z /IP Der Znssatz am vollkommenen Kaptalmarkt beträgt 25% Tel 1: Egenfnanzerung durch den Investor a) Welches Projekt west den höheren Erwartungswert auf und für welches Projekt wrd sch der Investor entscheden? (6 Punkte) Tel 2: Mtfnanzerung durch externen Kaptalgeber Für de Mtfnanzerung enes Projektes steht en externer Kaptalgeber zur Verfügung. De Verhandlungsstuaton be Fnanzerungsverträgen st dergestalt, dass dem externen Kaptalgeber aus Wettbewerbsgründen ncht mehr als das Nutzennveau zugestanden werden muss, das er be scherer Anlage sener Mttel am Kaptalmarkt errecht. Sen Anfangsvermögen beträgt ebenfalls 12,80 GE. b) Welcher optmale Fnanzerungsvertrag könnte geschlossen werden, wenn der externe Kaptalgeber rskoneutral st und unbeschränkt haftet? Begründung! Welches Nutzennveau kann der Investor dadurch errechen und st deses abhängg von der Höhe des Anfangsvermögens des externen Kaptalgebers? Begründung! Welche Rolle spelt de unbeschränkte Haftung des Kaptalgebers für den oben skzerten Fnanzerungsvertrag? Beschreben und begründen Se verbal, we de Zahlungsüberschüsse vertelt werden, wenn kene unbeschränkte Haftung gegeben st? (8 Punkte) c) Der externe Kaptalgeber P se nun ebenfalls rskoavers mt der Rskonutzenfunkton We seht der optmale Fnanzerungsvertrag aus, wenn der Investor mt dem externen Kaptalgeber kooperert? Welches Projekt wrd gewählt und welchen Nutzen kann der Investor damt errechen? Begründen Se kurz, warum deses Projekt gewählt wrd unter Bezugnahme auf de Ergebnsse aus den

4 Telaufgaben a) und b). Warum kann sch der Investor m Verglech zu Telaufgabe b) ncht verbessern? (14 Punkte) d) De Stuaton blebt weterhn we n c). Allerdngs st de Rskonutzenfunkton des externen Kaptalgebers jetzt we folgt defnert: / Für den Investor glt nach we vor: 2 Welcher (zunächst noch vom Lagrangemultplkator λ abhängge) funktonale Zusammenhang besteht zwschen Z P und Z ( Prämenfunkton ), wenn de Parteen ene optmale Rskoallokaton realseren wollen? Kann sch der Investor m Verglech zu Telaufgabe c) verbessern, falls de Projektwahl beobachtbar st und das rskantere Projekt 2 gewählt wrd? Welches Nutzennveau kann er dann bestenfalls errechen? We werden de Zahlungsüberschüsse n den enzelnen Umweltzuständen auf den Investor und den externen Kaptalgeber vertelt, wenn der optmale Fnanzerungsvertrag gewählt wrd? Prüfen Se, ob der Investor enen Anrez hat vom verenbarten Projekt abzuwechen? Beschreben Se unabhängg von der obgen Prüfung verbal, we sch der Prnzpal vor enem solchen Verhalten schützen würde und wer de Agency-Kosten zu tragen hat. (20 Punkte) Hnwes: Nach Ensetzen der Prämenfunkton n de Wettbewerbsnebenbedngung ergbt sch ene Glechung für den Lagrangemultplkator, de ncht auf analytschem Wege gelöst werden kann. Führen Se deshalb enen Iteratonsschrtt durch und verwenden Se folgende Iteratonsgrenzen: = 0,36 bzw. = 0,37.

5 Aufgabe 3: Verständnsfragen a) Es exsteren rskolose Zero-Bonds mt ener Restlaufzet von exakt 1, 2, 3 und 4 Jahren. De Kurse legen be 95%, 90%, 85% und 80% des jewelgen Rückzahlungsbetrags. (1) Berechnen Se de jewelgen annualserten Rendten und skzzeren Se anhand der von Ihnen errechneten Rendten de Zero-Bond-Znsstrukturkurve m Laufzetberech zwschen 1 und 4 Jahren. Tragen Se jewels de Zahlenwerte en, de sch für volle Jahre ergeben! (2) We hoch snd de mplzten Termnznsen für de Jahre 1 bs 4? Tragen Se de jewelgen Zahlenwerte n de Skzze aus Telaufgabe (1) en und skzzeren Se den Verlauf der mplzten Termnznsstrukturkurve! (3) We hoch muss jewels der Kupon für Kupon-Anlehen mt ener Laufzet von 1, 2, 3 und 4 Jahren sen, de jewels zu par noteren, wenn der Kaptalmarkt arbtragefre st und für Zero-Bonds de Daten aus Telaufgabe (1) gelten? Tragen Se analog zur Vorgehenswese n den Telaufgaben (1) und (2) auch den Verlauf der Kupon-Znsstrukturkurve n de Skzze en! (4) Unterstellen Se, de mplzte Termnznsstrukturkurve verlaufe jensets von 4 Jahren flach! We hoch st der Basszns, d.h. de Verznsung ener (fktven oder möglcherwese auch tatsächlch exsterenden) Kuponanlehe mt unendlcher Laufzet? Hnwes zu (3) und (4): Ermtteln Se, für welchen Kupon sch be den gegebenen Zero-Bond- Kursen bzw. mplzten Termnznssätzen en Barwert der Zns- und Tlgungszahlungen von 100% ergbt. b) Gehen Se davon aus, dass nur Kuponanlehen mt ener Laufzet von bs zu 30 Jahren exsteren. Welche emprschen Untersuchungen würden Se durchführen, um zu überprüfen, ob es gerechtfertgt st, den Basszns (d.h. de Verznsung ener (n desem Fall nur) fktven Kuponanlehe mt unendlcher Restlaufzet) auf der Grundlage der Annahme zu ermtteln, de mplzte Termnznsstrukturkurve verlaufe jensets von 30 Jahren Laufzet flach? (6 Punkte) c) Warum st be der Ermttlung des Bassznses auf (gegebenenfalls nur fktve) Kuponanlehen mt unendlcher Restlaufzet abzustellen? (2 Punkte)