Mathematik der Lebensversicherung ( Spezialwissen ) Klausur vom

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1 DEUTSCHE AKTUARVEREINIGUNG e.v. Mathematk der Lebensverscherung ( Spezalwssen ) Klausur vom De Klausur besteht aus 3 Aufgaben, de mt nsgesamt 80 Punkten bewertet werden. Um dese maxmale Punktzahl errechen zu können, müssen alle Aufgaben bearbetet werden. Zum Bestehen der Klausur snd mndestens 7 Punkte erforderlch. Btte bearbeten Se jede Aufgabe auf enem neuen Blatt. Zugelassenes Hlfsmttel: Taschenrechner Wr wünschen Ihnen vel Erfolg!

2 Aufgabe (60 Punkte) Im Laufe der Jahre hat der Verantwortlche Aktuar enes Lebensverscherungsunternehmens unterschedlchste Anfragen zur Rückdeckung von Invaldtätslestungen aus Versorgungszusagen erhalten. a) Skzzeren Se zunächst enge der Probleme, de grundsätzlch auftreten können, wenn en Berufsunfähgketstarf des Verscherers für de Rückdeckung verwendet werden soll. Insbesondere snd n der Vergangenhet folgende Varanten der Abdeckung des Berufsunfähgketsrskos angefragt worden (gehen Se btte der Enfachhet halber von selbstständgen Berufsunfähgketsverscherungen aus und setzen Se das Entrttsalter glech x, Verscherungsdauer = Betragszahlungsdauer = 65 x): A) jährlche Berufsunfähgketsrente der Höhe R, zahlbar bs zum Alter 65, längstens bs zum Tod oder bs zur Reaktverung B) jährlche Berufsunfähgketsrente der Höhe R, lebenslänglch zahlbar, sofern kene Reaktverung entrtt C) we B); zusätzlch wrd be Tod des Invalden das vorhandene Deckungskaptal fällg (gedanklch zur Fnanzerung ener Hnterblebenenrente); be Tod des Aktven wrd kene Lestung gezahlt. Beantworten Se btte dazu de nachfolgenden weteren Fragen: b) Geben Se n den Fällen A) bs C) de benötgten und gegebenenfalls üblchen bometrschen Rechnungsgrundlagen an und konstrueren Se de zugehörgen Ausschedeordnungen. c) We lautet jewels de Formel für den Nettoenmalbetrag unter Verwendung von Kommutatonswerten? d) We lautet jewels de Formel für den laufenden Jahresnettobetrag, der von den Aktven bs zum Entrtt des Verscherungsfalls, längstens bs zum Alter 65 zu zahlen st?

3 Aufgabe (60 Punkte) Kaptalserungsprodukt und egene Gewnnabrechnung De Fähgket der deutschen Lebensverscherer, stable Erträge n angemessener Höhe durch ene betont scher ausgerchtete Kaptalanlage zu erzelen, hat n der Fnanzmarktkrse ene stark erhöhte Wertschätzung erfahren. Aus desem Grund sollen Se als Aktuar für enen deutschen Lebensverscherer en Sparprodukt gegen Enmalbetrag als Kaptalserungsprodukt entwckeln, das mt Ausnahme des ncht vorhandenen bometrschen Rskos nach Art der konventonellen Lebensverscherungsprodukte kalkulert st. Das Produkt soll für jedes Jahr der Vertragslaufzet n enen jährlchen Rechnungszns garanteren, also nsbesondere ene garanterte Summe be Vertragsende n entsprechender Höhe zusagen, be Tod das vorhandene Guthaben auszahlen, also ken rskertes Kaptal vorsehen, Pr ovson ene enmalge Vermttlungsprovson von α = 3,8% der Bruttoenmalpräme (BEP) fnanzeren, de auf PE, PM α = 0,3% der BEP geschätzten enmalg anfallenden Entwcklungskosten für Produktentwcklung und Produktmanagement decken und enen laufenden Verwaltungskostenzuschlag von γ = 0,5% der BEP für jedes Jahr der Vertragslaufzet vorsehen. a) We hoch setzen Se de enmalgen Abschlusskosten α an? ( Punkte) Kommenteren Se kurz de rechtlche Zulässgket Ihres Ansatzes ( Punkte). b) Geben Se zu ener garanterten Summe von zum Vertragsablauf de Formeln an für de Nettoenmalpräme (NEP) ( Punkt) de Bruttoenmalpräme (BEP) (4 Punkte) We lautet de Formel für de Garantesumme nach n Jahren be ener BEP von? ( Punkte) c) Nach Rücksprache mt den Kaptalanlegern Ihres Unternehmens legen Se Ihrer Kalkulaton folgende Annahmen über de Gestalt der Znsstrukturkurve von Euro- Sttsanlehen n den nächsten Jahren zu Grunde: Im Berech von zwschen 3 Jahren 0,5% und,5% 4 5 Jahren,0% und,0% 6 7 Jahren,5% und,5% 8 0 Jahren,0% und 3,0% Über 0 Jahren,% und 3,% Marktbeobachtung und Gespräche mt dem Vertreb festgen Se n der Überzeugung, dass de zu erwartenden Vertragslaufzeten drastsch kürzer als be Lebensverscherungen ausfallen werden und häufg nur en Vertel, selten mehr als de Hälfte der ansonsten üblchen Laufzeten betragen werden. 3

4 Begründen Se auf dese Annahmen gestützt Ihre Wahl des garanterten Rechnungsznses. Geben Se enen konkreten Zahlenwert für den Rechnungszns an. (8 Punkte) d) We soll der Rückkaufswert des Produktes aussehen? Schlagen Se für de ersten Jahre der Vertragslaufzet ene geegnete Berechnungsmethode vor oder geben Se alternatv Stornoabschläge vom Deckungskaptal an, falls Se den Rückkaufswert auf de klasssche Wese berechnen wollen. Begründen Se Ihre Wahl kurz. (0 Punkte) En mttelständsches Unternehmen möchte Tele sener Deckungsmttel für betreblche Altersversorgung und Zetwertkonten m Scherungsvermögen Ihres Unternehmens anlegen. Zur Dskusson steht zunächst en Betrag von enmalg 5 Mo.. Se snd aufgefordert, herfür en Angebot auf Bass des o.a. Kaptalserungsprodukts abzugeben und dabe ene egene Gewnnabrechnung vorzusehen. Der Vertrag soll von ener herauf spezalserten Kollegn verwaltet und jährlch abgerechnet werden; herfür setzen Se als best estmate für Proft Test Zwecke 4 Personentage a 700 Euro an, de Se für de Gewnnabrechnung scherhetshalber auf 5 Tage a 000 Euro aufrunden. Der frmenegene Vermttler erwartet ene Provson von Euro. e) Welche Enrchtungs- und Verwaltungskosten setzen Se m Gewnnabrechnungsschema an? Begründen Se Ihre Setzung kurz. (5 Punkte) f) Welche Höhe erwarten Se für de Gewnnreserve nach der ersten Abrechnung mndestens, sofern Se en ncht negatves Zns- und sonstges Ergebns unterstellen und dem Vertragspartner 95% des Überschusses gutschreben? (0 Punkte) De Aktenquote Ihres Unternehmens beträgt 0%. Im Stress Test unterzehen Se das Aktenportfolo enem hypothetschen Wertverlust von 35%. Recht de m ersten Jahr zu erwartende Gewnnreserve aus, um de herdurch ausgelöste Kaptalanforderung m ersten Jahr antelg zu bedecken? (5 Punkte) g) Schätzen Se ene Untergrenze für den Proft aus dem Vertrag, ndem Se nur de Gewnnquelle Kosten betrachten, enen Rskodskontsatz von 0% ansetzen und von ener Verblebswahrschenlchket von 90% pro Jahr ausgehen. (0 Punkte) 4

5 Aufgabe 3 (60 Punkte) Für ene zwejährge rene Erlebensfallverscherung enes 60-jährgen Mannes mt zwe glech hohen Jahresprämen π snd folgende Daten bekannt: De en- bzw. zwejährge Überlebenswahrschenlchket enes 60-jährgen Mannes betragen nach der DAV-Sterbetafel 008 TM : p =.9896, p = (a) Mt desen Daten berechne man be ener Ablauflestung von m Erlebensfall de notwendge Jahresnettopräme be enem Garantezns von.5% bzw. alternatv von 3%. De Anlagestratege des Verscherungsunternehmens seht nur Investments n Zerobonds mt dem glechen Ablaufdatum we de entsprechende Verscherung vor. De Vorgabe an den Aktuar lautet, dass nur solche Garanteznsen be der Kalkulaton verwendet werden dürfen, de für dese Verscherungen kene Abscherung des Znsversprechens etwa über Europäsche Call-Optonen auf Zerobonds benötgen. Herbe wrd unterstellt, dass auch nach enem Jahr de Prese für Zerobonds stets unter legen, d.h. dass auch n enem Jahr de Kaptalmärkte kene negatven Znsen auswesen. Aufgrund der aktuell gültgen Znsstrukturkurve kennt man de aktuellen Prese von en- bzw. zwejährgen Zerobonds: P(0,) = P(0,) = 0.93 sowe den Pres enes Europäschen Calls auf enen Zerobond mt Ausübungspres : C P (0,,,0.9848) = Herbe bezechnen we üblch: P(t,T) den Pres enes Zerobonds zum Zetpunkt t und Ablaufdatum T, so dass also zum Ablaufdatum T glt P(T,T) = ; CP( t, T, TB, X ) bezechnet zum Zetpunkt t den Pres ener Europäschen Call- Opton mt Ausübungspres X, Laufzet T auf enen Zerobond, der zu enem Zetpunkt T B T fällg wrd, so dass z.b. der Wert der Call-Opton zum Zetpunkt + T gerade C P (T,T, T, X ) = ( P( T, T ) X ) max( P( T, T ) X,0) st. B B = (b) We kann generell für de genannte Verscherung ene Abscherung enes Garanteznses mt Call-Optonen auf Zerobonds vorgenommen werden? (c) Man prüfe nach, ob be enem Garantezns von.5 % bzw. 3 % ene solche Abscherung n dem her vorlegenden Fall benötgt wrd. (d) Falls ene Abscherung notwendg st, was wäre dann der Pres der Abscherung be den her vorlegenden numerschen Daten mttels Call-Optonen auf Zerobonds? B Anletung: Herbe gehe man we m Semnar von enem determnstschen Ansatz für de Bometre aus, de enzge Unscherhet besteht also her n der zukünftgen Znsentwcklung. Außerdem werden Abschluss- und Verwaltungskosten n deser Betrachtung komplett außen vor gelassen. 5

6 Lösungsvorschläge Aufgabe Zu a) Unter anderem können (ohne Anspruch auf Vollständgket) folgende Probleme auftreten - De Zusage des Unternehmens st m Bedngungswerk des Verscherers ncht abbldbar; man beachte n desem Zusammenhang auch de Anforderungen des neuen VVG an de AVB enes Lebensverscherers. - De (komplexe) Zusage des Unternehmens st n der IT des Verscherers ncht abbldbar. - De Zusage des Unternehmens enthält Komponenten, für de kene Rechnungsgrundlagen vorlegen. - De Höhe der Rückdeckung st ncht lecht optmal bestmmbar, da de Rechnungsgrundlagen des zugrunde legenden Durchführungswegs (Bespel: unmttelbare Versorgungszusage) ncht mt den aufschtsrechtlch zulässgen Rechnungsgrundlagen des Lebensverscherungsunternehmens überenstmmen. - Durch Besonderheten n der Zusammensetzung der Belegschaft kann en Kumulrsko entstehen, das ene Anpassung der Rechnungsgrundlagen des Verscherers erforderlch macht. - Auch de oft engeschränkten Möglchketen des Verscherers be der Rsko- und Lestungsprüfung können es erforderlch machen, enzelne Rechnungsgrundlagen des Verscherers zu überprüfen. Zu b) Varante A) Bometrsche Rechnungsgrundlagen: q (x) + m = Wahrschenlchket enes Aktven des Alters x + m, der m Alter x verschert wurde, als Aktver m folgenden Jahr zu sterben (üblcherwese Sterbetafel DAV 994 T, obwohl ene Erlebensfalltafel egentlch angemessener wäre) (x) + m = Invaldserungswahrschenlchket für das Alter x + m be Verscherungsbegnn m Alter x (Tafel DAV 997 I für de Invaldserungswahrschenlchketen) q = Wahrschenlchket enes (z + m) jährgen Berufsunfähgen, der m Alter z berufsunfähg wurde, zwschen z + m und z + m + zu sterben (Sterbetafel DAV 997 TI) r = Wahrschenlchket enes (z + m) - jährgen Berufsunfähgen, der m Alterzx berufsunfähg wurde, zwschen z + m und z + m + reaktvert zu werden (Tafel DAV 997 RI) Daraus abgeletete Ausschedeordnungen: Aktve (ohne Berückschtgung von Reaktverung) 6

7 l = l ( - q - ) für x + m 65 (x) + m + (x) + m (x) + m (x) + m Invalde l = l ( - q - r ) für z + m 65 + Hnwes: Natürlch st es genauso rchtg, mt enem multplkatven Ansatz zu arbeten. Varante B) Bometrsche Rechnungsgrundlagen q (x) + m und snd bs zum Alter 65 grundsätzlch we n A) zu wählen, allerdngs müssten de für Alter knapp unter 65 möglcherwese erhöht werden, um Selektonseffekte zu vermeden (lebenslänglche Zahlung der BU-Rente!) De Grundlagen q (x) + m und r legen für de Alter über 65 ncht vor und müssen ggf. geschätzt werden. Dabe st es snnvoll, de Reaktverungswahrschenlchketen auf 0 zu setzen. De Invaldensterblchket könnte zum enen mt der normalen Rentnersterblchket (DAV 004 R; sehr vorschtg) glechgesetzt oder aber durch geegnete Fortschrebung der gewonnen werden. q Varante C) Bometrsche Rechnungsgrundlagen De Ausschedeursache Tod entfällt für Invalde (Satz von Cantell); daher muss de Ausschedeordnung für Invalde modfzert werden: l = l ( - r ) für z + m l = l für z + m 65 (da snnvollerwese r = 0 für z + m 65) l (z)+ m = 0 für z + m ω Zu c) Setzt man be vorgegebenem Rechnungszns zunächst enmal generell z D = l v +m, ω - z - m + k, k = 0 N = D und dann für Varante A N N && a = (z) z : 65 - z - m D && a + && a : 65 - z - m + : 65 - z - m - + : 65 - z - m - 4 ) v && a = ( - 7

8 D = l ( - q ) v && a, a x + m (x) + m (x) + m (x) + m (x) + m (x) + m + : 65 - x - m - so lässt sch der Nettoenmalbetrag aus der Bezehung 65 - x - a D N && a = R =: R (+) (x) + k a a k = 0 x: 65 - x x: 65 - x Dx Dx x + k D (x) + k = l(x) + k v D x : = D( x) darstellen mt und. Für de für de Varanten B und C erhält man analog N && a = D && a + && a + && a = ( - ) + 4 v D = l ( - q ) v && a a x + m (x) + m (x) + m (x) + m (x) + m (x) + m + und schleßlch analog zu (+) 65 - x - a D N (x) + k a a k = 0 x x: 65 - x Dx Dx && a = R =: R Zu d) De Jahresnettopräme a P x 64 - x D(x) + k k = 0 aus c) durch && a = telt. x: 65 - x D erhält man n allen Varanten, ndem man den Nettoenmalbetrag x Aufgabe Pr ovson PE, PM a) α = α + α = 3,8% + 0,3% = 4, % Des st rechtlch zulässg, da de Abschlusskostenbegrenzung des VVG für Enmalprämen ncht greft und formal das VVG für Kaptalserungsprodukte ohnehn ncht glt b) Be Summe st n BEP = v α γ a n n n NEP = v, und BEP = v + α BEP + γ BEP an führt zu n n Aus = v S folgt S = r ( α γ an ) α γ a n 8

9 c) Sparanlagen haben n der Regel kürzere Anlagehorzonte als Verscherungen. Anlagedauern von 0 und mehr Jahren werden eher selten sen, außerdem snd Scherhetsabschläge von 5% - 40% (DeckRV) mplzt nahe legend. En Rechnungszns > % st daher wohl kaum zu rechtfertgen. Legt man zwschen 8 0 Jahren an, berückschtgt Vorfällgketsaspekte durch geegnete Wahl des Rückkaufswertes und wählt enen hohen Scherhetsabschlag von 40%, so st z.b. 0,6 * (+3)/ =,5% en nahe legender Rechnungszns. Andere Setzungen bleben unbenommen de Themen Frstgket, Vorfällgket und Scherhetsabschlag snd aber nachvollzehbar zu berückschtgen. d) Her snd mndestens zwe Alternatven denkbar: Parallele Berechnung enes retrospektven Deckungskaptals mt frstenkongruentem, jährlch wechselndem Rechnungszns als Rückkaufswert, ggf. zusätzlch klener Stornoabschlag. Her st es hnrechend, de Idee nachvollzehbar zu erläutern. Als Näherung hervon (verenfachte Datenführung!) snd auch dauerabhängge Stornoabschläge denkbar, de de Dfferenz zwschen dem frstenkongruent berechneten retrospektven Deckungskaptal und dem mt konstantem Rechnungszns berechneten Deckungskaptal gedanklch pauschal ausglechen. Auch her st es hnrechend, de Idee nachvollzehbar zu erläutern. Stark verenfachend (ohne Znsesznsen) kann man z.b. für Rechnungszns % und unterstellte Znsstruktur = Mttelwert der tabellerten Spannen wählen o Nach Jahr *% - *% = % o Nach Jahren *% - *% = % o Nach 3 Jahren 3*% - 3*% = 3% o Nach 4 Jahren 4*% - 4*,5% = % o Nach 5 Jahren 5*% - 5*,5%=,5% o Nach 6 Jahren 6*% - 6*% = 0% usw. Das kann man ggf. auch pauschaleren auf z.b. 3% n den ersten 5 Jahren. Nahelegende Hnwese auf ene dauerabhängge Znsgewnndeklaraton wurden be der Bewertung ggf. honorert. e) An Verwaltungskosten werden angesetzt 5 Tage a 000 Euro, das snd 5000 Euro oder der BEP. An Abschlusskosten werden angesetzt 6 der BEP, de sch aus Euro entsprechend 3 Provson zzgl. unverändert 3 für Produktentwcklung und Produktmanagement ergeben. f) De Gewnnreserve (RfB) st offenbar mndestens 95% des Kostenüberschusses. Der Kostenüberschuss n der egenen Gewnnabrechnung st aber aus Abschlusskosten 4-6 = 38-3 =35 enmalg und aus Verwaltungskosten 5 - = 4 laufend, also m ersten Jahr =39 enmalg (und ab da 4 laufend). 95% des Erstjahres- Kostenüberschusses snd also 37,05 ; mndestens so hoch st de Gewnnreserve. De zu erwartende antelge Kaptalanforderung beträgt 35% von 0% = 3,5% der Kaptalanlagen. Das st offenbar wenger als 3,5% der BEP, also wederum wenger als 37,05 der BEP, damt wenger als de Erstjahres-Gewnnreserve. g) Der Proft überstegt den Barwert der Kostengewnne nach Überschussbetelgung (aus Unternehmensscht). Der Unternehmensgewnn aus dem Abschlusskostenüberschuss des 9

10 ersten Jahres beträgt 5% von 35, also,75 (s.o.). Der Unternehmensgewnn aus Verwaltungskosten beträgt jährlch 5% von 4 = 0, aus dem Verschererantel des Abrechnungsüberschusses zzgl. der Marge zwschen best estmate Verwaltungskosten von 4 Tagen a 700 Euro entsprechend.800 Euro und den n der egenen Gewnnabrechnung angesetzten Euro, das snd.00 Euro oder 0,44, nsgesamt also jährlch 0,64. Der Proft überstegt also den Wert von 0,9 0,8,75 + 0,64 s,75 + 0,64 =,75 +,56 4,3 s, = - 0,8 und st damt mehr als 4 der BEP, das snd ca Euro. Andere Näherungen der Summe oder hnrechend langfrstge endlche Summen wurden genau so anerkannt. Aufgabe 3 Zu (a): Der Zusammenhang zwschen der Erlebensfallsumme VS = und der jährlchen Präme π ergbt sch we m Semnar aufgrund der Äquvalenzglechung: p VS = π ( + p ). ( + g) + g x x Für g =.5% glt: ( + g ) π = = g , und für g = 3 % berechnet sch π zu Zu (b): Investert man de erste Präme komplett n Zerobonds zum Pres von P(0,), so erhält man π dafür be Ablauf der Verscherung nach zwe Jahren den Betrag. De zwete P(0,) Jahrespräme muss daher für de endfällge Erlebensfallsumme nur noch folgenden Betrag erwrtschaften: π S : = px VS. P(0,) Der herfür notwendgerwese zu erwrtschaftende Znssatz y berechnet sch nach der folgenden Äquvalenzglechung: () ( + y) px π = S. Falls jetzt der benötgte Znssatz y < 0 st, wrd kene Abscherung benötgt: Man errecht n jedem Fall de aus der zweten Präme zu erwrtschaftende Summe S. 0

11 Für y > 0 glt: Ist zum Zetpunkt T= der Pres von enjährgen Zerobonds höher als /(+y), d.h. der dann gültge Marktzns zu nedrg, kann man mt der vorhandenen Präme de Summe S durch Zerobonds ncht mehr erwrtschaften. Um für desen Fall Vorsorge zu treffen, kauft man be Vertragsabschluss Call-Optonen auf Zerobonds mt Ausübungspres fällg zum + y Zetpunkt, und zwar genau ( + y) px π Stück zum Pres von C P (0,,, ). + y Zu (c): Be den her vorlegenden numerschen Daten ergeben sch folgende Werte: Für g =.5% st π = und daher S = = und 0.93 heraus ergbt sch nach Glechung () folgender Wert für +y: +y = 0.994, d.h. selbst ohne enen Zns kann man de Summe S aus der zweten Präme bestreten. Für g =.5 % wrd also n desem konkreten Bespel ener zwejährgen Verscherung kene Abscherung über Call-Optonen benötgt Für g = 3 % st π = und daher S = = und heraus 0.93 ergbt sch nach Glechung () folgender Wert für +y: +y = und damt st , das st gerade der Ausübungspres der angegebenen Call-Opton. Her wrd n + y der Tat ene Abscherung für den Fall zu nedrger Marktznsen nach enem Jahr benötgt. Zu (d): Als Gesamtpres für de Abscherung über Call-Optonen we n () beschreben ergbt sch so: