Wiederholung: Newtonsche Mechanik

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1 Kaptel 1 Weerholung: Newtonsche Mechank c Copyrght 2012 Freerke Schm De Newtonschen Axome Wortlaut (übersetzt) aus: prncpa mathematca phlosophae naturals I) Jeer Körper verharrt m Zustan er Ruhe oer er glechförmgen Bewegung, wenn er ncht urch enwrkene Kräfte gezwungen wr, senen Bewegungszustan zu änern. II) De Änerung er Bewegung st er enwrkenen Kraft proportonal un gescheht längs jener geraen Lne, nach welcher e Kraft wrkt. III) De Reakton auf ene Akton st mmer entgegengesetzt un glech,.h. e Aktonen (Kraftwrkungen) zweer Körper aufenaner sn mmer glech groß un entgegengesetzt gerchtet Dskusson un Präzserung Präzserung er knematschen Begrffe: Wr verstehen unter enem Körper : Enen Massenpunkt ealserte Objekte mt Masse, aber ohne räumlche Ausehnung ( Rotaton spelt kene Rolle) Generell gute Näherung, wenn Ausehnung es Körpers sehr vel klener als anere typsche Längenskalen es Systems Wr weren später (Abschntt 3) sehen, ass man unter gewssen Umstänen auch ausgeehnte Körper we Massenpunkte behaneln kann (mt Zentrum am Massenschwerpunkt). 1 Prof. Dr. Freerke Schm, Vorlesung Analytsche Mechank, Unverstät Manz, WS 2012/2013. Letzte Änerung am

2 2 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG: NEWTONSCHE MECHANIK Bewegung : De Bahnkurve bzw. Trajektore r(t) enes Massenpunktes Dahnter steht ene Abblung Welt R 3 R physkalscher Raum ( Ort ) R 3 ( r) physkalsche Zet R (t) Bahnkurve Notweng für ese Abblung: Defnton ener Referenzlänge un enes Referenz-Zetntervalls Enheten (z.b. SI-System: [r]= 1 m, [t] = 1 s) Bemerkung: Der Ort r st ene vektorelle Größe n 3 Dmensonen. Des st an zwe Egenschaften erkennbar: - Darstellung urch 3 Koornaten n ener Orthonormalbass Bass: E = ( e 1 e 2 e 3 ) (Egenschaften: E T E =EE T =11, et(e)=±1 E O(3)) r 1 Darstellung von r: r 2 r 1 mt r = r 1 e 1 + r 2 e 2 + e 3 = E r 2 Berechnung er Koornaten: r = r e - Transformatonsverhalten be Wechsel er Bass Neue Orthonormalbass: E = ( e 1 e 2 e ) 3 Bewegungszustäne Neue Darstellung: r 1 r 2 = U r 1 r 2 mt Transformatonsmatrx U = E T E (Bewes: r 1 r 2 = E T r = E T E T E r = U r 1 r }{{} 2 ) 1 r 1 r 2 = E T r Egenschaften er Transformatonsmatrx: U T U =UU T =11 (Bewes: U T U = (E T E) T (E T E) = E T E E }{{ T E = E } T E = 1, ) 1 Defnere zunächst von er Bahnkurve r(t) abgeletete Größen - Geschwngket: v(t) = t r(t) = r (Enhet 1 m/s) - Beschleungung: a(t) = t v(t) = r (Enhet 1 m/s 2 )

3 1.1. DIE NEWTONSCHEN AXIOME 3 Wr verstehen unter - Zustan er Ruhe : Bahnkurve r(t) = r 0 = const. - glechförmge Bewegung : Bahnkurve mt v(t) = v 0 = const. r(t) = r 0 + v 0 t - Änerung er Bewegung : Beschleungung a(t) Dskusson es Postulats II Begrff er Kraft F Angelehnt an unsere Wahrnehmung, Erfahrung aus em Alltag Bespele Schwerkraft an er Eroberfläche zeht nach unten erschent überall glech groß Expermentelle Beobachtung (Galle): führt bem freen Fall zu konstanter Beschleungung Angelegte Kraft Postulat: Erfahrung: Beschleungung erfolgt n Rchtung er Kraft Kraft st ene vektorelle Größe F Effekt ener Kraft auf Bahnkurve enes Massenpunkts st F = m a mt m: zunächst nur Proportonaltätsfaktor Folgerung: Superpostonsprnzp Angenommen, auf enen Körper wrken verscheene Kräfte Beschleungungen aeren sch vektorell auf Kräfte aeren sch vektorell auf: F = F 1 + F 2 Dskusson es Postulats III Zwe Aspekte: - Beschrebt Wahrnehmung: Wenn ch ene Kraft ausübe, erfahre ch ene Gegenkraft, z.b. Tauzehen Glechung: F 12 = F 21 - Ermöglcht en Verglech er Wrkung von Kräften auf verscheene Körper Aussage über Proportonaltätskonstante m: m st ene Egenschaft von Körpern: Träge Masse Messvorschrft Aufbau:

4 4 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG: NEWTONSCHE MECHANIK - Zehe so, ass Aufbau n Ruhe ˆ F = F21 = F 12 = F - Schnee Faen urch: - Mss Beschleungungen a 1 = F m 1 un a 2 = F m 2 Verhältns a 1 a 2 gbt Verhältns m 2 m 1 Damt können m Prnzp e Massen aller Körper n Enheten er Masse enes Referenzkörpers gemessen weren. Masse hat physkalsche Realtät Enhet er Masse: Referenzmasse, z.b. SI-System: 1 kg Zusammenfassen: Newtonsches Kraftgesetz: F = m a mt m: träge Masse, physkalsche Egenschaft enes Körpers (Enhet: [F ] = 1 kg m/s 2 ) Alternatve Formulerung es Newtonschen Kraftgesetzes Defnere Impuls p = m v Newtonsches Kraftgesetz: F = p Vortel eser Formulerung (vgl. spezelle Relatvtätstheore): Be sehr hohen Geschwngketen v c (Lchtgeschwngket) glt F = m a ncht mehr, aber F = p st weterhn gültg mt Dskusson es Postulats I geschwngketsabhängger Masse m = m 0 / Wahrnehmungserfahrung 1 v2 c 2. - In enem Karussell: sehr starke Kraft nach außen - Am Boen: wenger Kraft, fast nur noch Schwerkraft nach unten - Auf em Mon: noch wenger Kraft Postulat: Es gbt Bezugssysteme, n enen kräftefree Körper n glechförmger Bewegung verharren. Dese Bezugssysteme nennt man Inertalsysteme. Verscheene Inertalsysteme bewegen sch relatv zuenaner mt glechförmger Geschwngket. Ursprünglch gng Newton sogar noch weter un postulerte enen absoluten Raum, also en ausgezechnetes Inertalsystem, as n Ruhe st. Problem: Man kann eses ncht von aneren Bezugssystemen unterscheen, es hat also kene physkalsche Realtät. In er klassschen Mechank kann auf absoluten Raum ohne weteres verzchtet weren. Alle Inertalsysteme sn äquvalent. (Äquvalenzprnzp er klassschen Mechank).

5 1.1. DIE NEWTONSCHEN AXIOME 5 Übergang zwschen Inertalsystemen über Galle-Transformaton t t t t x y x y = x 0 y 0 + v x x v y U y, z z z 0 v z z wobe U: orthonormale 3 3 Matrx (Drehmatrx). Aber: Selbst wenn man enen relatven Raum akzeptert, bleben noch wetere grunlegene Probleme: Inertalsysteme m Snne er klassschen Mechank können n Expermenten m Unversum prnzpell ncht realsert weren. Das legt aran, ass es kene kräftefreen Körper geben kann, a Gravtatonskräfte we 1/r 2 abfallen un sch ncht abschrmen lassen. (NB: Gravtatonskräfte sn e enzgen ncht abschrmbaren Kräfte. Alle aneren Kräfte lassen sch abschrmen.) En ästhetsches Problem: Es gbt kenen absoluten Raum, aber ene absolute Zet. Mt welchem Recht? Lösung: Relatvtätstheore Klasssche Mechank Relatver Raum, absolute Zet Problem mt Inertalsystem Spezelle Relatvtätstheore Kene absolute Zet mehr Asymmetre zwschen Raum un Zet wetgehen aufgehoben Problem mt Inertalsystem besteht Allgemene Relatvtätstheore Gravtaton st Egenschaft es Raums Inertalsystem (kräftfree Bewegung) realsert m freen Fall gbt em Inertalsystem physkalsche Realtät

6 6 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG: NEWTONSCHE MECHANIK 1.2 Potental un Energe Potentelle Energe - Vorbemerkung: Wr nehmen m folgenen an, ass wr n enem Inertalsystem sn, un beschränken uns auf geschwngketsunabhängge Kräfte. (Spezelle geschwngketsabhängge Kräfte we Lorentzkraft kommen später separat). Nmm an, Kraftfel er Form F ( r, t) (en Telchen) { F ( r 1 r N, t)} (N Telchen) Erfahrung: Geschwngketsunabhängge Kräfte lassen sch n er Regel von enem Potental ableten (Potentalkräfte) En Telchen: F ( r, t) = U( r, t) N Telchen: F ( r 1 r N, t) = U( r 1 r N, t) ( = / r x / r y ) / r z Falls Kräfte un Potental zuem ncht explzt zetabhängg sn,.h. F ( r 1 r N ) = U( r 1 r N ). sprcht man von konservatven Kraftfelern. Für Potentalkräfte glt F = 0 (en Telchen) bzw. Telchen). Bespele: F α r jβ = F jβ r α (N - En Telchen n ener Dmenson x trval. F (x, t) = x U(x, t) mt U(x, t) = F ( x, t) x + U 0 x 0 - Zentralkraft (en Telchen): F ( r, t) e r Ene Zentralkraft F ( r, t) = f( r, t) e r hat genau ann en Potental, wenn f( r, t) nur von r abhängt. (Übungsaufgabe). Lösung: F = (f e r) = ( f) e r + f ( e r) =! 0 e r = 1 r ( r) + ( 1 r ) r = 0 r r = 0 f e r = 0 f e r e r f steht senkrecht auf Fläche f = const. f = const. st Kugeloberfläche f hängt nur von r ab. - N-Telchen-System mt Paarwechselwrkungen f j = f( r r j ) ( r r j ) r r j Kraftfel F = hat Potental U = 1 2 φ( r r j ) j j r mt φ(r) = φ 0 rf( r) φ r = f(r) r 0 ( k U = 1 k φ( r 2 r j ) j = 1 φ {δ 2 k r φ r r j + δ kj j rj r = 1 φ 2 r { ( r k r j ) j k rkj r k r j ( r j r k ) r j r k } = f( r k r j ) ( r k r j ) r j k k r j ) j r r j } rj

7 1.2. POTENTIAL UND ENERGIE Knetsche Energe Betrachte en N-Telchen-System mt enem Potental, as ncht explzt von er Zet abhängt: U( r 1 r N ) Dynamsche Entwcklung Trajektore { r 1 (t) r N (t)} Zetlche Änerung es Potentals U( r 1 (t) r N (t)): t U = N U r t = N F r = N m r r =: t T =1 =1 =1 mt T = 1 2 m r 2 : Knetsche Energe Falls U ncht explzt zetabhängg, st e Gesamtenerge E = T + U ene Konstante er Bewegung Energeerhaltung NB: Defnert en Begrff er Energe. (Ohne Energeerhaltung wäre Energe ene snnlose Größe) Wetere Begrffe (vollstängketshalber) Betrachte nun allgemene Kraftfeler F ( r 1 r N, r 1 r N, t) mt Trajektoren { r 1 (t) r N (t)} t 1 Arbet: W = t F ( r 1 r N, r 1 r N, t) r t 0 (Arbet, e n er Zet von t 0 bs t 1 verrchtet wure) Lestung: P = W t = F ( r 1 r N, r 1 r 1, t) r Dsspatves Kraftfel: ncht-konservatves Kraftfel Allgemenes Kraftfel wr manchmal zerlegt n konservatven un sspatven Antel F = F kons, + F ss, mt F kons, = U( r 1 r N ) (sspatv.a. Rebungskraft) Dann glt: t (U +T ) = F ss, r (Lestung er sspatven Kräfte) t 1 t 1 un t F r = t F ss, r für geschlossene Trajektoren { r 1 (t 0 ) r N (t 0 )} = { r 1 (t 1 ) r N (t 1 t 0 t 0 )}.

8 8 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG: NEWTONSCHE MECHANIK 1.3 Symmetren un Erhaltungssätze Voraussetzung: Bezugssystem st en Inertalsystem Kräfte haben en Potental (Potentalkräfte) Homogentät er Zet un Energeerhaltung Ernnerung: In 1.2 Enführung er knetschen Energe T über Energeerhaltung. Falls en Potental U( r 1 r N ) exstert un ncht explzt zetabhängg st, ann st E = U + T ene Erhaltungsgröße. Nähere Betrachtung: - Potental U( r 1 r N ) charaktersert ynamsche Entwcklung es Systems legt Bewegungsglechungen fest. - Kene explzte Zetabhänggket beeutet: ken ausgezechneter Zetpunkt, kene absolute Zet Bewegungsglechungen translatonsnvarant bzgl. Zettranslatonen oer homogen n er Zet - Aus er Homogentät er Zet folgt: Es exstert ene Erhaltungsgröße e Energe Bespel für en allgemeneres Prnzp ( Noethersches Theorem): Zu jeer kontnuerlchen Symmetre gehört ene Erhaltungsgröße. Dabe st ene kontnuerlche Symmetre: Transformaton K a : ( r 1 r N, t) a ( r 1 r N, t ), welche Bewegungsglechungen nvarant lässt mt a: kontnuerlcher Parameter; a = 0 Ienttät Im Fall er Homogentät er Zet: U( r 1 r N, t) hängt ncht von t ab Bewegungsglechung nvarant unter ( r 1 r N, t) ( r 1 r N, t ) = ( r 1 r N, t + a) Wetere Symmetren/Invaranzen Homogentät es Raumes Invaranz unter räumlchen Translatonen r = r + a Impulserhaltung Isotrope es Raumes Invaranz unter Drehungen r = D a ( r ) (D 0 = 11) Drehmpulserhaltung Echnvaranz m elektromagnetschen Fel (ncht n eser Vorlesung) Laungserhaltung

9 1.3. SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSÄTZE 9 Allgemene Voraussetzungen für Symmetren Abgeschlossenes System: N Telchen, kene bzw. fast kene Wechselwrkungen mt er Außenwelt. Dann glt: Bewegungsglechungen bleben nvarant unter allgemener Galletransformaton r Σ = D r Σ v 0 t Σ, t Σ = t Σ + t 0 Daraus folgen Erhaltungssätze: t 0 Invaranz unter Zettranslatonen Energe 0 + v 0 t Σ Invaranz unter Raumtranslatonen Impuls D Invaranz unter Drehungen Drehmpuls Homogentät es Raumes un Impulserhaltung Homogentät es Raumes: In enem abgeschlossenen System sn e Bewegungsglechungen nvarant unter er Transformaton ( r 1 r N, t) ( r 1 + a r N + a, t) (Es gbt kenen ausgezechneten Raumpunkt). Daraus folgt: NR: U( r 1 r N, t) = U( r 1 + a r N + a, t) a a α U( r 1 + a r N + a, t) 0 0 = U a α aα=0 = t U (r α +a α) r α a α p = 0 p = const. aα=0 = U = r α F α = Der Gesamtmpuls P = p st ene Erhaltungsgröße. Folgerung: Schwerpunktsatz Gegeben en System von N Telchen, Massen m ṗ α = p t α Defnere Schwerpunkt R = m r m, Gesamtmasse M = m Falls as System abgeschlossen st, glt R = P /M = const.. Der Schwerpunkt enes abgeschlossenen Systems bewegt sch glechförmg mt er Geschwngket P /M Das Schwerpunktsystem, n em R am Ursprung stzt, st en Inertalsystem (.h. r r = r R(t) st ene Galletransformaton) Isotrope es Raumes un Drehmpulserhaltung Isotrope es Raumes: In enem abgeschlossenen System sn e Bewegungsglechungen nvarant unter ( r 1 r N, t) (D a r 1 D a r N, t) D a : Drehung mt Drehachse a a, Drehwnkel a (Es gbt kene ausgezechnete Raumrchtung).

10 10 KAPITEL 1. WIEDERHOLUNG: NEWTONSCHE MECHANIK Daraus folgt: NR: U( r 1 r N, t) = U(D a r 1 D a r N, t) a Spezell a 0 (nfntesmal): D a [11 + a ] a α U( r 1 + a r 1 r N + a r N, t) = 0 a=0 0 = U [r β(x,y,z) r a α β +( a r ) β ] = F β ε a α γδβ a γr δ = F β ε γδβ δ αγr δ β β γδ βγδ }{{} F β t = ε αδβ r δ F β = ε δβα r δ F β = ( r F ) α = ( r p ) α βδ βδ ( r p ) = ( r p ) + ( r p ) = 0 }{{}}{{} 0 wegen oben 0 wel r p r p = const. Der Gesamtrehmpuls L = r p st ene Erhaltungsgröße. Allgemener glt: Falls n enem System kene Raumrchtung ausgezechnet st, glt Drehmpulserhaltung. Bespel: En Telchen m Zentralpotental U(r) Kene Impulserhaltung (a Ort ausgezechnet), aber Drehmpulserhaltung (kene ausgezechnete Rchtung) l = r p = const.. Folgerungen: () Bahn r(t) st mmer n ener Ebene ( r(t) l) () Flächensatz : r(t) überstrecht zu glechen Zeten gleche Flächen (Fläche A( t) = t+ t t = 1 2m A = t+ t Skalennvaranz un Vralsatz t t+ t t r p t = }{{} l 1 ( r v)t 2 l 2m t) Skalennvaranz: Ene wenger allgemene Symmetre Angenommen, Potental hat Egenschaft U(α r 1 α r N ) = α K U( r 1 r N ) Bespele: Gravtatonskraft: U = γ m m j r r j j U(α r 1 α r N ) = α 1 U( r 1 r N ) gekoppelte Oszllatoren: U = k j ( r r j ) 2 j U(α r 1 α r N ) = α 2 U( r 1 r N ) Bewegungsglechungen sn nvarant unter Skalentransformaton er Form ( r 1 r N, t) (α r 1 α r N, α 1 K 2 t)

11 1.4. WISSENSFRAGEN 11 (kontnuerlche Symmetre K a mt α = e a ; Ienttät be a = 0, α = 1) Daraus folgt α U(α r 1 α r N ) = α [αk U( r 1 r N )] = Kα K 1 U( r 1 r N ) α U(α r 1 α r N ) = U(α r 1 α r N ) (α r ) α = U(α r 1 α r N ) r (α=1) KU( r 1 r N ) = U( r 1 r N ) r = F r = p r t r p = r p + }{{} K U r p }{{} m r 2 = KU + 2T ( r p ) = K U + 2T t Ken rchtg brauchbarer Erhaltungssatz ( r p + 1 Aber: nützlche Folgerung für zetlche Mttelwerte = lm T T t τ(ku 2T ) = const.) 0 T t 0 Falls System räumlch beschränkt t r p enlch τ(ku 2T ) enlch t 0 T lm τ(ku 2T ) = lm T [K U 2 T ] enlch K U 2 T = 0 T 0 T Vralsatz: Für räumlch beschränkte Systeme glt T = K 2 U 1.4 Wssensfragen 1. We lauten e Newtonschen Axome? 2. Was st en Inertalsystem? 3. Was versteht man unter ener Galle-Transformaton? 4. Was versteht man unter enem Potental? 5. Was st Energe? 6. Was st Impuls? 7. Was st Drehmpuls? 8. Aus welcher allgemenen Symmetre folgt Energeerhaltung? 9. Aus welcher allgemenen Symmetre folgt Impulserhaltung? 10. Aus welcher allgemenen Symmetre folgt Drehmpulserhaltung?