Theoretische Mechanik WS 2007/ Literatur

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1 Theoretsche Mechank 0. Lteratur F. Scheck Theoretsche Physk 1: Mechank, Sprnger Verlag. WS 2007/08 W. Noltng Grunkurs Theoretsche Physk 1: Klasssche Mechank un Grunkurs Theoretsche Physk 2: Analytsche Mechank, Sprnger Verlag. L. D. Lanau un E. M. Lfschtz Mechank un Elastztätstheore, Akaeme Verlag. H. Iro A Moern Approach to Classcal Mechancs, Worl Scentfc Publshng. Haral Jeschke, Unverstät es Saarlanes/Unverstät Frankfurt auf Grunlage enes Skrpts von Clauus Gros, Unverstät Frankfurt J. L. McCauley Classcal Mechancs, Cambrge Unversty Press. H. Golsten Klasssche Mechank, Akaemsche Verlagsgesellschaft. W. M. La, D. Rubn un E. Krempl (Introucton to) Contnuum Mechancs, Butterworth-Henemann 1 2

2 De amt verträglchen Koornatentransformatonen sn 1. Bewegungsglechungen 1.0 Naturgesetze De Naturgesetze lassen sch als solche ncht herleten, se können nach Kuhn nur falsfzert weren. Dennoch versucht man.a. en n sch konsstentes System von Naturgesetzen zu entwckeln, as auf möglchst wengen funamentalen Annahmen beruht, en grunlegenen Postulaten. Herbe spelt e Berückschtgung er Symmetren von Raum un Zet ene zentrale Rolle. 1.1 Raum un Zet De Grunlage er physkalschen Beschrebung er Natur st e Annahme, ass man ene Abblung von Raum un Zet auf mathematsche Größen vornehmen kann. In er klassschen Physk beschreben wr as Verhalten (er Bler) von Objekten n enem Raum, hren Ortswechsel n esem Raum mt er Zet. Raum un Zet sn e grunlegenen Konzepte er Physk; Bewegung verbnet Raum un Zet. Nach er Erfahrung mt starren Maßstäben st er physkalsche Raum en euklscher R 3. Darn benutzen wr kartessche Ortskoornaten x = (x 1, x 2, x 3 ). De Zet t st erklärt urch enen (per Defnton) peroschen Vorgang (Uhr), z.b. urch enen scharfen atomaren Übergang (Spektrallne). Zwe zentrale, eng mtenaner verknüpfte Konzepte sn e Invaranz be ener Koornatentransformaton (ene Göße änert sch ncht, wenn zu enem festen Zetpunkt für en ynamsches System as Koornatensystem transformert wr) un er Erhaltungssatz (ene ynamsche Göße st zetlch konstant entlang er Trajektore enes Systems). Ene nvarante (koornatenunabhängge) Beeutung geben wr (a) em Zetabstan t 1 t 2 von zwe Eregnssen (b) em räumlchen Abstan x 1 x 2 von zwe glechzetgen Eregnssen. 3 t = λt + a, λ = ±1 x = R(t) x + b(t), R(t) O(3),.h. wr haben noch e Wahl er Zetrchtung λ es Zetnullpunkts a enes belebg bewegten, kartesschen räumlchen Bezugssystems. (1.1) De Äquvalenz eser Koornatensysteme äussert sch arn, ass e Transformatonen (1.1) ene Gruppe blen. 1.2 Galletransformaton Wr postuleren e Exstenz von Inertalsystemen, n enen für free Telchen as Träghetsgesetz glt: m x = 0. Das st glechbeeuten mt er Forerung enes absoluten Raums,.h. enes homogenen un sotropen Raums un ener homogenen Zet. In Worten: 1. Newtonsches Axom: Es gbt Koornatensysteme, n enen en kräftefreer Massenpunkt m Zustan er Ruhe oer er geralng glechförmgen Bewegung verharrt (Inertalsysteme). Alle aneren Inertalsysteme ergeben sch heraus urch ejengen Transformatonen (1.1), e as Träghetsgesetz nvarant lassen. Se beschreben en Übergang zu enem (relatv) glechförmg bewegten Bezugssystem,.h. t = λt + a, λ = ±1 x = R x + vt + b, R O(3), (1.2) (Galletransformatonen). Weer blen ese Transformatonen ene Gruppe. De Galletransformaton mt etr = +1 un λ = +1 hängt von 10 Parametern ab, un zwar g( }{{} R, v, b, a) ω, n 4

3 Dese stehen n engem Zusammenhang mt en 10 Erhaltungsgrößen, e es m abgeschlossenen n-telchensystem gbt: L, r S (0), P, E,.. er Drehmpuls, e Schwerpunktsbewegung r S (0) = r S (t) Pt/M, er Gesamtmpuls un e Energe. Wr zegen, ass e Transformatonen g ene Gruppe blen (e egentlche sochrone Gallegruppe G), nem wr zwe Transformatonen hnterenaner ausführen: x 1 = R (1) x 0 + v (1) t 0 + b (1), t 1 = t 0 + a (1) x 2 = R (2) x 1 + v (2) t 1 + b (2), t 2 = t 1 + a (2) Wenn wr x 1 n x 2 ensetzen, können wr e rekte Transformaton x 0 x 2 ablesen: x 2 = R (2) R (1) x 0 + R (2) v (1) t 0 + R (2) b (1) + v (2) t 0 + v (2) a (1) + b (2)! = R (3) x 0 + v (3) t 0 + b (3) t 2 = t 0 + a (1) + a (2)! = t 0 + a (3) Wr fnen: R (3) = R (2) R (1) v (3) = R (2) v (1) + v (2) b (3) = R (2) b (1) + v (2) a (1) + b (2) a (3) = a (1) + a (2) Nun verfzeren wr e ver Gruppenaxome: 1. De Hnterenanerausführung zweer Galletransformatonen g(r (2), v (2), b (2), a (2) )g(r (1), v (1), b (1), a (1) ) = g(r (3), v (3), b (3), a (3) ) st weer ene Galletransformaton (gezegt n Eq. (1.3)). (1.3) 2. Das Assozatvgesetz (g 1 g 2 )g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) folgt aus Assozatvtät von Aon un Matrzenmultplkaton. 3. Für as Enselement E = (1, 0, 0, 0) glt 4. Das Inverse zu g(r, v, b, a) Eg = g E = g g G g 1 = g(r T, R T v, R T va R T b, a) lest man aus Eq. (1.3)) ab, wobe R 1 = R T wegen et R = De Gruppenegenschaft er Galletransformatonen beeutet e Äquvalenz er Inertalsysteme. Sofern nchts aneres gesagt wr, rechnen wr von nun an stets n enem Inertalsystem. 1.3 Schwerpunktsatz De Verallgemenerung es Träghetsgesetzes auf N Telchen mt Koornaten x 1,..., x N m leeren Raum lautet: m x = p = 0 (1.4) ( p = m x = Impuls es Telchens ). Dabe sn e Massen m unveränerlche postve Zahlen, e urch Gl. (1.4) bs auf e Wahl er Massenenhet festgelegt sn. Nach Gl. (1.4) sn e Massen av, wenn sch mehrere Telchen zu enem enzgen zusammenschleßen, also m 1,2 = m 1 + m 2. Das können wr uns klarmachen, nem wr en Koornatensystem Σ betrachten, as sch gegenüber em System Σ mt er Geschwngket V bewegt; ann st e Geschwngket v aller Telchen n Σ urch v = v + V mt er n Σ verknüpft. Damt ergbt sch e Bezehung zwschen en Gesamtmpulsen P un P : P = m v = m v + V m = P + V m Das zegt, ass wr mmer en System fnen können, n em er Gesamtmpuls P verschwnet (urch geegnete Wahl er Geschwngket V), un wr nehmen an, ass P = 0. Auflösen nach er Geschwngket V es Bezugssystems Σ ergbt: P V = m = m v m Dese Glechung zegt, ass er Zusammenhang zwschen Gesamtmpuls P un Geschwngket V eselbe Gestalt hat we er für en enzelnes Telchen p = v /m, wenn wr e Masse M = m es Gesamtsystems mt er Masse m es Massenpunktes entfzeren. Daher st e Masse ene ave Größe. Da wr her mt zetlch unveränerlchen Massen m rechnen, können wr e e Göße m v / m als zetlche Abletung von X = m x m 6

4 arstellen, er Koornate es Schwerpunkts. 1.4 Bewegungsglechungen N Telchen blen en mechansches System, falls hre Bewegung urch e Anfangsbengungen x 1 (t 0 ),..., x N (t 0 ); x 1 (t 0 ),..., x N (t 0 ) 1.5 Kräfte De Mechank lefert kene Theore er Kräfte. Newton befasst sch mt Kräften, e nur von er Lage ( x 1... x N ) es Systems abhängen un stellt afür en weteres Postulat auf: 3. Newtonsches Axom: De Kraftwrkungen zweer Massenpunkte aufenaner sn entgegengesetzt glech: Acto = Reacto zu rgenener Zet t 0 bestmmt st. Glechbeeuten sn e Newton schen Bewegungsglechungen p = m x = F ( x 1... x N, x 1... x N ) (1.5) wobe F ( x 1... x N, x 1... x N ) as Kraftgesetz st. m 1 m In Worten: 2. Newtonsches Axom: De Änerung es Impulses st er Enwrkung er bewegenen Kraft proportonal un gescheht n Rchtung er Kraft. F1 F2 Bespele Sonnensystem: System gelaener Telchen: m x = k m x = k Telchen n enem elektromagnetschen Fel: x x k γm m k x x k 3. q q k x x k 4πε 0 x x k 3. m x = q E( x, t) + q ( x B( x, t) ). Herbe sn E( x, t) un B( x, t) äußeres elektrsches Fel un magnetsche Inukton. De von en Telchen selber erzeugten Feler sn her vernachlässgt. Erzwungene, geämpfte Schwngung auf ener Geraen: mẍ = f x K ẋ + k(t). Her st K ene summarsche Beschrebung er Dämpfung, ohne Berückschtgung er Dynamk es ämpfenen Meums. Im (abgeschlossenen) 2-Telchensystem st nach Gl. (1.4) un Gl. (1.5) F 1 + F2 = 0. Wenn as Kraftgesetz n jeem Koornatensystem glech lauten soll (sehe Kap. 1.1 ), so st es von er Form ener Zentralkraft F1 = F 12 = F 21 = F 2 = f( x 1 x 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2, (1.6).h. e Kräfte legen n er Verbnungsgeraen er been Telchen un hängen nur vom Abstan ab. Mt F 12 st e von Telchen 2 auf Telchen 1 ausgeübte Kraft bezechnet, un a es her nur zwe Telchen gbt, st as glech er gesamten Kraft F 1 auf Telchen 1. Solche Kräfte bestzen stets en Potental V(r), as urch e Lösung er Glechung V (r) = f(r) mt r = x 1 x 2 gegeben st,.h. r V(r) V(r 0 ) = r V(r ) r 0 m her skuterten enmensonalen Fall (m remensonalen Fall V = V( r) st e Rekonstrukton es Potentals komplzerter, s.u.). Das Potental legt bs auf e Integratonskonstante V(r 0 ) fest, falls V(r) ntegrabel st. 7 8

5 Für e Kraft folgt also F1 = x 1 V( x 1 x 2 ) = V (r) r, }{{} x 1 x1 x 2 x 1 x 2 F1 = V x 1 x 2 (r) x 1 x 2. (1.7) Kräfteparallelogramm Ene weteres Postulat er Newtonschen Mechank betrfft e Art, we sch Kräfte aeren, un nem wr Käfte als Vektoren notert haben, haben wr ese Annahme mplzt schon verwenet: 4. Axom (Superpostonsprnzp): Es gbt 2-Körper-Kräfte (Postulat) un ese sn av: F = Fk ( x x k ), k wobe F k e vom Telchen k auf as Telchen wrkene Kraft st (sehe Abb. 1.1). Aus Gl. (1.7) folgt ann weer e Exstenz enes Potentals mt F = V( x 1... x N ) = V x x k( x x k x k ) x x k. (1.8) k V( x 1... x N ) = Paare(,k) V k ( x x k ), (1.9) wobe e Paarpotentale V k (r) urch aus en Paar-wese wrkenen Kräften urch Integraton von V k (r) = f k(r) berechnet weren kann. Dabe st x Fk ( x x k ) = f k ( x x k x k ) x x k. Bespele sn as Sonnensystem un en System gelaener Telchen. Wr bemerken, ass as Prnzp Acto = Reacto paarwese glt un somt auch er Schwerpunktsatz Gl. (1.4) erfüllt st. Zuem glt Acto = Reacto auch für e resulterene Kraft zwschen 2 belebgen Telsystemen. Mt er Annahme aver 2-Körper-Kräfte kann man ese statsch (Feer- Kraftmesser) ausmessen. So erst bekommt e Newton sche Bewegungsglechung Gl. (1.5) enen Snn: De statsch ermttelten Kräfte bestmmen e Bewegung. 1.6 Galle-Invaranz Wr postuleren, ass e Bewegungsglechungen enes Systems er Art von Gl. (1.5) un Gl. (1.8) n jeem Inertalsystem glech lauten. Deses st ene a pror ncht zu rechtfertgene Forerung an e Struktur er Naturgesetze. Ob ese Forerung gerechtfertgt st, lässt sch nur anhan er Konsequenzen expermentell überprüfen. Heute wssen wr, ass e Galle-Invaranz nur für ncht-relatvstsche mechansche Systeme glt. En Bespel herfür sn e Newton schen Bewegungsglechungen m 2 x 2 = F ( x 1... x N ). (1.10) Galle-Invaranz beeutet, ass se nach ener Galle-Transformaton m neuen Koornatensystem e selbe Form haben müssen,.h. m 2 x 2 Des st für x = R x + b er Fall, falls = F ( x 1... x N). F ( x 1... x N) = R F ( x 1... x N ). (1.11) Abblung 1.1: Das Kräfteparallelogramm. Für e aven Zwekörperkräfte (1.8) st es er Fall. Aners ausgerückt: Mt x (t) st auch e Galletransformerte x (t ) ene Lösung er Bewegungsglechungen. Des glt auch für e Operaton er 9 10

6 Zetumkehr: t = t, x (t ) = x(t). Also st mt x(t) auch x( t) ene Lösung er Newton schen Bewegungsglechung (1.10), a ese zweter Ornung n er Zet st un somt kene Zetrchtung auszechnet. Des st ncht be sspatven Systemen, we z.b. er geämpften Schwngung, er Fall. 1.7 Erhaltungssätze Aus Gl. (1.5) folgen (a) Impulssatz p = F, Dabe lässt sch er Gesamtmpuls P = p als P = P = F. (1.12) m x = M 1 m x = MX M schreben, wobe M = m e Gesamtmasse un X = 1 M m x e Schwerpunkt-Koornate st. De Impulserhaltung st ene Folge er Homogentät es Raumes. (b) Drehmpulssatz Der Drehmpuls enes Massenpunktes st L = x p. Der Gesamtrehmpuls L = L befolgt e Bewegungsglechung L = x p }{{} m x x =0 + x F = x F = M, (1.13) wobe as totale Drehmoment M = M st mt M = x F. Der Gesamtrehmpuls lässt sch n en Drehmpuls es Schwerpunktes 11 LSP = X P un n en Relatv-Drehmpuls L rel = ( x X) p zerlegen: = X p L = + ( ) x X + X p ( ) x X p = L SP + L rel. } {{ } X P De Drehmpulserhaltung st ene Folge er Isotrope es Raumes. (c) Energesatz De Bewegungsglechung für e totale knetsche Energe T = 1 2 m x 2 st T = 1 2 m x 2 = m x x = x F. (1.14) Somt st x F e Lestung, e as System von Massenpunkten n Form von knetscher Energe aufnmmt. Auch e knetsche Energe lässt sch zerlegen: = 1 2 M X 2 + T = 1 2 m ( x X + X) 2 m ( x X) X }{{} ( m x M X) X=M( X X) X= m ( x X) 2. Also setzt sch auch e knetsche Energe aus enem Relatv-Antel, T rel, un er knetschen Energe es Schwerpunktes, T SP, zusammen: T = 1 2 M X m ( x X) 2 = T SP + T rel. 2 Für ave Zwekörperkräfte lässt sch e Lestung mt Gl. (1.7) auch als F x = V( x 1... x N ) x = V x schreben. Glechung (1.14) kann ann n e Form enes Energesatzes umgeschreben weren: (T + V) = 0. (1.15) 12

7 Man sagt auch, as System se konservatv. Für Systeme, n enen Rebungskräfte wrken, st e totale Energe T + V ncht erhalten, solche Systeme nennt man sspatv. De Energeerhaltung st ene Folge er Homogentät er Zet. Potental er Kraft Be er enmensonalen Bewegung unter em Enfluss ener ortsabhänggen Kraft war es mmer möglch, T = ( m 2 ẋ2) = mẍẋ = x V(x) mt V(x) V(x 0) = x F(x ) zu schreben,.h. enfache 2-Körperkräfte sn konservatv. Be belebgen remensonalen Bewegungen un Kräften st as ncht notwengerwese erfüllt, un man efnert: Kräfte, für e glt V( x) = F( x) x (1.16) heßen konservatv, un V( x) st ann as Potental er Kraft (e potentelle Energe). Aus Gl. (1.16) erhalten wr x) = V( V(x 1, x 2, x 3 ) = V x 1 x 1 + V x 2 x 2 + V x 3 x 3 = x) x V( un wr schleßen, ass für ene konservatve Kraft F( x) = V( x),.h. F 1 = V x 1, F 2 = V x 2, F 3 = V x 3 (1.17) gelten muss: De Kraft lässt sch als Graent enes skalaren Potentals schreben. Wr nehmen an, ass as Potental V stetge partelle zwete Abletungen bestzt; ann sn (nach em Schwarzschen Lemma) e zweten partellen Abletungen von V vertauschbar: un mt Gl. (1.17) folgt 2 V = 2 V, j = 1, 2, 3 x x j x j x F x j = F j x, j = 1, 2, 3 (1.18) 13 Nun st aber rotf F = αβγ e α β F γ ɛ αβγ, (1.19) her knapp geschreben mt em Lev-Cvta-Tensor (Epslontensor) 1 falls α, β, γ gerae Permutaton von 1,2,3 ɛ αβγ = 1 falls α, β, γ ungerae Permutaton von 1,2,3 0 sonst (1.20).h. von en 27 Elementen von ɛ αβγ sn nur 6 unglech null: ɛ 123 = ɛ 231 = ɛ 312 = 1 un ɛ 132 = ɛ 213 = ɛ 321 = 1. Ausgeschreben st rot F F = F 3 x 2 F 2 x 3 F 1 x 3 F 3 x 1 F 2 x 1 F 1 x 2 (1.21) un somt beeutet Gl. (1.18), ass rot F = 0 sen muss. Mthlfe es Stokesschen Integralsatzes kann man zegen, ass ese Bengung ncht nur notweng, sonern auch hnrechen st. Es gbt auch en ntegrales Krterum, um zu entscheen, ob ene Kraft konservatv st. Dazu schreben wr für as totale Dfferental von V 3 V V = x = V( x) x x =1 Wenn wr jetzt ese Größe entlang ener geschlossenen Kurve ntegreren, erhalten wr V( x) x = V = V Ene V Anfang = 0 C Wenn wr lnks Gl. (1.16) ensetzen, fnen wr F x = 0 F konservatv C C In Worten: Ene konservatve Kraft lestet auf enem geschlossenen Weg kene Arbet. Kurvenntegrale arf man aus Telstücken zusammensetzen (sehe Abb. 1.2). Wr wählen also en geschlossenen Weg von P 1 üeber C 1 nach P 2 un ann 14

8 C 1 P 2 hat genau ann e oben genannten 10 Erhaltungsgrößen, falls V unter jeer belebgen euklschen Transformaton nvarant st: V(R x 1 + b,... R x N + b) = V( x 1... x N ), (1.23) P 1 C 2 Abblung 1.2: Verschebung enes Massenpunktes. für alle R SO(3) = Gruppe er Drehungen mt et R = 1 un für alle b R 3. Man kann zegen, ass es mt F = 0 un M = 0 glechbeeuten st. Weterhn kann man zegen, ass e Energeerhaltung aus er Invaranz es Systems unter Zettranslatonen t t = t + a folgt. 1.8 Beschleungte Bezugssysteme über C 2 zurück nach P 1 (e Durchlaufrchtung bestmmt as Vorzechen es Kurvenntegrals!): 0 = F x + F x = F x F x = F x = F x C 2 C 1 C 2 C 1 C 2 C 1 In Worten: En Kraftfel st genau ann konservatv, wenn e Arbet bem Verscheben es Massenpunktes zwschen zwe Raumpunkten wegunabhängg st. Abgeschlossene konservatve Systeme Konservatve Systeme mt F = 0 un M = 0 nennt man abgeschlossen. Bespele sn Systeme von Massenpunkten mt aven Zwekörperkräften. Abgeschlossene konservatve Systeme haben e folgenen 10 Erhaltungsgrößen (Integrale er Bewegung): P X Pt/M L (oer Lrel ) T + V (oer T rel + V) Satz von Noether 3 Impulse 3 Schwerpunktsbewegungen 3 Drehmpulse Energe Etwas allgemener glt (sehe später, Satz von Noether): Das mechansche System m x = V( x 1... x N ) (1.22) x 15 Falls en Bezugssystem Σ (mt Ortsvektor y) ken Inertalsystem st, ann muss man e gültge Bewegungsglechung n esem System urch Transformaton er Bewegungsglechung n enem Inertalsystem Σ (mt Ortsvektor x) berechnen. Bespel: Massenpunkt n enem roterenen Bezugssystem De Bewegungsglechung m Inertalsystem Σ m x = F muss urch Ensetzen er Transformatonsglechung x = R(t) y + b(t) transformert weren; ese besagt, ass y zu jeem Zetpunkt t aners rotert un verschoben weren muss, um zum Vektor x zu gelangen. Mt en Zetabletungen x = Ṙ y + Ry + b x = R y + 2Ṙ y + R y + b wr e Bewegungsglechung zu ( m R y + 2Ṙ y + R ) y + b = F. Nach y können wr auflösen, nem wr von lnks mt R 1 von lnks multplzeren (R T = R 1 für egentlche Rotatonen,.h. Rotatonen mt et(r) = 1) mt: m y = F 2mΩ y mr T R y ma, 16

9 F = R T F Kraft, von Σ aus gesehen. a = R T b Beschleungung es Punktes y 0, von Σ aus gesehen. Ω = RTṘ Ene antsymmetrsche 3 3 Matrx. Erzeugene für Drehungen De Erzeugene Ω st antsymmetrsch, enn urch Ableten von R T R = 1 folgt R TṘ + ṘT R = Ω + Ω T = 0. Antsymmetrsche (3 3)-Matrzen blen enen 3-mensonalen Vektorraum mt en Erzeugern (er Bass) A x = A y = A z = un jee antsymmetrsche Matrx Ω kann argestellt n er Form 0 ω 3 ω 2 Ω = ω 1 A x + ω 2 A y + ω 3 A z = ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 Wegen es Zusammenhanges exp(ω) = R wr Ω e Erzeugene er Drehung genannt. De Wrkung von Ω auf y st also R TṘ y = Ω y = ω 2y 3 ω 3 y 2 ω 3 y 1 ω 1 y 3 = ω y ω 1 y 2 ω 2 y 1 mt ω = (ω 1, ω 2, ω 3 ), er vektorelle Wnkelgeschwngket m Nchtnertalsystem Σ. Wr brauchen noch Damt st R T R = ( R TṘ) ṘTṘ = Ω }{{} ṘT R }{{} R TṘ Ω T Ω R T R y = ω y + ω ( ω y). Damt lautet e Bewegungsglechung m y-system: = Ω + Ω 2. m y = F 2m( ω y) m( ω y) mω ( ω y) ma. (1.24) De rechts neben F auftretenen Kräfte heßen Schenkräfte, nsbesonere 2m( ω y) = Corolskraft mω ( ω y) = Zentrfugalkraft. Zweter Zugang zu belebg beschleungten Bezugssystemen: Wr betrachten weer e Systeme Σ mt Ortsvektor x = (x 1, x 2, x 3 ) un Bassvektoren e 1, e 2, e 3 sowe Σ mt Ortsvektor y = (y 1, y 2, y 3 ) un Bassvektoren e 1, e 2, e 3. Σ wr als Inertalsystem vorausgesetzt, Σ st belebg beschleungt. Dann st e Relatvbewegung er Systeme zusammengesetzt aus Relatvebewegung es Koornatenursprungs von Σ m Verglech zu Σ un er Rotaton er Achsen von Σ um esen Ursprung, von Σ aus gesehen. Σ x 3 x m x 1 x 2 Abblung 1.3: Beschrebung von Massenpunkt m n Inertalsystem Σ un Nchtnertalsystem Σ. Ortsvektor von Massenpunkt m st (sehe Fg. 1.3): x = b + y = b + 3 =1 b y y 1 y 2 Σ y 3 y e (1.25) Jetzt ermtteln wr e Geschwngket n been Systemen: Σ : y = 3 =1 ẏ e,.h. aus Scht es mtroterenen Beobachters n Σ sn e Achsen fest; von 17 18

10 Σ aus betrachtet seht es aners aus: 3 ( ) Σ : x = b + ẏ e + y e, (1.26) =1 Darn st b e Relatvgeschwngket er Koornatenursprünge, 3 ẏ =1 e e Geschwngket von m n Σ, 3 =1 y e e Geschwngket enes starr mt Σ mtroterenen Punktes, aus Scht von Σ. ω α y δy Abblung 1.4: Änerung δ y von y nur aufgrun er Rotaton mt Wnkelgeschwngket ω. Σ rotert mt er vektorellen Wnkelgeschwngket ω um senen Ursprung. De Änerung δ y von y urch e Rotaton steht senkrecht zu y un zu ω. Damt kann man en rtten Term umschreben (sehe Abb. 1.4): un amt δ y = ω y sn(α) = ω y δ y = Ensetzen n Gl. (1.26) ergbt Σ : 3 =1 y e = ω y x = b + y + ω y. (1.27) Mt Gl. (1.25) kann man schreben ( x ) Σ : b = y = y + ω y, (1.28) wobe wr mt y e Zetabletung aus Scht von Σ noteren, y beeutet e Zetabletung nnerhalb von Σ, un ω y st e Auswrkung er Rotaton. Damt erhalten wr ene Abletungsregel, we man n enem Inertalsystem enen Vektor abletet, er n enem roterenen System argestellt st: = + ω n Worten, e Abletung aus Scht von Σ setzt sch zusammen aus er Abletung er Komponenten n Σ un er Anwenung es Operators ω. Mt eser Regel können wr Gl. (1.27) en zwetes Mal nach er Zet ableten: ( Σ : x b ) ( ) ( = + ω y + ω y ) = y + ω y + ω y + ω y + ω ( ω y ) (1.29) = y + ω ( ω y ) + 2ω y + ω y Im Nchtnertalsystem bekommen wr also e Bewegungsglechungen m y = F m b mω ( ω y ) 2mω y ω y (1.30) Rechts sn e Terme 3 un 4 weer Zentrfugalkraft un Corolskraft. De Schenkräfte n eser Glechung (alles außer F bewrken, ass ene kräftefree Bewegung ( F = 0) enes Telchen m System Σ von Σ aus gesehen so komplzert verläuft, ass se vom Inertalsystem Σ aus geralng blebt. 1.9 Beschrebung von Bahnkurven De Bahnkurven, e von Punktmassen m Raum beschreben weren, erfassen wr mathematsch als Raumkurven. Wr wollen zunächst allgemene Egenschaften er Raumkurven festhalten. Natürlche Parametrserung Ene Raumkurve heßt glatt, wenn es mnestens ene stetg fferenzerbare Parametrserung x = x(t) gbt, für e nrgenwo x = 0 glt. Be solchen Raumkurven st es oft günstg, e Bogenlänge s anstelle er Zet t als Kurvenparameter zu verwenen. De Bogenlänge st e Länge er Raumkurve, gemessen von enem wllkürlch gewählten Anfangspunkt aus

11 Wr betrachten en Polygonzug, en wr erhalten, nem wr as Zetntervall [t 0, t] gemäß t n = t 0 + n t t N = t 0 + N t t mt t = t t 0 N untertelen (sehe Abb. 1.5). De Länge es Polygonzuges st N 1 L N (t, t 0 ) = x(t n+1 ) x(t n ) N 1 = x(t n+1 ) x(t n ) t t n=0 Zur Bogenlänge gelangen wr, wenn wr e Länge er Zetntervalle t gegen Null gehen lassen: N 1 s(t) = lm L N (t, t 0 ) = lm N N t 0 t 0 n=0 t = x(t ) t t 0 = v(t ) t 0 Daraus lesen wr auch ab s(t) = v(t) n=0 x(t n+1 ) x(t n ) t t Da wr v(t) > 0 vorausgesetzt haben, wächst s(t) streng monoton, un e Umkehrfunkton t(x) st eneutg bestmmt. Ensetzen n en Ortsvektor er Raumkurve x(t) = x ( t(s) ) = x(s) O x(t ) 0 t 0 x(t ) 1 x(t ) N t 1 21 t N Abblung 1.5: Zerlegung er Raumkurve n N Telstücke urch Zetntervalle [t 0, t 1 ],..., [t N 1, t N ]. ergbt e sogenannte natürlche Parametrserung er Raumkurve nach er Bogenlänge. Begletenes Dreben Zur Beschrebung er Bewegung ener Punktmasse m Raum st es oft günstg, ene Orthonormalbass zu verwenen, e sch als Funkton er Bogenlänge änert un mt em Telchen mtwanert. Deses begletene Dreben st aus t n b Tangentenenhetsvektor Normalenenhetsvektor Bnormalenenhetsvektor aufgebaut, e en orthonormertes Rechtssystem blen,.h. es glt t = n b, b = t n un n = b t. Wr konstrueren ese Enhetsvektoren, nem wr ausnutzen, ass er Geschwngketsvektor x = x/ n Rchtung er Tangente zegt; wr müssen hn nur normeren: t = x x x = s Wenn wr e Bahnkurve nach er Bogenlänge parametrsert haben, folgt nach er Kettenregel x(s) t(s) = s Da sch e Rchtung von t(s) mt wachsener Bogenlänge s änert, läßt sch e Krümmung er Kurve urch κ = t(s) s quantfzeren, un as Inverse von κ st er Krümmungsraus ρ = κ 1. Für ene Gerae änert sch er Tangentenenhetsvektor ncht, un es glt κ = 0 un ρ =. De Abletung enes Enhetsvektors steht senkrecht auf esem; ese Tatsache machen wr uns zunutze, um en Normalenenhetsvektor zu konstrueren: n(s) = t(s) s t(s) s = 1 κ t(s) s 22

12 De von n un t aufgespannte Ebene heßt Schmegungsebene. Der Bnormalenenhetsvektor ergbt sch jetzt urch e Forerung enes orthonormalen Rechtssystems: b(s) = t(s) n(s) b(s) steht senkrecht auf er Schmegungsebene un st be ener ebenen Bewegung konstant. Änert sch b(s) jeoch mt s, so st ese Änerung en Maß afür, we stark sch e Kurve aus er Schmegungsebene herauswnet. Wr berechnen e Änerung von b(s) als b s = t s n + n t s = n n + n t κ s = n t s Also st e Änerung von b senkrecht zu t sowe senkrecht zu b, wel b en Enhetsvektor st. Wr setzen also b s = τ n mt er Torson τ un em Toronsraus σ = τ 1. Wr können jetzt urch Ableten von n(s) = b(s) t(s) noch e Änerung es Normalenenhetsvektors n(s) mt er Bogenlänge berechnen: n s = b s t + b t s = τ n t + κb n = τb κ t De re Glechungen für e Änerung es begletenen Dreben mt er Bogenlänge heßen Frenetsche Formeln: t s = κ n b s = τ n n s = τ b κ t 23