1. Relativität von Raum und Zeit

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1 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk, SS Relatvtät von Raum und Zet Lcht bretet sch ncht n enem Medum aus, we etwa Wasser. De Ausbretung von Lchtsgnalen st als Kausalzusammenhang zwschen Lchtquelle und Lchtdetektor feststellbar, etwa zwschen ener Leuchte und enem beleuchteter Gegenstand. Deser Kausalzusammenhang kann sch ausschleßlch auf den Beobachter bezehen und st für alle Beobachter glech, unabhängg von der Bewegung des Beobachters. Ene physkalsche Beschrebung der Ausbretung von Lchtsgnalen muss auf vom Bezugssystem unabhängge Größen baseren, etwa auf Längen von Vektoren, Skalarprodukten oder Wnkel zwschen Vektoren, und Volumen. Vererortsvektoren Der erste Schrtt zur mathematschen Beschrebung der Lchtausbretung besteht darn, dese als nvarante, also vom Bezugssystem unabhängge Länge enes Vektors zu erfassen. Dazu wrd das Abstandsquadrat des Detektors von der Lchtquelle mt dem vom Lchtsgnal zurückgelegten Weg, also Geschwndgket c mal Zet t m Quadrat glechgesetzt. Des wrd durch das Längenquadrat des Ortsverervektors ausgedrückt. Lorentz-Transformaton Ausbretung von Lchtsgnalen: x + y + z c t = 0 Vererort: r,,, ( 4) ( x y z ct ) ( 4) ( r ) also: = 0 ( 4) ( 4) Wr betrachten Verervektoren r, r n zwe Koordnatensystemen oder Bezugssystemen, de sch mt ener konstanten Geschwndgket v relatv zuenander bewegen. Zum Zetpunkt der Sgnalerzeugung sollen de Ursprünge der Koordnatensysteme am selben Ort sen. De Beschrebung der Lchtsgnalausbretung st n beden Systemen dentsch, de Länge des Vererortes st jewels 0. Dadurch wrd ene lneare Transformaton zwschen den Bezugssystemen festgelegt, de Lorentz-Transformaton. Man kann se formal durch enen Koeffzentenverglech n Raum und Zet bestmmen, ganz ohne komplzerte Vorstellungen von Lchtuhren oder Zügen auf Bahnhöfen. Se st dadurch bestmmt, dass be der Transformaton von enem Bezugssystem n en anderes de Lchtgeschwndgket erhalten blebt, also dass c = c st. Ohne Beschränkung der Allgemenhet betrachtet man zur Verenfachung ene Bewegung n x- Rchtung. De y und z-rchtung bleben dann von der Transformaton unberührt, d.h. y = y und z = z. (1-1) Tübngen, den

2 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Glechhet der Vektorlänge: Lorentz-Transformaton: ( 4) ( 4) ( r ) = r r = T r ( 4) ( Lorentz) ( 4) ( 4) ( Lorentz) ( 4) ( r ) T r also: = 0 v 1 ( Lorentz) c Koeffzentenverglech n x,( ct ) und x ct Tx, ct = γ v v 1 1 c c (1-)

3 . Bewegung 3. Bewegung Bewegung wrd durch den Impuls quantfzert, wegen der Lorentz-Invaranz durch den Verermpuls. De noch unbekannte verte Komponente des Verermpulses kann mt der verten Komponente des Vererortes n Bezehung gebracht werden, ndem man das Skalarprodukt aus Ort und Impuls bldet. Deses muss en Lorentz-Skalar, also unabhängg vom Bezugssystem sen. Es wrd als Wrkung bezechnet und spelt ene zentrale Rolle für das Verständns der physkalschen Grundgesetze. Wrkung kann als skalares Potental für Bewegung aufgefasst werden. Dmensonsbetrachtungen legen nahe, de verte Komponente des Impulses als Energe zu bezechnen. Es wrd etwas später bewesen, dass sch dese Größe tatsächlch mt der Zet ncht ändert, also ene Erhaltungsgröße st. Energe [ ] [ ] ( 4) ( 4) Verermpulsfeld: p r ( 4) ( 4) Lorentz-Skalar: p dr = p dr + p4 ( cdt) ds ( 4) S Wrkungfeld S ( r ): S = p, = cp4 Dmensonsbetrachtung: Energe: [ ] [ ] Zet Kraft Kraft Weg [ S] = [ Impuls] [ Weg] = [ Zet] [ Kraft] [ Weg] = [ Zet] [ Energe] S E = cp 4 De Länge des Verermpulses muss ene Lorentz-Invarante sen. Es legt nah, se mt der Lchtgeschwndgket c n Bezehung zu brngen. m0 st ene wetere Konstante, de sch erst später als Ruhemasse erwesen wrd. Wr betrachten auch den Ausdruck für de Energe be relatv klenen Bewegungen, den sogenannten nchtrelatvstschen Grenzfall. ( 4) Verermpuls: p =, / Energe: Beschleungte Bewegung ( p E c) 4 E p = p = m 0c c p E = m0c + p c = m0c + p + O 4 4 m0 m0c Der Bewegungszustand der Welt st ener ständgen Veränderung unterworfen. Insowet dese Veränderung bewusstsensfähg st, unterlegt se strengen Gesetzen. Wenn etwa wenn en Sten senen Impuls aufgrund sener Erdschwere ändert, st dese Änderung proportonal zur Schwerkraft. Dese Gesetze können später gesondert betrachtet werden. An deser Stelle führen wr en Potental V ( r ) n den nchtrelatvstschen Energeausdruck en, um beschleungte Bewegungen effektv zu erfassen. Wr unterscheden auch ncht mehr Masse und Ruhemasse. (-1) (-) Tübngen, den

4 4 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Energe mt Kräften: 1 (-3) m E = p + V r Hamlton-Jacob-Glechung und Energe-Erhaltung De nchtrelatvstsche Energe lässt sch durch de Wrkung ausdrücken. Dadurch erhält man de bekannte Hamlton-Jacob-Glechung. En Seperatonsansatz führt auf de Erhaltung der Energe. E S ( S ) Hamlton-Jacob-Glechung: + + V ( r ) = 0 m Seperatonsansatz: S ( r, t) = W r ( r ) + Wt ( t) W ( Wr ( r ) t t ) Hamlton-Jacob-Glechung: = + V ( r ) = konst. m p m = E, Unabhängg von t unabhängg von r Wt t Energe: E = = zetlch und räumlch konstant Impulsfeld: p r = W r = ± m E V r = zetlch konstant r ( ) (-4)

5 3. Klasssche Mechank 5 3. Klasssche Mechank De klasssche Mechank basert auf der Abstrakton von Körpern auf Bahnkurven. Zu jedem Zetpunkt hat der Körper ene exakte Poston m Raum r ( t) und ene Geschwndgket v ( t). st proportonal zur Geschwndgket. De Bewegung des Körpers oder sen Impuls p ( t) Geschwndgket: Bewegung: Bahnkurve: r t v ( t) lm ε 0 ε p t p r t m v t ( + ε ) r ( t ) ( ) = 0 1 r ( t) = r ( t0 ) + p ( r ( t )) dt m Das n (-4) aus der Hamlton-Jacob-Glechung extraherte Impulsfeld enthält de rchtge Anzahl von Konstanten, um das Impulsfeld an de Geschwndgket n enem Punkt der Bahnkurve anzupassen. De Bahnkurve st so endeutg defnert, aber umständlch zu berechnen. r t so über das Impulsfeld Es gbt nun verschedene andere Möglchketen, de Bahnkurve p ( r ) zu legen, dass an jedem Punkt der Bahnkurve Bewegung und Geschwndgket proportonal snd. Newtonsche Bewegungsglechung aus Energeerhaltung Aus der Energeerhaltung ergbt sch enfach de Newtonsche Bewegungsglechung. Varablen: r = r t, p = p t = mr ɺ t t t0 de d 1 Konstante Energe: 0 = = p + V ( r ) dt dt m 1 ppɺ + V ( r ) rɺ = ( pɺ F ) rɺ m Bewegungsglechung: p ɺ = F Se egnet sch gut für Probleme mt lnearen Kräften, etwa für den freen Fall oder de Pendelbewegung. Auch de Bewegung m Zentralfeld der Gravtaton, also de Planetenbewegung lässt sch damt behandeln, allerdngs st des schon enfacher mt folgender Methode. Trennung der Varablen Für de Bewegung m Zentralfeld oder be anderen nchtlnearen Kräften egnet sch de sogenannte Trennung der Varablen. Zetablauf: Auflösen: r ( t) = 1 Substtuton: r= r t dr= rɺ t dt ( ) mrɺ ( t ) m t = dt = dt = dr = t r p ( t ) p( r) t r (3-1) (3-) (3-3) Tübngen, den

6 6 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Deses Verfahren st sehr mächtg. Da der Ausdruck mrɺ / p = 1verwendet wrd, geht das jedoch nur für skalare Impulsfelder. Alle ntegrablen Systeme lassen sch jedoch mt Hlfe generalserter Koordnaten auf geegnete Wese separeren. Hamltonsche Bewegungsglechungen Mt Hlfe der 1 Hamlton-Funkton: H r, p p V r m mt: r = r t, p = p r = mrɺ + lassen sch Bewegungsglechungen für Ort und Bewegung aufstellen, für deren Lösung r t, p r t de Hamlton-Funkton H dentsch st mt der Energe E = konst, also ( ) S (3-5) Energe: E = H ( r, p) r = r ( t), p= p( r ( t )) Zunächst fndet man für de Damt berechnet man de 1 zetlche Entwcklung des Ortes: xɺ p = H m p zetlche Entwcklung des Impulses: d S S S S H H H pɺ = + xɺ j = + p j + dt x x x x j x H p j x x x d S H = + H dx x Nun kann de Energeerhaltung engebaut werden. Energeerhaltung: also: Insgesamt erhält man so de p j d S = + H dx H r = r t p= p t, H pɺ = x S = E t (3-9) xɺ = H p Hamltonsche Bewegungsglechungen: H pɺ = x Se enthalten Konstanten we Anfangsort und Energe, de ene Anpassung der Bahnkurven an Anfangs- oder Randbedngungen ermöglchen. (3-4) (3-6) (3-7) (3-8)

7 3. Klasssche Mechank 7 De Hamltonschen Bewegungsglechungen stellen ene allgemene Formulerung der klassschen Mechank dar. Se gelten auch für generalserte Koordnaten und erlauben so de Lösung aller lösbaren mechanschen Probleme.

8 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen 8 4. Klasssche statstsche Mechank Be der statstschen Behandlung mechanscher Probleme betrachtet man ncht Körper auf Bahn- r t ρ r, t, den Körper zur Zet t am Ort r kurven, sondern ene Wahrschenlchketsdchte zu fnden. De Wahrschenlchket W ( t ), den Körper zur Zet t überhaupt zu fnden, darf sch mt der Zet ncht ändern, se muss erhalten sen. Das st de Bedngung für Objektvät oder Bewusstsensfähgket des Phänomens. De zetlche Entwcklung der Wahrschenlchket darf kene Wllkür enthalten, sondern strengen Erhaltungsregeln folgen. Dese Erhaltung wrd durch de Kontnutätsglechung erfasst. Kontntutätsglechung: ɺ ρ + j = 0 (4-1) p S mt Wahrschenlchketsstrom: j = ρv = ρ = ρ m m Interpretert wrd de Kontnutätsglechung we folgt: Ändert sch n enem Raumgebet V de Wahrschenlchket für das auffnden des Körpers, dann muss en entsprechender Wahrschenlchketsstrom durch de Oberfläche V des Raumgebetes fleßen und so dass de Wahrschenlchket außerhalb des Raumgebetes entsprechend größer wrd. Erhaltung der Wahrschenlchket: 0 = ɺ = ɺ = = 3 3 W ρd r j df j d r ( ɺ ρ ) 3 also: + j d r = 0 V V V V da des für alle V glt: ɺ ρ + j = 0 Kontnuttätsglechung Inhalt, Bewegung und en erster Schrtt zu hrer Verknüpfung Nun st also en System aus zwe gekoppelte, nchtlneare Glechungen zu lösen. Ene Glechung, de Kontnutätsglechung beschrebt de zetlche Entwcklung der Wahrschenlchket für das Auffnden enes Körpers, oder auch für das Erschenen enes Inhaltes. De andere, de Hamlton- Jacob-Glechung beschrebt de zetlche Entwcklung der Wrkung, also de Bewegung. Durch ene mathematsche Transformaton lassen sch de beden Aspekte Inhalt-Bewegung verknüpfen. De zetlche Entwcklung wrd gemensam durch ene enzge Glechung beschreben, de aber komplex st. (4-) Tübngen, den

9 4. Klasssche statstsche Mechank 9 ρ 1 Inhalt: + ρ S = 0 m Bewegung: Verknüpfung: Komplexe Zetentwcklung: Kontnutätsglechung S 1 = + m ψ = ρ ( S ) V ( r ) Hamlton-Jacob-Glechung R, Wahrschenlchketsampltude e S / S0 ħ ψ S 0 S0 R = ψ + ψ + Vψ m m R Q Quantenpotental De komplexe Zetentwcklung ergbt sch aus der zetlchen Entwcklung von Inhalt-Bewegung n ener etwas umfangrecheren Rechnung. Weter unten wrd noch darauf engegangen, auch auf de Bezechnung ' Quantenpotental' für Q. De Verknüpfung von Inhalt und Bewegung gelngt offenschtlch ncht vollständg, de komplexe Zetentwcklung enthält explzt de Wahrschenlchketsampltude R. (4-3)

10 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Quantenmechank (QM) Um atomare Phänomene rchtg zu beschreben, snd dre Modfkatonen der klassschen Statstschen Mechank erforderlch. Das Quantenpotental Q muss n de Hamlton-Jacob-Glechung aufgenommen und so aus der komplexen Zetentwcklung n (4-3) elmneren werden. Offenschtlch st ene verenhetlchte Betrachtung von Inhalt und Bewegung rchtg. De Interpretaton der Wahrschenlchketsdchte ρ ( r, t) ändert sch. Man macht Aussagen über das Ansprechen enes Detektors, ncht über das Auffnden enes Körpers. Wr sehen zum Bespel ken Elektron, sondern das Aufbltzen enes Leuchtschrms oder de Schwärzung ener Fotoplatte. Ferner erwest sch de Konstante S 0 gerade als das Planksche Wrkungsquantum ħ, also als ene fundamentale Naturkonstante we de Lchtgeschwndgket c. Insgesamt führen dese dre Modfkatonen von der komplexen Zetentwcklung n (4-3) zur Schrödnger-Glechung und zur Kopenhagener Interpretaton der Quantenmechank. Quantserung De rchtge Behandlung des Quantenpotentals Q errecht man formal über de sogenannte Quantserung. Man ersetzt de klassschen Ausdrücke für Impuls und Energe durch Dfferentaloperatoren ˆ ħ ħ E Eψ = ψ, p pˆ ψ = ψ. Klassscher Impuls: QM- Impuls: Verglech mt p: S p = x ħ R ˆ p ψ = ψ = S + ψ p R ħ x = ħ R ħ pˆ ψ * pˆ ψ dx = ψ * S + ψ dx = p + RR dx R 1 = ( R ) dx= p = 0 ρ (5-1) Tübngen, den

11 5. Quantenmechank 11 Knetsche Energe pˆ ħ ħ R ψ = ψ = p ψ n der QM: + m m m x ħ R ħ R R R = p + + p + m ħ R R ħ R p ħ R = ψ + magnäre Antele m m R T Q der KM ψ (5-) Her sehen wr, dass durch de Quantserung de klasssche Knetsche Energe durch das oben engeführte Quantenpotental ergänzt wrd. In der komplexen zetlchen Entwcklung taucht es dann ncht mehr auf, man bekommt de Schrödnger-Glechung. Quantenpotental Da Ort und Geschwndgket ncht belebg genau gemessen werden können, gbt es ene prnzpelle Unkenntns über Bewegung. Genau dese wrd m Quantenpotental berückschtgt und führt de klasssche statstsche Mechank über n de Quantenmechank. Betrachten wr zum Bespel etwas, das sch klasssch gesehen n absoluter Ruhe befndet. Unabhängg davon lefert das Quantenpotental doch enen Betrag zu Streuung der Bewegung. Schrödnger-Glechung Ruhendes Quant : p = S = 0 also: p pˆ = m Q p= 0 p= 0 T = 0! Zur Quantserung wrd also das Quantenpotental n de Hamlton-Jacob-Glechung aufgenommen. Durch de Verknüpfung von Inhalt und Bewegung m Quantenfeldψ führt das auf de Schrödnger-Glechung der Quantenmechank. ρ 1 Inhalt: + ρ S = 0 m Kontnutätsglechung S 1 Bewegung: = +, + m Mathematsche Transformaton: Schrödnger-Glechung: S / ħ ψ = ρe ( S ) Q ( r t) V ( r ) Quanten- Potental Hamlton-Jacob-Glechung ħ ψ ħ ψ m = + Vψ (5-3) (5-4)

12 1 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Unschärfe-Relaton ħ R Der verallgemenerte Impuls der Quantenmechank pˆ ψ = S + ψ bewrkt ene prnzpelle R Unschärfe der Wrkung, was durch de Hesenbergsche Unschärferelaton beschreben wrd. Dese kann formalen abgeletet werden. mt α R: ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) 0 x + α p ψ dx = x α p ψ * x + αp ψ dx = xˆ + α pˆ + αx ˆψ * pˆ ψ αψ * ˆ ˆ pxψ dx ħ + xp ˆˆ ψ ħ = xˆ + α pˆ αħ = pˆ α α + pˆ xˆ pˆ xˆ = pˆ ħ ħ α + pˆ 4 pˆ pˆ 0 0! Da der erste Term n der großen Klammer als Quadrat mmer größer als 0 st, muss das für den Rest der großen Klammer auch gelten. also: xˆ pˆ = x = p Ortsstreuungs- Impulsstreuungquadrat quadrat ħ 4 ħ Hesenbergsche Unschärferelaton: x p Dese Unschärferelaton st allen ene Konsequenz des Quantenpotentals! Deses führt ja selbst be Ruhe oder glechförmger Bewegung zu ener Impulsunschärfe p = m Q. Deses Quantenpotental st expermentell nachwesbar und rechtfertgt so de Ersetzung 0 S ħ. Das Planksche Wrkungsquantumħ st sozusagen der Maßstab, n dem Wrkungen am genauesten messbar snd. Klener Wrkungen lassen sch nur statstsch erfassen. In deser Unbestmmthet oder Unschärfe exsteren auch de Atom oder Elektronen, Protonen, Neutronen als Superposton von möglchen Wrkungen. Man bezechnet se daher besser ncht als Telchen, sondern als Wrkungsquanten. (5-5) (5-6)

13 6. Wechselwrkung Wechselwrkung Wechselwrkung wurde n (-3) als Potental zur Energe hnzugefügt. Damt wurde de Lorentz- Invaranz verletzt und das soll her überdacht werden. Das Impulsfeld oder das Wrkungsfeld als Impulspotental beschrebt Bewegung. Und dese kann sch ändern. Um das zu sehen, muss man enfach enen Gegenstand fallen lassen. Aus dem Ruheszustand heraus nmmt er Bewegung auf und fällt zu Boden. Mehr st ncht zu beobachten. Und dese Beobachtung kann mathematsch formulert werden auf der Grundlage von Kontextunabhänggket bzw. Objektvtät bzw. Lorentz-Invaranz. Wenn sch der Impuls ändert, dann hat de entsprechende Impulskomponente enen Gradenten. Deser Impulsgradent darf kenerle Wllkür unterlegen, er muss erhalten sen, also ener Kontnutätsglechung unterlegen. Invarante Formulerung der Kontnutätsglechung Da es weder um Lorentz-Invaranz geht, muss zunächst de Kontnutätsglechung aus (4-1) als Sklarprodukt von Verervektoren ausgedrückt werden. Kontnutätsglechung: = ρ + dv ( ρv ) = ργ γ c + dv ργ γ v ct ρ 4 0 = v ρ0 ( µ v ) µ = 1..3 ( 4) ( 4) µ µ = dv ( j ), j ρ0v dv( j ) j4 ct ( 4) ( 4) mt Vererstrom: j ρ v und nvaranter Dchte ρ0: ρdv = ( ργ )( γ dv ) = ρ0dv0, γ = 1 v / c ρ 0 Änderung des Bewegungszustandes Der Verer-Gradent jeder Impulskomponente muss nun dese Kontnutätsglechung erfüllen. dv0 ( 4 ) ( p ) µ { } Impuls st.a. ncht konstant: grad 0, 1..4 µ (6-1) (6-) Kontnutät des Impulsgradenten: also: ( 4) ( 4 ) = 0 ( außer an Quellpunkten ) dv grad pµ p = pµ j Quelle µ µ Tübngen, den

14 14 K.Bräuer: Phlosophsche Aspekte der modernen Physk 01 - Ergänzungen Bespel: Statonär mt ruhender Punktquelle Potental-Glechung: p Quelle µ µ pµ p µ statonär: Quelle jµ = ρ ( v, c) ρ ( 0, c ) ruhende Punktladung: j r j r q r, q : Ladung µ δ also : = δ, = = p4 d f = 4π r p4 = j p4 e r p4d r q r d r ( mt Rotatonssymmetre) Coulomb-Potental, q q 1 p4 =, p 4 = Gravtatons-Potental: 4π r 4 π r E = c δ Wr bekommen so de bekannten physkalsche Zusammenhänge. (4) Üblcherwese ordnet man desen Impulsgradenten enem neuen Feld, dem Vektorpotental A zu. Dese Zuordnung bezechnet man als 'Mnmale Substtuton'. Im nächsten Abschntt über (4) 'Raumkrümmung' sprechen wr dann en Verfahren, das ohne deses zusätzlche Feld A auskommt. Elektrodynamk, Gravtaton De 'Mnmale Substtuton' und de Kontnutät des Gradenten führen zur bekannten Potentalglechung, also zur Lorentz-nvaranten Darstellung der Maxwell-Theore. De Maxwell- Glechungen ergeben sch daraus durch de geegnete Defnton der elektrschen und magnetschen Felder. Ladung ( 4) ( 4) ( 4) 4 4 'Mnmale Substtuton': S = p p + q A, A = A, / c Erhaltener Loretz-Skalar st nun ( 4) ( 4) ( p + A ) = m0 c 1 ( φ ) ( 4) 4 Potental-Glechungen: Aµ = jµ, j = ρ ( v, c) = ρ0v Äquvalent zu den Elektrschem Feld: E φ A mt ct Maxwell-Glechungen: Magnetschem Feld: B A Der Zusammenhang zwschen Maxwell-Glechungen und Potentalglechungen wrd n jedem ED-Lehrbuch beschreben. (6-3) (6-4)

15 7. Raumkrümmung Raumkrümmung Im letzten Abschntt wurde de Impulsänderung durch en Vektorpotental beschreben, das n unserer Wahrnehmung ncht exstert. Es geht auch ohne de Enführung zusätzlcher Felder, de n der Natur ncht gefunden werden. De Grundlage unserer bewussten Welterfahrung st der Raum. Auch der Raum exstert ncht objektv, also unabhängg vom Beobachter. Er wrd velmehr von uns unbewusst geschaffen, um de Welt bewusst erleben zu können. Der Raum st de Grundlage aller physkalschen Welterfahrung- und Beschrebung. Es schent sehr natürlch, de Impulsgradenten auf de Struktur des Raumes zurückzuführen. Deser wrd von uns unbewusst so geschaffen, dass Impulsgradenten exsteren, auch m Rahmen der Lorentz-Invaranz. Ene Raumkrümmung bewrkt Flehkräfte, de Äquvalent snd zu den aus dem Vektorpotental ( 4) A resulterenden Kräften. De mathematsche Beschrebung des Äquvalenz-Prnzps macht nur Snn mt generalserten Koordnaten und der daraus resulterenden Metrk. So kann Raumkrümmung mathematsch erfasst werden. Dese mathematsche Beschrebung der Raum-Zet und der physkalschen Grundgesetze mt generalserten Koordnaten wrd an anderer Stelle formulert. Tübngen, den