2.3 Symmetrien und Erhaltungssätze

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1 2 Analytsche Mechan 23 Symmetren un Erhaltungssätze 231 Konstanten / Integrale er Bewegung De Lagrange-Glechung ermöglcht ene rete un enhetlche Herletung er wchtgsten Erhaltungssätze Man ann aus er Lagrange-Glechung ret zegen, ass ür s verallgemenerte Koornaten 2s 1 Konstanten er Bewegung exsteren müssen: Wr haben s verallgemenerte Koornaten q un s verallgemenerte Geschwngeten q, also nsgesamt 2s ynmsche Varablen Be er Integraton er s Bewegungsglechungen zweter Ornung erhalten wr 2s Integratonsonstanten C, e aus en Anangsbengungen bestmmt weren Außerem benötgen wr 2s Anangsbengungen, h wr benötgen e Koornaten un Geschwngeten zur Zet t 0: q 0 q (0,C 1,,C 2s ), q 0 q (0,C 1,,C 2s ) Aus esen 2s Bewegungsglechungen weren sowe 2s Anangsbengungen erhalten wr e 2s Integratonsonstanten un amt e Koornaten un Geschwngeten als Funton er Zet, h heßen Integral er Bewegung oer Konstante er Bewegung oer Erhaltungsgröße Dese Größen bleben onstant ür alle Bahnen, welche e Bewegungsglechungen erüllen 232 Integrable Systeme En System mt s Frehetsgraen st ntegrabel, wenn es unabhängge Konstanten F (q, q,t)c, 1,,s gbt Damt legen alle Bahnurven enes ntegrablen Systems au ener s-mensonalen Hpyerläche m 2s-mensonalen Raum (q, q ) Bespel: en enmensonaler harmonscher Oszllator mt er Lagrange-Funton L T V m 2 ẋ2 m 2 ω2 x 2 erüllt e Glechung ẋ x m(ẍ + ω2 x)0 De Lösung lautet x(t) Asn(ωt + ϕ 0 ) ẋ(t) Aω cos(ωt + ϕ 0 ) q q (t,c 1,,C 2s ), q q (t,c 1,,C 2s ) Darn tauchen e 2s Integratonsonstanten au Es st grunsätzlch möglch, eses System aus 2s Glechungen zu nverteren, h e Integratonsonstanten als Funton er Koornaten un Gesschwngeten arzustellen, c c (q 1,q s, q 1, q s,t), 1,,2s) Es exsteren somt 2s Größen, welche zwar ormal von en Koornaten un Geschwngeten abhängen, aber onstant, h zetlch unveränerlch sn Denton: Größen F, ür e glt F 0 Abblung 215: Bahnurve es 1D harmonschen Oszllators m Phasenraum Des entsprcht er Parameterarstellung ener Ellpse, we n Abb 215 argestellt Der 1D harmonsche Oszllator bewegt sch somt au ener Bahnurve mt enem enzgen Frehetsgra Das System bestzt en Integral er Bewegung, e Energe E(x,ẋ)T +V 22

2 2 Analytsche Mechan 233 Bsp: Translaton n er Zet Da n en Bewegungsglechungen enes geschlossenen Systems e Zet ncht explzt erschent, müssen wr e glechen Resultate erhalten, wenn wr en Ursprung er Zetachse um enen Betrag t 0 verscheben Man ann eshalb mmer ene er Integratonsonstanten urch ene Verschebung er Zetachse elmneren Das enachste Bespel st e Funton q(t)at + b Abblung 216: Verschebung er Zetachse 234 Koornatentransormaton Ene Koornatentransormaton (Punttransormaton) enert en Übergang von enem Satz Koornaten {q } zu enem zweten Satz {Q }, wobe e Form er Abhängget zunächst belebg se, außer ass e neuen Koornaten ncht von en Geschwngeten q er alten abhängen sollen Loal am Punt P önnen wr se lnearseren; M(P) Q 1 Q 1 q q 1 Q q 1 Q q Dese Bezehung st (am Punt P) umehrbar, alls e Jacob-Determnante J an esem Punt ncht veschwnet, J Det Q 1 Q 1 q q 1 Q q 1 Q q 0 Her önnen wr e Integratonsonstante b elmneren, nem wr e Zetachse verscheben: h q(t t t 0 )a(t +t 0 )+b at + at 0 + b, q(t )at, allst 0 b a P q2 P Q2 Q1 ach er Wahl es Ursprungs er Zetachse bleben somt 2s unabhängge Glechungen un 2s 1 Integratonsonstanten un e Zet als unabhängge Varable Wr önnen nun ese Glechungen statt als Bestmmungsglechungen ür e Varablen q, q auch als Bestmmungsglechungen ür e 2s 1 Integratonsonstanten un e Zet auassen Dann wr oenschtlch ass e Integratonsonstanten unabhängg von er Zet sn, h es sn Konstanten, resp Integrale er Bewegung In enem System mt velen Frehetsgraen net man eshalb ene grosse Zahl von Konstanten er Bewegung Allerngs spelen ncht alle ene wchtge Rolle Wr suteren n er Folge e wchtgsten, welche sch ret aus Symmetreegenschaten es Raumes, resp er Zet ableten lassen Dese Größen weren als Erhaltungsgrößen bezechnet q1 Abblung 217: Kooratentransormaton Seen nun q un Q e Koornaten es selben Puntes P Für enen Punt P, er gegenüber P nntesmal verschoben st, önnen wr e neuen Kooranten schreben als Q Q(q + δq )Q(P)+Mδq + O(δq 2 ) Falls e Inverse er Matrx M exstert, önnen wr ese Glechung loal nverteren, q q(p)+m 1 δq δq Q (P ) Q(P) 23

3 2 Analytsche Mechan 235 Fehlene Formnvaranz er Bewegungsglechungen Wenn wr ene Koornatentransormaton vornehmen, so ann sch e Form er Glechungen änern So lauten e ewton schen Bewegungsglechungen n 2D ür artessche Koornaten mẍ V x mÿ V y Hätte e ewton sche Glechung n en Polaroornaten r,ϕ e gleche Form we n en artesschen Koornaten, so würe se lauten m r V r m ϕ V ϕ Dass es so ncht orret sen ann, zegt berets ene enache Dmensonsanalyse Deses Problem stellt sch allgemen bem Übergang n en Koornatensystem, welches en Interalsystem st De orrete Form erhält man, nem man zb mt Hle es Prnzps von Alembert Enacher st es, von er Lagrange-Glechung auszugehen We wr m Kaptel 236 zegen weren, st ese ormnvarant Abblung 218: Transormaton von artesschen zu polaren Koornaten Wr benötgen aür e Transormatonsglechungen ür e Koornaten x r cosϕ y r snϕ un ür e Geschwngeten ẋ ṙ cosϕ r snϕ ϕ ẏ ṙ snϕ + r cosϕ ϕ De netsche Energe n en neuen Koornaten st T m 2 (ẋ2 + ẏ 2 ) m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) Wr verwenen e Lagrange-Glechung n er Form T T ṙ r V V ṙ r Wenn wr berücschtgen, ass as Potenzal ncht von en Geschwngeten abhängt, verenacht sch es zu T ṙ T r V r Wr setzen en Ausruc ür e netsche Energe en un erhalten T T ṙ r m( r r ϕ2 ) V r ür e raale Koornate Für en Spezalall enes Zentralratproblems (h V / φ 0) erhalten wr ür e Wneloornate mr(r ϕ 2ṙ ϕ)0 236 Formnvaranz er Lagrangeunton Wr untersuchen jetzt e Frage er Formnvaranz ür e Lagrangeunton: n artesschen Koornaten lautet e Lagrange-Glechung zweter Art q q 0 Ist se ormnvarant, so muss se n en transormerten Koornaten emnach L L 0 Q Q lauten Dazu betrachten wr e Geschwngeten er neuen Koornaten un entwceln ese n en Alten: Q Somt st Q q Q q Q q q + Q t 24

4 2 Analytsche Mechan un q Q q Q (24) Wr betrachten nun e neue Lagrange-Funton L, e wr urch Ersetzen von q (Q ) aus er alten erhalten: L (Q, Q,t)L (q (Q,t), q (Q, Q,t),t) Für e Lagrange-Glechung benötgen wr e partellen Abletungen nach Q j un Q j q + q (25) Q j q Q j q Q j un Q j q + q (26) q Q j q Q j De Punttransormaton st geschwngetsunabhängg; somt st q Q j 0 un Glechung (26) verenacht sch zu Q j q q Q j q q Q j Im zweten Schrtt haben wr e Bezehung (24) verwenet Wr benötgen jetzt e totale Zetabletung eses Ausrucs L q + q (27) Q j q Q j q Q j De Lagrange-Glechung ür e neuen Koornaten erhalten wr aus er Derenz von 27 un 25: L L Q j Q j q + q q Q j q Q j q + q q Q j q Q j q 0, q q Q j a er Ausruc n Klammern verschwnet Damt olgt aus 0 q q auch h L L 0, Q Q De Lagrange-Glechung st nvarant unter Puntoornatentransormatonen Wenn se n enem Koornatensystem erüllt sn, so sn se es auch n jeem aneren Koornatensystem Des st ene er wchtgsten Motvatonen ür e Anwenung es Lagrange-Formalsmus: Se erlaubt enem, n belebgen Koornatensystemen (auch n beschleungten), e Bewegungsglechungen abzuleten 237 Vralsatz Wr betrachten e Größe G p r un hre zetlche Änerung G p ṙ +ṗ r Der erste Term st gerae as Doppelte er netschen Energe, er zwete ann, gemäß ewton s Theorem, geschreben weren als Prout aus Kräten un Vetoren, p ṙ +ṗ r 2T +F r Wr blen as zetlche Mttel über ene Zet τ: 1 τ G τ 0 1 τ [G(τ) G(0)] 2T + F r (28) 25

5 2 Analytsche Mechan Für en gebunenes System sn Orte un Impulse beschränt un somt st G(t) enlch Insbesonere glt es ür G(τ) un G(0) Damt wr lm G τ 1 τ G 0 τ 0 Damt olgt aus Glechung 28 er Vralsatz: T 1 2 F r Anwenung: Zentralratproblem mt enem r Potenzal: Das Potenzal se V (r)αr De Krat st somt F V (r) αr 2 r Somt st as Prout F r αr V (r) un e netsche Energe gemäß Vralsatz wr T V 2 Wchtge Spezalälle sn er harmonsche Oszllator mt 2 un somt T V 1/r Potenzal mt 1 un somt T 1 2V 238 Ähnlchetstransormaton Wr betrachten ene neue Lagrangeunton L, e wr aus er alten Funton L urch Salerung mt enem onstanten Fator γ erhalten haben: L (q,t)γl (q,t) Aus em Verglech er entsprechenen Lagrange- Glechungen γ L L 0 q q q q ür jees st erschtlch, ass bee Lagrange- Funtonen e gleche Bewegung beschreben Wr wollen uns ese wchtge Egenschat er Lagrangeunton zu nutze machen, um Egenschaten er Lösung er Telchenbewegung zu nen, ohne explzt e Bewegungsglechung lösen zu müssen Wr untersuchen Systeme, ür e e potenzelle Energy V ene homogene Funton vom Gra K er Koornaten q st: V (αq 1,,αq )α K V (q 1,,q ) un α onstant Wr eneren jetzt ene Ähnlchetstransormaton urch e Salenunton q αq t βt, wobe wr e Konstante β noch bestmmen müssen Damt erhalten wr q t α β q T α2 β 2 T Ṽ α K V Damt st e neue Lagrangeunton L T Ṽ α2 β 2 T αk V Se beschrebt somt as gleche mechansche System wenn γ α2 β 2 αk Somt muss er Salerungsator ür e Zet olgener Bengung gehorchen: β α 1 K/2 α δ Deser Zusammenhang zwschen er Salerung von Längen un Zeten charatersert e Art es physalschen Systems: 26

6 2 Analytsche Mechan K physalsches System 2 harmonscher Oszllator 1 Telchen m Gravtatonsel -1 Zentralratproblem 239 Echnvaranz δ Beschrebung 0 τ unabhängg von er Auslenung: Ampltue un Frequenz sn ncht geoppelt 1/2 τ 2 z: Wurparabel 3/2 τ 2 3 : 3 Keplersches Gesetz Zwe Lagrange-Funtonen L un L, eren Derenz als totale zetlche Abletung ener Funton χ(q,t) geschreben weren ann, L L + χ(q,t), beschreben e gleche Dynam De Transormaton bezechnet man als loale Echtransormaton: Se ann an jeem Ort unterschelch sen Allerng ar χ nur vom Ort, aber ncht von er Geschwnget abhängen Bewes: Wr schreben en Derenzterm als χ(q χ,t) q + χ q t Damt wr er erste Term er Lagrange-Glechung q un er zwete + χ q q + χ q q q Zusammen erhalten wr L q q + χ q q 0 q q Des st analog zur Eletroynam: Dort waren e Bewegungsglechungen nvarant unter ener Transormaton er Potenzale: A A A + χ Φ Φ Φ χ t 2310 Kanonsche Krat un anonscher Impuls Wr betrachten ene Lagrange-Funton L T V, be er nur er Potenzal-Term V von en Koornaten q abhängt Dann st (T V ) V q q q De Abletung enes Potenzals nach ener generalserten Koornate ann als ene generalserte Krat verstanen weren Umgeehrt hängt nur e netsche Energe von en Geschwngeten ab, h (T V ) T q q q Es legt eshalb nahe, p q T q als enen generalserten Impuls zu nterpreteren Da er urch Abletung nach q aus L entsteht, gehört er zur Koornate q un wr auch als anonscher Impuls bezechnet Damt erhalten e Lagrange- Glechungen ene ewton-ähnlche Form: ṗ q Bespel 1 : Frees Telchen De Lagrange-Funton enes reen Telchens st L T 1 2 m ṙ 2 27

7 2 Analytsche Mechan Der anonsche Impuls hat somt e Komponenten p x ẋ mẋ p y ẏ mẏ p z ż mż Der anonsche Impuls entsprcht her also em Stanarmpuls Bespel 2 : Penel Für en Penel er Länge mt Auslenung ϕ lautet e Lagrange-Funton L m 2 2 ϕ 2 + mgcosϕ Der entsprechene anonsche Impuls st somt p ϕ ϕ m2 ϕ We ene Dmensonsanalyse pϕ gm 2 s zegt, st es ncht glech em nematschen Impuls mv m ϕ, sonern glech em Drehmpuls L m 2 ϕ Bespel 3 : Telchen m eletromagnetschen Fel Für en Telchen m eletromagnetschen Fel wr e Lagrange-Funton L T qφ + qv A Damt wr er anonsche Impuls p v mv + q A, h er wecht vom nematschen Impuls mv ab, un zwar um as Prout aus Laung un Vetorpotenzal Er st amt ncht echnvarant! Allgemen st er anonsche Impuls glech em nematschen Impuls alls e Bewegung n enem geschwngetsunabhänggen Potenzal stattnet Des st zb ncht er Fall ür gelaene Telchen n enem Magnetel Dort erhält man en anonschen Impuls als p mv + qa aus em nematschen Impuls Umgeehrt erhält man en nematschen Impuls als mv p qa 2311 Zylsche Koornaten un Erhaltungsgrößen Wenn ene Lagrange-Funton L ene Koornate q ncht enthällt, sonern nur q, nennt man q ene zylsche Koornate Für ene solche Varable reuzert sch hre Lagrange-Glechung zu q p 0 Damt st er anonsche Impuls p ene Konstante er Bewegung un blebt erhalten Wenn L ncht von q abhängt, beeutet es, ass e Lagrangeunton sch unter er Koornatentransormaton q q q + a ncht änert, h L (q,t)l (q,t) Das System st somt translatonsnvarant bezüglch eser Koornate un er zugehörge anonsche Impuls st ene Erhaltungsgröße Für en vollstäng translatonsnvarantes System glt V const un amt sn alle q zylsch Als Konsequenz erhalten wr e Impulserhaltung De Erhaltung es Gesamtmpules P olgt, wenn as Potenzal nur von en relatven Koornatenq q j abhängt un ncht von en Schwerpuntsoornaten q Des entsprcht em Träghetsgesetz von Galle un ewton 28

8 2 Analytsche Mechan 2312 Knetsche Energe als quaratsche Form Wr betrachten mt Telchen un generalserten Koornaten Dann st e netsche Energe T ene quaratsche Funton er verallgemenerten Geschwngeten q : T,l A l q q l (29) alls e Koornatentransormaton von en artesschen Koornaten x (q 1,,q ) ncht explzt zetabhängg st, x (q 1,,q ) t 0 1,,3 Solch en System nennt man auch sleronom Bewes: ẋ x q q a q Damt önnen wr e netsche Energe umschreben T m ẋ m l 3 l A l q q l, m a q 1 2 m a a l 2 a q a q l l q q l wobe e Matrxelemente A l enert sn als A l m a a l un e a urch e Koornatentransormaton: a x q Damt haben wr gezegt, ass e netsche Energe quaratsch n en generalserten Koornaten st, alls e Koornatentransormaton zetunabhängg st 2313 Energeerhaltung Für en abgeschlossenes System sn verscheene Zetpunte äquvalent, h en Punt er Zetachse st gegenüber en anern ausgezechnet Man sagt, e Zet se homogen Damt ann auch e Lagrange-Funton ncht explzt von er Zet abhängen, t 0 De totale zetlche Abletung ener solchen Funton st L q q + q q (210) Wr benutzen e Lagrange-Glechung n er Form q q Wenn wr ese n Gl 210 ensetzen, erhalten wr L q q + q q q q Wr schreben as um zu q L 0 q Aners ausgerüct st e Größe H q q L (211) n enem geschlossenen sleronomen System ene Konstante Man bezechnet se als Energeunton es Systems Se st oenschtlch av, h e 29

9 2 Analytsche Mechan gesamte Energe ergbt sch als Summe er Energen von solerten Telsystemen Laut Glechung (29) st e netsche Energe enes sleronomen Systems ene homogene quaratsche Größe er Geschwngeten q : T Somt st un,l A l q q l T q q l (A l + A l ) l T q q q l q (A l + A l )2T l De potenzelle Energe st unabhängg von en Geschwngeten, V q 0 Damt wr er erste Term er Energeunton (211) (T V ) T q q q q q 2T q De Energeunton wr amt H 2T L T +V un entsprcht amt unserer Erwartung ür e gesamte Energe enes Systems 2314 Gesamtmpuls En zwete Erhaltungsgröße olgt aus er Homogentät es Raumes: alle Punte m Raum sn äquvalent Des glt nur n er Abwesenhet enes äußeren Potenzals Im Gegensatz zur Homogentät er Zet önnen wr jetzt ncht schleßen, ass L ene explzte Ortsabhängget bestzt, a be enem -Körperproblem vele Ortsoornaten berücschtgt weren müssen Se ührt aber azu, ass e Lagrange-Funton Abblung 219: Verschebung es Koornatensystems unter Verschebungen aller Koornaten onstant blebt Se st somt ncht von en Koornaten r, r j abhängg, sonern nur von en Derenzen c j r r j : L (r r j )L (r r j)l (c j ) Mathematsch lässt sch e Homogentät es Raumes am besten urch Betrachtung nntesmaler Verschebungen es Koornatensystems um δr erassen Wr entwceln e Änerung er Lagrange- Funton urch ese Verschebung n ene Taylorrehe 0 δl a r a δr a δr a r a Her sn e δr a e Komponenten von δr un wr verwenen e Abürzung r x y z Da er Verschebungsvetor δr belebg st, muss 0 (212) a r a gelten Zusammen mt er Lagrange-Glechung q q 30

10 2 Analytsche Mechan oer r a v a erhalten wr a v a e P 0 Oenbar st n enem mechanschen System er Vetor P a v a ene Erhaltungsgröße; er wr als Gesamtmpuls es Systems bezechnet Der Gesamtmpuls enes Systems von Telchen st mmer glech er Summe er Impulse er enzelnen Telchen, unabhängg avon, ob se n Wechselwrung treten oer ncht Glechung (212) hat ene enache physalsche Beeutung: Da nur as Potenzal von en Koornaten abhängt, stellt e Abletung von L nach en Koornaten (212) e gesamte au as System wrene Krat ar Dese verschwnet n enem homogenen Raum ohne äußere Feler cht mmer st er Raum vollstäng homogen, zb wenn e Lagrange-Funton urch as Potenzal von ener enzelnen Koornate abhängt, V V (q ) In esem Fall önnen wr mmer noch Erhaltungssätze ür enzelne Komponenten es Impulses herleten Falls q j n er Lagrange-Funton ncht vorommt, so olgt aus er entsprechenen Lagrange- Glechung 0 p const, q q q h er zugehörge Impuls stellt ene Erhaltungsgröße ar Für enzelne Telchen st es oenbar e enachere Herletung er Impulserhaltung De oben urchgeührte Herletung blebt aber auch be Systemen von Telchen gültg, wo as Potenzal von sämtlchen Koornaten (zb über e Abstäne c j ) abhängt 2315 Drehmpuls In glecher Wese önnen wr be er Herletung er Drehmpulserhaltung verahren Wr verwenen abe e Isotrope es Raums, h e Tatsache, ass n Abwesenhet enes externen Feles alle Raumrchtungen glechwertg sn Damt ar sch e Lagrange-Funton ncht änern, wenn wr as Koornatensystem rehen De Drehung ann ausgeührt weren mt Hle er Transormatonsglechungen δr δϕ r δṙ δϕ ṙ Her stellt δϕ δϕn ene nntesmale Drehung um en Wnel ϕ um e Achsen ar Wr betrachten we üblch en abgeschlossenes mechansches System ohne Rebung De Änerung n er Lagrangeunton st δl L (r 1 + δr 1,r 2 + δr 2,,r + δr, ṙ 1 + δṙ 1,ṙ 2 + δṙ 2,,ṙ + δṙ ) L (r 1,r 2,,r,ṙ 1,ṙ 2,,ṙ ) δr + r ṙ δṙ 0 Wr müssen esmal auch e Änerung er Geschwngeten berücschtgen, a ese urch ene Rotaton ebenalls transormert weren Wr verwenen p ṙ un erhalten 0 δϕ ṗ r ṗ (δϕ r )+ p (δϕ r ) p (δϕ ṙ ) (r p )δϕ L 31

11 2 Analytsche Mechan mt em Gesamtrehmpuls L (r p ) Da e Drehung δϕ belebg st, muss gelten L r p const De Rotatonsnvaranz ann urch en äußeres Fel, zb e Gravtaton, engeschränt weren Angenommen, as äußere Fel bestzt ene Symmetreachse (Gravtaton: z-achse), ann blebt nur e Projeton es Drehmpulses au ese Achse erhalten, h au L n n L Besspel 1 : Gravtaton De potenzelle Energe V mgz st rotatonsnvarant um e z-achse Damt blebt erhalten L z e z r p Bespel 2 : Zentralrat Her st as Potenzal V A r Es blebt somt nvarant gegenüber Drehungen um ene belebge Achse urch en Ursprung Damt bleben alle Komponenten von L erhalten Das Potenzal st jeoch ncht translatonsnvarant, so ass er Impuls ncht erhalten blebt 2316 Das oether-theorem Wr betrachten ene Koornatentransormaton ür jee generalserte Koornate q De Transormaton soll ene ontnuerlche Abblung mt enem Parameter α sen: q q h (q 1,,q,α,t) Für α 0 soll se e entsche Abblung arstellen, q h (q 1,,q,α 0,t) Außerem soll h nach α stetg erenzerbar un nverterbar sen Bespele ür solche Abblungen sn e Translaton r r r + αa un e Rotaton um e z-achse: x y z cosα snα 0 snα cosα Wenn jetzt e Lagrange-Funton L x y z (213) L ( q, q,t,α)l (h (q,α,t),ḣ (q,α,t),t) sch nur um ene Echtransormaton L ( q, q,t,α)l (q, q,t)+ χ( q,α,t) von L unterscheet, ann st olgenen Funton ene Konstante: I α (q, q,t) Bewes: q q ( q,t,α) χ( q,α,t) α0 α0 De been Lagrange-Funtonen sn, abgesehen von er Echtransormaton entsch, alls e Abhängget von α verschwnet, h α L ( q, q,t,α) χ( q,α,t) 0 (214) sen De Lagrangeunton L n en neuen Koornaten q erhalten wr zb nem wr n er ursprünglchen Lagrangeunton L e alten Koornaten q urch e neuen ausrücen: L ( q, q,t,α)l (q( q,t,α), q( q,t,α),t) 32

12 2 Analytsche Mechan Damt önnen wr e Änerung er Lagrangeunton mt α schreben als e partelle Abletung nach α, wobe e Varablen q un q estgehalten weren: 2317 Anwenungsbespele Impulserhaltung Das Potenzal (Gravtaton) se nur von z abhängg, q q + q q q + q q q q q Des glt ür alle Werte von α Insbesonere önnen wr α 0 setzen Damt erhalten wr ür e Änerung (214) L ( q, q,t,α) α χ( q,α,t) q q χ( q,α,t) Damt st as oether-theorem bewesen Es α0 0 vernüpt ontnuerlche Symmetren er Lagrange-Funton mt Erhaltungsgrößen glt aher ncht be sreten Symmetren, zb Raumspegelungen Aus er Symmetre olgt e Erhaltungsgröße, e Umehrung glt ncht Der Erhaltungssatz, er zu ener zylschen Koornate q gehört, st en Spezalall: Dann st e Lagrange-Funton nvarant unter ener Translaton er entsprechenen Koornate Ene weterer wchtger Spezalall st er, ass e Echunton χ verschwnet Dann st e Erhaltungsgröße I α (q, q,t) q q ( q,t,α) α0 L (x,z,ẋ,ż) m 2 (ẋ2 + ż 2 ) V (z) Somt ann as System belebg n x-rchtung verschoben weren, h x st zylsch, x x + α x De Echunton χ verschwnet n esem Fall Damt erhalten wr ür e zugehörge Erhaltungsgröße q I α (x,z,ẋ,ż) q x α0 ẋ mẋ, also e Impulserhaltung ür e x-komponente, n Überenstmmung mt er Dsusson m Zusammenhang mt zylschen Koornaten Drehmpuls De Lagrangeunton L (r,ṙ) m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) V (x 2 + y 2,z) st unter Rotatonen um e z-achse nvarant De Rotaton st gegeben urch e Koornatentransormaton (213) un ergbt e transomerte Funton L (r,ṙ,α) m 2 (ẋ 2 +ẏ 2 +ż 2 ) V (x 2 +y 2,z ) st oenbar nvarant Mt x(x,α) y(y,α) x snα + y cosα y nen wr e Erhaltungsgröße x cosα y snα x ẋ y + ẏ ( x)m(ẋy ẏx) L z, h e z-komponente es Drehmpulses 33

13 2 Analytsche Mechan Wr önnen e Rechnung auch n symmetreangepassten Koornaten urchühren, h n Zylneroornaten Damt wr e Lagrangeunton L (r,ṙ) m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 + ż 2 ) V (r 2,z) Darn taucht e Wneloornate ϕ nur als Abletung au Somt st e Lagrangeunton unter zetunabhänggen Rotatonen ϕ ϕ ϕ + α nvarant Damt wr ϕ (ϕ α) ene Erhaltungsgröße mr 2 ϕ L z 2318 Galle-Invaranz un Schwerpunt Wr betrachten zwe Inertalsysteme, welche sch relatv zu enaner mt er onstanten Geschwngetv bewegen, h zwschen hren Koornaten gbt es olgene Bezehung: r r +vt t t Man bezechnet es als Galle-Transormaton Des entsprcht em Grenzall nerger Geschwnget er Lorentz-Transormaton De netsche Energe m -Koornatensystem st Her st T 1 2 m (v +v) 2 T +m v v T + M m m v 2 m r v Mv2 t e Gesamtmasse es Systems Damt erhalten wr e neue Lagrangeunton aus er alten: L L + χ(r,t) urch ene Echtransormaton χ(r,t)m r v Mv2 t Aus em oether-theorem önnen wr somt re Erhaltungsgrößen gewnnen, nem wr e Geschwngeten v n e re Raumrchtungen als Parameter α verwenen Dann erhalten wr mt β x,y,z: I vβ t m r v + 1 ẋ β v β 2 Mv2 t m ẋ β t m x β Mv β t const De Schwerpuntsoornate R st urch R 1 M m r enert Aus em oether-theorem olgt amt Her st Pt MR Mvt MR 0 const P m ẋ β er Impuls es Gesamtsystems Des beeutet, ass sch er Schwerpunt geralng un glechörmg bewegt, 1 R(t)R 0 + M P v t Mt ener Transormaton n en bewegtes Bezugsystem mt er Geschwnget v 1 M P wr R zu ener Erhaltungsgröße Deses ausgezechnete Bezugsystem heßt auch Schwerpuntsystem 2319 Zusammenassung Wr haben amt olgenen Symmetren Erhaltungsgrößen n enem mechanschen System 34

14 2 Analytsche Mechan Translatonsnvaranz Gesamtmpulserhaltung (vetorell) Rotatonsnvaranz um e Achse n Gesamtrehmpulserhaltung ür e entsprechene Komponente Galle-Invaranz Frehet es Ursprungs, bzw Schwerpuntssystem (vetorell) Translatonsnvaranz n er Zet Energeerhaltung (salar) Im reen Raum haben wr amt nsgesamt 10 Erhaltungsgrößen: 6 Schwerpuntsntegrale, 3 Drehmpuls- un en Energentegral, e mt 10 ontnuerlchen Größen n Zusammenhang stehen 24 Zentralratproblem un Keplerproblem Wr betrachten zwe Massenpunte m 1,m 2 m Raum, e auenaner ene Krat ausüben, e n Rchtung es Relatvabstanr r 1 r 2 zegt un nur vom Abstan r abhängt Solch en Zentralratproblem st onvervatv, mt enem rotatonsymmetrschen Potenzal V (r) De Lagrangeunton st urch gegeben L m 1 2 ṙ m 1 2 ṙ 2 2 V ( r 1 r 2 ) (215) Wegen er Translatonsnvaranz m Raum st er Gesamtmpuls erhalten Mt er Galle-Invaranz transormeren wr ns Schwerpuntsystem R m 1r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2 (216) r 1 R + m 2 r (217) M r 2 R m 1 r (218) M mt M m 1 + m 2 De transormert Lagrange- Funton lautet ann L m 1 Ṙ m M 2 m 2 ṙ + Ṙ m 1 2 M 2 ṙ V (219) (r) M Ṙ 2 + µ 2 2 ṙ 2 V (r), (220) wobe wr e reuzerte Masse µ µ m 1m 2 m 1 + m 2 (221) un e Gesamtmasse M m 1 + m 2 engeührt haben R zylsch Schwerpuntsmpuls P M Ṙ const Im Schwerpuntsystem glt auch noch e Erhaltung es Drehmpules Da L r p const (222) rl r(r p)0 (223) 35