Beschreibung von Beschleunigung und Trajektorien, die sich aus den Gelenkund Kontaktkräften ergeben

Transkript

1 Dynamk

2 Dynamk eschrebung von eschleungung und Trajektoren, de sch aus den Gelenkund Kontaktkräften ergeben Inverse Dynamk (nverse knematcs) erechnung der notwendgen Kräfte um ener vorgegeben Trajektore zu folgen nwendung: Roboterkontrolle Drekte Dynamk / Vorwärtsknematk (forward knematcs) erechnung der Trajektoren als Funkton der anlegenden Kräfte nwendung: Smulaton

3 Spatal Vector Notaton Es gbt kenen enhetlchen Standard zur eschrebung von Roboterdynamken (3D Vektoren, 4x4 Matrzen, ) In deser Vorlesung wrd de spacal vector notaton verwendet, wel se ene kompakte Notaton betet. Dadurch braucht man auch wenger Glechungen, wenger erechnungen und st wenger fehleranfällg assvektoren v =(v x, v y, v z ) v = xv x + yv y + zv z x = (,, ) y = (,, ) z = (,, ) v = (, 2, 3) =x +2y +3z

4 Spacal Velocty d x, d y, d z d Ox, d Oy, d Oz Enhetstranslaton entlang der chsen Ox,Oy,Oz, des kartesschen Koordnatensystems O Enhetsrotaton entlang der chsen Ox,Oy,Oz, des kartesschen Koordnatensystems O v = d Ox! x + d Oy! y + d Oz! z + d x v Ox + d y v Oy + d z v Oz (! x,! y,! z, v Ox, v Oy, v Oz ) kartesschen Koordnaten von ω und v n dem Koordnatensystem OXYZ! x! y v O =! z! v Ox = v Oy v Oz

5 Spacal Force e Ox, e Oy, e Oz e x, e y, e z Enhetskraft entlang der chsen Ox,Oy,Oz, des kartesschen Koordnatensystems O Enhetsdrehmoment entlang der chsen Ox,Oy,Oz, des kartesschen Koordnatensystems O f = e x n Ox + e y n Oy + e z n Oz + e Ox f x + e Oy f y + e Oz f z (n Ox, n Oy, n Oz, f x, f y, f z ) kartesschen Koordnaten von n und f n dem Koordnatensystem OXYZ n Ox n Oy f O = n Oz n f x = f y f z

6 Rechenoperatonen auf spacal vectors ddton: Kräfte und Geschwndgketen lassen sch komponentenwese adderen und subtraheren. Wenn f und f2 auf enen Körper wrken, dann st de Gesamtkraft f = f + f2. Wenn sch en Körper mt v bewegt und en anderer mt v2, dann st de relatve Geschwndgket v = v - v2. Skalarprodukt Das Skalarprodukt st nur zwschen Geschwndgkets- und Kraftvektoren defnert und drückt de aufgewendete rbet aus (work) m f = m T f

7 Koordnatentransformaton Seen und zwe Koordnatensysteme und m, m, f, f 2 R 6 Geschwndgkets- und Kraftvektoren n desen Koordnatensysteme, dann glt m = X m und f = X F f X F =( X ) T =( X ) T Inverse: X = S(p) = S( p X = R R R p z p y p z p x p y p x R S( p ) R p 3x3 Rotatonsmatrx Poston von Frame relatv zu Frame

8 Vektorprodukt Für spacal vectors snd zwe rten von Vektorprodukten defnert:. Produkt zweer Geschwndgketsvektoren: m m 2 = m m O m2 m 2O = m m 2 m m 2O + m O m 2 Ergebns st en Geschwndgketsvektor 2. Produkt enes Geschwndgketsvektors mt enem Kraftvektor m f = m mo fo f = m fo + m O f m f Das Ergebns st en Kraftvektor Dese Formeln werden später be den bletungen und lgorthmen benötgt

9 bletungen De bletung enes spacal vectors st defnert als d dx s(x) = lm x! s(x + x) x s(x) s belebger spacal vector De bletung enes bewegten Koordnatensystems st defnert als d dt s = d dt s + v s Wenn sch nur das Koordnatensystem bewegt, dann glt d dt s = v s

10 eschleungung Spacal cceleraton st defnert als de Änderung der spacal velocty. De Defnton unterschedet sch von der klassschen Defnton Zusammenhang st gegeben durch: Vortel: a =! vo spacal a =! v O klasssch Spacal acceleraton st enfacher n der Handhabung. Seen und 2 zwe Körper mt Geschwndgketen und se v2 = v + vrel, dann folgt daraus, dass d.h. eschleungungen lassen sch enfach adderen. Es braucht kene besondere ehandlung der orols- und Zentrfugalkräften. a = a + v O v O bletung mt O fest m Raum bletung mt O fest m Körper! v O d dt (v 2 = v + v rel )=a 2 = a + a rel

11 Spacal Momentum & Inerta (Räumlcher Impuls & Träghet) Körper mt Masse m und Schwerpunkt Rotatonsträghet um st defnert als ewegung des Körpers Lnearer Impuls I cm = mr 2! v = v h = mv Intrnsscher Rotatonsmpuls Spacal Momentum h = h = I mc! h I = cm! h mv Wenn der Impuls ncht auf wrkt, sondern um enen belebgen Punkt O, dann glt ho S(c) h O = h + c h, h O = = h h

12 Spacal Inerta (Räumlche Träghet) Das spacal momentum st das Produkt der spacal nerta und der spacal velocty: h = I v Daraus folgt (sehe vorherge Fole) für de Träghet an der Koordnate des Massenpunkts: I cm I = m De Träghet von n den Punkt O läßt sch nun we folgt beschreben: h O = = S(c) I cm v m = I cm + ms(c)s(c) T ms(c) ms(c) T m S(c) v O I cm m S(c) T v O h O = I O v O I I O = cm + ms(c)s(c) T ms(c) T Ī I O = O ms(c) ms(c) T m ms(c) m Ī O = I cm + ms(c)s(c) T

13 Spacal Inerta (Räumlche Träghet) Koordnatentransformaton I = X F I X I =( X ) T I X Träghet von zwe verbundenen Körpern: I tot = I + I 2 Vortel: Lösen von dre Glechungen n ener:. erechnung der gemensamen Masse 2. erechnung des gemensamen Schwerpunkts 3. erechnung des Rotatonsmpulses ewegungsglechung: f = d (Iv) =Ia + İv = Ia + v Iv dt

14 Dynamsches Modell für Starrkörper (Rgd-odes) En Starrkörpermodell besteht aus ver Komponenten:. Verbndungsgraph 2. Gelenk- und Segmentparameter 3. Gelenkträghetsparameter 4. Gelenkmodelle Verbndungsgraph: En Verbndungsgraph st en ungerchteter Graph n dem de Segmente (Starrkörper) durch Knoten und de Gelenke durch de Kanten repräsentert werden. e moblen Roboter wrd zusätzlch en 6DOF Gelenk und ene weteres Segment (Fxed ase) hnzugefügt.

15 Verbndungsgraph espel: Mobler humanoder Roboter ass (Fxed ase) hat de Nummer Segmente werden n aufstegender Rehenfolge nummerert regular numberng scheme Gelenk verbndet Segment mt dessen Vorgänger e ener Schlefenstruktur muss man sch auf ene aumstruktur für de Nummererung festlegen

16 Verbndungsgraph N nzahl der Segmente NJ nzahl der Gelenke Loop-closng Gelenke erhalten Nummern n belebger Rehenfolge mt N + NJ p() Vorgängersegment (parent, predecessor) c() Menge der Nachfolgersegmente (successor, chldren)

17 Verbndungsgraph ody c() Loop 2, ,, Loop 2 3 Loop-closng jont k p(k) 6 s(k) 5 3 Root

18 Inverse Dynamk Gegeben: Gelenkparameterq (Wnkel / Poston) Gelenkgeschwndgket (lnear / rotatorsch) eschleungung q (lnear / rotatorsch) q Gewünscht: De Kraft, de jedes Gelenke aufbrngen muss

19 Prsmatsches Gelenk Rotatorsches Gelenk Schraubengelenk Zylndrsches Gelenk ewegungsmatrx Φ v rel = (ż) ż v rel = ( ) h, v rel = ( ) h v rel = ż ż 6 n Matrx q n Vektor

20 eschleungung De eschleungung ergbt sch aus der bletung der Geschwndgket a = v t a rel = q + v t = mestens = t + v =dag(v)

21 De eschleungung ergbt sch aus der bletung der Geschwndgket espel: Prsmatsches Gelenk: eschleungung a = v t a rel = q + = t + v t mestens = v =dag(v) v ż

22 Inverse Dynamk Gelenkkräfte aus Gelenkparametern berechnen ( q, q, q ). Recursve Newton-Euler lgorthm (RNE) hat ene Laufzet von O(n) esteht aus zwe Rekursonsschlefen:. Geschwndgketen und eschleungungen von der ass aus berechnen 2. Notwendge Kräfte von dem Endeffektor aus berechnen

23 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) Schrtt : Geschwndgketen und eschleungungen für alle Segmente berechnen v = X v = j= j q j Rekursv: v = v + q eschleungung: a = a + q + v q

24 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) Schrtt 2: Für jedes Gelenk, berechne de Kraft, de sch aus der Geschwndgket und eschleungung ergbt: f a = I a + v I v Schrtt 3: erechnung der lokalen Kraft für jedes Gelenk

25 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) Schrtt 3: f a = f e + f X j2c() f j f f e f j De Kraft, de durch das Gelenk ausgeübt wrd lle externe Kräfte, de auf das Segment wrken Kräfte de auf de Nachfolger übertragen werden Durch Umformen erhält man f = f a f e + X f j j2c()

26 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) Schrtt 2: Für jedes Gelenk, berechne de Kraft, de sch aus der Geschwndgket und eschleungung ergbt: f a = I a + v I v Schrtt 3: erechnung der lokalen Kraft für jedes Gelenk f = f a f e {z} I a +v I v + X j2c() Schrtt 4: erechnung der Gelenkkräfte = T f f j

27 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) Schrtt 2: Für jedes Gelenk, berechne de Kraft, de sch aus der Geschwndgket und eschleungung ergbt: f a = I a + v I v Schrtt 3: erechnung der lokalen Kraft für jedes Gelenk f = f a f e {z} I a +v I v + X j2c() Schrtt 4: erechnung der Gelenkkräfte = T f f j

28 Recursve Newton-Euler lgorthm (coordnate free) nputs: q, q, q output: jont force varables v = a = a g for =ton do v = v p() + q a = a p() + q + q f = I a + v I v f e end for for = N to do = T f f p() 6= then f p() = f p() + f end f end for Formulerung n Gelenkkoordnaten: Glechungen, de mehr als en Gelenk umfassen müssen umgeschreben werden: v = X p() v p() + a = X p() a p() + f = f a X F f e q q + q + X Xj F f j j2c()

29 Recursve Newton-Euler lgorthm nputs: q, q, q,model, f e outputs: model data: N, jtype(), p(), I v = a = a g for =ton do X p() = xjcalc(jtype(), q ) = pcalc(jtype(), q ) v = X p() v p() + q a = X p() a p() + q + v q f = I a + v I v X T f e [ X F = X T ] end for for = N to do = T f f p() 6= then f p() = f p() + Xp() T f end f end for jtype() Gelenkttyp(prsmatsch,...) xjcalc() Transformatonsmatrx des Gelenks pcalc() erechnet

30 Vorwärtsdynamk Gegeben: Poston, Geschwndgket und Kraft/Drehmoment für jedes Gelenk ( q, q, ) usgabe: eschleungungen der Gelenke nwendung: Smulaton Kerndee des rtculated-ody lgorthm () [Laufzet von O(n)] De Interakton zwschen Segment p() und dem restlchen Telbaum fndet nur über de Kraft f statt ngenommen, das Gelenk wurde durchtrennt, dann glt f = I a + p us f läßt sch a berechnen

31 rtculated ody lgorthm / Herletungen us folgt f = I a + p, = T f, a = a p() + q + q = T f = T (I (a p() + q + q )+p ) ) q = D (u U T a p() ) U = I D =( T U ) =( T I ) u = U T T p eschleungung der Gelenkparater st ene Funkton der eschleungung des Vorgängersegments = ˆ q = q q + v q I und p I können nun rekursv berechnet werden: = I + X (Ij U j D j Uj T ) p = p + X j2c() j2c() p = v I v (pj + Ij j + U j D j u j ) f e

32 rtculated ody lgorthm nputs: q, q,, model, f e output: q model data: N, jtype(), p(), I v = a = a g for =ton do X p() = xjcalc(jtype(), q ) = pcalc(jtype(), q ) v = X p() v p() + q = v q I = I p = v I v X T end for f e for =ton do U = I D =( T U ) u = U T T p f p() 6= then Ip() = I p() + Xp() T (I U D U T ) X p() pp() = p p() + Xp() T (p + I + U D u ) end f end for for =ton do a = X p() a p() q = D (u U T a ) a = a + q + end for