1. Schaltungsbeschreibung - Netzwerktopologie. Regeln der Schaltwerktheorie:

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1 1. Schaltungsbeschrebung - Netzwerktopologe Regeln der Schaltwerktheore: Krchhoffsche Spannungsregel Krchhoffsche Stromregel + Zweg- (bzw. Element-) Funktonen De Netzwerktopologe beschrebt de Verknüpfung von Zwegen. Mathematsches Kalkül st de Graphentheore. Graph Zwegfunktonen (lnear / nchtlnear) Netzwerk Knoten: 1, 2,..., n Zwege: a, b, c,... bzw. als Knotenpaar {,j} Graph G = {1, 2,..., n; a, b, c,...} st ene Menge von Knoten und Zwegen. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 1 V1.2 A. B. Glg

2 Be gerchteten (drected) Graphen G d tragen de Zwege ene Orenterung (Rchtung, "Pfel"), d.h. de Rehenfolge der Knotennummern n enem Knotenpaar (Zweg) st: (Anfangsknoten, Endknoten). Der ungerchtete (undrected, nondrected) Graph wrd mt G n bezechnet. Ene Menge von Zwegen (branches) {b 1,...,b m } n G n heßt Pfad (path) zwschen zwe Knoten l und m, wenn 1. Alle aufenanderfolgenden Paare von Zwegen b und b +1 enen gemensamen Knoten bestzen ["kene ücke"] 2. Ken Knoten von G n Knoten von mehr als zwe Zwegen deser Menge st ["kene Schlefe"] 3. l (und m) st Knoten von genau enem Zweg deser Menge. Der Graph G n heßt zusammenhängend (connected), falls zwschen je zwe Knoten en Pfad exstert. [Analoge Bezechnung für G d, bzw. Netzwerke] En Subgraph (elgraph) von G n heßt Schlefe (loop, crcut), falls 1. zusammenhängend st, und 2. an jedem Knoten von genau zwe Zwege anlegen. Ene gerchtete Schlefe st ene Schlefe, der (unabhängg von Zwegrchtungen) ene endeutge 'Durchlaufrchtung' zugeordnet st. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 2 V1.2 A. B. Glg

3 En Subgraph enes zusammenhängenden Graphen G n heßt Baum (tree), falls 1. zusammenhängend st, 2. alle Knoten von G n enthält und 3. kene Schlefen enthält. Alle Zwege des Graphen G n, de ncht zum Baum gehören blden den Co-Baum C von G n (bzgl. ). Satz: Se G n en zusammenhängender Graph mt k Knoten: 1. Jeder Baum n G n hat k-1 Zwege. 2. Falls k-1 (verschedene) Zwege von G n kene Schlefe enthalten blden se de Zwege enes Baumes von G n. (Bewes:...) Ene Menge von Zwegen enes zusammenhängenden Graphen G n heßt eler (cutset), falls nach Entfernen deser Menge 1. der Graph ncht mehr zusammenhängend st und 2. das Hnzufügen je enes belebgen deser Zwege zu enem zusammenhängenden Graphen führt. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 3 V1.2 A. B. Glg

4 Es folgen Matrxdefntonen zur kompakten Formulerung der Krchhoffschen Regeln: 1.1 Inzdenzmatrx A Für enen gerchteten Graphen G d mt k Knoten und z Zwegen st de Inzdenzmatrx A a =(a j ), ene k x z -Matrx, defnert durch: a j = 1, falls der Zweg j am Knoten anlegt, mt Orenterung weg vom Knoten a j =-1, falls der Zweg j am Knoten anlegt, mt Orenterung hn zum Knoten a j = 0, falls der Zweg j ncht am Knoten anlegt. In den elektrschen Netzwerken treten nur Zwege mt unterschedlchen Anfangs- und Endknoten auf. Damt st n A a ene (belebge) Zele redundant. Nach Strechen ener (belebgen) Zele bezechnet man A als reduzerte Indzdenzmatrx der vollständgen Inzdenzmatrx A a [ncht endeutge Defnton!] Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 4 V1.2 A. B. Glg

5 = (t) bezechne den Vektor der Zwegströme m Netzwerk N, angeordnet entsprechend den z Zwegspalten der Matrx A a. (1.1) A a = 0 Krchhoffsche Stromregel De skalare (zelenwese) Interpretaton entsprcht der Anwendung der Regel pro Knoten. Somt st (1.1) überbestmmt. Satz: Für enen zusammenhängenden Graphen G d snd de Zelen (jeder) reduzerten Inzdenzmatrx A lnear unabhängg. Bewes:... Korollar: Der Maxmalsatz unabhängger Krchhoffscher Stromglechungen enes zusammenhängenden Netzwerks N hat de Form: (1.2) A = 0 Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 5 V1.2 A. B. Glg

6 Satz: A se reduzerte Inzdenzmatrx des zusammenhängenden Graphen G d mt k Knoten: k -1 Spalten von A snd lnear unabhängg de desen Spalten entsprechenden Zwege blden enen Baum n G d. Korollar: A = [A A C ], mt A ~ Baumzwege, A C ~ Co-Baumzwege => det A 0. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 6 V1.2 A. B. Glg

7 1.2 Schlefenmatrx B Für enen gerchteten Graphen G d mt z Zwegen und s gerchteten Schlefen st de Schlefenmatrx B a =(b j ), ene s x z -Matrx, defnert durch: b j = 1, falls der Zweg j el von Schlefe st und mt deren Orenterung überen-stmmt b j =-1, falls der Zweg j el von Schlefe st und mt deren Orenterung ncht über-enstmmt b j = 0, falls der Zweg j ncht el von Schlefe st. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 7 V1.2 A. B. Glg

8 Krchhoffsche Spannungsregel: De Summe aller Spannungen entlang jeder Schlefe n enem Netzwerk st mmer Null. (1.3) B a v = 0, mt v = v(t) dem Vektor der Zwegspannungen entsprechend der Spaltenanordnung von B a. Anmerkung: De Zahl der Schlefen (Matrxzelen) s kann sehr groß sen! Ene elmatrx B b mt der Maxmalzahl lnear unabhängger Zelen heßt Bassschlefenmatrx. Man kann zegen, dass für enen zusammenhängenden Graphen G d mt k Knoten und z Zwegen B b z-k +1 Zelen bestzt. (1.4) B b v = 0 Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 8 V1.2 A. B. Glg

9 Konstrukton von B b : 1. Schrtt: Für enen zusammenhängenden planaren Graphen blden z-k +1 "Fenster" de Schlefen für B b 2. Schrtt: Geg. se en Baum. Jeder Zweg des Co-Baumes C formt mt dem (endeutgen) Pfad durch den Baum ene sog. Fundamentalschlefe (für desen Zweg). De Orenterung der Fundamentalschlefe kann wllkürlch fxert werden. Es gbt z-k +1 Co-Baumzwege und damt z-k +1 Fundamentalschlefen. Dese defneren de Fundamentalschlefenmatrx B f. Se st der nchttrvale Betrag zur Bestmmung von B b : (1.5) B b = [B f 1] Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 9 V1.2 A. B. Glg

10 Satz: Gegeben A a und B a (mt analoger Zweganordnung): Für alle,j glt [Zele von B a ] [Zele j von A a ] = 0 Korollar: B a A a = 0 A a B a = 0 (1.6) B a A = 0 A B a = 0 B A = 0 A B = 0 Satz: Für enen zusammenhängenden Graph G d mt k Knoten und z Zwegen beträgt de Maxmalzahl lnear unabhängger Zelen n B a z-k +1. Jede Fundamentalschlefenmatrx st ene Bassschlefenmatrx - aber ncht umgekehrt! D.h. de "Menge" B b umfasst B f ; aber B f st enfacher zu konstrueren. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 10 V1.2 A. B. Glg

11 1.3 elermatrx D (zur Formulerung der verallgemenerten Krchhoffschen Regel) Für enen gerchteten Graph G d mt z Zwegen und c gerchteten elern st de cxz elermatrx D a = [d j ] defnert durch d j = 1, falls der Zweg j m eler enthalten st und bede Orenterungen überenstmmen d j = -1, falls der Zweg j m eler enthalten st und bede Orenterungen ncht überenstmmen d j = 0, falls der Zweg j ncht m eler enthalten st. De Basstelermatrx D b besteht aus k-1 lnear unabhänggen Zelen von D (enes zusammenhängenden Graphen G d ) Damt st (1.7) D b = 0. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 11 V1.2 A. B. Glg

12 Konstrukton ener Basstelermatrx D b : Gegeben se en Baum. Jeder Zweg von bldet zusammen mt engen ( 0) Zwegen des Co-Baums c enen eler - genauer enen Fundamentalteler. De Orenterung des elers st wllkürlch. En zusammenhängender Graph hat k-1 Baumzwege (be k Knoten) und damt k -1 Fundamentalteler. De Submatrx D f von D a bzgl. deses Fundamentaltelers st ene Fundamentaltelermatrx (D f =:D) (1.8) D = [1 D ] Maxmalzahl lnear unabhängger Glechungen: Satz: Geg.: B a und D a (mt analoger Zweganordnung) Für alle,j glt: [Zele von B a ] [Zele j von D a ] = 0 Korollar: D a B a = 0 B a D a = 0 (1.9) D a B = 0 D B = 0 B D = 0 Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 12 V1.2 A. B. Glg

13 Satz: Für enen zusammenhängenden Graph G d mt k Knoten beträgt de Maxmalzahl lnear unabhängger Zelen n D a k -1. Jede Fundamentaltelermatrx D st ene Basstelermatrx - aber ncht umgekehrt! Vortel von D: enfacher zu konstrueren! Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 13 V1.2 A. B. Glg

14 1.4 Bezehungen zwschen Zwegvarablen De Krchhoffschen Regeln snd überbestmmt (lnear abhängg). Zur Bestmmung aller Zwegströme und -spannungen werden ransformatonsregeln hergeletet: Für en zusammenhängendes Netzwerk N mt k Knoten und z Zwegen seen bzgl. enes vorgegebenen Baumes de Matrzen folgendermaßen parttonert: A= B = D = [ A A ] [ B 1µ ] [ 1 D ] ρ v v =, v = : Baum, : Verbndung [lnks] ρ = k 1, µ = z k + 1 v [ B 1 ] = B v + v = 0 = Bv µ v (1.10) v = B v Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 14 V1.2 A. B. Glg

15 Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 15 V1.2 A. B. Glg Weter st (1.11) Verwandtschaft von B und D : Aus (1.9): (1.12) D = - B (1.13) [ ] 0 1 = + = = D D D ρ D = [ ] = + = = D B B D DB µ ρ B B D D = = = = = 1 µ 1 µ

16 Ähnlch für (1.14) v v 1 ρ 1 ρ v = v v v = = = = B v B D D v (1.13) kann noch verallgemenert werden. Dese Formulerung hat aber kene große praktsche Bedeutung: Schlefentransformaton (1.15) = B b m wobe B b ene belebge Bassschlefenmatrx und m ene entsprechende Menge/Vektor von µ unabhänggen Strömen bezechnet. Enge Ströme m Vektor m snd eventuell ncht als Zwegströme lokalserbar - aber se können als fktve Schlefenströme defnert werden. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 16 V1.2 A. B. Glg

17 Ähnlch st (1.14) verallgemenerbar zu (1.16) v = D b v p mt v p als "elermengenspannungen". Zweg-/Knotentransformaton: Knotenspannungen u = (v 1k,..., v k-1,k ) o.e. k "Masseknoten" (1.17) v = A u mt reduzerter Inzdenzmatrx A und Vektor der Zwegspannungen v. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 17 V1.2 A. B. Glg

18 1.4 Aufstellen der topologschen Matrzen A, B und D Bestmmen von A (bzw A a ) Nummereren der Knoten Nummereren der Zwege k j (k,,j) Integer-rpel a k = 1 a jk = -1 - Bzgl. Specherung st de rpel-darstellung vorzuzehen (redundante Info: 0en der Matrx) -Rehenfolge?? Des snd zwe programmertechnsche Aspekte der effzenten Programmerung deser Matrzen. Algorthmen < - > Datenstrukturen Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 18 V1.2 A. B. Glg

19 Zur Bestmmung von B und D benötgen wr zuerst enen Baum : ypscherwese gbt es Zusatzbedngungen zur Auswahl enes spezfschen Baums, z.b. Rehenfolge gemäß Zwegtypen (Spannungs-, Stromquellen, Wderstände, Kondensatoren,...) Ausgangsnfo: reduzerte Inzdenzmatrx A 1. Schrtt Sorteren der Spalten von A gemäß den vorgegebenen Zusatzbedngungen 2. Schrtt Durch Vertauschen von Zelen und Addton von (Velfachen) anderer Zelen wrd ene obere Dreecksmatrx erzeugt. (vgl. Gauß-Algorthmus!) Anmerkungen: - k-1 lnear unabhängge Spalten von A blden enen Baum - per Konstrukton kann de vorgeg. Zwegrehenfolge (falls überhaupt möglch) engehalten werden. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 19 V1.2 A. B. Glg

20 A= [ A A ] B= [ B 1 ] D= [ D ] µ 1ρ (1.6) und somt (1.18) (1.19) AB B D 1 = B [ A A ] A B + A = 0 = µ = A 1 A 1 1 [ 1 D ] = A [ A A ] = A A = ρ [ ] = [ ] B= B 1 µ D 1 µ (1.18, 19) snd Berechnungsmöglchketen für D und B, aber wegen der explzten Berechnung von A -1 sehr aufwendg. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 20 V1.2 A. B. Glg

21 Alternatven: De Umformungen von Schrtt 2. können durch sog. Elementarmatrzen E beschreben werden: E st ene Enhetsmatrx nach Anwendung der jewelgen Umformung (z.b. Zelentausch) Satz: Jede Elementarmatrx bestzt ene Inverse, de ebenfalls elementar st. Für jede nchtsnguläre Matrx C exstert ene Folge von Elementarmatrzen E 1,..., E m, so dass bzw. E m E m-1... E 2 E 1 C = 1, und somt E m E m-1... E 2 E 1 = C -1 C = E 1-1 E E m-1-1 E m -1. Also auch A -1 = E m E m-1... E 2 E 1 Und damt (1.18): (1.20) D= A -1 A = E m E m-1... E 2 E 1 A D wrd aus A berechnet durch ene Folge von m Elementaroperatonen deselbe Folge, de benötgt wrd um A zur Enhetsmatrx zu transformeren: A -1 A = E m E m-1... E 2 E 1 A = 1 Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 21 V1.2 A. B. Glg

22 Alternatve Berechnung von D gemäß (1.20) statt (1.18): Wende de elementaren Operatonen E, de nötg snd um A auf 1 zu transformeren auf A an. Es gbt ene Rehe weterer Alternatven zur Bestmmung der topologschen Matrzen bzw. zur okalserung von Bäumen. Da dese Aufgaben typscherwese ncht zetkrtsch snd, werden dese Alternatven her ncht verteft. Kap. 1: Schaltungsbeschrebung Sete 22 V1.2 A. B. Glg