Wir steuern einen Mini-Roboter!

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1 Wr steuern enen Mn-Roboter! Telnehmer: Marek Bartusch Cecla Lange Yannck Lehmann Johannes-Lucas Löwe Ncolas Menzel Huong Thao Pham Floran Pogatzk Anne Reulke Jonas Wanke Maran Zuska mt tatkräftger Unterstützung durch: Laura-Cornna Reeder Gruppenleter: Caren Tschendorf Käthe-Kollwtz-Gymnasum Käthe-Kollwtz-Gymnasum Humboldt-Unverstät zu Berln Humboldt-Unverstät zu Berln, Matheon 27

2 1. Problemstellung En Roboter soll enen Parcours mt Hndernssen selbstständg durchfahren. Dazu sollen möglche Fahrwege des Roboters gefunden und hnschtlch der benötgten Zet getestet werden. ZIEL START Abbldung 1: Blau: Kürzeste Verbndungsstrecke zwschen Start und Zel um de Hndernsse herum; Magenta: Möglcher Fahrweg des Roboters 2. Grundlagen 2.1. Parametrsche Darstellung von Geraden Koordnatendarstellung zweer Punkte n der Ebene n Spaltenform: a1 b1 a, b a 2 b 2 x 2 a b Darstellung der Punkte x auf der Geraden durch a und b: x1 (1 λa1 + λb x (1 λa + λb 1 (1 λa 2 + λb 2 x 2 x 1 Abbldung 2: Lneare Interpolaton zwschen a und b mt λ [0, 1] x (1 λ a + }{{} :α }{{} λ :β b αa + βb mt α + β 1 Defnton 1. (α, β heßen de baryzentrschen Koordnaten von x bezüglch der Punkte a und b n der Ebene. x 2 b x a 0 β λ α 1 x 1 Abbldung 3: Baryzentrsche Koordnaten enes Punktes x bezüglch der Punkte a und b Für de Längen #» ax und #» xb glt: ax #» xb #» β α. 28

3 Defnton 2. Se c en Punkt auf der Geraden durch de Punkte a und b n der Ebene. Dann se das Telverhältns defnert durch: β T V (a, c, b : λ }{{} α 1 λ. baryzentrsche Koordnaten 2.2. Satz von Menelaos Satz 1. Seen p 1, p 2, p 3 dre verschedene Punkte n der Ebene und t s reelle Zahlen. Se weter a t (1 tp 1 + tp 2, b t (1 tp 2 + tp 3, a s (1 sp 1 + sp 2 und b s (1 sp 2 + sp 3. Dann glt für den Schnttpunkt c der Geraden durch a t und b t mt der Geraden durch a s und b s : T V (a t, c, b t s 1 s und T V (a s, c, b s t 1 t. a t a s t : (1 t s : (1 s p 2 c s : (1 s b t t : (1 t t : (1 t s : (1 s p 1 b s Abbldung 4: Vsualserung des Satzes von Menelaos p 3 Bewes. Es st zu zegen, dass c (1 ta s + tb s und c (1 sa t + sb t glt. Wr zegen (1 ta s + tb s (1 sa t + sb t. Dann legt c : (1 ta s + tb s (1 sa t + sb t sowohl auf der Geraden durch a t und b t als auch auf der Geraden durch a s und b s, d.h. c st Schnttpunkt der beden Geraden. Durch Ensetzen der Defnton der Punkte a t, b t, a s und b s folgt: (1 ta s + tb s (1 sa t + sb t (1 t(1 sp 1 + (1 tsp 2 + t(1 sp 2 + tsp 3 (1 s(1 tp 1 + (1 stp 2 + s(1 tp 2 + stp 3 29

4 3. Bézerkurven 3.1. Defnton Defnton 3. Seen b 0, b 1,..., b n n der Ebene. Dann st B[b 0,..., b n ] ene Bézerkurve zu den Kontrollpunkten b 0,..., b n, falls de Punkte auf B[b 0,..., b n ] we folgt defnert snd: B[b 0,..., b n ](t : b [n] 0 (t mt t R und 0,..., n t R : b [0] (t b, r 1,..., n 0,..., n r t R : b [r] (t (1 tb [r 1] (t + tb [r 1] +1 (t. b 1 b 0 b 2 Abbldung 5: Ene enfache Bézerkurve für n 2 und t [0, 1]. Bézerkurven haben ene Rehe nützlcher Egenschaften. Für de Beschrebung von möglchen Wegen für den Roboter snd de beden wchtgsten Egenschaften de konvexe Hüllenegenschaft und de Dfferenzerbarket. Zum Nachwes deser Egenschaften benutzen wr ene Darstellung der Bézerkurven mt Hlfe von Bernsten-Polynomen Bernsten-Polynome Defnton 4. Für t R, n N und {0,..., n} snd de Bernsten-Polynome defnert als B [n] n (t t (1 t n. Lemma 1. Für t R, n N und {0,..., n} glt: mt B [0] 0 (t : 1 und B[n] (t : 0 / {0,..., n}. B [n] (t (1 tb [] 1 (t + tb [] 1 (t Bewes. B [n] (t n t (1 t n n (1 t t (1 t n n 1 (1 t t (1 t n ( (1 tb [] (t 1 n ( n 1 (1 t n }{{} n t (1 t 30

5 Nebenrechnung: n 1 (n 1! n n!(n 1! (n 1! ( 1!(n! De Nebenrechnung können wr oben ensetzen und erhalten B [n] (t (1 tb [] (t + (1 tb [] ( n 1 1 (t + tb [] (t. 1 t (1 t n n 1 1 Lemma 2. Für t R, n N und {0,..., n} glt: B [n] (t 1. 0 Bewes. 0 B [n] (t n t }{{} (1 t }{{} n a b 0 0 (a + b n (Bnomscher Satz (t + (1 t n 1 n 1 n a b n Satz 2. Bnomscher Satz (a + b n 0 n a b n Bewes. per Indukton über n Induktonsanfang: n 0 lnke Sete: (a + b 0 1 rechte Sete: 0 Induktonsschrtt: n n + 1 Zu zegen: (a + b n+1 n+1 (a + b n+1 (a + b(a + b n I.Vor. (a + b n a +1 b n + 0 n+1 n a b n ( 1 + ( n 0 ( n n a b n ( 0 0 a b n n a b n+1 a b ( 0 0 a 0 b 0 1 a b n+1. ( n+1 Nebenrechnung: n n! 1 ( 1!(n + 1! (n + 1! n + 1!(n + 1! n + 1 n + 1 n n!!(n! n + 1 (n + 1! n + 1!(n + 1! n + 1 n + 1 n

6 De Nebenrechnung können wr nun oben ensetzen. n+1 (a + b n+1 n + 1 ( a b n+1 n + 1 n n + 1 n n+1 n+1 n + 1 ( a b n ( n + 1 n + 1 n n+1 n + 1 a b n+1 0 a b n+1 a b n Zusammenhang von Bézerkurven und Bernsten-Polynomen Lemma 3. Seen b 0, b 1,..., b n de Kontrollpunkte ener Bézerkurve. Dann glt für r {0,..., n} und {0,..., r}: r b [r] (t b + B [r] (t mt b[0] (t b für 0,..., n. Bewes. per Indukton über r 0 Induktonsanfang: r 0 Induktonsschrtt: r r + 1 r 0 b +B [r] (t b B [0] 0 (t b b [0] (t Zu zegen st: b [r+1] (t r+1 (t 0 b +B [r+1] b [r+1] (t Def. (1 tb [r] (t + tb [r] +1 (t ( r I.Vor. (1 t b + B [r] (t + t 0 0 ( r (1 t b + B [r] (t + t (1 t ( r+1 0 b + B [r] (t + t ( r+1 ( r 1 ( r r+1 [ ] b + (1 tb [r] (t + tb[r] 1 (t 0 0 r+1 b + B [r+1] (t wegen Lemma?? b +1+ B [r] (t b + B [r] 1 (t b + B [r] 1 (t, da B [r] r+1 (t 0 und B[r] 1 (t 0 Satz 3. (Darstellung von Bézerkurven mttels Bernstenpolynomen Für de Punkte ener Bézerkurve glt: B[b 0,..., b n ](t b B [n] (t 0 Bewes. Per Defnton glt: B[b 0,..., b n ](t b [n] Lemma?? 0 (t 32 n 0 b B [n] (t.

7 4. Egenschaften von Bézerkurven 4.1. Konvexe Hüllenegenschaft Defnton 5. De konvexe Hülle von Punkten b 0,..., b n st de Menge { λ b λ 0, 0 0 } λ 1. Lemma 4. Zur konvexen Hülle von Punkten b 0,..., b n gehören alle Punkte der Strecken, de de Punkte b 0,..., b n paarwese verbnden. Das größte Polygon, das aus desen Verbndungsstrecken gebldet werden kann, bldet (nklusve sener nneren Punkte de konvexe Hülle von b 0,..., b n. Bewes. 1 Für de Punkte z, de auf der Strecke zwschen b 0 und b 1 legen, exstert en λ [0, 1], so dass z λb 0 + (1 λb 1 λ b mt λ 0 λ, λ 1 1 λ, λ 2... λ n 0. 0 Also gehört de Strecke zwschen b 0 und b 1 zur konvexen Hülle. 2 Des glt analog für alle Punkte auf den Verbndungsstrecken zwschen b und b für, 0,..., n. 3 Se z en belebger Punkt des größten Polygons. Dann fnden wr Punkte b, b und b k so, dass z auf der Strecke zwschen dem Punkt b und enem Punkt z auf der Strecke von b nach b k legt. Somt exsteren λ [0, 1] und λ [0, 1], so dass glt: z λ b + (1 λ z λ b + (1 λ [λb + (1 λb k ] Setze λ λ, λ (1 λ λ, λ k (1 λ (1 λ und alle anderen λ l 0 (für l, l, l k. z λ l b l l0 und λ l λ + λ + λ k λ + (1 λ λ + (1 λ (1 λ l0 λ + (1 λ 1. Da λ [0, 1] und λ [0, 1], so glt λ λ 0, λ (1 λ λ 0 und λ k (1 λ (1 λ 0. Somt gehört z zur konvexen Hülle. 4 Es blebt zu zegen, dass edes z der konvexen Hülle auch zu dem größtmöglchen Polygon gehört. Der Bewes wurde mangels Zet ncht vorgeführt. Satz 4. Das Bld der Bézerkurve B[b 0,..., b n ](t legt n der konvexen Hülle von b 0,..., b n. Bewes. Satz?? lefert B[b 0,..., b n ](t n 0 b B [n] (t. Wr setzen λ : B [n] (t. Dann blebt zu zegen: 1 n 0 λ 1 Des glt wegen n 0 λ n 0 B[n] Lemma?? (t 1. 2 λ 0 0,..., n Des glt wegen λ B [n] (t Def. ( n t (1 t n 0 für t [0, 1]. 33

8 4.2. De Abletung von Bézerkurven Satz 5. d dt B[b 0,..., b n ](t n (b +1 b B [] (t 0 Bewes. Nach Satz 2.4 glt: B[b 0,..., b n ](t n 0 b B [n] (t mt B [n] (t ( n t (1 t n. Für de Abletung der Bernsten-Polynome glt d n n dt B[n] (t t 1 (1 t n t (1 t n 1 (n n 1 n 1 n t 1 (1 t n n t (1 t n 1 1 nb [] (t nb[] (t 1 Damt folgt für de Abletung der Bézerkurve: d dt B[b 0,..., b n ](t ( b 0 0 nb [] 1 n b B [] 1 n b B [] 1 1 n 0 (t nb[] (t (t n 0 (t 0 b +1 B [] (t b B [] b B [] 0 (t (t b B [] (t 5. Splnes n Bézerform Defnton 6. En Splne n Bézerform st ene Zusammensetzung von Bézerkurven, be denen der Endpunkt der vorhergehenden Bézerkurve mt dem Anfangspunkt der nächsten Bézerkurve überenstmmt. Problem: Splnes n Bézerform können Kncke haben, sehe folgende Abbldungen.... b b n+1 b 0 b n... b 2n Abbldung 6: En ncht dfferenzerbarer Splne b 0... b b n b n+1... Abbldung 7: En dfferenzerbarer Splne b 2n 34

9 Satz 6. En Splne n Bézerform, der aus zwe Bézerkurven B[b 0,..., b n ] und B[b n,..., b 2n ] zusammengesetzt st, st dfferenzerbar, falls glt: b n+1 b n b n b. Bewes. Es st zu zegen, dass de Abletung der Bézerkurve B[b 0,..., b n ] m Punkt b n und de Abletung der Bézerkurve B[b n,..., b 2n ] m Punkt b n überenstmmen. Dazu muss man de Abletung der Bézerkurve B[b 0,..., b n ] n t 1 und de Abletung der Bézerkurve B[b n,..., b 2n ] m Punkt t 0 auswerten. d dt B[b 0,..., b n ](t d t1 dt B[b n,..., b 2n ](t t0 n 0 (b +1 b B [] (t n t1 0 n(b n b n(b n+1 b n Herbe haben wr ausgenutzt, dass { B [] 0, für n 1 (1 1, für n 1 und b n b b n+1 b n B [] (0 { 0, für 0 1, für 0 (b n++1 b n+ B [] glt. (t t0 6. Programm zur Erzeugung von Splnes zur Hndernsumfahrung Das Programm sucht selbstständg geegnete Kontrollpunkte und berechnet de Bézerkurven sukzessve von Start bs Zel. De Hndernsse können varabel vom Nutzer engegeben werden. Abbldung 8: Bespellösung ener Hndernsumfahrung 35

10 Realserung des Programms zur Pfadfndung n Python: Mt der Methode createcontrolponts werden de Kontrollpunkte so gelegt, dass deren konvexe Hülle de Hndernsse ncht schnedet. Mt der Routne plotbezer wrd ene Bézerkurve mt den entsprechenden Kontrollpunkten gezechnet. def plotpath ( o b s t a c l e s, l a s t C o n t r o l P o n t : p l t. pause ( 0. 5 f len ( o b s t a c l e s >3: CPS c r e a t e C o n t r o l P o n t s ( o b s t a c l e s [ 0 ], o b s t a c l e s [ 1 ], o b s t a c l e s [ 2 ] drawponts (CPS, 10, bx p l t. pause ( 1 coords x [ ] coords y [ ] coords x. append ( o b s t a c l e s [ 0 ] [ 0 ] coords y. append ( o b s t a c l e s [ 0 ] [ 1 ] f len ( l a s t C o n t r o l P o n t >0: c o o r d s x. append ( l a s t C o n t r o l P o n t [ 0 ] c o o r d s y. append ( l a s t C o n t r o l P o n t [ 1 ] f len ( o b s t a c l e s >3: c o o r d s x. append (CPS [ 0 ] [ 0 ] c o o r d s y. append (CPS [ 0 ] [ 1 ] coords x. append ( o b s t a c l e s [ 1 ] [ 0 ] coords y. append ( o b s t a c l e s [ 1 ] [ 1 ] p l o t b e z e r ( coords x, c o ords y o b s t a c l e s. pop ( 0 f len ( o b s t a c l e s >2: plotpath ( o b s t a c l e s,cps [ 1 ] ; Abbldung 9: Am Ende testeten wr de berechneten Splnes mt unserem Mnroboter Nbobee. Da ener der Odometresensoren defekt war, nutzten wr de Lnensensoren. Damt konnte der Mnroboter den zuvor berechneten Splne-Pfaden folgen. 36