Algebraische Kombinatorik und Anwendungen in der kommutativen Algebra

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1 Algebrasche Kombnatork und Anwendungen n der kommutatven Algebra Dr. Martna Kubtzke Wntersemester 2012/13 Goethe-Unverstät Frankfurt

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3 Inhaltsverzechns 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe Monomale Ideale Prmärzerlegung Smplzale Komplexe Facetten-Ideale und Stanley-Resner Ideale Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe Smplzale Homologe De Cohen-Macaulay Egenschaft Schälbare smplzale Komplexe Hlbert-Funktonen und de Theoreme von Kruskal-Katona und Macaulay f - und h-vektoren und Hlbert-Rehen Der Satz von Kruskal-Katona Multkomplexe und der Satz von Clements-Lndström Alexander Dualtät und endlche Graphen Auflösungen und de Formel von Hochster Free Auflösungen Free Auflösungen und smplzale Komplexe Cohen-Macaulay bpartte Graphen Endlche Graphen und Kantendeale Endlche partell geordnete Mengen Cohen-Macaulay bpartte Graphen Dracs Theorem über chordale Graphen

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5 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe 1.1 Monomale Ideale In desem Kaptel beschäftgen wr uns mt den Grundlagen zu monomalen Idealen. Insbesondere sollen so genannte quadratfree monomale Ideale untersucht werden. Im folgenden se k en gewöhnlcher Körper und se S = k[x 1,...,x n ] der Polynomrng n n Varablen x 1,...,x n. Wr wederholen zunächst den Begrff enes Ideals. Defnton Ene Menge I S heßt Ideal, falls ( I abgeschlossen st bzgl. Addton, d.h. falls f, g I, so st auch f + g I. ( für f S und p I glt f p I. Da der Polynomrng n n Varablen noethersch st (Hlbertscher Basssatz, wssen wr, dass jedes Ideal von ener endlchen Menge von Elementen erzeugt wrd. Des st äquvalent dazu, dass n S de aufstegende Kettenbedngung glt, d.h.: Ist I 1 I 2... ene aufstegende Kette von Idealen, so wrd dese nach endlch velen Schrtten statonär, d.h. es exstert en s N, so dass I s = I s+1 =... Wr werden des ncht bewesen, jedoch m folgenden mehrfach verwenden. Im folgenden se Z n + = {(a 1,...,a n : a Z und a 0 für alle 1 n}. Wr kommen nun zu dem zentralen Begrff enes monomalen Ideals. Defnton ( Jedes Produkt x a 1 1 xa n n mt a = (a 1,...,a n Z n + heßt Monom n S. Wr schreben kurz x a für x a 1 1 xa n n. ( Wr schreben Mon(S für de Menge der Monome n S und Mon(I für de Menge der Monome n enem Ideal I. ( Wr nennen en Ideal I S en monomales Ideal, falls I von Monomen erzeugt wrd. (v Ist f = u Mon(S a u u mt a u k, so nennen wr supp( f = {u : a u 0} den Support von f. 1

6 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe Gegeben en Ideal I S und en Polynom f S möchte man entscheden, ob f n I legt. Im allgemenen lässt sch deses Problem ncht ohne weteres lösen (Gröbner Basen. Im Falle von monomalen Idealen st de Lösung allerdngs sehr enfach. Lemma Se I S en monomales Ideal und se f S. Dann st f genau dann n I, wenn supp( f I. Bewes. : Ist f S mt der Egenschaft, dass supp( f I, so folgt berets aus der Defnton enes Ideals (Defnton (, dass f I glt. : Se umgekehrt f I. Wr werden zegen, dass de Menge der Monome Mon(I n I ene k-vektorraumbass für I bldet. Da Mon(I Mon(S und de Elemente letzterer Menge lnear unabhängg snd, snd auch alle Monome n I lnear unabhängg. Wr müssen zegen, dass Mon(I auch en Erzeugendensystem für I st. Se dazu f I. Gemäß der Defnton enes monomalen Ideals müssen dann Monome u 1,...,u m Mon(I und Polynome f 1,..., f m S exsteren, so dass f = m =1 f u. Se u supp( f en belebges Monom m Support von f. Dann exstert en 1 m, so dass u auch m Support von f u st, d.h. u st von der Form w u, wobe w en Monom n S st. Damt glt nsbesondere u Mon(I und f lässt sch als Lnearkombnaton der Elemente n Mon(I schreben. Man kann zegen, dass de angegebene Bedngung n obgem Lemma gerade monomale Ideale charaktersert. Korollar Se I S en Ideal. Dann snd äquvalent: ( I st en monomales Ideal ( Für alle f S glt: f I genau dann wenn supp( f I. Bewes. Wr müssen nur noch ( ( zegen. De andere Rchtung folgt aus Lemma Seen f 1,..., f m Erzeugen von I. Dann glt nach Voraussetzung supp( f I für alle. Daraus folgt, dass m =1 supp( f ene Menge monomaler Erzeuger für I st. Um das Idealzugehörgkets-Problem für monomale Ideale zu lösen, recht es also deses für Monome zu lösen. Der nächste Satz lefert dazu das entschedende Mttel. Satz Se I S en monomales Ideal und se {u 1,...,u m } Mon(S ene Menge von Erzeugern I. En Monom v gehört genau dann zu I, wenn en 1 m exstert, so dass u das Monom v telt. Bewes. : (folgt, da {u 1,...,u m } Erzeugendensystem st. : Se v I. Dann exsteren Polynome f 1,..., f m, so dass v = m =1 f u. Insbesondere exstert en 1 m, so dass v m Support von f u legt. Daraus folgt v = wu für en Monom w m Support von f. 2

7 1.1 Monomale Ideale Ene Egenschaft, de das Arbeten mt monomalen Idealen sehr angenehm macht, st de folgende: Satz Jedes monomale Ideal hat ene endeutge mnmale Menge aus monomalen Erzeugern. Bewes. Per Defnton wrd I von Monomen erzeugt. Ferner st ene mnmale Erzeugendenmenge endlch, da aus dem Hlbertschen Basssatz folgt, dass der Polynomrng n n Varablen über enem Körper k noethersch st und damt jede aufstegende Kette von Idealen statonär st, also nsbesondere ene endlche Erzeugendenmenge für I exstert. Wr müssen daher ledglch de Endeutgket ener mnmalen Erzeugendenmenge zegen. Seen daher G 1 = {u 1,...,u r } und G 2 = {v 1,...,v s } zwe mnmale monomale Erzeugendensysteme von I. Wr zegen zunächst G 1 G 2. Betrachte u G 1. Wegen u I glt u = w 1 v j für en 1 j s und en Monom w 1 Mon(S. Entsprechend exstert aber auch en 1 k r und en Monom w 2 Mon(S, so dass v j = w 2 u k. Insgesamt glt also u = w 1 w 2 u k. Aus der Mnmaltät von G 1 folgt dann berets = k und w 1 w 2 = 1. Insbesondere glt w 1 = 1 und damt u = v j G 2, also G 1 G 2. De umgekehrte Inkluson glt per Symmetre. Im folgenden bezechnen wr de mnmale Menge monomaler Erzeuger enes monomalen Ideals mt G(I. Arbetet man mt Idealen, so st es üblch algebrasche Operatonen, we Summe, Produkt und Schntt zu betrachten. Es lässt sch mest recht lecht zegen, dass de Menge der monomalen Ideale unter desen Operatonen abgeschlossen st. Bemerkung Seen I,J S monomale Ideale. Dann glt: ( I + J st en monomales Ideal und G(I + J G(I G(J. ( I J st en monomales Ideal und G(I J G(IG(J. ( I J st en monomales Ideal und {kgv(u,v : u G(I, v G(J} st ene Menge von Erzeugern für I J. Unser Hauptnteresse wrd ncht an monomalen Idealen m allgemenen legen, sondern solchen de quadratfre snd. Dabe nennen wr en Monom x a quadratfre, falls a {0,1} n, d.h. x 2 x a for all 1 n. Entsprechend wrd en monomales Ideal als quadratfre bezechnet, wenn es von quadratfreen Monomen erzeugt wrd. Lemma Ist I en quadratfrees monomales Ideal, so glt I = I, wobe I = { f S : f m I für en m N} das Radkal-Ideal von I bezechnet. Bewes. Wr betrachten das mnmale Erzeugendensystem G(I von I. Für en belebges Monom u = n =1 xa setzen wr m =,a 0 x. Wr zegen zunächst folgende Behauptung. Behauptung: Für en belebges monomales Ideal I glt, dass I von { u : u G(I} erzeugt wrd. 3

8 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe Offenschtlch glt { u : u G(I} I. Da I en monomales Ideal st, recht es wegen Lemma zu zegen, dass für jedes Monom v I en Monom u G(I exstert, so dass u v. Ist v Mon( I, so st v s I für en s N. Somt exstert en u G(I mt u v s. Daraus folgt u v s = v und damt de Behauptung. Ist I quadratfre, so glt u = u für alle u G(I und damt G(I = { u : u G(I}. Aus der gerade gezegten Behauptung folgt dann I = I. 1.2 Prmärzerlegung Defnton ( En (monomales Ideal I S heßt rreduzbel, falls es ncht als echter Schntt zweer (monomaler Ideale geschreben werden kann, d.h. aus I = I 1 I 2 folgt berets I = I 1 oder I = I 2. ( En Ideal I S heßt Prmdeal, falls aus f g I schon f I oder g I folgt. ( En Ideal I S heßt prmär, falls aus gh I schon g I oder h m I folgt für en postves m N. In desem Fall st p = I en Prmdeal und wr nennen I p-prmär Bespel ( I = (x 2 1,x4 3,x12 5 st rreduzbel und (x 1,x 3,x 5 -prmär. Wr werden zegen, dass jedes rreduzble monomale Ideal von Potenzen von Varablen erzeugt wrd. ( J = (x1 2,x3 3,x7 4,x 1x3 2,x2 3 x5 4 st ncht rreduzbel, denn es glt J = (x 2 1,x 3 3,x7 4,x 1 x 2 3,x 2 3 (x 2 1,x 3 3,x7 4,x 1 x 2 3,x 5 4 = (x 2 1,x 7 4,x 1 x 2 3,x 2 3 (x 2 1,x 3 3,x 1x 2 3,x 5 4, aber man kann lecht zegen, dass J (x 1,x 3,x 4 -prmär st. In der Tat werden wr sehen (sehe Übungsaufgabe, dass jedes monomale prmäre Ideal von der Form st (x a 1 1,...,xa r r,x b 1,...,x b s, wobe a 1 für alle und supp(x b {1,...,r} für alle. Satz ( En monomales Ideal st genau dann rreduzbel, wenn es von der Form I = x a 1 1,...,x a k k st für a N +, 1 k ( Ist I en rreduzbles Ideal, so st I I-prmär. Bewes. Bewes von (: Wr nehmen zunächst an, dass I en monomales Ideal st, dass de Form I = x a 1 1,...,x a k k hat. Ohne Beschränkung der Allgemenhet se weter 1 <... < k. Da I x 1,...,x k glt, glt I S. Angenommen I wäre reduzbel, d.h. es exsteren zwe monomale Ideale I 1,I 2 S, so dass I = I 1 I 2 und I I 1 sowe I I 2. Dann exsteren Monome x b I 1 \ I und x c I 2 \ I. Weter muss gelten b j < a j und c j < a j für 1 j k, da sonst x b I bzw. x c I wäre. Daraus folgt dann kgv(x b,x c = n =1 xmaxb,c / I. Anderersets glt aber kgv(x b,x c I 1 I 2 = I. Wr erhalten also enen Wderspruch und damt st I rreduzbel. 4

9 1.2 Prmärzerlegung Für de Rückrchtung nehmen wr an, dass I rreduzbel st. Se G(I = {u 1,...,u m } das mnmale monomale Erzeugendensystem von I. Wr müssen zegen, dass jedes u j de Potenz ener Varable st, d.h. u j = x a j j für en 1 j n und a j N >0. Angenommen des st ncht der Fall. Nach Umnummererung der Varablen sowe Umordnung der u können wr annehmen, dass u m = x1 s f für s N >0, f Mon(S, f 1 und x 1 f. Wr setzen I 1 = u 1,...,u m 1,x1 s und I 2 = u 1,...,u m 1, f. Aus Bemerkung ( folgt I 1 I 2 = u 1,...u m 1,kgV(u 1,x s 1,kgV(u 1, f,...,kgv(u m 1,x s 1,kgV(u m 1, f,kgv(x s 1, f = u 1,...,u m = I, wobe wr verwendet haben, dass u kgv(u, f, u kgv(u,x1 s für 1 m und kgv(xs 1, f = u m. Wr zegen nun, dass auch I I 1 und I I 2 glt, was schleßlch enen Wderspruch zu der Irreduzbltät von I lefert. Da I = I 1 I 2 glt berets I I 1 und I I 2. Es blebt daher zu zegen I I 1 und I I 2. Wr zegen nur de erste Unglechhet, de andere folgt analog. Per Konstrukton glt x1 s I 1. Es glt aber x 1 / I. In der Tat, wäre x1 s I, so würde gelten: u x1 s für en 1 m. Also nsbesondere: u x1 s f = u m. Wegen der Mnmaltät von G(I glt dann = m und weter x1 s f xs 1, woraus folgt f = 1. Des gbt den gewünschten Wderspruch. Bewes von (: Se f g I für Polynome f,g S. Wr müssen zegen, dass entweder f I oder g s I für en s N glt. Für j N betrachte das Ideal I j = {h S : hg j I}. Wr erhalten damt de Kette I = I 0 I 1 I 2... n S. Da S noethersch st, muss dese Kette abbrechen, d.h. es exstert en s N, so dass I s = I s+1 =... Wr zegen nun, dass sch I schreben lässt als I = ((g s + I I 1. Se dazu h ((g s + I I 1. Dann exsteren a S und b I, so dass h = ag s + b. Da aber auch hg I gelten muss, folgt damt ag s+1 = hg hb I. Gemäß der Defnton von I s+1 können wr schleßen, dass a I s+1 = I s und daher ag s I. Schleßlch folgt h = ag s + b I. Des zegt ((g s +I I 1 I. De umgekehrte Inkluson st trval. Da I rreduzbel st, muss n der gerade gezegten Zerlegung nun gelten: I = (g s + I oder I = I 1. In ersterem Fall folgt g s I. In letzterem Fall folgt f I. Damt st I prmär. Als Konsequenz aus obgem Satz erhalten wr folgendes Korollar. Korollar Das monomale Ideal x a 1 1,...,x a k k st (x 1,...,x k -prmär. Bewes. Nach Satz ( st x a 1 1,...,x a k mplzert nun, dass x a 1 1,...,x a k k prmär st und wegen de Aussage des Satzes. k rreduzbel. Der zwete Tel desselbgen Satzes x a 1 1,...,x a k k = (x 1,...,x k folgt Zel deses Abschntts st es zu zegen, dass sch jedes Ideal n S oder allgemener n enem Noetherschen Rng als rredundanten Schntt prmärer Ideale zu schreben. Dazu wrd es nötg sen zunächst ene Darstellung als Schntt rreduzbler Ideale zu fnden und dann Komponenten mt dem glechen Radkal zusammenzufassen. Wr werden uns m folgenden ncht 5

10 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe auf monomale Ideale beschränken, sondern gewöhnlche Ideale betrachten. Wr nennen ene Darstellung enes Ideals I als Schntt von Idealen, d.h. I = m =1 Q rredundant oder mnmal, falls ken Ideal m Schntt weggelassen werden kann, d.h. Q j Q j for all 1 m. Satz ( Jedes Ideal I S kann geschreben werden als I = m =1 Q, wobe Q rreduzbel st. Ferner exstert ene rredundante solche Zerlegung. ( Ist I en monomales Ideal und st de Zerlegung n I rredundant, so st se endeutg. Bewes. Wr bewesen den ersten Tel des Satzes mttels Wderspruch. Angenommen es exstert en Ideal I S, das ncht als endlcher Schntt rreduzbler Ideale geschreben werden kann. Insbesondere muss I dann reduzbel sen, d.h. es exsteren Ideale I 1 und J 1 mt I = I 1 I 2 und I I 1 und I I 2. Ebenso we be I kann es sch be mndestens enem der Ideale I 1 und I 2 ncht um enen endlchen Schntte rreduzbler Ideale handeln. Ohne Beschränkung der Allgemenhet se des für I 1 der Fall. Mt der glechen Begründung we zuvor für I (aber jetzt auf I 1 angewandt fnden wr en Ideal I 2, so dass I 1 I 2 und das sch ncht als endlcher Schntt rreduzbler Ideale schreben lässt. Durch Iteraton deses Prozesses erhalten wr ene unendlche aufstegende Kette von Idealen I I 1 I 2... Des ergbt enen Wderspruch dazu, dass der Polynomrng S noethersch st. Wr haben damt gezegt, dass I geschreben werden kann als I = m =1 Q, wobe Q rreduzbel st. Indem wr Komponenten Q aus dem Schntt entfernen mt der Egenschaft, dass Q j Q j erhalten wr ene rredundante Zerlegung. Wr bewesen nun (. Seen I = m =1 Q = s =1 Q zwe rredundante Zerlegungen von I n rreduzble Ideale. Wegen Satz wssen wr, dass de Ideale Q und Q von Potenzen von Varablen erzeugt werden. Se [m]. Wr zegen, dass en j [s] exstert, so dass Q j Q. Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr annehmen, dass Q = (x a 1 1,...,xa k k. Angenommen es glt Q j Q für alle j [s]. Dann exstert für jedes j [s] en Monom x b j l j Q j \ Q. Dann glt entweder l j / [k] oder b j < a l j. Wr setzen u = kgv{x b 1 l 1,...,x b s l s }. Per Defnton glt u s j=1 Q j Q. Letztere Inkluson mplzert, dass en [k] exsteren muss, so dass x a das Monom u telt. Des führt zu enem Wderspruch. Zusammenfassend haben wr gezegt, dass für jedes [m] en j [s] exstert, so dass Q j Q. Per Symmetre glt auch, dass für jedes k [s] en l [m] exstert mt Q l Q k. Daraus kann man dann mt Hlfe der Irredundanz schleßen, dass m = s und auch {Q 1,...,Q m } = {Q 1,...,Q s} gelten muss. Des zegt dann de Endeutgket der Zerlegung. Der gerade bewesene Satz glt über jedem Noetherschen Rng. Wr können nun unser Hauptergebns bewesen: Theorem Jedes Ideal I S bestzt ene mnmale Prmärzerlegung, d.h. ene Zerlegung I = m =1 Q, wobe Q en Q = P -prmäres Ideal st, P P j für j glt und so dass glt Q j Q j für alle 1 m. De Ideale P n ener mnmalen Prmärzerlegung werden als zu I assozerte Prmdeale bezechnet. Das Ideal Q wrd de zu I P -prmäre Komponente genannt. 6

11 1.3 Smplzale Komplexe Bewes. Es folgt berets aus Satz 1.2.5, dass I geschreben werden kann als I = m =1 Q, wobe de Q rreduzbel snd und Q j Q j für alle 1 m. Wegen Satz ( snd de Ideale Q dann sogar prmär. Im nächsten Schrtt fassen wr alle Ideale Q zusammen, de dasselbe Radkal-Ideal haben. Der Schntt deser Ideale st erneut prmär (sehe Übungsaufgabe und damt können wr auch de Gültgket der Bedngung P P j für j garanteren. Bespel I = (x 3 1,x3 2,x2 1x 2 3,x 1 x 2 x 2 3,x 2 2x 2 3 = (x 3 1,x3 2,x2 1x 2 3,x 1,x 2 2x 2 3 (x 3 1,x3 2,x2 1x 2 3,x 2,x 2 2x 2 3 (x 3 1,x3 2,x2 1x 2 3,x 2 3,x 2 2x 2 3 = (x 3 2,x 1,x 2 2x 2 3 (x 3 1,x2 1x 2 3,x 2 (x 3 1,x3 2,x2 3 = (x 3 2,x 1,x 2 2 (x 3 2,x 1,x 2 3 (x 3 1,x2 1,x 2 (x 3 1,x2 3,x 2 (x 3 1,x3 2,x2 3 = (x 1,x 2 2 (x 2 1,x 2 (x 3 1,x3 2,x2 3 De obge Zerlegung st de endeutge rredundante Darstellung des Ideals I als Schntt rreduzbler monomaler Ideale. De Ideale (x 2 1,x 2 und (x 1,x 2 2 snd bede (x 1,x 2 -prmär. Wr bekommen daher als (x 1,x 2 -prmäres Ideal assoert zu I den Schntt (x 1,x 2 2 (x2 1,x 2 = (x 2 1,x2 2,x 1x 2. Damt erhalten wr folgende rredundante Prmärzerlegung von I I = (x 2 1,x 2 2,x 1 x 2 (x 3 1,x3 2,x2 3. Im allgemenen gbt es verschedene Prmärzerlegungen enes monomalen Ideales, d.h. nsbesondere st ene solche ncht unbedngt endeutg. Konstruert man aber we n obgem Bespel ene Prmärzerlegung ausgehend von dem rredundanten Schntt rreduzbler Ideale (Satz 1.2.5, so st de erhaltene Prmärzerlegung endeutg und se wrd als Standard- Prmärzerlegung von I bezechnet. Ist I en quadratfrees monomales Ideal, so werden de prmären Komponenten von Varablen erzeugt, d.h. nsbesondere lässt sch I n desem Fall als Schntt monomaler Prmdeale schreben. 1.3 Smplzale Komplexe In desem Abschntt befassen wr uns mt smplzalen Komplexen. Dese sollen m darauffolgenden Abschntt verwendet werden um quadratfree monomale Ideale kombnatorsch zu beschreben. Im folgenden, se [n] = {1,..., n}. Defnton En (abstrakter smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] st ene Menge von Telmengen von [n] mt den Egenschaften, dass ( /0 ( Falls F und G F, so st auch G. 7

12 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe De Elemente n werden als Seten bezechnet und wr defneren dmf = F 1 als de Dmenson ener Sete F. De Dmenson von st de maxmale Dmenson sener Seten. 0-dmensonale Seten nennen wr Ecken und Seten, de bezüglch Inkluson maxmal snd, heßen Facetten. Wr nennen ren, falls alle Facetten de selbe Dmenson haben. Bespel ( = {/0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{1,2,3}} Geometrsch können wr uns als ausgefülltes Dreeck mt den Ecken 1, 2 und 3, sowe ener zusätzlchen Kante von 1 nach 4 vorstellen. Wr werden des noch präzseren. {1,2,3} und {1,4} snd de Facetten. Der Komplex hat Dmenson 2 und st ncht ren. ( Für n 1 defnere n 1 = 2 [n] = {A : A [n]} als (abstrakten (n 1-Smplex. n st ren, (n 1-dmensonal und de enzge Facette st [n]. Wr benötgen noch enge Notatonen. Wr schreben F ( bzw. N ( für de Menge der Facetten bzw. der mnmalen Ncht-Seten von, d.h. N ( = {G [n] : G / und G mnmal}. Es st klar, dass en smplzaler Komplex endeutg durch de Menge sener Facetten bzw. sener mnmalen Ncht-Seten beschreben wrd. Bespel ( Der smplzale Komplex n Bespel ( hat als mnmale Ncht- Seten {2,4} und {3,4}. De Menge {1,3,4} st auch ene Ncht-Sete, aber ncht mnmal. ( Der (n 1-Smplex bestzt kene Ncht-Seten. Im folgenden möchten wr beschreben, we wr uns enen smplzalen Komplex geometrsch vorstellen können. Dazu benötgen wr zunächst de Defnton enes geometrschen Smplexes. Defnton Seen p 1,..., p d+1 affn unabhängge Punkte m R n, d.h. p 2 p 1,..., p d+1 p 1 snd lnear unabhängg. Dann heßt d = conv{p : 1 d +1} := { d+1 =1 a p : d+1 =1 a = 1, a 0 für alle 1 d +1} geometrscher d-smplex. De konvexe Hülle ener belebgen Telmenge von {p 1,..., p d+1 } wrd als Sete von n bezechnet. Defnton En geometrscher smplzaler Komplex st enem Menge C geometrscher Smplzes mt folgenden Egenschaften: ( Snd F,G C, so st F G sowohl ene Sete von F als auch von G. ( Ist F C und st G ene Sete von F, so st G C. Jeder geometrsche smplzale Komplex st auf natürlche Art und Wese en abstrakter smplzaler Komplex auf sener Eckenmenge. Umgekehrt kann auch jeder abstrakte geometrsche smplzale Komplex als geometrscher smplzaler Komplex realsert werden. Konstrukton Se en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] und seen b 1,...,b n ene Bass des R n. Für ene Telmenge σ [n] defneren wr σ = conv{b : σ} 8

13 1.3 Smplzale Komplexe als de konvexe Hülle der Bassvektoren b mt σ. Ist σ ene m-dmensonale Sete n, so st σ entsprechend en m-dmensonaler geometrscher Smplex m R n. Wr setzen weter = σ σ. Offenschtlch st en geometrscher smplzaler Komplex und wr nennen ene geometrsche Realserung von. Bespel Se e = (0,...,0,,0,...,0 der -te Enhetsvektor m R n. Dann st n 1 = conv{e : 1 n} ene geometrsche Realserung des abstrakten (n 1-Smplexes. Da verschedene geometrsche Realserungen enes smplzalen Komplexes homeomorph snd (bzgl. der nduzerten Topologe des R n und da wr uns n Anwendungen nur für de Topologe ener geometrschen Realserung nteresseren, werden wr m folgenden mmer von der geometrschen Realserung enes smplzalen Komplexes reden. Be der Arbet mt smplzalen Komplexen nteressert man sch häufg für de Anzahl der Seten ener gewssen Dmenson. Dese Informaton wrd m sog. f -Vektor von gesammelt. Wr setzen f = ( f 1,..., f dm, wobe f = {F : dmf = } und f 1 = 1 zählt de leere Menge. Wr nennen f den f -Vektor von und f dm +1 (t = f 1t dm +1 =0 das f -Polynom von. In bestmmten Anwendungen st es häufg günstger ncht den f -Vektor, sondern den sog. h-vektor h = (h 0,...,h d von zu betrachten. Deser berechnet sch aus ener lnearen Transformaton des f -Vektors we folgt h = j=0 ( d j ( 1 j j f j 1. Das Polynom h (t = d =0 h td+1 wrd als h-polynom von bezechnet. Insbesondere glt de Relaton f (t 1 = h (t. Bespel ( Für = {/0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{1,2,3}} st der f -Vektor f = (1,4,4,1. Der h-vektor ergbt sch zu h = (1,1, 1. ( Für den (n 1-Smplex zählt der Entrag f n 1 Kardnaltät + 1. Es glt also f n 1 sch als h n 1 = (1,0,...,0. des f -Vektors Telmengen von [n] der = ( n +1 für 0 n 1. Der h-vektor berechnet 9

14 1 Monomale Ideale und smplzale Komplexe 1.4 Facetten-Ideale und Stanley-Resner Ideale Zel deses Abschntts st es ene Verbndung zwschen den vorhergen beden Abschntten herzustellen, d.h. zwschen quadratfreen monomalen Idealen und smplzalen Komplexen. Insbesondere wrd es darum gehen, ene 1 1-Korrespondenz zwschen desen beden Klassen von Objekten herzustellen und dese auszunutzen, um von Egenschaften enes Elements der enen Klasse auf Egenschaften des entsprechenden assozerten Objekts zu schleßen. Dabe wrd es zwe verschedene Möglchketen geben, um enen Zusammenhang herzustellen. Im folgenden nehmen wr stets an, dass en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] st und we schon m Abschntt 1.1 bezechnet S = k[x 1,...,x n ] den Polynomrng n n Varablen über enem gewöhnlchen Körper k. Defnton Se en smplzaler Komplex mt der Eckenmenge [n]. ( Wr nennen I = x F = x : F N ( F das Stanley-Resner Ideal von und k[ ] = S/I st der so genannte Stanley-Resner Rng von. ( Das Ideal I( = x F wrd als Facetten-Ideal von bezechnet. : F F ( Bespel ( Für = {/0,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{1,2,3}} st I = (x 2 x 4,x 3 x 4 k[x 1,x 2,x 3,x 4 ] und I( = (x 1 x 2 x 3,x 1 x 4 k[x 1,x 2,x 3,x 4 ]. ( Für enen (n 1-Smplex n1 st I n 1 = (0 k[x 1,...,x n ] und I( n 1 = (x 1 x n. I und I( snd quadratfree Ideale n S und se snd zwe Möglchketen en quadratfrees monomales Ideal zu enem smplzalern Komplex zu assozeren. Umgekehrt können wr zu enem gegebenen quadratfreen monomalen Ideal I mt G(I = {x a 1,...,x as } enen smplzalen Komplex auf zwe Arten zuwesen. Defnton Se I S en quadratfrees monomales Ideal mt G(I = {x a 1,...,x as }. ( Der smplzale Komplex I mt N ( = {supp(a 1,...,supp(a s } heßt Stanley-Resner Komplex von I. Dabe st supp(a = { : a 0} für a Z n. (Insbesondere glt: I = I I. ( Der smplzale Komplex (I mt F ( = {supp(a 1,...,supp(a s } heßt Facetten- Komplex von I. (Insbesondere glt: I = I( (I. Bespel Ist I = (x 1 x 3,x 2 x 4,x 1 x 3 x 5, so st der Stanley-Resner Komplex I der Rand enes 4-Ecks mt den Ecken 1,2,3,4, sowe ene zusätzlche Ecke 5, de über Kanten mt 1,2,3,4 verbunden st. Alle dadurch entstehenden 2-Smplzes außer {1,3,5} gehören zu dem Stanley-Resner Komplex. 10

15 1.4 Facetten-Ideale und Stanley-Resner Ideale Zusammenfassend bekommen wr also folgenden Zusammenhang: { Quadratfree monomale Ideale n S } { Smplzale Komplexe mt Eckenmenge [n] } Facetten-Ideal I( Stanley-Resner Ideal I I (I Facetten-Komplex I I Stanley-Resner Komplex Wr kommen nun zu dem Haupresultat n desem Abschntt Theorem Se en smplzaler Komplex. De mnmale Prmärzerlegung von I st I = P [n]\f, F F ( wobe P G = x : G für ene Telmenge G [n]. Bewes. Für en Monom u = x a 1 1 xa n n se F u = { [n] : a 0}. Es folgt schnell aus der Defnton des Stanley-Resner Ideals, dass u I genau dann wenn F u /. Wr zegen zunächst de Inkluson I F F ( P [n]\f. Ist u I, so st nach obgem F u / und somt st F u n kener Facette von enthalten. Somt glt F u (F c /0 für alle F F (, d.h. u P F c für alle F F (. Damt glt also u F F ( P [n]\f. Für de umgekehrte Inkluson se u / I. Nach obgem st dann F u und nsbesondere exstert ene Facette F F ( mt F u F. Daraus folgt u / P F c F F ( P [n]\f. Wr snd damt n der Lage de Prmärzerlegung enes quadratfreen monomalen Ideals mttels der Kenntns des zugehörgen Stanley-Resner Komplexes zu berechnen. Insbesondere ermöglcht uns des auch de Berechnung der Höhe des Ideals I. Es glt I = mn{ [n] F : F F ( }. Entsprechend gbt es jedoch auch ene Möglchket de mnmale Prmärzerlegung enes Facetten-Ideals nur aus der Kenntns des zugrunde legenden smplzalen Komplexes zu berechnen. Wr nennen ene Telmenge C [n] ene Ecken-Überdeckung von, falls jede Facette F F ( de Menge C ncht trval schnedet, d.h. C F /0. Ene solche Ecken-Überdeckung C st mnmal, falls kene echte Telmenge von C ebenfalls ene Ecken- Überdeckung von st. Theorem Seen C 1,...,C m de mnmalen Ecken-Überdeckungen von. Dann st de mnmale Prmärzerlegung von I( gerade m I( = P C. =1 11

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17 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe In desem Kaptel werden wr bestmmte Klassen smplzaler Komplexe betrachten. Insbesondere werden Cohen-Macaulay Komplexe und so genannte schälbare Komplexe engeführt und mtenander n Bezehung gesetzt. Cohen-Macaulay Komplexe lassen sch auf verschedene Arten defneren. Wr wählen n deser Vorlesung ene Charakterserung mttels der Homologe enes smplzalen Komplexes. Dese hat den Vortel, dass se zum enen n Anwendungen sehr hlfrech st und zum anderen drekt erschtlch st, dass es sch be der Cohen-Macaulay-Egenschaft um ene topologsche Egenschaft handelt. Im nun folgenden ersten Abschntt deses Kaptels begnnen wr daher mt ener Enführung zu smplzaler Homologe. 2.1 Smplzale Homologe De Resultate n desem Abschntt werden wetestgehend ohne Bewese angegeben, da se ledglch das notwendge Hntergrundwssen für de Arbet mt smplzaler Homologe lefern sollen. Se m folgenden en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] = {1,...,n} und se k en Körper. Für Z se F ( de Menge der -dmensonalen Seten von. Ferner se C ( ;k en k-vektorraum mt Bass {e σ : σ F ( }, d.h. de Basselemente von C ( ;k entsprechen den -dmensonalen Seten von. Wr defneren de Randabbldung : C ( ;k C 1 ( ;k folgendermaßen: Für Z und σ = { j 1 <... < j +1 } F ( se +1 (e σ = ( 1 l 1 e σ\{ jl }. Ist < 1 oder > n 1, so st C ( ;k = 0 und entsprechend auch = 0. Defnton Der Kettenkomplex von über k st der Komplex C ( ;k: l=1 0 C n 1 ( ;k n 1 C ( ;k C 1 ( ;k 1 0 C 1 ( ;k 0. Bemerkung Man rechnet nach, dass der gerade defnerte Komplex wrklch de defnerende Egenschaft enes sog. Komplexes erfüllt, d.h. es glt: 1 = 0 für 0 13

18 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe dm + 1. Mt anderen Worten st das Bld der -ten Randabbldung m Kern der ( 1-ten Randabbldung enthalten. Defnton Für Z se H ( ;k = Ker( /Im( +1. Wr nennen H ( ;k de -te reduzerte Homologegruppe von über k. Elemente n Ker( werden als -Zykel, Elemente n Im( als -Ränder bezechnet. Wr werden nun de Homologegruppen für en Bespel explzt berechnen. Bespel Se gegeben mt Facettenmenge F ( = {{1,2,3},{1,4},{2,4},{3,5},{6},{7}}. Es glt F 1 ( = {/0} F 0 ( = {{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7}} F 1 ( = {{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{2,4},{3,5}} F 2 ( = {{1,2,3}} Als Kettenkomplex erhalten wr 0 k k k 7 1 [ ] 0 k 0 De Abbldungen 0 und 2 haben bede Rang 1 und snd daher surjektv bzw. njektv. Damt glt Ker 0 = k 6 und Im 2 = k. De Matrx 1 hat Rang 4, woraus folgt, dass Ker 1 = k 6 4 = k 2 und Im 1 = k 4. Insgesamt erhalten wr damt: H 0 ( ;k = k 6 4 = k 2, H 1 ( ;k = k 2 1 = k und alle anderen Homologegruppen verschwnden. Prnzpell kann man sch vorstellen, dass de -te Homologegruppe de Anzahl der - dmensonalen Sphären ( Löcher n enem Komplex zählt. Ferner kann man zegen, dass de 0-te Homologegruppe durch de Anzahl der Zusammenhangskomponenten bestmmt st. Homologegruppen lassen sch ncht nur für smplzale Komplexe defneren, sondern allgemener für enen belebgen topologsche Raum. Ene Möglchket des zu tun, st enen topologschen Raum zu tranguleren und de Homologe des zur Trangulerung gehörenden smplzalen Komplexes zu berechnen. Dabe müssen Seten von Smplzes ncht gerade sen, 14

19 2.1 Smplzale Homologe sondern se können durchaus gebogen sen. Wenn wr m folgenden von der Homologe enes Raumes sprechen, menen wr mmer de Homologe, de sch mttels ener gewählten Trangulerung berechnet. Wchtg und a pror ncht klar st, dass de Homologe ncht von der gewählten Trangulerung abhängt. Insbesondere bedeutet des auch, dass smplzale Komplexe mt homoemorphen geometrschen Realserungen deselbe Homologe haben, d.h. dese hängt nur von der geometrschen Realserung ab. Für de Berechnung von Homologegruppen kann es hlfrech sen den jewelgen Raum erst n geegneter Art und Wese zu deformeren und mt Hlfe der Homologe des deformerten Raumes de Homologe des Ausgangsraumes zu berechnen. Ene n Anwendungen besonders wchtge Klasse von Deformatonen, de de Homologe enes topologschen Raumes ncht ändern, snd de folgenden. Defnton Seen X,Y topologsche Räume. ( Ene Homotope st ene Famle von Abbldungen f t : X Y, 0 t 1, so dass de Abbldung F : X [0,1] Y : (x,t F(x,t = f t (x stetg st. ( Zwe Abbldungen f,g : X Y snd homotop, falls ene Homotope f t : X Y, 0 t 1, exstert mt f 0 = f und f 1 = g. Man schrebt f g. ( En Deformatonsretrakt von X zu enem Unterraum A X st ene st ene Homotope f t : X X, 0 t 1, so dass f 0 = 1 X (de Identtät, f 1 (X = A und f t A = 1 A. (v Ene Abbldung f : X Y heßt Homotopeäquvalenz, falls ene Abbldung g : Y X exstert, so dass f g 1 und g f 1. In desem Fall heßen X und Y homotopeäquvalent bzw. man sagt, dass se den selben Homotopetyp haben. Anschaulch snd zwe Räume homotopea quvalent, falls se sch auf stetge Art und Wese n enander verformen lassen. Ist f t : X X, 0 t 1, en Deformatonsretrakt von X zu enem Unterraum A, so st f 1 : X A ene Homotopeäquvalenz. Wenn man g : A X als Inkluson wählt, so glt f 1 g = 1 A und g f 1 1 X, wobe letztere Homotope durch f t gegeben st. De Resultate n desem Abschntt werden mest ohne Bewes angegeben, da wr se ledglch als Werkzeuge verwenden werden. Satz Se en smplzaler Komplex mt Zusammenhangskomponenten 1,..., s. Dann glt H 0 ( ;k = k s 1 und H ( ;k = s j=0 H ( j ;k für 1. Satz Snd und Γ smplzale Komplexe, so dass und Γ homotopea quvalent snd, so glt H ( ;k = H (Γ;k für alle. Topologsche Räume, de uns häufg begegnen snd solche, de homeomorph zu enem Ball oder ener Sphäre snd. Für n N und n 1, se B n = {x R n : x 1} 15

20 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe der n-dmensonale Enhetsball m R n und se S n 1 = {x R n : x = 1} de (n 1-dmensonale Enhetssphäre m R n+1. Satz Se en smplzaler Komplex. ( Ist homotopeäquvalent zu S n, so glt { k, falls = n H ( ;k = 0, sonst ( Ist homotopeäquvalent zu B n, so glt H ( ;k = 0 für alle. De Konsequenzen obgen Satzes gelten nsbesondere, wenn sch de geometrsche Realserung enes smplzalen Komplexes zu ener Sphäre oder enem Ball retraheren lässt bzw. homeomorph dazu st. Bemerkung En topologscher Raum X, der den Homotopetyp enes Punktes hat, heßt X zusammenzehbar. Anschaulch bedeutet des, dass X sch auf stetge Art und Wese zu enem Punkt kontraheren lässt. Insbesondere st jeder Ball zusammenzehbar. Satz mplzert damt auch, dass de Homologegruppen enes aus enem enzgen Punkt bestehenden smplzalen Komplexes trval snd. Der vorge Satz mplzert damt auch, dass de geometrsche Realserung enes (d 1-Smplexes zusammenzehbar st. Ene äquvalente Charakterserung st de, das de Identtätsabbldung auf X homotop zu ener konstanten Abbldung st. Um zu zegen, dass en topologscher Raum homotopeäquvalent zu enem anderen (lechter verständlchen st, kann es hlfrech sen, zunächst enen zusammenzehbaren Unterraum zu dentfzeren und dann den sch daraus ergebenden Quotentenraum zu betrachten. Oftmals lässt sch der Homotopetyp deses Quotenten lechter bestmmen. Unter bestmmten Voraussetzungen hat der Ausgangsraum zudem den selben Homotopetyp we der Quotent. Defnton ( Se X en topologscher Raum und se A X. Wr defneren de Äquvalenzrelaton durch x y, genau dann wenn x = y oder x,y A. Der sog. Quotenten- oder Identfkatonsraum von X bzgl. A st de Menge der Äquvanlenzklassen bzgl. der Äquvalenzrelaton. ( Gegeben topologsche Räume X α mt Basspunkten x α defnert man de Enpunkt- Verbndung X α der Räume X α als Quotent der dsjunkten Verengung α X α /{x α : α}, der durch Identfzerung der Punkte x α erhalten wrd. Anschaulch werden be der Bldung enes Quotentenraumes gewsse Punkte n enem topologschen Raum mtenander dentfzert. Bespelswese st S 1 S 1 homeomorph zu den Konturen ener 8. En n Anwendungen sehr hlfreches Resultat st das folgende. 16

21 2.2 De Cohen-Macaulay Egenschaft Theorem Se en smplzaler Komplex, dessen geometrsche Realserung homotopeäquvalent zu ener Enpunkt-Verbndung von Sphären st mt r Sphären der Dmenson. Dann glt für alle 0 dm H ( ;k = k r Enes der Resultate, de wr häufg verwenden werden, st das folgende. Satz Se en smplzaler Komplex und se Γ en Unterkomplex von, dessen geometrsche Realserung zusammenzehbar st. Dann snd und / Γ homotopeäquvalent. Ist der betrachtete Unterkomplex ncht zusammenzehbar, so st de Stuaton mest etwas komplzerter, n enfachen Fällen können wr dennoch etwas aussagen. Satz Der Quotent B n /S n 1 st homotopeäquvalent zu S n. Anschaulch besagt der vorhergehende Satz, wenn wr de Punkte m Rand enes n-dmensonalen Balles dentfzeren, erhalten wr ene n-dmensonale Sphäre. Bespelswese erhalten wr ene 2-Sphäre (d.h. den Rand ener Weltkugel, wenn wr de Punkte m Rand ener Schebe zu enem Punkt verkleben. 2.2 De Cohen-Macaulay Egenschaft Zel deses Abschntts st de Cohen-Macaulay Egenschaft enes smplzalen Komplexes enzuführen und zu verstehen. In späteren Kapteln werden wr herausarbeten, warum Cohen- Macaulay Komplexe ene besonders wchtge Klasse smplzaler Komplexe darstellen. Klasssch st de Cohen-Macaulay Egenschaft zunächst für Rnge und Moduln defnert. Entsprechend nennt man enen smplzalen Komplex Cohen-Macaulay über k, falls der Stanley- Resner Rng dese Egenschaft hat. Für praktsche Anwendungen st ene äquvalente Defnton mttels der smplzalen Homologe des smplzalen Komplexes, sowe gewsser Unterkomplexe häufg jedoch günstger. Defnton Se en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n]. ( heßt ren, falls alle Facetten de selbe Dmenson haben. ( Für ene Sete F defneren wr lk (F = {G : F G, F G = /0} und nennen desen smplzalen Komplex den Lnk von F n. Man kann lecht zegen, dass lk (F n der Tat weder en smplzaler Komplex st. Der Lnk ener Facette st mmer der smplzale Komplex, der de leere Sete enthält. Der Lnk der leeren Menge st mmer der gesamte smplzale Komplex. Wr geben nun noch enge Bespele an. 17

22 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe Bespel Wr betrachten weder den smplzalen Komplex aus Bespel (. Wr erhalten folgende Lnks: lk (/0 = lk ({1} = {{2,3},{4},{2},{3},{4}, /0} lk ({2} = {{1,3},{1},{3}, /0} lk ({3} = {{1,2},{1},{2}, /0} lk ({4} = {{1}, /0} lk ({1,2} = {{3}, /0} lk ({1,3} = {{2}, /0} lk ({2,3} = {{1}, /0} lk ({1,4} = {/0} lk ({1,2,3} = {/0}. De Defnton für Cohen-Macaulayness, de wr verwenden werden, st nun de folgende. Defnton (Resner Krterum. Se en rener (d 1-dmensonaler smplzaler Komplex. Wr nennen Cohen-Macaulay über k, falls H (lk (F;k = 0 für alle 0 < dmlk (F und alle F. Anschaulch besagt de Cohen-Macaulay Egenschaft für enen smplzalen Komplex, dass, sowohl global als auch lokal de Homologe ener Enpunkt-Verbndung von Sphären (der entsprechenden Dmenson hat oder zusammenzehbar st. Wr betrachten nun noch en paar Bespele. Bespel ( Se der smplzale Komplex auf der Eckenmenge [5] mt Facettenmenge F ( = {{1,2,3},{3,4,5}}. Dann st F (lk ({3} = {{1,2},{4,5}} und damt unzusammenhängend. Aus Satz folgt dann aber H 0 (lk ({3};k = k. Wegen dmlk ({3} = 1 > 0 kann dann aber ncht Cohen-Macaulay sen. ( Se der smplzale Komplex auf der Eckenmenge [6] mt Facettenmenge F ( = {{1,2,4},{2,3,5},{1,3,6}}. Wr können de geometrsche Realserung von durch zusammendrücken zu dem Rand enes Dreecks retraheren, welches wederum homeomorph zu ener S 1 st. Aus Satz und Satz folgt damt H 1 ( ;k = k und wegen dm = 2 kann damt ncht Cohen-Macaulay sen. ( Se der smplzale Komplex aus (, aber noch mt ener zusätzlchen Facette {1, 2, 3}. In desem Fall st homeomorph zu B 2 und hat nach Satz und Satz trvale Homologe. De Lnks der Ecken 4,5 und 6 snd jewels enzelne Kanten, de Lnks der Ecken 1,2 und und 3 bestehen aus je dre zusammenhängenden Kanten. Sowohl enzelne als auch mehrere zusammenhängende Kanten snd jedoch homeomorph zu B 1 und Satz und Satz mplzeren damt, dass de Homologe der Lnks der Ecken 18

23 2.3 Schälbare smplzale Komplexe trval st. Be den Lnks der Kanten handelt es sch um 0-dmensonale smplzale Komplexe. Letztere können aber nur n Dmenson 0 ncht-trvale Homologegruppen haben. Insgesamt folgt damt, dass der betrachtete smplzale Komplex Cohen-Macaulay st. Im folgenden wollen wr noch 0-dmensonale und 1-dmensonale smplzale Komplexe charakterseren. Satz ( Jeder 0-dmensonale smplzale Komplex st Cohen-Macaulay. ( En 1-dmensonaler smplzaler Komplex st genau dann Cohen-Macaulay, wenn er zusammenhängend st. Bewes. Bewes von (: Ist 0-dmensonal, so besteht nur aus Ecken. Ohne Enschränkung habe de Eckenmenge [n]. Der Lnk jeder Ecke st der smplzale Komplex, der de leere Menge enthält, st also 1-dmensonal und es st nchts zu zegen. Es st ferner lk ({/0} = und wegen dm = 0 st auch n desem Fall nchts zu zegen. Insgesamt folgt, dass Cohen- Macaulay st. Bewes von (: Se zunächst en 1-dmensonaler smplzaler Komplex, der Cohen- Macaulay st. Wäre ncht zusammenhängend, so würde aus Satz folgen, dass dm k H 0 ( ;k 1, nsbesondere also H 0 ( ;k 0 und des stellt enen Wderspruch zum Resner Krterum dar. Se nun umgekehrt en zusammenhängender 1-dmensonaler smplzaler Komplex. Dann folgt zunächst, dass ren sen muss. Andernfalls gäbe es mndestens ene Ecke und mndestens ene Kante, de bede Facetten snd. Da solche Ecken solert sen müssen, wäre ncht zusammenhängend. Weter folgt aus Satz 2.1.6, dass H 0 ( ;k = 0 glt. Damt st wegen dm = 1 de Bedngung aus dem Resner Krterum für F = /0 erfüllt. Ist F mt dmf = 1, so st lk (F = {/0} und we n ( folgt, dass n desem Fall de Bedngung aus dem Resner Krterum erfüllt st. Ist F ene Ecke, so besteht lk (F aus ener Menge von Ecken und we n ( folgt auch her weder, dass de Bedngung aus dem Resner Krterum erfüllt st. Insgesamt st also Cohen-Macaulay. Der erste Tel des Beweses von ( zegt nsbesondere folgendes Resultat. Korollar Se en Cohen-Macaulay Komplex und dm 1. Dann st zusammenhängend. 2.3 Schälbare smplzale Komplexe Das Zel deses Abschntts st es ene stärkere Egenschaft als de Cohen-Macaulay-Egenschaft enzuführen, de ledglch von der Kombnatork des jewelgen smplzalen Komplexes abhängt und ncht mehr von dem Körper k. Wr benötgen zunächst noch ene Notaton. Gegeben seen Telmengen F 1,...,F m [n]. Dann schreben wr F 1,...,F m für den smplzalen Komplex mt Facettenmenge {F 1,...,F m }, 19

24 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe d.h. F 1,...,F m = {F [n] : Es exstert en 1 m, so dass F F }. Defnton Se en rener (d 1-dmensonaler smplzaler Komplex. heßt schälbar, falls es ene Ordnung der Facetten F 1,...,F m von gbt, so dass de folgenden äquvalenten Bedngungen gelten: ( De Menge {F F F 1,...,F \ F 1,...,F 1 } hat en endeutges mnmales Element für alle 2 m. Deses Element wrd als Enschränkungssete von F bezechnet (geschreben res(f. ( F F 1,...,F 1 st en (d 2-dmensonaler rener Unterkomplex von F für 2 m. ( Für alle 1 j < m exstert en v F \F j und en 1 k 1, so dass F \F k = {v}. Wr nennen ene Ordnung der Facetten mt den gegebenen Egenschaften ene Schälordnung von. Enersets snd vele verschedene Klassen smplzaler Komplexe schälbar und anderersets haben schälbare Komplexe sehr schöne Egenschaften. Es folgt drekt aus der Defnton von Schälbarket, dass jeder smplzale Komplex, der sch durch sukzessves Hnzufügen von Facetten n ener Schälung ergbt, erneut schälbar st. Dese Egenschaft ermöglcht es häufg Aussagen über schälbare smplzale Komplexe mttels Indukton zu bewesen. Wr werden m Rest deses Abschntts zegen, dass schälbare Komplexe Cohen-Macaulay über jedem Körper k snd. Zunächst geben wr en Bespel für enen schälbaren smplzalen Komplex an. Bespel ( Se der smplzale Komplex auf der Eckenmenge [5] mt Facetten F 1 := {1,2,5}, F 2 := {2,3,5}, F 3 := {3,4,5} und F 4 := {1,4,5}. Dann st schälbar und de Ordnung F 1, F 2, F 3, F 4 st ene Schälordnung. Anderersets kann kene Schälordung mt den Facetten F 1, F 3 begnnen, da es bem Hmzufügen von F 3 zwe mnmale Seten gbt de Ecken 3 und 4. In ener Schälordnung darf es nur ene solche Ecke geben. Des zegt auch, dass der smplzale Komplex F 1,F 3 ncht schälbar st. ( Se ene Trangulerung der projektven Ebene. Dann kann man zegen, dass ncht Cohen-Macaulay st über k, falls k en Körper der Charakterstk 2 st. Wr werden sehen, dass dann ncht schälbar sen kann. Bespel zegt berets, dass ncht jede Ordnung der Facetten enes schälbaren Komplexes ene Schälordnung lefert. Man seht jedoch lecht, dass gewsse Umordnungen durchaus möglch snd. Lemma [Umordnungslemma] Se en schälbarer smplzaler Komplex und se F 1,...,F m ene Schälordnung von. Se F 1,...,F m de Umordnung deser Ordnung, n der erst alle Facetten F mt res(f F n der nduzerten Ordnung genommen werden und dann de restlchen Facetten n belebger Ordnung hnzugefügt werden. Dann st F 1,...,F m ene Schälordnung von. Weterhn hat jede Facette F n beden Schälordnungen de selbe Enschränkungssete. 20

25 2.3 Schälbare smplzale Komplexe Bewes. Des folgt drekt aus der Defnton von Schälbarket. Ene schöne Egenschaft schälbarer Komplexe st bespelswese, dass sch hr h-vektor kombnatorsch nterpreteren lässt. Theorem Se en (d 1-dmensonaler schälbarer smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] mt h-vektor h = (h 0,h 1,...,h d. Se F 1,...,F m ene Schälordnung von. Setze res(f 1 = /0. Dann glt h = { j res(f j = } für 0 d. Wr verscheben den Bewes deses Theorems auf en späteres Kaptel. Insbesondere zegt das obge Ergebns, dass h-vektoren schälbarer smplzaler Komplexe nur ncht negatve Enträge bestzen. Das Hauptergebns deses Abschnttes st das folgende: Theorem Se en schälbarer smplzaler Komplex. Dann st Cohen-Macaulay über jedem Körper k. Der Bewes herzu wrd n mehreren Schrtten erfolgen. Wr zegen zunächst, dass jeder schälbare Komplex homotopeäquvalent zu ener Enpunkt-Verbndung von Sphären st und m nächsten Schrtt, dass der Lnk jeder Sete enes schälbaren Komplexes erneut schälbar st. Durch Anwendung von Theorem folgt dann drekt mt der Defnton von Cohen- Macaulayness de Behauptung. Theorem Se en (d 1-dmensonaler schälbarer smplzaler Komplex mt h-vektor h = (h 0,h 1,...,h d 1,h d. Dann st homotopeäquvalent zu ener Enpunkt-Verbndung von h d -velen (d 1-dmensonalen Sphären. Insbesondere glt { k H h d, falls = d 1 ( ;k = 0, sonst. Bewes. Für ene gegebene belebge Schälordnung von, se Γ := {F F ( : res(f = F} de Menge der Facetten mt maxmaler Enschränkungssete und se = \ Γ. Gemäß Lemma st de nduzerte Ordnung der verblebenden Facetten von ene Schälordnung von. Bezechne F 1,...,F m dese Schälordnung. Se k = F 1,...,F k für 1 k m. De Facette F k st de enzge Facette n k, de de Enschränkungssete res(f k von F k enthält und per Konstrukton glt res(f k F k. Insbesondere snd auch alle Seten, de res(f k enthalten, nur n ener enzgen Facette n k enthalten, nämlch n F k. Daraus folgt, dass wr durch entfernen eben solcher Seten, d.h. res(f k und aller Seten, de res(f k enthalten, k zu k 1 retraheren können, d.h. k 1 und k snd homotopeäquvalent. (In der Tat st k 1 sogar en Deformatonsretrakt von k. Durch Iteraton von desem Prozess folgt schleßlch, dass homotopea quvalent zu 1 st. Da 1 als (d 1-Smplex homeomorph zu enem Ball st, 21

26 2 Cohen-Macaulay Komplexe und schälbare Komplexe folgt aus Satz und Bemerkung 2.1.9, dass zusammenzehbar st. Wegen Satz können wr weter schleßen, dass / und homotopeäquvalent snd. Wenn wr aus gemäß der betrachteten Schälordnung konstrueren, wrd n jedem Schrtt en Smplex aus Γ hnzugefügt, dessen gesamter Rand berets vorhanden st (da res(f = F für alle F Γ. Be Kontrakton von wrd der Rand jedes F Γ also zu enem enzgen Punkt dentfzert, so dass wr wegen Satz n der geometrschen Realserung für jedes F Γ ene (d 1-Sphäre erhalten. Ferner snd dese Sphären n enem ausgezechneten Punkt, der en Repräsentant von / st, mtenander verklebt. Außerhalb deses Punktes gbt es jedoch kene Überschnedungen zwschen den Sphären. Des zegt schleßlch, dass homotopeäquvalent zu ener Enpunkt-Verbndung von Γ -velen (d 1-dmensonalen Sphären st. Aus Theorem können wr folgern, dass Γ = h d. Der letzte Tel des Theorems folgt aus Theorem We berets erwähnt, benötgen wr weterhn, dass Lnks von Seten schälbarer Komplexe erneut schälbar snd. Lemma Se en schälbarer smplzaler Komplex. Dann st für jede Sete F der Lnk lk (F schälbar. Bewes. Se F. Wr bemerken zuächst, dass lk (F en rener (d 1 F -dmensonaler smplzaler Komplex st. Se F 1,...,F s ene Schälordnung von. Seen weter G 1,...,G m de Facetten von, de F enthalten und ohne Beschränkung der Allgemenhet seen se der Rehenfolge geordnet, we se n der Schälordnung F 1,...,F m auftreten. Wr zegen nun, dass G 1 \ F,...,G m \ F ene Schälordnung von lk (F st, ndem wr Bedngung ( aus überprüfen. Offenschtlch glt G \ F lk (F. Se 2 m. Wr müssen zegen, dass G 1 \F,...,G 1 \F G \F en rener (dmlk (F 1 = (d 2 F -dmensonaler Unterkomplex von G \ F st. Angenommen es exstert ene Facette H von G 1 \ F,...,G 1 \ F G \ F mt dmh < d 2 F. Dann st H F ene Facette n G 1,...,G 1 G der Dmenson < d 2. Da F 1,...,F m ene Schälordnung von st, exstert dann jedoch ene Facette G F, de n der Schälordnung vor G auftrtt und, so dass dm(g G = d 2 und G G H F. Insbesondere glt also F G und somt G lk (F. Des ergbt enen Wederspruch und es folgt, dass jede Facette n G 1 \ F,...,G 1 \ F G \ F de Dmenson d 2 F haben muss. Des zegt, dass lk (F schälbar st. Wr können schleßlch den Bewes von Theorem angeben. Bewes von Theorem Se F. Wr müssen zegen, dass H (lk (F;k = 0 für alle 0 dmlk (F. Ist F = /0, also lk (F =, so folgt de Behauptung drekt aus Theorem Ist F /0, so st lk (F schälbar wegen Lemma und Theorem angewandt auf lk (F lefert H (lk (F;k = 0 für alle 0 dmlk (F. Daraus folgt drekt, dass Cohen-Macaulay st. 22

27 3 Hlbert-Funktonen und de Theoreme von Kruskal-Katona und Macaulay Im Fokus deses Kaptels steht de Charakterserung der möglchen f -Vektoren smplzaler Komplexe und noch allgemener von sog. Multkomplexen. Des wrd von den Theoremen von Kruskal-Katona bzw. von Macaulay gelestet, de notwendge und hnrechende numersche Bedngungen angeben, damt en ganzzahlger Vektor der f -Vektor enes smplzalen Komplexes bzw. enes Multkomplexes st. Das Theorem von Macaulay lefert zusätzlch noch ene Charakterserung der h-vektoren Cohen-Macaulay smplzaler Komplexe. 3.1 f - und h-vektoren und Hlbert-Rehen Wr wederholen zunächst enge Defntonen. Defnton Se en (d 1-dmensonaler smplzaler Komplex. Dann setzen wr für 1 d 1 f = #{F : dmf = } und der Vektor f = ( f 1, f 0,..., f d 1 heßt f -Vektor von. Es glt stets f 1 = 1. Deser Entrag zählt de leere Menge. Bespel ( Der smplzale Komplex aus Bespel ( hat den f -Vektor f = (1,4,4,1. ( Für den (d 1-Smplex d 1 glt f = ( d +1 für 1 d 1. Unser Zel wrd es m folgenden sen, de Vektoren f = ( f 1, f 0,..., f d 1 N d+1 zu klassfzeren, so dass en smplzaler Komplex exstert mt f = f. Bespel Wr betrachten f = (1,4,5,3. Ist en smplzaler mt 4 Ecken und 3 2- dmensonalen Seten, so st lecht zu sehen, dass es 6 Kanten geben muss. Der angegebene Vektor f kann also ken f -Vektor enes smplzalen Komplexes sen. Ist hngegen f = (1, 4, 6, 3, so lässt sch des realseren als f -Vektor des smplzalen Komplexes auf der Eckenmenge [4] mt Facetten {1,2,3}, {1,2,4} und {1,3,4}. 23

28 3 Hlbert-Funktonen und de Theoreme von Kruskal-Katona und Macaulay De Klassfzerung von f -Vektoren smplzaler Komplexe, we se durch den Satz von Kruskal-Katona gelefert werden wrd, hat auch noch ene algebrasche Motvaton. Defnton Ist en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n] und st I k[x 1,...,x n ] das Stanley-Resner Ideal von, so nennen wr k[ ] = k[x 1,...,x n ]/I den Stanley-Resner Rng von. Es st dann lecht zu sehen, dass der Stanley-Resner Rng k[ ] als k-vektorraum von den Restklassen der Monome x α für α N n und supp(α = { α 0} mnmal erzeugt wrd. Wr erhalten damt folgende Zerlegung: k[ ] = 0 Span k {x α : supp(α, n j=1 α j = } Im folgenden schreben wr kurz k[ ] für Span k {x α : supp(α, n j=1 α j = }, d.h. für den k-vektorraum, der von den Monomen x α n k[ ] vom Grad (d.h. n j=1 α j = erzeugt wrd. Defnton Se en smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n]. Dann heßt Hlb(k[ ],t = dm k k[ ] t 0 de Hlbert-Rehe von k[ ]. Bemerkung Man kann zegen (sehe Übungsaufgabe, dass dm Hlb(k[ ], t = = 1 f t +1 (1 t +1 glt. Ene Charakterserung der möglchen f -Vektoren smplzaler Komplexe lefert uns damt auch ene Charakterserung der Hlbert-Rehen von Stanley-Resner Rngen, de auftreten können. Ist en (d 1-dmensonaler smplzaler Komplex auf der Eckenmenge [n], so 24

29 3.2 Der Satz von Kruskal-Katona können wr de Hlbert-Rehe noch etwas umschreben. Es glt Hlb(k[ ], t = = = d 1 = 1 d 1 = 1 d 1 = 1 f f t +1 (1 t +1 t +1 (1 t d 1 (1 t +1 (1 t d 1 f t +1 (1 t d 1 (1 t d = d 1 = 1 f t+1 d 1 m=0 ( 1m( d 1 m (1 t d = d 1 = 1 d 1 m=0 ( 1m f (1 t d ( d 1 m = d 1 = 1 d m=+1 ( 1m 1 f (1 t d = d m=0 ( m 1 = 1 ( 1m 1 f (1 t d t m t m++1 ( d 1 m 1 ( d 1 m 1 ( d t m = d m=0 ( m =0 ( 1m f 1 m (1 t d. t m t m Wr ernnern uns an de Defnton des h-vektors, der gegeben war durch h = j=0 ( 1 j f 1 ( d j. j Damt folgt dann drekt, dass de Hlbert-Rehe von k[ ] gegeben st durch Hlb(k[ ],t = h 0 + h 1 t + + h d td (1 t d. Im folgenden Abschntt werden wr enge technsche Hlfsmttel zusammenstellen, de wr für den Bewes des Satzes von Kruskal-Katona benötgen werden. 3.2 Der Satz von Kruskal-Katona Zel deses Abschntts st der Bewes des Satzes von Kruskal-Katona, der ene Klassfkaton der f -Vektoren smplzaler Komplexe lefert. Um deses Zel zu errechen, benötgen wr zuerst enge Vorberetungen. 25