1 Differentialrechnung in mehreren Variablen

Transkript

1 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 1.1 De Geometre eukldscher Räume Zur Ernnerung De Elemente des R n schreben wr normalerwese als Zelenvektoren: x = (x 1,..., x n ). Kommen Matrzen ns Spel, so st manchmal de Spalten-Schrebwese vortelhafter: [x] := x = Ist M n,m (R) der Raum der Matrzen mt n Zelen und m Spalten und A M n,m (R), so nduzert A ene lneare Abbldung f A : R m R n durch [f A (x)] := A [x], n Zelenschrebwese also x 1. x n. f A (x) := (A x ) = x A. Dabe steht der Punkt für de Matrzenmultplkaton. Das eukldsche Skalarprodukt zweer Vektoren v, w wrd durch v w := v w = n v ν w ν, ν=1 erklärt, de eukldsche Norm enes Vektors v durch v := (v v) 1/2 = (v 1 ) (v n ) 2. Neben dem R n und dem Matrzenraum M n,m (R) werden wr auch mt anderen Vektorräumen zu tun haben, z.b. mt Unterräumen des R n. Snd V und W zwe belebge R-Vektorräume, so bezechnen wr mt L(V, W ) den Raum der lnearen Abbldungen von V nach W. Wr werden uns n desem Abschntt mt der Topologe des R n und allgemenerer Vektorräume beschäftgen. Das Wort Topologe kommt vom grechschen topos und bedeutet Ort, Stelle oder Raum. Es geht also um de Wssenschaft vom Raum und der Lage der Dnge zuenander.

2 2 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen Ene Norm auf enem R-Vektorraum V st ene Funkton N : V R mt folgenden Egenschaften: 1. N(v) 0 für jedes v V, und N(v) = 0 v = 0, 2. N(α v) = α N(v) für α R und v V, 3. N(v + w) N(v) + N(w) für v, w V (Dreecks-Unglechung). En normerter Vektorraum st en Vektorraum V, auf dem ene Norm gegeben st Bespele A. De kanonsche eukldsche Norm auf dem R n, gegeben durch v := v v, kennen wr schon. B. Für v = (v 1,..., v n ) R n se de Maxmumsnorm defnert durch v := max =1,...,n v. Offenschtlch snd de Bedngungen (1) und (2) erfüllt, und es st v + w = max v + w max( v + w ) max v + max w = v + w. C. Ist I = [a, b] en abgeschlossenes Intervall, so st der Raum V := C 0 (I) der stetgen Funktonen auf I en Bespel für enen unendlch-dmensonalen Vektorraum. Durch f I := sup{ f(x) : x I} wrd ene Norm auf V engeführt. Ist V en Vektorraum mt ener Norm N, so versteht man unter der (offenen) Kugel mt Radus r um x 0 (bezüglch der Norm N) de Menge B r (x 0 ) := {x V : N(x x 0 ) < r}. De Kugel bezüglch der Maxmumsnorm, {x = (x 1,..., x n ) R n : x < r} = ( r, r)... ( r, r), st n Wrklchket en Würfel. Se V en Vektorraum mt Norm N. Ene Folge (x ν ) von Punkten n V konvergert (bezüglch N) gegen enen Punkt x 0, falls es zu jedem ε > 0 en ν 0 gbt, so dass für alle ν ν 0 glt: N(x ν x 0 ) < ε. Man schrebt dann: lm ν x ν = x 0.

3 1.1 De Geometre eukldscher Räume 3 Man kann auch sagen: (x ν ) konvergert gegen x 0, falls N(x ν x 0 ) gegen 0 konvergert. In R ergbt das den berets bekannten Konvergenzbegrff. Genau we dort folgt auch, dass der Grenzwert endeutg bestmmt st. Ist x ν = (x (ν) 1,..., x(ν) n ) ene Punktfolge m Rn und x 0 = (x (0) 1,..., x(0) n ) en fester Punkt, so st x ν x 0 = (x (ν) 1 x (0) 1 )2 + + (x (ν) n x(0) n )2. De Zahlenfolge x ν x 0 konvergert offenschtlch genau dann gegen 0, wenn x (ν) x (0) für jedes gegen Null konvergert. Also konvergert de Punktfolge (x ν ) genau dann bezüglch der kanonschen eukldschen Norm gegen x 0, wenn de Komponenten x (ν) jewels gegen x (0) konvergeren. Ncht alle Grenzwertsätze lassen sch übertragen, aber enge (we etwa der über de Summen von Folgen) gelten snngemäß we n R und werden auch genauso bewesen. Wr haben nun das Problem, dass vele Aussagen von der benutzten Norm abhängen. Das st sehr lästg, und deshalb führen wr den folgenden Begrff en: Zwe Normen N 1 und N 2 auf enem belebgen Vektorraum V heßen äquvalent, falls es Konstanten c, c > 0 gbt, so dass glt: c N 1 (v) N 2 (v) c N 1 (v) für alle v V. Es handelt sch dabe wrklch um ene Äquvalenzrelaton: 1. Offenschtlch st jede Norm äquvalent zu sch selbst. 2. Ist c N 1 (v) N 2 (v) c N 1 (v) für alle v V, so st auch Das lefert de Symmetre. 1 c N 2(v) N 1 (v) 1 c N 2(v) für alle v V. 3. Ist c N 1 (v) N 2 (v) c N 1 (v) und d N 2 (v) N 3 (v) d N 2 (v) für alle v V, so st (cd) N 1 (v) N 3 (v) (c d ) N 1 (v) für alle v V. Also st de Relaton transtv Bespel Wr betrachten de beden Normen N 1 (x) = x und N 2 (x) = x auf dem R n. Dann st

4 4 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen und x 2 = x x n 2 n (max x ) 2 max x = (max x ) 2 x x n 2, also 1 n x x x. De eukldsche Norm und de Maxmumsnorm snd demnach äquvalent. n = 2 : r r 2 De Äquvalenz bedeutet, dass jede Kugel n der enen Norm ene Kugel bezüglch der anderen Norm enthält und n ener entsprechenden größeren enthalten st. Deshalb hängen de folgenden en ncht davon ab, ob man de eukldsche Norm oder de Maxmumsnorm verwendet. En Punkt x 0 R n heßt Häufungspunkt ener Folge von Punkten x ν, falls n jeder Kugel um x 0 unendlch vele Folgengleder legen. Ene Menge M R n heßt beschränkt, falls es en R > 0 gbt, so dass M n der Kugel B R (0) enthalten st. Ene Folge m R n heßt beschränkt, wenn de Menge hrer Gleder beschränkt st. Auch her glt: 1.3. Satz von Bolzano-Weerstraß Jede beschränkte Folge (x ν ) m R n bestzt ene konvergente Telfolge. Bewes: Es gbt en R > 0, so dass alle x ν = (x (ν) 1,..., x(ν) n ) n B R(0) legen. Aber dann legen se erst recht n I n = I... I, mt I := [ R, R]. De Folge x (ν) 1 bestzt ene konvergente Telfolge x (ν( 1 )) 1 mt enem Grenzwert x (0) 1 I, de Folge x (ν( 1 )) 2 bestzt ene konvergente Telfolge x (ν( 2 )) 2 mt enem Grenzwert x (0) 2 I, usw. Schleßlch erhält man ene Telfolge (x ν(n)) von (x ν ), de gegen x 0 = (x (0) 1,..., x(0) n ) konvergert. De Äquvalenz von eukldscher und Maxmumsnorm st ken Zufall Satz Je zwe Normen auf dem R n snd äquvalent. Bewes: Es recht zu zegen, dass ene belebge Norm N äquvalent zur Maxmumsnorm st.

5 1.1 De Geometre eukldscher Räume 5 Jeder Vektor x R n bestzt ene endeutge Darstellung x = x 1 e x n e n. Daraus folgt de Bezehung N(x) x 1 N(e 1 ) + + x n N(e n ) c x, mt c := N(e 1 ) + + N(e n ). Wr nehmen nun an, es gbt ken c > 0, so dass c x N(x) für alle x st. Dann gbt es zu jedem ν N en x ν mt x ν > ν N(x ν ), also N(y ν ) < 1 ν, für y ν := x ν x ν. Wel y ν = 1 st, st de Folge (y ν ) beschränkt und bestzt ene konvergente Telfolge. Ohne Beschränkung der Allgemenhet können wr annehmen, dass (y ν ) schon selbst gegen en y 0 (n der Maxmumsnorm) konvergert. Dann konvergert aber y ν y 0 gegen Null. Außerdem st N(y 0 ) = N(y 0 y ν + y ν ) N(y 0 y ν ) + N(y ν ) c y 0 y ν + 1 ν. Da de rechte Sete gegen Null konvergert, st N(y 0 ) = 0, also y 0 anderersets st = 0. Aber Das ergbt enen Wderspruch. 1 = y ν = y 0 + (y ν y 0 ) y 0 + y ν y 0. Wr fassen noch enmal zusammen, was de Äquvalenz von Normen bedeutet: 1.5. Satz De Normen N 1 und N 2 auf dem Vektorraum V seen äquvalent. Dann folgt: 1. Zu jedem Radus r 1 > 0 gbt es enen Radus r 2 > 0, so dass glt: und umgekehrt. {x V : N 2 (x) < r 2 } {x V : N 1 (x) < r 1 }, 2. Konvergert ene Folge (x n ) n V bezüglch N 1 gegen enen Grenzwert x 0, so konvergert (x n ) auch bezüglch N 2 gegen x 0, und umgekehrt. Der Bewes st offenschtlch. Se E en reeller (oder komplexer) Vektorraum. En Skalarprodukt auf E st ene Funkton, de je zwe Vektoren v, w E ene reelle (bzw. komplexe) Zahl (v w) zuordnet und folgende Egenschaften bestzt:

6 6 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 1. (v 1 + v 2 w) = (v 1 w) + (v 2 w) für v 1, v 2, w E, 2. (α v w) = α (v w) für α R (bzw. n C) und v, w E, 3. (w v) = (v w) für v, w E. 4. Ist v 0, so st (v v) > 0. Unter enem eukldschen Raum (bzw. enem untären Raum) verstehen wr enen reellen (bzw. komplexen) Vektorraum mt enem Skalarprodukt. En Skalarprodukt auf enem reellen Vektorraum st also ene symmetrsche Blnearform, de zusätzlch postv defnt st (Egenschaft (4)). Im komplexen Fall nennt man ene Funkton mt den Egenschaften (1) bs (3) ene hermtesche Form. Auch se wrd zum Skalarprodukt, wenn se postv defnt st. Im reellen Fall st (w v) = (v w) für v, w E. Im komplexen Fall st (v v) stets reell und (v α w) = α (v w) für α C und v, w E Bespele A. Das Skalarprodukt (x, y) x y bezechnet man als das kanonsche Skalarprodukt auf dem R n. B. Das kanonsche hermtesche Skalarprodukt auf dem C n wrd gegeben durch n <v w> := v ν w ν. C. Ist f = g + h ene stetge komplexwertge Funkton über [a, b] R, so setzen wr <f g> := b a ν=1 f(t)g(t) dt. Offenschtlch lefert das ene hermtesche Form auf dem Raum der stetgen komplexwertgen Funktonen auf [a, b], und es st <f f> = b a f(t) 2 dt 0 für alle f. Ist ene stetge Funkton f : [a, b] C ncht de Nullfunkton, so gbt es en t 0 [a, b] mt f(t 0 ) 0, und wegen der Stetgket gbt es en ε > 0, so dass f(t) 0 auf U ε (t 0 ) [a, b] st. Dann nmmt f auf {t [a, b] : t t 0 ε/2} en Mnmum δ > 0 an, und dort st f δ. Daraus folgt: <f f> = b a f(t) 2 dt δ 2 ε/2 > 0. Also legt sogar en Skalarprodukt auf C 0 ([a, b]; C) vor.

7 1.1 De Geometre eukldscher Räume De Unglechung von Cauchy-Schwarz Se E en eukldscher oder untärer Vektorraum. Dann glt für v, w E : (v w) 2 (v v) (w w). Bewes: Se a := (v v), b := (v w) und c := (w w). Dann snd a, c reell und 0. Ist v = w = 0, so st auch a = b = c = 0 und nchts mehr zu zegen. Da de Aussage symmetrsch n v und w st, können wr annehmen, dass w 0 st, also c > 0. Ist λ C belebg, so glt: Mt λ = b/c erhalten wr: 0 (v + λw v + λw) = a + λb + λb + λ 2 c. 0 a bb c bb c + bb c 2 c = a bb c, also bb a c. Und genau das war zu zegen. Im Falle des eukldschen Skalarproduktes auf dem R n lefert de Schwarz sche Unglechung v w v w, dass v w 1 st. Deshalb defnert man: v w Der Wnkel θ zwschen v und w st gegeben durch cos θ = v w v w. Zwe Elemente v, w R n heßen orthogonal, falls v w = 0 st. Der Begrff der Orthogonaltät kann auf belebge eukldsche (oder untäre) Vektorräume V verallgemenert werden: Zwe Elemente v, w V werden orthogonal genannt, falls (v w) = 0 st. Snd v, w orthogonal, so st (v + w v + w) = (v v) + (w w) (Satz des Pythagoras) Bespel Im Raum der stetgen Funktonen auf I = [ π, π] st π { 2π falls n = m <e nt e mt > = e (n m)t dt = 0 falls n m. π Für n m snd also de Funktonen e nt und e mt orthogonal zuenander. De Funktonen f n (t) := 1 e nt, n Z, 2π blden dann en Orthonormalsystem m Raum C 0 ([ π, π]; C), d.h. es st <f n f m > = 0 für n m und <f n f n > = 1 für alle n.

8 8 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen Jedes Skalarprodukt lefert ene Norm, durch N(v) := (v v) 1/2. De Dreecksunglechung folgt mt Hlfe der Cauchy-Schwarz schen Unglechung: Ist z = x + y ene komplexe Zahl, so st z + z = 2x = 2 Re(z). Daraus folgt: N(a + b) 2 = (a + b a + b) = (a a) + 2 Re (a b) + (b b) N(a) (a b) + N(b) 2 N(a) N(a) N(b) + N(b) 2 = ( N(a) + N(b) ) 2. Wurzelzehen auf beden Seten ergbt de gewünschte Dreecksunglechung. Ncht jede Norm wrd mt Hlfe enes Skalarproduktes defnert. En typsches Bespel für ene Norm, de ncht von enem Skalarprodukt kommt, st de Supremumsnorm. Se X ene Menge. Unter ener Metrk auf X versteht man ene Abbldung d : X X R mt folgenden Egenschaften: 1. d(x, y) 0 und = 0 x = y, 2. d(x, y) = d(y, x), 3. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreecksunglechung). Jede Norm N auf enem Vektorraum V führt zu ener Metrk d N auf V durch d N (v, w) := N(v w). De Egenschaften (1) und (2) ener Metrk snd für d N offenschtlch erfüllt, und auch de Dreecksunglechung folgt lecht: d N (x, y) = N(x y) = N ( (x z) + (z y) ) N(x z) + N(z y) = d N (x, z) + d N (z, y). Wr haben also folgende Abhänggket: Skalarprodukt = Norm = Metrk. De Supremumsnorm st en typsches Bespel für ene Norm, de ncht von enem Skalarprodukt kommt, und es gbt auch Metrken, de ncht von ener Norm kommen. Für ene Metrk braucht man ncht enmal enen Vektorraum.

9 1.1 De Geometre eukldscher Räume 9 Ene Menge mt ener Metrk wrd als metrscher Raum bezechnet. Schon mt Hlfe ener Metrk kann man Kugeln B r (x 0 ) := {x X : d(x, x 0 ) < r} (und damt ε-umgebungen) und dann n enem belebgen metrschen Raum auch offene Mengen defneren. Zur Ernnerung: Ene Menge M R heßt offen, falls es zu jedem Element x 0 M en ε > 0 gbt, so dass ganz n M enthalten st. U ε (x 0 ) := {x R : x x 0 < ε} Ist nun X en metrscher Raum mt Metrk d, so defnert man: Ene Menge M X heßt offen, falls es zu jedem Element x 0 M en ε > 0 gbt, so dass U ε (x 0 ) := {x X : d(x, x 0 ) < ε} ganz n M enthalten st. Ene Menge A X heßt abgeschlossen, falls M := X \ A offen st Satz In enem metrschen Raum st jede offene Kugel B r (x 0 ) ene offene Menge. Bewes: Se y B r (x 0 ). Wr suchen ene ε-umgebung von y, de noch ganz n B r (x 0 ) enthalten st. Dazu se δ := dst(y, x 0 ). Dann st 0 δ < r. Man kann ene postve reelle Zahl ε < r δ fnden. Ist x U ε (y), also d(x, y) < ε, so st d(x, x 0 ) d(x, y) + d(y, x 0 ) < ε + δ < (r δ) + δ = r. r δ x 0 ε y Das zegt, dass U ε (y) B r (x 0 ) st.

10 10 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen De offenen Mengen enes metrschen Raumes X haben gewsse typsche Egenschaften: De leere Menge bestzt ken Element, für das man etwas nachprüfen müsste. Deshalb st se offen. Und auch der ganze Raum X st trvalerwese offen. Snd M 1 und M 2 offene Mengen und st x 0 M 1 M 2, so gbt es ε 1, ε 2 > 0, so dass U ε1 (x 0 ) M 1 und U ε2 (x 0 ) M 2 st. Setzt man ε := mn(ε 1, ε 2 ), so st U ε (x 0 ) M 1 M 2. Das zegt, dass M 1 M 2 offen st. Der Durchschntt von unendlch velen offenen Mengen braucht ncht mehr offen zu sen! So st z.b. der Durchschntt aller offenen Nullumgebungen n R de Menge {0}. Ist (M ι ) ι I en System von offenen Mengen und x 0 M := ι I M ι = {x X : ι I mt x M ι }, so gbt es en ι 0 I mt x 0 M ι0 M ι0 M st. Also st M offen. und daher en ε > 0, so dass U ε (x 0 ) Das System aller offenen Mengen legt ene neue Art von Struktur auf unseren Raum. Se X ene Menge. Ene Topologe auf X st en System O von Telmengen von X mt folgenden Egenschaften: 1. O und X O. 2. M, N O = M N O. 3. Ist (M ι ) ι I ene Famle von Elementen aus O, so gehört auch ι I M ι zu O Bespele A. Das System aller offenen Mengen n enem metrschen Raum X bldet ene Topologe auf X. B. Se X mt ener Topologe versehen und Y X ene ncht leere Telmenge. Wr nennen M Y (relatv) offen, falls es ene offene Menge M X mt M = X M gbt.

11 1.1 De Geometre eukldscher Räume 11 M M Y Wel = Y und Y = Y X st, snd und Y relatv offen. Snd M 1 = Y M 1 und M 2 = Y M 2 relatv offen, so st auch relatv offen. M 1 M 2 = (Y M 1 ) (Y M 2 ) = Y ( M 1 M 2 ) Se (M ι ) ι I en System von relatv offenen Mengen n Y. Dann gbt es zu jedem ι I ene offene Menge M ι n X mt M ι = Y M ι. Aber dann st auch M ι relatv offen. ι I M ι = ι I(Y M ι ) = Y ι I Klar st: Also blden de relatv offenen Mengen n Y ene Topologe O Y sogenannte Relatvtopologe (oder nduzerte Topologe). auf Y, de Satz Zwe äquvalente Normen auf enem Vektorraum E defneren de gleche Topologe Folgerung Jede Norm auf dem R n nduzert de gleche Topologe. Bewes: Klar! Jetzt können wr de Abhänggket noch um enen Begrff erwetern: Skalarprodukt = Norm = Metrk = Topologe. Es st ncht schwer, ene Topologe anzugeben, de ncht von ener Metrk kommt. Das würde uns aber etwas zu wet vom Wege ablenken. Se jetzt weder X en metrscher Raum und M X ene Telmenge. Ist x 0 X en belebger Punkt, so kann man de möglchen Postonen von x 0 gegenüber der Menge M mt Hlfe von Umgebungen beschreben. Ene Telmenge U X heßt ene Umgebung von x 0, falls es ene offene Menge W mt x 0 W U gbt. Dann heben wr de folgenden Stuatonen besonders hervor:

12 12 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 1. Es gbt ene Umgebung U von x 0 n X, de ganz n M legt. Dann heßt x 0 en nnerer Punkt von M. M nnerer Punkt 2. Jede Umgebung von x 0 enthält unendlch vele Punkte von M. Dann heßt x 0 en Häufungspunkt von M. Häufungspunkte 3. Jede Umgebung von x 0 enthält wengstens enen Punkt von M. Dann heßt x 0 en Berührungspunkt von M. Berührungspunkte Jeder nnere Punkt st auch en Häufungspunkt, aber de Umkehrung glt.a. ncht. Jeder Häufungspunkt st en Berührungspunkt, aber ncht ncht unbedngt umgekehrt. En Berührungspunkt x 0, der ken Häufungspunkt st, bestzt ene Umgebung U, so dass U M = {x 0 } st. Dann nennt man x 0 enen solerten Punkt von M. Ist x 0 ncht enmal en Berührungspunkt von M, so gbt es ene Umgebung von x 0, de kenen Punkt von M enthält. De Menge M der nneren Punkte von M heßt offener Kern von M, de Menge M der Berührungspunkte von M heßt abgeschlossene Hülle von M. De nneren Punkte von M gehören mmer zu M. Für Häufungspunkte trfft das ncht unbedngt zu. So st zum Bespel 1 en Häufungspunkt des offenen Intervalls I := (0, 1), gehört aber ncht zu I. Isolerte Punkte ener Menge gehören mmer zu der Menge dazu. De abgeschlossene Hülle M besteht aus den Häufungspunkten und den solerten Punkten von M. Also st M de Verengung von M mt allen Häufungspunkten von M. De Menge M := M \ M heßt der Rand von M.

13 1.1 De Geometre eukldscher Räume 13 En Punkt x legt also genau dann m Rand von M, wenn jede Umgebung von x sowohl M als auch X \ M trfft. Es st M M = M und M \ M = M. M E \ M M Bespele A. Ist M = [a, b) R, so st M = (a, b), M = [a, b] und M = {a, b}. B. Se M = [a, b] Q. Dann st M =, M = [a, b] und M = [a, b]. C. Verseht man Q mt der von R nduzerten Relatvtopologe, so st de Menge M := {x Q : 2 < x < 2} relatv offen n Q. Aber M st auch relatv abgeschlossen n Q, denn wel 2 kene ratonale Zahl st, st das Komplement von M de Menge Q \ M = {x Q : x > 2}, und de st relatv offen. Also st dann M = M = M und M =. Das glt, we gesagt, n der Relatvtopologe. In R st M weder offen, noch abgeschlossen. Dort st M = [ 2, 2] und M =, also M = M. Wr müssen noch Ergebnsse über abgeschlossene Mengen (n enem metrschen Raum) herleten Satz Snd A, B X abgeschlossen, so snd auch A B und A B abgeschlossen. Bewes: Der Satz folgt aus den Bezehungen X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) und X \ (A B) = (X \ A) (X \ B) Abgeschlossenhetskrterum Ene Telmenge M X st genau dann abgeschlossen, wenn glt: Ist (x ν ) ene Folge n M, de n X enen Grenzwert bestzt, so legt deser Grenzwert schon n M.

14 14 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen Bewes: 1) Se M abgeschlossen und (x ν ) ene Folge n M, de gegen enen Punkt x 0 X konvergert. Ist de Menge F := {x ν : ν N} endlch, so muss x 0 schon ener der Punkte x ν sen und deshalb n M legen. Wr brauchen also nur den Fall zu betrachten, dass F unendlch st. Wäre x 0 en Element von X \M, so gäbe es en ε > 0, so dass de ε-umgebung von x 0 auch noch n X \ M legt. Aber anderersets legen fast alle Elemente von F (und damt unendlch vele Elemente von M) n U ε (x 0 ). Das ergbt enen Wderspruch; x 0 muss n M legen. 2) M erfülle das Krterum und x 0 se en Punkt von X \ M. Wr nehmen an, n jeder (1/n)-Umgebung von x 0 legt en Punkt x n M. Offenschtlch konvergert dann de Folge (x n ) gegen x 0, und x 0 muss schon n M legen. Das kann ncht sen! Also gbt es wengstens en ε > 0 mt U ε (x 0 ) X \ M. So folgt, dass X \ M offen und M selbst abgeschlossen st. Häufungspunkte und Grenzwerte von Punktfolgen n enem metrschen Raum defnert man we n normerten Vektorräumen: En Punkt x 0 X st Häufungspunkt ener Folge (x n ) n X, falls n jeder Umgebung von x 0 unendlch vele Folgengleder legen. x 0 st Grenzwert der Folge (x n ), falls n jeder Umgebung von x 0 fast alle Folgengleder x n legen. Äquvalent dazu st, dass d(x ν, x 0 ) ene Nullfolge (n R) st Hausdorff scher Trennungssatz Se X en metrscher Raum. Snd x, y X zwe Punkte mt x y, so gbt es offene Umgebungen U von x und V von y, so dass U V = st. Bewes: Wegen x y st r := d(x, y) > 0. Nun se 0 < ε < r/2, U = B ε (x) und V = B ε (y). Gäbe es enen Punkt z n U V, so wäre Das st en Wderspruch. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) < 2ε < r. In enem belebgen topologschen Raum braucht der Trennungssatz ncht zu gelten Satz In enem metrschen Raum st der Grenzwert ener konvergenten Folge endeutg bestmmt. Bewes: Man argumentert we be Folgen n R und benutzt den Trennungssatz.

15 1.1 De Geometre eukldscher Räume 15 Zur Ernnerung Ene Menge K R heßt kompakt, wenn jede unendlche Punktfolge n K ene Telfolge bestzt, de gegen enen Punkt aus K konvergert. Äquvalent dazu st de Bedngung, dass jede Punktfolge n K wengstens enen Häufungspunkt n K bestzt. Dese Egenschaft wrd n der Lteratur mestens folgenkompakt genannt. Wr haben auch gezegt, dass ene Menge n R genau dann kompakt st, wenn se abgeschlossen und beschränkt st. Se X en metrscher Raum. Ene Telmenge K X heßt kompakt, falls jede Punktfolge n K ene Telfolge bestzt, de gegen enen Punkt aus K konvergert. Se X en belebger metrscher Raum und M X ene belebge Telmenge. Ene offene Überdeckung von M st en System (U ι ) ι I von offenen Telmengen von X mt M ι I U ι. Ist I 0 = {ι 1,..., ι N } I ene endlche Telmenge und M U ι1... U ιn, so nennt man {U ι1,..., U ιn } ene endlche Telüberdeckung. Ene Telmenge K X bestzt de Überdeckungsegenschaft, falls jede offene Überdeckung von K ene endlche Telüberdeckung enthält. Dese st zwar ncht sehr anschaulch, aber recht praktsch Überdeckungssatz von Hene-Borel Se X en metrscher Raum. Ene Telmenge K X st genau dann kompakt, wenn se de Überdeckungsegenschaft bestzt. Bewes: 1) Wr setzen voraus, dass K de Überdeckungsegenschaft bestzt und betrachten ene Folge (x ν ) n K, so dass F := {x ν : ν N} ene unendlche Menge st (sonst st nchts zu zegen). Wenn F kenen Häufungspunkt n K bestzt, dann gbt es zu jedem x K ene offene Umgebung U x, so dass U x F endlch st. De Mengen U x überdecken K. Wegen der Gültgket der Überdeckungsegenschaft gbt es endlch vele offene Mengen U 1,..., U N, de schon K überdecken und für de stets U F endlch st. Das bedeutet, dass F endlch st. Da haben wr unseren Wderspruch, K muss kompakt sen!

16 16 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 2) Ist umgekehrt K kompakt, so betrachten wr ene offene Überdeckung (U ι ) ι I von K und zegen, dass es ene endlche Telüberdeckung gbt. a) Wr bewesen zunächst, dass es en ε > 0 und zu jedem x K en ι(x) I mt U ε (x) U ι(x) gbt. Gbt es nämlch deses ε ncht, so fnden wr zu jedem ν N en x ν K, so dass U 1/ν (x ν ) n kenem U ι enthalten st. Wel K kompakt st, können wr aus der Folge (x ν ) ene Telfolge y = x ν auswählen, de gegen en y 0 K konvergert. Natürlch muss deses y 0 n enem Überdeckungselement U ι0 legen. Wr wählen en r > 0, so dass auch noch U r (y 0 ) U ι0 st. Ist N hnrechend groß, so st 1/ν < r/2 und zuglech y U r/2 (y 0 ). Für alle x U 1/ν (y ) glt dann d(x, y 0 ) d(x, y ) + d(y, y 0 ) < 1 ν + r 2 < r. Also legt U 1/ν (x ν ) = U 1/ν (y ) n U r (y 0 ) U ι0. Das wdersprcht der Konstrukton. b) Wr können also annehmen, dass en ε mt der gewünschten Egenschaft exstert. Nun konstrueren wr ene neue Folge n K. Zunächst wählen wr enen belebgen Punkt a 1 K. Wenn ncht schon U ε (a 1 ) überdeckt, dann wählen wr enen Punkt a 2 K \U ε (a 1 ). Wenn ncht schon U ε (a 1 ) und U ε (a 2 ) überdecken, dann wählen wr enen Punkt a 3 K \ (U ε (a 1 ) U ε (a 2 )) und so weter. Würde de Folge der a n ncht abbrechen, so müsste ene geegnete Telfolge z µ = a nµ enen Grenzwert z 0 K bestzen. Für großes µ müsste dann d(z µ, z µ+1 ) < ε sen, aber anderersets legt z µ+1 nach Konstrukton ncht n U ε (z µ ). Das st en Wderspruch, (U ι ) ι I enthält eben doch ene endlche Telüberdeckung. Also bestzt K de Überdeckungsegenschaft Satz Im R n st ene Telmenge K genau dann kompakt, wenn se abgeschlossen und beschränkt st. Bewes: 1) Se K abgeschlossen und beschränkt. Ene Folge n K st dann auch beschränkt, und nach dem Satz von Bolzano-Weerstrass konvergert ene Telfolge gegen enen Punkt x 0 des R n. Wel K abgeschlossen st, muss x 0 n K legen. 2) Se K kompakt. Da man K durch endlch vele Kugeln von festem Radus überdecken kann, st K auch beschränkt. Se nun x 0 R n \ K. Zu jedem x K gbt es en δ = δ x > 0 und en ε = ε x > 0, so dass U δ (x) U ε (x 0 ) = st. Endlch vele der δ-umgebungen überdecken schon K. Der Durchschntt der zugehörgen ε-umgebungen lefert ene Umgebung von x 0, de ganz n R n \ K legt. Also st R n \ K offen und K selbst abgeschlossen.

17 1.1 De Geometre eukldscher Räume 17 Her kommt ene Anwendung: Satz Se M R n offen und K M kompakt. Dann gbt es ene offene Menge U R n, so dass U kompakt und K U U M st. Bewes: Zu jedem x K gbt es ene offene Kugel B x um x, de noch ganz n M enthalten st. Dann se B x de Kugel mt dem halben Radus, so dass sogar B x M st. Wegen der Kompakthet von K gbt es endlch vele Punkte x 1,..., x N, so dass de Kugeln B ν := B x ν, ν = 1,..., N, schon ganz K überdecken. Dann st U = B 1... B N offen, U kompakt, K U und U M. Bemerkung: Man sagt, ene offene Menge U legt relatv-kompakt n ener offenen Menge W, falls U kompakt und n W enthalten st. Als Abkürzung dafür schreben wr U W. Wr kommen nun zum Begrff der stetgen Abbldung. Se M R n. Ene Abbldung f : M R k heßt stetg n x 0 M, falls es zu jedem ε > 0 en δ > 0 gbt, so dass für alle x M glt: Ist x x 0 < δ, so st f(x) f(x 0 < ε. f heßt stetg auf M, falls f n jedem Punkt von M stetg st. Für Funktonen f : I R st des mmer noch de alte. Ene Abbldung f : M R k st genau dann stetg n x 0 M, falls es zu jeder Umgebung U von f(x 0 ) ene Umgebung V von x 0 mt f(v M) U gbt Verkettungen von stetgen Abbldungen snd stetg Se M R n und N R m. Ist f : M R m stetg n x 0 M, f(m) N und g : N R k stetg n y 0 := f(x 0 ) N, so st auch g f : M R k stetg n x 0. Bewes: Se z 0 := g(y 0 ) = (g f)(x 0 ) und W = W (z 0 ) R k ene Umgebung. Dann gbt es ene Umgebung V = V (y 0 ) R m mt g(v N) W, sowe ene Umgebung U = U(x 0 ) R n mt f(u M) V N. Es folgt, dass (g f)(u M) W st, also g f stetg n x Bespele

18 18 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen A. De dentsche Abbldung d : R n R n mt d(x) := x st stetg, denn für jede Umgebung U = U(d(x 0 )) st U auch ene Umgebung von x 0 und d(u) = U. B. Se f : R n R m ene lneare Abbldung. Enfachstes Bespel st ene lneare Funkton f : R R, gegeben durch f(x) = ax mt enem festen Faktor a. Snd e 1,..., e n de Enhetsvektoren m R n, so kann jeder Vektor x R n n der Form x = (x 1,..., x n ) = x 1 e x n e n geschreben werden. Für ene lneare Abbldung f : R n R m st dann und wr erhalten de Abschätzung f(x) = x 1 f(e 1 ) + + x n f(e 1 ), f(x) = n x f(e ) =1 n x f(e ) (Dreecksunglechung) =1 C max x (mt C := C x. n f(e ) ) =1 Dabe st C ene nur von f abhängge Konstante, und es wurde de Unglechung x = x 2 x x 2 n = x benutzt. Aus der gewonnenen Unglechung und der Lneartät von f ergbt sch f(x) f(y) = f(x y) C x y. Daraus folgt, dass f überall stetg st. Ist nämlch x 0 R n und ε > 0, so kann man δ := ε/c setzen. Ist dann x x 0 < δ, so st f(x) f(x 0 ) C x x 0 < C δ = ε. C. Se M R n und x 0 M. Ene Abbldung f = (f 1,..., f m ) : M R m st genau dann stetg n x 0, wenn alle Komponenten-Funktonen f : M R stetg n x 0 snd. In der enen Rchtung folgt das aus der Glechung f = pr f und dem Satz über de Stetgket der Verkettung stetger Funktonen. Zum Bewes der anderen Rchtung se en ε > 0 vorgegeben. Dann gbt es zu jedem en δ > 0, so dass f (x) f (x 0 ) < ε/ m für alle x U δ (x 0 ) M st. Wr setzen δ := mn(δ 1,..., δ m ). Ist x U δ (x 0 ) M, so st f(x) f(x 0 ) = m f (x) f (x 0 ) 2 < mε 2 /m = ε. =1

19 1.1 De Geometre eukldscher Räume 19 Man darf nun allerdngs ncht dem Trugschluss unterlegen, ene Funkton von mehreren Veränderlchen se schon stetg, wenn se n jeder enzelnen Varablen stetg st. Se etwa f(x, y) := 2xy x 2 + y 2 für (x, y) (0, 0), 0 für (x, y) = (0, 0). Dese Funkton st überall defnert, und de Funktonen f(x, 0) 0 und f(0, y) 0 snd m Nullpunkt stetg. Dennoch st f selbst dort ncht stetg, denn für x 0 st f(x, x) Folgenkrterum Se M R n. Ene Abbldung f : M R m st genau dann stetg n x 0 M, wenn für jede Folge (x ν ) n M mt x ν x 0 und lm x ν = x 0 glt: lm f(x ν ) = f(x 0 ). ν ν Bewes: We n ener Veränderlchen Offenhet von Unglechungen Se M R n offen und f : M R ene stetge Funkton. Dann st auch de Menge P := {x M : f(x) > 0} offen. Bewes: We n ener Veränderlchen Stetge Blder kompakter Mengen snd kompakt Se K R n kompakt und f : K R m ene stetge Abbldung. Dann st auch f(k) kompakt. Bewes: Se (y ν ) ene Folge von Punkten n f(k). Dann gbt es zu jedem ν enen Punkt x ν K mt f(x ν ) = y ν. Wel K kompakt st, bestzt de Folge (x ν ) ene konvergente Telfolge (x ν ), hr Grenzwert n K se mt x 0 bezechnet. Wegen der Stetgket von f konvergert (y ν ) gegen f(x 0 ), und deser Punkt legt n f(k) Folgerung Se K R n kompakt. Dann nmmt jede stetge Funkton f : K R auf K hr Maxmum und hr Mnmum an. Bewes: Der Bewes wrd we m Falle ener Veränderlchen geführt.

20 20 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen De Zahlenbereche R und C snd ncht nur R-Vektorräume, se bestzen zusätzlch ene multplkatve Struktur, so dass x y = x y st. Es gbt auch andere Vektorräume mt ener multplkatven Struktur, z.b. den Raum M n (R) der quadratschen Matrzen mt der Matrzenmultplkaton. Unter ener R-Algebra (bzw. C-Algebra) versteht man enen R-Vektorraum (bzw. C-Vektorraum) E mt ener zusätzlchen Multplkaton, so dass für u, v, w E glt: 1. u (v w) = (u v) w (Assozatvgesetz), 2. u (v + w) = u v + u w und (u + v) w = u w + v w (Dstrbutvgesetze). 3. α(v w) = (αv) w = v (αw) für α R (bzw. C). Ist E normert und v w v w für alle v, w E, so nennt man E ene normerte Algebra. Offenschtlch st der Raum C 0( [a, b] ) der stetgen Funktonen auf enem abgeschlossenen Intervall en Bespel für ene normerte Algebra. Wr wollen zegen, dass auch M n (R) ene normerte R-Algebra st. Dazu müssen wr noch de Norm ener Matrx enführen. Für ene Matrx setzen wr A = ( a j ) = 1,..., n M n (R) j = 1,..., n A := a 2 j.,j Das st nchts anderes, als de gewöhnlche eukldsche Norm von A n M n (R) = R n2. Nun glt: 1. A + B A + B. 2. λ A = λ A für λ R. 3. A = 0 A = Snd A, B M n (R), so st A B A B. Dese Aussage muss noch bewesen werden. A B hat an der Stelle (, j) den Entrag n a k b kj = z (A) s j (B), k=1

21 1.1 De Geometre eukldscher Räume 21 wenn man mt z (A) R n de -te Zele von A und mt s j (B) R n de j- te Spalte von B bezechnet. Mt Hlfe der Schwarz schen Unglechung folgt dann: A B 2 =,j (z (A) s j (B)) 2 =,j z (A) 2 s j (B) 2 ( ) ( ) z (A) 2 s j (B) 2 = A 2 B 2. Also st M n (R) ene normerte Algebra. Eng verwandt mt dem Raum der Matrzen st der Raum L(R n, R n ) der lnearen Abbldungen von R n nach R n, mt der Verknüpfung von Abbldungen als Multplkaton. Her betet sch ene andere Norm an, de genauso auch für Matrzen verwendet werden kann. Se f : R n R n lnear. Dann nennen wr de Operator-Norm von f. f op := sup{ f(x) : x 1} j Satz De Operator-Norm st ene Norm, und für x R n st f(x) f op x. Außerdem st f g op f op g op. Bewes: 1) Offenschtlch st stets f op 0 und f op = 0 f = 0. 2) Für α R st αf op = sup (αf)(x) = α sup f(x) = α f op. x 1 x 1 ( ) 3) Es st f + g op = sup (f + g)(x) sup f(x) + g(x) f op + g op. x 1 x 1 4) Ist x 0 en belebger Vektor, so st f(x) x ( x ) = f f op, also f(x) f op x. x 5) Es st f g op = sup f(g(x)) sup f op g(x) = f op g op. x 1 x 1

22 22 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen Jede Matrx A M n (R) defnert ene lneare Abbldung f A : R n R n durch f A (x) := x A. Daher kann man A op := f A op setzen. Se nun A de Maxmumnorm von A. Dann glt: Satz Für de Normen auf M n (R) glt A A op A. Bewes: 1) Es st f A (e j ) = s j (A) und daher a j a 2 1j + + a2 nj = f A(e j ) f A op. Daraus folgt de Unglechung A A op. 2) Bezechnen wr weterhn de -te Zele von A mt z (A), so snd de Komponenten von A x de Skalarprodukte z (A) x. Daraus folgt: A 2 op = sup A x 2 = sup x 1 x 1 n sup x 1 =1 z (A) 2 x 2 n z (A) 2 = A. =1 n (z (A) x) 2 =1 (Cauchy-Schwarz)