Teil E: Qualitative abhängige Variable in Regressionsmodellen

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1 Tel E: Qualtatve abhängge Varable n Regressonsmodellen 1. Qualtatve abhängge Varable Grundlegendes Problem: In velen Fällen st de abhängge Varable nur über enen bestmmten Werteberech beobachtbar. Bsp. Wahlentschedungen: Wahl des Verkehrsmttels (Bus, Bahn, PKW) Partzpaton am Arbetsmarkt (Vollzet, Telzet, kene Partzpaton) Konsumentenentschedung über den Kauf von Produkt A, B, oder C. Zu erklärende Varable hat n desen Problemstellungen ken metrsches Meßnveau, sondern nur dskrete Ausprägungen klasssche ökonometrsche Methoden snd ncht per se anwendbar.

2 Her Behandlung des bnären Falls: Abhängge Varable kann nur zwe Werte annehmen Ja/Nen Entschedungen Umkoderen der qualtatven abhänggen Varablen auf de Werte 0 oder 1. Bsp.: Grundsätzlche Partzpatonsentschedung am Arbetsmarkt Kauf oder Nchtkauf enes Produktes. -2-

3 2. Lneares Wahrschenlchkets-Modell (LWM) 2.1. Modelldee LWM blebt nnerhalb der OLS-Methode des klassschen lnearen Regressonsmodells. Es behandelt de abhängge dskrete Varable ncht anders als ene metrsche. Der Regressonsansatz lautet n Vektorschrebwese: Y = x β + u = 1,..., N (1) mt Y : abhängge Varable, Wert 0 oder 1; x : 1 x k Vektor erklärender Varablen; β: k x 1 Parametervektor; u : Störvarable Eu ( )= 0. We bsher glt: EYx ( )= x β, aber auch: EYx ( ) = 1 P + 0 ( 1 P) = P mt: P = P( Y = 1 x) daher "Lneares Wahrschenlchkets-Modell": Bedngter Erwartungswert der abhänggen Varablen st de Wahrschenlchket, daß de bnäre abhängge Varable den Wert Ens annmmt. -3-

4 2.2. Probleme des LWM a) Methodsches Problem des LWM: Heteroskedaste u kann 2 Werte annehmen: x β oder 1 x β Eu ( ) = P( 1 x β) + ( 1 P)( x β ) = 0 Var( u) = P( 1 x β) + ( 1 P)( x β) = P( 1 P) = ( x β)( 1 x β ) 2 2 Aufgrund der Abhänggket der Varanz von den Beobachtungen heteroskedastsch x ' snd de Störterme u Lösung des Problems mt zwestufger GLS Schätzung: 1.) OLS-Schätzung von β. 2.) Weghted Least Squares Schätzung -4-

5 b) Inhaltlche Inkonsstenz des LWM Be OLS Schätzung von β kann Y = x β = P außerhalb des [0,1] Intervalles legen Interpretaton als Wahrschenlchket daher unplausbel. c) Lneare Zunahme der Wahrschenlchket Problematsch st außerdem de unterstellte Annahme ener dentschen Zunahme der Wahrschenlchket enes Eregnsses auf enen Impuls der exogenen Varablen unabhängg von hrem realserten Nveau. Es st z.b. anzunehmen, dass sch Enkommensänderungen auf sehr nedrgem oder sehr hohem Nveau anders auf de Kaufwahrschenlchket auswrken als glechwertge Veränderungen n den mttleren Enkommensberechen. Aus desen Gründen zeht man dem LWM Logt- und Probt-Modelle zur Erklärung ökonomscher Wahlhandlungen vor. Beden Modellen legt en sogenanntes Schwellenwertmodell zugrunde, das wr zunächst formuleren werden. -5-

6 3. Probt-Logt Modelle 3.1. Formulerung enes Schwellenwertmodells Es wrd angenommen, daß den dskreten Ausprägungen der abhänggen Varablen ene stetge, aber unbeobachtbare (latente) Varable Y zugrundelegt, deren Werteberech ncht beschränkt st: Y = x β + u De Störgröße u se unabhängg dentsch vertelt (..d.) mt Eu ( )= 0 und Var( u )=σ 2. Vorläufg erfolgt noch kene konkrete Vertelungsannahme hnschtlch u. Zwschen der latenten Varable ( Y ) Zusammenhang (Schwellenwertmodell): und den Beobachtungen ( Y ) besteht folgender Y = 1, wenn Y > 0 0, wenn Y 0-6-

7 Überschretet latente Varable den Wert Null, wrd für abh. Varable der Wert Ens beobachtet, sonst Null. Inhaltl. Interpretaton der latenten Varablen z.b.: Negung zur Partzpaton am Arbetsmarkt, Kaufanrez für Produkt A. De Wahrschenlchket für de Beobachtung von Y = 1 st: P ( Y = 1 ) = P ( Y > 0) = P ( u > x β ) = 1 F ( x β ) mt: F ( β ): Vertelungsfunkton für de Resduen an der Stelle x β x De Wahrschenlchket für de Beobachtung von Y = 0 st entsprechend: P ( Y = 0 ) = P ( u x β ) = F ( x β ) -7-

8 Zum Verglech: Lneares Wahrschenlchketsmodell: EY ( ) = P(Y= 1) = x β Schwellenwertmodell: EY ( ) = P(Y= 1) = 1 F( x β ) Das Schwellenwertmodell vermedet de nhaltlche Inkonsstenz des LWM: De Wahrschenlchket P(Y = 1) st m Schwellenwertmodell auf Werte zwschen 0 und 1 restrngert. -8-

9 3.2. Schätzung des Modells mt der Maxmum-Lkelhood-Methode Zur Schätzung des Modells mt der Maxmum-Lkelhood-Methode st ene Vertelungsannahme für u notwendg; dabe fnden prnzpell zwe Vertelungen Verwendung: a) Probt-Modell: u unabhängg dentsch normalvertelt (..n.d), u = N( 0, σ 2 ) Für Beobachtungen Y = 1 glt dann (wegen Symmetre der Normalvertelung): * P(Y > 0) = P(u > x β) = P(u / σ> x β/ σ) = 1 Φ( x β/ σ) = Φ( x β/ σ) Φ( x βσ) = βσ / x 2 1 ( ) exp( t ) dt 2π 2 Stelle x β σ Für de "Nullbeobachtungen" ( Y = 0 ) glt entsprechend: P(Y 0) = 1 Φ( x β/ σ ) st Vertelungsfkt. der Standardnormalvertelung an der Lkelhood-Funkton für das Probt-Modell be geegneter Anordnung der Stchprobe: -9-

10 [ 1 Φ β σ ] LProbt = ( x / ) Φ( x β/ σ ) 0 1 Erstes Produkt läuft über Beobachtungen mt Y = 0, zwetes Produkt über de mt Y = 1. Kompakte Schrebwese: N [ 1 Φ ] Y Y LProbt = Φ( x β/ σ) ( x β/ σ ) (1 ) = 1 Identfkatonsproblem: Nur β / σ kann dentfzert werden, da unendlch vele Kombnatonen von β und σ de gleche Wahrschenlchket erzeugen. Restrngeren des Parameters σ auf 1, d.h. Annahme ener Standardnormalvertelung der Resduen. -10-

11 b) Logt-Modell: u unabhängg dentsch logstsch vertelt mt Eu ( )= 0 und Var( u ) =τπ / Wederum aus Identfkatonsgründen: τ 2 = 1 Standard-logstsche Vertelung von u Vertelungsfunkton der Standard-logstschen Vertelung: 1 exp( x β ) F ( x β ) = = 1 + exp( x β ) 1 + exp( x β ) Lkelhoodfunkton m Logt Modell: L Logt N exp( x β ) = 1 x = exp( β ) ( 1 Y ) exp( x β ) x 1 + exp( β ) Y De Logstsche Dchtefunkton ähnelt der Dchte der Standardnormalvertelung, hat jedoch enen flacheren Verlauf an den Enden. Für Probt- und Logt-Modell produzert de Maxmum Lkelhood-Methode konsstente Schätzer für den Parametervektor β. De Lkelhood Funkton st n beden Modellen global konkav. Erste Abletungen der Log-Lkelhood-Funkton snd m Probt- und Logt Modell nchtlnear. Aufsuchen der Nullstellen mttels teratver Methoden (Newton-Raphson Methode, Method of Scores) -11-

12 3.3 Praktsche Anwendung von Logt- und Probt-Modellen Das Logt-Modell st wegen geschlossener Form der Vertelungsfunkton enfacher handhabbar als das Probt-Modell. Durch Fortschrtte n der EDV-Technologe hat das Logt-Modell jedoch an Bedeutung verloren. Interpretaton der Parameterschätzwerte: De Parameterschätzwerte können bem Probt- bzw. Logt-Modell ncht we m klassschen lnearen Regressonsmodell oder m LWM als margnale Effekte nterpretert werden. Für Probt- bzw. Logt- Modelle glt velmehr: P x k mt : = Fx ( β) β = f( x β) β x β k k f( x β ): Dchtefunkton der jewelgen Vertelung a. d. Stelle x β. -12-

13 Bespel: Modellerung der Telnahme an beruflcher Weterbldung (Westdeutschland, 1988, Sozoökonomsches Panel) Ergebnsse ener ML-Schätzung Probt-Modell (Telnahme ja/nen) Erklärende Varablen Koeffzent t-wert Konstante Alter/ Mann Frau ausländscher Staatsbürger deutscher Staatsbürger Abtur ken Abtur Lehre kene Lehre Dplom ken Dplom erwerbstätg ncht erwerbstätg Referenz Referenz Referenz Referenz Referenz Referenz

14 Lteratur: Hujer, R. (2003): Skrpt zur Vorlesung Mkroökonometre. Ronnng, G. (1991): Mkoökonometre, Berln. -14-