Kapitel 1: Einführung in die Mikroökonometrie. 1.1 Allgemeine Bemerkungen zur Veranstaltung Ziele der Veranstaltung Mikroökonometrie

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1 Kaptel : Enführung n de Mkroökonometre. Allgemene Bemerkungen zur Veranstaltung. Was st Mkroökonometre?. Allgemene Bemerkungen zur Veranstaltung.. Zele der Veranstaltung Mkroökonometre () Vermttlung anwendungsrelevanter Methodenkenntns durch Vorlesung Nachbereten und Lteraturstudum Wederholung n der Übung () Enüben egenen emprschen Arbetens durch Anwendung mt Programmpaket STATA Üben der Interpretaton von Schätzergebnssen Egenständg bearbetete, kurze Hausarbet (3) Stärkung der Krtkfähgket gegenüber emprschen Arbeten, durch Dskusson von Bespelstuden... Inhaltlcher Veranstaltungsüberblck. Enführung. Schätz- und Testverfahren für qualtatve abhängge Varablen 3. Schätzverfahren für bvarate abhängge Varablen 4. Schätzverfahren für multvarate und ordnale abhängge Varablen 5. Tobtmodelle 6. Selektonsmodelle für ncht repräsentatve Stchproben 7. Verweldauermodelle 8. Zählerdatenmodelle 3 4

2 ..3 Prüfungen und Kredtpunkte Hausaufgabe frewllg, Note zu 0% anrechenbar. Lestung m laufenden oder nachfolgenden Semester anrechenbar. Alte Klausuren z.t. mt Musterlösung m Netz...4 Lteratur zur Veranstaltung Lteratur: Textsammlung mt Texten zu Bespelstuden Empfohlene Lehrbücher: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroceconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroceconometrcs Usng Stata, Stata Press Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel Was st Mkroökonometre? Ökonometre: "Econometrcs s the feld of economcs that concerns tself wth the applcaton of mathematcal statstcs and the tools of statstcal nference to the emprcal measurement of relatonshps postulated by economc theory." (Greene, 000, S.) De Mkroökonometre beschäftgt sch besonders mt folgenden Stuatonen: () Ncht stetge, abhängge Varablen (dskret, qualtatv, beschränkt, Verweldauer, Zähldaten) Betrag der Mkroökonometre hlft, Hypothesen zum Verhalten von Unternehmen, Haushalten und Indvduen zu testen (wssenschaftlcher Fortschrtt) erlaubt, Exstenz und Größe vermuteter Effekte zu messen sensblsert für ncht zufällg gewählte Stchproben betet velfache Ensatzmöglchketen zu zahlrechen Fragestellungen aus der VWL, BWL und Sozalwssenschaft. () Fehlende Zufällgket der Stchprobe erfordert Korrektur für Selekton 7 8

3 Kaptel : Schätz- und Testverfahren für qualtatve abhängge Varablen. Das Maxmum-Lkelhood-Prnzp.. Intuton. Das Maxmum-Lkelhood-Prnzp. Algorthmen der ML Schätzung.3 Testprnzpen und Modellselekton We fndet man den KQ Schätzer? berechne ˆβ = ( X'X) - X'Y, um quadrerte Abwechungen zu mnmeren We fndet man den GMM Schätzer? mnmere (gewchtete) Abwechungen von Momentenbedngungen We fndet man den ML Schätzer? maxmere de Lkelhoodfunkton, L( β ) Grunddee des ML Schätzers Annahme: Datensatz, Hypothese über Bezehung und über Vertelung gegeben, z.b. C = α + βy; ML sucht de Parameter (α, β), de de Wahrschenlchket maxmeren, de gegebenen Daten unter der unterstellten Vertelung vorzufnden. Wenn de wahre Bezehung lautet: C = 0,5+0,8Y und de Daten mt zufällgen Störeffekten beobachtet werden, dann werden de Werte (0,5;0,8) de tatsächlche Bezehung am ehesten wderspegeln. Bespel: Gesucht snd de Vertelungsparameter ( μσ, ) beobachteten Werte x erzeugt haben:, de de tatsächlch A ( μ,σ A A ) B( μ,σ B B ) x Ist es wahrschenlcher, dass de dargestellte Zehung auf der x-achse aus Vertelung A oder Vertelung B stammt? ML Schätzer bestmmen den Parametervektor, be dessen Gültgket de beobachteten Daten mt der höchsten Wahrschenlchket (maxmum lkelhood) beobachtet werden, "ML maxmzes the probablty of obtanng the observed data." 3 4

4 .. Formale Beschrebung Allgemen Gegeben seen Beobachtungen zu y, x für =,,..., N und das Modell y=x' β +ε. Ann.: De Vertelung von y wrd durch de bedngte Dchte f(y x, θ) bestmmt, mt x als exogener Enflussgröße und θ als dem zu bestmmenden Parametervektor. und de Lkelhoodfunkton wrd geschreben als: N Π f( y x,θ ) L θ = = Wr suchen den Vektor θ, der L maxmert. Deses ˆθ st der Maxmum Lkelhood Schätzer für den Parametervektor θ. Ann.: De enzelnen Beobachtungen =,,..., N snd statstsch unabhängg. Dann st de gemensame Dchte aller Beobachtungen: N Π N N ( ) g y,y,...,y x,x,...,x,θ = f y x,θ = Formale Beschrebung Bespel Normalvertelung Allgemen glt für ene Zufallsvarable x mt x~n (, ) Für y x ' f( x μσ, ) = exp μσ : ( x μ) σ σ π = β+ε mt ε ~N ( 0, σ ε ), und daher y ~N ( x ', ε ) und es folgt: βσ glt ( y x ' β) f( y x, βσ, ) = exp ε σ π σ ε ε N ε ε L βσ, = f y x, βσ,. = θ enthält her zwe Elemente: ' (, ε ) θ = β σ über deren Wahl L maxmert wrd. 7 Zur Verenfachung der Rechnung logarthmert man de Lkelhoodfunkton. βσ de gle- Da es sch um ene monotone Transformaton handelt, hat L (, ε ) chen Maxma we lnl ( βσ, ε ). Man schrebt: Um über (, ε ) N ( βσ ) ( ) = ε βσ ε lnl, ln f y x,, = = σ π ( y x ' β) N ln ln( ε ) = σε N N = σ π β σ βσ zu maxmeren, leten wr ab: ln ln y x ' ε ε 8

5 Untersched zu KQ?! lnl N = + y x ' β = 0 4 σ σ σ ε ε ε β σε σ ˆ = y x ' β ε N! lnl = x y x ' β = 0 ˆ xy β = x - ML Schätzer für σ ε konsstent, aber ncht erwartungstreu. Erwartungstreu wäre: σ ˆ = ( y x ' ) ε β, mt k=anzahl der Stegungsparameter+ N k - KQ braucht kene Vertelungsannahme 9..4 Egenschaften von ML Schätzern Folgende Egenschaften von ML Schätzern gelten für große Stchproben und unter der starken Annahme, dass de Lkelhoodfunkton korrekt spezfzert st d.h., dass de Zufallsvarablen tatsächlch der unterstellten Vertelung folgen. a) ML Schätzer snd oft ncht unverzerrt (Bespel σ ˆ ε ). b) ML Schätzer snd konsstent, plm ˆθ=θ. c) ML Schätzer snd asymptotsch effzent. Asymptotsch haben ML Schätzer unter allen konsstenten, asymptotsch normalvertelten Schätzern de klenste Varanz. ML Schätzer errechen asymptotsch das "Cramer-Rao lower bound", de untere möglche Grenze für de Varanz unverzerrter Schätzer. 0 d) ML Schätzer snd auch ohne Vertelungsannahmen asymptotsch normalvertelt, mt ( ˆ ) n θ θ ~N 0,V, wobe n de Stchprobengröße angbt und V de asymptotsche Varanz- Kovaranz Matrx st: ( θ) lnl V cov( ˆ = θ ) = E N θ θ ' Für jede Beobachtung gbt de Informatonsmatrx l, lnl ( θ) I ( θ) E, de n Beobachtung enthaltene Informaton zu θ θ θ' an. De mttlere Informatonsmatrx st ( θ) N lnl I( θ) I ( θ ) = E N = N θ θ' und beschrebt de Krümmung der Lkelhoodfunkton: I( θ ) = cov( θ ) Wenn de Lkelhoodfunkton um hr Maxmum stark gekrümmt st, snd de zweten Abletungen von ln L groß. Dann st de Varanz von θ klen und der ML-Schätzer präzse. Je flacher de Lkelhoodfunkton, umso größer st de Varanz von θ. Da der ML-Schätzer asymptotsch effzent st, st I θ de klenstmöglche Varanz-Kovaranz-Matrx für alle konsstenten und asymptotsch normalvertelten Schätzer für θ. Gebräuchlche Approxmaton, um de zweten Abletungen für de Varanz-Kovaranz-Matrx V zu berechnen:

6 lnl( θ) lnl( θ) lnl ( θ) E = E θ θ' θ θ De Schätzverfahren snd aufwendg. Be Fehlspezfkaton st der ML-Schätzer ncht robust. => I lässt sch aus dem Gradenten (Vektor der ersten Abletung) der Lkelhoodfunkton berechnen, ohne dass man de zwete Abletung bestmmen muss. Dese hlfreche Approxmaton bezechnet man als BHHH Schätzer nach Berndt, Hall, Hall, Hausman (974). e) Invaranzegenschaft: Wenn ˆθ ML der ML Schätzer von θ st, dann st g θ. ˆML g θ der ML Schätzer von Nachtele: Ohne spezfsche Vertelungsannahme kann der ML Schätzer ncht bestmmt werden, kaum Hnwese dafür aus der Theore Algorthmen der ML Schätzung Da de Zelfunkton typscherwese ncht lnear st, st es ncht mehr enfach möglch, de Optma auszurechnen. Daher benutzt man numersche Verfahren, um ˆθ zu ML bestmmen:.. "Grd Search" Man gbt sch en Bündel von k Kombnatonen der zu schätzenden Parameter vor und berechnet für jede möglche Parameterkonstellaton [z.b. für ( β, σ ε ),( β, σ ε ),...,( β, σ k εk )] den zugehörgen Wert der Lkelhoodfunkton L, L,..., L k. De Parameterkonstellaton, de zum höchsten Wert der Lkelhoodfunkton führt (also zur höchsten Wahrschenlchket, das zu beobachten, was wr beobachten), st das Schätzergebns. Voraussetzung: Man kennt den Werterahmen der wahren Parameter und sucht ene "Fenabstmmung". Sonst besteht be ncht konkaven Lkelhoodfunktonen de Gefahr, dass man statt globaler nur lokale Optma erhält. 5 6

7 .. Iteratve Verfahren Grunddee der Iteraton: a) Startwerte für θ (=Parametervektor) vorgeben b) L ausrechnen c) Werte für θ anpassen d) L ausrechnen: Optmum errecht? nen: gehe zu c ; ja: Ende Krteren für das Errechen des Optmums: a) Vordefnerte, mnmale wetere Änderung n ln L (z. B. wenn Verbesserung < e -7, Optmum errecht) 7 b) Vordefnerte, mnmale wetere Änderung n ˆθ c) Vordefnerte, mnmale wetere Annäherung von lnl θ an 0. Problem be ncht-konkaven Lkelhoodfunktonen: Ncht scher, dass globales Optmum errecht wrd. Lösungsmöglchket: Von alternatven Startwerten aus begnnen und Ergebns mt bestem L Wert wählen. Kombnaton von Grd Search und teratven Verfahren. Verfahren zur Anpassung von θ n Iteratonsschrtt "": θ=θ +Δ λ wobe: λ Schrttlänge Δ Rchtungsvektor θ Ausgangswert 8 Gebräuchlche Verfahren zur Anpassung von θ a) Newton-Raphson Verfahren b) Methode des stelsten Anstegs c) Quadratc Hll Clmbng d) DFP (Davdon - Fletcher - Powell) Konzepte zur Erklärung der Verfahren (a) Hessematrx der zweten partellen Abletungen lnl lnl lnl θ θ θ θ θ k lnl lnl lnl lnl H = θ θ θ θ θ = k θ θ ' lnl lnl θ θ θ k k Wenn H negatv defnt st, hat L(θ) en endeutges globales Maxmum, L(θ) st dann konkav. Es glt: - E [H (θ)] = I(θ). (b) Gradentenvektor 9 0

8 ( θ) lnl θ S( θ ) = G( θ ) = lnl( θ) θ k Be quadratschen Funktonen st man mt Newton-Raphson n enem Schrtt am Zel. Be ncht-quadratschen Funktonen snd große Schwankungen n den Werten für θ möglch. Bespel: Das Newton-Raphson Verfahren Allgemen: θ=θ +Δ λ Her θ = θ H θ G θ wobe λ Δ Rchtungsvektor Schrttlänge.3 Testprnzpen und Modellselekton.3. Testprnzpen Es gbt 3 Alternatven, de asymptotsch äquvalent snd: Lkelhood Rato Test LR t- und F-Tests snd ncht anwendbar be: Wald Test W alle dre snd χ -vertelt nchtlnearen Restrktonen Lagrange Multpler Test LM Modellen, de nchtlnear n Parametern snd wenn Fehler ncht normalvertelt snd. Da ML-Schätzer nchtlnear n Parametern snd, verwendet man andere Verfahren. Grunddeen: Vergleche restrngertes und unrestrngertes Modell. Grundform enes Vektors von Restrktonen: H 0 : c( θ ) = 0. Bespel: ln y = α + β ln L + γ ln K + ε, H 0 : β + γ - = 0 (lnear homogene C-D-Produktonsfunkton) 3 4

9 LR: Wenn m Optmum H 0 glt, dann snd de Lkelhood-Werte mt (L R ) und ohne Restrkton (L U ) sehr ähnlch => vergleche L U, L R. Es wrd mt und ohne Restrkton geschätzt. W: Wenn m Optmum H 0 glt, muss ( ˆ ) überprüfe c( ˆ ) 0 c θ = 0 gelten, da ML konsstent => θ =. Es wrd nur ohne Restrkton geschätzt. LM: Wenn m Optmum H 0 glt, sollte de erste Abletung der Log-Lkelhood hnschtlch der Parameter auch dann glech Null sen, wenn der unter der Restrkton geschätzte Parametervektor n de unrestrngerte Form der ersten Abletung engesetzt wrd. Es wrd nur mt Restrkton geschätzt. Graphsche Darstellung der Intuton: ln L U LR ln L R ln L c( θ ) LM W ln L c(θ) R θˆ U ˆθ θ 5 6 Lkelhood Rato Test formal: Test Statstk: ln λ ~ χ k = Anzahl der Restrktonen k LR mt lnλ= lnl lnl, bzw. λ= R U L ln L U Bespel: y =β x +β x +β x +β x +ε H : β =β = 0, d.h. k = L R -Schätzung ohne β 3, β 4 L u -Schätzung mt β 3, β 4 Beachte: zwemalge Schätzung nötg 0 L es können nur genestete Hypothesen getestet werden, d.h. solche For- ln L U mulerungen, de durch Restrkton aus unrestrngerten Formulerungen ln L R gewonnen werden können. Bespel: Ncht genestet snd y =β x +β x +ε und y =β x +β z + u

10 Bespel: lnl U = 65 k = lnl R 680 = krtsches χ 0.95 = 5.99 ( ) = 30 > 5.99 => H 0 verwerfen (Intuton: ln L zu stark verbessert, als dass de Restrkton gelten könnte). Der LR Test wrd häufg verwendet. Wald Test formal: Unrestrngertes Modell schätzen und prüfen, ob Restrkton glt. H 0 : c( θ ) = q <=> Test Statstk: c θ q= 0 ( ( ˆ ) ) ( ( ˆ) ) ( ( ˆ) ) W = c θ q Var c θ q c θ q ~ χ c( θˆ) c( θˆ) Var ( c θˆ q) = Var ( θˆ ˆ ) θ θˆ Mt k k k k Empfehlenswert, wenn de Restrkton de Schätzung stark verkomplzeren würde, da Test nur unrestrngerte Schätzung erfordert. Bespel: H : β =β β <=> β β β = Modell: y =β x +β x +β x +β x +ε k 9 30 ( θˆ ) c her : ' = β β 0 3 θˆ [ ] Lagrange Multpler Test (Score Test) formal: Maxmere de unrestrngerte Log-Lkelhood Funkton, lnl(θ), unter der lneare Nebenbedngung c(θ) Lagrange Ansatz lnl ( θ ) = lnl ( θ ) + λ'c ( θ ) ( θˆ ) lnl lnl c = + λ = θ θ θˆ lnl = c ( θ) λ 0 Wenn de Restrkton zutrfft, dann sollte der Schattenpres der Restrkton, λ, nahe Null sen und ( θˆ ) c θˆ λ c sollte dann gelten: lnl( θˆ ) sollte klen sen. Wegen lnl θ (restrngert) = c' λ 0 θˆ lnl θ (unrestrngert) d.h. de Restrkton sollte kenen Untersched machen. 3 3

11 Test Statstk: lnl( θˆ R) lnl( ˆ θr) LM = I( θˆ R ˆ ) χ θ θˆ R R Vorgehenswese: n restrngerter Form schätzen und überprüfen, ob erste Abletung der unrestrngerten Lkelhood-Funkton am Schätzer der restrngerten Lkelhoodfunkton ˆθ Null st. R I( θˆ R ) approxmeren. θ θ lnl( θ) lnl( θ) über k 33 Oft angewendet, wenn restrngertes Modell enfach zu schätzen und das unrestrngerte Modell komplzert st. Im Ergebns: LR, W, LM snd asymptotsch äquvalent Wenn Restrkton komplzert, nutze W Wenn restrngertes Modell enfacher (z.b: Parameterwert = 0), nutze LM In der Praxs vorherrschend: LR, wenn es enfach st, de Schätzung (mt und ohne Restrkton) mehrfach durchzuführen. Hnwes: Wenn de Parameter ncht normalvertelt snd, st der t-test ncht exakt gültg, da de Teststatstk ncht mehr der t-vertelung folgt. Da ML- 34 Schätzer jedoch asymptotsch normalvertelt snd, st de t-teststatstk asymptotsch t vertelt. Daher wrd se auch be Modellen verwendet, de nchtlnear n Parametern snd (gelegentlch wrd der t-wert von der Software aus desem Grund als z-wert ausgegeben.).3. Modellselekton Maße der Schätzgüte beschreben, we genau das Modell de vorlegenden Daten wderspegelt. Im lnearen Rahmen verwendet man das R, das den Antel erklärter an der gesamten Varaton der abhänggen Varable darstellt. Be nchtlnearen Modellen st das R ncht drekt übertragbar, da de Schätzverfahren ncht darauf abzelen, den Antel der erklärten Varaton zu maxmeren. Gebräuchlche Gütemaße für qualtatve Modelle verglechen den Wert der Lkelhoodfunkton für en Schätzmodell mt ledglch ener Regressonskonstanten (ln L R ) mt dem Wert für das geschätzte Modell (ln L U ). Je grösser der Untersched, desto besser der Erklärungswert des Modells

12 De statstsche Sgnfkanz deses Unterscheds kann mt Hlfe enes Lkelhood-Rato Tests formal getestet werden. Das sogenannte McFadden R, das zuwelen auch als Lkelhood-Rato- Index bezechnet wrd, wrd we folgt berechnet: lnl U McFadden R = lnlr Wäre das Modell n der Lage, de beobachteten Werte exakt vorherzusagen, ergäbe sch der Maxmalwert für de Lkelhood von und daher lnl = 0. In U desem Fall errecht das McFadden R den Wert von. Da de Lkelhoodfunkton de Summe der logarthmerten Wahrschenlchketen st, glt wegen ln() = 0 : lnl lnl < 0 R U Daher legen de Mc Fadden R -Werte m Intervall [0,]. Wären alle Stegungsparameter β des Modells glech 0, so wäre lnl = lnl und Mc Fadden U R R = Lteratur: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroceconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel 5, 7 Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroceconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel , 6.4. Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel 3. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

13 3. Schätzverfahren für bvarate abhängge Varablen 3. Enführung 3. Das lneare Wahrschenlchketsmodell 3.3 Logt Modell 3.4 Probt Modell 3.5 Allgemene Bemerkungen 3.6 Logt und Probt Modelle für Paneldaten 3. Enführung Bvarate (bnomale, dchotome) abhängge Varablen beschreben Prozesse mt zwewertgen Ausprägungen: 0 /, nen / ja. Es gbt zahlreche Bespele für ökonomsche Prozesse mt solchen Ausprägungen: Erwerbstätgket, Kaufentschedung oder Änderung der Unternehmensstratege. De Modelle spezfzeren de Bezehung zwschen erklärenden Varablen und der Wahrschenlchket, dass en Eregns entrtt bzw. dass man de Ausprägung "" erhält. Es gbt zwe Modellerungsstrategen, um bvarate abhängge Varablen zu motveren, de "random utlty maxzaton" Hypothese und latente Varablen De "Random Utlty Maxmzaton" Hypothese Annahme : Entschedungsträger maxmert erwarteten Nutzen Annahme : Der Nutzen be der Wahl zwschen zwe Alternatven (y =0 oder y = ) hängt ab von den Charakterstka der beden Alternatven, den Attrbuten des Entschedungsträgers sowe dem Zufall. Defnere für Entschedungsträger : U, U 0 Nutzen aus den Alternatven und 0 z, z 0 Vektor mt Charakterstka der Alternatven x Vektor mt Charakterstka des Entscheders Unter der Annahme von Lneartät unterstellen wr: U = U + e =α + z ' β+ x ' γ + e U = U + e = α + z ' β+ x ' γ + e Indvduum wählt: y = 0, wenn U U 0 y =, wenn U > U. 0 Es ergbt sch ( = ) = ( > 0) = P( α + z ' β+ x ' γ + e > α + z ' β+ x ' γ + e ) = P( ( e e ) < 0 ( α α 0 ) + ( z z 0 )' β+ x ' ( γ γ 0 )) P y P U U

14 = F x ' θ wobe: x' =,z ( z 0) ',x' θ = ( α α 0) β ( γ γ 0) ' ', ', ' F = kumulatve Vertelungsfunkton von (e 0 e ) Wenn γ = γ 0, st der Enfluss von w ' auf de Entschedung ncht sgnfkant. Für F unterschedet man herkömmlch dre Formulerungen: das lneare Wahrschenlchketsmodell das Probtmodell das Logtmodell 3.. Unbeobachtete latente Varable y De wahre abhängge Varable ( y ) stellt en kontnuerlches, ncht beobachtbares Maß dar, z.b. de Negung etwas zu tun (z.b. extreme Parteen zu wählen, Arbet anzubeten). Dann lautet das wahre Modell: y =β 'x +ε Beobachtbar st nur de Varable y, de zwe Werte annehmen kann: y = 0 wenn y 0 y = wenn y > 0 De Schätzmethode zur Bestmmung der Parameter m Vektor β varert mt den Annahmen zur Vertelung von ε Das lneare Wahrschenlchketsmodell Her wrd de bnäre abhängge Varable y durch en KQ Modell geschätzt. Bespel: De Entschedung über de Erwerbstätgket wrd regressert auf Faktoren x, we Alter, Famlenstand, Ausbldung. Erwerbstätgket (y) st als 0/ Varable kodert. Prnzpell betrachtet man P( y = ) = F ( β 'x) P( y = 0) = F ( β 'x ) β beschrebt den Enfluss ener Änderung n x auf de Wahrschenlchket, erwerbstätg zu sen. Das lneare Regressonsmodell letet de Vertelung von F ncht über de Vertelungsannahmen an den Fehlerterm ε ab, sondern setzt: F β 'x = β 'x. 3 7 Für den Erwartungswert von y glt = ( β ) + ( β ) = ( β ) E y F 'x 0 F 'x F 'x Das Modell für y besteht aus enem systematschen und enem unsystematschen (zufällgen) Tel: y = E y + [y E y ] = F ( β 'x ) +ε =β 'x +ε ncht stochastsch st: ( ε ) = und ( j) De typschen Annahmen des KQ Schätzers werden bebehalten: wenn x E 0 E εε = 0. Dann glt z.b. für de erwartete Wahrschenlchket, dass Person erwerbstätg st: E y = β 'x, 3 8

15 Des entsprcht dem Antel der Erwerbspersonen n der Stchprobe, wenn ene Regressonskonstante m Modell berückschtgt st. (Warum?) Für gegebenes x kann ε nur zwe verschedene Werte annehmen: y ε Wahrschenlchket 0 β'x f β'x f Daher st ε ncht normal-, sondern dskret vertelt, mt zwe möglchen Ausprägungen pro Person. Aus der Annahme E ε = 0 folgt: β'x f + β'x f = β'x f + β'x f + β'x f = 0 f = β 'x Erstes Problem des lnearen Wahrschenlchketsmodells: Da es kene Garante dafür gbt, dass 0 β'x, kann f sowohl < 0 als auch > sen. En zwetes Problem ergbt sch aus der Betrachtung der Varanz von ε. All- vary = Ey Ey gemen wssen wr: ( ) dskret (her): ( y E( y) ) f( y) stetg: ( y E( y) ) f( y) dy Jetzt glt var ( ε ) = ε E ε f ε + ε E ε f ε 0 0 f f 0 = ε + ε 3 0 ( 'x ) ( 'x ) ( 'x ) ( 'x) ( 'x )( 'x ) 'x ( 'x) ( 'x) ( 'x) E( y ) E( y ) = β β + β β = β β β + β = β β =. Es zegt sch also, dass de Varanz von ε ene Funkton der abhänggen Varablen für st, en typscher Fall von Heteroskedaste. Das Problem lässt sch über FGLS (feasble generalzed least squares) lösen: statt y =β 'x +ε defnere y mt ˆ yˆ ( yˆ ) σ = und schätze y y = und x σ ˆ x = σ ˆ =β 'x +ε (dann homoskedastsche ε ) 3 Abschleßende Bemerkungen zum lnearen Wahrschenlchketsmodell: () Der Störterm ener Beobachtung kann nur zwe verschedene Werte annehmen; er st daher ncht normalvertelt. Damt E ε = 0, muss mt Wahrschenlchket f = β'x der Wert β'x und mt Wahrschenlchket f = β'x der Wert β'x angenommen werden. Dabe können f und f außerhalb des (0,) Intervalls legen. ( ) () Selbst wenn 0 E y x, kann der vorhergesagte Wert von y für x, de ncht n der Stchprobe enthalten snd, außerhalb des (0,) Intervalls legen. (3) De Varanz des Störterms varert mt. Damt st der Störterm heteroskedastsch und de KQ Schätzung neffzent. 3

16 (4) Da de abhängge Varable ncht stetg st und ncht der Normalvertelung folgt, st de lneare Schätzmethode ncht effzent. Um scherzustellen, dass alle vorhergesagten Werte m (0,) Intervall legen, müsste gelten: β 'x ( = ) = und lm P y lm P y = = 0 β 'x (a) Logstsche Vertelung (Logt Verfahren): exp β' x P y 'x (b) Normalvertelung (Probt Verfahren) = = Λ β = + β exp 'x β'x β'x t ( = ) = φ = Φ( β ) = ( π) P y t dt ' x e dt F ( β'x ) 0 Daher verwendet man typscherwese de beden folgenden β 'x Vertelungsfunktonen zur Modellerung bnärer abhängger Varablen: Logt Allgemene Formulerung: ( = ) ( = ) P y ln P y 0 =β' x Wertebereche: -, + (de lnke Sete wrd als log-odds bezechnet) ( = ) ( = ) P y = exp β P y 0 ( ' x ) ( = ) P y = P y = exp ( β' x ) Werteberech: 0, + P y = = + exp β 'x Werteberech: 0, 3 5 P( y = 0 ) = Werteberech: 0, + exp β 'x De Lkelhoodfunkton für den Logtschätzer: N = L = f y θ,x N = y y = P y = P y = 0 y ( β ) N exp ' x = = exp 'x exp 'x + β + β Vorzechen und Sgnfkanz der Koeffzenten können nterpretert werden. De Koeffzenten selbst entsprechen ncht den margnalen Effekten. E( y ) df ( β'x ) β'x Allgemen glt: = = f ( β'x) βk x d β'x x k k y 3 6

17 Im Fall des Logt Modells können wr ensetzen: exp ( β' x ) E( y) = P( y = ) = + exp β 'x ( ) ( β ) x exp k ( 'x) exp ( 'x) = F ( β'x ) F ( β'x ) β E y exp 'x = β + β + β k De Stärke des margnalen Effektes hängt von den Werten der erklärenden Varablen x ab. Zur Interpretaton kann man den Stchprobenmttelwert aller N margnalen Effekte von x k bestmmen, den mttleren margnalen Effekt: N ( β ) N f 'x β. = Alternatv berechnen manche Programme den margnalen Effekt am Mttelwert der Regressoren: k k 3 7 f ( 'x) k β β. De Berechnung enes margnalen Effektes von dchotomen (also 0/) erklärenden Varablen d st ncht snnvoll. Daher wrd n desen Fällen E(y) mt der dchotomen Varable d = 0 bzw. mt d = vorhergesagt. Alle anderen erklärenden Varablen werden auf hre Mttelwerte gesetzt. Man berechnet den Enfluss von d: E( y d =,x) E( y d = 0,x). Interpretert werden nsgesamt: () Vorzechen, () statstsche Sgnfkanz und () margnale Effekte. De Ergebnsse von Logtschätzungen fnden gelegentlch ene andere Dar- P y = = exp β 'x + exp β 'x, stellungs- und Interpretatonsform: da ( ) ( ) 3 8 ergbt sch für P( y ) P( y 0) exp ( 'x) = = = β was als odds rato bezechnet wrd. Das odds-rato beschrebt de relatve Wahrschenlchket von y = zu y = 0. Ändert sch x k um ene Enhet, so st das neue odds-rato exp β ' x + = exp β' x exp β. Das odds rato st um den Faktor ( ) ( k ) exp( β k ) gestegen. Wenn k 0, β = folgt exp 0, =,05, d.h. de relatve Wahrschenlchket von y = gegenüber y = 0 stegt um 0,5 Prozent. Velfach werden statt der Koeffzenten de odds-ratos ausgewesen, wobe o.r. >, wenn β > 0 und o.r. <, wenn β < Probt Ausgangspunkt: Normalvertelungsannahme für Fehlerterme, bespelswese m Modell latenter Varablen: y 'x ε ~IN 0, =β +ε mt IN steht für ndependently normally dstrbuted; IID steht für dentcally and ndependently dstrbuted. Be enem Schwellenwert von 0, st de beobachtbare Varable y dem y we folgt zugeordnet: y = 0 wenn y 0 y = wenn y >

18 Dann E y = P y = = P y > 0 = P ε < β'x β 'x = F β 'x = Φ β 'x = φ t dt De kumulerte Wahrschenlchketsfunkton F und de Wahrschenlchketsdchtefunkton f der Standardnormalvertelung werden standardmäßg mt Φ und φ abgekürzt. ε σ nutzt: De Lkelhoodfunkton für den Probtschätzer mt ~IN ( 0, ) P( y = 0) = P ( y 0) = P ( ε β 'x ) = P ε β'x σ σ β'x 'x β =Φ = Φ σ σ β'x β'x P( y = ) = Φ = Φ σ σ 3 wobe: N = β x β x Φ σ Φ σ 0 0 y y L = P y = P y = 0 y N β'x = Φ Φ = β'x σ σ was hnschtlch β und σ bzw. β / σ maxmert wrd. Da der β-vektor n der Lkelhoodfunkton nur gemensam mt σ vorkommt, snd de beden Parameter ncht separat dentfzer- und schätzbar. Daher y 3 normert man und setzt σ =, um anschleßend nur über den Vektor β zu maxmeren. Letztlch lässt sch der genaue Wert für β also ne bestmmen, da man den wahren Wert von σ ncht kennt und ncht kennen kann. Des st unproblematsch hnschtlch der Interpretaton von Vorzechen und statstscher Sgnfkanz von β, da de Multplkaton mt ener Konstanten (σ - ) Varanz und Standardfehler des geschätzten β ebenso modfzert we den Schätzwert selbst. Des kürzt sch also be der t-statstk weg. Wenn σ, beschrebt der ausgewesene Parameterschätzer ncht ˆβ, sondern ˆβ σ. Der margnale Effekt st nach we vor korrekt: P y = β'x β =φ. x σ σ k Falls de Normalvertelungsannahme für ε korrekt st, st der Maxmum Lkelhood Schätzer für β konsstent und asymptotsch effzent. Interpretert werden Vorzechen und Sgnfkanz der geschätzten Koeffzenten. Da es sch um en nchtlneares Modell handelt, snd de geschätzten Koeffzenten von den margnalen Effekten verscheden. Der Enfluss ener Varable x auf de Eregnswahrschenlchket hängt von den Ausprägungen der anderen Varablen ab. Daher werden margnale Effekte berechnet und Smulatonen durchgeführt, um de Effektstärke zu bestmmen. Für de Berechnung der margnalen Effekte glt be σ = : Φ( β'x) =φ( β'x) βk x k

19 Des sollte an verschedenen Werten von x berechnet werden, um de Robusthet des margnalen Effektes abzuschätzen (sehe Bespel unten). Smulaton der Wahrschenlchket enes Eregnsses unter alternatven Szenaren: Methode : Alle erklärenden Varablen werden auf den Stchprobenmttelwert gesetzt und de Eregnswahrschenlchket wrd für dese künstlche Mttelwertbeobachtung berechnet. Enzelne Varablen werden modfzert und be veränderten Werten wrd de Eregnswahrschenlchket erneut vorhergesagt. 3 5 Methode : Der Datensatz wrd unverändert gelassen, für jedes Indvduum wrd de Eregnswahrschenlchket bestmmt und dann der Stchprobendurchschntt berechnet. Enzelne Varablen werden für alle Beobachtungen glech modfzert. Be veränderten Werten wrd de Eregnswahrschenlchket für alle und dann m Durchschntt bestmmt. Durch enen Verglech der vorhergesagten Wahrschenlchketen ergbt sch n beden Fällen en Maß für den Enfluss der modfzerten Varablen. De Standardfehler der berechneten Effekte lassen sch per Bootstrap erzeugen. Bespel: (Quelle: Greene, 6.A., S. 78) Es soll geprüft werden, ob de Lehrmethode PSI (personalzed system of nstructon) de Noten (GPA) ver- 3 6 bessert: Grade = wenn verbessert, Grade = 0 wenn ncht verbessert. Kontrollvarablen snd GPA = vorherger Notendurchschntt TUCE = Testergebns vor dem Kurs PSI = neue Lehrmethode angewendet ( = ja, 0 = nen). De Tabelle gbt de Schätzergebnsse an: Lnear Logstc Probt Varable Coeffcent Slope Coeffcent Slope Coeffcent Slope Constant -, ,0 - -7,45 - GPA 0,464 0,464,86 0,534,66 0,533 TUCE 0,00 0,00 0,095 0,08 0,05 0,07 PSI 0,379 0,379,379 0,450,46 0,468 f x'β ˆ,000 0,89 0, Slope bezechnet für alle Varablen de erste Abletung der Vertelungsfunkton nach x k, auch für PSI. Während sch de Koeffzentenschätzer deutlch unterscheden, snd de margnalen Effekte sehr ähnlch. Den Effekt von PSI könnte man m Probt-Modell am Mttelwert von TUCE von,938 aus der Dfferenz folgender Größen berechnen: PSI = 0: P(Grade = ) = Φ (-7,45 +,66 GPA + 0,05,938) PSI = : P(Grade = ) = Φ (-7,45 +,66 GPA + 0,05,938 +,46). Dabe varert der Effekt von PSI her z.b. mt den Ausprägungen von GPA, schtbar als Dfferenz der beden Kurven: 3 8

20 3.5 Allgemene Bemerkungen 3.5. Verglech von Logt und Probt Modell Im Allgemenen ähnlche Ergebnsse Kumulatve Vertelungsfunktonen der Eregnswahrschenlchket unterscheden sch an den Rändern, m mttleren Berech snd de Ergebnsse verglechbar: Probt F( β ' x) f ( β ' x) Logt Probt Logt 3 9 β ' x 3 30 β ' x Für klene und große Berech ähnlch. β : f ( 'x ) LOGIT f ( 'x ) 'x PROBIT β > β, Ergebnsse m mttleren Alle Modelle für bvarate abhängge Varablen haben grundsätzlch de gleche Lkelhoodfunkton, L = F β'x F β'x y= y= 0 de sch nur durch de jewelgen Vertelungsannahmen für F unterscheden: ( = ) = ( β ) P y F 'x Probt Modell: =Φ( β 'x ) De Parameterschätzungen snd wegen der verschedenen Nchtlneartäten der Modelle ncht drekt verglechbar. Amemya (98) letete folgende approxmatve Bezehungen ab für den Fall, dass 0, E(y) 0,9. Konstante: α ˆ = 0,5 α ˆ + 0,5 0,4α ˆ + 0,5 LW LO PR Stegungsparameter: β ˆ = 0,5βˆ 0,4βˆ βˆ, 6 β ˆ LW LO PR LO PR Logtschätzer snd rechnersch enfacher zu bestmmen als Probtschätzer. Lneares Wahrschenlchketsmodell: Logt Modell: =β 'x ( β' x ) exp = + exp β 'x Modelltheoretsch gbt es kene Rechtfertgung für de Wahl zwschen Logt und Probt. Allerdngs stellt de dem Probt unterlegende Normalvertelungsannahme de allgemenere Annahme dar

21 Statstsche Sgnfkanz der Parameter snd m Allgemenen für Logt und Probt sehr ähnlch. Bespel: Hej et al. Example Schätzung von nchtlnearen Modellen mt bnären abhänggen Varablen Maxmum Lkelhoodansatz, allgemen: N = y y L = F β'x F β'x N = ( ) lnl = y lnf β 'x + y ln F β'x Allgemene Bedngung erster Ordnung: N lnl y f f = + ( y) x = 0 β = F F Für den Logtschätzer ( β' x ) N lnl exp = y x 0 = j β j = + exp β'x Für den Probtschätzer ( ) lnl = ln Φ + lnφ y= 0 y= lnl φ φ = x + x = 0 j j βj y= 0 Φ y= Φ y Φ N = φ = j = Φ( Φ) x 0 Für bede Schätzverfahren glt, dass de Hessematrx überall negatv defnt st. Daher st de Loglkelhoodfunkton global konkav, und de Schätzverfahren konvergeren zum globalen Maxmum. Es können alle teratven Methoden angewendet werden. Hypothesentests hnschtlch der Koeffzenten β: t-test für enfache Hypothesen Wald-Test für lneare Restrktonen (R, q) H : R β= q. Nachdem das Modell ohne Restrktonen geschätzt wurde, werden de Restrktonen anhand der geschätzten Parameter getestet. Lkelhood Rato Test: LR = lnl lnl Das Modell wrd n restrngerter und unrestrngerter Form geschätzt. R U

22 Lagrange Multpler Test: lnl( θ ) lnl θ LM = cov ( θ ) ~ χ θ θ ( ) k. Es st ncht möglch zu testen, ob das Logt- oder das Probt-Verfahren angemessen st, da de Modelle ncht "genestet" snd (man kann ncht en Modell durch Restrktonen aus dem anderen gewnnen). θ = Parametervektor aus restrngerter Schätzung ln L = unrestrngerte log-lkelhoodfunkton Das Modell wrd mt k Restrktonen geschätzt, anschleßend werden de Restrktonen getestet. W, LR, LM snd χ -vertelt; de Frehetsgrade entsprechen der Anzahl der Restrktonen k Egenschaften bnärer Modelle unter ncht-dealen Bedngungen (a) Auslassen exogener Varablen KQ: systematsche Verzerrung der geschätzten Parameter, wenn ausgelassene Varable mt den berückschtgten Varablen korrelert st. ML: Selbst wenn ausgelassene Varable mt den berückschtgten Varablen ncht korrelert st, werden de geschätzten Parameter durch das Auslassen ener wchtgen Varablen nkonsstent. Test mttels Wald, LR oder LM: H :y =β 'x + +ε, β = 0 versus 0 (b) Heteroskedaste KQ: be heteroskedastschen Fehlertermen blebt der KQ Schätzer unverzerrt und konsstent, büßt aber Effzenz en. Ebenso erhält man falsche Schätzer für de Varanz-Kovaranz-Matrx und fehlerhafte t-statstken für enzelne Parameter. ML: Be Heteroskedaste werden Maxmum Lkelhood Schätzer nkonsstent und de Varanz-Kovaranz-Matrx st ncht korrekt. Letztlch st de Vertelungsannahme für de abhängge Varable falsch, und damt gelten de günstgen Egenschaften des ML Schätzers ncht mehr. H:y =β 'x +β 'x +ε, β

23 (c) Bemerkungen De Bedeutung nkonsstenter Koeffzentenschätzer unterschedet sch be bvaraten Modellen vom KQ Schätzer. Der Untersched legt darn, dass selbst be nkonsstenten Parameterschätzungen m nchtlnearen Modell (z.b. bem Probt) de mttleren margnalen Effekte noch konsstent sen können. Wenn also statt enes Parameters β k nun we m Fall von ausgelassenen ncht korrelerten erklärenden Varablen en β k geschätzt wrd, so können unter bestmmten Annahmen bem Probt-Schätzer Vorzechen, relatve Effektstärke (m Verglech zu β k ) und der mttlere margnale Effekt korrekt sen, obwohl β k nkonsstent st. Auch de Auswrkung ener fehlspezfzerten Lkelhoodfunkton muss relatvert werden. Wenn ene Normalvertelung vorlegt und wr schätzen en Logtmodell, so snd de Parameterschätzer klar verzerrt und nkonsstent. In 3.5. haben wr de Zusammenhänge klar gemacht, de belegen, dass de Parameterschätzer der beden Modelle hauptsächlch unterschedlch skalert snd. Das PSI-Bespel zegt, dass de margnalen Effekte von Logt und Probtschätzern nahezu dentsch sen können, obwohl sch de Koeffzenten unterscheden. We m lnearen Modell auch, können be bnären Modellen kene konsstenten Ergebnsse erzelt werden, wenn de ausgelassene Varable mt den berückschtgten Varablen korrelert st Maße für de Schätzgüte n bnären Regressonen (a) Verglech der Log Lkelhood m Modell mt und ohne Stegungsparameter über LRT ~ χ (Modell-Sgnfkanz). (b) McFadden R ( Lkelhood Rato Index ) n Anlehnung an Standardregressonsmodell: McFadden R = lnl lnl Wobe lnl = log Lkelhood Wert ohne Restrkton U lnl = log Lkelhood Wert mt Restrkton (alle Stegungsparameter R snd = 0) lnl lnl 0 R U U R 3 43 Der Werteberech von lnl st (,0 ). Das McFadden R hat den Wert 0, wenn lnl = lnl und den Wert, wenn lnl = 0. U R U (c) Antel korrekter Vorhersagen Berechne für jede Beobachtung Z F ( ˆ 'x) wenn Z = β. Wenn Z > s, dann ŷ =, s dann ŷ = 0, wobe s en Schwellenwert st, typscherwese wrd s = 0,5 gewählt. En Verglech von ŷ mt y ergbt den Antel korrekter Vorhersagen. Probleme: () ene feste Vorhersage am Durchschnttswert von y gbt unter Umständen ene bessere Anpassung als das Modell. () de Vorhersagequaltät st von der Wahl des s abhängg, wofür kene geegnete Regel exstert. 3 44

24 Bespel: Tunal (986) schätzt en Modell zur Rückkehrwahrschenlchket von Mgranten. En LR-Test ergbt hohe Sgnfkanz der Parameter, der Lkelhood- Rato-Index beträgt 0,083. Be enem Schwellenwert von s = 0,5 ergbt sch: Vorhersage D = 0 D = Gesamt Beobachtet D = D = Gesamt von 690, d.h. 7, Prozent der Vorhersagen treffen zu. En naves Modell, das für alle Beobachtungen D = 0 vorhersagt, trfft n 70,6 Prozent der Fälle zu. Obwohl sgnfkante Zusammenhänge aufgezegt werden, erzeugt de Schätzung kaum ene bessere Vorhersage (d) Man fndet auch L R pseudo R = LU L R und L U snd de ncht logarthmerten Lkelhoodwerte mt und ohne Restrkton, dass alle Stegungsparameter = 0. N st de Beobachtungszahl. vele alternatve Pseudo R Maße auch auf Bass der Resdualvaranz y F ˆ. Der Begrff des Pseudo R hat kene endeutge Defnton. (e) Das Akake Informatonskrterum mnmert AIC = k lnl k= Anzahl der Parameter, kene Berückschtgung der Beobachtungszahl. N 3 46 (f) Schwarz Krterum mnmert mt stärkerem Gewcht auf k als AIC: SC = lnl + k ln( N) N = Anzahl der Beobachtungen. Zel be AIC und SC: Optmerung des Verhältnsses Anpassung / Parameterzahl. Insgesamt: ken etablertes Krterum verglechbar zum R ncht alle Krteren legen m Intervall (0,) ncht alle Krteren repräsenteren Varanzauftelung n erklärten und ncht erklärten Tel. ncht n allen Gütemaßen st de Zahl der Frehetsgrade repräsentert De KQ Stuaton Stetge abhängge Varable mt ncht IID (unabhängg und dentsch) verteltem Fehlerterm, bespelswese wegen ausgelassener unbeobachtbarer Varablen: y =β 'x +ε mt ε =α [ + u ] +η (η t st der Zufallsfehler) t t t t t t () wenn α oder u t mt x t korrelert => Verzerrung () sonst: neffzente Schätzung (ncht sphärsche Varanz-Kovaranz-Matrx) Korrekturansätze: (a) Fxed Effects Annahme: α hat fxen konstanten Wert für jedes, Schätzung über Dummes oder Dfferenzen 3.6 Logt- und Probtmodelle für Paneldaten

25 (b) Random Effects-Annahme: α st als Zufallsvarable durch hre Vertelung beschreben, ncht mt x t korrelert, Schätzung mt FGLS, korrgerte Varanz- Kovaranz-Matrx. Bewertung: Wenn mt α korrelerte x t => Random Effects Schätzung nkonsstent FE per Dummyvarablenansatz (LSDV) kann be klenem T zu verzerrten Schätzern für α führen ("ncdental parameter problem") FE erlaubt kene Parameterschätzung für zetkonstante Varablen Unterschede m Fall dskreter abhängger Varablen Im lnearen Wahrschenlchketsmodell glt de gleche Ausgangslage, we be KQ. Wrd das wahre Modell y =β 'x +α +ε t t t auf Bass von y =β 'x +ε t t t per Maxmum Lkelhood geschätzt, dann () st de Lkelhoodfunkton falsch spezfzert. () wrd kene Korrektur für unbeobachtete Heterogentät α vorgenommen, was zu Inkonsstenz führt () wrd de Fehlertermvaranz ncht korrekt abgebldet, was m nchtlnearen Modell - auch ohne Korrelaton mt x t - zu neffzenten und nkonsstenten Schätzern für alle Parameter führt. (v) besteht de Möglchket des "ncdental parameter Problems (s.u.) Fxed Effects Schätzer be bnären abhänggen Varablen Problem des LSDV Schätzers: Be großem N und klenem T weng Beobachtungen pro Enhet, z.b Haushalte über 3 Peroden, 9000 Beobachtungen, aber nur 3 pro Haushalt. Zu weng, um α konsstent zu schätzen (ncdental parameter problem). Des st unproblematsch be KQ, da β unabhängg von α konsstent geschätzt werden kann. Be nchtlnearen Modellen überträgt sch de Inkonsstenz auf andere Parameter. Lösbar be Logtmodellen mt Chamberlan's "condtonal maxmum lkelhood" Modell. e e α+ β'xt Her P( y = ) = und P( y 0) + α+ β'xt = = 'xt + e α+β

26 De unbedngte Lkelhoodfunkton wäre N T yt ( t ) ( t ) = t= yt L = F F Chamberlan s bedngte (condtonal) Lkelhoodfunkton st N T C L = P Y = y, Y = y,...,y = y y T T t = t= Der Betrag ener Beobachtung zur Lkelhoodfunkton hängt von der Summe der Ausprägungen z.b. mt Wert ab. Bespel: T=, es gbt 3 möglche Ausprägungssummen: Fall : y 0, y 0 = = Summe: 0 P 0, 0 Summe = 0 = d.h. wenn be zwe Ausprägungen de Summe 0 st, muss mt 00% Wahrschenlchket n beden Fällen ene 0 vorlegen. Der Betrag zur bedngten Log-Lkelhoodfunkton be Kondtonerung auf Ausprägungssumme 0 st Null. Fall : y, y = = Summe: P, Summe = = genauso, Betrag zur bedngten Log-Lkelhoodfunkton st null. Fall 3: P( 0, Summe = ) y =, y = 0 oder y = 0, y = Summe: P0, + = < P0, P,0 Nur Beobachtungen mt Ausprägungswechsel (0,) oder (,0) tragen zur Log- Lkelhoodfunkton be Da P( y,y 0) α+β 'x e = = = + e + e α+β 'x α+β 'x und P( y 0,y ) e = = = + e + e α+β 'x α+β 'x α+β 'x st der Betrag zur Lkelhood, bedngt auf Summe =, (also auf enen Ausprägungswechsel) für α+β 'x e 'x α+β 'x 'x α+β β e P 0, y + e + e = = = t e e e + e + α+β 'x α+β 'x α+β 'x α+β 'x + e + e + e + e t α+β 'x α+β 'x β'x β'x sowe entsprechend für, P,0 + P,0 Wechsel, d.h. y =. t = t P,0 P0, 3 55 Es ergbt sch e + + β 'x = = β'x β'x β'x ( x ) P 0, Wechsel e e e β'x ( x ) e P(,0 Wechsel ) =. β'x ( x ) e + Durch Kondtoneren können de unbeobachtbaren Effekte aus den Elementen der Lkelhoodfunkton heraus gekürzt werden. De Koeffzenten für β werden konsstent und asymptotsch effzent geschätzt, wenn nur Beobachtungen mt enem Eregnswechsel betrachtet werden und auf de ersten Dfferenzen n x t regressert wrd. Nachtele: - vele Beobachtungen werden ncht genutzt 3 56

27 - Verfahren be Probt wegen funktonaler Form ncht anwendbar - wenn Heterogentät ncht exstert, st der fxed effects logt ncht effzent. Entschedend: Gbt es Heterogentät n den Daten? - Hausman Test: H 0 : Homogentät α = 0 H : Heterogentät α 0 Schätzer (her Logt) konsstent aber ncht effzent unter H 0 konsstent unter H Test auf Glechhet der beden Parametervektoren. Wenn β Logt β cond.logt H 0 verwerfen. Teststatstk W = ( βˆ βˆ ) Var( βˆ ) Var ( βˆ ) ( βˆ βˆ ) ~ χ CL L CL L CL L k Anzahl der Parameter konsstent und asymptotsch effzent unter H 0 ncht konsstent unter H Schätzer (her Chamberlans condtonal logt) Random Effects Schätzer be bnären abhänggen Varablen Annahme: unbeobachtete Heterogentät st Zufallsvarable und unabhängg von x t Modell: y = β 'x +α +ε η =α +ε t t t t t ( η ) = ( α +ε ) = σ +σ = σ Var Var t t α ε η σα Corr ( η, η s t ) = ρ = ( σ ) α +σ ε η besteht aus der Summe zweer Zufallsvarablen. De möglchen Korrelatonen von η t t über de Zet (ρ) vareren mt den zugrunde gelegten Vertelungsannahmen: Be ener multvaraten logstschen Vertelung (von α und ε t ) st ρ=. Be Annahme von multvaraten Normalvertelungen st ρ ncht vorher 3 59 bestmmt. Daher wrd für de Random Effects Schätzung das Probtmodell bevorzugt. Herzu exsteren mehrere Ansätze: (a) Der Butler-Mofftt (98) Ansatz (sehe Exkurs) Krtk daran: Äqukorrelatonsannahme st restrktv, dennoch der gebräuchlchste Ansatz und n gänggen Programmpaketen vorprogrammert. (b) Avery-Hansen-Hotz Ansatz (983) kene Äqukorrelatonsannahme. (c) Chamberlan Modell (984) völlg anders, hebt Restrkton der Unkorrelerthet von x mt unbeobachtetem Effekt auf. 3 60

28 Bespel: Greene, Handout. Exkurs: Ansatz von Butler und Mofftt (98) für Random Effects Probt Modell y =β 'x +η t t t η =α +ε ~N t t ( 0, α ) α σ ε ~N t ( 0, σ ε ) Probtschätzung ergbt standardserte Koeffzenten wegen: α Problem: σ Trck: ε N(0,) β'x α ε t t t y = + + σ σ σ σ ε ε ε ε st ncht standardnormalvertelt σ ρ ρ= σ =σ ε α σ +σ ρ α α ε Jetzt: N(0,) N(0,) y β'x t t ρ α ε t = + + σ σ ρ σ σ ε ε α ε α β' ρ α P y = 0 = Φ x = Φ σα σ ρ σ ε α t t t α = = Φ σ α P y t Lkelhoodfunktonsbetrag von Beobachtung : L, α T βρ = Φ Φ t t σ α t = t y y t t zu L ( β, ρ ) be kont- α Da σ ncht beobachtet st, Übergang von L α βρ, α σα nuerlcher Vertelung von α durch Ausntegreren: α α α L ( βρ, ) = L, f d βρ σ σ σ α α α α α α mt ~N( 0, ): f = exp σ α σ σ α π α Komplzerte Integralberechnung wrd durch Approxmaton über dskrete Vertelung von α vermeden. L, L, α P K ( βρ ) = βρ k k= σ α k Idee: Fläche unter der Vertelung wrd durch K Rechtecke approxmert: Gauss-Hermte Quadratur Verfahren Letztlch: max L = L ( β, ρ) β, ρ N = Krtk am Butler-Mofftt Ansatz: Annahme, dass ρ über alle Peroden t und alle glech st, st restrktv ( Äqukorrelaton )

29 Zum Schluß: Praxsrelevanz von Schätzverfahren für bvarate abhängge Varablen erlauben de Modellerung von ja/nen Fragen n allen wssenschaftlchen Themengebeten und nterdszplnär relevant für alle Praxsfelder bedeutsam, bspw. automatserte Berechnung der Ausfallwahrschenlchket (ja/nen) von Konsumentenkredten be der Teambank, bspw. Sterbersko von Krebspatenten nach Behandlung etc. nteressante Erweterungen auf dynamsche Verfahren, de zetlch verzögerte abhängge Varable (y t- ) als Kontrollvarable nutzen Lteratur: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroceconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel 4 Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroceconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel 4, 8 Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel 7.. Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel 4. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

30 4. Schätzverfahren für multvarate und ordnale abhängge Varablen 4. Enführung 4. Multnomales Logt Modell 4.3 Multnomales Probt Modell 4.4 Modelle für geordnete abhängge Varablen 4. Enführung Betrachtet werden "qualtatve", kategorale abhängge Varablen, z.b. Transportmttelwahl: Bus / Auto / Bahn Mensaessen: gut / mttel / schlecht / sehr schlecht Man unterschedet geordnete und ungeordnete Varablen. Da m geordneten Fall mehr Informaton über de Bezehung unter den Ausprägungen vorlegt als m ungeordneten Fall, werden für de beden Stuatonen unterschedlche Schätzverfahren angewendet. De Anzahl der Alternatven spelt für de Auswahl der Verfahren kene Rolle. 4 De Modellerung der zugrunde legenden Entschedungsprozesse erfolgt über stochastsche Nutzenfunktonen (random utlty hypothess): U =β 'x +ε j j j wobe: =,,...,N Beobachtungsenheten j=,,...,j Entschedungsalternatven Entschedungsregel: wählt j, wenn, U j > U k, für alle k j Dann für J = 3, und j, k, m =,, 3: P(Alternatve j wrd gewählt) = PU ( > U,U> U j k j m ) = ( j k k j P x x, β> ε ε ( x x ) β> ( ε ε )) j m m j Aus der Annahme über de Vertelung der Fehlertermdfferenz ergbt sch de Modellwahl. Mest unterstellt man entweder ene Normalvertelung, aus der sch das multnomale Probtmodell abletet, oder ene Typ I Extremwertvertelung, de zum multnomalen Logt Modell führt. Allgemene Spezfzerung multnomaler Modelle: U =β 'x +α 'z +ε j j j j d.h. wenn x de Beobachtung beschrebt, varert β über de Alternatven, wenn z de Alternatve j beschrebt, st der Koeffzentenvektor α konstant. Dabe fndet man folgende Bezechnungen: U =β 'x +ε multnomal logt (MNL) j j j

31 U =α 'z +ε condtonal logt (CL) j j j U =β 'x +α 'z +ε mxed logt j j j j 4. Multnomales Logt Modell 4.. Allgemenes Typscherwese wrd unterstellt: U = β 'x +ε j j j Das multnomale Logt Modell verallgemenert das bnomale Logt Modell. Bnomal: P( y = ) = exp ( β ' x) ( + exp ( β ' x) ) daher ( = ) = ( + ( β ) ) P y 0 exp 'x ( = ) ( = ) Be J > Alternatven: P y ln =β' x "log odds" P y ( = ) ( = ) P y ln =β ' x P y ( = ) ( = ) P y 3 ln =β ' x,, 3 P y ( = J ) ( = ) P y ln = β ' x J P y lnp( y 3) lnp( y ) lnp( y ) lnp( y ) 'x = = = = + = = β β 3 Des zegt, dass der geschätzte Koeffzentenvektor relatv zu ener Basskategore zu nterpreteren st. Welche der J Alternatven zur Basskategore wrd, st unerheblch und kann wllkürlch bestmmt werden. Nach ener Schätzung können de Ergebnsse auf ene andere Basskategore hn umgerechnet werden: Bespel: P y = 3 P y = 3 P y = ln = ln ln P y = P y = P y = Berechnung der dazugehörenden Standardfehler: β β = β + β β β SE V V Cov, We mplzt bem bnomalen Logtmodell auch, st vor der Schätzung der Koeffzenten ene Normalserung durchzuführen: In der Berechnung von: P( y = j) = exp ( β 'x ) exp ( β 'x ) j k k für alle j wrd für ene Basskategore j der Vektor β glech 0 gesetzt. Es ergbt sch, wenn des z.b. für j= gescheht:

32 J P( y = ) = + exp ( β 'x j ) j= J P( y = ) = exp ( β 'x ) + exp ( β 'x j ) j= J P( y = J ) = exp ( β 'x J ) + exp ( β 'x j ) j= 4.. Schätzung Für J=3 ergbt sch als Lkelhoodfunkton ( ) ( ) ( ), L = P y = P y = P y = 3 y = y = y = 3 Alternatve Schrebwesen: N = d d d3 L = P y = P y = P y = 3 N 3 = j= ( j) = P y = N 3 = j= j d j lnl = d lnp y = j, wobe d j wenn y = j = 0 sonst Da de Lkelhoodfunkton für den multnomalen Logtschätzer global konkav st, gbt es mmer en globales Maxmum und kene Probleme mt der Optmerung. Bem MNL glt ebenso we bem bvaraten Logtmodell, dass solange Konstanten m Modell snd de durchschnttlche vorhergesagte Wahrschenlchket jeder Alternatve der tatsächlch beobachteten Wahrschenlchket entsprcht Interpretaton der Schätzergebnsse Gesamtmodell: We m bnomalen Fall st de Bewertung der Schätzgüte nsgesamt problematsch; typsch snd LR-Tests auf gemensame Sgnfkanz der Stegungsparameter. Enzelne Koeffzenten: Bezüglch des Effektes ener Varablen x auf de Wahrschenlchket ener der Ausprägungen kann nur de statstsche Sgnfkanz verlässlch nterpretert werden, ncht aber Vorzechen (!) und Größe der Koeffzenten! Statt dessen berechnet man margnale Effekte der k=,,k Charakterstka βj 'x e P( y = j ) = j =,,3. β 'x β3 'x + e + e 4 4

33 Be Alternatven j = oder 3 mt Alternatve als Bass: βj 'x β 'x β 'x βj 'x ( j ) = β 'x x 'x β k + e + e 3 P y β e + e + e e β e +β e = 3 β 'x β3 'x jk k 3k ( ) =β P y = j P y = j β P y = +β P y = 3 jk k 3k [ ] = P y = j β β P y = β P y = 3 jk k 3k Das Vorzechen der Koeffzenten kann sch also vom Vorzechen des margnalen Effektes unterscheden. Daher Interpretaton entweder über margnale Effekte, oder Smulaton der nteresserenden Zusammenhänge. Als mttleren margnalen Effekt ener Varable x k auf de Wahrschenlchket P(y = j) über alle Beobachtungen bestmmt man: 4 3 ( j) P y = N. = xk N Enzelne Koeffzenten können n Sgnfkanz und Vorzechen hnschtlch des Effektes ener Varablen x auf Wahrschenlchketsverhältnsse nterpretert werden. Da ( = j ) ( = ) P y ln =β' x j, glt P y ( = j) P y ln P( y = ) =β. jk x Elastztäten der Auswahlwahrschenlchketen hnschtlch enzelner Varablen lassen sch berechnen, ndem der margnale Effekt enes Regressors mt dem Regressor multplzert und durch de entsprechende Wahrschenlchket dvdert wrd. Anschleßend wrd über alle Beobachtungen gemttelt: k 4 4 P y = j x ε = N x P y = j N k Py ( = j,x ) k = k Bespel: Berufsgruppen von Bankangestellten Frage: We snd Egenschaften von Indvduen mt hrer Stelle korrelert? Daten: 58 Angestellte n Verwaltung (), Haus und Technk () und Management (3). Erklärende Varablen: Bldung (n Jahren), Mnderhet (0/). Schätzergebnsse: Cat Varable Coeffcent Std.Error z-statstc Prob. Cat : CONSTANT EDUC MINORITY Cat 3: CONSTANT EDUC MINORITY Log lkelhood Akake nfo crteron Sgnfkante Koeffzenten besonders für Bldung, sonst nur Zusammenhang mt Wahrschenlchketsverhältnssen nterpreterbar: Mnderheten snd m Verglech zur Verwaltung sgnfkant seltener m Management. Test auf Sgnfkanz des Gesamtmodells: Ohne erklärende Varablen st 4 5 log lkelhood = -3,34 mt erklärenden Varablen: -8,

34 LR = - (-3,34 + 8,74) = 5, χ = Modell st am 5% Nveau sgnfkant, da 5, > 9,49. 9,49 df = 4, α= 5% Margnaler Effekt der Bldung wurde für alle berechnet und nach Telgruppen gemttelt: MARGINAL EFFECTS OF EDUCATION ON PROBABILITIES JOBCAT JOBCAT = JOBCAT = JOBCAT = 3 NON-MINORITIES MINORITIES En weteres Jahr Bldung st für Ncht-Mnderheten mt ener um 5,7 Prozentpunkte höheren Wahrschenlchket korrelert, m Management zu arbeten. (Quelle: Hej et al. 004, 6.4, S. 470 ff) 4..4 Das IIA (Independence of Irrelevant Alternatves) Problem Egenschaft des MNL Schätzers: Das Wahrschenlchketsverhältns zweer Ausprägungen st unabhängg von der Enführung weterer Alternatven: Für J = 3 mt j= als Referenz: ( ) + exp ( β 'x ) + exp ( β 'x 3 ) = ( β ) + ( β ) + ( β ) exp ( β ' x ) P y = = P y = exp ' x exp ' x exp ' x 3 Das Verhältns st von den Parametern β 3 (bzw. be J>3 auch von allen anderen) unabhängg und blebt konstant, unabhängg von der Formulerung der abhänggen Varable Dese Invaranz kann problematsch sen, wenn das Verhältns auf de betrachteten Alternatven reageren sollte. Bespel: red bus - blue bus Problem Ausgangsstuaton (P 0 ): mt /3 Wahrschenlchket zu Fuß, mt /3 Wahrschenlchket roter Bus. Wahrschenlchketsverhältns: : Änderung: Es werden blaue Busse engeführt (P ). Wr erwarten, dass sch de Wahrschenlchket zu Fuß zu gehen ncht ändert, wenn glech vele rote we blaue Busse, also: zu Fuß 4/6, roter Bus /6, blauer Bus /6. Neues Wahrschenlchketsverhältns 4: für zu Fuß versus roter Bus. 4 9 Änderung st m MNL Schätzer ncht möglch, da Wahrschenlchketsverhältns a pror von der Anzahl der betrachteten Alternatven unabhängg st. Wegen IIA: zu Fuß /4, roter Bus /4, blauer Bus /4 vorherges Wahrschenlchketsverhältns : blebt und es wrd unterstellt, dass de Wahrschenlchket für "zu Fuß" gehen von /3 auf /4 gesunken st. Damt kann de IIA Annahme zu nkonsstenten Schätzern führen. De statstsche Ursache deses Problems st de Annahme, dass de Fehler über de Alternatven hnweg unabhängg vertelt snd. Wenn manche Alternatven enander mehr ähneln als andere, st dese Annahme ncht zutreffend. Her: De Wahrschenlchket, den roten Bus zu nehmen, st hoch mt der Wahrschenlchket, den blauen Bus zu nehmen, korrelert. 4 0

35 Würde statt dem blauen Bus en ndvdueller Tax-Servce engeführt, könnten sch de Wahrschenlchketsverhältnsse we folgt ändern (P ): Hausman Test der IIA Annahme: H 0 : IIA unproblematsch, ken Enfluss auf Schätzung : zu Fuß : roter Bus 3: blauer Bus 4: Taxservce P 0 P P 0,67 0,67 0,335 0,33 0,65 0,65-0, ,500 H : IIA führt zu nkonsstenten Schätzern Schätzer (alle Alternatven, J = 3) konsstent und effzent unter H 0 ncht konsstent unter H Summe zu Fuß : roter Bus,00 :,00 4:,00 : her: J = 3 => (J = ) k Parameter, geschätzt für N = N + N + N 3 Beobachtungen aller dre Alternatven. IIA problematsch? - ja nen Schätzer (reduzerte Zahl von Alternatven und Beobachtungen, J=, nur roter Bus und zu Fuß) 4 4 konsstent aber ncht effzent unter H 0 konsstent unter H her: J = => (J = ) k Parameter, geschätzt für N = N + N Beobachtungen von zwe Alternatven. Im Test werden nur de k Koeffzenten für das Wahrschenlchketsverhältns ( = ) ( = ) P y ln P y =β' x verglchen. Wald Test: ( ˆ ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) W = β β ' Var β Var β β β ~ χ K wobe ˆβ den Schätzer mt und ˆβ 3 den Schätzer mt 3 Alternatven repräsentert. K entsprcht der Anzahl der Stegungsparameter plus für de Konstante. Wenn H 0 verworfen: "rrelevante" Kategoren zusammenfassen andere Schätzverfahren lassen Korrelaton der Ausprägungen zu (MNProbt, Nested Logt)

36 4..5 Modfkatonen des MNL Modells Condtonal Logt Unterstellte Nutzenfunkton: statt U =β 'x +ε jetzt j j j U =α 'z +ε. j j j Bespel: Transportmttelwahl, z = (Pres, Komfort, Zet statt Merkmale des Indvduums). Koeffzenten ncht separat für jede Alternatve, sondern konstante enhetlche Gewchtungsfaktoren für Merkmale n der Nutzenfunkton (könnte auch z j berückschtgen). Jetzt z.b. j =,, 3 ( = ) = PU ( > U,U > U) P y 3 = P ( α 'z +ε > α 'z +ε, α 'z +ε > α 'z +ε 3 3) = P ( ε ε > α' ( z z ), ε ε > α' 3 ( z z 3 )) Ähnlch zum multnomalen Logt glt: ( = ) = ( α ) ( α j) j P y exp 'z exp 'z ( = ) = ( α ) ( α j) j P y exp 'z exp 'z ( = ) = ( α 3) ( α j) j P y 3 exp 'z exp 'z Lkelhoodfunkton wrd über den Parametervektor α maxmert: j d j L = P y = j für wenn y = j wobe d = j 0 für wenn y j De IIA Restrkton glt auch her, das Wahrschenlchketsverhältns wrd nur von den jewels zutreffenden Faktoren z j bestmmt. Unterschede zum MNL erklärende Varablen vareren über j statt Koeffzentenvektor für alle Alternatven j glech ("gleches Gewcht für gegebene Charakterstka") kene Normalserung über enen Koeffzentenvektor Grunddee ncht, Verhalten von vorherzusagen, sondern "mplzten Pres" von Charakterstkum k für de Gruppe der Alternatven zu bewerten. Vorzechen st nterpreterbar: 4 7 a) Margnaler Effekt von Charakterstkum m aus Alternatve k auf Wahrschenlchket von Alternatve j (j k) ( j) P y = z km = P y = j α P y = k m b) Margnaler Effekt von Charakterstkum m aus Alternatve k auf Wahrschenlchket von Alternatve k: ( k) P y = z km = P y = k α P y k m = 4 8

37 4..5. Mxed Logt Kombnert multnomalen und condtonal Logt U =α 'z +β 'x +ε j j j j Entschedung wrd von Charakterstka der Beobachtung und der Alternatve j beenflusst. Jetzt P( y k) = = J j= ' ( α +β k k ) ' ( α +β j j ) exp 'z x exp 'z x mt β = 0. Das Mxed Logt Modell wrd mest als condtonal logt Modell programmert, so dass: ( k) P y = = M= J J J ( ) exp α 'z + β D x k j jk j= exp α 'z + β ( D x ) m j jm m= j= wobe D jk als Dummy für beschrebt, ob k = j ( ja, 0 nen) und mt den ndvduellen Charakterstka x nteragert wrd. D x jk st für alle Beobachtungen 0, für de k j. De Koeffzenten β werden auf 0 normalsert. Ohne Berückschtgung der Parameter α ergbt sch en multnomales Logtmodell. Bespel: We geht man angeln und we lässt sch dese Wahl modelleren? Erklärende Varablen: ndvduelles Enkommen, Prese und Fangraten der Kategoren Fshng Mode Multnomal Choce: Data Summary Sub sample Averages y = y = y = 3 y = 4 All y Explanatory Varable Beach Per Prvate Charter Overall Income ($.000s per month) Prce beach ($) Prce per ($) Prce prvate ($) Prce charter ($) Catch rate beach Catch rate per Catch rate prvate Catch rate charter Sample probablty Observatons Es lassen sch alternatven-spezfsche, ndvduen-spezfsche und gemschte Modelle schätzen: 4 3

38 Fshng Mode Multnomal Choce: Logt Estmates Model type Regressor Type Coeffcent CL MNL Mxed Prce (P) Specfc α P Catch rate (C) Specfc α CR Intercept Invarant β 0 :Beach (Ref.) β 0 : Per β 03 : Prvate β 04 : Charter Income (I) Invarant β : Beach(Ref.) β : Per β 3 : Prvate β 4 : Charter ln L Pseudo-R MLE estmates are for condtonal logt (CL), multnomal logt (MNL), and mxed logt (Mxed) models. MNL and Mxed models are normalzed to base category beach. Im CL-Modell lassen sch de Vorzechen nterpreteren, α P < 0 bedeutet, dass ene Alternatve seltener gewählt wrd wenn hr Pres stegt. Umgekehrtes glt für de Fangrate mt α CR > 0. De anderen Koeffzenten können nur hnschtlch der Zusammenhänge von Wahrschenlchketsverhältnssen nterpretert werden. (Quelle: Cameron & Trved ) Multnomales Probt Modell Modell Annahmen des MNL und Condtonal Logt: ε j st unabhängg und dentsch extremwertvertelt. Des lässt kene Korrelaton der Fehlerterme zu und führt zum IIA Problem. Das multnomale Probt Modell modellert de möglchen Korrelatonen der Fehlerterme über de Alternatven j hnweg explzt. Be k = 3 Alternatven mt bspw. latentem Nutzen y k, der modellert werden kann mt V = X' β : k k Y U j j j = V +ε =β 'x +ε Y = V +ε Y = V +ε ε 0 σ σ σ 3 Ann.: ~N 0 ε, mt = σ σ σ 3 0 ε σ σ σ Man betrachtet weder: ( = ) = ( > > 3 ) P y P Y Y,Y Y = P V V > ε ε,v V > ε ε 3 3 = P V > η, V > η

39 wobe V = V V, V = V V 3 3 η = ε ε, η = ε ε 3 3 η 0 ~N, Ω η 3 0 σ +σ σ σ σ σ +σ 3 3 Ω= σ σ σ +σ σ +σ σ Des bedeutet, dass wr n desem Modell we auch m Fall des multnomalen Logt Modells nur Vergleche betrachten und ene Alternatve j zur Referenzgröße machen, mt β j = 0. V V 3 P( y = ) = f ( η, η 3) dη dη 3 d j lnl = d lnp j ( y = j ) L = P y = j j De Schätzung des multnomalen Probts st rechnersch aufwendg (Greene gbt als Verglechsgröße an: Sek. für MNL, 0 Mn. für MNP). Je mehr Alternatven, umso rechenaufwendger st das Verfahren. De Interpretaton erfolgt typscherwese über de Berechnung margnaler Effekte. j Der Betrag jeder Beobachtung zur Lkelhoodfunkton st: Modelle für geordnete abhängge Varablen 4.4. Allgemenes Bespele: Abhängge Varablen mt geordneten Kategoren: Wochenarbetszet: < 0 Std, 0-30, 30-40, > 40 Schulbldung: kene, Pflcht, Sekundär, Tertär Durch de Ordnung der abhänggen Varable n Kategoren steht Informaton zur Verfügung, de be ener Schätzung mt MNL oder MNP ncht genutzt wrd. Dese Verfahren snd her anwendbar. Auch en KQ Schätzer wäre anwendbar, würde aber kardnale Interpretaton unterstellen und we m lnearen Wahrschenlchketsmodell zu heteroskedastschen Fehlern führen Grundsätzlch gehen wr be ordnalen (= geordneten) abhänggen Varablen von ener unbeobachteten (= latenten) Varable (y) aus, von der nur ene begrenzte Zahl (J + ) von Ausprägungen beobachtet wrd: y =β 'x+ε. Wr defneren y = 0 wenn y = wenn y = wenn y = J wenn bzw. allgemen y 0 (Schwellenwert von y, her normalsert auf 0) 0 y < μ μ < y μ μ < J y 4 40

40 y = j für μ < y μ j j De Schwellenwert-Parameter μ j werden gemensam mt β geschätzt. Es fnden sch zwe äquvalente Darstellungen: Entweder es gbt J- Schwellenwerte, der erste st auf 0 normalsert und ene Konstante wrd mt geschätzt oder man schätzt J Schwellenwerte und berückschtgt kene Regressonskonstante (beachte: Wr betrachten J + Alternatven, da wr mt y = 0 anfangen). Bespel: Be 4 Alternatven (J+ = 4) snd 3 Parameter dentfzerbar. Entweder man schätzt 3 Schwellenwerte ohne Konstante, oder Schwellenwerte mt Konstante. m letzteren Fall wrd en Schwellenwert auf 0 gesetzt. ( = ) = ( β ) ( = ) = ( μ β ) ( β ) ( = ) = ( μ β ) ( μ β ) P y 0 F 'x P y F 'x F 'x Py F 'x F 'x... ( = ) = ( μ β ) Py J F 'x J Her enthält x ene Konstante. Um scherzugehen, dass wr nur postve Wahrschenlchketen erhalten, wrd unterstellt: 0 <μ <μ <... <μ. J Als Elemente der Lkelhoodfunkton erhalten wr: f (ε x ) y =0 y = y = y = Geordnetes Probt Modell Wenn wr für ε ene Normalvertelung unterstellen, erhalten wr das geordnete Probt-Modell. Wr ersetzen F durch Ф und defneren: β 'x μ β'x μ β 'x ε Z = wenn Y j n der Kategore j st Z = 0 wenn Y j ncht n der Kategore j st Je nach angenommener Vertelung für ε erhalten wr das geordnete Probt oder das geordnete Logt Schätzverfahren. Dabe werden ohne Konstante J - Schwellenwerte und K - Stegungsparameter geschätzt, also deutlch wenger Parameter als m Fall des multnomalen Logtschätzers: K ( J ). =,,..., N ndvduelle Beobachtungen, j =,,..., J Kategoren der abhänggen Varable (jetzt Zählung ab ). Es glt: PZ ( = ) = Φ j ( μ β'x j ) Φ( μ β 'x j ) und für de Lkelhoodfunkton:

41 N J = j= Zj j j L = Φ μ β'x Φ μ β'x N J = j= ( ) lnl = Z ln ' x ' x j Φ μ β Φ μ β j j Da de Hessematrx negatv defnt st, konvergert das Newton-Raphson Verfahren für den geordneten Probt Schätzer rasch zum globalen Maxmum der Lkelhood Funkton. Bem geordneten Probtschätzer stellen de geschätzten Koeffzenten ncht de margnalen Effekte dar. Dese werden we folgt abgeletet (z.b. J = 3): ( = ) = Φ( β ) = Φ( β ) P y 'x 'x ( = ) = Φ( μ β ) Φ( β ) P y 'x 'x ( = ) = Φ( μ β ) P y 3 'x dann k P y = = φ( β'x ) β = φ k ( β'x) βk x P y = x k P y = 3 x k ( 'x) ( 'x) =β φ β φ μ β k ( 'x) k =φ μ β β An den Glechungen für den margnalen Effekt kann man ablesen, dass m Fall enes postven Koeffzenten β k be enem Ansteg von x k de Wahrschenlchket von: P y = fällt, da das Vorzechen des margnalen Effekts umgekehrt zum Vorzechen von β k st, Py= 3 stegt, da das Vorzechen des marg. Effektes mt dem von β k überenstmmt, Py= sch n unbestmmte Rchtung ändert. Allgemen lässt sch de Rchtung der margnalen Effekte (auch be J > 3) nur für de Randkategoren drekt aus den Schätzwerten ablesen. f(ε x ) μ Wenn β > 0 und Δ x > 0 Rechtsverschebung der Kurve: Wahrschenlchket für Ausprägung 0 snkt, für Ausprägung stegt, für Ausprägung abhängg vom Enzelfall. ε

42 Über das Konzept der kompenserenden Varaton lässt sch der relatve Enfluss verschedener erklärender Varablen deutlch machen. Man betrachtet de Änderung ener Varablen x, de erforderlch st, um ene Änderung n x auszuglechen, so dass Δ y = 0. Des erfordert Δx β βδ x =βδx = Δx β Bespel: Wenn y de unbeobachtete Lebenszufredenhet darstellt, x das Enkommen und x das Alter messen und sowohl Alter we Enkommen postv mt der Lebenszufredenhet korreleren, dann gbt β / β an, we stark das Enkommen stegen müsste, um den Zufredenhetseffekt enes weteren Altersjahres zu errechen Geordnetes Logt Modell Wenn wr für ε ene logstsche Vertelungsfunkton unterstellen, erhalten wr das geordnete Logt Modell. Her glt: ( = ) = + ( ( μ β )) ( = ) = { [ + ( ( μ β j )) ]} { [ + ( μ β j ) Py / exp x' ]} P y j / exp x' / exp x' { } ( = ) = + ( ( μ β J )) P y J / exp x' Damt kene negatven Wahrschenlchketen resulteren, müssen de Schwellenwerte weder de Bedngung μ < μ <... < μ erfüllen. J De Lkelhoodfunkton wrd bestmmt we m Fall des geordneten Probtmodells. Bespel: Jobkategoren von Bankangestellten (Textsammlung) De abhängge Varable kann nach Enkommen geordnet werden: Haus & Technk < Verwaltung < Management. Wr betrachten de Schätzergebnsse enes geordneten Logt-Modells: Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. EDUC MINORITY LIMIT_:C(3) LIMIT_3:C(4) Log lkelhood Akake nfo crteron.04 Restr. log lkelhood Schwarz crteron.0963 LR statstc (df) 0.04 Probablty (LR stat) We erwartet, st das Vorzechen von Bldung postv, das für Mnderheten negatv; bede snd sgnfkant von Null verscheden. Der LR-Test west auf Gesamtsgnfkanz des Modells hn. Be Schätzung enes geordneten Probtmodells snd de Ergebnsse ähnlch:

43 Varable Coeffcent Std. Error z-statstc Prob. EDUC MINORITY LIMIT_:C(3) LIMIT_3:C(4) Log lkelhood -3.0 Akake nfo crteron.048 Restr. log lkelhood Schwarz crteron.03 LR statstc (df) 00.7 Probablty (LR stat) Es lässt sch zegen, we stark ene Erhöhung der Bldung um 4 Jahre de Vertelung der abhängg'en Varable verändert: y = β' x + ε, unterstellt, σ =, verschebt sch y um 4 0,479 nach rechts. Ene kompenserende Varaton der Bldung, de ausrecht, den Nachtel aus dem Mnderhetenstatus auszuglechen, beträgt mndestens en Jahr, bzw. genau 0,509 =,063 Jahre. 0,479 Vertelung für Non-Mnortes mt und 6 Jahren Schulbldung: (Quelle: Hej et al., 004, 6.5 S.477ff) Allgemene Anmerkungen De Lkelhoodfunkton für das geordnete Logt- und das geordnete Probtmodell st global konkav. De Schätzergebnsse beder Verfahren snd typscherwese sehr ähnlch. Bem geordneten Probt wrd ene Standardnormalvertelung für den Fehlerterm unterstellt. Wäre de Fehlervaranz n Wahrhet 4 statt, so wären de wahren Parameter doppelt so groß we de geschätzten, da von ener Standardabwechung für ε von ausgegangen wrd; nur βσ st dentfzert. Ene Normerung für Logt und Probt Modelle besteht darn, dass entweder ene Regressonskonstante geschätzt und µ = 0 gesetzt wrd, oder kene 4 55 Regressonskonstante berückschtgt wrd und µ fre geschätzt wrd (STATA schätzt ohne Konstante). Voraussetzung snnvoller Anwendung der Verfahren st, dass de Ausprägungen der abhänggen Varablen ene natürlche Ordnung bestzen. Wendet man das Modell für ncht geordnete Zusammenhänge an, so snd de Parameter verzerrt und nkonsstent. Man kann ungeordnete Schätzverfahren für geordnete abhängge Varablen anwenden. Des st neffzent, aber konsstent, und m Zwefelsfall de konservatvere Vorgehenswese. De margnalen Effekte n geordneten Modellen lassen sch allgemen darstellen als: 4 56

44 ( j) P y = = =β ( μ β) ( μ β + ) x ME x f x f x jk k j j k Daraus folgt, dass n desen Modellen de relatven Größen der margnalen Effekte verschedener erklärender Varablen über alle Ausprägungskategoren glech groß snd: ME ME ( x ) ( x ) β = β jk k jm m Damt st ausgeschlossen, dass de relatve Bedeutung ener erklärenden Varablen für unterschedlche Ordungskategoren unterschedlch ausfällt. entweder erst negatv dann postv snd oder umgekehrt. En weterer Vorzechenwechsel st ncht möglch. Dese Restrktonen können durch flexblere Modelle umgangen werden. Herzu zählen MNL und MNP Modelle, sowe Verallgemenerte Schwellenwert Modelle (Generalzed Threshold Models), de de Schwellenwerte μ als lneare Funktonen der erklärenden Varablen modelleren: μ j =μ j + x γ und den Vektor γ mt schätzen. Ene wetere Restrkton der Modelle legt darn, dass bem Übergang von den unteren zu den oberen Ordnungskategoren de margnalen Effekte Zum Schluß: Praxsrelevanz von Verfahren für multvarate und ordnale abhängge Varablen große Bedeutung m Berech der Produktnachfrageforschung, z.b. Joghurt-Sorten-Nachfrage mt Konsumentendaten erforscht sehr flexble Modellerung der abhänggen kategorschen Varablen Neuentwcklungen be Verwendung von verzögerten abhänggen Varablen auf der rechten Sete. Neue Interpretatonsdmenson "state dependence" m Snne von bspw. "macht Transferbezug abhängg?" Modelle auch wchtg be Smulatonsrechnungen für Arbetsangebotswrkungen von Reformen, z.b. "erhöht Abschaffung des Ehegattensplttngs de Erwerbsnegung verherateter Frauen?"

45 Lteratur: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroceconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel 5 Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroceconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel 5 Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel 7.. Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel 5, 6. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

46 5. Tobtmodelle 5. Enführung 5. Gestutzte Daten 5.3 Zenserte Daten 5. Enführung Gestutzte Vertelung ("truncated dstrbuton"): Der Tel ener ncht gestutzten Vertelung, der oberhalb enes unteren (US) oder unterhalb enes oberen Schwellenwertes (OS) legt. Bespele: - Vertelung der Klausurnoten derjengen, de bestanden haben - Enkommensvertelung derjengen, de wenger verdenen als der Medan - Arbetsangebot am Fabrktor erfragt - kene 0 Werte. 5- Grafsch: OS US Zenserte Vertelung ("censored dstrbuton"): Beobachtungen jensets des Schwellenwertes werden dem Schwellenwert zugewesen. Bespele: - Nachfrage nach Entrttskarten wenn Veranstaltung ausverkauft - "Top codng" n Umfragen, z.b. obere Grenze des ausgewesenen Vermögens 5 Mo für alle mt 5 Mo. Grafsch: OS US Zenserte Beobachtungen stehen für de Analyse zur Verfügung, "gestutzte" ncht. - Ausgaben für langlebge Konsumgüter: unterhalb enes Mndestpreses beträgt der Wert

47 5. Gestutzte Daten 5.. Allgemenes zur gestutzten Vertelung De Dchtefunkton der am Schwellenwert A von unten gestutzten Zufallsvarable y lautet f( y y > A) = f( y) Pr( y > A). Be normalvertelter Zufallsvarable y, y~n (, ) ( ) Pr y > A = Φ A μ σ = Φ α und ( > ) = Φ( α) Φ ( α ) f y y A f y y μ φ σ σ = > f y μσ mt A μ α= σ folgt: φ ( y) = exp y π y Φ ( y) = exp t dt π wenn y~n( 0, ) wenn y~n( 0, ) De Dchtefunkton für gestutzte Zufallsvarable unterschedet sch von der für ungestutzte Zufallsvarable durch den Korrekturfaktor m Nenner. φ und Φ snd Dchte- und kumulatve Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung. Der Erwartungswert von y stegt, wenn y von unten gestutzt wrd und fällt, wenn y von oben gestutzt wrd. Stutzen reduzert de Varanz von y. wobe Theorem: Für y~n (, ) E( y gestutzt ) =μ+σ λ( α ) μ σ und be konstantem Schwellenwert A glt: =σ ( δ( α )) Var y gestutzt wobe: α= ( A μ) σ und λ( α ) = φ( α) Φ( α) λ( α ) = φ( α) Φ( α), wenn von unten gestutzt und y > A,, wenn von oben gestutzt und y < A., für alle α mt δα =λα λα α 0 < δ α <. 5.. Regresson auf gestutzte abhängge Varablen Modell: y =β 'x +ε, ε ~N 0, σ => y ~N β'x, σ Be Stutzung von unten beobachten wr nur y > A = ( > ) = Pr ( β 'x +ε > A ) = Pr ( ε > A β 'x ) = Pr( ε σ ( A β'x) σ ) = Φ( ( A β'x) σ ) = Φ( α ) = Φ( α ) Pr y beobachtet Pr y A A β'x mt α= σ

48 A β'x φ σ E ( y y > A ) =β 'x + σ A β'x Φ σ =β 'x +σ λ α ( ) ( ) Var y y A > = σ δ α < Var ( y ) Im Verglech zum ungestutzten Modell verscheben sch Erwartungswert und Varanz (s. Theorem). Margnale Effekte auf de ungestutzte (latente) abhängge Varable: E y x = β j j Margnale Effekte auf de gestutzte (beobachtete) abhängge Varable: { } E y y > A x = β 'x +σ λ α x j j λ =β +σ j α α x j ( ) φα Φ α β j =β +σ j α σ j =β +σ λ α +λ j ( ) =β λ +α λ j ( ) =β λ λ α j β σ φ α Hnwes: α j ( ) =β δ α ; / =φ α α λ α =φ α Φ α. Da für alle α glt 0 <δ( α ) <, st der margnale Effekt be Stutzung klener als ohne Stutzung. Der margnale Effekt wrd für de Stchprobe berechnet, muss daher um den Effekt der Stutzung korrgert werden. Der Koeffzent β wrd für de Bevölkerung geschätzt, ene Korrektur st ncht erforderlch KQ-Schätzung gestutzter abhängger Varablen Grafsch (Stutzung von oben): y Formal : Ungestutzt y =β 'x +ε, ε ~N ( 0, σ ) E( y ) =β 'x wahr Verzerrte Schätzung Gestutzt E( y ) =β 'x +σ λ( α ) x 5-5-

49 ... erforderlche Schätzglechung be Schätzung mt KQ:: y A β'x =β 'x +σ λ( α ) +ε mt α= σ Wenn nur auf β x regressert: (a) Verzerrung wegen ausgelassener Varablen ( ε < ) = ( ε β +ε < ) E y A E 'x A = E ε ε < A β'x Schätzung mt Maxmum Lkelhood Modell: y =β 'x +ε wenn y > A y = unbeobachtet sonst mt y als unbeobachteter, latenter Varable N ( ) L = f y y > A = da E(ε ) = g(x ) folgt E(ε x ) 0 (b) heteroskedastsche Fehler. 5-3 mt y β'x φ σ σ f( y y > A ) = A β'x Φ σ 5-4 folgt: L = N y β'x exp σ σ π A β'x = σ φ z dz N N N A β'x lnl = ( lnπ+ lnσ ) ( y ' x ) ln β Φ σ = = σ Bespel : Hausman & Wse, 977, Econometrca 45(4), Daten aus "negatve ncome tax experment" für Personen mt Enkommen von bs zum,5-fachen der Armutsgrenze. Gesucht snd konsstente Schätzer der Effekte von Ausbldung und Intellgenz auf das logarthmerte Burttoenkommen des Vorjahres Stchprobe: Männlche Haushaltsvorstände (N=684). Schätzergebnsse: Der letzte Term korrgert für de Stutzung. Ergbt konsstente und asymptotsch effzente Schätzer, solange ε ~N 0, σ

50 Least Squares Maxmum Lkelhood Rato Varable Estmate (S.E.) Estmate (S.E.) ML LS Constant (0.09) (0.06) Educaton (0.006) (0.007) IQ (0.00) (0.005) Tranng (0.00) (0.003) Unon (0.03) (0.089) Illness (0.038) (0.07) Age Lnear (0.00) (0.005) R = x (676) = Bespel (Textsammlung, Handout): Hej et al., Bespel 6.6, S Zenserte Daten 5.3. Zur zenserten Vertelung Nutzt das Konzept latenter Varablen: y = Betrag, den für Gut y ausgeben möchte. dann: E( y) =Φ( α) A + Φ ( α) ( μ+σλ) und: Var ( y) =σ Φ( α) ( δ ) + ( α λ) Φ( α) wobe: α= ( A μ) σ Φ( α ) = P( y A) λ=φ( α) Φ( α) δ=λ λ α { } Beobachtet wrd y : y y = A falls = y falls y y A (A = untere Schwelle z.b. nedrgster Pres, typsch A=0) > A Theorem: Wenn y ~N ( μσ, ) und A wenn y A und y = y sonst

51 5.3. Regresson auf zenserte Daten "Tobt Modell" Modell: y 'x, =β +ε ε ~N( 0, σ ) y = 0 für y 0 3 möglche Formulerungen für Erwartungswerte:. Erwartungswert der unzenserten latenten Varable: E( y ) Weng nteressant, da y nur zensert beobachtbar. =β 'x. y Alternatven: = y für y > 0 Konstante A nmmt Schwellenwert statt 0 an. Hat kenen Enfluss auf de Schätzung, wrd n der Regressonskonstanten aufgefangen. Indvduelle Schwellenwerte A. Wenn de Werte bekannt snd, st des modellerbar, z.b. als A = α x. Zenserung von oben. 5-. Erwartungswert der gestutzten Vertelung ( > ) =β + ( ε ε > β ) E y y 0 'x E 0 'x 'x ( 'x σ ) ( σ) φ β =β +σ Φ β'x 'x ( 'x / σ ) ( 'x / σ) φ β =β +σ Φβ =β 'x +σ λ ( ) 5-. Erwartungswert der gesamten Bevölkerung, d.h. Erwartungswert der zenserten Vertelung: E y = E y y > 0 P y > Be Schwellenwert A = 0 glt ( ) ( ) = ( > ) ( > ) + ( = ) ( ) E y P y 0 E y y 0 P y 0 E y y 0 β'x β'x ( 'x ) 0 σ σ =Φ β +σ λ + Φ Der Erwartungswert der gesamten Bevölkerung st das Produkt der Wahrschenlchket, unzensert zu sen und des Erwartungswertes der gestutzten Vertelung (solange A = 0). Daher lässt sch aus ( ) durch Multplkaton für unseren Fall ableten: bzw. genauer: =β'x Φ +σ φ E y β'x β'x σ σ 5-3 Welcher Erwartungswert relevant st, varert mt der Fragestellung. Bespel: Nachfrage nach Entrttskarten wegen Platzbegrenzung nur von E y y < A, für oben zensert messbar. Für den Veranstalter ausrechend: ( ) Stadonplaner von Interesse: E( y ). Bespel: Wenn de be 0 zenserte Varable gearbetete Stunden betrachtet wrd, dann st Erwartungswert () de gewünschte Anzahl Arbetsstunden, () de Arbetszet der erwerbstätgen Bevölkerung und () de Arbetszet für erwerbstätge und nchterwerbstätge Personen. 5-4

52 3 möglche margnale Effekte: () Margnaler Effekt auf de latente Varable: E y x = β j j () Margnaler Effekt auf de gestutzte Vertelung von y: ( ) j j ( ) j( ) E y y > 0 x =β λ +α λ =β δ α () Margnaler Effekt auf ene Zufallszehung aus der gesamten Bevölkerung, bezehungswese auf de zenserte Varable: Da E( y ) P( y ) 0 E y y 0 = > > (be Schwellenwert von 0): E y x = Pr y > 0 E y y > 0 x + E y y > 0 Pr y > 0 x j j j Zwetelg, da ene Änderung n x j sowohl enen Effekt auf den Erwartungswert als auch auf de Wahrschenlchket der Beobachtung hat. Es lässt sch zegen, dass E( y ) / x ( 'x / ) j j = β Φ β σ, so dass der margnale Effekt von x j sowohl vom Koeffzenten β j abhängt als auch von der Wahrschenlchket, ncht zensert zu sen (Theorem 4.4, Greene 6.A., S. 873) Schätzung zenserter abhängger Varablen mttels KQ Graphsch (Zensert von unten be 0) Möglchketen für KQ-Schätzer, mt und ohne zenserte Beobachtungen: () Berückschtgung nur von Beobachtungen oberhalb des Schwellenwertes: ergbt verzerrte und nkonsstente Schätzer, da E ε 0, Daten snd y zensert y wahr KQ mt 0 Werten x gestutzt. () Berückschtgung auch der zenserten Beobachtungen. Graphk macht Verzerrung deutlch. Für A = 0: =Φ( α) [ β 'x +σ λ ] E y =Φ α β +Φ α σ λ 'x Da Φ(α) n der KQ Schätzung ncht berückschtgt wrd, st KQ nkonsstent. Je größer der Antel der zenserten Beobachtungen, umso verzerrter st der Schätzer

53 5.3.4 Schätzung mttels Maxmum Lkelhood Index: für y > 0 N ncht zenserte Beobachtungen D = 0 für y 0 N zenserte Beobachtungen 0 da ( y β'x ) y β'x φ = exp ergbt sch: σ σ πσ σ lnl ln ln ln ( y β'x ) N0 N = Φ ( π ) + σ + = = σ Lkelhoodfunkton beschrebt exakt was wr beobachten: D D N 0 β'x y β'x L = Φ φ = σ σ σ Der ML Schätzer st konsstent, asymptotsch normal vertelt, und asymptotsch effzent wenn ε ~N. Enfluss zenserter Enfluss ncht zenserter Beobachtungen Beobachtungen Egenschaften des ML Tobt unter ncht-dealen Bedngungen Be Heteroskedaste wrd der Schätzer nkonsstent. LM Test: Schätzen unter der Annahme von Homoskedaste (H 0 ), komplzerte Schätzung be möglcher Heteroskedaste ncht erforderlch. LR Test, erfordert Schätzung unter Annahme von Homo- we Heteroskedaste. Ene typsche Modellerung von Heteroskedaste st z.b. ( 'x ) σ = σ exp α. Dann wrd getestet: H : α = 0. 0 Fragestellung: Schern sch Frauen gegen das Rsko der Eheschedung durch höheres Arbetsangebot ab? Abhängge Varable: Pro Jahr gearbetete Stundenzahl, be 0 zensert für 7 Prozent der weßen und 54 Prozent der schwarzen Frauen. Für jede Frau wurde de Schedungswahrschenlchket vorhergesagt und n 3 Indkatorvarablen (low, mean, hgh) kodert. Ergebnsse der Tobtschätzung: Ncht normalvertelte ε führen zu nkonsstenten Schätzern. Bespel : Greene, 5.A., Bespel.4 (Handout, Textsammlung)

54 Whte Wves Black Wves Least Coeff. M.E. Coeff. M.E. Squares Constant (-8.64) (-9.68) Small kds (-9.78) (-0.4) Educaton dfference (-4.77) (.96) Relatve wage (5.7) (3.3) Second marrage (3.47) (0.4) Mean dvorce probablty (6.5) (5.8) Hgh dvorce probablty (8.40) (5.33) σ Sample sze Proporton workng Hohes Schedungsrsko schent mt hohem Arbetsangebot assozert zu sen. Her ergbt sch Korrelaton aber kene Kausaltät, de Wrkungsrchtung könnte auch umgekehrt sen. Interpreterbar snd Vorzechen und Sgnfkanz der Koeffzenten sowe de Stärke der margnalen Effekte. Bespel : Hej et al., Bespel 6.7 (Handout, Textsammlung) Schlussbemerkungen: Tobt Modell Vele besondere Verwendungen: Zwefach zenserter Tobt y Modell: y U y y =β 'x +ε ε ~N ( 0, σ ) O y y für y < y y y für y y y U U U O = O O y für y > y 5-35 U O y β'x y β'x y 'x β L = Φ φ Φ σ σ σ σ y y U y U y y O y y O < > Multvarates Tobt Modell Modell: y =β 'x + u u,u ~N 0, Σ y =β 'x + u y falls y > 0 = 0 falls y 0 y y falls y > 0 = falls y 0 σ σ Σ= σ σ z.b. Erwerbsbetelgung z.b. Lohn wenn beschäftgt 5-36

55 ( ) ( ) y y L = P y 0 f y y > 0 P y > 0 Panel Tobt (Random Effect) Durch das ncdental parameter problem würde en standard fxed effects Tobt Modell nkonsstent. Daher fndet man typscherwese random effects Ansätze: Modell: y y =β 'x +α +ε t t t t = y falls t y = 0 falls t y > 0 t y 0 t Wenn α und ε t..d. normalvertelt snd mt α ~N( 0, σ α ) und ε ~N( 0, σ t ε ) wobe L y,...,y x,...,x, β = f y x, α, β f α dα T T t t t ( y β'x α) > f( y x, αβ, t t ) = β 'x +α Φ = σε und t t exp falls y 0 t πσ σ ε ε α f( α ) = πσ t falls y 0 t exp σ α α lautet der Betrag von zur Lkelhoodfunkton: Grundsätzlche Bemerkungen Ene zenserte abhängge Varable st ncht vollständg beobachtbar. Im Gegensatz zum gestutzten Modell legen erklärende Varablen für alle Beobachtungen vor. Wchtg, alle vorlegenden Informatonen zu nutzen, 0/ ebenso we stetge Ausprägungen. Entsprechend hat de Lkelhoodfunkton zwe Tele, enen Probttel und enen KQ-Tel. Restrkton: Bede Tele werden von den glechen β 'x bestmmt. Des st ncht mmer plausbel, da de 0/ Entschedung andere Determnanten (mt anderen Koeffzenten) haben kann als de zahlenmäßge Ausprägung (Bespel: Arbetsstunden, Löhne, Ausgaben) Solche Zusammenhänge zwschen ener dskreten 0/ Varablen und ener stetgen Varablen lassen sch auch allgemener schätzen (s. Kaptel 6). Darüber hnaus st de Hypothese dentscher Parameter grundsätzlch testbar. z.b.: ( y β 'x ) β 'x lnl = ln Φ + ln π + lnσ + y= 0 y> 0 σ σ H : β = β ; σ = σ 0 H:β β und/oder σ σ (Vgl. Greene 003,.3.4.b) 5-40

56 Zum Schluß: Praxsrelevanz von Tobtmodellen - zensert vertelte abhängge Varablen kommen häufg vor, bspw. fragen vele Erhebungen Beträge nur bs zu ener Obergrenze ab, auch admnstratve Datensätze sammeln Informaton nur bs zu wllkürlchen Bemessungsgrenzen. - Anwendungen häufg für abhängge Varablen n Form von Antelen, bspw. m Berech der Innovatonsökonome - Verständns hlfrech n Bezug auf Stchprobenselektonsverfahren, de n der Arbetsmarktökonome entwckelt wurden, aber n allen Themenberechen Anwendung fnden Lteratur: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroeconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel 6 Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroeconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel 6 Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel 7., 7.. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

57 6. Selektonsmodelle 6. Enführung 6. Formales Gesamtmodell 6.3 Schätzansätze 6. Enführung 3 Fälle von Stchprobenselekton Fall : Zufällge Auswahl aus der Grundgesamthet - st problemlos Fall : Auswahl auf Bass enes exogenen Krterums Fall 3: Auswahl auf Bass enes endogenen Krterums Bespele für Fall 3: (a) Y = Verdenst, Auswahl: Nur Arbetnehmer (b) Y = Anzahl von Arztbesuchen, Auswahl: Personen n Wartezmmern. (c) Y = Bewertung ener Lehrveranstaltung, Auswahl: Telnehmer am Ende des Semesters. 6- Konsequenz: Stchprobe unterschedet sch von Bevölkerung, Auswahlkrterum potentell korrelert mt der Fragestellung. Des zegt, dass Selekton auf Bass von n x enthaltenen Merkmalen unproblematsch st. "At the general level, we can say that selecton bas arses f the probablty of a partcular observaton to be ncluded n the sample depends upon the phenomenon we are explanng." (Verbeek, 3.A., S. 49) Man sprcht von gnorerbarer Selekton (gnorable selecton), wenn de auf de Selekton bedngte Vertelung sch von der unbedngten Vertelung der abhänggen Varable ncht unterschedet: f y x, Auswahl = = f y x bzw. wenn ( = ) = E y x, Auswahl E y x. 6-3 Bespel: Marktlohn W = X β +ε m Reservatonslohn W = X β +ε r Beobachteter Lohn W W = 0 wenn W > W (Lohn unbeobachtet) r m W = W wenn W W m r m (Lohn beobachtet) Wahrschenlchket, Lohn zu beobachten: ( > ) = ( ) P W 0 P W W r m 6-4

58 = P( X β +ε X β +ε ) = P( X ( β β ) ε ε ), Ann.: ( ) ( ) = P( [ X ( β β ) / σ] [( ε ε ) / σ ] ) = Φ ( Z ) Ann.: Z = X( β β ) σ und m = ( ε ε ) σ ~N( 0,) Werden nur Erwerbstätge beobachtet, so glt: E W W > 0 = X β + E ε W > 0 ( m ) ( ) Var ε ε =σ, E ε ε = 0 EXKURS: Egenschaften der gestutzten Vertelung Allgemenster Fall: ( μσ ) x~n, : A μ B μ ( σ ) φ( σ ) μ μ ( σ ) Φ( σ ) φ E( x A < x < B ) = μ+σ B A Φ Wenn B =, d.h. kene obere Stutzung: ( A) E x x A μ ( σ ) μ ( σ ) φ > = μ+σ Φ A EXKURSENDE Rechtsverschebung des Erwartungswertes: ( ) E W W > 0 = X β + E ε ε ε σ Z m ( ) ( Z) = X β + E ε m Z = Xβ +σ φ Z Φ Z m = X β +σ λ m wobe σ = Kovaranz von ε m und m, σ = und m ( ) Be Stutzung von unten λ ( Z) = φ ( Z) ( Φ( Z) ) Be Stutzung von oben λ ( Z) = φ( Z) Φ( Z) E ε = 0. Im Untersched zur gestutzten Regresson hat de Stutzungsbedngung m Bespel mt ε en zwetes stochastsches Element. Se st auch wegen Z ncht konstant, sondern varert über. Schätzglechung für W 0 W = X β +σ λ Z + v : m m 6-7 v st en normalvertelter Zufallsstörterm Problem : λ ( Z ) ncht beobachtet, Schätzung ohne Korrektur verzerrt. Problem : Durch de Auswrkung des Selektonsmechansmus st Var ( v ) heteroskedastsch, de Schätzung st neffzent. Untersched zu gestutzten / zenserten Modellen: Schwellenwert W r varert über W r st ncht beobachtbar Beobachtbarket von W m st abhängg vom Verhältns zwschen W m und W r. Unterschedlche Prozesse bestmmen Beobachtbarket und Ausprägung. 6-8

59 6. Formales Gesamtmodell Selektonsmechansmus: Z W u = γ+ Ann. u~n( 0, ) mt Z = für Z > 0 (Beobachtung n Stchprobe) Z = 0 für Z 0 (Beobachtung ncht n Stchprobe) ( ) ( ) = Pu ( > Wγ ) =Φ( W γ ) = Φ( W γ ) ( = ) = Φ( γ ) = Φ( γ ) P Z = = P Z > 0 P Z 0 W W 6-9 Regressonsmodell: ( ε ) Y = X β+ε, ε ~ N 0, σ, Y stetg Für Indvduen mt Z = 0: Y unbeobachtet Für Indvduen mt Z = : Y beobachtet cov u,ε = σ u σ ~N 0, ε σ σ ε ( = ) = β+σ φ ( γ ) ( Φ( γ )) E Y Z X W W = X β+σ λ λ = "nverse Mll's Rato" 6-0 Hnwes: φ ( W γ ) = φ ( W γ ) und Φ( W γ ) =Φ( W γ ) 6.3 Schätzansätze De Selektonsverzerrung ergbt sch durch de Kovaranz σ zwschen u und ε, d.h. zwschen den unbeobachteten Determnanten von Z und Y. Wenn cov u, ε = σ = 0, st de Selekton unproblematsch und führt ncht zu Verzerrung. Der Selektonsmechansmus hat dann kene Auswrkung auf das geschätzte Modell. Da allgemen glt: corr ( x,y) x cov x, y ρ = = xy σσ y, fnden sch als äquvalente Regressonsmodell: Y = X β+σ λ +μ Problem : λ ( Z ) ncht beobachtet Problem : Var ( μ ) st heteroskedastsch. Es kann gezegt werden, dass Var ( μ ) = σ [ ( W γ) λ +λ ] ε Darstellungen: E Y Z = = x β+σ λ = β+ρ σ λ x u, ε ε 6-6-

60 6.3. Heckman's zwestufger Schätzer Schrtt : Probtschätzung von Z ergbt ˆγ damt lässt sch für jedes ˆλ berechnen: ( W ˆ ) ( ˆ) ( W ˆ) ( ˆ) φ γ φ γ λ= ˆ = Φ W γ Φ W γ auf deser Bass lässt sch en FGLS Faktor zur Korrektur des Heteroskedasteproblems bestmmen: Ω ˆ = W γˆ λ ˆ +λ ˆ ( ) Vor der KQ Schätzung von Y werden de Daten mt Hlfe deses Faktors korrgert Schrtt : KQ Schätzung von Y X λˆ = β+σ +μ Ωˆ Ωˆ Ωˆ Indkator für Selektvtät Da jetzt für de ausgelassene Varable kontrollert wrd, st der Schätzer kon- cov u, 0 Eu, μ = 0. De Störterme der sstent. Obwohl ( ε ) =σ, glt jetzt ( ) Probt und KQ-Glechung snd ncht mehr korrelert. Falls ˆσ sgnfkant von 0 verscheden st, war de Selektonskorrektur erforderlch. Ohne de Kontrolle für σλ wären de Ergebnsse dann verzerrt gewesen Es bleben verschedene Probleme be desem Verfahren: () Konsstente KQ-Schätzer ergeben sch nur, wenn de Störterme tatsächlch normalvertelt snd. De Vertelungsannahmen haben enen großen Enfluss auf das Schätzergebns. () Identfkatonsproblem: De Ergebnsse snd umso verlässlcher, je mehr Varablen m Vektor W das Z bestmmen, ohne enen Enfluss auf Y zu haben ("excluson restrctons"): β = 0 für Elemente von W. schwanken. Da λ ene nchtlneare Funkton von X st, ergbt sch be Berückschtgung von λ ggf. Multkollneartät. Deses Problem exstert mmer, wenn Zweglechungsmodelle geschätzt werden. (3) En weteres Problem besteht häufg darn, dass de erklärenden Varablen W des Probt auch für dejengen Beobachtungen vorlegen müssen, für de Y ncht beobachtet st. Theoretsch st das Modell durch de Nchtlneartät von λ dentfzert. Es hat sch jedoch gezegt, dass Modelle mt großer Überlappung der Varablen n X und W schwerer zu schätzen snd und dass de Ergebnsse n desen Fällen stark mt der Spezfzerung der Vektoren X und W

61 6.3. Der enstufge Maxmum Lkelhood Schätzer Modell Selekton: Z = Wγ+ u mt Z = für Z > 0 (Beobachtung n Stchprobe) Z = 0 für Z 0 (Beobachtung ncht n Stchprobe) Regresson: Y = X β+ε für Z > 0 Y = unbeobachtet für Z 0 Ann.: u σ ~N 0, ε σ σ ε 6-7 Lkelhoodfunkton: Es lässt sch zegen, dass ( ) ( ) ( ) L = P Z 0 P Z > 0 f Y Z > 0 Z= 0 Z= P Z > 0 f Y Z > 0 = P Z > 0 Y f Y, daher σ W γ+ ( Y X β) σ Y X β ε = ( Φ( γ )) Φ φ Z= 0 Z= σ σ σ ε ε σ ε L W L wrd maxmert über βγσσ.,,, ε f( Y ) 6-8 De Lkelhoodfunkton besteht aus dre Telen: () für mt Z = der Wahrschenlchket, dass genau deses y beobachtet wurde () für mt Z = der bedngten Wahrschenlchket, dass Z = beobachtet wrd (3) für mt Z = 0 der Wahrschenlchket, dass Z = 0 beobachtet wrd. Der Maxmum Lkelhood Schätzer st asymptotsch effzent (ken Heteroskedasteproblem) und konsstent, wenn de Annahmen erfüllt snd, dass de Störterme der beden Prozesse ener bvaraten Normalvertelung folgen. Ene Schwäche des häufg verwendeten -stufgen Heckman Verfahrens legt n der Abhänggket der Ergebnsse von der konkreten Spezfkaton des Modells. Oft fndet man kene überzeugenden Ausschlussrestrktonen (W enthält Varablen, de ncht n X vorkommen), um de Identfkaton der beden Glechungen zu verbessern. Selbst wenn das Modell über Ausschlussrestrktonen dentfzert st, snd de Ergebnsse oft extrem schwankend. Je besser de von Y unabhängge Identfkaton der Probtglechung, umso robuster sollten de Schätzergebnsse auf der zweten Stufe sen. Manche Autoren empfehlen daher, das -stufge Verfahren nur als Test auf de Exstenz von Selektonsverzerrung zu verwenden. Wenn das nverse Mll's Rato enen statstsch sgnfkanten Koeffzenten hat, dann legt Selek

62 tonsverzerrung vor und es sollte möglchst das enstufge ML Verfahren genutzt werden. De Heteroskedastekorrektur m -stufgen Verfahren wrd ncht standardmäßg angewendet. Wrd se ncht verwendet, so snd de Ergebnsse neffzent. Bede Verfahren snd nur dann konsstent, wenn de Fehler bvarat normalvertelt snd. Bespel: Der Klassker: Löhne verherateter Frauen (Handout) Gesucht snd de Determnanten der Löhne von verherateten Frauen, aber nur ene ncht-zufällge Auswahl von Frauen st erwerbstätg. Her: Daten der Panel Study of Income Dynamcs: 6- Varable LFP-Probt Wage-OLS Constant (0.070) (0.036) Educaton < hgh school (0.053) (0.03) Some college (0.04) (0.00) College graduate (0.046) (0.0) Northeast (0.05) (0.05) South (0.04) (0.0) West (0.05) (0.05) Year, (0.046) (0.04) Year, (0.038) (0.08) Age < (0.04) (0.08) Age (0.046) (0.00) Age > (0.077) (0.035) Black (0.04) (0.09) Chld < age (0.045) Chld age (0.049) Famly sze (0.08) Husband's ncome (0.00) Lambda (0.03) Sample sze 7,64 3,947 Log L/R (adj) -4, Mean ln (wage) -.96 Standard errors n parentheses;, statstcally sgnfcant at 5, 0 percent level Bespel: Hej et al., Bsp. 6.7 (Textsammlung) Zum Schluß: Praxsrelevanz und Verwendbarket von Selektonsmodellen - Zentral: Sensblserung für Problematk endogener Selekton - Gedanklche Überprüfung deser Zusammenhänge sollte jeder emprschen Untersuchung vorausgehen. Wchtger Aspekt m krtschen Umgang mt emprschen Studen, ob se nun aus der Managementforschung, aus der Marktforschung, aus der Sozal- oder ökonomschen Wrtschaftsforschung stammen - Schon Lehrevaluatonen können durch Selektonsmechansmen zu grotesk verzerrten Ergebnssen führen

63 Lteratur: Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroeconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel 6, 4.3, 4.4 Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroeconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel 6 Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel 4.5. Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel 7.6, 7.7. Wnkelmann, Raner und Stefan Boes, 006, Analyss of Mcrodata, Sprnger Verlag, Hedelberg, Kaptel 7.3. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

64 7. Verweldauermodelle 7. Enführung 7. Verweldauermodelle n dskreter Zet 7.3 Verweldauermodelle n stetger Zet 7.4 Alternatve Verfahren 7. Enführung Verweldauermodelle untersuchen, we lange en Zustand andauert, bs es zum Übergang n enen anderen Zustand kommt (Dauer), bzw. we hoch de Übergangswahrschenlchket n enen anderen Zustand st (Übergangsrate). Bespelfragen: Überlebensdauer Kranker nach Behandlung Verweldauer n Arbetslosgket bs beschäftgt Dauer von der Geburt des ersten bs zur Geburt des zweten Kndes 7-7- Dese Art der Analyse hat vele Namen: Hazardratenmodelle, Eregnsmodelle, event studes, event hstory Modelle, duraton Modelle, survval Modelle. Wchtge Konzepte und Begrffe (3) Lnks- und rechtszenserte Daten: Be lnkszenserten Daten st der Begnn ener Epsode ncht beobachtet, be rechtszenserten Daten st das Ende ener Epsode ncht beobachtet. Bespel: Monatlche Daten zum Erwerbsstatus () Spell und Epsode: En Spell bzw. ene Epsode beschrebt de Perode, de n Zustand x verbracht wrd. 3 ncht zensert lnks zensert rechts zensert () Dskrete vs. stetge Zet: Modelle n dskreter Zet modelleren de Entrttswahrschenlchket (0 / ) des Eregnsses y n dskreten Zetperoden. Modelle n stetger Zet modelleren de Dauer T enes Zustandes. Wooldrdge (003) nennt dskrete Maße grouped duraton data. t 0 t (4) Competng Rsks: Ene Epsode kann durch alternatve Zustände abgelöst werden. Standard: Von Arbetslosgket n Beschäftgung. Competng Rsk: Von Arbetslosgket n Beschäftgung oder Rente. t

65 (5) Duraton Dependence: De wetere Dauer enes Zustandes hängt von der m Zustand verbrachten Zet ab. Je länger man berets m Zustand st, umso höher st de Wahrschenlchket, hn zu verlassen (postve duraton dependence). Be negatver duraton dependence snkt de Wahrschenlchket, enen Zustand zu verlassen, je länger er berets dauert. Bespel: a) Nach 3 Jahren unfallfreen Fahrens st de Wahrschenlchket für en weteres Jahr höher als nach enem Jahr (= negatve duraton dependence). b) Nach 3 Wochen Strek stegt de Wahrschenlchket, dass er beendet wrd (= postve duraton dependence). 7-5 (6) Sngle vs. Multple Spell Daten: Be Sngle Spell Daten wrd jede Beobachtungsenhet mt genau ener Epsode beobachtet. De Beobachtung endet entweder mt enem Übergang n enen alternatven Zustand, oder durch Zenserung (Rechtszenserung). Be Multple Spell Daten st es möglch, de gleche Beobachtungsenhet n verschedenen Epsoden hnterenander zu beobachten und dese zu analyseren. Bespel: Beobachtung des Erwerbsstatus über 30 Monate erbrngt für manche Personen mehr als ene Epsode n Arbetslosgket. (7) Flow vs. Stock Sample (Stchprobenwahl): Be Flow Samples verfolgen wr Indvduen, de n enem bestmmten Zetraum den uns nteresserenden Zustand begnnen (können). Möglchketen: () Kontemporäre 7-6 Stchprobe: Wr beobachten ene Grundgesamthet und nteresseren uns für de Dauer der Arbetslosgket aller der Personen, de nach enem Stchtag (z.b...98) arbetslos werden. () Retrospektve Stchprobe: Wr haben ene Grundgesamthet heute und nteresseren uns für alle, de set dem letzten Stchtag (z.b...98) arbetslos geworden snd. In beden Fällen besteht de Möglchket von Rechtszenserung, da de Dauer der Epsode den Beobachtungszetraum überstegen kann. Be Stock Samples enthält de Grundgesamthet ausschleßlch Beobachtungsenheten, de sch zum Stchtag berets m nteresserenden Zustand befnden (z.b. alle am..98 arbetslos Gemeldeten). Aus deser Gruppe wrd ene Zufallsstchprobe gezogen. In desem Fall besteht ncht nur de Möglchket von Rechts-, sondern auch von Lnkszenserung, da ncht n jedem Fall beobachtbar sen muss, set wann sch de Person berets m gegebenen Zustand befndet. Be Stock Samples kann es zudem zu Selektonsproblemen kommen, da ncht alle Mtgleder der Grundgesamthet des Flow Samples (z.b. rgendwann 998 arbetslos) de Stchtagsbedngung erfüllen, und de Selekton systematsch dejengen überseht, de m Jahr 998 nur kurz m Zustand waren ("Lnksstutzung", length based sample, stock samplng bas). (8) Tme varyng covarates: Be der Modellerung der Dauer von Prozessen bzw. von Abgangswahrschenlchketen wrd unterscheden, ob erklärende Varablen (Kovaraten) mt enem zetlch konstanten Wert (tme

66 nvarant) berückschtgt werden, oder ob sch hre Werte m Zetverlauf ändern können (tme varyng). Wenn sch erklärende Varablen m Zetverlauf ändern können, muss auf de Exogentät deser Änderungen geachtet werden. Endogene Änderungen erfolgen bspw., wenn de Dauer des Zustandes de erklärenden Varablen beenflusst (z.b. Famlenstand und Gefängnsaufenthalt, Gesundhet und Arbetslosgket). 7. Verweldauermodelle n dskreter Zet Abhängge Varable: P (Eregns trtt m Intervall (x, x + h) en, gegeben, dass es ncht vor x engetreten st) = P( x T x+ h T x), (T = Entrttszetpunkt des Eregnsses) Bespel: Austrtt aus der Arbetslosgket Zet: 0 3 jetzt Schätzverfahren: Probt oder Logt. De abhängge Varable beschrebt, ob das Eregns bs Perode t engetreten st (0/). Beträge der 3 Personen zur Lkelhoodfunkton: Person Person Person 3 Eregns: Person : - - Person : 0 - Person 3: t 7- E =, wenn Eregns für Person bs Zetpunkt t engetreten st. t E = 0 sonst t Person : E = e PE ( = ) = + e x β x β des st der Betrag von Person zur Lkelhoodfunkton, mt x = Merkmale von Person n Perode. Nach Perode fällt Person aus der Stchprobe. 7-

67 Person : E = 0,E = ( = = ) = PE ( = E = 0) PE ( = 0) PE 0,E x β e xβ x β = + e + e Person 3: E = 0,E = 0,E = ( = = = ) PE 0,E 0,E ( 33 3 ) ( 3 3 ) ( 3 ) = PE = 0E = 0 PE = 0E = 0 PE = 0 = + e + e + e x33β3 x3β x3 β De Lkelhoodfunkton entsprcht dem Produkt aller ndvduellen Beträge. Somt st Rechtszenserung m dskreten Fall problemlos, jede Beobachtung geht mt hrem gesamten Informatonsgehalt en. Schätzverfahren Alternatve : Für jeden Beobachtungszetpunkt en separates Modell, um über de Zet potentell unterschedlche Parametervektoren β j zu bestmmen. Problem (): über de Zet schrumpfende Stchprobengröße be konstanter Parameterzahl. () Unterstellt unkorrelerte Fehler über de Zet. Schätzverfahren Alternatve : Daten poolen, so dass Person mt ener Beobachtung vertreten st, Person mt und Person 3 mt 3: Es lässt sch folgendes zetlch vollständg nteragerte Modell schätzen: ( = t ) ( = ) PE log = α +β x +α T +δ x T +α T +δ x T PE 0 t t t t 3 für t= für t= 3 wobe T = T = 3 0sonst 0sonst dann für t = t = t = 3 Konstante α α + α α + α 3 erlaubt Test auf Parameterkonstanz über de Zet. H 0 : α =α =δ =δ = H : mndestens en Koeffzent 0 De Alternatven und ergeben numersch dentsche Ergebnsse. Alternatve erlaubt enfache Tests, ob de Achsenabschntts- und Stegungsparameter für de dre Telperoden konstant snd. Erweterung zum competng rsks Modell n dskreter Zet: legen statt ener Übergangsmöglchket zwe Alternatven vor, kann statt enes Probt oder Logt Modells problemlos en multnomales Logt Modell geschätzt werden. Stegung β β + δ β + δ

68 Bespel: Anrezwrkung von Invaldtätsrentenbeträge auf den Übergang von Erwerbstätgket n = Erwerbstätgket, = Invaldtätsrente, 3 = Ncht- Erwerbstätgket (z.b. arbetslos) De Interpretaton bezeht sch nun auf Übergangswahrschenlchketen statt auf Zustände per se. Sonst blebt alles we m multnomal logt Modell. nto: Dsablty retrement t Nonemployment t Coeff. t-rato Coeff. t-rato Age / Age squared / Health statsf Wage / Retrement beneft / Foregner (0/) Experence / Pror unemployment Educaton years / Wage observed (0/) Constant Quelle: Rphahn, Verweldauermodelle n stetger Zet 7.3. Grundsätzlches Wahrschenlchket, dass der Spell m nächsten Intervall mt der Dauer Δ endet, gegeben, dass er bs t gedauert hat: ( t, Δ ) = Pr ( t T t +Δ T t) Beschreben wrd de Verweldauer T n enem Zustand. De abhängge Varable st mmer postv und daher ncht normalvertelt. Wenn T mt der Dchte f () t vertelt st, glt: f( t) F ( t ) S ( t ) t ( ) = = Pr T t f s ds F t und für de Wahrschenlchket ener Dauer von mndestens t: Pr ( T > t) = F( t) = S( t) Survvalfunkton 0 0 t t + Δ l ( t, Δ ) T