2.1 Einfache lineare Regression 31

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1 .1 Enfache lneare Regresson 31 Regressonsanalyse De Regressonsanalyse gehört zu den am häufgsten engesetzten multvaraten statstschen Auswertungsverfahren. Besonders de multple Regressonsanalyse hat große Bedeutung be der Auswertung emprscher Untersuchungen erlangt. Während de Korrelatonsanalyse ledglch Untersuchungen zu Exstenz und Stärke von Zusammenhängen zwschen verschedenen Varablen erlaubt, st es mt der Regressonsanalyse zusätzlch möglch, de Art der Zusammenhänge zu modelleren. Dabe st vor der Untersuchung aus nhaltlchen Gründen de Entelung der Varablen n abhängge (Krterums-, Zel-) bzw. unabhängge (Prädktor-, Enfluss-) Varablen vorzunehmen. Nach der Form der hypothetschen Bezehung zwschen Prädktorund Krterumsvarablen unterschedet man lneare (Abschntte.1,. und.3) und nchtlneare Regressonsanalysen (auf de n deser Enführung ncht engegangen wrd). Nach der Anzahl der Prädktoren unterschedet man enfache (.1 und.3) oder multple (. und.3) Analyseverfahren. In desem Kaptel werden Verfahren behandelt, de von ntervallskalerten Krterumsvarablen ausgehen. De vor allem n der Epdemologe bem Vorlegen dchotomer Krterumsvarablen häufg angewendete logstsche Regressonsanalyse wrd n Kaptel 9 dargestellt. Weterführende Darstellungen zur Regressonsanalyse legen zum Bespel von Draper und Smth (1981), Flury und Redwyl (1983), Dunn und Clark (1987), Sen und Srvastava (199), Hays (1994), Werner (1997), Fox (1997), Moosbrugger () und Steyer (3) vor. Anwendungsbespel: Arbetsmotvaton In enem Chemekonzern wurde ene Untersuchung zur Motvaton am Arbetsplatz durchgeführt. De hermt beauftragten Arbetspsychologen wählten zunächst 5 Personen aus, deren Arbetsplätze de Bandbrete der unterschedlchen Tätgketen n dem Unternehmen repräsenteren sollen. Neben der Krterumsvarablen Arbetsmotvaton wurden Personen- und Tätgketsvarablen erhoben, von denen man annmmt, dass se de Motvaton beenflussen. Dese Prädktoren können n dre Bereche untertelt werden (vgl. Tabelle.1): Egenschaften der Beschäftgten, Rahmenbedngungen der Tätgket und Inhalte der Tätgket. De Varablen wurden jewels anhand von Intervews und Verhaltensbeobachtungen auf geegneten Skalen engeschätzt (Intervallskalennveau). Tabelle. enthält de Ergebnsse der Untersuchung. Anhand der Bespeldaten soll untersucht werden, ob es enen statstsch sgnfkanten Zusammenhang zwschen der Krterumsvarablen Motvaton und den Prädktorvarablen gbt. Wenn en Zusammenhang exstert, soll de beste Vorhersagemöglchket der Varablen Motvaton aus den Prädktorvarablen mttels multpler lnearer Regressonsanalyse ermttelt werden.

2 3 Kaptel - Regressonsanalyse Tabelle.1: Lste der Varablen zum Bespel Arbetsmotvaton Varablen Label Bemerkungen Krterum y Motvaton Enschätzung der Arbetsmotvaton durch Experten Prädktoren: Egenschaften x1 Ehrgez Fragebogen x Kreatvtät Fragebogen x3 Lestungsstreben Fragebogen Prädktoren: Rahmenbedngungen x4 Herarche Poston n der Herarche des Unternehmens x5 Lohn Bruttolohn pro Monat x6 Arbetsbedngungen Zetsouveräntät, Kommunkatonsstruktur usw. Prädktoren: Inhalte der Tätgket x7 Lernpotental Lernpotental der Tätgket x8 Velfalt Velfalt an Teltätgketen x9 Anspruch Komplextät der Tätgket Tabelle.: Daten zum Bespel Arbetsmotvaton Pb Ehrgez Lestungsstreben Lohn Lernpotental Anspruch Motvaton Kreatvtät Herarche Arbetsbedngungen Velfalt

3 .1 Enfache lneare Regresson 33 Es st zu untersuchen, ob redundante Prädktorvarablen m Merkmalssatz enthalten snd, de für de Modellerung der Motvaton entbehrlch snd. In desem Zusammenhang st auch zu untersuchen, we sch hochkorrelerte Prädktorvarablen be der Berechnung der Regressonskoeffzenten auswrken und ob ene unabhängge Varable, de kene sgnfkante Korrelaton mt der Zelvarablen aufwest, m Rahmen der multplen Regresson bedeutsam werden kann. Es st ene m Verhältns Aufwand zu statstschem Nutzen optmale Menge von Prädktorvarablen zu fnden. Schleßlch soll n enem herarchschen Modellansatz der Vorhersagebetrag nhaltlch strukturerter Merkmalsmengen untersucht werden..1 Enfache lneare Regresson Mt der enfachen lnearen Regresson st es möglch, de Art des lnearen Zusammenhanges zwschen ener Prädktorvarablen und der Krterumsvarablen zu beschreben..1.1 Methode der klensten Quadrate De Methode der klensten Quadrate (MkQ) st en unverselles Schätzprnzp zur Ermttlung von Punktschätzungen für de Parameter lnearer oder nchtlnearer, enfacher oder multpler Regressonsglechungen. Se soll m Folgendem am Bespel der enfachen lnearen Regresson erläutert werden. Be der Untersuchung des Zusammenhanges der unabhänggen Varablen Lestungsstreben und der abhänggen Varablen Motvaton ergbt sch m Bespel das n Abbldung.1 gezegte Streudagramm der 5 Probanden. Bem enfachen Betrachten der gegebenen Punktwolke wrd deutlch, dass es zwschen desen beden Varablen enen starken lnearen Zusammenhang gbt. Der Produkt-Moment-Korrelatonskoeffzent der beden Varablen beträgt r =.56 (p <.1). Zel der enfachen lnearen Regressonsanalyse st de Ermttlung ener Regressonsglechung y + = b1 x b (.1) bzw. m Bespel Motvaton = b 1 Lestungsstreben + b zur Vorhersage von y aus x bzw. von Motvaton aus Lestungsstreben. Zur Illustraton des weteren Vorgehens snd n Abbldung. nur de Werte der ersten fünf Probanden aus Tabelle. dargestellt. Gesucht st de Gerade, de sch am besten an de gegebene Punktwolke anpasst. De Gerade y = b 1 x + b bzw. Motvaton = b 1 Lestungsstreben + b wrd durch de Parameter b 1 (Ansteg) und b (Nulldurchgang) beschreben.

4 34 Kaptel - Regressonsanalyse Motvaton - Lestungsstreben Abbldung.1: Streudagramm Motvaton Lestungsstreben Wenn man ene belebge Gerade bezüglch hrer Anpassungsgüte beurtelen wll, st zunächst der Abstand (Resduum) der gemessenen Werte der Krterumsvarablen y von der dazugehörgen Schätzung auf der Geraden ŷ zu betrachten. e = y ŷ ( = 1,...,n) (.) y : Messwert der Krterumsvarablen y be der -ten Versuchperson ŷ : Schätzwert für de Krterumsvarable y be der -ten Versuchperson e : Resduum der -ten Versuchperson. In Abbldung. wrd deutlch, dass de Schätzung der Krterumsvarablen y (Motvaton) durch de Prädktorvarable x (Lestungsstreben) durch de dargestellte Gerade für Proband 5 sehr gut möglch wäre. Der Messwert y 5 und der Schätzwert ŷ 5 auf der Geraden stmmen nahezu überen. Dagegen ergäbe sch für Proband 1 ene sehr ungenaue Schätzung. De Abwechung y 1 ŷ 1 des Messwertes y 1 vom Schätzwert ŷ 1 auf der Geraden st verglechswese sehr groß. De optmale Regressonsgerade soll nun über alle Probanden möglchst gernge Abwechungen aufwesen. Schenbar betet sch deshalb an, dejenge Gerade zu suchen, be der de Summe der Abwechungen der gemessenen Werte von den Schätzwerten auf der Geraden mnmal wrd. Da be enem solchen Vorgehen sch aber postve Dfferenzen we be den Probanden 1, 4 und 5 und negatve Dfferenzen we be Proband und 3 zu Null adderen würden, wäre dese Vorgehenswese falsch. De Methode der klensten Quadrate geht deshalb von quadrerten Abstandswerten aus. Damt wrd enersets errecht, dass negatve und postve Abwechungen von Mess- und Schätzwerten glechermaßen für de Ermttlung der Regressonsgeraden herangezogen werden. Anderersets werden große Abwechungen durch de quadratsche Enbezehung stärker

5 .1 Enfache lneare Regresson 35 berückschtgt, so dass sch de Regressonsgerade besser an Extremwerte anpasst. Heraus resultert jedoch auch ene gewsse Anfällgket der Methode gegenüber Ausreßern. Motvaton Pb 5 ŷ 5 y 5 Pb 3 Pb 1 y 1 ŷ 1 y 1 ŷ 1 Pb Pb 4 Lestungsstreben Abbldung.: Methode der klensten Quadrate Mt der Methode der klensten Quadrate wrd also dejenge Regressonsgerade gesucht, be der de Summe der quadrerten Abwechungen der Messwerte von den Schätzwerten auf der Geraden mnmal wrd. Im Fall der enfachen lnearen Regresson entsprcht dese Forderung der Suche nach den Parametern bˆ und bˆ 1, de de Lösung des Mnmerungsproblems gemäß Formel (.3) snd. QS Rest = e = (y ŷ ) = (y (b1 x + b )) Mnmum (.3) 1 b,b QS Rest : Fehler-Quadratsumme y : Wert der Krterumsvarablen y des -ten Probanden ŷ : Schätzwert für den Wert der Varablen y des -ten Probanden x : Wert der Prädktorvarablen x des -ten Probanden e : Resduum des -ten Probanden b, b 1 : Regressonskoeffzenten n: Anzahl der Probanden Im vorlegenden Fall lässt sch das Mnmerungsproblem explzt lösen. Es ergeben sch de Parameterschätzungen (Herletung sehe zum Bespel Bortz, 1999) bˆ n x y x y = y bˆ 1 x, bˆ 1 =. (.4) n x ( x )

6 36 Kaptel - Regressonsanalyse Motvaton - Messwerte Regressonsgerade y =.9 x Lestungsstreben Abbldung.3: Lneare Regressonsfunkton zur Vorhersage der Krterumsvarablen Motvaton aus der Prädktorvarablen Lestungsstreben De mt desen Parametern berechnete Gerade st m Snne der Methode der klensten Quadrate optmal, be jeder anderen Geraden wäre de Summe der quadratschen Abwechungen der Messwerte von den Schätzwerten auf der Geraden größer. Im vorlegenden Bespel aus Abbldung.1 ergbt sch de folgende Regressonsglechung zur Vorhersage der Krterumsvarablen Motvaton aus der Prädktorvarablen Lestungsstreben: Motvaton =.9 Lestungsstreben (Abbldung.3). Ene Erhöhung der Varablen Lestungsstreben um enen Punkt führt demnach zu ener durchschnttlchen Motvatonsstegerung von.9, be enem Proband mt enem (theoretschen) Wert des Lestungsstrebens von Null würde sch als Schätzwert für de Motvaton der Wert 13.8 ergeben. De Parameter nchtlnearer Bezehungen zwschen der Prädktor- und der Krterumsvarablen können ebenfalls mt Hlfe der Methode der klensten Quadrate bestmmt werden. Leseprobe aus Rudolf, M. & Müller, J. (4). Multvarate Verfahren. Ene praxsorenterte Enführung mt Anwendungsbespelen n SPSS. Göttngen: Hogrefe