1.1 Technische Vorbemerkungen. Kapitel 1: Einführung. Vorlesung 2 SWS, Übung 1 SWS. - Vorlesung (Riphahn): Mo. und Mi. 8:00-09:30

Transkript

1 Kaptel : Enführung. Technsche Vorbemerkungen Vorlesung SWS, Übung SWS. Technsche Vorbemerkungen. Inhaltlche Glederung und Zele der Veranstaltung - Vorlesung (Rphahn): Mo. und M. 8:00-09:30 - Übung (Eschelbach): Do. 5:00-6:30 (LG 0.4) Begnn: 6..0, oder Fr. : (Raum 4.09), Begnn: Detals und Aktuelles auf der Websete des Lehrstuhls Sprechstunden: - Rphahn: vor / nach Vorlesung o. nach Verenbarung (Mttwoch -) - Eschelbach: vor / nach Übung, oder Montag 4-5 Uhr.. Kene Vorlesung: Mttwoch 5..0 und 6.. Ersatztermne: Montag 3.. (H), 0..: 9:45-:5 (0.44) Prüfung: Klausur (60 Mn.), durch Prüfungsamt organsert. Hlfsmttel: Taschenrechner, ggf. Wörterbuch. Frewllge Hausarbet: In Gruppen bs zu Personen möglch, anrechenbar auf Endnote zu 0 Prozent, Anmeldung zur Hausarbet (3-5 Textseten) bs zum 0..0 per E-Mal be Martna Eschelbach (martna.eschelbach@wso.un-erlangen.de). Themenausgabe: 3..0, Abgabetermn: 8.0. De ote der Hausarbet verfällt nach dem SS0. Anrechnungsmodus Mkroökonometre für Studerende m Dplomprogramm: () Mkroökonometre 6 Kredtpunkte: Veranstaltung Panel- und Evaluatonsverfahren (WS) plus Veranstaltung Mkroökonometre (SS), Prüfungsanmeldung m SS () Mkroökonometre 4 Kredtpunkte: Veranstaltung Mkroökonometre (SS) plus Prüfungslestung zum Themenberech Paneldaten (entweder mündlche Prüfung oder schrftlche Hausarbet), Prüfungsanmeldung m SS () Mkroökonometre und 3 Kredtpunkte: Prüfung auf Bass der Veranstaltung Mkroökonometre (SS), Enzelfallabsprache, Prüfungsanmeldung m SS.3.4

2 Lteratur: zu Kaptel und 3 der Vorlesung: Marno Verbeek, 008, A Gude to Modern Econometrcs, thrd edton, John Wley & Sons Ltd., Chchester UK. Pres (neu): 39,95 (Stand Sept. 009) daraus Kaptel 5 und Zusätzlch: Textsammlung va STS. Wetere empfehlenswerte Lteratur: Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, 6th ed., Prentce Hall, ew Jersey. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, MIT Press, Cambrdge/Mass. Cameron, Coln A. and Pravn K. Trved, 005, Mcroeconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge Unv. Press Cameron, Coln A. and Pravn K. Trved, 009, Mcroeconometrcs Usng Stata, Stata Press Angrst, Joshua D. und Jörn-Steffen Pschke, 009, Mostly Harmless Econometrcs. An Emprcsts Companon, Prnceton Unv. Press. Inhaltlche Glederung und Zele der Veranstaltung Glederung:. Enführung. Endogentät, Instrumentvarablen und GMM (Verbeek Kaptel 5) 3. Lneare Modelle für Paneldaten (Verbeek Kaptel 0) 4. Evaluatonsverfahren 5. Quantlsregresson.5.6 Zel: - Vermttlung fortgeschrttener ökonometrscher Methoden, de n emprschen Analysen von Arbetsmarkt, Fnanzmärkten und Marktforschung angewendet werden - Dskusson der dem lnearen Regressonsmodell unterlegenden Annahmen und von ggf. überlegenen Verfahren - Enüben der Verfahren unter Anwendung der Software STATA - Fokus auf Intuton und Bespeldskusson statt formaler Abletung.7

3 Kaptel : Endogentät, Instrumentvarablen und GMM. Überblck über de Egenschaften des KQ-Schätzers. Fälle, n denen der KQ-Schätzer unangemessen st.3 Der Instrumentvarablen (IV)-Schätzer.4 Illustraton: Schätzung der Rendte von Schulbldung.5 Generalserte IV-Schätzer.6 Der generalserte Momentenschätzer (GMM).7.Illustraton: Schätzung des Intertemporalen Asset Prcng Modells. Überblck über de Egenschaften des KQ-Schätzers Wr nutzen folgende Annahmen-otaton: A E{ ε } = 0 =,,... A { x, x } und { ε, ε } snd unabhängg A 3 V{ ε } = σ =,, A 4 cov {, j } 0 A 5 ε ~ (0,σ I ) ε ε =,j =,, j A 5' ε ~ ID (0,σ ) A 6 xx' konvergert gegen ene fnte nchtsnguläre Matrx Σ xx. =. A 7 E{x ε } = 0 Unkorrelerthet. A 8 x t und ε t snd für gegebenes t statstsch unabhängg (stärker als A 7) A 9 V{ x} Dag{ h } ε = σ = σ Ψ A 0 E{ε X} = 0 stärker als A 7, schwächer als A 8, A. A ε t ~ IID (0, σ ) A ε t st über de Zet unkorrelert, mt Erwartungswert 0. Modell: y t = x' t β+ε, t t =,,3,,T (5.) bzw. y = Xβ+ε. (5.) Hnwes: Formelnummererung entsprcht Verbeek. Der KQ Schätzer für β st unverzerrt und konsstent, wenn der Störterm, mt E(ε) = 0 (A), unabhängg von allen erklärenden Varablen st (A). Unverzerrthet und Konsstenz gelten auch noch, solange E{ ε } = 0 (A) und E{ ε X} = 0 (A0). A0 besagt, dass man aus der Kenntns von (Elementen von) X nchts über den Erwartungswert von ε lernt. A st de allgemenere Annahme und fordert statstsche Unabhänggket von X und ε. Statstsche Unabhänggket mplzert zusätzlch zu A0, dass de z.b. Varanz von ε ncht von X abhängt. A0 st stärker als für Konsstenz nötg, und st ncht mmer erfüllt. Bespel: Hypothese effzenter Märkte: de Rendte enes Aktvums (y) st ncht mt Hlfe öffentlch verfügbarer Informatonen, z.b. aufgrund hrer vergangenen Entwcklung, vorhersagbar. Des lässt sch als H 0 : β = β 3 = 0 mt folgendem Modell testen:.3.4

4 y =β +β y +β y +ε. (5.3) t t 3 t t In desem Fall st de Annahme E{ ε X} = 0 ncht mmer erfüllt, da de (y t-, y t- ) Zufallsvarablen snd, de von den verzögerten Werten von ε ( ε, ε ) t t t abhängen. Es exsteren Korrelatonsmuster zwschen X und ε, was A0 wdersprcht. Auch unter anderen gegenüber A abgeschwächten Annahmen lassen sch konsstente KQ-Schätzer für β bestmmen: x t und ε t snd für jede Beobachtung t unabhängg, ( ) (A8) ε ~..d. 0, σ. (A) t A8 besagt, dass x t von ε s abhängen darf, solange t s. Das st de Stuaton be verzögerten endogenen Varablen auf der rechten Sete der Modellgle-.5 chung. A besagt, dass de ε t unabhängg und dentsch vertelt snd, mt Erwartungswert 0 und Varanz σ. Unter weteren Annahmen, z.b., dass xx ene endlche, nverterbare Matrx mt = plm T xx x x ' (A6) st, st KQ dann konsstent und asymptotsch t t T T t= normalvertelt mt der Kovaranzmatrx σ, so dass xx Für klene Stchproben glt approxmatv ( ) ( xx ) T b β 0, σ. (5.4) a T b~ βσ, xx' t t t=. (5.5) Im Untersched zur Stuaton unter den Annahmen A-A5 folgt unter den Annahmen A8 und A de ormalvertelung n (5.5) nur approxmatv, aufgrund.6 des asymptotschen Ergebnsses (5.4). Damt snd t-, F- und Wald-Tests unter A6, A8 und A nur approxmatv gültg. Unter A6, A8 und A führen verzögerte endogene erklärende Varablen dazu, dass de Egenschaften des KQ-Schätzers für klene Stchproben (Unverzerrthet, Effzenz) ncht mehr gelten. De asymptotschen Egenschaften bleben erhalten (Konsstenz, asymptotsche Effzenz). A schleßt Heteroskedaste und Autokorrelaton aus. Im Bespel sprächen autokorrelerte Störterme gegen de Annahme effzenter Märkte: Tele der Störterme wären (unausgenutzt) systematsch prognostzerbar. Ohne A ergbt σ ncht mehr de korrekte Varanz-Kovaranz-Matrx xx des Schätzers und (5.5) glt ncht mehr. Konsstenz und asymptotsche ormalvertelung gelten noch mmer..7 De Varanz-Kovaranz-Matrx lässt sch ohne A noch auf andere Wesen schätzen: Fall : Unterstellen wr { } E x ε = 0 für alle t, (A7) und Unabhänggket der ε t über de Zet, mt { } t t E ε = 0. (A) A7 fordert Unkorrelerthet von x t und ε t. A erlaubt Heteroskedaste, jedoch ncht Autokorrelaton. un st KQ (unter weteren Bedngungen) konsstent und asymptotsch normalvertelt mt wobe t ( β) ( xx xx ) (5.6) T b 0, T plm ε x x '. t t t t=.8

5 Hnwes zu A7: wenn entweder E{ x t } = 0 oder { t } E{ xz} = cov{ x,z} = 0. t t t t E z = 0, dann De asymptotsche Varanz-Kovaranz-Matrx kann be Heteroskedaste und unter A6 mt dem Whte Schätzer konsstent geschätzt werden. Mt den resulterenden Standardfehlern snd herkömmlche Tests asymptotsch gültg. Insgesamt glt Unverzerrthet nur unter A oder A0, während Konsstenz auch be () A8/A6/A, () A7/A oder () A7 und auf H Peroden begrenzter Autokorrelaton nachwesbar st. Fall : Legt n den Daten auf H Peroden begrenzte Autokorrelaton vor, so lassen sch Konsstenz und asymptotsche ormalvertelung des KQ- Schätzers nachwesen, solange A7 glt und de Varanz-Kovaranz-Matrx mt Hlfe des ewey-west-schätzers (Abschntt 4.0) bestmmt wrd. So snd herkömmlche Tests sogar be Heteroskedaste und auf H Peroden begrenzte Autokorrelaton gültg Fälle, n denen der KQ-Schätzer unangemessen st Mt der schwachen Annahme { } E ε x = 0 (A7) und Whte- oder ewey-west- t t Standardfehlern lässt sch en konsstenter KQ-Schätzer mt angemessenen Standardfehlern selbst be Autokorrelaton und Heteroskedaste bestmmen. Glt A7 ncht mehr, so st der KQ-Schätzer verzerrt und nkonsstent und es müssen andere Verfahren genutzt werden. Des st der Fall be Autokorrelaton m Störterm be verzögerten endogenen Varablen, Messfehlern n erklärenden Varablen, endogenen erklärenden Varablen, und Smultanetätsproblemen... Autokorrelaton mt ener verzögerten endogenen Varable Modell: y =β +β x +β y t t 3 t +ε. (5.) t KQ st konsstent, solange { } { } E x ε = E y ε = 0. Be Autokorrelaton erster t t t t Ordnung für ε ε = ρε +ν (5.3) t t t kann man schreben: Da ebenfalls glt y =β +β x +β y t t 3 t +ρε +ν. (5.4) t- t y =β +β x +β y t- t- 3 t +ε t, (5.5) st ε t über ε t- mt y t- korrelert. Solange ρ 0, lässt sch (5.) mt KQ ncht konsstent schätzen. A7 glt ncht mehr...

6 Wegen y t- st für (5.) der Durbn-Watson-Test ncht gültg. Der Breusch- Godfrey-Test kann angewendet werden: Als Hlfsregresson wrd geschätzt und R bestmmt. e t = α 0 + ρ e t- + α x t + υ t T 0 R st χ -vertelt. De Anzahl der Beobachtungen der Hlfsregresson, T 0, rchtet sch nach der Anzahl der lags. Für (5.3) ergbt sch T 0 = T. Her entsprcht das lneare Regressonsmodell ncht der auf x t und y t- bedngten Erwartung von y t. y t- st mt dem Erwartungswert des Störterms korrelert. KQ st daher nkonsstent... Messfehler n erklärenden Varablen KQ st ebenfalls mest nkonsstent, wenn ene der erklärenden Varablen Messfehler aufwest. Angenommen, y t hängt von w t ab: y =β +β w +ν, (5.7) t t t wobe ν t en Störterm mt Erwartungswert 0 und konstanter Varanz σ st. ν E w 0 E y w =β +β w. Wenn wr annehmen, dass { ν t t} =, glt { } t t t Angenommen, y t beschrebt de Haushaltsersparns und w t das verfügbare Enkommen. Letzteres st ncht genau messbar (z.b. wegen falscher Angaben) und wrd durch den Wert x t abgebldet. Für jedes t unterscheden sch x t und w t durch den Messfehler u t : x t = w t + u t (5.8).3.4 Wr unterstellen für u t enen Erwartungswert von ull und konstante Varanz σ, sowe dass u u t und ν t unabhängg snd. Schleßlch se der Messfehler unabhängg von w t. Aus 5.7 und 5.8 ergbt sch y =β +β x +ε, mt ε t = ν t β u t (5.9) t t t Her ergbt KQ nkonsstente Schätzer für β und β, da x t und ε t durch ge- E xε 0. mensame Abhänggket von u t korrelert snd: { } Wr können β m enfachen Modell schreben als Setzt man für y t en, folgt b = T ( x x t )( y y t ) t= T ( x x t ) t= t t. (5.0) b =β + T ( ) ( x x t )( t T ε ε) t= ( ) ( x x t ) T T t=. (5.) Für T konvergeren Stchprobenmomente gegen Bevölkerungsmomente. Daher T ( ) ( t )( t T ε ε) t= T ( ) ( t ) plm x x E x plm b =β + =β + V x plm x x t T t= Der letzte Ausdruck st von ull verscheden: und { ε } = {( + t t t t)( β t t) } = β σ u E x E w u v u { ε t t} { }. (5.).5.6

7 Es folgt somt { } = { + } = σ +σ, wobe V{ w } V x V w u t t t w u plm b σ u =β σ +σ w u σ =. w. (5.3) b st nur dann konsstent, wenn σ = 0, d.h. wenn ken Messfehler vorlegt. u Je größer σ relatv zu σ, umso größer st der Messfehler, der dazu führt, u w dass b gegen 0 hn verzerrt st (attenuaton bas). Be σ σ sprcht man vom nose-to-sgnal rato, das Verhältns der Varanz des Messfehlers (nose) zur Varanz des tatsächlchen Wertes (sgnal). Je größer das Verhältns, umso größer de Verzerrung des KQ-Schätzers. u t w ( β ) = ( { t} +β { t} ) plm b plm y b x E y E x ( ) E{ x } = plm b β. (5.4) t Für E{ x t } > 0 ergbt ene Unterschätzung des Stegungsparameters ene Überschätzung des Achsenabschntts. Auch her ergbt das Schätzmodell ncht den auf x t bedngten Erwartungswert von y t : { t t} t { t t} E y x =β +β x β E u x. Der letzte Term st wegen (5.8) ncht ull. De Inkonsstenz von b betrfft auch den Schätzer der Konstanten b, mt { } β = E y β x : t t Endogentät und Omtted Varable Bas Omtted varable bas trtt auf, wenn ene relevante erklärende Varable, de mt berückschtgten erklärenden Varablen korrelert st, m Modell ncht berückschtgt wrd. Des glt unabhängg davon, ob de ausgelassenen Varablen beobachtbar snd, solange se mt berückschtgten erklärenden Varablen korrelert snd. Man sprcht von (un-)observed heterogenety. In desem Fall st de kausale Interpretaton von KQ-Koeffzenten ncht mehr gerechtfertgt. De ceters parbus Bedngung greft ncht, da ncht alle relevanten Größen konstant gehalten werden..9 Bespel: y se der ndvduelle log-lohn, x en Vektor von ndvduellen Charakterstka (ncl. Konstante), x de Anzahl der Ausbldungsjahre, u se en Maß der unbeobachteten Fähgket von : y = x ' β + x β + u γ + υ (5.5) Wr erwarten γ > 0 sowe ( ) cov u,x > 0. Tatsächlch kann nur das beobachtbare Modell geschätzt werden: y = x ' β + ε wobe x ' = (x ', x ), β' = (β ', β ) und ε = u γ + υ. un glt für den KQ-Schätzer für β: b =β+ x x ' x u γ+ x x ' x υ. = = = =.0

8 Unter der Annahme { } E x υ = 0 folgt: plm b =β+ xx E{ x u } γ (5.6) Wenn γ 0 st KQ nur dann konsstent, wenn { } E x u = 0, d.h. u muss mt allen erklärenden Varablen enschleßlch Bldung unkorrelert sen. KQ msst ncht den kausalen Effekt der Bldung, sondern den mttleren Lohnuntersched von Personen mt unterschedlcher Bldung. Deser mttlere Lohnuntersched geht z.t. auf Bldung und z.t. auf u zurück. Erklärende Varablen, de mt dem Störterm des Modells korrelert snd, nennt man endogen. Se genereren verzerrte und nkonsstente KQ-Schätzer...4 Smultanetät und umgekehrte Kausaltät Ene besondere Form von Endogentät st das reverse causalty Problem. Her beenflusst ncht nur x das y, sondern auch umgekehrt. Bespel: Krmnaltätsrate = f (Ausgaben für nnere Scherhet) Da de Ausgaben von der Krmnaltät beenflusst sen können, können de Schätzer des Modells verzerrt sen. Das Problem stellt sch n Makromodellen, n denen mehrere Varablen smultan bestmmt werden. Im Modell mt Angebot, achfrage und Pres hängen bspw. alle Größen vonenander ab... Bespel: Be der keynesanschen Konsumfunkton hängt der natonale pro- Kopf-Konsum y t vom natonalen Pro-Kopf-Enkommen x t ab, mt t =,,..., T Jahresbeobachtungen: y t = β + β x t + ε t. (5.7) β st de margnale Konsumnegung, wr erwarten 0 < β <. De kausale Interpretaton lautet: wenn Indvduen Enhet mehr Enkommen haben, konsumeren se β Enheten mehr. Allerdngs st x t ncht exogen, sondern bestmmt durch: x t = y t + z t. (5.8) Enkommen entsprcht der Summe von Konsum (y t ) und Investtonen (z t ). Wr unterstellen, dass z t m Gegensatz zu x t und y t exogen st, d.h..3 { } E z ε = 0. (5.9) t t x t und y t werden mt dem n (5.7) (5.9) beschrebenen Strukturmodells determnert. Da y t das x t durch (5.8) beenflusst, snd x t und ε t korrelert. Damt st der KQ-Schätzer für β verzerrt und nkonsstent. Das Strukturmodell n (5.7) und (5.8) kann n sene reduzerte Form umgeformt werden. Dabe werden x t und y t nur als Funkton exogener Größen beschreben: Daraus folgt x β = + z + ε β β β t t t β β y = + z + ε t t t β β β (5.30) (5.3).4

9 σ cov{ x, ε t t} = cov{ z, ε t t} + V{ ε t} = 0. β β β Somt kann (5.7) ncht konsstent und unverzerrt per KQ geschätzt werden. Es lässt sch zegen, dass wobe { } so dass { ε t t} { } cov x, plm b =β +, V x V x = V t z + ε V z t t = +σ t β β β t ( ) ( ) plm b =β + β { } t ( { } ) σ V z +σ. (5.3),.3 Der Instrumentvarablen (IV)-Schätzer.3. Schätzung mt enem endogenen Regressor und enem Instrument Angenommen, wr versuchen den ndvduellen Lohnsatz durch enen Vektor persönlcher Merkmale x sowe durch de ndvduelle Anzahl gearbeteter Stunden (x ) mt enem lnearen Modell zu erklären: y = x' β + x β +ε (5.33) ur mt Annahmen für ε kann man deses Modell nterpreteren andernfalls könnten β und β belebge Werte annehmen und ε würde so defnert, dass de Glechung mmer zutrfft. De Interpretaton, dass (5.33) de beste lneare Approxmaton von y für gegebene Werte x und x angbt, erfordert de Annahmen.5.6 { } E ε x = 0, (5.34) { } E ε x = 0. (5.35) Unter desen Annahmen st KQ konsstent. Gelten se ncht, so gbt das Modell ncht mehr de auf x und x bedngten erwarteten y -Werte an. Im Lohnmodell enthält der Störterm auch unbeobachtbare Faktoren (z.b. Fähgket, Motvaton, Intellgenz). Dese können ebenfalls x, de Anzahl der gearbeteten Stunden, beenflussen. In deser Stuaton schätzt man den auf de gearbetete Stundenzahl bedngten Stundenlohn konsstent, aber ncht den kausalen Effekt der Stundenzahl (x ) auf den Lohn. β beschrebt den Lohnuntersched, der sch für zwe sonst hnschtlch hrer beobachtbaren Merkmale dentsche (ceters parbus) Personen ergbt, wenn ene x + und de andere x Stunden arbetet. Der Lohneffekt für ene belebge Person, de.7 hr Arbetsangebot von x auf x + Stunden erhöht, wrd dadurch ncht gemessen. β msst den mttleren Lohnuntersched, ohne de unbeobachtbaren Merkmale konstant zu halten. Ene kausale Interpretaton des Modells würde erfordern, dass auch de unbeobachteten, ncht kontrollerten Varablen konstant gehalten werden. Das lestet deses Modell ncht. Wenn man den Koeffzenten ener Varablen als hren kausalen Effekt auf de abhängge Varable nterpreteren möchte, muss de Gültgket der Annahmen (5.34) und (5.35) überprüft werden. Wenn { } E ε x 0, so sagt man, dass x hnschtlch des kausalen Effekts β endogen st. Bespel: In Lohnglechungen wrd oft argumentert, dass Famlenstand, Beruf oder Gewerkschaftsmtgledschaft endogen snd. Des bedeutet, dass es.8

10 unbeobachtete und evtl. unbeobachtbare Faktoren gbt, de sowohl den Lohn beenflussen (und daher n ε stecken) als auch den Famlenstand, de Berufswahl oder de Entschedung, Gewerkschaftsmtgled zu werden. Man stellt emprsch fest, dass m Mttel de Löhne der Verherateten oberhalb derjengen der Unverherateten legen. Des muss ken kausaler Effekt des Ehestands sen, sondern hängt auch damt zusammen, dass Verheratete und Unverheratete sch auch n ncht beobachtbaren Egenschaften unterscheden, de auch den Lohn beenflussen. Sobald { } E ε x 0, erzeugt der KQ-Schätzer verzerrte und nkonsstente Ergebnsse. Um enen konsstenten Schätzer abzuleten, muss das Modell statstsch dentfzert sen. Um en Modell mt K Parametern zu dentfzeren, benötgen wr K Momentenbedngungen. Aus (5.34) und (5.35) ergeben sch bespelswese zwe Momentenbedngungen: {( ) } E y x' β x β x = 0 (5.36) {( ) } E y x' β x β x = 0 (5.37) Be der Abletung der Bedngungen erster Ordnung des KQ-Schätzers haben wr genau so vele ormalglechungen, we Parameter zu schätzen snd. ( ) b = b',b ' st de Lösung von ( y x' b x b ) x 0 (5.38) = = ( y x' b x b ) x 0 (5.39) = =.9.30 Da es so vele Bedngungen we Parameter gbt, lässt sch das System endeutg lösen. Wenn allerdngs (5.35), { } E ε x = 0, ncht glt, glt auch (5.39) ncht. Das System st ncht mehr lösbar, β und β snd ncht dentfzert. Um β und β zu dentfzeren, benötgen wr ene Ersatzbedngung, de sch über Instrumente bzw. Instrumentvarablen ableten lässt. Ene Varable z st dann ene Instrumentvarable, wenn se mt ε unkorrelert st und mt der endogenen erklärenden Varable x korrelert st. In dem Fall kann (5.37) ersetzt werden durch {( ) } E y x' β x β z = 0 (5.40) Wenn dese Momentenbedngung ncht ledglch ene Kombnaton der anderen darstellt (z.b. wenn z ene Lnearkombnaton der Varablen n x st), dann st se "zusätzlch" und erlaubt, de K Parameter β und β zu dentfzeren. Den IV-Schätzer ˆβ IV erhält man als Lösung der Bedngungen: ( y x' ˆ x ˆ ) x 0 (5.4) Des führt zu folgendem Ausdruck: mt x' = ( x',x ) und ( ) Schätzer. = β,iv β,iv = ( βˆ β ˆ,IV,IV ) = = y x' x z 0 (5.4) IV = =, (5.43) β ˆ = zx' zy z' = x',z. Wenn z = x ergbt sch der KQ-.3.3

11 Wenn de Momentenbedngung (5.36) und (5.40) sowe wetere Regulartätsannahmen gelten, st der IV-Schätzer konsstent und asymptotsch normalvertelt. Zu den Regulartätsannahmen zählt bespelswese, dass z mt x korrelert st und kene Lnearkombnaton der Elemente von x darstellt. Unterstellen wr, dass ~..d. ( 0, ) ε σ und dass ε unabhängg von z st, so folgt für de asymptotsche Vertelung des IV-Schätzers: ; wobe = ' zx xz ( ) ( ˆ IV ) ( xz zz zx ) β β σ, (5.45) 0, plm z z' wrd als nverterbar unterstellt, d.h. zz = de K Elemente von z snd ncht multkollnear. ˆ { ˆ V β IV} = σˆ xz' zz' zx' = = = Als konsstenten Schätzer für σ kann man nutzen (5.46) ( ˆ IV) σ ˆ = y x' β (5.47) -K = Das Hauptproblem des IV-Schätzers st mest, geegnete Instrumentvarablen zu fnden. Im Bespel brauchen wr en z, das (partell) mt Arbetsstunden, aber ncht mt Fähgket oder den anderen unbeobachteten Elementen von ε korrelert st. Man könnte de Famlenstruktur nutzen, z.b. Knderzahl. De Varanz-Kovaranz-Matrx von ˆβ IV lässt sch n endlchen Stchproben we folgt schätzen: En anderes Problem des IV-Schätzers legt n den damt häufg verbundenen großen Standardfehlern. Des glt besonders dann, wenn de Korrelaton zwschen Instrument und endogener Varable gerng st. De dentfzerenden Annahmen der Momentenbedngungen lassen sch statstsch nur dann überprüfen, wenn mehr Bedngungen vorlegen als erforderlch snd. Wenn man de Gültgket ener Instrumentvarablen z unterstellt, lässt sch de Endogentät von x emprsch überprüfen. Ene Form des Hausman- Tests besteht darn, de KQ- und IV-Schätzwerte zu verglechen: Ist x endogen, sollten se sch unterscheden, da KQ nkonsstent st. Andernfalls sollte es kenen sgnfkanten Untersched zwschen den Schätzwerten geben, da ohne Endogentät bede Schätzverfahren konsstent snd..35 Ene enfach durchführbare Verson des (Durbn-Wu-)Hausman-Tests nutzt ene Hlfsregresson: Man regressert de potentell endogene Varable x auf x und z und bestmmt de vorhergesagten Resduen ˆν. Deser Wert wrd dem Orgnalmodell hnzugefügt und man schätzt per KQ y = x' β + x β +νˆ γ+ e. Wenn en t-test H 0 : γ = 0 ncht verwerfen kann, schleßt man, dass x exogen st, sonst ncht. Der Test geht davon aus, dass en valdes Instrument z vorlegt..36

12 .3. Zurück zum Keynesanschen Modell In enem Makromodell mt smultanem Glechungssystem lässt sch das Problem der Instrumentwahl so lösen: Jede exogene Varable des Systems, de n ener konkreten Glechung ncht vorkommt, wrd als Instrument genutzt, solange se mt der endogenen Varablen korrelert st und m Strukturmodell ncht vorkommt. De Korrelaton lässt sch anhand ener Hlfsregresson überprüfen. lautet dann Für ˆβ,IV ergbt sch T T ˆ β = x y z z ( ). IV t t t= t t= t β ˆ =,IV T ( z z t )( y y t ) t= T ( z z t )( x x t ) t=, (5.48) Somt können Investtonen (z t ) als Instrument des Enkommens x t genutzt werden. Der IV-Schätzer m Modell y =β +β x +ε t t t xt = yt + zt wobe z,y und x de Stchprobenmttelwerte snd. Der Schätzer lässt sch auch vom Strukturmodell (5.5) ableten, ndem man auf beden Seten der Glechung de Kovaranz mt dem Instrument z t berechnet: Wenn z t exogen st, folgt { t t} cov{ x,z } 0, so dass t t { } { } { } cov y,z =β cov x,z + cov ε,z. (5.49) t t t t t t cov ε,z = 0. Für das Instrument z t muss gelten { t t} { } cov y,z β =. (5.50) cov x,z Der IV-Schätzer für β ergbt sch, wenn man de Kovaranzen für de Grundgesamthet durch hre Stchprobenwerte ersetzt (vergleche 5.43): β ˆ =,IV t T ( ) ( z z )( y y t t T ) t= T ( ) ( z z t )( x x t ) T t= t. (5.5) Der Schätzer st konsstent, da de Stchprobenmomente zu den Momenten der Grundgesamthet konvergeren Zurück zum Messfehlerproblem In der Regresson von Ersparns (y t ) auf beobachtetes verfügbares Enkommen (x t ) y =β +β x +ε führt en Messfehler n x t t t t zu ener Korrelaton zwschen x t und ε t. Es st schwerg, Instrumentvarablen zu fnden, de mt x t, aber ncht mt dem Messfehler u t und mt ε t korrelert snd. Daher, und da de Auswrkungen von Messfehlern n den erklärenden Varablen abschätzbar snd, wrd das Problem oft gnorert..40

13 .3.4 Mehrere endogene Regressoren Gbt es mehrere endogene Regressoren, so berückschtgen wr das zunächst n der Dmenson von x : y = x' β + x' β +ε. Man benötgt für jede endogene erklärende Varable en egenes Instrument. Beschrebt man den Vektor der Instrumente als z, so blebt es be der Darstellung des IV-Schätzers aus (5.43) IV = =, β ˆ = zx' zy wobe jetzt x' = ( x',x' ) und z' ( x',z' ) =. Gelegentlch wrd der gesamte de Elemente von x hre egenen Instrumente. Gbt es kene endogenen Varablen, so st z = x und β ˆ = b KQ. IV Im Rahmen smultaner Glechungssysteme st es wchtg, mndestens genau so vele Instrumente we endogene erklärende Varablen vorlegen zu haben. Das Modell st überdentfzert, wenn mehr Instrumente als endogene Regressoren vorlegen. De Effzenz der Schätzung stegt, wenn alle verfügbaren Instrumente genutzt werden. Vektor exogener Varablen z als Instrumentenvektor bezechnet, dabe snd Illustraton: Schätzung der Rendte von Schulbldung Personen mt höherer Bldung haben höhere Löhne. Unklar st, ob des enen Kausal- oder enen Selektons- oder enen Sortereffekt beschrebt. Möglcherwese sorteren sch Personen mt höherem Verdenstpotental n höhere Bldung. Dann beschrebt der KQ-Schätzer für den Bldungseffekt dese Unterschede n den unbeobachteten Charakterstka der Erwerbstätgen. En Ansteg der Schulbldung, z.b. nfolge nsttutoneller Änderungen, hätte kene Auswrkung auf de Löhne. Untersuchungen herzu nutzen mest de klasssche Verdenstfunkton wobe w de logarthmerten Löhne snd, S de Jahre der Schulbldung, E de Jahre der Berufserfahrung. Letztere werden häufg approxmert als E = Alter S 6. Zusätzlch fnden oft auch andere Varablen, we Geschlecht, Regon oder ethnscher Hntergrund Berückschtgung m Modell. Außerdem wrd oft argumentert, dass de Rendte der Schulbldung ndvduell unterschedlch ausfällt. Wr nutzen als Lohnglechung w = z' β+γ S + u = z' β+γ S +ε (5.5) w =β +β S +β E +β E +ε,

14 wobe ε = u + (γ γ)s. z enthält alle Varablen außer S. Wr unterstellen S = z' π+υ, sowe E{ ε z} = 0. Uns nteressert E{ γ } = γ, de durchschnttlche Rendte enes zusätzlchen Jahres Schulbldung. Der KQ-Schätzer für β und γ n (5.5) st konsstent, wenn { } { } E ε S = E ε υ = 0, d.h. wenn es kene unbeobachteten Faktoren gbt, de sowohl S als auch w für ene Person beenflussen. Aus dre Gründen muss dese Annahme ncht unbedngt gelten: ) Ablty bas: Wenn Fähgket sowohl zu höherem Verdenst als auch zu höherer Schulbldung führt, snd ε und υ postv korrelert und der KQ- Schätzer für γ st nach oben verzerrt..45 ) Messfehler: Wenn S ungenau gemessen st, ergbt sch ene negatve Korrelaton zwschen ε und υ und der KQ-Schätzer st nach unten verzerrt (attenuaton bas). 3) γ : Wenn de ndvduellen Rendten (γ ) für Bldung besonders für Personen mt gernger Schulbldung hoch snd, st de unbeobachtete Komponente von ε, also (γ γ) S, negatv mt S korrelert. Der KQ-Schätzer st auf ull hn (nach unten) verzerrt. Da alle exogenen Varablen n der Schätzglechung berets drekt vorkommen, fehlt ene Momentenbedngung (bzw. en Instrument), um de Koeffzenten β und γ zu dentfzeren. Fndet man en weteres z, welches S bestmmt, aber ncht w, hätten wr das Modell über { } {( ) } E ε z = E w z' β γ S z = 0.46 genau dentfzert und könnten β und γ konsstent schätzen. Tab. 5. Lohnglechung KQ-Schätzung Als Instrumente werden manchmal Indkatoren der Elternbldung oder nsttutonelle Faktoren gewählt (z.b. Geburtsmonat, Entfernung zur nächsten Un). Als Modell n reduzerter Form spezfzeren wr mt { } S = z' π+υ (5.53) E υ z = 0. (5.53) hat ncht unbedngt ene ökonomsche Interpretaton. Wr betrachten Arbetsmarktnformatonen für 300 amerkansche Männer m Alter zwschen 4 und 34 Jahren aus dem Jahr 976. Tabelle 5. beschrebt de Lohnregresson für dese Stchprobe. Der Dummy smsa steht für Metropolregon, black für Afro-Amerkaner und south für ene Herkunft aus den Südstaaten..47 De mttlere Bldungsrendte beträgt ca. 7,4% pro Jahr Schulbldung. De Berückschtgung weterer erklärender Varablen n anderen Schätzungen ändert daran weng, das Ergebns st robust gegenüber Spezfkatonsänderungen..48

15 Wenn de Schulbldung endogen st, muss das auch für de damt defnerten beden experence Varablen gelten. Wr haben 3 endogene Varablen m Modell und benötgen entsprechend 3 Instrumente. Für de Erfahrungsvarablen beten sch Alter und Alter an. Für Schulbldung könnte man Un-ähe nutzen, wenn deser Indkator dazu beträgt, den Bldungserfolg zu erklären. Des wrd n der Hlfsregresson n Tab. 5. überprüft. Tab. 5. Reduzerte Form der Bldungsglechung KQ-Schätzung Das Modell n Tabelle 5. st ken Modell zur Erklärung der Bldungsentschedung, sondern ene reduzerte Form zur lnearen Approxmaton der abhänggen Varablen. Es zegt sch en sgnfkanter Effekt für de Varable lved near college De zwete Bedngung an ene Instrumentvarable, dass se ncht mt dem Störterm der Strukturglechung korrelert st, lässt sch ncht testen, da wr ohne Instrument kene konsstenten Schätzer für β und γ und damt für ε haben. En Instrument lässt sch nur dann testen, wenn de konsstente Schätzung berets auf Bass anderer Schätzergebnsse vorläge. Tab. 5.3 Lohnglechung IV-Schätzung Mthlfe der 3 Instrumente Un-ähe, Alter und Alter erhalten wr de Ergebnsse n Tabelle 5.3. De Bldungsrendte beträgt nun ca. 3% gegenüber 7,4% n der KQ- Schätzung. Se st nun aber wenger präzse geschätzt. Große Standardfehler ergeben sch nsbesondere be gernger Erklärungskraft der Instrumentvarablen. In Tabelle 5. hatten wr en R von ledglch 0,85. Je.5.5

16 schwächer de Korrelaton der Instrumente mt den endogenen Varablen, umso größer de Standardfehler der IV-Schätzung. Für den IV-Schätzer wrd ken R -Wert ausgewesen, da es sch ncht um en KQ-Verfahren handelt. Das Zel st her ncht Mnmerung der Fehlerquadratsumme, sondern konsstente Schätzergebnsse. Für Instrumente sollte gelten, dass se kenen drekten Enfluss auf de abhängge Varable m Strukturmodell (her log(wage)) haben. Das könnte man her anzwefeln, wenn Famlen mt hohem Enkommen und großer Bldungsnähe bevorzugt n Unverstätsstädte zehen und auch Knder mt höherem Enkommen haben. Allerdngs lässt es sch ncht testen. Her wrd de Bldungsrendte durch den KQ-Schätzer unterschätzt. Das wdersprcht der Vermutung von ablty bas, welche zu ener Überschätzung.53 geführt hätte, fndet sch n der Lteratur jedoch häufger. Möglche Erklärungen snd Messfehler, fehlerhafte Instrumente oder ndvduelle Rendten. Wenn de Bldungsrendten ncht für alle glech snd, d.h. relevant st ncht γ sondern γ, schätzt der IV-Schätzer de Rendten für dejengen, de durch de Ausprägung des Instrumentes zusätzlche Bldung erworben haben ("complers"). Man sprcht vom LATE, local average treatment effect (vergleche Kaptel 4) Generalserte IV-Schätzer.5. Mehrere endogene Regressoren be belebg velen Instrumenten Wr betrachten das Modell y = x' β+ε, (5.54) mt x der Dmenson K. Der KQ-Schätzer nutzt K Momentenbedngungen { } {( ) } E ε x = E y x' β x = 0. Wenn der Vektor z R Instrumente enthält, de z.t. auch n x vorkommen, erhalten wr R Momentenbedngungen { } {( ) } E ε z = E y x' β z = 0. (5.55).55 Fall : Wenn R = K, kann der Instrumentenschätzer aus den Momentenbedngungen für de Stchprobe bestmmt werden. Aus ( y x' β ˆ IV) z = 0 = erhalten wr IV = =. β ˆ = zx' zy Schrebt man das Modell y = X β + ε, mt der R Matrx Z für de Instrumente, so lässt sch der IV-Schätzer we folgt darstellen β ˆ = Z'X Z'y. (5.56) IV ( ) Fall : Wenn R > K, gbt es mehr Instrumente als Regressoren und man kann (5.55) ncht enfach durch de Stchprobenwerte ersetzen. Es gbt mehr.56

17 Glechungen als Unbekannte. Statt nun Instrumente unberückschtgt zu lassen und Effzenz zu verleren, schätzt man β so, dass alle verfügbaren R Stchprobenmomente ( ) y x' z β = De erste Abletung nach β ergbt als Bedngung erster Ordnung X'ZWZ'y+ X'ZW Z'Xβ ˆ = 0 IV X'ZW Z'y = X'ZW Z'X β ˆ, (5.59) IV en System aus K Glechungen und mt K unbekannten Elementen von ˆβ IV, so nah we möglch be 0 snd. Dazu mnmeren wr de quadratsche Form Q( β ) = ( y x' β ) z ' W ( y x' ) z β = =. (5.57) W st ene postv defnte R R Gewchtsmatrx. De Gewchte geben an, welche Bedeutung jeder der R Momentenbedngungen oder hren Lnearkombnatonen zukommt. In Matrxnotaton: Q( β ) = Z' ( y X β) ' W Z' ( y Xβ) wobe X Z de Dmenson K R hat und Z y de Dmenson R. Wenn X Z den Rang K hat, lautet de Lösung β ˆ = X'ZW Z'X X'ZW Z'y, (5.60) was von W abhängt. ( ) IV Wenn R = K, st X Z quadratsch und nverterbar. Somt ( ) ( ) ( ) β ˆ = Z'X W X'Z X'Z W Z'y = Z'X Z'y. IV. (5.58) Des entsprcht dann (5.56) und W st rrelevant. Man sagt, β st genau oder exakt dentfzert. Her kann Q (β) (5.58) den Wert ull annehmen, durch angemessene Wahl von β werden alle Stchprobenmomente genau 0. Fall 3: Wenn R < K, müssen mehr Parameter geschätzt werden, als Bedngungen vorlegen; β st ncht dentfzert, da ncht genug Informaton vorlegt. Ohne wetere Informatonen kann β ncht konsstent geschätzt werden. Wenn R > K, gbt es mehr Momentenbedngungen als zu schätzende Parameter. Man nennt β überdentfzert; es legt mehr Informaton für β vor als erforderlch st, um es konsstent zu schätzen. Je nach W erhalten wr unterschedlche Schätzer für β, de alle konsstent snd, solange W asymptotsch postv defnt st. Dabe mnmert man ene quadratsche Verlustfunkt- on der Stchprobenmomente. De Bevölkerungsmomente für de wahren β- Werte snd ull (sehe 5.55). De optmale Gewchtungsmatrx W generert den effzenten Instrumentvarablenschätzer. Se st umgekehrt proportonal zur Varanz- Kovaranz-Matrx der Stchprobenmomente, so dass de Momente mt klener Varanz genaue Informaton über β erzeugen und mt hohem Gewcht n de Schätzung engehen (und umgekehrt). De Varanz-Kovaranz-Matrx der Stchprobenmomente ε z hängt von = unseren Annahmen bezüglch ε und z ab. Wr unterstellen ~..d. ( 0, ) ε σ, sowe dass ε und z statstsch unabhängg vonenander snd. Dann st de Varanz-Kovaranz-Matrx der Stchprobenmomente.59.60

18 De optmale Gewchtungsmatrx st und der IV-Schätzer st σ = σ plm zz z z'. = opt = =. = W zz' Z'Z ( ( ) ) ( ) ˆ X'Z Z'Z Z'X X'Z Z'Z Z'y IV β =. (5.6) Deser wrd auch als verallgemenerter IV-Schätzer (GIVE) oder als twostage-least-squares (SLS)-Schätzer bezechnet. Be ncht-sphärschen Störtermen (Heteroskedaste oder Autokorrelaton) muss W angepasst werden. De asymptotsche Vertelung von ˆβ IV ergbt sch aus ( ) ( ˆ IV ) ( xz zz zx ) 0, β β σ, wobe xz und zz nun anders dmensonert snd als bem enfachen IV- Schätzer. En Schätzer für de Varanz-Kovaranz-Matrx des Schätzers st { ˆ } ( ( ) ) IV Vˆ β = σ ˆ X'Z Z'Z Z'X, (5.6) ˆσ ergbt sch herbe mt ˆ ε= ˆ y x' β aus σ ˆ = ˆ IV ε. Für unverzerrte = Schätzung st ene Korrektur der Frehetsgrade erforderlch: K SLS und das Keynesansche Modell Der GIVE-Schätzer (5.6) heßt auch SLS-Schätzer, da er auch als zwestufger KQ-Schätzer bestmmt werden kann. Dazu wrd m ersten Schrtt jede endogene Varable auf alle Instrumente regressert. In der zweten Stufe werden de ursprünglchen Strukturmodelle geschätzt, wobe de endogenen erklärenden Varablen durch vorhergesagte Größen ersetzt werden. Illustraton: De reduzerte Form der k-ten erklärenden Varable se x = Zπ +ν. Der mt KQ vorhergesagte Wert st ˆx = Zˆ π = Z k k k ( Z'Z) Z'x. k k k Wenn x k exogen st, ergbt sch ˆx k = x k. De Matrx der vorhergesagten Varablen st ˆX = Z( Z'Z) Z'X mt den Spalten xˆ k für k =,,,K. Der KQ-Schätzer für de zwete Stufe st dann IV ( ) β ˆ = X'X ˆ ˆ X'y ˆ. (5.63) Das st exakt dentsch mt 5.6, dem GIVE-Schätzer. Der Vortel von SLS st, dass enfache KQ-Schätzungen ausrechen, wobe allerdngs auf der. Stufe de KQ-Standardfehler korrgert werden müssen: Im Modell y =β 0 +β x + u werde x durch xˆ ersetzt. Se x ncht nutzbar. Mt x = xˆ +ε (b) folgt mt y =β +β xˆ + u (c) u * 0 = u +β ε (d) * Ene KQ-Schätzung von Glechung (c) ergbt var ( ˆ ) u* ˆx (a) σ β =, wobe (e).63.64

19 ( y βˆ βˆ xˆ ) 0 * û. (f) σ ˆ = = u* Allerdngs unterscheden sch ˆσ und ˆσ (sehe (d)). Um den wahren Wert ˆσ u* u u zu erhalten, berechnet man û = y βˆ 0 β ˆ x, wobe das orgnale x sowe de konsstent geschätzten Werte für ˆβ 0 und ˆβ engesetzt werden. Damt ergbt sch σ ˆ = u ( y βˆ βˆ x ) 0. (g) Hat man (g), so können de Standardfehler der Koeffzenten aus der Schätzung auf der zweten Stufe durch Multplkaton mt σˆ u σ ˆ u* korrgert werden. Je höher das R auf der ersten Stufe, umso ähnlcher snd x und xˆ und umso näher legt σˆ σ ˆ be, d.h. de Korrektur verändert ncht vel. u u* Man kann den GIVE-Schätzer auch mttels der Xˆ -Werte beschreben, ndem de K Spalten von Xˆ als Instrumente nterpretert werden: β ˆ = X'X ˆ X'y ˆ. IV ( ) Illustraton: Enthält das keynesansche Modell zusätzlch zur Konsumfunkton de Identtät Y = C + G + I, dann können G t t t t t und I t als Instrumente für y n der Konsumfunkton genutzt werden. Der effzenteste Schätzer verwendet bede Instrumente glechzetg. Damt st der GIVE: ( ( ) ) ( ) ˆ X'Z Z'Z Z'X X'Z Z'Z Z'y IV β =, wobe de Rehen der Matrzen Z, X und y gegeben snd durch z ' =, G,I, x ' =, Y und y t = C t. ( ) ( ) t t t t t Spezfkatonstests Alle Ergebnsse zu Konsstenz und asymptotscher Vertelung des GIVE- Schätzers bauen darauf auf, dass das Modell rchtg spezfzert st und dass de Momentenbedngungen zutreffen. Wenn das Modell exakt dentfzert st, muss ˆ z 0 gelten, unabhän- ε = = gg davon, ob des für de Grundgesamthet glt. De K = R Bedngungen snd ncht prüfbar. Wenn das Modell überdentfzert st, werden nur K der R Elemente n ˆ z ε glech ull gesetzt, aber wr erwarten, dass alle Bedngungen gegen ull konvergeren. Des kann man testen. ( ) ˆ ˆ ˆ IV = = = ξ= Q β = εz ' σˆ z z' εz (5.64) st asymptotsch χ -vertelt mt R K Frehetsgraden (R = Anzahl der Momentenbedngungen, K = Anzahl der geschätzten Parameter). Deser Test wrd als Sargan Test oder als Test der überdentfzerenden Bedngungen (overdentfyng restrctons test) bezechnet. ξ kann verenfacht bestmmt werden als R ener Regresson der IV- Resduen ˆε auf alle Instrumente z. De ullhypothese besagt, dass de Daten mt den R Momentenbedngungen überenstmmen. Wrd se verworfen, blebt jedoch ungeklärt, welche der Bedngungen problematsch st. Weß man vorher, dass en Tel der R Bedngungen, z.b. R glt, so lassen sch de übrgen R R Bedngungen testen, wenn das Modell mt R dent

20 fzert st, d.h. R K. Man bestmmt zunächst ξ für alle R Bedngungen und anschleßend ξ für de R gültgen Bedngungen. De Teststatstk für de R R unscheren Bedngungen lautet dann ξ ξ. Se st unter H 0 approxmatv χ -vertelt mt R R Frehetsgraden. Deser Test st mt dem Sargan-Test dentsch, wenn R = K..5.4 Schwache Instrumente Wenn de Instrumentvarablen nur schwach mt den endogenen Varablen korreleren, kann der IV-Schätzer stark verzerrt und nkonsstent sen. Sene Vertelung kann sch stark von der ormalvertelung unterscheden. Wenn das Instrument gültg st, st der Schätzer konsstent und konvergert gegen { } { } cov z,y β =. cov z,x Ist das Instrument ncht mt x korrelert, konvergert der enner gegen 0. ˆβ,IV st nkonsstent und der Schätzer konvergert ncht gegen de ormalvertelung Um zu prüfen, ob en Instrument gültg st, betrachtet man de Erklärungskraft der Instrumente ener Hlfsregresson. Im Modell mt der endogenen Varable x y = x' β + x β +ε mt exogenem x, E{ x ε } = 0 und mt dem Instrument z mt { } schätzt man x = x' π + z' π +υ. E z ε = 0 Wenn π = 0, snd de Instrumente ncht gültg und der IV-Schätzer st nkonsstent. Ist π nahe be ull, snd de Instrumente schwach. Als Daumenregel sagt man, dass man auf de Instrumente vertrauen kann, wenn de F- Statstk für H 0 : π = 0 größer als 0 st. Be F-Werten klener als 5 st mt fnte sample bas m IV-Schätzer zu rechnen. Daher werden de F-Statstken.7 der Schätzung der reduzerten Form be IV-Schätzern n der Regel mt angegeben. Be schwachen Instrumenten st deren Exogentät besonders wchtg, da sch andernfalls Inkonsstenzen der IV-Schätzung ergeben, de wet größer snd als das Ausgangsproblem der KQ-Schätzung. Für das enfache Regressonsmodell y =β x+ u mt Instrument z glt KQ ( ) ( ) ( ) plm βˆ β Cor z,u IV = plm βˆ β Cor x,u Cor z, x Wenn bspw. Cor (z, x) = 0,, dann st der IV-Schätzer schlechter als der KQ- Schätzer sobald Cor (z, u) / Cor (x, u) > 0,. Ene wetere Konsequenz schwacher Instrumente st de gernge Präzson von IV-Schätzern. Im enfachen Modell glt: Var ( β ˆ ) = Var ( β ˆ )/r, wobe r xz IV KQ xz.7

21 der quadrerte Stchprobenkorrelatonskoeffzent für x und z st. Somt zegt en m Verglech zum KQ-Standardfehler großer Standardfehler der nstrumenterten endogenen erklärenden Varablen en schwaches Instrument z. Ist Alter en gutes Instrument? ja, da hoch korrelert mt Erfahrung; nen wenn korrelert mt unbeobachteten Größen (z.b. sozale Fähgketen), de auch Löhne beenflussen können. Bespel: Un-ähe wrd als Instrument der Schulbldung (s) n ener Lohnregresson verwendet. Das Polynom zweter Ordnung für potentelle Arbetsmarkerfahrung (e) wrd durch en Alterspolynom ersetzt. Das Lohnmodell lautet: ln w =α+β s +β e +β e + x ' γ+ u. 3 x st en Vektor exogener Kontrollvarablen Tabelle 4.5. Returns to Schoolng: Instrumental Varables Estmates a OLS IV Schoolng (s) (0.004) (0.049) R Shea's partal R Frst-stage F-statstc for s a Sample of 3,00 young males. Dependent varable s log hourly wage. Coeffcent and standard error for schoolng gven; estmates for experence, experence squared, 6 control varables, and an ntercept are not reported. For the three endogenous regressors - schoolng (s), experence (e), and experence squared (e ) the three nstruments are an ndcator for whether a four-year college (col) s nearby, age, and age squared. The partal R and frst-stage F-statstc are weak nstruments dagnostcs explaned n the test. Quelle: Cameron und Trved, 005, S...75 Der KQ-Schätzer von 0,073 st nkonsstent, wenn unbeobachtete Größen ene Rolle spelen. Der IV-Schätzer ergbt 0,3 aber mt deutlch größerem Standardfehler. Im Modell mt mehreren endogenen erklärenden Varablen glt se β ˆ = se β ˆ /R wobe ( ) ( ), SLS,KQ p R das partelle R der Regresson der um den Effekt anderer erklä- p render Varablen berengten endogenen Varable auf das ebenso berengte Instrument st: ( ) ( ) x x = z z ' γ+υ xundz snd vorhergesagte Größen..76

22 (,KQ ) Das partelle R der schoolng-varable beträgt her 0,0064 = 0,08. Tatsächlch st der IV-Standardfehler ncht um = =,5 sondern um den p R 0,08 p se( βˆ, SLS ) 0,049 Faktor = =,5 größer, fast exakt we erwartet. Das In- se βˆ 0,004 strument schent kene enge Korrelaton mt s zu haben, der t-wert von ˆβ fällt von 9,64 m KQ-Fall auf,68 m IV-Fall. Schon ene klene Korrelaton IV des Instruments mt u kann zu Inkonsstenz von ˆβ führen. Der F-Wert für de gemensame Sgnfkanz der dre Instrumente n Bezug auf s beträgt 8,07. (s. Cameron & Trved 005, Kaptel 4.9.6).5.5 Indrect Least Squares En gelegentlch verwendetes Schätzverfahren verfährt we folgt: Schätzglechung mt ener endogenen Varable w: y = β 0 + x' β + β w + ε Reduzerte Form für w mt Instrument Z : w = α 0 + x' α +α Z + u Ensetzen für w ergbt: y = (β 0 + β α 0 ) + x' (β + β α ) + α β Z + β u + ε = γ 0 + x' γ + γ 3 Z + υ Schätzt man sowohl γ 3 als auch α mt KQ, lässt sch aus dem Verhältns β bestmmen: β = γ 3 / α. Des st der ndrect least squares Schätzer. Bespel: Identfkaton von Bldungsrendten über Verlängerung der Pflchtschulzet auf 9 Jahre (nth Grade). schoolng = ,90 nth Grade +... (KQ) (0,039) log wage = ,00 nth Grade +... (KQ) (0,008) log wage = ,058 schoolng +... (IV) (0,038).6 Der generalserte Momentenschätzer (GMM) Der GMM-Ansatz schätzt Parameter drekt auf Bass der durch en Modell vorgegebenen Momentenbedngungen, de lnear oder nchtlnear n den Parametern sen können. Der IV-Schätzer st en (lnearer) Spezalfall des allgemeneren GMM-Ansatzes. Damt Parameter schätzbar snd, muss es mndestens so vele Bedngungen we unbekannte Parameter geben. Im nächsten Abschntt werden nchtlneare Momentbedngungen bespelhaft aus der Theore abgeletet. Der ILS-Schätzer beträgt 0,00 = 0,056, was nahe am IV-Ergebns legt. 0,90 Quelle: Pschke und von Wachter, 008, S

23 .6. Bespel En Agent maxmere senen erwarteten utzen aus jetzgem und zukünftgem Konsum S max E U C C + s δ ( ), (5.65) t t s s= 0 wobe C t+s der Konsum n Perode t + s se, U(C t+s ), der damt verbundene utzen, δ der Dskonterungsfaktor ( 0 δ ) und E t der auf de zum Zetpunkt t verfügbare Informaton bedngte Erwartungsoperator. De ntertemporale Budgetbeschränkung se ( ) C + q = w + + r q, (5.66) t+ s t+ s t+ s t+ s t+ s wobe q t+s das Vermögen am Ende der Perode t+s beschrebt, r t+s gbt de Rendte auf Vermögen an, und w t+s st das Arbetsenkommen. Gemäß Budgetbeschränkung werden Arbets- und Vermögensenkommen auf Konsum (C t+s ) und Ersparns (q t+s ) verwendet. Wennglech das Problem analytsch schwer zu lösen st, können de unbekannten Parameter über de Bedngungen erster Ordnung bestmmt werden: { ( + )( + )} ( ) E δ U' C + r = U' C, t t t t d.h. der Grenznutzen enes heute konsumerten Euros muss m Optmum dem Grenznutzen des n der nächsten Perode anfallenden und dann auf das ( + r t+ )-fache gewachsenen Euros entsprechen. ach Dvson durch U'(C) und Umstellen lässt sch nun schreben.8.8 ( t+ ) ( ) δ U' C E r 0 t + t+ =. (5.67) U' ( C ) t Be Annahme ener konkreten funktonalen Form für U kann (5.67) als Momentenbedngung genutzt werden, um de unbekannten Parameter der utzenfunkton zu schätzen. Befndet sch z t n der Informatonsmenge zum Zetpunkt t, so sollte z t über den Erwartungswert von δ U' C ( t+ ) ( ) ( ) U' C t + r t+ kene Informaton besteuern, der Erwartungswert sollte auch bedngt auf z t glech ull sen und da allgemen E{ x x } = 0 mplzert, dass E{ x g ( x) } = 0, sollte gelten: U' ( C ) δ t+ Et ( + rt ) z 0 + t =. (5.68) U' ( C ) t Be optmalem Verhalten des Agenten st z t also en gültges Instrument. Unterstellen wr für de utzenfunkton de Form γ C UC ( ) =, γ dann lässt sch (5.68) konkretseren:.83.84

24 γ C δ ( + ) = C t t+ E r z 0 t+ t. (5.69) Des ergbt so vele Momentenbedngungen we z t Elemente hat und erlaubt, de unbekannten Parameter δ und γ zu dentfzeren und konsstent zu schätzen, sofern Daten für C t, C t+, r t+ und z t vorlegen..6. Der GMM-Schätzer Im Allgemenen lassen sch de R Momentenbedngungen darstellen als { ( t t )} E f w,z, θ = 0, (5.70) wobe f ene Vektorfunkton mt R Elementen st, θ st en K-dmensonaler Vektor mt unbekannten Parametern, w t snd endogene oder exogene Varablen und z t st der Vektor der Instrumente, z.b. w' t ( C C,r t+ t t+ ) Abschntt.5 w' = ( y,x' ). t t t = oder n Um θ zu schätzen, betrachten wr das Stchprobenäquvalent von (5.70): g T. (5.7) ( θ) f( w,z, θ) T t t T t = Wenn R = K, kann man alle R Elemente von (5.7) glech ull setzen und endeutg nach θ auflösen, um enen konsstenten Schätzer zu erhalten. Das st analytsch ncht mmer möglch, wenn f nchtlnear st. In desem Fall verwendet man numersch teratve Verfahren, um θ zu approxmeren. Wenn R < K, st θ ncht dentfzert. Wenn R > K, lässt sch aus (5.7) kene endeutge Lösung durch Glechsetzen mt ull bestmmen. Stattdessen wrd ene quadratsche Form der Momentenbedngung durch geegnete Wahl von θ mnmert: ( ) ( ) ( ) mnq θ = mn g θ ' W g θ. (5.7) θ T θ T T T W T st we zuvor ene postv defnte Gewchtungsmatrx mt plm WT = W. De Lösung für deses Problem st der GMM-Schätzer ˆθ, der unter schwachen Bedngungen konsstent und asymptotsch normalvertelt st. Zumest wrd der GMM-Schätzer durch numersch teratve Verfahren bestmmt. Dabe ergeben sch je nach W T unterschedlche, konsstente Schätzer mt unterschedlchen asymptotschen Varanz-Kovaranz-Matrzen. De klenste Varanz-Kovaranz-Matrx für den GMM-Schätzer erhält man (solange kene Autokorrelaton vorlegt), wenn man de nverse Varanz-Kovaranz- Matrx der Stchprobenmomente heranzeht: ( { ( ) ( ) }) t t t t opt W E f w,z, f w,z, ' = θ θ

25 Allerdngs hängt W opt von θ ab. Daher geht man n mehreren Schrtten vor: () utze enen Ersatz für W T, z.b. de Identtätsmatrx I, um ˆθ konsstent zu bestmmen. () Schätze W opt konsstent durch ( ˆ ) ( ˆ ) T opt W = T f w,z, θ f w,z, θ ' t t t t T. (5.73) t= opt () Berechne den effzenten ˆθ GMM -Schätzer mt Hlfe von W T. De asymptotsche Vertelung st T θ ˆ θ 0,V. (5.74) ( GMM ) ( ) De asymptotsche Varanz-Kovaranz-Matrx des effzenten ˆθ GMM lautet opt ( ) V = D W D', (5.75) wobe D de K R-Matrx der ersten Abletungen der Momentenbedngungen darstellt: D ( θ) f w,z, t t = E θ'. (5.76) Damt beschrebt D, we empfndlch ene enzelne Bedngung auf klene Änderungen n θ reagert. Je größer de Reakton, umso stärker de Bedeutung deses θ-wertes für de Zelfunkton Q T (θ). Umgekehrt werden dese Elemente dann besonders präzse, d.h. mt klener Varanz geschätzt. Man schätzt V, ndem de Werte von D und W opt für de Grundgesamthet durch hre Stchprobenwerte ersetzt werden, de an ˆθ GMM bewertet werden. Zentrale Vortele des GMM-Verfahrens snd: () Vertelungsannahmen snd ncht erforderlch; () Heteroskedaste unbekannter Form stellt ken Problem dar; (3) auch wenn das Modell analytsch ncht lösbar st, können Parameter auf Bass der Bedngungen erster Ordnung geschätzt werden, de z.b. drekt aus der Theore abgeletet werden. (4) be dynamschen Modellen können verzögerte Werte von Varablen als Instrumente genutzt werden. Jede Varable kann als Instrument genutzt werden, wenn se z.b. m Informatonsstand der Perode t auftaucht und de Bedngung (5.67) glt. Ene Schwäche des GMM-Verfahrens st, dass sch de Stchprobenvertelung der GMM-Schätzer kaum an de asymptotsche ormalvertelung n (5.74) annähert. Ebenfalls st das Problem schwacher Instrumente auch für den GMM-Schätzer relevant. gelten T ( GMM) Der Test auf Überdentfkaton (overdentfyng restrctons test) lässt sch auf nchtlneare Modelle übertragen. Wenn de Momentenbedngung für de Grundgesamthet, E{ f( w,z, θ t t )} = 0, glt, dann sollte auch für de Stchprobe g θˆ 0. Unter der ullhypothese, dass alle Momentenbedngungen zutreffen, st de Teststatstk ˆ opt ξ= Tg θ 'W g θ ˆ ( ) ( ) T GMM T T GMM asymptotsch χ -vertelt mt R-K Frehetsgraden. ˆθ GMM st dabe der optmale opt GMM-Schätzer, W T st de auf Bass enes konsstenten Schätzers für θ bestmmte optmale Gewchtungsmatrx..9.9

26 .6.3 Enfache Bespele Bespel : Wr möchten den Mttelwert μ ener Zufallsvarable y n der Bevölkerung mttels der Ausprägungen n ener Stchprobe mt Beobachtungen schätzen ( =,,,). De Momentenbedngung deses Modells lautet: Für de Stchprobe glt: ( ) { } μ = = E y μ = 0 μ= ˆ y und damt der Stchprobenmttelwert st. y 0, so dass der Momentenschätzer Bespel : Im lnearen Modell y = x' β+ε st de Momentenbedngung mt enem Instrumentenvektor z : { } {( ) } E ε z = E y x' β z = 0. Wenn ε..d.(0, σ ) st, st der optmale GMM-Schätzer der IV-Schätzer. De optmale Gewchtungsmatrx st was geschätzt werden kann mt ( { }) W opt E z z' W = ε, opt = εˆ z z' =, wobe ˆε das Resduum enes konsstenten Schätzers st. Solange ˆε..d. (0, σ ) kann man auch nutzen W opt zz' = =. Um de Varanz des geschätzten Koeffzenten zu bestmmen, nutzen wr de K R Matrx der ersten Abletungen der Momentenbedngung nach β: { } D = E x z'. In deser Form berückschtgt de Varanz des GMM-Schätzers automatsch ene Whte-Korrektur für heteroskedastsche Störterme. Des kann für de Stchprobe konsstent geschätzt werden durch D = xz'. = Damt kann de Varanz-Kovaranz-Matrx des optmalen GMM- oder GIV- Schätzers βˆ für β geschätzt werden als (vgl. 5.75) ( ) ε = = = ˆ ˆ V β = x z' ˆ z z' z x'. (5.77).95.96

27 .7 Illustraton: Schätzung des Intertemporalen Asset Prcng Modells Asset Prcng Modelle versuchen, de erwartete Rendte verschedener rskanter Investtonen zu erklären. Da dem Investor für rskantere Investtonen Rskoprämen bezahlt werden sollten, erwarten wr, dass sch de erwarteten Rendten über de verschedenen Aktva hnweg unterscheden. Wr betrachten alternatve Investtonsmöglchketen für Fnanzvermögen. De Rendten für J rskante Aktva seen r j,t+ mt j =,,, J, de für ene rskofree Investton se r f,t+. Wenn der Agent sen Portfolo optmal bestmmt, mplzeren de Bedngungen erster Ordnung { δ ( )( + t t f,t ) } = + + ( ) t { ( + )( + )} ( ) E U' C r U' C E δ U' C + r = U' C, j =,, J. t t j,t t.97 D.h. der erwartete Grenznutzen aus dem Konsum enes Euro heute muss dentsch sen mt dem Grenznutzen aus der Investton des Geldbetrages n en Aktvum j und über alle verschedenen Aktva j hnweg. Wenn γ C U(C) = lässt sch ensetzen und umformen: γ γ C δ ( + f,t+ ) = Ct t+ E r γ C δ ( j,t+ f,t+ ) = Ct t+ E r r 0 (5.78) j, =,, J. (5.79) De Dfferenz r j,t r + f,t + bezechnet man als Überschussrendte, excess return, über de rskofree Rendte. Wr ersetzen de ntertemporale Grenzrate der Substtuton durch.98 m t+ γ C t+ ( θ) δ. Ct θ enthält de unbekannten Parameter δ und γ und wrd auch als stochastscher Dskontfaktor bezechnet. Wenn m t+ (θ) vorlegt, haben wr en Modell für de erwarteten Rendten. Dazu nutzen wr, dass für Zufallsvarablen glt E{ xy} = cov{ x,y} + E( x) E( y) und wenden es auf (5.79) an: { ( ) } ( ) { } { } { ( θ) t+ j,t+ f,t+ } E{ mt+ ( θ) } cov m θ,r r + E m θ E r r = 0 t+ j,t+ f,t+ t+ j,t+ f,t+ cov m,r r E r = { r j,t+ f,t+ }. (5.80) De erwartete Überschussrendte für Aktvum j st ene Rskopräme, de drekt mt der Kovaranz der Überschussrendte und dem stochastschen Dskontfaktor schwankt. Wenn m t+ (θ) bekannt st, lässt sch de.99 Querschnttsvaraton der erwarteten (Überschuss-)Rendte über de Aktva hnweg erklären. Im Glechgewcht muss de Rendte von Aktva, de postv mt dem Konsumwachstum kovareren, höher ausfallen als de Rendte von Aktva, de das ncht tun. Erstere führen zu höherer Volatltät zukünftgen Konsums, was durch höhere erwartete Rendten ausgeglchen werden muss. De Parameter δ und γ können durch de Momentenbedngungen (5.78) und (5.79) geschätzt werden. Dazu wurden Daten von Febr. 959 bs ov. 993 zu monatlchen Rendten genutzt. Betrachtet werden 0 Aktenportfolos für unterschedlch große, an der ew Yorker Börse gehandelte Aktenpakete. Als rskolose Rendte glt de Rendte für 3-monatge US-Bonds. Weter.00

28 werden de gesamten US-amerkanschen Konsumausgaben für nchtlanglebge Konsumgüter und Denstlestungen herangezogen. Mt J = 0 und enem rskofreen Asset ergeben sch aus (5.78) und (5.79) Momentenbedngungen, mt denen wr Parameter schätzen wollen. De GMM-Schätzung kann entweder mt ener suboptmalen Gewchtungsmatrx (z.b. W = I) bestmmt werden oder se kann n zwe Schrtten vorgehen (: W =I und θ [] schätzen, : mt W = W opt θ [] schätzen) oder en teratves Verfahren nutzen. Be letzterem führt man den Anpassungsprozess des Zwe- Schrtt-Schätzers fort, bestmmt auf Bass von θ [] en verbessertes W opt, damt en besseres θ [3] und so fort, bs sowohl θ als auch W zu stablen Werten hn konvergeren..0 Mt den Daten wurden en suboptmaler und en teratver GMM-Schätzer bestmmt. Tabelle 5.4: De Schätzer für γ snd extrem groß und haben große Standardfehler. Gegeben unsere utzenfunkton, entsprcht γ dem Koeffzenten relatver Rskoaverson (= C U'' ( C) U' ( C) U'' ( C) U' ( C) ; Koeffzent absoluter Rskoaverson: ), der de ntertemporale Substtutonselastztät für den Konsum n verschedenen Peroden msst. Im Bespel kann ene Konsumredukton n Perode t um % nur durch ene Erhöhung des Konsums n Perode.0 t+ um 9 bzw. 57% ausgeglchen werden, wenn der utzen glech bleben soll. De Indvduen snd extrem rskoscheu. Mt enem overdentfyng restrctons -Test lässt sch prüfen, ob alle R = Momentenbedngungen zutreffen. De Ergebnsse n Tabelle 5.4 ergeben, dass dese ullhypothese ncht verworfen werden kann. Be R K = = 9 Frehetsgraden beträgt der krtsche χ -Wert am 5%-veau 6,9. Statstsch st das Modell ncht zu verwerfen, nhaltlch snd de Schätzergebnsse weng plausbel. Lteratur Verbeek, 004, 5. Kaptel Angrst, Joshua A. und Jörn-Steffen Pschke, 009, Mostly Harmless Econometrcs, Chapter 4: Instrumental Varables n Acton. Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, MIT Press, Chapter 5: Instrumental Varables Estmaton of Sngle- Equaton Lnear Models. Cameron, Coln A. und Pravn K. Trved, 005, Mcroeconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge Unv. Press, Chapter 4.8 und 4.9. Pschke, Jörn-Steffen und Tll von Wachter, 008, Zero Returns to Compulsory Schoolng n Germany: Evdence and Interpretaton, Revew of Economcs and Statstcs 90 (3),

29 Kaptel 3: Paneldatenmodelle 3. Enführung 3. Das statsche lneare Modell 3.3 Illustraton: Modelle für ndvduelle Löhne 3.4 Dynamsche lneare Modelle 3.5 Illustraton: Lohnelastztät der Arbesnachfrage 3.6 Illustraton: Kaptalstruktur von Unternehmen 3. Enführung Paneldaten bestehen aus wederholten Beobachtungen für gegebene Enheten. Daher snd enzelne Beobachtungen ncht we be Querschnttsdaten unabhängg vonenander. Qualtät von Paneldaten häufg durch fehlende Beobachtungen engeschränkt: Panelausfall (Panelattrton, Panelmortaltät); balanced vs. unbalanced panels (vollständge und unvollständge Datensätze). Vortel von Paneldaten: Verhaltensänderungen von Beobachtungsenheten messbar. Paneldaten erlauben, Beobachtungsenheten mt sch selbst n ener anderen Perode zu verglechen Bespel: Es lässt sch feststellen, ob en mttlerer Konsumansteg um % darauf zurückzuführen st, ob alle um % mehr konsumeren oder z.b. en Tel um 4% und der andere um 0%. Indces: Beobachtungsenhet =,,,, Perode t =,,,T. Im lnearen Modell y =β + x' β+ε (3.) t 0 t t wrd unterstellt, dass Stegungsparameter konstant snd für alle und t. Unter herkömmlchen Annahmen st KQ unverzerrt, konsstent und effzent. Allerdngs snd be Paneldaten oft -spezfsche Störterme über Peroden hnweg korrelert. Dann st KQ neffzent. Be Paneldaten wrd häufg unterstellt ε = α + u. (3.) t t Für u t wrd Homoskedaste angenommen. α st konstant unbeobachtet, - spezfsch und über de Indvduen hnweg homoskedastsch. Das Modell wrd als error components oder random effects Modell bezechnet. Ene FGLS- Schätzung wäre effzenter als KQ. De Annahme E{x t ε t } = 0 besagt, dass de Regressoren weder mt u t noch mt α korrelert und exogen snd. E{x t α } = 0 st oft unzutreffend. Frage: Kennen Se en Bespel, be dem E{x t α } 0? Be Querschnttsdaten verwendet man n deser Stuaton IV, be Paneldaten gbt es andere Möglchketen. Im fxed effects Modell

30 y =α + x' β+ u (3.3) t t t snd α ( =,,, ) unbekannte Konstanten, de gemensam mt β geschätzt werden können. De Konstante β 0 entfällt und wrd durch de α aufgefangen. Durch α wrd zugelassen, dass sch das veau von y systematsch von Beobachtung zu Beobachtung, z.b. wegen unbeobachteter Varablen, unterscheden kann (Mttelwertunterschede). Für u t wrd Unabhänggket und dentsche Vertelung über alle und t mt σ unterstellt. Wenn de α als unbekannte u Eu { t } = 0und konstanter Varanz Parameter betrachtet werden, sprcht man vom fxed effects Modell. Dann st de Annahme E{x t α } = 0 des random effects Modells für konsstente Schätzung ncht erforderlch Vortele von Paneldaten Wel Paneldatensätze typscherwese groß snd und de erklärenden Varablen sowohl über als auch über t vareren, snd de Schätzer n der Regel effzenter als be Querschnttsverfahren. Das kann sogar gelten, wenn de gleche Zahl von Beobachtungen vorlegt. Identfkaton ndvdueller Dynamk: Häufg haben Indvduen, de en Eregns erleben (z.b. Arbetslosgket), ene höhere Wahrschenlchket, deses noch mal zu erleben als andere. möglche Erklärungen: (a) Durch das Erlebns werden de Präferenzen oder Restrktonen so beenflusst, dass en erneutes Eregns wahrschenlcher wrd (state dependence, Zustandsabhänggket). (b) De Indvduen werden ncht durch das Erlebns beenflusst, sondern unterscheden sch grundsätzlch n hrer Wahrschenlchket, das Eregns zu er- 3.6 leben (spurous state dependence). Mt Paneldaten lässt sch überprüfen, welche der beden Erklärungen zutrfft. Verzerrung aufgrund ausgelassener Varablen: Verzerrte Parameterschätzer ergeben sch, wenn de berückschtgten Varablen mt den ausgelassenen korrelert snd. So st bespelswese der Output y t enes Unternehmens ncht nur von den Inputs x t, sondern auch von der unbeobachteten Qualtät des Managements m abhängg. Da bessere Manager wenger Inputs benötgen, snd m und x korrelert. Schätzt man ene Produktonsfunkton y =β + x' β + m β + u (3.5) t 0 t t ohne m, so ergeben sch verzerrte Werte für β 0 und β. Wenn Paneldaten vorlegen, lässt sch das Problem lösen, da unternehmensspezfsche Effekte α =β + m β als fxe Effekte mtgeschätzt werden können: y =α + x' β + u (3.5a) t t t Durch Berückschtgung von Zetndkatoren (Perodendummes) kann man alle perodenspezfschen Effekte herausrechnen, de für alle Beobachtungen glech snd (z.b. Konjunktureffekte). Auch dadurch lassen sch potentelle Verzerrungen durch ausgelassene erklärende Varablen abfangen. Ene fxed effects Schätzung elmnert konstante unbeobachtbare Größen aus dem Störterm und löst dadurch verursachte Endogentätsprobleme. Interne Instrumente: Besonders hlfrech können Paneldaten sen, wenn Instrumentvarablen für endogene Regressoren oder be Messfehlern erforderlch snd. Da Transformatonen der Orgnalvarablen (z.b. w = x -x) mt t t dem zetkonstanten unbeobachteten Störterm des Modells unkorrelert, aber mt den erklärenden Varablen korrelert snd, egnen se sch als Instrumente. 3.8

31 3. Das statsche lneare Modell 3.. Das fxed effects Modell Unterstellt wrd en lneares Modell mt ener von abhänggen Konstante und exogenen x t : ( ) y =α + x' β+ u, u ~..d. 0, σ (3.6) t t t t u De ndvduelle Heterogentät (α ) st addtv verknüpft und wrd als konstant angenommen. Das Modell kann ebenfalls mt Hlfe von Dummyvarablen d j für jede Beobachtung dargestellt werden: y = α d + x' β+ u (3.7) t j j t t j= Wenn = j, nmmt d j den Wert an, sonst 0. In desem Modell snd neben den Parametern für β verschedene α Parameter zu schätzen. Man sprcht vom Least Squares Dummy Varables (LSDV) Schätzer. Frage: Was st der Wert von k = d? j= j Wenn groß st, st en anderes Verfahren günstger. Dabe werden de fxen Effekte α durch Transformaton der Daten elmnert; zunächst schreben wr de Glechung n Mttelwerten, mt y = y t T t y =α + x' β+ u (3.8) Dann ergbt sch für en Modell n Abwechungen von ndvduellen Durchschntten ( ) ( ) y y = x x ' β+ u u, (3.9) t t t dass sch de α -Werte heraus kürzen. Dese Transformaton bezechnet man als wthn-transformaton, den KQ-Schätzer für β aus desem Modell als wthn-schätzer oder fxed effects-schätzer. Er st exakt dentsch mt dem LSDV-Schätzer aus (3.7): T - T ( ( )( ) ) ( )( ) ˆβ = x -x x -x ' x -x y -y (3.0) FE t t t t = t= = t= Wenn alle x t von allen u t unabhängg snd (vgl. Annahme A), dann st der fxed effects-schätzer für β unverzerrt. Er st normalvertelt, wenn u t normalvertelt st. De Voraussetzung für Konsstenz st {( t ) t} E x x u = 0 (3.) 3. Hnrechend für dese Voraussetzung st, dass x t und u t unkorrelert snd und dass x ncht mt dem Störterm korrelert st. Bede Bedngungen werden durch { } E x u = 0 für alle s,t (3.) t s mplzert. Wenn (3.) glt, nennen wr x t strkt exogen. Strkt exogene Regressoren snd weder mt vergangenen, kontemporären noch mt zukünftgen Störtermen korrelert. Des schleßt sowohl verzögerte endogene Varablen als Regressoren (z.b. y,t- ) aus (warum?), als auch solche x t, de mt vergangenen Werten von y t korrelert snd. Bespel: Strkte Exogentät schleßt aus, dass man n ener Arbetsangebotsglechung Arbetsmarkterfahrung berückschtgt, wel dese dem Arbetsangebot der vergangenen Peroden entsprcht. 3.

32 De Achsenabschntte ergeben sch be Unabhänggket von x t und u t aus: ˆα =y -x'β ˆ, =,,,. FE Se snd konsstent nur für T ; ene hohe Anzahl von Beobachtungsenheten verbessert ncht de Konsstenz der enzelnen Schätzer von α. y und x bleben unverändert. De Varanz-Kovaranz-Matrx von ˆβ FE lautet her: T { ˆ β } = σ ( )( ) FE u t t V x x x x '. (3.3) = t= Der KQ-Schätzer auf Bass der wthn Regresson (3.9) unterschätzt de wahre Varanz, es se denn, dass T sehr groß st. Der Grund dafür st, dass de ndvduellen, transformerten Resduen sch zu ull adderen und de Störterm-Kovaranz-Matrx sngulär st. De Varanz von ( u u ) sondern T T σ. u Wenn ˆ ˆ ˆ ( ) Schätzer für t t t FE t t FE t st ncht σ, u u = y α x' β = y y x x ' β ˆ, dann lautet en konsstenter σ : u T σ ˆ = u uˆ (3.4) t T = t = ( ) Für Unverzerrthet st noch ene Korrektur für de Frehetsgrade erforderlch, also. ( T ) K Im LSDV-Modell werden de Frehetsgrade der Varanz automatsch korrgert Unter schwachen Annahmen st der fxed effects-schätzer asymptotsch normalvertelt, so dass herkömmlche Inferenzverfahren genutzt werden können (z.b. t- und Wald-Tests). Der fxed effects-schätzer nutzt Informatonen für gegebene Indvduen. Es wrd erklärt, warum y t sch von y unterschedet, während be Querschnttsverfahren erklärt wrd, warum sch y und y j unterscheden. Glechzetg wrd durch de Formulerung des Modells unterstellt, dass ene Änderung n x zwschen Perode t und s für Beobachtung den glechen Effekt hat we zwschen zwe verschedenen Beobachtungen und j. Dabe stammt de Informaton zur Schätzung der β ncht aus dem Verglech von Beobachtungen und j, sondern aus dem Verglech der verschedenen Ausprägungen für gegebene Beobachtungen Der Frst Dfference Schätzer Ene andere Möglchket, α zu elmneren, besteht darn, erste Dfferenzen zu betrachten: ( ) ( ) y y = x x ' β+ u u t t t t t t Δ y = Δx' β+δ u t =,3,...,T t t t (3.5) We zuvor bem wthn-schätzer können zetkonstante Varablen ncht berückschtgt werden. Der KQ-Schätzer für deses Modell st der frst dfference Schätzer: T T ˆ β = Δx Δx' Δx Δy Der Schätzer st konsstent, wenn glt. (3.6) FD t t t t = t= = t= 3.6

33 { t t} {( t t )( t t ) } E Δx Δ u = E x x u u = 0 (3.7) Dese Bedngung st schwächer als de Bedngung strkter Exogentät n (3.), bspw. lässt se zu, dass E{x t u t- } 0. Der frst dfference Schätzer st wenger effzent als der wthn Schätzer, falls de Störterme homoskedastsch und serell unkorrelert snd. Unterstellt man statt serell unkorrelerten u t serell unkorrelerte Δu t, d.h. e t = Δu t = u t - u t-, und bspw. enen random walk für u t mt u t = u t- + e t, so st der frst dfference Schätzer effzenter als der wthn Schätzer. Serelle Unkorrelerthet von e t = Δu t lässt sch mttels t-test überprüfen: eˆ =ρ ˆ e +υ t = 3,4,...,T =,,...,. t t t Wenn u t serell unkorrelert st, muss e t autokorrelert sen mt corr(e t, e t- ) = -0,5. Wenn T =, snd wthn und frst dfference Schätzer dentsch, vorausgesetzt, dass der frst dfference Schätzer ene Regressonskonstante enthält und m wthn Schätzer en Dummy für Perode berückschtgt st. Unterscheden sch de Schätzergebnsse stark, glt u.u. Annahme (3.) ncht. Der dfference-n-dfferences Schätzer st ene Anwendung des frst dfference Schätzers. Das fxed effects Modell für y t laute y =δ r +μ +α + u t t t t mt r t = für de, de n Perode t das treatment erhelten (sonst r t = 0), μ st en Zeteffekt, wetere Regressoren werden vernachlässgt Mt Paneldaten können wr Personen mt und ohne treatment vorher und nachher verglechen. Durch frst dfference-transformatonen werden fxe Effekte α elmnert: Δ y = δδ r +Δμ +Δ u (3.8) t t t t δ kann mt KQ konsstent geschätzt werden, wenn E{Δr t Δu t } = 0. Es st dabe zulässg, dass α mt r t und u t korrelert st. treated Δ y = δ ˆ +Δμ +Δu treated t t Δ y = Δμ +Δu Δy Δ y = δˆ nontreated t t nontreated Dabe wrd unterstellt, dass der Zeteffekt Δμ t für bede Gruppen dentsch st. Das Verfahren wrd oft m Zusammenhang mt natürlchen Expermenten angewendet. Gbt es nur Zetperoden, so ergbt sch für de treated mt r = und de nontreated mt r = 0: δ=δ ˆ y Δ y, da treated nontreated

34 3..3 Das random effects-modell Es wrd unterstellt, dass α Zufallsfaktoren snd, de unabhängg und dentsch über de Beobachtungsenheten vertelt snd. Das Modell lautet t t t t u ( ) ( ) y =μ+ x ' β+α + u, u ~..d. 0, σ ; α ~..d. 0, σ (3.9) α Der Störterm st α + u t und besteht aus ener -spezfschen Komponente, de über de Zet konstant st, und enem Resdualterm, der über de Zet unkorrelert st. Es wrd unterstellt, dass α und u t unabhängg vonenander und von allen x js (für alle j und s) snd. Das Modell wrd auch als one way error component Modell bezechnet. 3. De Struktur des Störterms mplzert Autokorrelaton (wegen σ α). Dadurch snd de KQ-Standardfehler ncht korrekt und en effzenterer GLS-Schätzer kann verwendet werden. Für Beobachtung lassen sch alle T beobachteten Störterme als α j T + u überenanderschreben, wobe j T = (,,..,)' und u = (u,,u T )' de Dmenson T haben. De Varanz-Kovaranz-Matrx für desen Vektor st V{ α j+u t } =Ω = σ j j' +σ I α T T u T wobe I T de T-dmensonale Enhetsmatrx st. Für z.b. T = 3 ergbt sch für jedes 0 0 σ + σ σ σ α u α α Ω = σ +σ 0 0 = σ σ + σ σ α u α α u α 0 0 σ σ σ + σ α α α u. 3. Damt kann der GLS-Schätzer für de Parameter n (3.9) abgeletet werden. De Daten werden für jede Beobachtung durch Vormultplzeren mt Ω transformert. Dabe glt - - σ α Ω = σu I - j j' T T T σ +Tσ u α - = σu I - j j' +ψ j j' T T T T T T T σu wobe ψ=. σ + σ T u α Der Faktor I T j T j' T führt be Multplkaton mt den Daten zur Darstellung T der Daten als Abwechung von hrem Mttelwert, vormultplzeren mt j T j' T T ergbt de Mttelwerte der Daten. 3.3 Um effzente Schätzer zu erzeugen, werden m GLS-Verfahren de Daten entsprechend der Varanz-Kovaranz-Matrx des ursprünglchen Störterms transformert. Für den random effects-schätzer ergbt sch: T ( ( )( ) ( )( ) ) ( ( )( ) ( )( )) T x -x y -y +ψt x -x y -y t t ˆβ = x -x x -x '+ψt x -x x -x ' GLS t t = t= = (3.0) = t= = bzw. ˆ ˆ ˆ β = GLS X' Ω X X' y Ω = = Dabe st x= x der Durchschntt über alle x t t und X st ene T K Matrx, T,t wobe Zele t x' t entsprcht. Für ψ = 0 ergbt sch der fxed effects-schätzer (3.0). Da für T ψ 0, ergbt sch, dass be großen T fxed- und random - 3.4

35 effects-schätzer dentsch snd. Wenn ψ = st Ω dagonal und der GLS- Schätzer entsprcht dem KQ-Schätzer, da σ = 0. Es lässt sch ableten, dass β ˆ = Δβ ˆ +I- GLS B ( Δ k ) βˆ, wobe FE - ˆβ = B ( ( x -x )( x -x )') ( x -x )( y -y ) = = der so genannte between-schätzer für β st. Des st der KQ-Schätzer, für en Modell ndvdueller Mttelwerte: α y =μ+ x' β+α + u =,,. (3.) Durch de Gewchtsmatrx Δ erhält der präzsere Schätzer von between und wthn Schätzer das größere Gewcht. Dadurch st der GLS-Schätzer effzenter als de enzelnen Schätzer. Der GLS-Schätzer st unverzerrt, wenn de erklärenden Varablen unabhängg von allen u t und allen α snd. Er st konsstent, wenn oder T oder E x u = 0, sowe dass bedes und wenn neben (3.) ebenfalls glt, dass { } { } E x α = 0 (3.) Der GLS-Schätzer kann als KQ-Schätzer für folgendes Modell bestmmt werden: wobe ( y -Jy ) =μ t ( - J ) + ( x - Jx t )'β + υ, (3.3) t J=-ψ. u t st..d. über und t. Wenn ψ = 0, legt der wthn-schätzer mt J = vor. Her wrd en fester Antel J der ndvduellen Mttelwerte abgezogen (mt 0 J ), um das transformerte Modell zu erhalten Da σ und σ unbekannt snd, müssen se n enem ersten Schrtt enes α u FGLS-Verfahrens geschätzt werden. Der FGLS-random effects-schätzer ˆβ RE wrd auch als Balestra-erlove- Schätzer bezechnet. Er st asymptotsch normalvertelt mt der Varanz- Kovaranz-Matrx: T - ( ) { ˆ RE} u ( t )( t ) ( )( ) V β = σ x -x x -x '+ψt x -x x -x ' (3.6) = t= = Solange ψ > 0, st der random effects-schätzer effzenter als der fxed effects- Schätzer, da zusätzlch de between-informaton n den Daten genutzt wrd. De Varanz-Kovaranz-Matrx (3.6) ergbt sch aus der KQ-Schätzung von (3.3). Wr haben 5 Schätzverfahren für β betrachtet: : Der between-schätzer als KQ-Schätzer gemttelter Daten. Für st E x u = 0 unde x α = 0, d.h. be strkter er konsstent, wenn { } { } Exogentät der Regressoren x und Unkorrelerthet mt α. : Der fxed effects (wthn)-schätzer nutzt nur Abwechungen vom ndvduellen Mttelwert. Für T oder st er für β konsstent, wenn {( t ) t} E x x u = 0, d.h. strkte Exogentät der Regressoren x (kene Restrktonen bezüglch der Korrelaton zwschen α und x t ). 3: Der KQ-Schätzer nutzt between und wthn Informaton, aber st ncht effzent. Für T oder st er konsstent, wenn { t ( t )} E x u +α = 0, d.h. kene Korrelaton der x t mt α und kene kontemporäre Korrelaton zwschen x t und u t (strkte Exogentät ncht erforderlch)

36 4: Der (FGLS) random effects-schätzer kombnert auf effzente Wese between und wthn Schätzer. Er st konsstent für T oder, wenn de Bedngungen für und gelten. 5: Der frst dfference Schätzer nutzt KQ auf dfferenzerte Daten. Unter der Bedngung { } E Δx Δ u = 0 st er konsstent, aber u.u. wenger effzent als t t der wthn Schätzer, wenn u t d und T > st Fxed Effects oder Random Effects? Be klenem T und großem kann de Modellwahl zu deutlch unterschedlchen Ergebnssen führen. Der fxed effects-ansatz ergbt auf α bedngte Ergebnsse für de konkreten Beobachtungen n der Stchprobe. Der random effects-schätzer ergbt Schätzergebnsse für β, de für de Grundgesamthet ncht für de konkret vorlegende Stchprobe abgeletet werden: E{ y x t t} = x' β t Fxed effects-schätzer beschreben E{ y x,α t t } =x'β + α. t Wenn α und x t korrelert snd, wäre der random effects-schätzer nkonsstent, der fxed effects-schätzer jedoch ncht. Daher st deser Punkt oft ausschlaggebend für de Wahl des Schätzers. De ullhypothese, dass x t und α unkorrelert snd H 0 : E(x t α ) = 0, kann mt dem Hausman-Test überprüft werden. De Testdee st, zwe Schätzer zu verglechen, von denen ener (der fxed effects-schätzer) unter ull- und Alternatvhypothese konsstent st und der andere (der random effects-schätzer) nur unter H 0 konsstent st. Unterscheden sch de beden Schätzer stark, so wrd H 0 verworfen. Hausman hat gezegt, dass { ˆ ˆ } { ˆ FE RE FE} { ˆ RE} V β - β =V β -V β, (3.7) - ( ˆ ˆ ) ˆ { ˆ } ˆ { ˆ } ( ˆ ˆ ) ξ = β - β ' V β -V β β - β H FE RE FE RE FE RE (3.8) ˆV beschrebt de geschätzte Varanz-Kovaranz-Matrx. Unter H 0 glt plm βˆ - β ˆ =0 und ξ ~ χ, wobe K de Anzahl der Elemente von β st. ( FE RE ) H K Unter H 0 st der random effects-schätzer effzent, d.h. { ˆ RE} { ˆ FE} V β <V β. wodurch de Teststatstk enfacher berechenbar wrd:

37 3..5 Schätzgüte Das R -Maß kann als Quadrat des Korrelatonskoeffzenten der beobachteten und der vorhergesagten Werte nterpretert werden. Im Fall von Paneldaten kann de gesamte Varaton von y t als Summe von wthn und between-varaton dargestellt werden: T T ( y y) = ( y y ) + ( y y) t t,t,t wobe y den Stchprobenmttelwert und y den Mttelwert der Beobachtungen für angbt. Je nach Interesse lassen sch nun 3 verschedene R -Werte defneren. FE FE yˆ -y ˆ = x -x 'β ˆ lautet Das wthn-r mt ( ) ( ) t t FE ( ˆ ) { ˆ ˆ } R β = corr y - y,y - y (3.9) FE FE wthn FE t t Der between-schätzer maxmert als KQ-Schätzer B wobe ŷ = x'β ˆ. B ( ˆ ) { ˆ } R β =corr y,y (3.30) B between B Der KQ-Schätzer maxmert das gesamte R mt ŷ = x' b, t t ( ˆ ) { ˆ } R β = corr y,y (3.3) overall t t De dre R -Maße lassen sch für jeden belebgen Schätzer ˆβ defneren, wobe folgende vorhergesagte Werte genutzt werden: y ˆ t = x' ˆ t β, y= ˆ yˆ t T, und t y= ˆ yˆt T.,t De fxed effects-schätzer für α werden ncht mt enbezogen, da dese de Varaton zwschen den Beobachtungsenheten ncht erklären. De R -Maße, de auf Bass von ˆβ RE berechnet werden, snd per defntonem klener als dejengen, de jewels auf Bass von between, wthn oder KQ- Schätzungen bestmmt werden, da letztere Verfahren explzt versuchen, de Varaton der n der Berechnung betrachteten ungewchteten Resduen zu mnmeren. Des bestätgt, dass das R ken geegnetes Krterum für de Wahl von Schätzverfahren darstellt Alternatve IV-Schätzer achtel des fxed effect-schätzers: durch Ausdfferenzeren (ebenso we m LSDV-Verfahren) können zetkonstante erklärende Varablen ncht berückschtgt werden. Das Problem der Korrelaton der erklärenden Varablen mt α m Modell y =μ+ x' β+α + u lässt sch auch über IV-Verfahren lösen. t t t Der fxed effects-schätzer kann we folgt umformulert werden T - T ( ( )( ) ) ( )( ) ˆβ = x -x x -x ' x -x y -y FE t t t t = t= = t= T - T = x -x x' x -x y = t= = t= ( t ) t ( t ) (3.3) t 3.35 En Verglech etwa mt dem IV-Schätzer - ( ) ˆβ = zx' zy IV = = 3.36

38 zegt, dass (3.3) auch als IV-Schätzer nterpretert werden kann, wobe de erklärenden Varablen durch hre egenen Abwechungen vom beobachtungsspezfschen Mttelwert nstrumentert werden: z = x -x. t t Der IV-Schätzer st konsstent, wenn E{ ( x x t ) ut} 0 Exogentät von x t folgt. Ebenfalls muss gelten {( t ) } =, was be strkter E x -x α =0, was durch de Defnton des Instruments selbst berets gegeben st. Für Varablen, de ncht mt α korrelert snd, st kene Instrumenterung erforderlch, so dass bespelswese unkorrelerte zetkonstante Varablen als hre egenen Instrumente mt berückschtgt werden können. Im Modell y =μ +x' β +x' β +w' γ +w' γ + α + u (3.33) t,t,t t snd de x-varablen zetlch varabel und de w-varablen zetkonstant. Wr unterstellen, dass ledglch de Varablen mt Index mt α (aber ncht mt u t ) korrelert snd. Der fxed effects-schätzer könnte nur β und β, aber ncht γ und γ dentfzeren. Der Hausman-Taylor-Schätzer würde (3.33) mt folgenden Instrumenten schätzen: x,x - x,w und x. De exogenen x,t,t und w snd hre egenen Instrumente, x wrd über Dfferenzerung nstrumentert (we be fxed effects) und w über de ndvduellen Mttelwerte des exogenen x,t (vorausgesetzt x hat mndestens so vele Elemente we w ). Sonst müssten wetere Instrumente berückschtgt werden. Auf dese Wese lassen sch alle Parameter dentfzeren Der Schätzansatz wurde von Amemya und McCurdy (986) verallgemenert, de vorschlagen, auch zetlch nvarable Instrumente x, -x bs x -x zur,t Identfkaton von γ zu nutzen. Breusch et al. (989) schlagen vor, zusätzlch x -x bs x,,t - x als Instrument zu nutzen Robuste Inferenz Wenn de Zufallsstörterme u t autokorrelert oder heteroskedastsch snd, snd de Standardfehler und Tests für fxed effects- und random effects-schätzer ungültg und de Verfahren ncht mehr effzent. Das Problem st lösbar, ndem de Standardfehler für allgemene Formen von Heteroskedaste und Autokorrelaton korrgert werden. Im Modell y = x' β + ε (3.34) t t t enthält x t de Konstante und ε t hat ene Fehlerkomponentenstruktur (s. 3.). Der gepoolte KQ-Schätzer ( ( )) - T T b= x x' x y (3.35) =t= t t t t =t=

39 st konsstent, wenn { } E x ε = 0 (3.36) t Unter der Voraussetzung, dass de Störterme für verschedene Beobachtun- E εε = 0 für alle j, lässt sch de KQ gen unkorrelert snd ( { t js} ) Kovaranzmatrx durch ene Varante des ewey-west-schätzers schätzen: t T T T T ˆ V{} b = x x' t t εˆˆ ε x x' t s t s x x' t t = t= = t= s= = t= (3.37) Auf ähnlche Wese lässt sch de Kovaranzmatrx für den random effects- und fxed effects-schätzer umformen. De Schätzer können effzenter werden, wenn konkrete Annahmen über de Form von Autokorrelaton und Heteroskedaste nutzbar snd Heteroskedaste- und Autokorrelatonstests Tests snd m random effects-rahmen deutlch komplexer als m fxed effects (KQ) Zusammenhang. Da fxed effects-schätzer auch konsstent snd, wenn de random effects Annahmen zutreffen (d.h. α st..d. und unabhängg von den Regressoren), gelten de fxed effects-tests auch für random effects- Schätzzusammenhänge. Der Durbn Watson-Test der H 0 : ρ = 0 gegen H : ρ < 0 oder ρ > 0 für den Modellrahmen u t = ρ u,t- + v t (3.39) wurde für den Panelfall verallgemenert. Dabe snd û t de Resduen ener wthn- oder LSDV-Schätzung. De Teststatstk lautet her dw = P T ( = t= ûu ˆ uˆ t,t ) T = t= û t (3.40) Als Test auf Heteroskedaste lässt sch der Breusch-Pagan-Test für den Paneldatenfall verallgemenern. Dazu werden de quadrerten Resduen ener fxed effects-schätzung û auf ene Konstante und de J erklärenden Varablen t Bhargava et al. (983) haben de krtschen Werte für den Panelfall n Abhän- ggket ncht nur von und K, sondern zusätzlch von T abgeletet: z t der Alternatvhypothese { } h( z' ) V u t =σ α (3.4) t regressert, wobe H 0 : α = 0. De Teststatstk ( ) T- R st unter H 0 asymptotsch χ -vertelt mt J Frehetsgraden. Tab. 3.: 5% krtsche Werte für den Panel Durbn-Watson-Test Der Test glt glechermaßen für fxed- und random effects-modell

40 3.3 Illustraton: Modelle für ndvduelle Löhne Tab. 3.: Schätzergebnsse der Lohnglechung Daten: Amerkansche LSY Befragung , 545 Männer, de 980 de Schule verleßen. Erklärende Varablen snd de Merkmale Schuljahre, Arbetsmarkterfahrung, Gewerkschaftsmtgledschaft, beschäftgt m öffentlchen Denst, verheratet, schwarz, spansch De Tabelle zegt, dass bem fxed effects-schätzer de zetkonstanten Varablen aus dem Modell herausfallen. De geschätzten Koeffzenten vareren zum Tel sehr stark. Wenn α mt den erklärenden Varablen korrelert st, snd der random effects- Schätzer ebenso we between- und KQ-Schätzer nkonsstent. Des kann mttels enes Hausman-Tests überprüft werden, der prüft, ob de Koeffzenten aus random effects- und fxed effects-schätzung sgnfkant vonenander abwechen. De Teststatstk hat den Wert 3,75. Der krtsche Wert der χ - Vertelung mt 5 Frehetsgraden am 5%-veau beträgt,07, so dass H 0 : E{x t α = 0} verworfen werden muss. Frage: Woraus ergeben sch de 5 Frehetsgrade? 3.47 Deutlche Unterschede fnden sch bespelswese bem Koeffzenten der Varable marred. Es st ncht plausbel, dass der Famlenstand starke kausale Lohneffekte hat. Allerdngs kann der Famlenstand durchaus mt dem unbeobachteten Effekt korreleren, wodurch der ohne fxed effects geschätzte Koeffzent nkonsstent würde. Emprsch ergeben sch deutlch unterschedlche Schätzergebnsse. Frage: Warum kann der Koeffzent von marred geschätzt werden und der von black ncht? Alle Koeffzenten des fxed effect-schätzers werden ausschleßlch durch Änderungen der Werte für gegebene Personen dentfzert (wthn). Unterschede zwschen den Indvduen werden durch de Mttelwertberengung be allen Varablen elmnert. 3.48

41 De KQ-Standardfehler snd ncht korrekt, da se de Korrelaton der Störterme für gegebene Personen ncht berückschtgen, sondern alle Beobachtungen als unabhängg betrachten. De Varanzen σ und σ für den FGLS random effects-schätzer können auf α u Bass der wthn- und between-schätzer bestmmt werden. Mt ˆσ = 0,09 B und ˆσ = 0,34 kann u ψ und J ergbt sch dann ˆψ =0,76 und ˆσ als 0,09 0,34/8 = 0,055 ermttelt werden. Für α J=-ψ ˆ ˆ = 0,648, so dass der FGLS random effects-schätzer sch durch Dfferenzeren mt dem 0,64-fachen des ndvduellen Mttelwertes für alle Varablen ergbt (vgl. 3.3). Da bem KQ- Schätzer J = 0 und bem fxed effects-schätzer J = unterstellt wrd, legt der random effects-schätzer zwschen den beden. We zu erwarten, haben de between-schätzer den höchsten Wert für das between R, der fxed effects- (wthn-)schätzer den höchsten Wert für das wthn R und der KQ-Schätzer das höchste Gesamt-R. Aber auch de Schätzgüte des random effect-schätzers fällt hoch aus Dynamsche lneare Modelle Dank Paneldaten kann man Modelle schätzen, be denen das gegenwärtge Verhalten von Beobachtungsenheten als Funkton hres früheren Verhaltens betrachtet wrd, was n velen theoretschen Ansätzen unterstellt wrd. Der Zetndex läuft nun von 0 bs T: t = 0,,..., T En autoregressves Paneldatenmodell Unser Modell se ( ) y = x' β+γ y +α + u wobe u ~ IID 0, σ t t,t t t u Da auch y,t- von α abhängt, snd de Ergebnsse für statsche Modelle ncht enfach zu übertragen. Des lässt sch an enem verenfachten Modell zegen. Der fxed effects-schätzer für γ n y =γ y +α + u, γ <. (3.4) t,t t lautet γˆ = T ( y -y t ) ( y -y,t-,- ) = t= FE T ( y -y,t-,- ) = t= (3.43)

42 T wobe y = y t T und T y = y,-,t- t= T. Setzt man (3.4) n (3.43) en, ergbt sch t= T ( u -u t ) ( y -y,t-,-) T = t= γˆ = γ+ (3.44) FE T ( y -y,t-,- ) T = t= Deser Schätzer st be gegebenem T für verzerrt und nkonsstent. Es lässt sch zegen, dass ˆγ FE be gegebenem T nkonsstent st, wel de transformerte verzögerte endogene erklärende Varable mt dem transformerten Störterm korrelert st. Wenn T st der Schätzer st konsstent. De Verzerrung kann jedoch auch be größeren T noch substantell sen. De Lösung für das Problem begnnt mt ener frst dfference-transformaton für den fxed effects-schätzer, de α ausdfferenzert: ( ) ( ) y y = γ y y + u u, t =,,T. (3.46) t,t,t,t t,t Ene KQ-Schätzung deses Modells wäre selbst be T nkonsstent, da y,t und u,t korrelert snd. Es betet sch jedoch en IV-Schätzer an. Solange u t ncht autokorrelert st, was wr unterstellt haben, st y,t wohl mt ( y y ),t,t, aber ncht mt u,t korrelert. En möglcher IV-Schätzer für γ st: γˆ = T = t= IV T = t= ( ) y y -y,t- t,t- ( ) y y -y,t-,t-,t- Deser st konsstent, wenn für T und plm ( u u ) y 0 T ( ) (3.47) T = (3.48) t,t,t = t= Alternatv kann statt y,t auch (,t-,t-3 ) Dann lautet der Schätzer der konsstent st, wenn γ ˆ = y - y als Instrument genutzt werden. T ( y,t y,t 3 ) ( yt y,t ) () = t= 3 IV T ( ) ( y,t y,t 3 ) ( y,t y,t ) = t= 3 plm ( u u t,t ) ( y y,t,t 3 ) 0. T, (3.49) T = (3.50) = t= 3 Solange u t ncht autokorrelert st, trfft des zu. Sonst st y t- mt u t- = ρu t- + υ t- korrelert und das Instrument ungültg. Durch de verzögerten Werte y,t 3 geht m Verglech zum ersten IV-Schätzer ene Beobachtung pro verloren. Bede, (3.47) und (3.49) snd als Anderson-Hsao Schätzer bekannt Mt Hlfe enes Method of Moments-Ansatzes können bede IV-Schätzer glechzetg verwendet werden, da und plm ( u u t,t ) y E,t {( u u t,t ) y,t } 0 T ( ) T = = (3.5) = t= ( ) plm ( u u ) ( y y t,t,t,t 3 ) E{ ( u u t,t )( y y,t,t 3 )} 0 T T = = (3.5) = t= 3 unabhängge Momentenbedngungen snd. Da de Momentenschätzer mt wachsender Zahl von Momentenbedngungen an Effzenz gewnnen, haben Arrellano und Bond (99) vorgeschlagen, wetere Bedngungen n Abhänggket von T zu berückschtgen. Be z.b. T = 4, glt: 3.56

43 für t = glt {( ) 0} E u u y = 0, für t = 3 gelten sowohl {( 3 ) } E u u y = 0 als auch {( 3 ) 0} E u u y = 0, für t = 4 gbt es 3 Instrumente: {( 4 3 ) 0} E u u y = 0 {( 4 3 ) } E u u y = 0 {( 4 3 ) } E u u y = 0. Der GMM-Schätzer nutzt also den Vektor transformerter Störterme und Z als Matrx der Instrumente u u Δ = u u,t,t u (3.53) 3.57 so dass [ y ] Z = 0 0 [ y, y ] { } [ y, y ] (3.54),T, E Z' Δ u = 0. (3.55) Insgesamt gbt es T Momentenbedngungen: { (,-) } Hnwes: ( ) γ ( ) = ( ) y y y y u u. t t t t t t E Z' Δy γ Δy =0 (3.56) γ wrd geschätzt durch Mnmeren von mn Z' ( y y, ) ' W Z' ( y y, ) γ Δ γδ Δ γδ = = (3.57) 3.58 wobe W ene symmetrsche, postv-defnte Gewchtungsmatrx st. Für γ ergbt sch - (( ) ( )) ( ) ( γˆ = GMM Δy' Z W,- Z' Δy,- Δy' Z W,- Z' Δy = = = = ) (3.58) Wenn zusätzlch de Restrkton genutzt wrd, dass de Störterme weder autokorrelert noch heteroskedastsch snd, verenfacht sch de Vorgehenswese. was konsstent st, solange W postv defnt st. De optmale Gewchtungsmatrx st proportonal zur nverterten Kovaranzmatrx der Stchprobenmomente. Das bedeutet her plm W = V Z' Δu { } =E{ Z'Δu Δu' Z } - - Des lässt sch m Standardfall schätzen als. (3.59) ˆ opt W = Z'Δuˆ Δu' ˆ Z = - (3.60)

44 3.4. Dynamsche Modelle mt exogenen Varablen Auch das Modell y = x' β+γ y +α + u (3.64) t t,t t lässt sch per GMM schätzen. Wenn de x t strkt exogen snd, glt { } E x Δu = 0 für alle s,t (3.65) s und de x,,x T snd zusätzlche Instrumente, de wetere Zelen n Z blden können. Alternatv und zur Effzenzstegerung können auch de ersten Dfferenzen von x t als Instrumente genutzt werden: t { } E Δx Δ u = 0 für alle t. (3.66) t t Dann folgt für de Matrx der Instrumente: [ y0, Δx' ] 0 0 [ y0, y, Δx' 3 ] Z = 0 0 [ y, y, Δx' ] 0 0 0,T Snd de x t ncht strkt exogen (unkorrelert mt allen u s ), betrachtet man predetermnerte x t : x t und x,t snd unkorrelert mt u t, aber möglcherwese korrelert mt früheren Ausprägungen von u. { } E x u = 0 glt nur für s t. Statt der ersten Dfferenzen lauten de Momentenbedngungen dann {,t j t} E x Δ u = 0 für j =,,t (für alle t). (3.67) t s T Wenn sowohl strkt exogene als auch predetermnerte x t Varablen berückschtgt werden, können beden Arten von Momentenbedngungen kombnert werden. eben dem Sargan Test, der de Gültgket der Gesamthet der Momentenbedngungen überprüft, werden m Rahmen von dynamschen Panelmodellen auch Tests auf Autokorrelaton der Resduen u t durchgeführt. Wenn u t enem AR()-Prozess folgt, kann y t- be enem Störterm Δu t ncht exogen sen. Der Arellano Bond Test auf Autokorrelaton wrd mt den Resduen n ersten Dfferenzen durchgeführt. Dabe snd Δu t und Δu t- wegen u t- automatsch korrelert. AR() n u t würde sch n AR()-Prozessen n ersten Dfferenzen spegeln und des wrd getestet, um de Gültgket der Instrumente zu prüfen Illustraton: Lohnelastztät der Arbetsnachfrage (Verbeek.A.) Daten: 800 große belgsche Unternehmen Das statsche Arbetsnachfragemodell lautet für Unternehmen m Jahr t logl = β + β logw + β logk + β logy + β logw + ε t t 3 t 4 t 5 jt t L st de Arbetsnachfrage, w der Lohn, K und Y snd Kaptalstock und Output, w jt st der Branchendurchschnttslohn, der Rückschlüsse auf de Verhandlungsmacht der Gewerkschaft zulässt. De Glechung glt für de lange Frst und lässt Anpassungskosten unberückschtgt. Für de kurze Frst snd Anpassungsreaktonen von Interesse und das Modell lautet: logl = β + β logw + β logk + β logy + β logw + γlogl + α +u t t 3 t 4 t 5 jt,t- t 3.64

45 De Fehlertermkomponente α beschrebt unbeobachtete unternehmensspezfsche zetkonstante Heterogentät. α kann durch Dfferenzenbldung elmnert werden, aber das resulterende Modell kann ncht konsstent mt KQ geschätzt werden: Zum enen korreleren Δlog L und Δu, zum anderen snd,t- t de Löhne potentell endogen. Da dese glechzetg mt der Arbetsnachfrage L bestmmt werden, st zu erwarten, dass E{ Δlogw Δu t t} 0. Δlogw kann t mt log w, log w,... ähnlch nstrumentert werden we ΔlogL.,t-,t-3,t- De Schätzergebnsse für das statsche und dynamsche Modell (bede n ersten Dfferenzen) fnden sch n Tab In beden Fällen wurde log w t nstrumentert. Es wrd en Arellano Bond-Verfahren genutzt und alle Momentenbedngungen für log L und log w ab t-3 werden verwendet Tab. 3.3.a Arbetsnachfrageschätzungen Der overdentfyng restrcto ons test (Sargan Test) prüft, Momentenbedngungen erfüllt snd. De Teststatstk lautet ξ= g ( θˆ ' GMM Opt ) ( M W g ( ˆθ GMM ) ξ χ R K ob de 3.66 wobe g( θ ˆ ) de an den Schätzwerten bewerteten Momentenbedngungen darstellen. De Frehetsgrade der χ -Teststatstk ergeben sch aus der Anzahl der Restrktonen mnus der geschätzten Parameterzahl (R K). De Bedngungen werden für bede Modelle am 5%-veau von den Daten verworfen. Daher snd de Koeffzenten ncht konsstent geschätzt. Der verzögerte Arbetsnachfrageterm hat enen statstsch sgnfkanten Koeffzenten. De Lohnelastztät st sowohl m statschen we auch m dynamschen Modell recht hoch. Der Arellano Bond Test auf AR() n Δu t ergbt für das statsche Modell ene z-statstk von -,055 und für das dynamsche Modell von -,379 und somt ken Problem. 3.6 Illustraton: Kaptalstruktur von Unternehmen Flannery und Rangan (006) untersuchen den Anpassungsprozess n der Fremdkaptalquote (MDR) von Unternehmen. Fremdkaptalfnanzerung brgt fnanzelle Rsken, hat aber steuerlche Vortele. Man defnert Dt MDR = t D + S P t t t wobe D t der Buchwert des Fremdkaptals von Unternehmen n Perode t st. S st de Anzahl und P der Pres der egenen Akten. Es wrd unterstellt, dass en Unternehmen ene latente, d.h. unbeobachtbare Zelgröße MDR hat, de von den Charakterstka des Unternehmens n der t Vorperode t- bestmmt werden: MDR = x ' β+η t,t t

46 η st en Störterm mt Erwartungswert ull. De Anpassung an de Zelgröße kann we folgt modellert werden: ( )( ) MDR MDR = γ MDR MDR, mt 0 γ. t,t t,t Wr unterstellen für alle Unternehmen enen enhetlchen Wert γ. Wenn γ = 0, erfolgt kurzfrstg ene vollständge Anpassung an MDR. t Setzt man für MDR en, ergbt sch t ( ) ( ) MDR =γ MDR + x ' β γ + γ η. t,t,t t Lässt man zetkonstante unbeobachtete Unternehmenseffekte α zu, ergbt sch en dynamsches Panelmodell: MDR =γ MDR + x' β * +α +η. (3.68) t,t,t t Es werden Daten von 3777 Unternehmen für de Jahre n Form enes unbalanced panel verwendet. De Varablen lauten: ebt_ta Gewnne vor Znsen und Steuern getelt durch Summe der Aktva mb Markt getelt durch Buchwert der Aktva dep_ta Abschrebungen getelt durch Summe des Anlagevermögens log(ta) Logarthmus der Gesamtaktva fa_ta Antel Anlagevermögen rd_ta F&E Ausgaben getelt durch Gesamtaktva (0 wenn mssng) rd_dum Indkator (=) wenn rd_ta fehlt nmedan Branchendurchschntt für Fremdkaptalquote rated Unternehmen wurde geratet (=) Tabelle 3.3.b west KQ, wthn und frst dfference Schätzergebnsse aus: Varable OLS wthn frst-dfference MDR t- 0,884 0,535-0,4 (0,005) (0,0) (0,0) ebt_ta -0,03-0,050-0,045 (0,007) (0,0) (0,00) mb 0,006 0,003 0,008 (0,0007) (0,000) (0,00) dep_ta -0,6-0,4 0,0 (0,035) (0,07) (0,079) log(ta) -0,0007 0,038 0,064 (0,0006) (0,003) (0,005) fa_ta 0,00 0,059 0,06 (0,006) (0,07) (0,08) rd_dum 0,007 0,000-0,07 (0,00) (0,008) (0,009) rd_ta -0,0-0,066-0,059 (0,03) (0,06) (0,09) nmedan 0,03 0,67 0,8 (0,00) (0,0) (0,06) rated 0,007 0,0 0,009 (0,003) (0,006) (0,007) wthn R 0,340 between R 0,64 overall R 0,74 0,563 0,08 De Schätzer snd alle be gegebenem T und nkonsstent (warum?). KQ sollte (für γ > 0) γ überschätzen, der wthn-schätzer sollte γ unterschätzen (vgl. 3.44). De Schätzergebnsse n Tabelle 3.3.b vareren deutlch; gemäß KQ beträgt de jährlche Anpassung an de Zelquote,7%, nach wthn-schätzung snd es 46,5% und de frst dfference Schätzung st kaum snnvoll nterpreterbar. Wr vermuten somt enen wahren Wert zwschen,7 und 46,5 Prozent. Auch andere Schätzergebnsse fallen deutlch unterschedlch aus (z.b. für log(ta)). Tabelle 3.4 west de Anderson-Hsao (AH) und Arellano-Bond (AB) Ergebnsse aus:

47 Anderson-Hsao IV Arellano-Bond GMM Varable IV (3.49) IV (3.47) one-step two-step MDRt- 7,033,358 0,749 0,77 (7,35) (0,09) (0,03) (0,036) ebt_ta,08 0,03 0,099 0,098 (,305) (0,06) (0,0) (0,05) mb 0,44 0,047 0,09 0,06 (0,47) (0,004) (0,00) (0,00) dep_ta -,858-0,7-0,066-0,003 (,6) (0,5) (0,087) (0,06) log(ta) -0,5-0,053 0,005 0,003 (0,607) (0,03) (0,005) (0,007) fa_ta -,09-0,66-0,06-0,05 (,38) (0,039) (0,0) (0,05) rd_dum -0,03-0,0-0,078-0,07 (0,079) (0,06) (0,000) (0,) rd_ta 0,88 0,7 0,064 0,055 (,038) (0,050) (0,037) (0,035) nmedan -3,378-0,584-0,06-0,095 (3,668) (0,06) (0,034) (0,03) rated -0,7-0,05-0,0-0,09 (0,94) (0,0) (0,008) (0,008) Overdentfyng restrctons test (df = 04) 887,7 (p = 0,0000) 437, (p = 0,0000) Test for second order autocorrelaton n Δut -3,39 (p = 0,0007) -,73 (p = 0,0063) nstruments ΔMDRt- MDRt- MDRt-, MDRt-3, (for each t) 3.73 Der AH-Schätzer wurde mt verschedenen Instrumentvarablen durchgeführt, was zu deutlch unterschedlchen Ergebnssen führte. De Ergebnsse mt MDR,t- als Instrument wrken realstscher, obglech γ> ˆ. Frage: Was versteht man unter schwachen Instrumenten? Um zu überprüfen, ob m AH Schätzer schwache Instrumente vorlegen, wurde MDR,t- auf Δx,t- sowe jewels das Instrument regressert. Der Koeffzent für ΔMDR,t- war nsgnfkant, somt st deses Instrument schwach. Der Koeffzent für MDR,t- war hoch sgnfkant. Der unplausble Wert von γ= ˆ, 358 lässt sch u.u. durch Autokorrelaton n u t erklären. Der AB-Schätzer verwendet zusätzlche verzögerte Werte von MDR als Instrument für MDR,t- n ener Schätzglechung n ersten Dfferenzen. De enund zwestufgen Ergebnsse unterscheden sch n der verwendeten Gewch tungsmatrx (mt oder ohne Korrektur für ncht-sphärsche Störterme, d.h. für Autokorrelaton oder Heteroskedaste). De Ergebnsse snd verglechbar und mplzeren Anpassungsraten von 5, und,8 Prozent. Der unter Homoskedaste gültge Sargan-Test st für bede Schätzer sgnfkant. Des bedeutet, dass ncht alle Momentenbedngungen zutreffen, d.h. wr verwenden ungültge Instrumentvarablen. Wenn der wahre Koeffzent γ nahe ens st, snd de verzögerten MDR-Werte, de von AB als Instrumente verwendet werden, für das Modell n ersten Dfferenzen ungeegnet. veaugrößen aus der Vergangenhet können kaum zukünftge Änderungen erklären. Arellano und Bover (995) und Bundell und Bond (998) schlagen vor, n deser Stuaton de ncht dfferenzerte Glechung smultan mt zu schätzen und herfür verzögerte Werte n ersten Dfferenzen als Instrument zu verwenden (System-GMM-Schätzer). Zusätzlch kann Autokorrelaton n Δu t ncht verworfen werden. Insgesamt ergbt kenes der verwendeten Verfahren überzeugende Ergebnsse

48 Lteratur Bond, Stephen R., 00, Dynamc Panel Data Models: A Gude to Mcro Data methods and Practce, Portuguese Economc Journal, 4 6. Cameron Coln A. und P.K. Trved, 005, Mcroceconometrcs. Methods and Applcatons, Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. Kaptel, Cameron Coln A. und P.K. Trved, 009, Mcroceconometrcs Usng Stata, Stata Press. Kaptel 8, 9 Greene, Wllam H., 008, Econometrc Analyss, Upper Saddle Rver: Prentce Hall, 6. Auflage. Kaptel 9,.8 und 5.6. Verbeek, Marno, 008, A Gude to Modern Econometrcs, Chchester: Wley & Sons, 3. Auflage. Kaptel Wooldrdge, Jeffrey M., 00, Econometrc Analyss of Cross Secton and Panel Data, Cambrdge: The MIT Press. Kaptel

49 Kaptel 4: Evaluatonsverfahren 4. Evaluatonsproblem und kausale Effekte 4. Evaluaton be "selecton on observables" 4.3 Bespelstuden 4.4 Evaluaton be "selecton on unobservables" 4.5 Bespelstude 4. Evaluatonsproblem und kausale Effekte 4.. Kausale Effekte ener Interventon Bespele für Interventonen und hre Effekte: - staatlche Zuschüsse für Investtonen auf de Investtonstätgket - Präventonskampagne auf das Auftreten ener Krankhet - Fortbldungsmaßnahme auf Beschäftgungschancen. Wr sprechen von enem Treatment durch de Interventon und snd daran nteressert, we das Treatment de Ergebnsvarablen (outcomes) der Wrtschaftssubjekte verändert. Bespel: Um de Wrkung von Fortbldung auf Beschäftgung quantfzeren zu 4 4 können, müssen wr wssen, we sch de Beschäftgung sowohl mt als auch ohne Treatment entwckelt hätte. Wr defneren für Beobachtungsenhet : be Treatment D = 0 ohne Treatment y () ( ) ( ) y = y 0 Ergebnsvarable be Treatment Ergebnsvarable ohnetreatment Das beobachtete Ergebns (outcome) für lautet: () ( ) ( ) y = D y + D y 0. Der kausale Effekt des Treatments st: ( ) ( ) Δ = y y 0, wobe es ncht möglch st, für en sowohl y () als auch y (0) zu beobachten. Es fehlt mmer de kontrafaktsche Evdenz. y () und y (0) stellen potentelle Ergebnsse dar. Daher sprcht de Lteratur vom potental outcome approach, auch Roy-Rubn-Modell genannt. Um kausale Treatmenteffekte ndvduell bestmmen zu können, müssten wr für ene Beobachtungsenhet zum glechen Zetpunkt de abhängge Varable y mt und ohne Treatment messen können, was unmöglch st. Man unterschedet verschedene Erwartungswerte des Treatmenteffektes: () Durchschnttlcher Treatmenteffekt n der Bevölkerung (Average Treatment Effect, ATE): [ Δ ] = () ( ) E E y E y

50 () () (v) Durchschnttlcher Treatmenteffekt für ene ausgewählte Personengruppe, z.b. Personen ohne Berufsausbldung: [ ] () ( ) E Δ X = x = E y X = x E y 0 X x =. Treatmenteffekt für de Gruppe von Personen, de das Treatment erhält: () ( ) E Δ = E y D = E y 0 D =, ATT, (Average Treatment Effect on the Treated, ATT). Da sch Maßnahmen oft auf ausgewählte Personengruppen konzentreren, wrd der ATT oft untersucht. Treatmenteffekt für dejengen, deren Telnahme am Treatment durch de Ausprägung ener Größe Z determnert wurde, d.h. de be Ausprägung Z * Treatment erhalten, aber ncht be Ausprägung Z **: E [Δ, LATE ] = E [y () y (0) D (Z *) =, D (Z **) = 0]. Man sprcht vom Local Average Treatment Effect (LATE). Für welchen Treatmenteffekt wr uns nteresseren, hängt vom Enzelfall ab. ATE msst enen durchschnttlchen Effekt, wenn Programme z.b. für ganze Regonen engeführt oder abgeschafft werden. ATT schleßt Personen von der Betrachtung aus, de ncht telnehmen können. Wchtg: Wr können de gleche Enhet ne n beden Stuatonen beobachten und ne glechzetg das Ergebns mt und ohne Treatment feststellen. Des st das fundamentale Problem kausaler Inferenz oder das fundamentale Evaluatonsproblem: de kontrafaktsche Stuaton, d.h. y(0) für de Treated und y() für de on-treated, st unbeobachtbar. Daher müssen wr Annah men treffen, um Treatmenteffekte zu dentfzeren und zu schätzen. 4.. Identfkaton der Effekte Um de Effekte dentfzeren zu können, muss n den mesten Fällen ene Selektonsproblematk gelöst werden. Würden wr enfach Enheten mt und ohne Treatment verglechen, z.b. um den ATT zu schätzen, dann würde gelten: ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) E E y ( 0 ) D E y ( 0 ) D 0 E y D E y 0 D 0 = E y D = E y 0 D = + E y 0 D = E y 0 D = 0 = Δ + = =,ATT Bas Der zwete Term der rechten Sete der Glechung wäre ene Verzerrung (Bas), wenn das erwartete (kontrafaktsche) Ergebns für de Treated ohne Poltknterventon ncht den glechen Wert annmmt we für de on-treated

51 Genau das erwarten wr, wenn das Treatment ncht zufällg stattfndet. Dann hängt de Wahrschenlchket enes Treatments von beobachtbaren und unbeobachtbaren Faktoren ab, de ebenfalls enen Enfluss auf de Ergebnsvarable y(0) ohne Interventon haben können. Bespel: Lohnwrkung enes studentschen Auslandsaufenthaltes; her könnte E y 0 D E y 0 D 0 man vermuten ( ) ( ) = =. Unter desen Bedngungen gbt es verschedene Möglchketen, den ATT zu dentfzeren: (a) Expermentell: Aus ener Gruppe von Personen, de für das Treatment n Frage kommen, werden zufällg Personen ausgewählt (random assgnment), de de Interventon erhalten. De restlchen Personen de- ser Gruppe blden de Verglechsgruppe (control group). Der Treatmenteffekt ergbt sch als Dfferenz zwschen dem Mttelwert der Ergebnsvarable der Treatment- und der Verglechsgruppe. Beachte: cht jedes Experment genügt den Bedngungen. Sofern Treatments abgebrochen werden oder ncht ausgewählte Kanddaten sch Ersatztreatments suchen oder ausgewählte Kanddaten ncht vollständg koopereren (non-complance), st de Zufällgket engeschränkt. Oft snd Expermente auch aus ethschen oder gesetzlchen Gründen ncht möglch. (b) cht-expermentell: Das Evaluatonsproblem lässt sch als zwestufges Glechungssystem beschreben: Ene Selektonsglechung beschrebt den Prozess der Auswahl (assgnment rule) ns Treatment. Der Selektonsprozess kann sowohl vom Verhalten der Personen selbst als auch von anderen Akteuren abhängen, de über Treatments entscheden. Stufe : Selektonsglechung D * =α 'z +ε * fallsd > 0 D = * 0fallsD 0 D * st de latente, D de beobachtete Varable. Frage: Welchen Wert sollte α be random assgnment annehmen? Bespel: Ob es zu ener Fortbldung für ene arbetslose Person kommt, hängt davon ab, ob de Person an der Fortbldung telnehmen wll und davon, ob de Arbetsagentur de Fortbldung des Arbetslosen fnanzert. De Outcomeglechungen beschreben, we verschedene Faktoren de Ergebnsvarable determneren, de durch das Treatment beenflusst wrd. Stufe : Outcomeglechungen (bspw.) ( ) ( ) y =γ +β x + u falls D = ', y 0 =γ +β x + u falls D = 0 ' 0 0,0 Dese Spezfkaton der Outcomeglechungen unterstellt, dass das Treatment für alle n glecher Wese sowohl de Konstante als auch de Parameter der Regressoren beenflusst. Falls es nur enen konstanten, homogenen Treatmenteffekt gbt, hätten wr 4 4

52 y =γ +Δ D +β x + u. ' 0 0 Frage: We sähe en Modell für enen konstanten heterogenen Treatmenteffekt aus? Wr treffen nun noch zwe Annahmen: (a) Das Treatment beenflusst das Verhalten der Wrtschaftssubjekte ncht berets bevor de Poltknterventon stattfndet. (b) Stable Unt Treatment Value Assumpton (SUTVA): De potentellen Outcomes und Treatments ener Beobachtungsenhet snd unabhängg von potentellen Treatments und Outcomes aller anderen Beobachtungsenheten j =,, n mt j, d.h.: D( z,z,...,zn) = D( z) ( ) = ( ) y z,z,...,z,...,z,d,...,d y z,d n n Es gbt also kene Zusammenhänge zwschen den verschedenen Enheten und auch kene allgemenen Glechgewchtseffekte. Das Outcome der Person hängt ncht vom Treatment-Status anderer Personen ab. Das Treatment von beenflusst nur de Outcomes von. Bespel: De Lohnwrkung enes studentschen Auslandsaufenthaltes st unter SUTVA unabhängg davon, we vele Studerende m Ausland waren. We können wr n der ncht-expermentellen Stuaton Treatmenteffekte schätzen? Fall : Ken systematscher Zusammenhang zwschen den Störtermen der Outcome- und Selektonsglechung; Selekton nur aufgrund von beobachtbaren Faktoren. Man sprcht von selecton on observables, unconfoundedness, Exogentät, gnorablty, condtonal ndependence. Der Treatmenteffekt st dann für de oben spezfzerten Outcomeglechungen: ( ) = ( ) = = ( γ γ ) + ( β β ) E y D,x E y 0 D 0,x 'x 0 0. Lösungsansatz: Regressons- oder Matchngverfahren. Fall : Systematscher Zusammenhang zwschen den Störtermen der Outcome- und Selektonsglechung, z.b. Personen mt besonders hohem Outcome-Wert haben ene besonders hohe Wahrschenlchket das Treatment zu erhalten; es gbt Selekton aufgrund unbeobachteter Faktoren. Man sprcht von selecton on unobservables, Endogentät, non-gnorablty. Lösungsansätze: Be natürlchen Expermenten dfference-n-dfferences Schätzer, Instrumentvarablen, regresson dscontnuty desgn, controlfuncton Ansatz. Unterscheden wrd, ob der Treatmenteffekt für alle enhetlch ausfällt, oder über de Indvduen hnweg heterogen st. Be homogenem Effekt glt automatsch: ATE = ATE (X = x ) = ATT. Ursprünglch betrachtete de Lteratur nur mttlere Effekte. Be heterogenen Effekten snd auch de Vertelung von potental outcomes und hre Quantle von Interesse

53 4. Evaluaton be "selecton on observables" 4.. Grunddee des Matchng-Schätzers In enem Experment verglechen wr de Outcomes von zufällg bestmmten Treated und on-treated, um den Average Treatment Effect on the Treated (ATT) zu bestmmen. Dese Stuaton wrd n der ncht-expermentellen Welt nachgestellt, da expermentelle Daten fehlen. Wr ordnen dazu jeder Person mt Treatment ene (oder mehrere) Verglechsperson(en) zu, so dass es n deser Paarung (match) Zufall st, wer das Treatment erhalten hat. Dann können wr (we m Experment) durch den Verglech der mttleren Outcomes der Treated und zugeordneten Verglechspersonen den ATT konsstent schätzen: () ( ) E Δ,ATT = E y D = E y 0 D = Ene Schätzung des ATT durch Mttelwertverglech der Outcomes von Treated und allen potentellen Verglechspersonen ( ) ( ) E Δ,ATT = E y D = E y 0 D = 0 st verzerrt, wegen der potentellen Selekton ns Treatment: ( ) ( ) E y 0 D E y 0 D 0 = =. Zentrale dentfzerende Annahme des Matchng Verfahrens: Condtonal Independence Assumpton (CIA) / Unconfoundedness y( 0 ),y( ) D x bedeutet unabhängg von. CIA mplzert, dass gegeben den Vektor von beobachtbaren Faktoren (x), de Outcomes mt und ohne Treatment ncht von der Selekton ns Treatment beenflusst snd. x enthält alle beobachtbaren Varablen, de sowohl de Selekton ns Treatment als auch das Outcome determneren, de ncht vom Treatment beenflusst snd und vor dem Zetpunkt des Treatments gemessen werden. Implkaton: Wenn wr das Ergebns ener Person mt Treatment mt dem Ergebns ener anderen, bezüglch x äquvalenten Person ohne Treatment (en statstscher Zwllng ) verglechen, dann geht der Untersched zwschen den Ergebnssen ausschleßlch auf das Treatment zurück und ncht auf de Selekton ns Treatment. Gegeben x st das assgnment zufällg. Unbeobachtbare Unterschede zwschen den beden Personen könnten bewrken, dass sch hre Outcomes unterscheden. Wenn jedoch x genügend 4 9 Varablen enthält, de n enem systematschen Zusammenhang mt unbeobachtbaren Determnanten der Outcomes stehen, kann es gelngen, dass de beden Personen auch bezüglch unbeobachtbarer Determnanten Zwllnge snd. Wr könnten prnzpell jeder Beobachtungsenhet, de en Treatment erhalten hat, ene Beobachtungsenhet aus der Gruppe der on-treated zuordnen. En Mttelwertverglech der Outcomes schätzt den Treatmenteffekt. Des wäre en exaktes Matchng. We unterschedet sch exaktes Matchng von lnearer Regresson, de genauso de Determnanten des Treatments x konstant hält und ebenfalls "selecton on observables" unterstellt? De Regresson unterstellt ene lneare addtve funktonale Form für den Treatmenteffekt und den Enfluss der x. 4 0

54 In der Praxs besteht der Vektor x allerdngs aus zu velen Varablen, so dass es nahezu unmöglch wrd, exakt gleche Partner von Treatment- und Verglechspersonen zu fnden (dmensonalty problem). Daher betrachtet man de Condtonal Independence Assumpton be gegebenem Propensty Score, p(x). Unter enem Propensty Score versteht man de auf x bedngte Wahrschenlchket, das Treatment zu erhalten. Rosenbaum und Rubn (983) haben gezegt, dass unter CIA glt: y( 0 ),y( ) D p(x). Der Propensty-Score st en stetges Maß der egung zum Treatment, das umso höhere Werte annmmt, je eher en Treatment für ene Person zu erwarten st. Er wrd bspw. durch Vorhersagen der Treatmentwahrschenlchket auf Bass von Schätzungen für D bestmmt. Implkaton: Wenn ene Paarung von Treated und Verglechsperson m Propensty Score überenstmmt, st de Dfferenz hrer Ergebnsse nur auf das Treatment zurückzuführen und ncht auf de Selekton ns Treatment. Intuton: Wenn wr ener Treated ene on-treated Beobachtung mt glechem Propensty Score zuwesen, st es ähnlch we n enem sozalen Experment nur noch Zufall, welche der beden Beobachtungen de Interventon erhalten hat. Der Untersched n hren Ergebnssen (nach Treatment) st der kausale Effekt des Treatments. De Unconfoundedness-Annahme (CIA) kann ncht getestet werden. Daher st es wchtg, überzeugende Argumente dafür zu haben, dass der zur Verfügung 4 4 stehende Varablenvektor x tatsächlch de wchtgsten Faktoren enthält, de de Selekton ns Treatment und de Outcomes determneren. Bedngung dafür, dass sch Verglechspersonen mt ähnlchem Propensty- Score fnden lassen, st de Common Support-(Overlap)-Bedngung: ( ) ( ) 0 < P D = x = P x <. Se besagt, dass es für jede Ausprägung von x sowohl Treatment- als auch Kontrollbeobachtungen gbt, d.h. es darf kene Intervalle des geschätzten Propensty Score geben, für de es nur Treatments, aber kene Verglechspersonen gbt. Ist dese Bedngung ncht erfüllt, dann hätten wr mt P(D = x ) = und alle Personen mt enem bestmmten x erhalten das Treatment. Für se exsteren kene Verglechspersonen ohne Treatment. Befnden sch n der potentellen Verglechsgruppe mt P(D = x ) = 0, so erhalten dese nemals Treatment 4 3 und egnen sch ne als Verglechspersonen für de Treatments. Bespel: Für de Treatmentgruppe fnden wr Propensty Scores über den gesamten Berech 0 < P(D = x ) <, für de Verglechsgruppe hngegen nur für 0 < P(D = x ) < 0,7. We können dann nur Personen der Treatmentgruppe mt 0 < P(D = x ) < 0,7 n de Analyse enbezehen, da n unserer Stchprobe be P(x ) 0,7 de Treatmentwahrschenlchket beträgt. In desem Berech snd kene Verglechspersonen verfügbar. Der Treatmenteffekt wrd her nur für de abgedeckte Regon des common support dentfzert. Deser kann sch dann vom ATT unterscheden. Unter CIA, SUTVA und der overlap-bedngung lässt sch der ATT we folgt schätzen: 4 4

55 () ( ) () ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) } E Δ,ATT = E y D = E y 0 D = = E y D =,P x E y 0 D =,P x = EE y D=,Px E y 0 D= 0,Px D= Der äußere Erwartungswert bezeht sch dabe auf de Vertelung des Propensty Scores. Gemensam werden de CIA und overlap-bedngung als "strong gnorablty" Annahmen bezechnet. Wenn se zutreffen, wrd der ATE dentfzert. P (D = x ) <, so dentfzert der matchng Schätzer den ATT. In desem Fall wrd Selekton ns Treatment auf Bass der Ausprägungen von y(0) ausgeschlossen, ncht aber auf Bass heterogener Treatmenteffekte. Für alle Beobachtungen der Treatmentgruppe gbt es ene Verglechsbeobachtung, aber ncht zwngend für alle Verglechsbeobachtungen en Treatment. Glt hngegen statt CIA nur y( 0) = D x, genannt "unconfoundedness for controls", und statt overlap nur de weak overlap Bedngung Verschedene Matchng-Schätzer Angenommen wr haben ene Treatmentgruppe (T) mt =,, T Personen, und für de potentelle Kontrollgruppe ohne Treatment (K) j =,, K Personen. Ferner defneren wr de absolute Dstanz zwschen dem Propensty Score P(x) ener Person aus der Treatmentgruppe und ener Person j aus der Verglechsgruppe: ( ) ( ) d = P x P x.,j j earest-eghbour-matchng wählt für Person de Verglechsperson j we folgt aus: ( ) = mn d,j K j K() st de Verglechsperson j, deren Propensty Score den gerngsten absoluten Abstand zu dem von aufwest, also der nächste achbar. Dabe snd mehrere Varatonen möglch, de auch kombnert werden können: - earest-eghbour-matchng mt n achbarn: Es werden jedem Treated, als nächste achbarn n Verglechspersonen mt den klensten Werten von d,j zugewesen. K() stellt nun ene Gruppe von n Verglechspersonen dar. - earest-eghbour-matchng ohne Zurücklegen: Jede Verglechsperson kann nur ener Person mt Treatment zugewesen werden. - earest-eghbour-matchng mt Zurücklegen: Jede Verglechsperson kann mehreren Personen mt Treatment zugewesen werden. - earest-eghbour-matchng mt Calper r:

56 K() = mn d d < r,j,j j Herbe werden Paare mt ener Dstanz, de r überstegt, ncht zugelassen. Damt wrd verhndert, dass Verglechspersonen enem Treated zugewesen werden, de sch zu stark von unterscheden. Des bewrkt oft, dass enge Treated aus der Analyse ausgeschlossen werden, wel sch für se kene Verglechspersonen fnden, mt d,j < r. Radus-Calper Matchng wählt für Person alle Personen aus der Kontrollgruppe als Partner aus, für de glt: K( ) = d < r,j wobe r weder den Calper darstellt. Im Gegensatz zum earest-eghbour- 4 9 Matchng st herbe de Anzahl der Verglechspersonen, de enem Treated zugewesen snd, varabel. Der Matchng-Algorthmus führt für jede Treatmentbeobachtung enen Verglech zu jeder möglchen Kontrollbeobachtung durch und bestmmt anhand der vorgegebenen Krteren, ob ene Zuwesung ener Verglechsbeobachtung zur Treatmentbeobachtung erfolgt. Der Matchng-Schätzer des ATT beruht nun nur noch auf enem Mttelwertverglech. Defneren wr zunächst noch Gewchte für de Verglechspersonen n der Menge K() mt w =, wobe,j K() de Anzahl der Verglechsperso- K() nen n K() darstellt. Unser Schätzer für den ATT st dann: 4 30 w mt j,j T T K Δ = ATT y w y,j j T T j K() T K = y w y,j j T T T j K() = y w y T T T K j j T j K = w. Dabe entsprcht w j der Anzahl der Treatmentbeobachtungen, denen de Verglechsperson j als statstscher Zwllng zugewesen wurde. Der Schätzer unterstellt kenen festen funktonalen Zusammenhang zwschen Regressoren und Ergebnsvarable y. Ebenso weng unterstellt der Schätzer, dass de Treatmenteffekte für unterschedlche Personen konstant snd. De Varanz des Schätzers lautet ( ˆ T K Δ ATT ) = ( ) ( ) j V V y w V y T T j K = n T V y w j V y T j K T T K ( ) ( ) w j T j K K ( ) ( ) = V y V y Analytsche Varanzen können nur konsstent geschätzt werden, wenn der Propensty Score a pror bekannt st. Da der Propensty Score allerdngs selbst geschätzt wrd, wrd von velen Autoren ene Schätzung der Varanzen mt Hlfe von Bootstrap-Methoden vorgezogen. Dabe werden aus der Gesamtstchprobe mt Beobachtungen zufällg Be- T

57 obachtungen mt Zurücklegen gezogen und damt erneut ˆΔ geschätzt. Des ATT wrd l-mal wederholt, so dass wr l unterschedlche Beobachtungen für den Schätzer erhalten und damt Varanz und Standardfehler von ˆΔ mt ener smplen Varanzformel schätzen können. Be earest-eghbour-matchng- Schätzern führt dese Methode allerdngs ncht zu konsstenten Schätzern der Varanzen. Be klenen Stchproben st auch bem Matchng-Schätzer davon auszugehen, dass Treatmenteffekte verzerrt geschätzt werden. De Wahl des Matchng- Algorthmus beenflusst Verzerrung und Varanz: - utzt man vele achbarn, dann kann des zu enem höheren Bas führen, da de ausgewählten achbarn m Schntt ene höhere Dstanz vom Propensty Score der Treated aufwesen als wenn wr z.b. nur enen ach- ATT 4 33 barn zuordnen. Dafür wrd de Varanz des Schätzers gesenkt. - Entscheden wr uns für Matchng mt statt ohne Zurücklegen, reduzert des den Bas, da wr dadurch scherstellen können, dass ähnlchere Verglechspersonen für de Treated gefunden werden. Dafür stegt aber de Varanz des Schätzers. - utzen wr earest-eghbour-matchng mt statt ohne Calper, senkt das den Bas, erhöht aber de Varanz des Schätzers, wel wr wenger Beobachtungen verwenden. eben desen Schätzern gbt es noch enge andere Matchng-Algorthmen (z.b. Stratfcaton Matchng, Kernel Matchng, Local Lnear Matchng) Implementaton von Matchng-Schätzern Schrtt : Auswahl ener potentellen Verglechsgruppe für de Treated Common Support-Bedngung muss gelten und ähnlche Rahmenbedngungen für bede Gruppen vorlegen. Potentelle Verglechsbeobachtungen sollten über den glechen Zetraum beobachtet werden we de Treatments und faktsch en Treatment erhalten können. Bespel: Treatment se ene Fortbldung für Arbetslose, de von Arbetsagenturen fnanzert wrd. Wenn gesetzlch geregelt st, dass Fortbldungen für Arbetslose mt Unverstätsabschluss ncht fnanzert werden und Arbetslose n bestmmten Regonen faktsch ne en Treatment erhalten, dann würden wr dese Personengruppen von vornheren ncht n de potentelle Verglechs- gruppe aufnehmen. Schrtt : Entschedung für exaktes oder Propensty Score Matchng Exaktes Matchng bezüglch enes Vektors x st praktkabel, wenn x aus ener klenen Anzahl von Regressoren besteht und/oder wenn wr n der Stchprobe pro Treatmentbeobachtung vele potentelle Verglechspersonen haben. Anderenfalls werden wr eher Propensty Score Matchng anwenden. Schrtt 3: Wahl der Regressoren, Schätzung des Propensty Score, Common Support, Overlap - Be der Auswahl von x st darauf zu achten, dass es sch um Determnanten von Propensty Score P(D = x ) und Outcome y handelt. - Alle wchtgen Determnanten müssen vorlegen. Sonst snd de Matchng

58 Schätzer des Treatmenteffekts stark verzerrt, wel sch de Outcomes von Treatments und Kontrollpersonen aufgrund der vernachlässgten Faktoren und ncht aufgrund des Treatments unterscheden. Common Support/Overlap: ach der Schätzung von P(D = x ) werden für alle Beobachtungen de Treatmentwahrschenlchketen vorhergesagt. Wr prüfen, ob es möglch st, für alle Treatments Verglechspersonen mt ähnlchem Propensty Score zu fnden. Durch enen Verglech zwschen der Vertelung der Propensty Scores der Treatments und der potentellen Verglechsbeobachtungen st des erkennbar: Schrtt 4: Wahl des Matchng-Algorthmus Entschedung stuatonsabhängg (sehe Bespel unter Schrtt 5), trade-offs zwschen Bas und Varanz. Be wengen Treatmentbeobachtungen mt hohen Standardfehlern des Schätzers könnten wr uns für enen Matchng- Algorthmus mt möglchst nedrger Varanz entscheden, z.b. earest- eghbour-matchng mt mehreren achbarn. Schrtt 5: Überprüfung der Qualtät des Matchngs Durch Matchng haben wr ene Stchprobe generert, de nur aus den Treated und den zugewesenen Verglechsbeobachtungen besteht. Dadurch sollte das Treatment n deser Stchprobe ncht mehr von x abhängen und de Durchschnttswerte enzelner Regressoren der Treatment- und Verglechsgruppe

59 nahezu glech sen. Das lässt sch prüfen: De standardserte Bas wrd dem t-test vorgezogen, wel se von der Stchprobengröße unabhängg st. Ergebns deser Analyse könnte sen, dass nach Matchng für enge Regressoren weterhn Unterschede zwschen Treatments und Verglechspersonen vorlegen. Der geschätzte Treatment-Effekt könnte dann ncht allen auf das Treatment, sondern auch auf dese Unterschede zurückzuführen sen. Um dese Verzerrung zu vermeden, kann der Zuordnungsmechansmus verbessert werden: 0 Entweder gehen wr zurück zu Schrtt 3 und wählen x neu, z.b. ndem wr für de Regressoren, be denen sch auch nach dem Matchng Unterschede zwschen Treatment- und Kontrollpersonen fnden, ncht-lneare Terme oder Interaktonen mt anderen Regressoren n de Probt- oder Logtmodelle auf nehmen. Dann wrd Schrtt 3 bs Schrtt 5 wederholt. Alternatv wählen wr enen anderen Matchng-Algorthmus, z.b. statt earest- eghbour-matchng mt enem achbarn und ohne Zurücklegen, erlauben wr das Zurücklegen. Dadurch können Verglechsbeobachtungen, de sch von velen Treatments kaum n hrem Propensty Score unterscheden, mehreren Treatmentbeobachtungen zugeordnet werden. Dafür fallen enge Verglechsbeobachtungen, für de das Gegentel zutrfft, weg. Danach überprüfen wr erneut de Matchqualtät. Prüfen, ob de Condtonal Independence Annahme plausbel st (s. Imbens und Wooldrdge, 009, Abschntt 5.), z.b. Verglech von zwe verschedenen Kontrollgruppen zum Test, ob tatsächlch ken Effekt vorlegt, oder kausalen Effekt auf ene Outcomegröße bestmmen, de durch das Treatment ncht beenflusst worden sen kann (bspw. aus der Vorperode). Schrtt 6: Robusthet der Resultate Schätzung des ATT mt weteren Matchng-Algorthmen und Verglech der Ergebnsse

60 4.3 Bespelstuden 4.3. Bespelstude Gesucht st der kausale Effekt von Fortbldung arbetsloser koreanscher Frauen auf de logarthmerte Gesamtdauer der Arbetslosgket. De Frauen wurden zwschen Jan. 999 und März 000 arbetslos. =973 erhelten Treatment (T), =93 snd n der Kontrollgruppe (C). Folgende Varablen stehen zur Verfügung: C-Group T-Group mean SD mean SD ln (unemployment days) age n years employment days at ex-frm educaton years Im Mttel st de Arbetslosgketsdauer der Treatmentgruppe deutlch länger. Überprüfung der Qualtät von sequentellem earest eghbour Matchng ohne (greedy) und mt Zurücklegen (non-greedy): Balance of covarates wth par matchng After sequental par matchng Before matchng Greedy on-greedy T C t-value T C t-value T C t-value age job experence (yrs) last unemp. dur. (days) Ergebnsse mt Zurücklegen günstger als ohne (vgl. t-werte). Insgesamt hat Matchng de Unterschede zwschen den Gruppen (T, C) deutlch reduzert. Uns legen de geschätzten Treatmenteffekte nach earest-eghbour- Matchng ohne Zurücklegen mt Calper vor: 9%). Der Treatmenteffekt selbst st n beden Fällen ähnlch und besagt, dass de logarthmerte Arbetslosgketsdauer be Fortbldung zwschen 0,48 und 0,36 also grob 5-33% länger st. Bede Schätzer snd sgnfkant. (Quelle: Lee, 005, S. 90, 97) Greedy par matchng wth calpered propensty score Calper: Calper: effect on treated (t-value) 0.48 (5.94) 0.36 (.38) % treated used 39% 9% De Schätzer unterscheden sch darn, dass be enem klenen Calper deutlch wenger Beobachtungen der Treatment Group verwendet werden (39 statt

61 4.3. Bespelstude (Grma und Paton, 006) Gesucht st der kausale Effekt der Verfügbarket der Plle danach auf Schwangerschaften von Teenagern n England. Dort wrd set 000 de Verfügbarket von Emergency Brth Control (EBC) regonal ausgewetet. De abhängge Varable beschrebt de Änderung regonaler Teenager- Schwangerschafts-Raten über de Zet: Δ yˆ = yˆ yˆ t + s t + s t De Treatmentgruppe enthält Regonen, de EBC verfügbar gemacht haben, de Kontrollgruppe enthält Regonen, de EBC ncht beret stellen. Gesucht st der ATT: 0 0 { Δ Δ = } = t s t s t { Δ = + + t+ s t } { Δ = t+ s t } E y y EBC E y EBC E y EBC Es handelt sch um enen Dfference-n-Dfferences Matchng Schätzer. 47 Regonen werden über 8 Quartale beobachtet, 59 haben EBC angeboten. Es wrd en Propensty Score Matchng verwendet, das de Wahrschenlchket des Treatments (EBC t = ) mttels erklärender Varablen vorhersagt. Propensty Score Matchng generert verlässlche Ergebnsse, wenn de Vertelung der Kovaraten gemessen vor dem Treatment und bedngt auf den Propensty Score von der Programmtelnahme unabhängg snd. Dese balancng condton muss geprüft werden, bspw. mttels standardserter Bas-Maße. Tabelle zegt, dass be engen Kovaraten (z.b. target 004, contallr, practcer) de standardserten Bas-Maße ebenso we de p-werte des Mttelwertverglechs n der gematchten Stchprobe günstger ausfallen, als n der ncht gematchten Stchprobe: Mean t-test for equalty of means Varable Sample Treated Control Bas (%) Bas reducton t p > t (%) year Unmatched Matched target004 Unmatched Matched target00 Unmatched Matched cur8ch Unmatched Matched contallr Unmatched Matched practcer Unmatched Matched

62 De nächste Tabelle gbt Treatment-Effekte n Abhänggket vom Zetpunkt der Programmenführung be unterschedlchen Matchng-Verfahren an. earest neghbour earest 3 neghbours Tme perod Effect t-stat Effect t-stat Year Year Quarter Quarter gendlche haben be Enführung von EBC hr Verhalten gegenläufg angepasst. De Effekte snd klen und nsgnfkant. Entweder de Maßnahmen haben kene Wrkung, oder de Wrkungen snd zu klen um messbar zu sen, oder Ju Evaluaton be "selecton on unobservables" Wr betrachten 4 Verfahren, de ohne de CIA Annahme arbeten atürlche Expermente und Dff-n-Dff atürlche Expermente legen vor, wenn aus exogenen Gründen für ene Gruppe von Beobachtungen de Rahmenbedngungen geändert werden und deren Outcomes mt denjengen ener Gruppe ohne Änderung der Rahmenbedngungen verglchen werden können. Exogen bestmmte Treatment- und Kontrollgruppe können verglchen werden. Das Dfference-n-Dfferences Verfahren verglecht vorher-nachher Änderungen für bede Gruppen. Durch Dfferenzenbldung werden systematsche Unterschede zwschen den Gruppen n beobachtbaren und unbeobachtbaren Größen ausdfferenzert. Konstante ndvduelle unbeobachtbare Größen snd zulässg und unproblematsch, zetlch varable ncht

63 Bespel : Erwerbstätgket von ursprünglch erwerbstätgen Müttern, de hre Knder unmttelbar vor und nach der Elterngeldreform bekamen. Unterschede können kausale Effekte der Reform sen. Bespel : Führt punktuelle Zuwanderung gerngqualfzerter Arbeter zu enem Ansteg der Arbetslosgket? Verglech vor und nach "980 Marel Boatlft" von Mam und Verglechsstädten, de ähnlche Arbetslosgketsentwcklung hatten: vorher 979 nachher 98 Dfferenz Mam (T) 5, 3,9 -, Verglechsstädte (T) 4,4 4,3-0, Dfferenz 0,7-0,4 -, De Dfferenz der Dfferenzen (DID) zegt ene Senkung der Arbetslosgket durch den Boatlft. Formal: y 0 = 's Beschäftgung ohne Zuwanderung y = 's Beschäftgung mt Zuwanderung E (y 0 c,t) = Arbetslosgket n Stadt c n Jahr t ohne Zuwanderung E (y c,t) = Arbetslosgket n Stadt c n Jahr t mt Zuwanderung Unterstellt wrd: E (y 0 c,t) = β t + γ c, fxe Zet-(β)- und Ort-(γ)-Effekte E (y c,t) = E (y 0 c,t) + δ, konstanter Ansteg. Auf Indvdualebene: y = β t + γ c + δ M + u, wobe: E (u c,t) = 0, M = Interaktonsterm: lebt n Mam nach 980, sonst M = 0. Der DID-Schätzer ergbt sch durch Dfferenzenbldung: {E (y c = Mam, t = 98) - E (y c = Verglech, t = 98)} - {E (y c = Mam, t = 979) - E (y c = Verglech, t = 979)} = δ Zusätzlch können Kontrollvarablen (x) berückschtgt werden y = X ' β 0 + β t + γ c + δ M + u. Annahme : Zeteffekte snd für bede Gruppen glech, d.h. ohne Interventon kene sgnfkanten Unterschede. Des st durch Verglech der Zettrends n T (Treatment) und T (on-treatment) Gruppe vor und nach dem Eregns überprüfbar. Annahme : De Zusammensetzung der Gruppen ändert sch ncht. Allgemene Darstellung für Querschnttsdaten: gehört zu ener Gruppe G (T, T) und st n Perode P (0, ) beobachet. Standardmodell für Ergebns Y ohne Treatment mt Parametern α, β, γ: Y (0) = α + β P + γ G + u u G,P, und E u = 0. Für u wrd unterstellt ( ) ( ) Outcome Y () be treatment: Y () = Y (0) + τ DID τ DID st de Dfferenz der Dfferenzen der Erwartungswerte be G = T und G = T über de Zet und m lnearen Modell schätzbar:

64 Somt ˆ ( Y Y DID 0 ) ( Y Y 0 00 ) Y = α + β P + γ G + τ DID (P G ) + u τ =. ˆτ DID verglecht de Änderung m outcome der Treatmentgruppe mt dem der Kontrollgruppe. Des dentfzert den ATT. De Vorgehenswese lässt sch auch be weteren Gruppen und Peroden durch Bldung relevanter Interaktonsterme anwenden. De Standardfehler des lnearen Modells snd falsch, wenn Outcomes nnerhalb von Gruppen und Peroden korreleren, bspw. wenn u = η G, P + υ. Insbesondere Autokorrelatonsmuster der Form η g, t = η g, t- + ω g, t werden n der Lteratur dskutert, wobe g de Gruppe G und t bzw. t- de Perode P ndzert. Schwächen des D--D Ansatzes: 4 6 Kene Kontrolle für zetlch varable unbeobachtete Effekte möglch. Klasssche Wrkung Ashenfelter's Dp: Treatmentwahrschenlchket hängt von Ausprägung des Outcomes vor Treatment ab. Be negatvem Zufallsausschlag erhöhte Treatmentwahrschenlchket und überschätzte Treatmenteffekte. Voraussetzung dentscher Trends (=Zeteffekte) für Treatment- und Kontrollgruppe ncht mmer gegeben. Bespel : T und T snd n unterschedlchen Arbetsmärkten tätg. Bespel : Bevölkerungsgruppen snd von zyklschen Arbetslosgketsschwankungen unterschedlch stark betroffen (z.b. Jugendarbetslosgket st volatler). Zusammensetzung von T und T Gruppen darf sch ncht ändern, sonst verfälschte vorher-nachher Vergleche. 4 6 Typscherwese wrd en addtv separabler und homogener kausaler Effekt unterstellt. euere Verfahren lockern dese Form der Modellerung Instrumentvarablen (IV) und heterogene Treatmenteffekte (B&D, 009, VI) IV-Verfahren snd anwendbar be selecton on unobservables. Es wrd unterstellt, dass mndestens ene Determnante des assgnment Mechansmus (das Instrument z) kenen drekten Effekt auf y hat. Potentelle Outcomes snd von z unabhängg, Outcome-Unterschede entlang der Ausprägungen von z gehen auf Unterschede n der Treatmentwahrschenlchket zurück. Be homogenem Treatmenteffekt glt α ATE = α ATT = α = α. Unter 3 Bedngungen kann en Instrument z α dentfzeren:

65 (IV) α = α für alle (IV) P (d = z) P (d = ) (IV3) E (u z) = E (u) ( = ) ( = ) P( z* ) P( z** ) E y z z* E y z z** α= ( ) ( ) cov y,z bzw. be kontnuerlchen z: α=. cov d,z für dskrete z, wobe d en Treatmentndkator st und u das Resduum n y = β + α d + u. Schrebt man zur Abkürzung P (z) = P (d = z), so folgt E (y z ) = β + α E (d z ) + E (u z ) = β + α P (z ) + E (u ) = E (y P (z )). Unterschedlche Ausprägungen von z (z*, z**) genereren Varaton n P(z), so dass der Standard IV-Schätzer resultert: Problem: IV3 st oft ncht erfüllt, oder z hat weng Erklärungskraft für d (weak nstrument). In dem Fall wrd α nur unpräzse geschätzt. Wenn IV, de Homogentätsannahme, ncht zutrfft, dann glt auch de excluson restrcton ncht mehr, da nun z mt dem Störterm der Outcome- Glechung korrelert st: y = β + α ATE d + [u + d (α - α ATE )] ur wenn d und (α - α ATE ), d.h. de ndvduellen Vortele aus dem Treatment, unkorrelert snd, kann IV den ATE noch dentfzeren. Andernfalls kann weder ATE noch ATT dentfzert werden. Stattdessen lässt sch be heterogenen Treatmenteffekten α LATE dentfzeren, d.h. de Wrkung von "lokalen" Unterscheden m Wert von z. Gemessen wrd der Treatmenteffekt für dejengen Beobachtungen, für de de unterschedlchen Ausprägungen von z den Treatment-Status bestmmen. Des st weder ATE noch ATT. LATE st der mttlere Effekt für solche Beobachtungen, de aufgrund der Ausprägung von z den Treatment-Status ändern. Folgende Annahmen snd erforderlch: (LATE ) P (d = z) P (d = ) (LATE ) E (u z) = E (u) (LATE 3) (α, ε) z De ersten beden entsprechen IV und IV3. LATE 3 besagt, dass das Instrument weder mt dem Treatmenteffekt noch mt dem Störterm der Partzpatonsglechung ε korrelert sen darf: wenn d * 0 d = 0 sonst ( ) ( ) ( ( ) ) wobe d * = g z, ε, d z = g z, ε > 0. (...) beschrebt de Indkatorfunkton, de für wahre Aussagen den Wert, sonst 0 annmmt. Wäre z mt ε korrelert wenn glechzetg ε mt u korrelert st, so wäre z ken gültges Instrument mehr. Für y ergbt sch

66 E (y z ) = β + P(d (z) = ) E(α d (z) = ). Unter der zusätzlchen Annahme Man fndet folgende Auftelung von Personengruppen, verenfacht be enem bnären Instrument, z.b. z = für College st nah, z = 0 für College st wet: (LATE 4) d(z) st ene monotone Funkton von z lässt sch der Effekt des Treatments für dejengen Indvduen ableten, de vom Status ontreatment zum Status Treatment wechseln, wenn z den Wert z** statt z* annmmt: ( z*,z * *) ( ) ( ) P( z** ) P( z* ) E y z** E y z* LATE α = z = z = 0 d (0) = 0 d (0) = d () = 0 ever taker Defer d () = Compler Always-taker Bespel: In der Lohnglechung wrd Bldung durch ähe zum College (z) nstrumentert. α LATE msst den Lohneffekt der Bldung für dejengen, deren Tertärbldungsentschedung tatsächlch von z abhängt. α LATE st der Effekt für de complers. Der Effekt hängt davon ab, welches Instrument gewählt wurde, da verschedene Instrumente verschedene Gruppen von complers genereren. Dese können unterschedlch umfassend, typsch oder poltkrelevant sen Regresson Dscontnuty Desgn (RDD) Im Experment st de Treatmententschedung zufällg. RDD stellt ene quasexpermentelle Stuaton dadurch her, dass de Treatmententschedung von ener kontnuerlchen, beobachtbaren Größe abhängt. Bespel : Mamondes Rule, gesucht st der Effekt der Klassengröße auf den Lernerfolg von Schülern. Ab Klassenstärke 40 (80) werden dskontnuerlch (3) Schulklassen gebldet. De Gesamtschülerzahl kann als Instrument für de Klassenstärke genutzt werden, oder man verglecht de Lestung von Schülern n Schulen mt z.b. ± 5 Schülern um den Schwellenwert. Bespel : Gesucht st der Effekt der Förderung durch Stpenden auf den Studenerfolg. Stpenden erhalten dejengen Hgh School Schüler, deren

67 Testergebns über enem Schwellenwert legt. Man verglecht de Schüler mt Ergebnssen knapp über und knapp unter dem Schwellenwert. Der RDD Schätzer dentfzert enen local average treatment Effekt. Treatment hängt n dskontnuerlcher Form von ener Varable z ab. Man unterschedet zwe RDD Formen: sharp und fuzzy. Sharp RD-Desgn: Ausschleßlch de Ausprägung von z (relatv zu enem Schwellenwert z*) determnert das Treatment für alle. Es gbt kene ndvduellen unbeobachtbaren Effekte, sondern selecton on observables. Da ken "overlap" von treatment und nontreatment vorlegt, st matchng ncht möglch. Man benötgt ausschleßlch de Annahme, dass der erwartete Störterm der outcome Glechung auf beden Seten des Schwellenwertes (z* -, z* + ) glech ausfällt: E (u z* - ) = E (u z* + ) dann folgt α RDD (z*) = E (y z* + ) - E (y z* - ) Bespel: Elterngeldregme hängt von der Geburt des Kndes am vs ab. Fuzzy RD-Desgn: Andere Faktoren als z (auch unbeobachtete) beenflussen den Treatment-Status. Auf beden Seten von z* fnden Telnahme und chttelnahme statt

68 Bespel: Enge sraelsche Schulen telen Klassen berets bevor oder nachdem 40 Schüler errecht snd. eues Problem: De treatment Entschedung kann nun weder endogen sen, nur en Tel der Beobachtungen gehört wrklch zu exogen bestmmten "complers". Als zusätzlche Annahme muss unterstellt werden, dass n der Umgebung von z* der Treatmenteffekt konstant und unabhängg vom Treatment-Status st: E (α d, z) = E (α z) für z n der ähe von z*. Des st ene starke Annahme, da es ausschleßt, dass über Treatment n Abhänggket von senem ndvduellen Effekt entscheden wrd. α RDD wrd weder als local average treatment Effekt geschätzt: ( ) + ( ) E( y z* ) + P( z* ) P( z* ) E y z* z* E z z* ( ) RDD α = = α = der mttlere Effekt des Treatments für ene zufällg gezogene Beobachtung mt Merkmal z = z*. Unter der zusätzlchen Annahme glt α RDD = ATE = ATT. achtele des RDD: - nur en lokaler Effekt st dentfzerbar - z* könnte manpulerbar sen - Indvduen ändern wegen z* hr Verhalten (z.b. umerus clausus, Enletung von Geburten etc.) - durch enge Fenster um z* snd de Stchprobengrößen klen Bespel : Mamondes-Rule - OLS and fuzzy RD estmates of the effect of class sze on ffth-grade math scores (Quelle: Angrst u. Pschke, 009, S.66) OLS SLS Full Sample Dscontnuty Samples ± 5 () () (3) (4) (5) (6) (7) Class sze (0.039) (0.036) (0.044) (0.09) (0.3) (0.5) (0.36) % dsadvantaged (0.08) (0.08) (0.09) (0.09) (0.049) (0.049) Enrollment (0.009) (0.0) (0.037) (0.036) Enrollment / R umber of classes,08,08 47 ote: The table reports estmates usng class averages. Standard errors, reported n parentheses, are corrected for wthn-school correlaton. Bespel : Effekt des Ruhestands auf Konsumausgaben Be unterstellter Optmerung m Lebenszyklus st es schwer zu erklären, warum be Rentenentrtt de Konsumausgaben snken. Der kausale Effekt wrd anhand talenscher Rentenzugangsregelung dentfzert, da Rentenzugang n ener Konsumausgabenglechung potentell endogen st. wenn Haushaltsvorstand m Ruhestand R = 0sonst S = Zet set Rentenanspruch besteht, gemessen n Abhänggket von Alter und Betragsjahren. Be S < 0 Rentenzugang ncht möglch, be S 0 aber auch ncht verpflchtend, Dskontnutät be S =

69 wenn Rentenanspruch besteht IS ( 0) = 0sonst β = Y Y 0 kausaler Effekt des Ruhestands auf Konsumausgaben (Y). Wenn S = 0 + und S = 0 - Indvduen kurz nach und kurz vor Zugangszetpunkt beschrebt, lautet der kausale Effekt: + { } + { = } { = } + ER S { = 0} E Y S 0 E Y S 0 E β R =,S = 0 =. Daten: Bank of Italy Survey on Household Income and Wealth Stchprobe: Mttelwerte pro Kalenderjahr (t) für männlche Indvduen glecher Ausprägung von S. Be 6 Jahren und Werten (-0, +0) ergeben sch 0 Beobachtungen. IV-Schätzglechung. Stufe: Y s,t = β 0 + β R s,t + β S + β 3 S + ε s,t Schätzglechung. Stufe: R s,t = γ 0 + γ J (S 0) + γ S + γ 3 S + υ s,t Ergebns. Stufe: γ ˆ = 0,435 SE ( γ ) = 0,038; R = 0,9 ˆ Unter der Annahme, dass ohne de Zugangsgrenze der Verlauf von Y zum Zetpunkt der Zugangsgrenze kontnuerlch wäre, kann der dskontnuerlche Sprung n Y zum Zetpunkt S = 0 als kausaler Effekt des Entrtts n den Ruhestand nterpretert werden Ergebns. Stufe: Log ondurable Exp. Log Food Exp. Retred -0,098 (0,057) * -0,4 (0,054) ** S -0,006 (0,003) ** -0,003 (0,003) S -0,000 (0,000) ** -0,000 (0,000) ote: Standard errors are robust to heteroskedastcty. Es ergbt sch en sgnfkanter Konsumrückgang von ca. 9,8 bzw. ca. 4, Prozent als kausaler Effekt des Ruhestands. Quelle: Battstn et al. (009), Amercan Economc Revew, S Control Functon Approach Kerndee st her, m Fall von selecton on unobservables, de Endogentät des Treatmentndkators als Problem fehlender Varablen zu nterpreteren. Dabe wrd n der Outcomeglechung explzt für de (beobachtbaren und nsbesondere unbeobachtbaren) Determnanten der Zuwesung des Treatments kontrollert. Dazu können parametrsche Annahmen an de gemensame Vertelung der Störterme aus Outcome- und Selektonsglechung getroffen werden, z.b. bvarate ormalvertelung und Vorgehen we be Heckman-Korrektur. Alternatv wurden ebenfalls nchtparametrsche Verfahren entwckelt

70 Gelegentlch wrd es als Kontrollfunktonsansatz bezechnet, wenn de Outcomeglechung zusätzlch für potentelle und beobachtbare Determnanten der Partzpatonsglechung kontrollert. Des st ausrechend, wenn man von selecton on observables ausgeht. 4.5 Bespelstude atonal Supported Work (SW) Projekt: Experment mt zufällger Zuwesung von Tranng (= Treatment) auf Treatmentgruppe, ncht auf de Kontrollgruppe. Gesucht st der kausale Effekt der Maßnahme auf spätere Verdenste. Treatment (D = ): 85 Männer, Tranng Control (D = 0): 490 Männer unter Alter 55 aus PSID (Panel Study of Income Dynamcs) De Merkmale der Gruppen snd n Tabelle 5.3 zusammengefasst: Zum Tel unterscheden sch Treatment- und Kontrollgruppen deutlch. Zelgröße snd de real earnngs 978 (RE78). Der Verglech zwschen beden Gruppen (treatment control comparson) ergbt enen substantellen Untersched der Realenkommen von $. Des wäre der kausale Tranngseffekt m perfekten Experment oder der Koeffzent des Treatmentndkators (D) n der Regresson von RE78 auf ene Konstante und D, be gepoolter Stchprobe. In unserem Fall steckt auch der große Untersched n den beden Gruppen hnter dem Abstand der Verdenste, wel de Kontrollgruppe kene statstschen Zwllnge der Treatments snd. Des lässt sch per KQ herausrechnen: RE78 = x ' β + α D + u =,,...,

71 Kontrollert man für age, agesq, educ, nodegree, black, hsp, RE74, RE75 so erhält man α= ˆ 8. Des kann als control functon-schätzer bezechnet werden, da potentelle Determnanten von D kontrollert werden. Alternatv lässt sch en vorher-nachher-verglech der Treatmentgruppe durchführen. Deser ergbt RE78 - RE75 = 487 $. Dabe snd allgemene Zettrends ncht herausgerechnet. Um des zu tun, betet sch en Dfference-n-Dfferences Ansatz an. De Dfferenz RE78 - RE75 ergbt für de Kontrollgruppe =.49. Somt ergbt sch als Dfference-n-Dfferences Schätzer des kausalen Tranngseffektes Der DD-Schätzer kann auch n folgender Schätzglechung als Schätzer für α gewonnen werden: RE t = ϕ + δ D78 t + γ D + α (D78 t D ) + u I =,, 675 t = 75,78 RE t beschrebt de Verdenste n beden Peroden, D78 st en Indkator dafür, ob de Beobachtung aus dem Jahr 978 stammt (D78 = ) oder ncht (D78 = 0). D ndzert de Treatmentgruppe, (D78 D ) st en Interaktonsterm für Treatments 978. Alternatv kann de Konstante ϕ durch x t 'β ersetzt werden. Das Verfahren kann auf Querschntts- we auf Paneldaten angewendet werden..49 =.36 $ Alternatv könnte man ausschleßlch solche Beobachtungspaare verwenden, de de glechen Merkmalsausprägungen x haben. So en matchng on regressors setzt voraus, dass tatsächlch exakte Duplkatbeobachtungen vorlegen, was oft ncht der Fall st. Daher verknüpft man stattdessen Beobachtungen mt glechem Propensty Score, also glecher bedngter Treatmentwahrschenlchket Pr (D = x). Be der Berechnung des Verglechswertes von $ haben wr de mttlere Beobachtung der Treatment- mt der mttleren Beobachtung der Kontrollgruppe verglchen. In der Schätzung der Kontrollfunkton haben wr unterstellt, Der Propensty Score wrd für jedes, z.b. mttels Logt und erklärenden Varablen von 975, geschätzt und vorhergesagt: Pr (D = x) = Λ (x ' β) =,..., 675. dass sch Treatment- und Kontrollgruppenenkommen um enen konstanten addtven Term α unterscheden: E(RE78 x) = x'β + α D

72 De Abbldung zegt, dass de mesten Beobachtungen der Kontrollgruppe nedrge Propensty Scores und de mesten Beobachtungen der Treatmentgruppe hohe Scores haben. Wr können nun an jedem Punkt der Vertelung der Propensty Scores de mttleren Enkommen der Treatmentund Kontrollgruppe verglechen. Vor allem m Berech höherer Werte des Propensty Scores snd de mttleren Verdenste n der Treatmentgruppe oberhalb derjengen der Kontrollgruppe. Es gbt vele Möglchketen der Zuordnung von Treatment- und Kontrollgruppe: - earest eghbor Matchng: jede Treatmentbeobachtung erhält den nächsten achbarn (m Propensty Score) zugewesen Stratfcaton Matchng: Wenn de Propensty Score Bereche der Gruppen überenstmmen, lassen sch Mttelwerte n bestmmten Werteberechen des Propensty Score für bede Gruppen berechnen und verglechen. En Stratum s umfasst z.b. 0,0 < p(x) 0, en nächstes 0, < p(x) 0, etc. Man gewchtet de Mttelwerte pro Stratum s dann mt der relatven Häufgket der Beobachtungen n desem Stratum (w s ) und bestmmt s s ( s,d= s,d= 0 ) w RE78 RE78. In unserem Fall legt de Vertelung der Propensty Scores n der Treatmentgruppe zwschen 0,0005 bs 0,940 und n der Kontrollgruppe zwschen 0,000 und 0,937. Beobachtungen außerhalb des gemensamen Be- rechs entfallen und für de Gesamtstchprobe ergbt sch en Treatmenteffekt von 995 $. Um wetere Matchng Ergebnsse zu betrachten, nutzen wr alternatve Logtmodelle, de Propensty Scores unterschedlch vorhersagen: (a): Pr [treat = ] = h (COSTAT, AGE, AGE, EDU, EDU, MARRIED, O- DEGREE, BLACK, HISPAIC, RE74, RE74, RE75, U74, U75, U74*HISPAIC) (b): Pr [treat = ] = h (COSTAT, AGE, AGE, EDU, EDU, MARRIED, O- DEGREE, BLACK, HISPAIC, RE74, RE74, RE75, RE75, RE74*RE75, U74*HISPAIC)

73 Vorgehenswese: Bestmme ˆp( x ), sortere Treatment- und Kontrollbeobachtungen n Strata s gemäß ˆp( x ). Prüfe, ob nnerhalb jedes s de Mttelwerte der Charakterstka von Kontroll- und Treatmentgruppe sgnfkant verscheden snd. Wenn ja, engeres Stratum wählen. Wenn vele Unterschede, dann Interaktonsterme n Glechung zur Vorhersage von p (x). Verwende nur Beobachtungen, für deren ˆp( x ) sowohl Treatment- als auch Kontrollbeobachtungen vorlegen. Im Bespel verbleben be Spezfkaton (a) des Logtmodells von 490 nur 086 Beobachtungen n der Kontrollgruppe. Wählt man Spezfkaton (b), verbleben 46 Kontrollgruppen- Beobachtungen De Schätzergebnsse vareren stark mt der gewählten Vorgehenswese und legen zwschen 385 $ und 560 $. Des zegt, we sensbel Matchngschätzer auf de Annahmen reageren können. In Tabelle 5.6 wrd 794 $ als Benchmark verwendet. Des st en Regressonsschätzer für den Dummykoeffzenten n der gematchten Stchprobe nach Dehja und Wahba (00)