Kaplan- Meier- Schätzer

Transkript

1 Kaplan- Meer- Schätzer Glederung 1. Enletung 2. Zensur 3. Notaton 4. Methoden zur Schätzung der Überlebensfunton a. Reduced Sample Method/ Drect Method b. Actuaral Method bzw. verscherungsmath. Methode c. Kaplan- Meer- Schätzer bzw. Produt-Lmt-Schätzer (PL- Schätzer) 5. Varanz der Überlebensfunton a. Varanz für de Actuaral Method b. Varanz für PL- Schätzer 6. Umvertelung-nach-Rechts Algorthmus 7. Lteraturverzechns 1. Enletung Der Kaplan-Meer-Schätzer (auch Produt-Lmt-Schätzer) dent zum Schätzen der Wahrschenlchet, dass be enem Versuchsobjet en bestmmtes Eregns nnerhalb enes Zetntervalls ncht entrtt 1 Dese Methode wurde 1958 von Edward Kaplan und Paul Meer entwcelt. de statstsche Analyse von Lebensdauern spelt n medznschen und mechanschen Studen ene wchtge Rolle o Funtonsfähget von eletrschen oder mechanschen Bautelen o Ehe o Kranheten Startpunt: Reruterung des Patenten= Begnn der Therape Interesserende Eregns: Genesung, Tod, Lnderung Lebensdauer: de Zetspanne zwschen enem wohldefnerten Startzetpunt t 0 und dem Entrtt des nteresserenden Eregnsses, dem Endzetpunt t 0 + t Häufg snd Lebensdauer zensert, d.h. der nteresserende Endzetpunt ann ncht beobachtet werden o z.b. Ende ener Stude, obwohl nteresserendes Mermal noch ncht engetreten t 0 + c= Zetpunt der letzten Beobachtung, wobe c, de zenserte Lebenszet st 2. Zensur Man weß nur: egentlche Lebensdauer T > c => Rechtszensur Typ-I- Rechtszensur 1 Wpeda

2 Studenende, bevor das nteresserende Eregns be allen Telnehmern engetreten st n Telnehmer/Enheten werden von t=0 bs festgelegten t=c beobachtet Eregns nur beobachtet, wenn vor Zetpunt c legt, ansonsten T > c Typ-II-Rechtszensur n Enheten werden so lange beobachtet, bs de ersten von hnen ausfallen n wrd vorher festgelegt Zufällge Zensur Versuchsenheten/ Patenten önnen aus zahlrechen Gründen noch vor dem Beenden der Stude der Beobachtung entzogen werden o z.b. Wohnortwechsel, Ausfall aufgrund enes anderen Bautels Realtät: Zensur st Mschung aus zufällger und Typ-I-Rechtszensur o -> zufällge Typ-I-Rechtszensur 3. Notaton Unvollständge Beobachtungen -> ene Analyse mt statstschen Standardverfahren Grundlegende Aufgabe: Aussagen über de Zet T machen, zu der das nteresserende Eregns entrtt T, ncht negatve Zufallsvarable T~F Vertelungsfunton, de de Ausfallzeten beschrebt Wr suchen: Zuverlässgets- bzw. Überlebensfunton, welche de Wahrschenlchet angbt, dass en belebges Indvduum/ Bautel aus ener Populaton/ Menge den Zetpunt t überlebt ges.: F (t) = S(t) = P(T > t), t > 0 zufällge Zenserungen => C ncht neg. Zufallsvarable und C~G Dann snd de Lebenszeten T 1, T 2,, T n d, ncht neg. bzgl. F und de Zensurzeten c 1, c 2,, c n d, ncht neg. bzgl. G vertelt. De Zetpunte der Beobachtungen snd y = mn(t, c ) für,..,n und δ = 1, falls T c 0, falls T > c st Indatorfunton. De Lebenszet wrd nur be T c beobachtet, andernfalls wssen wr nur: T > c. Datensatz für ene Stchprobe: (y 1, δ 1 ), (y 2, δ 2 ), (y n, δ n )

3 4. Methoden zur Schätzung der Überlebensfunton Intervallentelung der Zet n fxerte Intervalle I 1, I 2,, I n a. Reduced Sample Method/ Drect Method n = Anzahl der Überlebenden zu Begnn des Intervalls I d = Anzahl der Verlust während I l = Anzahl der Zensuren während I Dann st de geschätzte Überlebendfunton S (t ) = 1 d n, wobe snd. d = d und n = n 1 l b. Actuaral Method bzw. verscherungsmath. Methode S (t ) = P(T > t ) = P(T > t 1 ) P(T > t 2 T > t 1 ) P(T > t T > t 1 ) = p 1 p 2 p wobe p = P(T > t T > t 1 ) Probate Stchprobengröße (effectve sample sze) n = n 1 2 l Dann glt für de geschätzten Wahrschenlcheten p = 1 q mt q = d n c. Kaplan- Meer- Schätzer bzw. Produt-Lmt-Schätzer (PL- Schätzer) Länge der Intervalle st varabel -> de Beobachtungen selbst legen de Intervalllänge fest

4 x- zensert und 0- unzensert Seen y (1) < y (2) < < y (n) de geordneten statstschen Daten von y 1, y 2,, y n. Dementsprechend st δ = δ (j) genau dann, wenn y = y (j), wobe δ (1), δ (2),, δ (n) ncht geordnet snd. n = Anzahl der Überlebenden zum Zetpunt y () d = Anzahl der Verluste zum Zetpunt y () p = P(T > t T > t 1 ) Für de Schätzung glt: p = n d = 1 d = 1 1 falls δ () = 1 (unzensert) n n n 1 falls δ () = 0 (zensert) Be stetger Vertelung F bzw. ene glechzetgen Verluste/ Zensuren, glt S (t) = p y () t = 1 1 δ () n y () t δ() n = n + 1 y () t n 1 = y () t Erwartungswert für T 1, T 2,, T n zensert und unzensert st n E (T) = (y () y ( 1) ) S (y ( 1) ) mt y 0 = 0 n δ () 5. Varanz der Überlebensfunton Delta- Methode n-tes Taylorpolynom T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! f(x) (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! Se X~N(μ, σ 2 ) und Entwclungspunt: x 0 = E(X) = μ E f(x) E T 1 (x) = E[f(μ) + f (μ)(x μ)] (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x n! 0 ) n

5 Aufgabe: Berechne! = E f(μ) + E f (μ)(x μ) = f(μ) + f (μ) E(X μ) =0 = f(μ) Var f(x) Var T 1 (x) = Var f(μ) + f (μ)(x μ) = Var f(μ) + Var[f (μ)(x μ)] =0 = f (μ) 2 Var(X μ) = f (μ) 2 [Var(X) Var(μ)] = f (μ) 2 σ 2 a. Varanz für de Actuaral Method S (t ) = p log S (t ) = log p = log(p ) Unter der Annahme n p ~B(n, p ) folgende Schrtte abarbeten: log p log(p ) + log (p ) (p p ) = log(p ) + 1 (p p p ) 1. Schrtt: Var(log p ) Var log(p ) + 1 (p p p ) = Var(log(p )) + Var 1 (p p p ) = 1 p 2 Var(p p ) = 1 p 2 [Var(p ) Var(p )] = 1 p 2 p q = q n n p 2. Schrtt (Annahme, dass log p 1, log p unabhängg snd) : Var log(s (t ) Var log(p ) = Var [log(p )]

6 = q n p Mt den geschätzten Werten ergbt sch für de geschätzte Varanz: Va r log(s (t ) = q n p = d n n n d n = d n (n d ) 3. Schrtt: Va r S (t ) = Va r exp[log(s (t )] exp[log(s (t )] exp[log(s(t )] + exp [log(s(t )] log(s (t ) log(s(t ) = S(t ) + S(t ) log(s (t ) log(s(t ) Var S (t ) Var S(t ) + S(t ) log(s (t ) log(s(t ) = Var S(t ) + S(t ) 2 Var log(s (t ) log(s(t ) =0 = S(t ) 2 Var log(s (t ) Var(log(S(t )) =0 = S(t ) 2 q n p Va r S (t ) S(t ) 2 n (n d ) Greenwood Formel d b. Varanz für PL- Schätzer Aufgabe: Berechne Va r S (t) unter der Annahme, dass n p ~ B(n, p )! 1. Var log S (t) log S (t) = log 1 1 δ () n = log (p ) δ () = δ () log p

7 Var log S (t) = Var δ () log p = Var δ () log p = δ 2 () Var(log p ) q = δ () n p 2. Va r log(s (t) = δ () q n p δ () 1 n = n 1 1 n = δ () n (n 1) 3. Va r S (t) S(t) 2 Var log S (t) = S(t) 2 δ () n (n 1) y () t δ = S(t) 2 () (n + 1) (n ) 6. Umvertelung-nach-Rechts Algorthmus (von Efron)

8 Zusatz: Grafsche Verfahren ln S (y () ) y () 7. Lteraturverzechns E. L. Kaplan, Paul Meer Nonparametrc Estmaton from Incomplete Observatons. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton. Vol. 53, 1958, 282. Glomb, Patrca Statstsche Modelle und Methoden. Oldenburg : Dplomarbet, Mller, Rupent Survval Analyss