Übungen zur Theoretischen Physik Fb SS 18

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1 Karlsruher Insttut für Technologe Insttut für Theore der Kondenserten Matere Übungen zur Theoretschen Physk Fb SS 8 Prof Dr A Shnrman Blatt PD Dr B Narozhny Lösungsvorschlag Thermodynamk von Phononen: a) Bewegungsglechungen: d L = L, dt u n u n d L = L, T = dt ṡ n s n m n [ u n ) + ṡ n ) ] Ansatz: Perodsche Randbedngungen: mü n = Ku n s n ) Gu n s n ) m s n = Ks n u n ) Gs n u n+ ) u n t) = u e kx ωt) s n t) = s e kx ωt), x = n a u n+n = u n e kna = k = π a m N, m =, ±, ±, Endeutgket der Lösung: Der Phasenfaktor e kna st für zwe k, de sch um G = π a l unterscheden, glech: e kna = e k+g)na, G = π a l, l =, ±, ±, Daher muß k engeschränkt werden auf oder alternatv: k = π a m N, m =,,,, N ) m = N/ + ), N/ + ),,,,,, N/) π a < k π a b) Ansatz n Bewegungsglechungen ensetzen: Nchttrvale Lösung für [ mω K + G) ]u + [ K + G e ka ]s = [ K + G e ka ]u + [ mω K + G) ]s = [ mω K + G) ] K + Ge ka )K + Ge ka ) =

2 5 +) 5 ) g= ) 5 ) g=5 5 5 ka/ π Abbldung : De Dsperson von optscher +) und akustscher ) Mode für unterschedlche Federn G = 5 K unten) und dentsche Federn G = K oben) Für K = G verschwndet de optsche Mode bzw geht n de zurückgefaltete akustsche über mω = K + G) ± K + G + KG coska) De zugehörgen Moden werden bestmmt durch de Lösung des Glechungssystems: s u = [ K + Geka ] mω K + G) = [ K + Ge ka ] K + G + KG coska) Interessant st jetzt der Grenzfall k : k π/a : coska) ka) und mω = K + G) ± K + G) KG ka) [ ) ] KG = K + G) ± K + G) ka) ω + = m K + G), ω = KG K + G) ka c k s u K + G) K + G) KG ka) K+G) ) Für klene k unterscheden sch also deutlch de Moden: ka π : +) : ω + = const ) : ω = c k s u s u = gegenphasg optsch) = + glechphasg akustsch)

3 De Dsperson st n Abb gezegt, und zwar n der Form ω ± = K [ + g) ± ] / + g m + g coska), g = G K, K m Anzahl der Moden: De Anzahl der erlaubten k-werte st gerade N, also gbt es N optsche und N akustsche Moden De Gesamtzahl N der Moden entsprcht der Anzahl der Massen n der Kette, denn jede Masse kann n ener Rchtung x- Rchtung) um de Glechgewchtslage schwngen, trägt also enen Frehetsgrad be c) Our system s just a collecton of harmonc oscllators Every egenstate of the complete system can be descrbed by specfyng the exctaton level n λ,k of all the ndvdual oscllators, e by the number of phonons n each mode The energy of the system s E {nλ,k } = ω λ k)n λ,k λ=± k and the partton functon reads Z = n λ,k e E {n λ,k }/T = λ=± k n= e ωλ,kn/t = λ=± k e ω λ,k/t The free energy of the system or the Ω-potental of the phonon gas) s gven by Ω = T Na λ π ln [ e ] ω λk)/t We compute now the free energy n each of the temperatures ntervals At largest temperatures, ω λ k)/t for all the modes We can expand the expresson under the ntegral and get The heat capacty s gven by Ω = T Na λ C V = T T Ω = Na λ π ln ω λk) T π = N Ths s n full agreement wth the equdstrbuton theorem At hgher temperatures the optcal phonons are are frozen away and Ω = T Na π ln ω k) T C V = N At the lowest temperatures we only the low-lyng bosonc modes matter so that we can lnearze the bosonc spectrum optcal phonons are fully out) KG ω k) = c k, c = K + G) a

4 Thus, Ω = T Na π ln [ e ] ck/t = πnat 6c C V T d) In D spacal spacal dmensons there are D acoustc modes They all contrbute to to the low temperature behavor of C V We have just lke n the prevous exercse Ω = T d D k [ ] π) ln e c ˆk) k /T = T D k D π) D [ ] dˆn ln e c ˆk) k /T T D+ Correspondngly, C V T D Korrelatoren m D-Isng-Modell: a) Korrelator σ σ j : Wr wederholen kurz de n der Vorlesung dskuterte Transfermatrxmethode De Egenwerte der Transfermatrx und de Zustandssumme wurden n der Vorlesung berechnet Zunächst betrachten wr de Zustandssumme: Z = Tr e H/T = e H[{σl}]/T, g = J 4T, h = γb T {σl} { } ± ± J N = exp σ σ + + γb N σ 4T T σ σ N = = { } ± ± N = exp g σ σ + + h N σ + σ + ) σ σ N = = N ± ± { = exp gσ σ + + h } σ + σ + ) σ = σ N De Summen über σ = ± können n Matrxform geschreben werden, um das zu sehen sollte man enfach mal de Möglchketen zb für σ und σ + durchproberen Wr führen also de Transfermatrx T en und sehen, dass das Produkt wegen der perodschen Randbedngung gerade de Spur über de Matrzen bldet: Z = N e T,+ = Tr T N g+h e, mt T = g = Wr können ene belebge Bass wählen um de Zustandssumme auszurechnen Her betet sch de Egenbass der Transfermatrx an Aus dett λ) = fnden wr nach Rechnung de Egenwerte ) λ / = e coshh) g ± snh h) + e 4g, e g e g h )

5 de wr so wählen dass λ > λ Nach enem Basswechsel n de Egenbass von T st de Transfermatrx auf Dagonalform und de Zustandssumme ) N Z = Tr T N λ = Tr = λ N + λ N Z = λ N für N λ Wr kommen zum gesuchten Korrelator Deser kann analog zur Zustandssumme durch Transfermatrzen ausgedrückt werden De zusätzlchen σ und σ j wrken n der Matrxschrebwese we Paul-Matrzen σ z, also σ σ j = Tr {T, T j,j σ z T j,j+ T, σ z T,+ T N,N T N, } Z Desen Erwartungswert können wr weder n der Egenbass von T auswerten Dazu müssen wr Faktoren der Art α σ z α berechnen, wobe α, α {, } mt normerten Egenzustände und von T zu den Egenwerten λ und λ Also σ σ j = Z = Z, λ j α α,α, λ j +N α α,α α σ z α λ j λ j α α α σ z α λ N+ α α σ z α α σ z α Wr nteresseren uns nur für de Abhänggket vom Abstand j) m thermodynamschen Lmes N enes unendlch langen Rngs, wobe der Abstand j) klen sen darf, j) N In desem Fall snd Terme mt α = mt λ ) j +N ) N λ λ λ unterdrückt und deshalb m thermodynamschen Lmes vernachlässgbar klen beachte Z = λ N ) Es bleben nur de zwe Terme mt α = übrg, also σ σ j = σ z ) + λ λ ) j σ z Um de beden Faktoren α σ z α zu berechnen bestmmen wr de normerten Egenvektoren und n der ±-Bass aus den Glechungen T α = λ α α Wr fnden = = ) e g λ e g h ), + e g λ e g h ) ) e g λ e g h ) + e g λ e g h )

6 und mt den explzten Egenwerten sehe oben) ) e σ z g λ e g h ) = = + e g λ e g h ) snh h) = snh h) + e 4g ) σ z e g λ e g h )λ e g h ) = + e g λ e g h ) = + e g λ e g h ) = Der Korrelator st also σ σ j = e 4g snh h) + e 4g snh h) snh h) + e 4g + λ λ ) j e 4g snh h) + e 4g Für j) blebt nur der erste Term übrg Der erste Term wrd durch den endlchen Wert von σ z erzeugt, was nchts anderes st als de Magnetserung Der Term verschwndet m Lmes h, we man es von der Magnetserung erwarten würde Für g st der erste Term gerade tanh h, was dem Quadrat der Magnetserung unabhängger Spns entsprcht b) Der Fall B = bzw h = : De Egenwerte snd dann λ / = e g ± e g und de Egenvektoren verenfachen sch zu = ), = ) Den 3er- und den 4er-Korrelator berechnen wr analog zu σ σ j, dh der 3er- Korrelator st > j > k) σ σ j σ k = Tr {T, T k,k σ z T k,k+ T j,j σ z T j,j+ T, σ z T,+ T N,N T N, }, Z analog σ σ j σ k σ l Im thermodynamschen Lmes,, N k N blebt nur en Betrag zum 3er- Korrelator, der m Fall von h = verschwndet, we man lecht mt den verenfachten Egenvektoren überprüfen kann: σ σ j σ k = σ z ) 3 = Wr wenden den thermodynamschen Lmes auf den 4er-Korrelator σ σ j σ k σ l an und berückschtgen σ z = für h =, > j > k > l): σ σ j σ k σ l = λ λ ) j ) k l λ σ z 4 λ

7 Deser Ausdruck hängt nur von den Abständen j) und k l), aber ncht von j k) usw Der Verglech mt dem er-korrelator lefert deshalb den enfachen Zusammenhang σ σ j σ k σ l = σ σ j σ k σ l Dese Relaton glt auch für h > Für h = st σ z = und damt σ σ j σ k σ l = λ λ ) j ) k l λ 3 Suszeptbltät und Korrelatoren n Isng-Modellen: λ Der Hamltonoperator enes Isng-Modells n belebgen Dmensonen auch der Spn st belebg) hat de Form H = J Ŝ z Ŝz j γb Ŝ z j De kanonsche Zustandssumme st Z = Tr e H/T Wr betrachten zunächst de Magnetserung: { } M = F B = T B ln Z = γ Z Tr Ŝ z e H/T = γ Z } Tr {Ŝz e H/T = γ Ŝz Deser Ausdruck sollte bekannt sen und glt völlg allgemen Für de Suszeptbltät fnden wr { } χ = M B = γ Z B Tr Ŝ z e H/T γ ) { } Z Tr Ŝ Z z e H/T B { } { }) = γ T Z Tr Ŝ z Ŝz j e H/T γ Tr Ŝ z T Z e H/T,j Das st gerade das gesuchte Ergebns χ = γ ) T Ŝz Ŝz j Ŝz = T,j γ,j Ŝz Ŝz j M )