Molekularfeld. raumzeitlich konstantes Feld

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1 11.1 Weßsche Molekularfeldtheore betrachte Isng-Modell auf D-dmensonalem hyperkubschem Gtter jeder Platz hat q = 2D n.n. S = ±1 externes homogenes Magnetfeld B H = J S S j B 2 j Idee der Molekularfeld-Theore: S lokales Feld Molekularfeld J J J J B A raumzetlche Fluktuatonen raumzetlch konstantes Feld

2 Spn am Gtterplatz seht lokales Feld J j S j Isng-Hamltonan S J Feld fluktuert von Spn-Konfguraton zu Spn-Konfguraton MF-Approxmaton: Unterdrückung der Fluktuatonen Spn am Gtterplatz seht globales Feld B A j S j verenfachter Hamltonan S B A Molekularfeld-Näherung es glt ( j): S S j = S S j + S j S S S j + F mt Fluktuatonsterm F = (S S )(S j S j ) Molekularfeld-Näherung F 0 damt H H MF :

3 H MF = J 2 = = j J n.n.() j 2 S j S + J 2 j S j + B S + J 2 ( B (A) ) + B S + J 2 j S j S B j S j S S j S defnere Austauschfeld (Molekularfeld, mean feld) B (A) J n.n.() S j Aunutzen der Translatonsnvaranz: damt st und j S = m = m B A = qjm S H MF = (B A + B) S + J 2 Lqm2 Dskusson: MFT: Gtter-Modell atomares Modell

4 Vernachlässgung räumlcher Fluktuatonen Selbstkonsstenz: m B A H MF F MF m statsches Molekularfeld Auswertung der MFT: m = 1 F MF L B (denn Kopplungsterm: B S ) Berechnung von Z MF : es folgt: Z MF = Sp e βh MF = S 1, S 2, e β (B A +B)S S 1, S 2, e βlqjm2 /2 S 1,S 2, = e βlqjm2 /2 = e βlqjm2 /2 e β(b A+B)S S 1,S 2, e β(b A+B)S S =±1 = e βlqjm2 /2 (e β(b A+B) + e β(b A+B) ) L F MF = T lnz MF = LT ln ( e β(b A+B) + e β(b A+B) ) + LqJm 2 /2

5 also: m = 1 L F MF B = Tβ eβ(ba+b) e β(ba+b) e β(b A+B) + e β(b A+B) Mean-Feld-Glechung, Selbstkonsstenz-Glechung : m = tanh (β (qjm + B)) T 0, β : m ±1 Sättgungsmoment T, β 0 : m 0 paramagnetsche Lösung se zunächst B = 0: m = 0 st Lösung, paramagnetsche Phase m 0: Ferromagnetsmus? für m 0 st mt tanhx = x 1 3 x3 + O(x 5 ) m = β C qjm also: T C = qj Cure-Temperatur typsches MF-Resultat: T C J, q

6 weter glt: also: m = βqjm 1 3 (βqjm)3 m 2 = 3 T 2 T 2 C T T C : T C T T C m charakterstsch für MF! (m = t β, t = (T C T)/T C, β D-Isng) T C T krtscher Exponent : β = 1/2 T C se jetzt B > 0: T > T C, B 0 m 0 x klen n tanhx: m = βqjm + βb 1 m = βb 1 βqj = B 1 T T C Cure-Weß-Verhalten der Suszeptbltät: m B = 1 T T C

7 krtscher Exponent γ = 1 (χ = ( t) γ, γ = D Isng) Gbt es en Modell für das de Weßsche MFT exakt st? betrachte de Kopplungskonstanten m Isng-Modell: L S H = 1 J j S S j B 2,j=1 H st hermtesch und hat en nach unten beschränktes Spektrum, daher notwendg: symmetsche, postv semdefnte L L Matrx J Dagonalserung: j = U T JU, U T U = 1 j Dagonalmatrx mt Elementen J k 0, k = 1,..., L beachte: J k 0 k kann mt J = J 0 > 0 n H schergestellt werden (lefert nur addtve thermodynamsch rrelevante Konstante n H) defnere: S k = U k S damt st:

8 und somt S = k U T k S k = k σ k S k wobe σ k = U k L H = 1 J k Sk 2 2 B σ k S k k=1 k Zustandssumme: es st: Z = Z = exp 1 2 β k J k >0 Problem: S 2 k-term k exp J k S 2 k + βb k σ k S k 1 2 βj ksk 2 J k =0 + βbσ k S k k exp (βbσ k S k ) Gauß-Integral: dx e x2 = π für belebges y st: dx e (x y) 2 = π also:

9 e y2 = 1 π dx e x 2 +2xy Hubbard-Stratonovch-Transformaton : e ay2 = 1 dx e x 2 +2 axy π beachte: statt quadratscher (lnks) nur lneare y-abhänggket (rechts) m Exponenten Idee: S 2 k S k, Ausführen der S -Summen möglch zu zahlender Pres : dx Anwendung: Z = J k >0 k 1 dxk exp ( x 2 ) π k + J k =0 2 βj k /2 x k S k + βbσ k S k exp (βbσ k S k ) k Spn-Summen können jetzt ausgeführt werden aber hochdmensonales Integral Modell separabel be endlch velen Egenwerten mt J k > 0 betrachte vollständg gekoppeltes Isng-Modell : J j = J/L für alle, j langrechwetge Wechselwrkung, dmensonsloses Modell

10 Egenwerte der J-Matrx: J k = J für k = 1 J k = 0 für k = 2,..., L Egenvektor zu J k = J (Komponenten = 1,..., L): es st: U 1 = 1/ L ( σ k=1 = L) Z = = = 1 π dx exp ( x 2 + 2βJ xs k=1 + βb LS k=1 ) 1 ( dx exp x 2 + ) 2βJ xs k=1 exp βb L π 1 dx exp x 2 + 2βJ x π Skalerung x βl x: Z = = βl π βl π k=1 1 L S + βb L dx exp Lβx 2 + (β 2J x + βb) dx exp ( Lβx 2 ) Ausführen der Spn-Summen: k 2 σ k S k S S exp ( (β 2J x + βb)s ) exp (βbσ k S k )

11 Z = βl π = ( dx exp Lβx 2 ) 2 cosh ( β 2J x + βb ) dx exp [ L ( βx 2 ln 2 cosh(β 2J x + βb) )] βl π Auswertung des Integrals für L mt Sattelpunktsmethode: dx exp (Lg(x)) exp (Lg(x0 )) mt g (x 0 ) = 0 also: 0 = d ( βx 2 ln 2 cosh(β 2J x + βb) ) dx x=x 0 2βx 0 = tanh(β 2J x 0 + βb) β 2J 2 x 0 = tanh(β 2J x 0 + βb) 2J mt x 0 J/2 m st Dskusson: m = tanh(βjm + βb) Selbstkonsstenzglechung der Molekularfeldtheore vollständg gekoppeltes Isng-Modell wrd mttels MFT exakt gelöst alternatv: S = S H = H(S) = 1 J 2 L S2 BS und Z = S g S exp( βh(s))

12 beachte: 1 J L 2 j für D, q S S j = J 2 anderersets st: 1 B S = B 1 L L daher Skalerung : J = J q 1 L j S S j = Jq O(1) S = B O(1) J = const. für D, q Skalerung der Modell-Parameter notwendg, um nchttrvales Modell zu behalten analog zum vollständg gekoppelten Isng-Modell: de MF-Approxmaton st exakt m Lmes hoher Raumdmensonen D, q we verhalten sch korrelerte Gtter-Fermon-Modelle n desem Lmes?