Elektron Loch Symmetrie und Grundzustand beim Fraktionellen Quanten Halleffekt (FQHE)

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1 Hauptsemnar Theoretsche Physk (Sommersemester 003) Elektron Loch Symmetre und Grundzustand bem Fraktonellen Quanten Halleffekt (FQHE) Srko Plz Velen Dank an den Betreuer T. Sommer für sene Unterstützung

2 Glederung:. Enführende Betrachtungen. Elektron Loch Symmetre 3. Der Grundzustand 4. Dskusson der Wellenfunkton von Laughln 5. Zusammenfassung

3 . Enführende Betrachtungen: Im Experment wrd der FQHE nur be gebrochenzahlgen Füllfaktoren der Landau-Nveaus mt ungeradem Nenner beobachtet. De für den Quanten-Halleffekt nötge Energelücke m Anregungsspektrum st für gebrochenzahlge ν ncht m Enelektronenspektrum vorhanden. Enbezehung der Coulomb-Wechselwrkung zur Betrachtung des FQHE nötg Charakterstsche Egenschaften des Ganzzahlgen Quanten- Halleffekts (IQHE)waren: Delokalserung der Zustände als zentrale Voraussetzung Lokalserung der Zustände durch das Verunrengungspotental V Imp (mt Ausnahmen m Zentrum der Landau-Nveaus) Verbreterung der Landau-Nveaus durch das Verunrengungspotental. De Coulomb-Wechselwrkung zwschen den Elektronen sorgt für de Delokalserung be gebrochenzahlgem ν mt ungeradem Nenner, welche den FQHE erst möglch macht. 3

4 Des kann man ntutv recht lecht verstehen. Dazu betrachtet man den Grenzfall enes starken Magnetfeldes: ohne Coulomb-Wechselwrkung: Elektronen auf Äqupotentallnen des Verunrengungspotentals lokalsert mt Coulomb-Wechselwrkung: Abstoßung durch das Coulomb- Potental (V Coul. ) der anderen Elektronen, deren Orte sch mmerzu ändern für V Coul. >> V Imp : Delokalserung für erste Betrachtungen des FQHE st das Verunrengunspotental vernachlässgbar. 4

5 . Elektron Loch Symmetre: e - Maß für Coulombenerge: U 0 B 4πε l (l bestmmt dabe den Orbt der Enelektronenwellenfunkton.) - Abstand der Landau-Nveaus: ω c B e m Grenzfall starkes Magnetfeld: ωc >> = U 0 4 πε l Term der knetschen Energe überwegt. für Untersuchung des Grundzustandes: - Anfüllung der Landau-Nveaus vom untersten an - Wechselwrkung als Störung betrachten Es exstert ene Mschung der Landau-Nveaus aufgrund der Coulomb-Wechselwrkung: Mschung proportonal zu B /, d.h. verschwndet für große B Experment: FQHE besonders gut be starkem Magnetfeld Mschung ncht essentell für FQHE Betrachte: hω/π 5

6 Wr betrachten nun en System mt belebgem ν: allgemen: ν = [ν] + α = n + α mt 0 α <, n Ν Fallunterschedung: a) α=0: nur untersten n Landau-Nveaus besetzt, Anregung kostet ω c Zustand nert, entsprcht Vakuum b) α 0: n unterste Landau-Nveaus völlg besetzt und nächstes zum α- ten Tel besetzt unterste n Landau-Nveaus ohne Enfluss (sehe a) System mt ν entsprcht enem System mt ν-n = α als Füllfaktor. Hamltonoperator n Landau-Echung ohne V Imp : H = H k.e. + H nt mt: Erzeuger a + N,X, Vernchter a N,X und Wellenfunktonen ϕ N,X ( r ), wobe: N... Landau-Nveau-Quantenzahl und X Mttelpunktskoordnate H k. E. N c a N= 0 X a + + ω N, X N, X = H nt = N = 0N = 0N = 0N = 0 X X X X A N a +,..., N4, X,..., X 4 N, X N, X N3, X3 N4, a + a a X 4 6

7 mt: A = betrachte Grenzfall starkes Magnetfeld: * e ( r ) ϕ N, ( r ), ( r ), ( ) X ϕ N3 X ϕ 3 N4 X 4πε r r d r d r ϕ r * N,..., N4, X,..., X 4 N, X 4 - Elektronenanzahl n den Nveaus konstant Term der knetschen Energe konstant und aus Summaton - Wechselwrkungsmatrxelemente konstant bs auf de Terme, de nur N=[ν]+ enthalten, damt ebenfalls aus Summaton gezogen - Betrachte A N,..., N4, X,..., X als Parameter 4 H selbe Form für alle ν und nur H nt übrg ausrechend en Landau- Nveau zu betrachten mt: b X = a + X Erzeuger für Löcher, d.h. unbesetzte Zustände, und b + X = a X Vernchter für Löcher H =(bs auf konstanten Term)= H nt + + A b b b b = (H = H + ) = X, X, X 3, X 4 X 4 X 3 X X X X X X 3 4 = X 4, X 3, X, X X X X 3 X 4 X X X X 3 4 A b + b + b b H Löcher = H Elektronen Elektron-Loch-Symmetre ν = [ν] + α äquvalent zu [ν] +- α = - ν +[ν] nur noch ν ½ zu betrachten 7

8 3. Der Grundzustand - Betrachtung von H nt als Störung ncht möglch, da enzger verblebener Term - Grundzustand mnmert Energe der Wechselwrkung E nt Varatonsmethode: - Grenzfall starkes Magnetfeld: H engeschränkt auf erstes Landau-Nveau betrachten - Enelektronenwellenfunkton n symmetrscher Echung: z / 4 ( r ) = f ( z) e Φ mt z = (x - y)/l und f ( z)... Polynom n z - Reduzerter Hlbertraum: Jede Wellenfunkton st Lnearkombnaton von Slater Φ r Determnanten der ( ) allgemener Ansatz: Ψ ( r,..., r ) = f ( z,..., z ) exp z / 4 N - f als Polynom n allen z besteht aus Termen a z mt: m... Drehmpulsquantenzahl = m - M Quantenzahl des Gesamtdrehmpulses L ges der Slater-Determnante mt desem Term N m - L ges erhalten, da nur Coulomb-Wechselwrkung betrachtet 8

9 Wähle f so, dass eder Term gleches M enthält f homogenes Polynom () - Paul-Prnzp: f total antsymmetrsch () - nur paarwese Coulomb-Wechselwrkung betrachtet Ψ abhängg vom Abstand zweer Elektronen Annahme: Wellenfunkton (n f) nur vom Abstand zweer Elektronen abhängg f ( z,..., zn ) = g( z z ) > g vom Typ ( ) q g z = z mt q = n, n {,,...} q ( ) ( ) Ψ q r,..., rn = z z exp z / 4 > LAUGHLINsche Wellenfunkton (LWF) Zu beachten: q enzger Parameter zur Varaton! 9

10 4. Dskusson der Wellenfunkton von Laughln: m thermodynamschen Glechgewcht: Ψ q ( r,..., r ) = exp( βh ) mt H = ( l ) r qβ N β ln z z (3) Des entsprcht formal der kanonschen Vertelung enes klassschen Entelchenplasmas n zwe Dmensonen mt: > H ρσ = r 4ε > σ ln r πε r, σ < 0 Telchenladung Entelchenplasma sollte fast mmer elektrsche Neutraltät bestzen Telchendchte sollte ρ n = m thermschen Glechgewcht sen. σ Mt Koeffzentenverglech von (3) und (4): ρ σ = 4ε (5), βl σ q = πε β (6) () 5 ρ π = = ( 6) σ 4l q mt ρ σ = n q = π nl = ν q enzger Parameter, aber durch ν schon festgelegt 0

11 Nullstellen der Wellenfunkton von Laughln: Be ν = /3: Ψ 0 für z z 0 und fällt dort z z 6 Laughlnsche Wellenfunkton gut geegnet, um kurzrechwetgen Tel der Coulomb Abstoßung der Elektronen zu mnmeren Begründung dafür durch Verglech mt anderen Zuständen be ν = /3: - En Drttel der Enelektronenzustände bs = 3( N ) N... Elektronenanzahl - Allgemene Wellenfunkton: Ψ ( r,..., r ) = f ( z,..., z ) exp z / 4 N N M besetzt, f weder Polynom n z bs zur Potenz M M Nullstellen - f weder antsymmetrsch und Ψ 0 für z z 0 Faktor ( z ) > z ausklammern f, als Funkton enes z,hat (N - ) Nullstellen an den Postonen der anderen Elektronen. De restlchen (N ) Nullstellen können rgendwo sen. Be Laughlns Wellenfunkton snd alle Nullstellen an de Orte der anderen Elektronen gebunden. Free Nullstellen erhöhen Coulomb Energe, denn: - Se erhöhen de Wahrschenlchket der Annäherung zweer Elektronen - De Elektronendchte st dort gernger, de postve Hntergrundladung also wenger abgeschrmt Laughln Zustand mnmert Coulomb Energe

12 5. Zusammenfassung: Coulomb Wechselwrkung der Elektronen war Schlüssel zur Betrachtung des Fraktonellen Quanten- Halleffekts Der Grenzfall enes starken Magnetfeldes und de Elektron Loch Symmetre schränken de zu betrachtenden Füllfaktoren auf ν ½ en. Durch wenge Forderungen an de Wellenfunkton m Grundzustand konnte de Laughlnsche Wellenfunkton gewonnen werden. Se muss ncht mehr varert werden, da hr enzger Parameter schon durch den Füllfaktor des Systems gegeben st. De Laughlnsche Wellenfunkton st ene gute Näherung für den Grundzustand für ν > /7, da se den kurzrechwetgen Term der Coulomb Wechselwrkung mnmert.