ELASTISCHE BETTUNG (ZUSAMMENFASSUNG) y z

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1 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt. ALLGEEINES. Sstem und Belastung Längsanscht: q( x) z, w x, u Begestefgket EI h Bettung c l Querschnttsdarstellung: q( x) q ( x) ( verschmert) z h Bettung c b Bemerkung: De Belastung sollte ncht als Lnenlast sondern als lächenlast (evtl. verschmert) angesetzt werden, da sonst be größerer Brete b ene Plattentragwrkung vorhanden st. Es würde sch dann um ene gebettete Platte und ncht um enen gebetteten Balken handeln.

2 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt. Infntesmales Element q( x) N Q z Q N dq z z + d + u ( ) = ( ) p x cb w x. Glechgewchtsbezehungen H : N dqz V : cb w( x) + q( x) d : Qz. Werkstoffbezehungen bh = E w'' ( x) = EI w'' ( x) d Qz = = EI w''' ( x).5 Dfferentalglechung ( sehe T ) Aus der Glechgewchtsbedngung V und der Werkstoffbezehung für Q z ergbt sch folgende DGL: ( ) ( ) EI w x '''' cb w x + q( x) (lneare DGL mt konstanten Koeffzenten) qx ( ) bc w'''' + λ w= mt λ = (Abklngkoeffzent) EI EI Es handelt sch herbe um ene nhomogene lneare DGL mt konstanten Koeffzenten.

3 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt. ELASTISCH GEBETTETER BALKEN UNTER EINZELKRAT Im olgenden wrd nur der Balken unter Enzellasten betrachtet. De Wrkung belebg vertelter Lasten kann durch de Auswertung von entsprechenden Enflusslnen enfach ermttelt werden. De DGL geht somt mt q( x ) n ene homogene Dfferentalglechung über: w bc + = mt λ = EI '''' λ w 0 (Abklngkoeffzent) De Durchbegung w( x ) des elastsch gebetteten Balkens hängt somt ledglch von dem Abklngkoeffzenten λ ab. Enflussgrößen snd also der Bettungsmodul c des Bodens und de Begestefgket EI des Balkens.. Allgemene Lösung der Dfferentalglechung λx λx ( ) = ( cos λ + sn λ ) + ( cosλ + sn λ ) w x e A x A x e A x A x mt = λx : ( ) = ( cos + sn) + ( cos + sn) w x e A A e A A S = = charakterstsche Länge λ x xλ = = = λx S. Anwendungen zum unendlch langen Balken unter Enzelkraft Lösung der homogenen (rechte Sete ) DGL: λx λx ( ) = ( cos λ + sn λ ) + ( cos λ + sn λ ) w x e A x A x e A x A x mt λx = und λ = mt S: charakterstsche Länge S z, w x, u Redukton auf das halbe Sstem

4 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt Randbedngungen: () w' ( x) w x= = () Q( x ) = = EIw''' ( x= 0) () ( ) 0 () w' ( x= ) ( cos sn ) ( cos sn ) e ( Acos + Asn Asn + Acos ) + e A cos + A sn + e A sn + A cos w = e A + A + e A + A w' = λ = λ e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e ( A+ A cos A A sn) (( A A) cos + ( A+ A) sn) ür n () und () wrd e 0 und e, so dass ( ) ( ) ( ) (( A A) ( A A) ) Acos + Asn A = Acos / sn + cos sn Acos Acos = 0 sn Asn Acos Acos Asn sn cos A cot = A tan Nur erfüllbar für A, da tan und cot mmer das gleche Vorzechen haben. Damt glt auch A und w ' verenfacht sch zu (( ) ( ) ) w' = λe A A cos + A + A sn t () wrd 0 ( ) λ (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) w'0 = e A A + 0 A A ' C = D w'' = λ e ( A A cos + A+ A sn ) + e ( ( A A) sn + ( A+ A) cos) = λ e ( Acos Acos + Asn + Asn + Asn Asn Acos Acos) = λ e ( Acos + Asn) = λ e A sn A cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w''' = λ e A sn A cos + e A cos + A sn = λ e A+ A cos A A sn

5 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt t () und ( ) wrd 0 w''' ( 0) = λ e ( A+ A) 0 = A+ A = EI EIλ S A = A = 8EIλ = 8EI Daraus ergbt sch folgender Verlauf der Begelne, der Verdrehung und der Schnttgrößen: S S EIw = e + = 8 8 ( cos sn) η ( ) S S EIϕ = EI w' = EI λ e sn = η ( ) 8EI S S S ( ) ( ) ( ) = EIw'' = EI λ e sn cos = e cos sn = η 8EI S ''' cos cos Q= EIw = EI λ e = e = η 8EI ( ) p cbw cb u S S EI λ η = cb η = cb λ η = η 8EI S 8EI cb 8EI = = ( ) ( ) ( ) ( ) De η - unktonen können als Enflusslnen aufgefasst werden. De Tafeln und Verläufe der Enflusslnen snd n den Arbetsblättern dargestellt. Dese EL gelten nur für den unendlch langen elastsch gebetteten Balken unter Enzelkraft. De unktonen der Enflusslnen gelten nur für den Berech rechts von der Enzelkraft. Das bedeutet, dass sch de Enzelkraft lnks von dem Punkt, an dem de Schnttgröße gesucht wrd, befndet. Aufgrund der Smmetre- und Antmetreegenschaften kann de Enflusslne ergänzt werden. t deser Überlegung wurden de Tabellen und de Grafken hergeletet! Smmetreegenschaften für den Lastfall Enzelkraft: Enflusslne: EL-w EL-ϕ EL- EL-Q Smmetreegenschaft smmetrsch antmetrsch smmetrsch antmetrsch 5

6 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt. DER ELASTISCH GEBETTETE BALKEN ENDLICHER LÄNGE A x B Ersatzsstem A B a a l a a Anstelle des tatsächlchen Balkens mt den Randbedngungen = Q = = Q wrd en A A B B unendlch langer Balken (Ersatzsstem) mt Zusatzlasten/Ersatzlasten behandelt, wobe de Größe der so ermttelt wrd, dass de gegebenen Randbedngungen erfüllt werden. Zur Ermttlung der Zusatzlasten werden de Enflusslnen des unendlch langen Balkens genutzt. 6

7 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt π S π π Wenn a = gewählt wrd (nach BLEICH), dann ergbt sch wegen η = η = 0 Verenfachung. Ene wetere Verenfachung ergbt sch für l > S: ene S A = ( 0) = η, π π l π l π 0 = η + η + η + + η + + η S S, = 0, für l > S (langer Balken) QA = Q( 0) =± η, π π l π l π 0 = η + η + η + + η + + η S S, = 0, 0 für l > S (langer Balken) d.h. für l > S glt: = η 0,, = η 0, 079, = η 0,, = η 0, 079,. EINTEILUNG: endlch lang λ a < π oder λ b < π unendlch lang λ a > π und λ b > π a b Kene Entkopplung der RB und ÜB Entkopplung der RB und ÜB 7

8 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt 5. ELASTISCH GEBETTETER BALKEN UNTER EINZELOENT Im olgenden wrd nur der Balken unter Enzelmomenten betrachtet. De Wrkung belebg vertelter Lasten kann durch de Auswertung von entsprechenden Enflusslnen enfach ermttelt werden. 5. Allgemene Lösung der Dfferentalglechung (s.o.) 5. Anwendungen zum unendl. langen Balken unter Enzelmoment Lösung der homogenen (rechte Sete ) DGL: λx λx ( ) = ( cos λ + sn λ ) + ( cosλ + sn λ ) w x e A x A x e A x A x mt λx = und λ = mt S: charakterstsche Länge S z, w x, u Redukton auf das halbe Sstem 8

9 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt Randbedngungen: () w ( 0) () ( 0 ) = = EIw'' ( 0) () w( ) () w' ( ) w' ( cos sn ) ( cos sn ) w = e A + A + e A + A ( Acos + Asn Asn + Acos ) ( ) e ( Acos + Asn) e ( Asn + Acos) ( ) ( ) e e = λ + + ( A+ A cos A A sn) (( A A) cos + ( A+ A) sn) = λ e In () und () für wrd e 0 und e, so dass ( ) ( ) ( ) ( A A ) ( A A ) Acos + Asn A = Acos / sn ( + cos sn) Acos Acos = 0 sn Asn Acos Acos Asn sn cos A cot = A tan Nur erfüllbar für A, da tan und cot mmer das gleche Vorzechen haben. Damt glt auch A. w, w ', w '' und w''' verenfachen sch zu ( cos sn) (( ) ( ) ) ( ) (( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) w = e A + A w' = λe A A cos + A + A sn w'' = λ e A A cos + A + A sn + e A A sn + A + A cos ( cos cos sn sn sn sn cos cos ) ( cos sn ) ( ) ( ) ( ) ( ) = e A A + A + A + A A A A λ = e A + A λ = λ e A sn A cos w''' = λ e Asn Acos + e Acos + Asn ( ) ( ) e A A cos A A sn = λ + 9

10 (ZUSAENASSUNG) Baustatk (aster) Arbetsblatt Aus () w ( 0) folgt 0 ( ) 0= e A cos0+ A sn0 A = = ergbt sch w'' = λ e A sn A cos Aus () ( 0 ) EIw'' ( 0) ( ) 0 = λ e ( 0 sn0 A cos0) EI S = λ A A = = EI λ EI EI Verlauf der Begelne und der Schnttgrößen Ensetzen von A ( ) und A n de berets ermttelten Glechungen. S EIw = e 0cos + sn EI EI S S EIw = e sn = η ( ) S S EIϕ = EI w' = e 0 cos + 0+ sn EI S EI EI S S EIϕ = e = η ( sn cos ) ( ) EIw'' EI e 0 sn S S cos= e cos = η EI = = ( ) S S Q= EIw''' = EI e 0 cos 0 sn + S EI EI Q= e + = S S ( cos sn) η ( ) S S pu = cbw= cb η ( ) = cb η ( ) EI S EI λ λ pu = cb η ( ) = cb ( ) ( ) ( ) bc η = λ η = η λ EI EI EI S De η - unktonen können als Enflusslnen aufgefasst werden. De Tafeln und Verläufe der Enflusslnen snd n den Arbetsblättern dargestellt. Dese EL gelten nur für den unendl. langen elastsch gebetteten Balken unter Enzelmoment. 0