Klassische Theoretische Physik II: Mechanik

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1 Klasssche Theoretsche Physk II: Mechank Alexaner Shnrman Insttut für Theore er Konenserten Matere Karlsruher Insttut für Technologe 9. Jul 010 1

2 1 Lagrange-Glechungen 1. Art 1.1 Motverenes Bespel: en Penel Der Massenpunkt st an enem Faen (ener Stange) er Länge l aufgehängt. Der Aufhängepunkt st m Ursprung. Der Massenpunkt st urch r(t) = (x, y, z) beschreben. Es gbt ene Zwangsbengung: r = x + y + z = l,.h., er Massenpunkt befnet sch (blebt) auf er Oberfläche (Kugelschale) r = l Erste Stratege Wr benutzen e Newton-Bewegungsglechung: m r = K tot = mge z + Z, (1) wobe Z st e Zwangskraft e en Massenpunkt azu zwngt auf er Oberfläche r = l zu bleben. Zunächst st Z unbekannt. Es st aber klar as Z entlang r ausgerchtet st. Äquvalent, st Z senkrecht zu er Kugelschale r = l. Wr schreben Z(t) = λ(t)r(t), () wobe λ(t) unbekannt st. Das Ergebns: wr haben 4 Glechungen mt 4 Unbekannten r(t) un λ(t) Zwete Stratege m r(t) = mge z + λ(t)r(t), (3) r (t) = l (4) Man kan e Zwangskraft elmneren. Man multplzert e Bewegungsglechung m r = mge z + Z mt zwe Vektoren e tangental zu er -D Oberfläche r (t) = l sn. De Oberfläche lässt sch mt zwe Varablen parametrseren. De Parametrserung e am bequemsten st st urch e Kugelkoornaten gegeben: r = l (sn θ cos ϕ, sn θ sn ϕ, cos θ). De Tangentalvektoren lauten: ξ θ = r, ξ θ ϕ = r. Wr erhalten ann zwe Glechungen: ϕ (m r + mge z )ξ θ = 0, (5) (m r + mge z )ξ ϕ = 0. (6) Alle Größen sn Funktonen von zwe Varablen θ, ϕ un wr haben zwe Glechungen.

3 1. Zwangsbengungen, Frehetsgrae 1..1 Allgemene Defntonen 1) 3N-D Vektor R = (r 1, r,..., r N ) beschrebt as System mt N Massenpunkten. De Massen er Massenpunkte sn m 1, m,..., m N. Der 3N-D Impuls-Vektor: P = (m 1 ṙ 1,..., m N ṙ N ). ) Holonome Zwangsbengungen: F a (R, t) = F a (r 1, r,..., r N, t) = 0. Inex a zählt e unabhänggen Zwangsbengungen: a [1,..., s]. Natürlch glt s < 3N. Holonom-Skleronom: F a unabhängg von t. Holonom-Rheonom: F a hängt von t ab. 3) Zahl er Frehetsgrae: 3N s. 4) Jee Zwangsbengung F a (R, t) = 0 efnert ene 3N 1-mensonale Oberfläche O a (t). De 3N s-mensonal Oberfläche (Manngfaltgket) O(t) a O a(t) se e Menge aller möglchen Lagen er Massenpunkte zur Zet t. 1.. Bewegungsglechungen Auf een Massenpunkt wrkt ene Zwangskraft z. Wr können auch enen 3N-D Vektor er Zwangskräfte efneren: Z = (z 1, z,..., z N ). De Newton- Bewegungsglechungen lauten: m r = k + z, (7) wobe k e üblchen nneren un äusseren Kräfte sn e sch aus em Potental (er potentalen Energe) U(R, t) = U(r 1,..., r N, t) sch ableten lassen. Wr haben k = U r, (8) oer K = R U. (9) Letztenlch 1..3 Alembertsche Prnzp Ṗ = K + Z. (10) Defnton: vrtuelle Verrückungen: alle (nfntsemal klene) Tangentalvektoren an O. De Zwangskraft st senkrecht zu er Oberfläche (Manngfaltgket) O(t). Wr betrachten ene Kurve R(q) O, wo q en Parameter st. Es glt F a (R(q), t) = 0. Das ergbt F a (R(q)) q = R q RF a = 0. (11)

4 ξ = R q q st ene vrtuelle Verrückung. RF a st senkrecht an alle v.v. Es folgt R F a O. Es gbt s unabhänggen Vektoren O. Dmensonaltät von O se 3N s. Es glt m allgemen: Z = a λ a (t) R F a. (1) Wr können etzt e Lagrange-Glechungen 1. Art formuleren. Es gbt 3N glechungen Ṗ = R U + λ a (t) R F a (13) a un noch s Glechungen F s (R) = 0. (14) Insgesamt 3N + s Glechungen un 3N + s Unbekannten. Alternatve Formulerung: (Ṗ + RU) ξ α, wobe ξ α sn e 3N s vrtuellen Verrückungen zu O. Lagrange-Glechungen. Art.1 Lagrange-Funkton un Euler-Lagrange-Glechung Man führt e generalserten Koornaten q 1, q,..., q 3N s en, e e Oberfläche O parametrseren. D.h., e Oberfläche st gegeben urch R = R(q 1, q,... ). Damt sn e Zwangsbengungen automatsch erfühlt. Wr wollen 3N s Bewegungsglechungen für q herleten. Dafür proezeren wr e 3N-mensonale Glechung Ṗ = K + Z auf 3N s Tangentalvektoren R/. Das ergbt oer Ṗ R = K R = R U R. (15) N =1 m r r = U. (16) Wr betrachten her e potentelle Energe U nur auf er Oberfläche O, so ass U(R, t) = U(R(q 1,..., q 3N s, t)) = U(q 1,..., q 3N s, t) = U(q, t). Wr wollen bewesen, ass N m r r = T T, (17) t q =1

5 wobe T = m ṙ (18) e knetsche Energe st. Wr haben r = r (q 1,..., q 3N s, t) = r (q, t), wobe q (q 1,..., q 3N s ). Es st wchtg e totale (z.b. /t) un e partelle (z.b. / t oer / q 1 ) Abletungen zu unterscheen. Wr erhalten t r = ṙ = r q + r t. (19) Das hesst wr können etzt ṙ als Funkton von q, q un t,,.h. ṙ (q, q, t). Da ṙ ene lneare Funkton von q st erhalten wr ṙ q = r. (0) Weter T q = m ṙ ṙ q = m ṙ r, (1) T = t q m r r + r m ṙ t ) = m r r + m ṙ ( m r q m q m + r t, () T = m ṙ ṙ. (3) Schleßlch, mt (19) wr erhalten T = m ṙ ( m r q m q m + r t ), (4) un Gl. (16) etzt lautet T T = t q m r r. (5) T T = U, (6) t q

6 oer L L = 0, (7) t q wobe L T U (e potenzelle Energe U st unabhängg von q). De Funkton L = L(q, q, t) hesst Lagrange-Funkton un e Glechung (7) hesst Euler-Lagrange Bewegungsglechung.. Bespel: as Penel Wr benutzen e Parametrserung urch e Kugel-Koornaten: r = (l sn θ cos ϕ, l sn θ sn ϕ, l cos θ). (8) De knetsche Energe lautet T = mṙ = ml ( θ + sn θ ϕ ). (9) De potentelle Energe lautet De Euler-Lagrange-Glechungen lauten U = mgz = mgl cos θ. (30) ml θ ml sn θ cos θ ϕ mgl sn θ = 0 ml sn θ ϕ + ml sn θ cos θ θ ϕ = 0. (31).3 Kene Zwangsbengungen Wenn es kene Zwangsbengungen gbt, sn e 3N Koornaten R auch gute generalserte Koornaten. Aus er Lagrange-Funkton L = T U = m ṙ U(r 1,..., r N ) (3) erhalten wr e Newton-Bewegungsglechungen. Mann kann mmer noch e generalserten Koornaten enführen (3N) e as Problem verenfachen..3.1 Kepler-Problem De L.-F. lautet L = m 1ṙ 1 + m ṙ U(r 1 r ). (33)

7 De besser passenen Koornaten sn r = r 1 r, un R = m 1r 1 +m r m 1. Jetzt +m lautet e L.-F. L = MṘ + µṙ U(r), (34) wobe µ m 1m m 1 +m e reuzerte Masse st. 3 Erhaltungssätze, as Noether-Theorem 3.1 Verallgemenerter Impuls, zyklsche Koornaten De verallgemenerten Impulse sn we folgt efnert: p L q. (35) Aus en Euler-Lagrange-Glechungen folgt ann, ass wenn q ene zyklsche Koornate st,.h. L st von q unabhängg, L/ = 0, st er entsprechener Impuls p erhalten, ṗ = Das Noether-Theorem Wenn es ene Schar er Bahnkurven exstert q(t, α) (es glt, z.b., q(t, α = 0) = q(t)), soass glt oer 0 = = = L(q(t, α), q(t, α), t) = L(q(t), q(t), t), (36) L(q(t, α), q(t, α), t) = 0, (37) α ( L α + L ) q q α ([ L L + ] L q t q t q α + L ) q q α ([ L ] L q t q α + [ ]) L t q α (38) Wr benutzen e Euler-Lagrange-Glechungen un erhalten en Erhaltungssatz [ ] L = [ ] p = 0. (39) t q α t α

8 3..1 Bespel: zyklsche Koornate Wenn q m zyklsch st ann glt q (t, α) = q (t) + αδ m. Daraus folgt ṗ m = Bespel: Gesamtmpuls mehreren wechselwrkenen Telchen De verallgemenerten Koornaten sn enfach r (kene Zwangsbengungen). De potenzelle Energe änert sch ncht unter Transformaton r + αn, wo n ener belebgen Rchtung entsprcht (Verschebung aller Telchen). Dann st er Gesamtmpuls p erhalten Bespel: Drehmpuls De Symmetre: ene Drehung um Achse n um Wnkel α. Wr erhalten r α = n r (40) De erhaltene Größe se r p α = ( ) p (n r ) = n r p = n L, (41) wobe L er Drehmpuls st. 3.3 Erwetertes Noether-Theorem De Lagrange-Funkton st ncht nvarant aber glt Dann e Größe α L(q(t, α), q(t, α), t) α=0 = f(q(t), q(t), t). (4) t L q α f (43) st erhalten. De wchtgste Anwenung: Zetverschebung q(t, α) = q(t + α). Dann glt α L(q(t, α), q(t, α), t) α=0 = [ ] L = [ ] L q. (44) t q α α=0 t q Anersets α L(q(t, α), q(t, α), t) α=0 = t L t L. (45)

9 Zusammen ergbt sch ann [ ] L q L = t q t L. (46) Wenn L zetunabhängg st (Zetverschebungsnvaranz) ann st e Größe E L q q L (47) erhalten. Dese Größe nennt man Energe. Sollte e Knetsche Energe ene quaratsche Form bezüglch er generalserten Geschwngketen sen,.h., lautet ann e Energe T = 1 T nm ( q) q n q m, (48) nm E = L q q L = T L = T + U. (49) Dese Stuaton erhalten wr wenn, z.b, e Zwangsbengungen skleronom sn. Dann glt ṙ = r q, (50) q wel glt r t Form. = 0. Ensetzen von (48) n T = m ṙ ergbt ene quaratsche 4 Das Hamlton-Prnzp 4.1 Funktonale Bespel: se B en Raum er Funktonen f(x), R R. Es gbt verscheene Räume (ntegrerbare, glatte,... Funktonen). Ene Abblung F : B R heßt Funktonal. Z.B. F [f(x)] = f(0), F [f(x)] = 1 0 xf (x). (51)

10 En Funktonal st stetg m Punkte f(x) wenn zu eem ɛ > 0 exstert δ > 0, soass F [f(x) + h(x)] F [f(x)] < ɛ (5) für alle h(x) für enen h < δ. Für e Norm... gbt es verscheene Defnttonen. Z.B. h = x h. En Funktonal F st fferenzerbar wenn exstert en lneares (n h) Funktonal F f(x) [h(x)], soass F [f(x) + h(x)] F [f(x)] = F f(x)[h(x)] + O( h ). (53) Bespel F = 1 0 x f (x), F = heßt e erste Varaton. 1 0 x f(x)h(x). De Größe δf F f(x) [h(x)] 4. Wrkung Gegeben se ene Bahnkurve q(t) mt Anfangszet t 1 Wrkung st we folgt efnert un Enzet t. De S t 4.3 Das Hamlton-Prnzp t 1 t L(q(t), q(t), t). (54) Das Hamlton-Prnzp a.k.a. Prnzp er klensten Wrkung (präzser: Prnzp er extremalen Wrkung) besagt folgenes. Se er Anfangspunkt q(t 1 ) un er Enpunkt q(t ) er Bahnkurve sn gegeben. Dann bewegt sch as System entlang ene Bahnkurve q(t) soass e Wrkung mnmal (extremal) st. sch entlang er Bahn. Matematsch beeutet as, ass e erste Varaton er Wrkung für δq(t) mt δq(t 1 ) = δq(t ) = 0 verschwnet. Wr erhalten δs = = = t t 1 t t 1 t t 1 t L(q(t) + δq(t), q(t) + δ q(t), t) ( ) L L δq + q q δ q = ( L q t t t 1 ( L q t t t 1 t L(q(t), q(t), t) L q ) δq + L q δq t t 1 ) L δq. (55) q

11 Wr wollen, ass e erste Varaton verschwnet für belebgen δq. Dann muss e Euler-Lagrange-Glechung erfühlt weren Frehet bezüglch er Wahl er Lagrange-Funkton Man arf ene total Zet-Abletung zur Lagrange-Funkton aeren ohne e Bewegungsglechungen zu änern. Defneren wr e neue Lagrange-Funkton als De neue Wrkung lautet S = t L ( q, q, t) = L( q, q, t) + f( q, t). (56) t t 1 t L = t t 1 t L + [f( q(t ), t ) f( q(t 1 ), t 1 )]. (57) Da δ q(t 1 ) = δ q(t ) = 0, stellen wr fest, ass von δs = 0 folgt δs = 0. Man kann auch explzt bewesen, ass e Euler-Lagrange-Glechungen sch ncht änern. 5 Hamlton-Formalsmus 5.1 Hamlton-Bewegungsglechungen, Hamlton-Funkton Wr fangen an mt en Euler-Lagrange-Gl. un er Defnton es kanonschen Impulses L L = 0, (58) t q p L q = p ( q, q, t). (59) Wr lösen e letzte Glechung bezüglch q auf (wr nehmen an, ass as möglch st): q = q ( p, q, t). (60) Wr blen e Hamlton-Funkton mt Hlfe er Enegre E( q, q, t): H( p, q, t) E( q, q( p, q, t), t). (61) Explzt H( p, q, t) = p q ( p, q, t) L( q, q( p, q, t), t). (6)

12 Mathematsch st as e Legenre-Transformaton von L( q) zu H(p). Wr wollen zegen, ass e Euler-Lagrange-Glechungen un e folgenen Hamlton- Glechungen äquvalent sn: Bewes H p = q ( p, q, t) + q = H p, ṗ = H. (63) p q p L p = q ( p, q, t) + q p L q p q p = q. (64) H = 5.1. Alternatver Bewes p q L L q q = L = ṗ. (65) Wr betrachten as Dfferental von L als Funkton von q un q: Das ergbt L = = = L q + L q q ṗ q + p q ( ) ṗ q + p q ( ) p q L = H = q p q p. (66) ṗ q. (67) Daraus folgen e Hamlton-Glechungen. Das st en Bespel er Legenre- Transformaton.

13 5.1.3 Energe-Erhaltung H t = H p ṗ + H q + H t = H t. (68) Energe st erhalten wenn e Hamlton-Funkton ncht explzt von er Zet abhängt. 5. Bespele er Legenre-Transformaton 5..1 Massenpunkt m externen Potental L(q, q) = m q Harmonscher Oscllator: U(q) = (1/)mω q. Bewegungsglechung: q + ω q = 0. Energe: E = H(q, p) = p m + mω q E = const. beeutet Ellpse m Phasenraum D-Penel L(θ, φ, θ, φ) = ml p U(q) H(q, p) = + U(q) (69) m. (70) ( ) θ + sn θ ϕ mgl cos θ. (71) p θ = ml θ, pφ = ml sn θ φ. (7) H(p θ, p φ, θ, φ) = 1 ( ) p ml θ + p φ sn + mgl cos θ. (73) θ 5..3 Allgemene quaratsche Form L = 1 T nm ( q) q n q m U( q). (74) nm p n = m T nm q m q m = n (T 1 ) mn p n. (75) H = 1 (T 1 ) nm p n p m + U( q). (76) nm

14 5.3 Phasenraum Der f-mensonale Raum q, p. Dynamsches System: ẋ = F ( x). (77) In unserem Fall x = ( q, p), oer x = q für 1 f un x = p f für f + 1 f. In unserem Fall F = H/ x +f für 1 f un F = H/ x f für f + 1 f Louvlle-Theorem (Satz von Louvlle) Wr betrachten e Abblung m Phasenraum x x(t) g x(t + t), wobe g x (t + t) x + F ( x)t. Wr betrachten en Volumen-Element Ω x, essen Volumen lautet Γ(t) = f x. (78) Ω x Zur Zet t + t wr as Volumen-Element n as anere Volumen-Element Ω g abgeblet. ( ) Γ(t + t) = f g = f g x et (79) Ω g Ω x x Wr erhalten ( ) g et x In unserem fall ( ) F Tr = x ( = et δ + t F ) = 1 + ttr x f n=1 H p n x n Wr haben bewesen, ass Γ/t = 0. f n=1 ( ) F + O(t ). (80) x H p n x n = 0. (81) 5.3. Perosches, Chaotsches, Ergosches Verhalten (nur zur Informaton) 5.4 Possonklammern Wr untersuchen ene Größe A( q, p, t) e ene Funkton es Orts m Phasenraum st. t A = A q + A ṗ + A q p t. (8)

15 Wr verwenen e Hamlton-Bewegungsglechungen un erhalten t A = ( A H A ) H + A q p p t = {A, H} + A t. (83) Wr haben e Possonklammern von zwe Größen A( q, p, t) un B( q, p, t) efnert als {A, B} ( A B A ) B. (84) q p p Insbesonere lassen sch e Hamlton-Glechungen zu schreben als Es glt auch q = {q, H}, ṗ = {p, H} (85) {q m, p n } = δ mn, {q m, q n } = 0, {p m, p n } = 0. (86) Egenschaften von Possonklammern {A, B} = {B, A}, (87) {A, B + C} = {A, B} + {A, C}, (88) {A, BC} = {A, B}C + {A, C}B, (89) {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0. (90) De letzte Ienttät hesst Jakob-Ienttät Posson-Satz A un B sn zwe erhaltene Größen. D.h. {A, H} = 0 un {B, H} = 0, un es gbt kene explzte Zetabhänggket: A/ t = 0 un B/ t = 0. Dann auch e Größe {A, B} st erhalten. Bewes: Jakob-Ienttät mt A, B un H. Der Satz glt auch für zwe erhaltenen Größen mt explzter Zetabhänggket,.h., wenn glt A/t = {A, H}+ A/ t = 0 un B/t = {B, H}+ B/ t = 0, ann glt auch (/t){a, B} = 0.

16 6 Klene Schwngungen n Systemen mt mehreren Frehetsgraen 6.1 De Lagrange-Funkton Wr betrachten en System mt f Frehetsgraen un er Lagrange-Funkton L = 1 T ( q) q q U( q). (91) Wr nehmen an, ass U( q) en Mnmum hat m Punkt q = q 0. D.h., U/ = 0. Wr efneren e Matrx V = U q q= q0. (9) Dese Matrx st symmetrsch V = V. Dann, n er Umgebung es Punktes q 0 glt U( q) = U( q 0 ) + 1 V (q q 0, )(q q 0, ) = U( q 0 ) + 1 V x x, (93) wobe x q q 0,. De Tatsache, ass U en Mnmum hat beeutet, ass e quaratsche Form V x x = x T ˆV x postve efnte st. D.h., für belebge x 0 glt V x x > 0. Es gbt e statonäre (zetunabhängge) Lösung (Bahnkurve) q = q 0,.h., x = 0. Wr betrachten e Bahnkurven n er Umgebung von q 0,.h., wenn x sn klen. In er Umgebung efneren wr auch m T ( q 0 ). (94) Schleßlch lautet e Lagrange-Funkton L = 1 (m ẋ ẋ V x x ). (95) De quaratsche Form m st auch postve efnte (e knetsche Energe muss postve sen). De Bewegungsglechungen lauten m ẍ + V x = 0. (96) In er Matrx-Form lauten e Bewegungsglechungen ˆm x + ˆV x = 0. (97)

17 6. De Egenschwngungen Wr versuchen en Ansatz x = Ae ωt oer x = A e ωt. (98) Was amt gement wr st egentlch x k (t) = Re (A k e ωt ). Da alle Bewegungsglechungen lnear sn, kann er Realtel am Ene berechnet weren. Das ergbt f ( ) V ω m A = 0. (99) =1 De Lösung für A exstert nur wenn et ( V ω m ) = 0. (100) Das st en Polynom von Gra f er Varablen ω. D.h., es exsteren f Lösungen,.h, f möglchen Werte von ω. Wr benennen ese als ωk, k [1,..., f]. Zunächst sn ωk komplex. Jeem ω k entsprcht en Egenvektor A (k) = A (k). Wr wollen bewesen, ass 1) Alle ωk reell un postv sn, ) De Egenvektoren A (k) können auch reell gewählt weren. 3) De reelle Egenvektoren A (k) sn lnear unabhängg un blen ene Bass. Bewes: 1) Wr benutzen e Ienttät f =1 (V ωk m ) A (k) = 0 un multplzeren mt em komplex konugertem Vektor A (k). Es ergbt sch ann, (V ωk m ) A (k) A (k) = 0 un ω k =, V A (k) A (k), m A (k) A (k). (101) Aus er Symmetre un Realtät von V un m folgt, ass ωk reell sn. Bee Formen V un m sn postv efnt. (Für komplexe Vektoren aus er Symmetre folgt, V A A =, V ReA ReA +, V Im A ImA ). D.h., wr haben bewesen, ass ωk 0. ) Aus f =1 (V ωk m ) A (k) = 0 folgt auch f =1 (V ωk m ) A (k) = 0. D.h, ass ReA un ReA Egenvektoren sn. 3) Aus f =1 (V ωk m ) A (k) = 0 folgt f =1,=1 (V ωk m ) A (k) A (p) = 0 un auch f =1,=1 ( V ω pm ) A (k) (ω p ω k) A (p) = 0. Schleßlch m A (p) A (k) = 0. (10)

18 Zunächst nehmen wr an, ass alle ωk unterschelch sn. Dann m A (p) A (k) = 0 für p k. Lneare Unabhänggket: nehmen wr an en Gegensatz: k c ka (k) 0. Dann m A (p) c p A (p) ( ck A (k) ) = 0. Anersets m A (p) ( ck A (k) ) = m A (p). Es ergbt sch ann c p = 0 für alle p. Q.E.D. (Den Fall er Entartung betrachten wr her ncht.) De Lösung x (t) = A (k) e ωkt hesst Egenschwngung. 6.3 Normalkoornaten Wr normeren e reelle Egenvektoren so, ass m A (p) A (k) = δ p,k. (103) Das kann gemacht weren auch wenn e Egenfrequenzen entartet sn. Dese Bengung kann auch aners argestellt weren. Wr führen e Matrx a k = A (k) en. Dann m A (p) A (k) = m a p a k = a T pm a k = δ pk. (104) = Oer Oer a T ma = ˆ1. (105) Wr haben ann (aus f =1 (V ωk m ) A (k) = 0) V A (p) A (k) = ωk Wr zerlegen x n er Bass A (k). m A (p) A (k) = ωpδ p,k. (106) a T V a = ω. (107) x (t) = k Q k (t)a (k). (108)

19 L = 1 (m ẋ ẋ V x x ) = 1 m Q k A (k) Q p A (p) 1 V Q k A (k) Q p A (p) k p k p = 1 ( ) Q p ω pq p. (109) p De allgemene Bahnkurve ergbt sch etzt n en Normalkoornaten als Q k (t) = C k e ω kt, (110) wobe C k ene belebge komplexe Konstante st C k = C k e ϕ k. Das beeutet (Q k muss egentlch reell sen) Damt erhalten wr Q k (t) = Re ( C k e ω kt ) = C k cos(ω k t + ϕ k ). (111) x (t) = k Q k (t)a (k) = k C k A (k) cos(ω k t + ϕ k ). (11) Es gbt ann f reellen Konstanten C k un ϕ k mt enen man belebge Anfangsbengungen genügen kann. 7 Kanonsche Transformatonen 7.1 De Iee De Transformaton zu en Normalkoornaten x = k Q k A (k) (113) stellt en Bespel er Transformaton zwschen en alten Koornaten q = x un en neuen Koornaten Q ar. Im Allgemenen haben wr e Relatonen q = q( Q, t) un Q = Q( q, t). Ene Transformaton eser Art lefert e neue Lagrange-Funkton un, aurch, e neue Hamlton-Funkton. De Euler- Lagrange-Glechungen un e Hamlton-Glechungen behalten, natürlch, e selbe Form be. Solche Transformatonen heßen Punkttransformatonen. Wr suchen nach allgemeneren Transformatonen m Phasenraum ( q, p) ( Q, P ), soass aus er Hamlton-Glechungen q = H/ p un ṗ = H/ e neuen Hamlton-Glechungen Q = H / P un Q = H / P mt er neuen Hamlton-Funkton H folgen. Dese Transformatonen heßen kanonsche Transformatonen. Ncht ee Transformaton passt.

20 7. Zetunabhängge kanonsche Transformatonen Wr beschränken uns auf enen Frehetsgra. Wr betrachten zunächst e zetunabhängge Transformatonen un Q = Q(q, p) P = P (q, p), (114) q = q(q, P ) p = p(q, P ). (115) De Dynamk er alten Koornaten st bestmmt urch e Hamlton- Funkton H(q, p). D.h., q = {q, H} = H/ p un ṗ = {p, H} = H/ q. Für Q un P glt Q = {Q, H} q,p = Q H q P = {P, H} q,p = P q p Q H p q, H p P p H q. (116) Als H (Q, P ) nehmen wr H (Q, P ) = H(q(Q, P ), p(q, P )). De neuen Hamlton- Glechungen e wr wollen lauten Q = H P = H q P = H Q = H q Der Verglech von (116) un (117) ergbt Wr haben e Relaton ( q Q p Q q P p P q P + H p p P q Q H p p Q. (117) Q q = p P, Q p = q P, P p = q Q, P q = p Q. (118) ) = ( Q q P Q Q p P p ) 1 = ( P p P Q Q p Q q ) {Q, P } q,p. (119) Wr beschleßen, ass (118) sn erfüllt wenn {Q, P } q,p = 1. Wr erhalten e Bengung afür, ass e Transformaton Q = Q ( q, p), P = P ( q, p) ene kanonsche Transformaton st: {Q, P } q,p = δ, {Q, Q } q,p = 0 {P, P } q,p = 0. (10)

21 7.3 Mofzertes Hamlton-Prnzp Wr leten as Prnzp für enen Frehetsgra her. Verallgemenerung auf mehrere Frehetsgrae st enfach. Im Phasenraum glt Z t Z t S = tl(q, q(q, p, t), t) = t {p q(q, p, t) H(q, p, t)}. (11) t 1 t 1 Wr vareren δq un δp als unabhängge Funktonen er Zet: Z t δs = t δp q + pδ q H ff H δq q p δp t 1 (1) Partelle Integraton es zweten Betrags zusammen mt δq(t 1 ) = δq(t ) = 0 ergbt δs = = Z t t qδp ṗδq H ff H δq q p δp t 1 Z t t 1 t q H «δp ṗ + H «ff δq. (13) p q Es ergeben sch e Hamlton-Bewegungsglechungen. 7.4 Erzeugene Funkton Wr erhalten e kanonschen Transformatonen aus em mofzerten Hamlton-Prnzp Z 8 9 < X = δs = δ p : q Ht ; = 0. (14) In en neuen Koornaten lautet as Prnzp Z nx δ P Q H o t = 0. (15) De zwe Prnzpen müssen äquvalent sen. Das st so nur wenn P p q Ht un P P Q H t sch um en volles Dfferental unterscheen: F = X p q X P Q + (H H)t. (16) Her st wchtg zu verstehen, ass be ener kanonschen Transformaton nur zwe Varablen (Vektoren) aus en Ver q, Q, p, P unabhängg sn. Wr können ann wählen, z.b., F = F ( q, Q, t). Das st ene bequeme Wahl a aus (16) folgt etzt p = F, (17) P = F Q, (18) H H = F t. (19) Aus en zwe ersten Glechungen können wr q ( Q, P, t) un p ( Q, P, t) auflösen. Dann e neue Hamlton-Funkton lautet H ( Q, P, t) = H( q( Q, P, t), p( Q, P, t), t) + F. (130) t q q( Q, P,t) De Funkton F ( q, Q, t) heßt erzeugene Funkton. Bespel: Oscllator H = p m + mω q. (131) F (q, Q) = mω p = F q q cot Q. (13) = mωq cot Q. (133)

22 P = F q = mωq sn Q (134) Wr lösen auf: q = s P mω sn Q, p = mωp cos Q. (135) Ene es Bespels. Ene anere Möglchket st e Gl. (16) so umzuschreben H = ωp. (136) Φ (F + X P Q ) = X p q + X Q P + (H H)t. (137) Jetzt betrachten wr q un P als unabhängg un Φ F + P P Q = Φ( q, P ). Dann glt p = Φ, (138) Φ Q = P, (139) Bespel: De Punkttransformatonen: H H = Φ t. (140) Φ( q, P ) = X Q ( q, t)p. (141) Dese Erzeugene ergbt Ene es Bespels. Q = Q ( q, t), p = X Q P. (14) 7.5 Kanonsche Transformatonen un Posson-Klammern Wr betrachten zwe Größen f( q, p) un g( q, p). Nach er kanonschen Transformaton erhalten wr f( Q, P ) un g( Q, P ). Es glt {f, g} q,p = {f, g} Q,P. (143) Daraus folgen, z.b., {Q, Q } q,p = 0, {P, P } q,p, {Q, P } q,p = δ. (144) 8 Der Starre Körper Starrer Körper: ene Menge von Massenpunkten m e Abstäne zwschen eren st fest. Der Kontnuum-Lmes kann verwenet weren.

23 8.1 Wnkelgeschwngket Schwerpunkt: R = m r. De Poston es Körpers wr eneutlch bestmmt urch e Poston es Schwerpunkts R un noch ene Drehmatrx D kp. Wr efneren zwe Koornatensysteme: 1) festes nertales System mt en orthonormalen Bass-Vektoren n 1, n, an n 3 ; ) as körperfeste System mt en orthonormalen Bass-Vektoren e 1 (t), e (t), an e 3 (t). Der Massenpunkt wr beschreben mt em Vektor b (t). Wr erhalten b (t) = k b k e k (t). (145) De Koeffzenten b k sn zetunabhängg, a es sch um körperfestes System hanelt. De Drehmatrx beschrebt e Poston er körperfesten Bass: e k (t) = p D kp (t) n p. (146) Bespel: Drehmatrx für e Drehung um e z-achse um Wnkel θ. cos θ sn θ 0 D = sn θ cos θ 0 (147) Ene es Bespels. Der Ort es Massenpunkts st gegeben urch en Vektor r : r = R + b. (148) Ene klene Bewegung währen Zet t: r = R + b. (149) Der Vektor b st gegeben urch ene klene Drehung. Jee klene Drehung kann argestellt weren als Drehung um (ene belebge) Achse n um en Wnkel δθ. Bl. D.h., b = θ n b. De Geschwngket v ergbt sch als v = V + Ω b, (150) wobe V t R un e Wnkelgeschwngket Ω = θ t n. De Wnkelgeschwngket st unabhängg von er Wahl es Ursprungs es körperfesten Systems R. Bewes: wählen wr en aneren Ursprung (ken Schwerpunkt mehr) R = R + a. Dann glt b = b a oer b = b + a. Aus (150) erhalten wr v = V + Ω a + Ω b. (151)

24 Anersets V t R = V + Ω a. (15) Dann glt v = V + Ω b. (153) Wr sehen, ass Ω ncht geänert wure. 8. Träghetstensor Wr berechnen e knetsche Energe es Körpers. T = m v = m ( V + Ω b ). (154) Wr erhalten T = ( m V + V ( Ω m b ) + m ( Ω b ) ). (155) Wenn R er Schwerpunkt st glt m b = 0. Das ergbt T = M V + m ( Ω b ), (156) wobe M m e Gesamtmasse st. Der erste Tel st Energe er Schwerpunktsbewegung T s. Der zweter Tel st e Drehungsenerge T rot. Wr benutzen e Relaton ( A B) = A B ( A B). (157) Bewes: ( A B) = kl ɛ kla k B l. Dann ( A B) = ( kl ɛ kla k B l )( mp ɛ mpa m B p ). Aus ɛ klɛ mp = δ km δ lp δ kp δ lm folgt (157). Q.E.D. Dann oer oer T rot = m ( ) Ω l b m Ω l b l Ω m b m, (158) lm ( T rot = 1 Ω k Ω p m m kp b mδ kp b k b p ), (159) T rot = 1 Ω k Ω p I kp, (160) kp

25 wobe I kp m ( ( b ) δ kp b k b p ). (161) De Matrx I kp hesst Träghetstensor. Im Kontnuum-Lmes glt I kp = 3 x ρ( x) [ ] ( x) δ kp x k x p. (16) 8..1 Egenschaften es Träghetstensors Folgene Egenschaften sn wchtg 1) Symmetre I kp = I pk. ) Träghetsmoment bezüglch Achse n. Wenn Ω = Ω n glt T rot = Ω kp I kp n k n p = Ω I n. (163) 3) Hauptachsen. I 1, I, I 3. 4) I 1 + I I 3. 5) Stener-Satz. Se R er Schwerpunkt. R = R + a. Dann glt b = b a oer b = b + a. Wr erhalten I kp = m (( ) b ) δ kp b kb p = m (( ) b a) δ kp (b k a k )(b p a p ) (164) Mt m b k = 0 (Schwerpunkt) erhalten wr I kp = I kp + M( a δ kp a k a p ). (165). 8.3 Drehmpuls L = m r v = m ( R + b ) ( V + Ω b ). (166) Da R er Schwerpunkt st glt m b = 0 un L = M R V + m b ( Ω b ). (167) Wr efneren L s = MR V = R P un. L rot = m b ( Ω b ) = [ m Ω( b ) b ( ] Ω b ). (168) L rot,k = p I kp Ω p. (169)

26 8.4 Bewegungsglechungen t L = t m r v = m v v + r t m v. (170) Der erste Betrag verschwnet. Se k e Kraft e auf en Massenpunkt m wrkt. Mt t m v = k wr erhalten t L = r k = R k + Wr efneren e Gesamtkraft K = k. Dann b k. (171) L t s = R P t = R K. (17) De Bewegungsglechung für en Rotatonstel L rot lautet L t rot = b k = n = N. (173) Her n st as Drehmoment wrken auf en Massenpunkt m un N st as Gesamtrehmoment. De Bewegungsglechungen ann lauten t P = K, t L rot = N. (174) Bespel: Rolle mt gegebenem Drehmoment N. Das Träghetsmoment bezüglch er Achse er Rolle lautet I 33 = MR. (175) De Wnkelgeschwngket (entlang er Achse) Ω 3 = ϕ. De Bewegungsglechung lautet L 3 = I 33 ϕ = N 3. (176) Her N 3 st e Komponente es Drehmoments entlang er Achse er Rolle. Problem: Das Drehmoment st ncht gegeben (konstant). Z.B., N wr von ener hängenen auf enem Sel un fallenen Masse erzeugt. Dann muss man entweer e Kräfte bestmmen oer efach e Lagrange-Funkton aufschreben: L = T U = I 33Ω 3 + mḣ mgh. (177) Her st h e Höhe er Masse. Wr haben h = const Rϕ. Also, lautet e Lagrange-Funkton L = (M + m)r ϕ + mgrϕ. (178) 4 De Bewegungsglechung st efach zu fnen.

27 Abblung 1: Euler-Wnkel 8.5 Allgemene Rotatonen, Euler-Wnkel De körperfeste Bass zur zet t st urch ene Drehmatrx ˆD(t) gegeben: e k (t) = p D kp (t) n p. (179) Ene Allgemene Drehmatrx kann we folgt parametrsert weren D = D z (ψ)d x (θ)d z (ϕ). (180) Her un D z (α) D x (α) cos α sn α 0 sn α cos α cos α sn α 0 sn α cos α (181) (18) Für ene belebge Abwechung b glt b = Ω b. Wr zerlegen Ω n er körperfesten Bass Ω = p Ω(e) p (t) e p (t). Dann glt e k = Ω e k = p Ω (e) p e p e k = p,q Ω (e) p ɛ pkq e q. (183) Anersets glt e k = p Ḋ kp (t) n p = p,q Ḋ kp (D T ) pq e q. (184)

28 Abblung : Symmetrscher Kresel Das ergbt für alle k un q Ω (e) p ɛ pkq = p p Ḋ kp D qp. (185) Wr erhalten, z.b., für k = un q = 3 Ω (e) 1 = p Ḋ p D 3p. (186) Nach ener langen Rechnung ergbt sch as folgene Ergebns Symmetrscher Kresel Ω (e) 1 = ϕ sn θ sn ψ + θ cos ψ Ω (e) = ϕ sn θ cos ψ θ sn ψ Ω (e) 3 = ϕ cos θ + ψ. (187) Für en symmetrschen Kresel glt I 1 = I. De Lagrange-Funkton lautet L = I 1 + Ml = I 1 + Ml ( [Ω (e) 1 ] + [Ω (e) ] ) + I 3 [Ω(e) 3 ] Mgl cos θ ( θ + ϕ sn θ) + I 3 ( ϕ cos θ + ψ) Mgl cos θ = I 1 ( θ + ϕ sn θ) + I 3 ( ϕ cos θ + ψ) Mgl cos θ, (188) wobe I 1 I 1 + Ml.

29 Es gbt re erhaltene Größen: un e Energe p ψ = L ψ = I 3( ϕ cos θ + ψ) = L 3, (189) p ϕ = L ϕ = I 1 sn θ ϕ + I 3 cos θ( ϕ cos θ + ψ) = L z, (190) E = I 1 ( θ + ϕ sn θ) + I 3 ( ϕ cos θ + ψ) + Mgl cos θ. (191) Aus en zwe ersten Größen L 3 un L z wr erhalten ϕ = L z cos θl 3 I 1 sn θ, ψ = L 3 I 3 cos θ ϕ. (19) Dann E = I 1 θ + (L z cos θl 3 ) I 1 sn + L 3 + Mgl cos θ θ I 3 = I 1 θ + U eff (θ). (193) U eff vergert für θ 0 un θ π. Präzesson, Nutaton. 8.6 Euler-Glechungen De Relaton zwschen em Drehmpuls un er Wnkelgeschwngket glt n eer Bass L rot,k = I kp Ω p. (194) p De Bewegungsglechungen n er Form t P = K, t L rot = N (195) gelten nur n em Inertalsystem (Laborsystem). Wr zerlegen L rot un Ω n er körperfesten Bass er Hauptachsen: Ω = Ω (e) p (t) e p (t), Lrot = L (e) rot,p(t) e p (t), N = N p (e) (t) e p (t). p p p (196)

30 Da wr e Hauptachsen benutzen glt L (e) rot,p = I p Ω (e) p. (197) Wr erhalten t L rot = p = p = p = p I p ([ t Ω(e) p I Ω(e) p p e p + p I Ω(e) p p e p + pkm ] [ ]) e p + Ω (e) p t e p ( I p Ω (e) p Ω (e) k e k I p Ω (e) p k Ω (e) k ɛ kpm e m ) e p N (e) p e p. (198) Mt m p wr prozeren un erhalten I p Ω(e) p + km ɛ kmp I m Ω (e) m Ω (e) k = N p (e). (199) Komponentenwese ergeben sch e folgenen Euler-Glechungen Freer symmetrscher Kresel I 1 = I un N = 0 ergeben oer wobe Ω (e) 3 = 0, Ω(e) 1 = (I 1 I 3 )Ω (e) 3 Lösung: I Ω(e) (I 3 I )Ω (e) Ω (e) 3 = N (e) 1, I Ω(e) + (I 1 I 3 )Ω (e) 1 Ω (e) 3 = N (e), I Ω(e) (I I 1 )Ω (e) 1 Ω (e) = N (e) 3. (00) I 1 Ω (e), Ω(e) = (I 1 I 3 )Ω (e) 3 I 1 Ω (e) 1, (01) Ω (e) 3 = const., Ω(e) 1 = ω Ω (e), Ω(e) = ω Ω (e) 1, (0) ω (I 3 I 1 ) I 1 Ω (e) 3. (03) Ω (e) 1 = Ω cos(ωt + α), Ω (e) = Ω sn(ωt + α). (04)

31 Wr haben gezegt, ass Ω präzessert um e 3 mt Wnkelgeschwngket ω. Genauso macht er Drehmpuls L = p L(e) p (t) e p (t) (es glt L (e) p = I p Ω (e) p ). Im Laborsystem glt aber L = const.. Dann Ω un e 3 präzesseren um L. De Präzesson-Frequenz erhalten wr urch as Zerlegen es Vektors Ω auf Rchtungen L un e 3 : Ω = Ω (e) 3 e 3 + Ω = Ω (e) L 3 e 3 + I 3 Ω (e) I 1 3 e 3 = L I 1 ω e 3. (05)