Noethers Theorem Mathematische Bissen zu Kursvorlesungen der theoretischen Physik Martin Wilkens, Universität Potsdam

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1 Noethers Theorem Mathematsche Bssen zu Kursvorlesungen er theoretschen Physk Martn Wlkens, Unverstät Potsam Zu jeer kontnuerlchen Symmetre enes physkalschen Systems gehört ene Erhaltungsgröße lässt sch en von Emmy Noether 1 m Jahr 1918 formulertes Theorem n wengen Worten zusammenfassen, as en Symmetry-Turn er Physk es 20 Jahrhunerts enläutete un essen Nachhall bs heute ncht verklungen st man enke etwa an e moerne Elementartelchenphysk, e ohne Noether-Theorem schlcht ncht vorstellbar st. Zet also, as Theorem un sene Anwenungen kurz vorzustellen, wobe wr uns er Enfachhet halber auf en Kontext er klassschen Punktmechank beschränken weren. Man ernnert sch n er klassschen Mechank kann n velen Fällen e Dynamk enes Systems von n Frehetsgraen mttels sog. Euler-Lagrange Glechungen (ELG) beschreben weren, t ( ) q = 0, = 1,..., n. (1) q wobe e sog. Lagrangefunkton L = L(q, q, t) ene Funkton er (verallgemenerten) Koornaten q = (q 1,..., q n ) un Geschwngketen q = ( q 1..., q n ). Für en Punkttelchen er Masse m n ener Raummenson (also n = 1), bespelswese, L(q, q) = T V, mt T = 1 2 m q2 e knetsche Energe, un V = V (q) e Potentelle Energe. Lagrangefunktonen L un L, e sch nur um ene totale Zetabletung unterscheen, L (q, q, t) = L(q, q, t) + χ(q, t), (2) t sn ynamsch äquvalent, soll heßen se geben Anlass zu en glechen Bewegungsglechungen, 2 ( ) = 0 ( ) = 0, = 1,..., n. (3) t q q t q q Man sagt ann, L un L unterscheen sch nur urch ene Echung en Begrff, er sene Wurzeln n er Elektroynamk hat. 1 Kovaranz er Euler-Lagrange Abletung Da Koornaten ncht absolut gegeben, sonern velmehr nach Geschtspunkten er Zweckmäßgket gewählt weren, erhebt sch e Frage, welche Form e Gl. (1) annehmen, wenn statt Koornaten q anere Koornaten Q benutzt weren. Schck formulert: we sch e Euler-Lagrange Abletung unter enem Kartenwechsel transformert. q t q Wählt man also neue Koornaten Q, verknüpft mt alten Koornaten q va umkehrbar eneutger un fferenzerbarer Abblung q = Φ (Q, t), (4) c Martn Wlkens Oktober 2015

2 1 Kovaranz er Euler-Lagrange Abletung Mathematsche Bssen: Noethers Theorem umgangssprachlch q = q(q, t), nuzert ese sog Punkttransformaton zunächst ene Transformaton er Geschwngketen q = j Φ Q j Q j + t Φ (Q, t), (5) non-chalant auch geschreben q = q(q, Q, t). Glechungen (4) un (5) efneren ene Abblung T Φ : (Q, Q, t) (q, q, t), e Tangentalabblung auf em Raum er Koornaten un (verallgemenerten) Geschwngketen. 3 De Punkttransformaton Φ, un also e Tangentalabblung T Φ, nuzeren nun auf natürlche Wese ene Transformaton er Lagrangefunkton, L L := L T Φ, (6) bzw umgangssprachlch L(Q, Q, t) = L(q(Q), q(q, Q, t), t). 4 De Präkat natürlch erschleßt sch aus em Theorem (Kovaranz er Euler-Lagrange Abletung) Unter Punkttrafo Φ mt Tangentalabblung T Φ sn e Euler-Lagrange Glechungen formnvarant 5 t q q = 0 L L t Q Q = 0. (7) Der Bewes st elementar un nvolvert leglch e Kettenregel (KR) un Prouktregel (PR) er Dfferentalrechnung. Mt er etwas non-chalanten Schrebwese q = q(q, t) (statt es peantschen q = Φ(Q, t)), erhalten wr zunächst L Q j L Q j KR = KR = [ q q Q j + q q Q j q q Q j Gl.(5) = ] (8) q q Q j (9) un aher L t Q j PR = [( ) q t q Q + ( j q t )] q. (10) Q j Angeschts q t Q j KR = 2 q Q j Q Q k + Φ k t Q j Gl.(5) alsann (wr kehren weer zur peantschen Schrebwese zurück) = q (11) Q j L L t Q j Q = j [ t q ] Φ q Q. (12) j Abzulesen her Gl. (7) mt Implkaton von lnks nach rechts. Da e Tangentalabblung efntonsgemäß nverterbar, kann as Argument mt Φ Φ 1 weerholt weren, womt Gl. (7) ann auch mt Implkaton von rechts nach lnks bewesen wäre. c Martn Wlkens Oktober 2015

3 2 Symmetren un Erhaltungsgrößen Mathematsche Bssen: Noethers Theorem Ist q(t) Lösung er Euler-Lagrangeglechungen für ene Lagrangefunkton L, so st Q(t) = Φ 1 q(t) Lösung er Euler-Lagrangeglechungen zur transformerten Lagrangefunkton L un vce versa. Im Allgemenen schent amt ncht vel gewonnen, schleßlch müssen n jeem Fall DGL gelöst weren. Allerngs kann e Lösung er DGL urch geschckte Wahl er Koornaten gehörg verenfacht weren. Bem Keplerproblem haben Se Gebrauch avon gemacht, als Se e Lagrangefunkton zunächst von kartesschen Koornaten auf Kugelkoornaten (oer Zylnerkoornaten) umgeschreben haben un e resulterenen ELG anschleßen urch Quaratur (also Integraton) gelöst haben. 2 Symmetren un Erhaltungsgrößen Von besonerem Interesse sn Punkttransformatonen Φ e e Lagrangefunkton nvarant lassen bzw unter enen sch e transformerte Lagrangefunkton L nur urch ene totale Zetabletung von er untransformerten Lagrangefunkton L unterscheet, L T 1 Φ = L + χ t, (13) umgangssprachlch L(Q, Q, t) = L(q, q, t) + χ(q, t). Solche Φ heßen Symmetretransformatonen. Symmetretransformatonen blen ene Gruppe, e sog Symmetregruppe es t Systems bzw sener Lagrangefunkton. Für Symmetretransformatonen glt offenschtlch: st q(t) Lösung er Euler-Lagrangeglechungen mt Lagrangefunkton L, ann st auch Q(t) = Φ 1 (q(t), t) ene Lösung! De Funktonen Q(t) un q(t) mögen völlg verscheen sen aber se genügen en glechen Dfferentalglechungen. Se beschreben verscheene Bahnen en- un esselben mechanschen Systems! Elementares Bespel ener Symmetretransformaton st e Spegelung Φ(Q, t) := Q, also q(q) = Q bzw nvertert Q(q) = q bem harmonschen Oszllator L = m 2 q2 m 2 ω2 q 2. Offenschtlch st L nvarant unter Spegelungen, L(Q, Q) = L(q, q), mt q(t) Lösung er Euler-Lagrange Glechung st also auch Q(t) = q(t) ene Lösung. Elementares Gegenbespel vermttelt as Telchen m konstanten Kraftfel, L = m q 2 2 mgq, mt g ene Konstante. Her st L ncht nvarant unter Spegelung, un also Q(t) = q(t) kene Lösung er ELG! Neben en skreten Symmetren, e vornehmlch n Molekülen un Krstallen anzutreffen sn, spelen kontnuerlche Symmetretransformatonen ene hervorragene Rolle. Be ener kontnuerlchen Trafo Φ : Q q hängt Φ von enem reellwertgen Paramter ɛ stetg ab, wobe für ɛ = 0 e Ienttät Φ ɛ=0 =, un für klene ɛ (an eser Stelle erwest sch e nverse Punkttransformaton als bequemer) Φ 1 ɛ : q Q ɛ = q + ɛη (q, t) + O(ɛ 2 ), η (q, t) = ɛ Q ɛ. (14) ɛ=0 De her urch e Funktonen η charakterserte Transformaton st ene Symmetretransformaton genau ann wenn e Lagrangefunkton es Systems er Gl. (13) genügt, umgangssprachlch formulert L(Q ɛ, Q ɛ, t) = L(q, q, t) + χ ɛ t, (15) c Martn Wlkens Oktober 2015

4 3 De zehn Erhaltungssätze Mathematsche Bssen: Noethers Theorem bzw fferentell Angeschts ɛ L(Q ɛ, Q ɛ, t) = Γ ɛ=0 t, Γ = χ ɛ ɛ (16) ɛ=0 ɛ L(Q ɛ, Q ɛ, t) = ɛ=0 q η + q η (17) = [ q ] η + t q t q η (18) un n Ernnerung, ass für wahre Bahnen Zusammengefasst: q t q [ ] t q η Γ = 0, also = 0. (19) Theorem (Noether) Se Φ ɛ enparametrge Schar (ɛ-schar) von Symmetretransformatonen, also Φ ɛ=0 = un L T 1 Φ ɛ sowe η (q, t), Γ(q, t) gemäß Gl. (14) bzw (16). Dann st = L + χ ɛ t. (20) F := q η Γ (21) en erstes Inegral er Bewegung, t F = 0. Der her gefunene Zusammenhang zwschen Symmetretransformatonen un Erhaltungsgrößen st von emnenter Beeutung für e gesamte Physk, nsbesonere Elementartelchenphysk un Relatvtätstheore. 3 De zehn Erhaltungssätze Wr betrachten en abgeschlossenes System von N Punkttelchen mt Lagrangefunkton L = 1 2 m α r 2 α V αβ ( r α r β ) (22) α,β α wo r α Rausvektor es α-ten Telchens, α = 1,..., N, un r α sene Geschwngket. De Funkton V αβ = V βα st e potentelle Energe er Wechselwrkung er been Telchen α un β, von er her angenommen wr, ass se nur vom Abstan er been Telchen abhängt. De Summe erstreckt sch über alle Telchenpaare. c Martn Wlkens Oktober 2015

5 3.1 Translatonsnvaranz un Impulserhaltung Mathematsche Bssen: Noethers Theorem 3.1 Translatonsnvaranz un Impulserhaltung Für en N-Telchensystem st e räumlche Translaton efnert r α r α + ɛ a, α = 1,..., N, (23) un nuzert e Tangentalabblung { r α, r α } { r α + ɛ a, r α }. (24) Für e Lagrangefunkton (22) st Translatonsnvaranz offenschtlch garantert, L({ r α + ɛ a}, { r α }) = L({ r α }, { r α }), also χ ɛ = 0. Angeschts η α = ɛ ( r α + ɛ a) = a ɛ=0 (25) st a P en erstes Integral er Bewegung, worn P α r α = α m α rα (26) er Gesamtmpuls. Da a belebg, P t = 0, (27) les: Translatonsnvaranz mplzert en Impulserhaltungssatz. Zuwelen wr as formulert Homogentät es Raumes mplzert Impulserhaltung. Gement st amt, ass es schlcht egal st wo (m Raum) sch as System befnet es gbt kenen ausgezechneten Punkt, oer kene ausgezechnete Regon, n er sch e ELG er Lagrangefunkton (22) von aneren Regonen unterscheen. In enem äusseren Kraftfel st as aners. 3.2 Rotatonsnvaranz un Drehmpulserhaltung Für en N-Telchen System st e Operaton Drehung efnert worn R orthogonale Abblung, R 1 = R T. De Drehung nuzert e Tangentalabblung 6 r α R r α (28) { r α, r α } {R r α, R r α }. (29) Da sowohl r 2 α als auch r α r β nvarant unter Drehungen, st L rehnvarant, nsbesonere auch χ R = 0. Für klene Drehungen um ene feste Achse n, r α r α + ɛ n r α (30) c Martn Wlkens Oktober 2015

6 3.3 Zetlche Translatonsnvaranz un Energeerhaltung Mathematsche Bssen: Noethers Theorem bzw Entsprechen st n L en erstes Integral er Bewegung, worn η α = n r α. (31) L = α r α p α (32) Gesamtrehmpuls. Da e Rchtung n belebg, les: Drehnvaranz mplzert en Drehmpulserhaltungssatz. t L = 0, (33) 3.3 Zetlche Translatonsnvaranz un Energeerhaltung Da e Zet t ken ynamscher Frehetsgra lassen sch zetlche Verschebungen ncht mt Hlfe es Noether-Theorems behaneln soner beürfen ener egenen Überlegung. Allgemen glt t L = q q + q + q t [ ] q q = q q + t ( t Längs wahrer Bahnen sn e ELG erfüllt, un also [ ] t q q L = t ) q + q t (34) (35) (36) Zetlche Translatonsnvaranz beeutet t E := q = 0; n esem Falle st q L (37) en erstes Inegrale - e Energe es Systems - un E = 0 frmert unter em Begrff t Energeerhaltungssatz. 3.4 Schub-Invaranz un Schwerpunktsatz Man ernnert sch unter enem Galleschub mt Geschwngket ɛ V transformeren Rausvektoren r α r α + ɛ V t (38) also Tangentalabblung { r α, r α } { r α + ɛ V t, r α + ɛ V } (39) c Martn Wlkens Oktober 2015

7 4 Echnvaranz un Laungserhaltung Mathematsche Bssen: Noethers Theorem De Lagrangefunkton (22) st zwar ncht nvarant, fängt sch aber unter Galleschub nur ene totale Zetabletung en, L( r + ɛ V t, r + ɛ V ) L( r, r) = t χ ɛ (40) worn χ ɛ = ɛ α m α r α V + ɛ 2 t α m α 2 V 2 (41) Noether st anwenbar η α = V t, Γ = χ ɛ ɛ = MR V (42) ɛ=0 wo M Gesamtmasse un R Massenmttelpunkt, auch Schwerpunkt, M = α m α, R = 1 M Da V belebg st e Schwerpunktverschebung m α r α. (43) α G := t P M R (44) Konstante er Bewegung, G t = 0. (45) Les: Schubnvaranz mplzert en Schwerpunktsatz. Für Lagrangefunkton (22) glt wegen Translatonsnvarant P = 0, womt er Schwerpunktsatz e vertraute Form annmmt P = M R. (46) Les: er Gesamtmpuls st glech em Impuls enes Quastelchens er Masse M as sch mt er Schwerpunktgeschwngket R bewegt. Man könnte glauben, ass sch Impulserhaltungssatz un Schwerpunktsatz wechselsetg bengen. Das st ncht er Fall er Schwerpunktsatz st schärfer. Der Impulserhaltungssatz glt auch be zetlch varablen Massen. Der Schwerpunktsatz ncht. Velmehr G = t α m α r α, was nahelegt, en Schwerpunktsatz auch als Massenerhaltungssatz zu lesen. Kann man machen aber streng genommen sn Massen n er Newton schen Mechank schlcht Paramter, un kene ynamschen Frehetsgrae. Un Erhaltungssätze reen nun mal über ynamsche Größen un ncht über Paramater (vgl. allerngs e Auslassungen zur Laungserhaltung weter unten). 4 Echnvaranz un Laungserhaltung Punktlaung e, mnmal gekoppelt L nt = e r A( r, t) eφ( r, t). (47) c Martn Wlkens Oktober 2015

8 4 Echnvaranz un Laungserhaltung Mathematsche Bssen: Noethers Theorem Weren Potentale Echtrafo unterworfen, A A = A+ χ, φ φ = φ χ, transformert Lagrange L nt L nt = L nt + L nt, mt L nt = e[ r r χ( r, t)+ t χ( r, t)]. Mt Kettenregel L nt = eχ( r, t), (48) t also totale Zetabletung. Bewegungsglechung nfolgeessen nvarant unter Echtrafo er Potentale. 1 An eser Stelle st Zusammenhang zwschen Echnvaranz un Laungserhaltung zwar ncht rekt erkennbar schleßlch st Laungserhaltung für Punktlaung efntonsgemäß garantert aber es arf vermutet weren Laungserhaltung Echnvaranz Mnmale Kopplung feltheoretsch L nt = ( j A ϱφ) 3 x. Unter Echtrafo L nt L nt = L nt + L nt mt L nt = ( j χ + ϱ t χ) 3 x (49) Angeschts j χ = ( jχ) χ j un ϱ t χ = t (ϱχ) χ t ϱ L nt = [ t (ϱχ) + ( jχ)] 3 x χ[ t ϱ + j] 3 x (50) Der zwete Term m ersten Integral wr mt Hlfe es Gauss schen Satzes n ene Oberlfächenntegral m Unenlchen. Da ort e Stromchte verenbarungsgemäß mmer Null, st as entsprechene Inegral glech Null. Der erste Term m ersten Integral st ene totale Zetabletung. Verblebt as zwete Integral. Wr jetzt Laungserhaltung postulert, lokal formulert ϱ + j = 0, st as zwete Integral entsch Null, m Eneffekt L nt = ϱχ 3 x, (51) t was sch für ene Punktlaung ϱ( x, t) = eδ( x r) auf (48) reuzert. Wr anerersets Echnvaranz postulert, also δl nt = M mt rgenener Funkton M, t erzwngt eses Postulat e Laungserhaltung. Zusammengefasst Echnvaranz Laungserhaltung (52) Noch grffger läßt sch as Ganze n er 4-er Schrebwese er Relatvtätstheore formuleren. Der Wechselwrkungsbetrag zur Wrkung, S nt = L nt t, transformert unter ener Echtrafo S nt S nt + S nt mt Zusatzterm S nt = c 1 µ χj µ c 1 χ µ j µ 4 x worn 4 x = ct 3 x as Mnkowskvolumen. Das erste Integral wr mt Hlfe es Gauss schen Satzes zu enem Oberlächenntegral m Mnkowskraum, un verschwnet unter Annahme verschwnener Feler m räumlch Unenlchen. Das zwete Integral st m Falle er Laungserhaltung entsch Null, e Wrkung also ohne jeween Zusatzterm echt echnvarant S = S. 1 Lässt man zunächst zetabhängge Laung e = e(t) zu erlaubt also Verletzung er Laungserhaltung wäre L nt = te(t)χ( r, t) ė(t)χ( r, t), angeschts es zweten Terms also kene totale Zetabletung. Übung: we lauten n esem Fall e Bewegungsglechungen er Punktlaung? c Martn Wlkens Oktober 2015

9 5 Hamlton un Noether Mathematsche Bssen: Noethers Theorem 5 Hamlton un Noether De Formulerung es Noether-Theorems gestaltet sch m Lagrangeformalsmus besoners enfach. Mt Blck auf e Quantenmechank, e bekanntlch am Hamltonformalsmus anknüpft, erhebt sch e Frage, we Noether m Bezug auf e kanonschen Varable zu formuleren st. Man ernnert sch. Den kanonschen Koorntaten q ener Lagrangefunkton L(q, q, t) zugeornete kanonsche Impulse sn verabreungsgemäß p :=, = 1,..., n. (53) q De Hamltonfunkton st Legenretrafo er Lagrangefunkton H(q, p, t) = p q L(q, q, t), (54) wobe e q va (53) Funktonen er kanonschen Observable q, p un evtl. er Zet t (falls L explzt zetabhängg), q = q(q, p, t), un e Bewegungsglechungen (1) erschenen n er Form t q (t) = H, p Mt er Verabreung von Posson-Klammern, n LL-Konventon 2 {u, v} := t p (t) = H q. (55) u p v q u q v p (56) wr e Zetentwcklung ener Phasenraumfunkton A(q, p, t) notert A A = {H, A} + t t Ene Phasenraumfunkton A(q, p, t) heßt Konstante er Bewegung, genau ann wenn A = 0. t Unter allen Transformatonen er Phasenraumkoornaten sn e kanonschen Transformatonen aurch ausgezechnet, ass es für jee gegebenen Hamltonfunkton H(q, p, t) ene Hamltonfunkton K(Q, P, t) gbt, ergestalt ( q, ṗ) = ( H p, H q ) ( Q, P ) = (57) ( ) K P, K. (58) P Mt Blck auf Noether sn nsbesonere nfntesmale Transformatonen nteressant, Q = q + ɛη (q, p, t), P = p + ɛζ (q, p, t) (59) wo ɛ ene klene Konstante, eren höhere Potenzen vernachlässgt weren können. De Trafo st kanonsch genau ann wenn es ene Funkton F (q, p, t) gbt genannt Erzeugene er nfntesmalen Trafo () ergestalt η = F p, 2 Lanau-Lfshtz, B. I Klasssche Mechank ζ = F q (60) c Martn Wlkens Oktober 2015

10 6 Noether n Quantenmechank Mathematsche Bssen: Noethers Theorem n welchem Falle F (q, p, t) K(Q, P, t) = H(q, p, t) + ɛ, (61) t wobe q, p va Umkehrung von () als Funktonen von Q, P un t aufzufassen sn. Durch Entwcklung nach ɛ lässt sch e reche Sete von () auf e neuen Phasenraumkoornaten umschreben, so ass () K(Q, P, t) = H(Q, P, t) + ɛ F (q, p, t) t (62) Q,P Ene kanonsche Transformaton (q, p) (Q, P ) efnert genau ann ene Symmetre, sofern mt q(t), p(t) Lösung von (), auch Q(t) = Q(q(t), p(t), t), P (t) = P (q(t), p(t), t) Lösung von (). Formulert als Noether-Theorem: ene nfntesmale kanonsche Transformaton (q, p) (Q, P ) mt Erzeugener F efnert genau ann ene Symmetre wenn K(Q, P, t) = H(Q, P, t), also F Erhaltungsgröße, F t = 0, bzw H(Q, P, t) = H(q, p, t) + F t. Ihnen blebt als Übung, e zehn klassschen Erhaltungssätze m Hamltonformalsum abzuleten. Betrachtet man n () as ɛ als Varable, un schrebt statt Q nun q(ɛ) un statt P entsprechen p(ɛ), lässt sch () mt en weng Phantase un unter Verwenung er Posson- Klammern erwetern, q(ɛ) p(ɛ) = {F, q}, = {F, p}. (63) ɛ ɛ wobe e Erweterung arn besteht, ass ɛ nun keneswegs mehr klen sen muss, sonern belebge Wert annehmen arf. Lösungen es Glechungssystems () efneren ann ene ɛ-schar von kanonschen Transformatonen, un ese Schar efnert ene Abelsche Transformstonsgruppe mt F als Erzeugener. Für festes ɛ st nämlch q Q ɛ = q(ɛ) kanonsch, un be er Verkettung kommt es auf e Rehenfolge ncht an. 6 Noether n Quantenmechank Kanonschen Trafos er klassschen Mechank entsprechen untäre Abblungen n er Quantenmechank. Als Bespel betrachten wr e Verschebung, klasssch q q = q + a. Erzeugene er Verschebung st er kanonsche Impuls. Quantenmechansch ψ ψ = exp { } aˆp ψ (64) nterpretert: präparert en Präparator en Quantentelchen m Zustan ψ, so präparert er um a verschobene Präparator be ansonsten glechem Vorgehen as Quantentelchen m Zustan ψ. c Martn Wlkens Oktober 2015

11 6 Noether n Quantenmechank Mathematsche Bssen: Noethers Theorem Unter Beachtung er zauberhaften Ienttät No 1 3 ˆq(a) := e aˆpˆqe aˆp = ˆq + a. (66) st er Ortserwartungswert m transformerten (=verschobenen) Zustan gegeben ˆq ψ ψ ˆq ψ = ψ e aˆpˆqe aˆp ψ (67) = ˆq ψ + a. (68) Les: er Erwartungswert verschebt sch mt er Verschebung es Präparators. Ihnen blebt als klene Übungsaufgabe zu bestätgen ψ (x) x ψ = ψ(x a) (69) Ebenso we Verschebungen m Ortsraum können natürlch auch Verschebungen m Impulsraum urchgeführt weren, p p = p + b. Erzeugene st her ˆq (man beachte as Vorzechen). Quantenmechansch also { } ψ ψ = exp bˆq ψ (70) un unter Beachtung er zauberhaften Ienttät No 2 fnet sch her schnell we erwartet. ˆp(b) := e bˆq ˆpe bˆq = ˆp + b, (71) ˆp ψ = ˆp ψ + b (72) Schleßlch er Galle-Schub, klasssch q q+v t, p p+mv. Erzeugene st G = tp mq, quantenmechansch also ψ t ψ t = exp { } V (tˆp mˆq) ψ t (73) { } = e mv 2 2 t exp mv ˆq exp { } V tˆp ψ t (74) wobe n er zweten Glechung von er Baker-Campbell-Hausorff Ienttät Gebrauch gemacht wure. 4 In er Ortsarstellung { ψ (x, t) x ψ t = exp mv x } m 2 V 2 t ψ(x V t, t). (75) 3 Zum Bewes fferenzerene wr ˆq(a) nach a, ˆq(a) a = e aˆp [ˆp, ˆq] e aˆp = 1 (65) un lösen e DGL mt Anfangsbengung ˆq(a = 0) = ˆq. 4 Für Operatoren ˆX un Ŷ, eren Kommutator [ ˆX, Ŷ ] sowohl mt ˆX als auch mt Ŷ kommutert glt e ˆX+Ŷ = e 1 2 [ ˆX,Ŷ ] e ˆXeŶ. c Martn Wlkens Oktober 2015

12 ANMERKUNGEN Mathematsche Bssen: Noethers Theorem Unter { ψ(t) ψ (t) = exp } α ˆF (t) ψ(t) (76) transformert e Schröngerglechung t ψ(t) = Ĥ(t) ψ(t) t ψ (t) = Ĥ (t) ψ (t) (77) wo Ĥ (t) er transformerte Hamltonoperator Ĥ (t) e α ˆF (t) Ĥ(t)e α ˆF (t) e α ˆF (t) ( ) t e α ˆF (t). (78) De Trafo st Symmetretrafo genau ann wenn mt ψ auch ψ Lösung er Schröngerglechung zu en un emselben Hamltonoperator Ĥ, also Ĥ = Ĥ. Ausgewertet für klene α schaut man auf as Noether-Theorem er Quantenmechank ˆF Erzeugene ener Symmetretrafo t ˆF Anmerkungen [Ĥ, ˆF ] + ˆF t = 0. (79) 1 Emmy Noether ( ) war ene beeutene Mathematkern, e grunlegene Beträge zur Algebra un zur theoretschen Physk gelestet hat. Jeer Stuerene er Physk sollte mt hrer Bographe zumnest kursorsch vertraut sen, bespelswese aus er Wkpea. t 2 Es st t χ(q, t) = q χ, (q, t)+χ,0 wo abkürzen χ, := χ q, un χ,0 := χ ( ) ( ) t q = t q + q j χ,j + χ,0. Da anerersets q = q angeschts χ,j = χ,j un χ,0 = χ,0 also t q q = t q. Damt q = q +χ,, somt ( ) + q q j χ,j + χ,0 = q + q j χ,j + χ,0, q = 0. 3 De q un q sn Koornaten es sog Tangentalbünel TM = P M T P M, worn M Konfguratonsraum (Koornaten q) un T P M Tangentalraum an P M (Koornaten q). TM. 4 Dfferentalgeometrsch steck ahnter as Postulat: Lagrangefunkton st ene skalare Funkton auf 5 Wer Enruck schnen wll kann as auch zusammenfassen De Euler-Lagrange Glechungen sn ene Invarante er Dffeomorphsmengruppe es Konfguratonsraumes. 6 Man beachte, ass r un r er glechen Drehung R unterworfen sn. Das muss so sen, enn r s ja Abletung er Koornate r nach er Zet, un e st en Dreh-Skalar, also nvarant unter räumlchen Drehungen. c Martn Wlkens Oktober 2015