Analysis Extremwertaufgaben mit funktionaler Nebenbedingung
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- Waltraud Nadine Biermann
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1 Analysis Alexander Schwarz November 0
2 Aufgabe : Gegeben ist die Funktion mit f(x) x, x Die Abbildung zeigt ihr Schaubild. Dem Schaubild wird ein achsenparalleles Rechteck einbeschrieben, wobei der Punkt P einer der Eckpunktes des Rechtecks ist. Wie müssen die Koordinaten des Punktes P gewählt werden, damit a) der Umfang des Rechtecks maximal wird? b) der Inhalt des Rechtecks maximal wird? c) das Volumen des Drehkörpers, der bei einer Rotation des Rechtecks um die y-achse entsteht, extremal wird? Aufgabe : P(u/v) sei ein beliebiger Punkt auf der Parabel mit der Gleichung f(x) x mit x. Gemeinsam mit den Punkten A(-/0) und B(u/0) bildet er ein Dreieck ABP. a) Skizziere das Schaubild von f. Bestimme P so, dass das Dreieck ABP den größtmöglichen Flächeninhalt hat. Wie groß ist der maximale Flächeninhalt? b) Für welchen Punkt P ist im Dreieck ABP die Summe der Kathetenlängen maximal? Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f(x) x x, x Ihr Schaubild ist die Kurve K. Die Punkte O(0/0), Q(u/0) und der Kurvenpunkt P(u/f(u)) mit 0 < u < bilden ein Dreieck. Wie muss u gewählt werden, damit der Inhalt des Dreiecks OPQ maximal wird? Gib den maximalen Flächeninhalt an.
3 Aufgabe : Gegeben sind die Funktionen f(x) 0,5x x und g(x),5x 6x. Die Gerade x = u mit u schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von g im Punkt Q. Für welchen Wert von u ist die Länge der Strecke PQ minimal und wie lang ist die minimale Streckenlänge?
4 Aufgabe : Lösungen Die allgemeinen Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks lauten: P(u/f(u)) mit 0 < u < Q(u/0) R(-u/0) Für die Streckenlängen gilt: QR u ( u) u und PQ f(u) 0 f(u) u a) Der Umfang des Rechtecks soll maximal werden. Die Formel für den Umfang lautet U QR PR U(u) u f(u) U(u) u ( u ) U(u) u u mit 0 < u < Bestimmung des Maximums der Zielfunktion U(u): U(u) u und U (u) Bedingung für ein relatives Maximum: U(u) 0 und U (u) 0 u 0 u U () 0 also relatives Maximum für u = mit U() = 0 LE. Untersuchung der Randwerte: Es gilt U(0) = und U() =. Damit ist U() = 0 auch das absolute Maximum. Für P(/f()) = P(/) ist der Umfang des Rechtecks maximal. b) Der Inhalt des Rechtecks soll maximal werden. Die Formel für den Flächeninhalt lautet A QR PR A(u) u f(u) A(u) u ( u ) u u mit 0 < u <. Bestimmung des Maximums der Zielfunktion A(u): A(u) 6u und A (u) u Bedingung für ein relatives Maximum: A(u) 0 und A (u) 0 6u 0 u A ( ) 0 also relatives Maximum für u, wobei nur u in Frage kommt. u,5 mit Untersuchung der Randwerte: Es gilt A(0) = 0 und A() =0. A( ) 6,6 FE Damit ist A( ) 6,6FE auch das absolute Maximum. Für P(,5/f(,5)) = P(,5/,6) ist der Inhalt des Rechtecks maximal.
5 c) Bei Rotation des Rechtecks um die y-achse entsteht ein Zylinder. Die Formel für das Zylindervolumen lautet V r h OQ PQ V(u) u f(u) u ( u ) u u mit 0 < a <. Bestimmung des Maximums der Zielfunktion V(u): V(u) u u und V (u) u Bedingung für ein relatives Maximum: V(u) 0 und V (u) 0 u u 0 u u 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): u = 0 (kommt als Lösung nicht in Frage) Gleichung II): u u (es kommt nur u in Frage) V ( ) 6 0 also relatives Maximum für u, mit V( ),57 Untersuchung der Randwerte: Es gilt V(0) = 0 und V() =0. Damit ist V( ),57 auch das absolute Maximum. Für P(,/f(,)) = P(,/) ist das Volumen des Zylinders maximal. Aufgabe : Skizze von der Parabel und dem Dreieck: Die allgemeinen Koordinaten der Punkte lauten: P(u/f(u)) B(u/0) A(-/0) a) Die Fläche des Dreiecks soll maximal werden. Die Formel für die Dreiecksfläche lautet ADreieck AB BP Mit den Koordinaten der Punkte ergibt sich AB u ( ) u und BP f(u) 0 f(u) A Dreieck(u) (u ) f(u) (u ) ( u ) mit u 5
6 A(u) ( u u u ) u u u Bestimmung des Maximums der Zielfunktion A(u): A(u) 0,75u u und A (u),5u Bedingung für ein relatives Maximum: A(u) 0 und A (u) 0 ( 0,75) 0,75u u 0 u, also u,5,5 A ( ) 0, also relatives Maximum mit A( ),9 A ( ) 0, also relatives Minimum Untersuchung der Randwerte: Es gilt A(-) = 0 und A() =0. und u Damit ist A( ),9 auch das absolute Maximum. Für P(0,67/f(0,67)) = P(0,67/,7) ist der Inhalt des Dreiecks maximal. b) Die Summe der Kathetenlängen soll maximal werden. Die Formel für die Summe der Kathetenlängen lautet L AB BP Mit den Koordinaten der Punkte ergibt sich AB u ( ) u und BP f(u) 0 f(u) L(u) u f(u) u u u u mit u Bestimmung des Maximums der Zielfunktion L(u): L(u) u und L (u) Bedingung für ein relatives Maximum: L(u) 0 und L (u) 0 u 0 u L () 0, also relatives Maximum mit L(),5 LE Untersuchung der Randwerte: Es gilt L(-) = 0 und L() =. Damit ist L() =,5 LE auch das absolute Maximum. Für P(/f()) = P(/,5) ist die Summe der Kathetenlängen maximal. 6
7 Aufgabe : Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks lautet Koordinaten der Eckpunkte: O(0/0), Q(u /0), P(u/f(u)) A OQ QP. Die Streckenlängen betragen OQ u 0 u und QP f(u) 0 u u A(u) u ( u u) u u mit 0 < u <. Gesucht ist das absolute Maximum der Zielfunktion. Es gilt A(u),5u u und A (u) u Bedingung für ein relatives Maximum: A(u) 0 und A (u) 0,5u u 0 u (,5u ) 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleichung I): u = 0 (da u > 0 sein soll, ist dies keine Lösung) Gleichung II):,5u 0 u A ( ) 0, also relatives Maximum mit A( ),7 FE Untersuchung der Randwerte: Es gilt A(0) = 0 und A() 0 Damit ist A( ),7FE auch das absolute Maximum. Aufgabe : Koordinaten der Punkte P und Q: P(u/f(u)) und Q(u/g(u)). Die Streckenlänge beträgt PQ(u) d(u) f(u) g(u) 0,5u u (,5u 6u ) u 0u 7 mit u (dies ist die Zielfunktion) Gesucht ist das absolute Minimum der Zielfunktion. Es gilt d(u) u 0 und d (u) Bedingung für ein relatives Minimum: d(u) 0 und d (u) 0 u 0 0 u,5 d (,5) 0, also relatives Minimum mit d(,5),5 LE Untersuchung der Randwerte: Es gilt d() = 9 und d() 9 Damit existiert für u =,5 das absolute Minimum. Die minimale Streckenlänge beträgt,5 LE. 7
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Parabeln Magische Wand Parabeln Magische Wand 10.1 10. 10.3 10.4 10.5 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 30.1 30. 30.3 30.4 30.5 50.1 50. 50.3 50.4 50.5 70.1 70. 70.3 70.4 70.5 100.1 100. 100.3 100.4 100.5 10.1 10.1 10.1
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