Martingal Pricing Theorie

Transkript

1 Vorrag: Chrisina Riedel Maringal Pricing Theorie Präsenaion zum Seminar: Warum wir falsch liegen und rozdem weiermachen Akuelle Themen in Banken und Versicherungen

2 Inhal 1. Einleiung. Maringale 3. Maringal Pricing Theorie 4. Black-Scholes-Meron-Modell 5. Vergleich der Ableiung der Black-Scholes-Formel mi PDE und Maringalansaz 6. Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen 7. Zusammenfassung Vorrag: Chrisina Riedel #

3 Einleiung Absammung Begriff Maringal : heue noch nich vollsändig geklär aus dem Französischen für einen im Reispor beim Spring- und Geländereien als Teil des Zaumzeugs verwendeen Hilfszügel -> das Besreben einer Spielsraegie, den Zufall im Zaume zu halen allegorisch für die Verdopplungssraegie im Peersburger Spiel Wichige Bedeuung als Spielsraegie beim Roulee: Versuch Verlus durch Verdopplung des Einsazes zu kompensieren besimmen Zeipunk wieder auszugleichen dabei zusäzlich einen gesicheren Gewinn zu erzielen Vorrag: Chrisina Riedel # 3

4 Maringale.1. Sochasische Grundlagen.1.1. Sochasischer Prozess.1.. Filraion.1.3. Bedinger Erwarungswer.. Definiion von Maringalen.3. Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Maringal.4. Idenifikaion seiger Maringale Vorrag: Chrisina Riedel # 4

5 Maringale Sochasische Grundlagen Sochasischer Prozess - mi Parameerraum T und dem Zusandsraum - is eine Folge von Zufallsvariablen X T X - sochasischen Prozess mi diskreer Zei: Menge der Parameer endlich oder abzählbar unendlich is - sochasischen Prozess mi seiger Zei: T is ein Inervall S Filraion sochasischer Prozess X Ν in diskreer Zei: - Mi Menge an Informaionen aus der Vergangenhei (-Vergangenhei von X) {0, 1} - heiß Filraion, wenn gil:. Ν 0 1 sochasischer Prozess X in seiger Zei: - Menge an Informaionen aus der Vergangenhei - heiß Filraion, wenn gil: mi [0,T] 0 s T s T Vorrag: Chrisina Riedel # 5

6 Maringale Sochasische Grundlagen Bedinger Erwarungswer 1. E( X 0) E X. E( E( X ) ) E( X ) mi s (Tower Law) durch Eigenschaf eines seigen Maringals -> mi s s X E( X ) r X r E( X s) E( X s) als Maringal E X X r für alle E( X r s) X s s r Vorrag: Chrisina Riedel # 6

7 Maringale - Definiion von Maringalen Diskree Zei Sochasischer Prozess X der Ε X, 0,1,, erfüll, heiß Maringal, wenn gil, dass Ν Ε X Ε( X X,, X, X ) X Ε( X X X,, X, X ) Supermaringal: Submaringal: Ε( X X,, X, X ) X Ε( X X,, X, X ) X Seige Zei Sochasischer Prozess X heiß Maringal, wenn für alle 1 n, n gil, dass 1. X bekann, gegeben. 3. Ε(,, ) bzw. Ε X X mi einer Wahrscheinlichkei von 1 für alle Auch: n Ε( X n ) n n1 1 n1 X X X X X,, X 1 n n 1 s E X E ( X ), s s Sub- bzw. Supermaringal: Ε( X ) X und bzw. Ε( X ) X und n n1 s s Ε X s Xs n Ε n1 X X s s Vorrag: Chrisina Riedel # 7

8 Maringale - Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Maringal Brownsche Bewegung - Kleine Teilchen einer Flüssigkei führen uner dem Einfluss rasch aufeinander folgender zufälliger Zusammensöße mi Nachbarparikeln eine unregelmäßige Bewegung aus - auch als Wiener Prozess bezeichne -Allgemein: Eine Brownsche Bewegung is ein Maringal mi einem Drif von null Prozess W ( W ) 1. is seig und W W0 0. is normalvereil mi W Ν(0, ) is ein Brownscher Prozess, wenn gil: 3. W W mi s is normalvereil mi Ν(0, ) und unabhängig von s s s Brownscher Prozess als Maringal Zu zeigen: mi Wir wissen: ( ) 0 und = -> Beweis: E( W ) W s s E W W W W s s s E W ) E( W E( W W ) W 0 W s s s s s s s s W W W W ( W W ) s s s Vorrag: Chrisina Riedel # 8

9 Maringale - Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Maringal Vorrag: Chrisina Riedel # 9

10 Maringale - Idenifikaion seiger Maringale Sochasische Differenialgleichung dx μ, X d ζ, X dw X N μ X ζ X mi als Brownscher Prozess, eine Familie von Zufallsvariablen Prozesse als Maringale Wir wissen: E( X ) X mi s und s is sehr klein Beweis: -> dx W X s s -> Maringal is ein sochasischer Prozess mi einem Drif von 0 & Variable X folg einem Maringal wenn ihr Prozess X, s, 0,1 Δ (, Δ ;, Δ) X X μ s X ζ s X s N error ζdw s s s diese Form ha -> Maringale sind Zufallsvariablen deren künfige Änderung, gegeben der augenblicklichen Informaion, vollsändig unvorhersehbar sind Beispiel: is ein Maringal; zu berachen: geschäze Änderung von über einem Inervall der Länge X E ( X X ) E ( X ) E ( X ) u u Wir wissen: E X = X -> E = -> = Bese Vorhersage der Änderung in über ein Inervall ( Xu) X E X X 0 u 1 X X u 0 X u 0 Vorrag: Chrisina Riedel # 10

11 Maringal Pricing Theorie 3.1. Nuzung von Maringalen zur Preissezung von Vermögensweren 3.. Doob-Meyer-Zerlegung Doop-Meyer-Theorem 3... Nuzung der Doob-Meyer-Zerlegung 3.3. Girsanov Theorem Maße und Numeraire Normalvereile Zufallsvariablen Äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß Aussage und Anwendung des Girsanov Theorems 3.4. Anwendung äquivalener Maringal-Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Umwandlung von Anlageweren in Maringale Ableiung der Black-Scholes-Lösungsformel zur Opionspreisbesimmung Vorrag: Chrisina Riedel # 11

12 Maringal Pricing Theorie - Nuzung von Maringalen zur Preissezung von Vermögensweren Wir wissen: Maringale sind Zufallsvariablen deren künfige Änderung, gegeben der augenblicklichen Informaion, vollsändig unvorhersehbar sind Aber: Akien- oder Bondpreise sind nich vollsändig unberechenbar sondern abgezinse Preise seigen über die Zei gesehen E S S μ Δ Δ -> Viele Anlagen verhalen sich also wie Sub- oder Supermaringale Aber: Umwandlung in einfache Maringale möglich! Q ru Q ru E, 0 e Su S u E e B u B -> Möglichkeien: Doob-Meyer-Zerlegung & Girsanov Theorem B E B u T u Ziel: und nüzlich um derivaive Finanzinsrumene preislich zu schäzen Vorrag: Chrisina Riedel # 1

13 Maringal Pricing Theorie 3.. Doob-Meyer-Zerlegung Doop-Meyer-Theorem 3... Nuzung der Doob-Meyer-Zerlegung Vorrag: Chrisina Riedel # 13

14 Maringal Pricing Theorie - Doob-Meyer-Zerlegung Wahrscheinlichkeien Annahmen: -Händler beobache zu verschiedenen Zeien die Preise einer finanziellen Anlage, -Kursauf-, oder abschlag während i i1 i S 0 1 k1 T k -> zu jedem Augenblick gib nur zwei Möglichkeien für gib sich zu ändern: ΔS i 1 mi Wahrscheinlichkei p 1 mi Wahrscheinlichkei 1 p -> für p = ½ -> = 0 ΔS i S Wenn nun nich gleich null is sondern > 0 ΔS i -> Nuzung der Doop-Meyer-Zerlegung: Zerlegung eines willkürlichen Prozessen in Maringal und anseigenden (oder auch fallenden) Prozess Vorrag: Chrisina Riedel # 14

15 Maringal Pricing Theorie - Doop-Meyer-Zerlegung Doop-Meyer-Theorem Sei eine Menge an Informaionen. Wenn,0 ein rechsseiges Submaringal in Bezug auf is und wenn für alle, dann läss folgende Zerlegung zu: X M A M A X = rechsseiges Maringal hinsichlich der Wahrscheinlichkei P = messbarer seigender Prozess bezüglich -> Maringal durch Abzug des beobacheen Prozesses zum Zeipunk X EX ( ) Nuzung der Doob-Meyer-Zerlegung Annahme: Wer für eine Call-Opion Zu einem früheren Zeipunk is der Wer der Call-Opion unbekann! P P Aber: Prognose möglich: E ( CT ) E (max[ S K;0] ) P Frage: Wird der Markwer von C dem diskonieren Wer von E (max S K;0 ) gleichen? rt P Sei r der risikofreie Zins zum diskonieren, so dass C e E (max S K;0 ) r -> Der Markwer kann nur der Call-Opion ensprechen, wenn ein Maringal is! P -> ( rt r ), bzw. Frage: T Maringal? Nein, Submaringal mi Aber: Mi Doob-Meyer-Zerlegung: Vorrag: Chrisina Riedel C max[ S K ;0] [0, T] T e C P r E e C C e C T T E ( e C C ) C, T ( r) e S P rt ( r) e S M A T E ( e S S ) S, T T # 15

16 Maringal Pricing Theorie 3.3. Girsanov Theorem Maße und Numeraire Normalvereile Zufallsvariablen Äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß Aussage und Anwendung des Girsanov Theorems Vorrag: Chrisina Riedel # 16

17 Maringal Pricing Theorie - Girsanov Theorem Maße und Numeraire Prozess in zwei verschiedenen Welen berachen, z.b. Akie (Beweis siehe Handou, Nr. 1): reale Wel (P-Wel): risikoneurale Wel (Q-Wel): ds μsd ζsdw ds rsd ζsdw μ r ζ Markpreis des Risikos: λ Markpreis des Risikos: 0 -> Bewegung von einer Wel mi besimmen Risikopräferenzen zu einer anderen Wel mi anderen Risikopräferenzen, dann verändern sich die erwareen Wachsumsraen in den Variablen, aber ihre Volailiäen bleiben dieselben = Maßwechsel -> Markpreis des Risikos einer Variablen besimm dabei die Wachsumsraen aller Werpapiere, die von dieser abhängen -> Wahl eines besimmen Markpreises des Risikos = Definieren des Wahrscheinlichkeismaßes Hier: Preis der Akie mi einem Bond mi seiger Verzinsung und einem risikofreien Zinssaz normier ( is der relaive Preis von bezogen auf, bzw. ein Maß für den Preis S in Einheien von B = Numeraire) θ S B -> normieren Preise uner dem risikoneuralen Maß Maringale -> Erweierung auf beliebige Numeraire, indem man zu einem gegebenen Numeraire wieder ein geeignees Wahrscheinlichkeismaß such; Maß = äquivalenes Maringalmaß S θ B Vorrag: Chrisina Riedel # 17

18 Maringal Pricing Theorie - Girsanov Theorem Beispiel: Numeraire is seig verzinses Geldmarkkono mi Wer relaive Preis der Akie S: Numeraire is ein Zerobond mi Laufzei bis T und Preis P. T relaive Preis einer Akie S: Akie: S = 100 S = 140 S = 90 Geldmarkkono: B = 1 B = B =1,1 (bei Verzinsung von r = 0,1) Zerobond: P = 0,864 P = 0,959 P = 0,877 Für die Wahrscheinlichkeimaße P: p = 0.5, Q: p = 0.4 und Q*: p = 0,3787 sind die erwareen Veränderungen: E E P Q S T S P ST E 0,5 0, ,5 BT B BT 1 1,1 1,1 S T S Q ST E 0, 4 0, BT B BT 1 1,1 1,1 -> relaive Preisprozess is ein Maringal! E Q S T S Q ST E 0,3787 0, PT P PT 0,864 0,959 0,877 S B S B S S P T Vorrag: Chrisina Riedel # 18

19 Maringal Pricing Theorie - Girsanov Theorem Normalvereile Zufallsvariablen Zufallsvariable z z ~ N(0,1) Diche f( z ) und das unerselle Wahrscheinlichkeismaß, so dass 1 z -> Formulierung einer neuen Funkion μ μ ξ( z ) e dz -> Neues Wahrscheinlichkeismaß Q durch Muliplikaion: -> Änderung des Mielweres in μ, aber gleiche Varianz! 1 ( ) 1 z dp z e dz π 1 1 dp z ξ z e dz e dz dq z π π ( z ) z μ μ z μ Äquivalenes Wahrscheinlichkeismaß Bedingung: Gegeben sei ein Inervall Qdz 0 und Pdz 0 Dann: exisier Radon-Nikodym Deriva -> beide Maße sind äquivalen dz, dann sind die Wahrscheinlichkeien genau dann umkehrbar, wenn ( ) ξz -> Wechsel zwischen Wahrscheinlichkeien P und Q möglich Vorrag: Chrisina Riedel # 19

20 Maringal Pricing Theorie - Girsanov Theorem Girsanov Theorem (exak, siehe Handou, Nr. ) Gegeben einen Wiener Prozess, die Wahrscheinlichkeisvereilung von diesem muliplizier mi mi Wahrscheinlichkeisvereilung Q Verbunden durch: dw dw dx -> Nuzung um beliebige Prozesse in Maringale zu ändern ( ) ξz ergib neuen Wiener Prozess Anwendung des Theorems zur Umwandlung eines Submaringals in ein Maringal P Q Annahme: ds weis eine zunehmende Änderung im Akienpreis auf: man ha E Ss S S will: s ds μd ζdw Diche: fs 1 πζ e 1 ζ S μ E S S S Definiion des ξs durch: ξ S e 1 1 μs μ ζ Muliplikaion: μs μ 1 S μ ζ ζ dq S ξ S dp S e e ds πζ Ergebnis: -> ds 1 1 S ζ dq S e ds πζ ζdw = Wahrscheinlichkeismaß mi normalvereilen Prozess mi Drif null und Sreuung ζ Vorrag: Chrisina Riedel # 0

21 Maringal Pricing Theorie 3.4. Anwendung äquivalener Maringal-Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Umwandlung von Anlageweren in Maringale Ableiung der Black-Scholes-Lösungsformel zur Opionspreisbesimmung Vorrag: Chrisina Riedel # 1

22 Maringal Pricing Theorie - Anwendung äquivalener Maringal- Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Umwandlung von Anlageweren in Maringale Gegeben: is ein seiger Prozess (genereller Wiener Prozess) mi Y bzw. ; gegeben ~ N μ, ζ Δ Y ~ N μ s, ζ s Y0 is ein geomerischer Prozess Y mi S als Sarpunk von Y S 0 S S e 0 Bedinge Erwarung eines geomerischen Prozesses: Verhalen der Anlage bezogen auf die wahre Wahrscheinlichkei P: S E( S S, u ) S e u u 1 μs ζ ( s) E P ( e r S S, u ) e r S u u Wir wollen: E Q ( e r S S, u ) e r S u u Lösung: Definiion eines allgemeinen Maßes Q uner Bedinge Erwarung kann man schreiben als: Definieren von ρ : Q r( u) -> -> Q r ru ru -> uner Q ein Maringal! N ρ, ζ 1 ρu ζ ( u) Q r( u) r( u) ( u, ) u E e S S u S e e 1 ρ r ζ E ( e S S, u ) S E ( e S S, u ) e S e S u u u u u Vorrag: Chrisina Riedel #

23 Maringal Pricing Theorie - Anwendung äquivalener Maringal- Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Ableiung der Black-Scholes-Lösungsformel zur Opionspreisbesimmung Variablen: Akienpreis, Basis- bzw. Srikepreis, Preis für eine europäische Call-Opion C ; Ablaufdaum S K Q r Basis: T r mi als Maringal uner dem Maß Q C E ( e C ) T e C Randbedingung: CT max ST K,0 r -> die Eigenschaf von e C Q rt ergib: C E e max S K,0 T T T Wir wollen: Black-Scholes-Lösungsformel zur Opionspreisbesimmung Lösung: Erwarung direk berechnen Zunächs Vereinfachung: wird zu -> Q rt = 0 C E e S K 0 max T,0 rt C0 e max ST K,0 dq. Mi Ergebnissen aus vorherigen Kapieln: Y r ζ T ζt dq e dy T πζ T mi ST S e 0 YT C e max S e K,0 e dy T πζ T Y r ζ T rt Y -> T ζt Y -> mi S e T K bzw Y T log K S0 -> Vorrag: Chrisina Riedel Y r ζ T rt YT ζt 0 0 K πζ T log S0 C e S e K e dy T # 3

24 Maringal Pricing Theorie - Anwendung äquivalener Maringal- Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Teilung des Inegrals in Teile: Y r ζ T 1 Y r ζ T rt YT ζ T rt ζ T 0 0 T K K πζ T log log S0 S0 C S e e e dy Ke e dy T Neue Variable x: x 1 Y ζ r T ζ bzw. log S x K 1 ζ 0 ζ r -> Korrekur der uneren Grenze der Inegrale (=l): log S l K 1 ζ 0 ζ r. e r ( r ζ ζ x) x / -> Term 1: Term : π l e S dx 0 e 1 e r π x / l e K dx Vorrag: Chrisina Riedel # 4

25 Maringal Pricing Theorie - Anwendung äquivalener Maringal-Maße zur Besimmung von Anlagepreisen Term : Mi Eigenschaf von Sandard-Normalvereilungen -> Term 1: Mi Hilfe der Subsiuion: -> l l f ( x) dx f ( x) dx S0 1 l log 1 ζ r / r x r r K r Ke e dx Ke N l Ke N Ke N d π ζ x x ζ S0 1 r log / 1 ζ r e / x r x K ( 1) e S e d x S e d x S N S N d π lζ lζ π ζ -> Preis einer Call-Opion: r C S N d Ke N d 0 1 mi 0 1 log S K d 1 ζ r ζ und d 0 1 log S K ζ r ζ Vorrag: Chrisina Riedel # 5

26 Black-Scholes-Meron-Modell 4.1. Grundlagen des Basismodells von Black, Scholes und Meron 4.. Die Black-Scholes-Meron- Differenialgleichung 4.3. Lösung der Black-Scholes-PDE Vorrag: Chrisina Riedel # 6

27 Black-Scholes-Meron-Modell - Grundlagen des Basismodells von Black, Scholes und Meron Black, Scholes und Meron modellieren in ihrem Ansaz die Akienkursbewegung über einen geomerischen Brownschen Prozess Annahmen: 1. Das logarihmiere Verhälnis der Akienkurse bzw. die Akienrendien is/sind normalvereil. Die momenane Varianz is konsan. Opionen und Akien werden sändig gehandel 3. Der Kapialmark is vollkommen und vollsändig 4. Die Ausübung der Opionen können nur an einem besimmen Termin durchgeführ werden, deswegen werden ausschließlich europäische Opionen berache 5. Während der Laufzei der Opion fallen auf die zugrunde liegenden Akien keine Dividendenzahlungen an Klassische Formeln: Call-Opion: r r C S N d Ke N d Pu-Opion: P Ke N d S N d mi 0 1 log S K d 1 ζ r ζ und 0 1 log S r ζ K d d 1 ζ ζ Vorrag: Chrisina Riedel # 7

28 Black-Scholes-Meron-Modell - Die Black-Scholes-Meron- Differenialgleichung Annahmen: 1. Bei vollsändiger Verwendung der resulierenden Einnahmen is ein Leerverkauf von Werpapieren möglich.. Es gib weder Transakionskosen noch Seuern. Alle Werpapiere sind ohne Einschränkung eilbar und ein Handel mi ihnen finde forlaufend sa. 3. Es gib während der Laufzei des Derivaes keine Dividendenzahlungen. 4. Es exisieren keine risikolosen Arbiragemöglichkeien. 5. Der risikolose Zinssaz r is für alle Laufzeien idenisch und konsan. Grundlage des Black-Scholes-Ansazes: Akienkurs mi geomerischer Brownschen Bewegung: ds μsd ζsdw Ziel: Konsrukion eines risikolosen Porfolios Idee: Benuze die posiive Korrelaion zwischen eines Call-Opion und dessen Underlying Ansaz: Wahl eines geeigneen Porfolios mi Shor-Posiion in einem Deriva sowie eine Long-Posiion mi der Inhaber des Porfolios ha ein Deriva leerverkauf und C Akien gekauf -> der Wer des Porfolios is gegeben durch: -> die Weränderung des Porfolios is gegeben durch: C S Π C S S ΔΠ Δ C C ΔS S C S Akien bzw. Vorrag: Chrisina Riedel # 8

29 Black-Scholes-Meron-Modell - Die Black-Scholes-Meron- Differenialgleichung Der Preis einer Akienopion is eine Funkion des Preises der zugrunde liegenden Akie und der Zei Mi Iôs Lemma (Deails siehe Handou, Nr. 3) & der Grundlage des Black-Scholes-Modells folg: C C 1 C C dc μs ζ S² d ζsdw S S S Zur weieren Berechnung benöig man folgende diskree Gleichungen: 1. ΔS μsδ ζsδw. C C 1 C C Δ C μs ζ S² Δ Δ ζs W S S S -> einsezen von 1. und. in -> ΔΠ ΔΠ C 1 C ² Δ ζ S S Porfolio muss denselben Errag wie weiere kurzfrisige risikolose Anlagen erzielen um Arbiragemöglichkeien auszuschließen! -> ΔΠ rπδ C 1 C C S S S S C C 1 C -> ζ S² Δ Δ r C S -> rs ζ S² rc = Black-Scholes-PDE Vorrag: Chrisina Riedel # 9

30 Black-Scholes-Meron-Modell - Lösung der Black-Scholes-PDE Basis: Black-Scholes-PDE ha zahlreiche Lösungen, je nachdem welches Deriva man mihilfe von S als zugrundeliegende Variable definier. Um eine spezielle Lösung für ein Deriva zu erlangen, muss man die ensprechenden Randbedingungen definieren, welche die Were an den Grenzen des Derivas besimmen. Für eine europäische Kaufopion laue sie: C max S K,0 Vorgehen zur Lösung der Differenialgleichung: Zunächs Vereinfachung: bzw. S e Z Z Einsezen in PDE und Umschreibung: logs C 1 C 1 C r ζ ζ rc Z Z Weiere Vereinfachung: Nich die akuelle Zei beeinfluss den Preis der Opion, sondern die Summe der vergangenen Zei D 1 D 1 D ( r) Und mi C e D erhäl man: r 0 Z Z 1 Eliminierung des ersen Terms: Mielwer von Z zum Zeipunk is Z0 r ζ -> D η 1 D y -> ζ = eindimensionale Wärmeleiungsgleichung Nach der Überleiung in ein Inegralgleichungsproblem und Einsezung der Randbedingung (Basis) erhäl man: S 1 log r ζ T log r ζ T r( T ) K C SN d1 Ke N d d1 K d ζ ζ T Vorrag: Chrisina Riedel y Z r ζ S 1 η T # 30

31 Vergleich der Ableiung der Black-Scholes-Formel mi PDE und Maringalansaz 5.1. Äquivalenz der beiden Ansäze 5.. Ergebnis des Vergleichs Vorrag: Chrisina Riedel # 31

32 Vergleich der Ableiung der Black-Scholes-Formel mi PDE und Maringalansaz - Äquivalenz der beiden Ansäze Umformung von in ein Maringal Akienpreis folg der sochasischen Differenialgleichung: ds μ( S ) d ζ( S ) dw mi [0, ) -> Vereinfach: r Berechnung der SDG durch mi Hilfe von Iô s Lemma -> -> d( e r S ) e r ( μ rs ) d e r ζ dw -> kein Drif von null! -> kein Maringal Aber: mi Girsanov Theorem -> Mi Markpreis des Risikos: -> Umformung von r e S r r d( e S ) e ζ dw r e C in ein Maringal e S d( e r S ) S d( e r ) e r ds Wie oben, dann erhäl man für ein vereinfaches Verhalen von Derivaen: Durch Ausausch von dc mi Hilfe von Iô s Lemma -> ( ) r r r Mi ds μ d ζ dw -> ( ) ( ) r r d( e S ) e μ rs r r d e ζ dw e ζ dx μ S dx d ζ ds μ d ζ dw d( e r C ) ( r ) r d e C e dc 1 r r r C C C d e C e rcd e d ds ζ d S S C C 1 C S S d e C e rcd e d μ d ζ dw ζ d -> d( e C ) e rc C C μ 1 ζ C d e ζ C dw r r r S S S Vorrag: Chrisina Riedel # 3

33 Vergleich der Ableiung der Black-Scholes-Formel mi PDE und Maringalansaz - Äquivalenz der beiden Ansäze & Ergebnis Girsanov Theorem: dw dw dx Markpreis des Risikos: dx μ S d ζ -> d( e C ) e rc C C μ 1 ζ C d e ζ C d W e ζ C dx r r r r S S S S r Dami ein Maringal uner W und Q, muss Driferm null sein: e C rc rs ζ 0 C C 1 C S S -> r r C d( e C ) e ζ dw S Ergebnis des Vergleichs - gewisse Äquivalenz zwischen dem Maringalansaz für die Preissezung von Derivaen und dem PDE - Der Maringalansaz beeinhale die gleiche sochasische Differenialgleichung wie der PDE-Ansaz - Aber beim Ansaz mi dem Maringal is die sochasische Differenialgleichung (Black-Scholes-Differenialgleichung) eine Konsequenz aus einer risikoneuralen Preissezung, währenddessen bei der PDE-Mehode man mi der Differenialgleichung beginn, um risikofreie Preise zu erhalen Vorrag: Chrisina Riedel # 33

34 Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen 6.1. Einführung in die Mone-Carlo-Simulaion des Kapialweres 6.. Der Maringale Ansaz in der MC-Simulaion Vorrag: Chrisina Riedel # 34

35 Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen - Einführung in die Mone-Carlo-Simulaion des Kapialweres Risikoanalyse von Invesiionsprojeken: - deerminisische Techniken, z.b. Fehleranalyse oder sochasische Mehoden, z.b. Mone-Carlo-Simulaion des Kapialweres - Annahme von Wahrscheinlichkeisvereilungen für die Parameer für jede Periode des Projekes -> Berechnung von Wahrscheinlichkei, dass KW posiiv - Annahme jedoch zu unrealisisch für einige Parameer -> Modellierung der Enwicklung der Parameer als Maringal mi schrumpfenden Varianzfehlerermen Beispiel - Bewerung einer neue Produkionsechnologie, die versprich, die variablen Sückkosen zu senken - Vergleich der diskonieren Were der gesparen Kosen mi dem Preis, das das Invesmen kose - Berachung der Sückkosen über die Dauer des Projekes -> Anfängliches Schwanken der Sückkosen, dann Ausgleich -> Simulaion einer Zeireihe der Sückkosen (eine für jede Periode der Invesiionslaufzei) -> Umwandlung der Zeireihe in eine diskoniere Koseneinsparungsieraion -> Nuzung zur Berechnung der WK dass der diskoniere Wer der Einsparung die Anfangsinvesiion überseig Vorrag: Chrisina Riedel # 35

36 Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen - Einführung in die Mone-Carlo-Simulaion des Kapialweres Verschiedene Mehoden zur Generierung der Zeireihen der Sückkosen, abhängig von Erwarung des Analysen: 1. perfeke Korrelaion. keiner Korrelaion -> unrealisische Zeireihen & unerschiedliche Varianzen des Kapielwers -> andere WK, dass KW posiiv! 3. Modellierung der Zeireihe als Maringal mi einem zusäzlichen Fehlererm mi schrumpfender Varianz -> realisischere Zeireihe & über den Verlauf des Projeks hinweg wird die Unsicherhei beseiig -> A priori weiß der Analys nich wie sich die langfrisigen Kosen niederschlagen, aber er kann sicher sein, dass sie sich, wenn das Projek forschreie, ausgleichen Vorrag: Chrisina Riedel # 36

37 Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen - Der Maringale Ansaz in der MC-Simulaion Annahme: unsicherer Parameer, hier variable Sückkosen, als ein Vekor von Zufallsvariablen: X X, X, X, X 1 3 n Mone-Carlo-Ieraion des Vekors: i i i 1. Seze, mi als die bese Schäzung von X und sei ε NV mi Mielwer 0 und Varianz. Seze die verbleibenden Elemene der Zeireihe gleich i i i i, wobei NV mi Mielwer 0 und Varianz mi X1 X ε1 X 1 0δ 1 X X1 ε ε1 als Geschwindigkei der Unsicherheisauslösung des Parameers -> Mi schrumpf Fehlervarianz bis die paramerische Zeireihe sich in einem langfrisigen Wer fessez 0δ 1 ζ ζ ζ δ ζ 1 Vorrag: Chrisina Riedel # 37

38 Maringale als Grundlage für Mone-Carlo-Simulaionen - Der Maringale Ansaz in der MC-Simulaion Mi dem Ansaz der Maringale is der langfrisige Wer von unsicher und seine Vereilung ensprich folgender Aussage : X Wenn X mi der Maringal-Mehode erzeug wird, dann is X normalvereil mi den Parameern E X X und Var X ζ Voreil: 1 δ 1 δ - Ergebnis realisischer Parameer - Leiche Implemenierung in Compuerprogramme Vorrag: Chrisina Riedel # 38

39 Zusammenfassung - In seiger Zei is ein Maringal, wenn Ε für alle X s s - Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Maringal X X s - Ein Maringal is ein sochasischer Prozess mi einem Drif von null is - eine Variable X folg einem Maringal, wenn ihr Prozess die Form dx ζdw ha und ihre künfigen Bewegungen nich vorhersehbar sind - Maringale spielen eine zenrale Rolle bei der Bewerung von Derivaen - Viele Anlagen verhalen sich wie Submaringale -> abgezinse Preise seigen über die Zei - Möglichkeien um Submaringale in Maringale umzuwandeln: Doob-Meyer-Zerlegung & Girsanov Theorem - Girsanov: komplexer aber nüzlicher: ansa wie bei der Doob-Meyer-Zerlegung das Submaringal direk zu ändern, wird Wahrscheinlichkeisvereilung so ransformier, das uner dem neuen Wahrscheinlichkeismaß Q ein Maringal wird r e S - Besimmung eines neuen Wahrscheinlichkeismaßes auf Aren: 1. Suchen einer neuen Funkion ξz bei deren Muliplikaion mi dem Wahrscheinlichkeismaß P mi ihrer Funkion eine neue Wahrscheinlichkei Q erziel wird. Neues Maß Q mi N ρ, ζ definieren mi ρ als einzigen Unerschied zwischen P und Q -> Besimmung von ρ so, dass die Erwarung bezüglich Q der Maringalen Eigenschaf folg - Anwendung des äquivalenen Maringalmaßes zur Berechnung des Preises für europäische Opionen e r S Vorrag: Chrisina Riedel # 39

40 Zusammenfassung r - Black-Scholes-Formel: C S0N d1 Ke N d - Formel berechenbar: mi Maringalansaz oder Lösen der Black-Scholes-PDE - Beide Ansäze enhalen die gleiche sochasische Differenialgleichung - Unerschied: Black-Scholes-Differenialgleichung im Maringalansaz is eine Konsequenz von einer risikoneuralen Preissezung und beim PDE-Mehode beginn man mi der Differenialgleichung um risikofreie Preise zu erhalen - Maringale auch nüzlich bei der Mone-Carlo-Simulaionen um zum Beispiel bei Invesiionsprojeken die Wahrscheinlichkei zu errechnen, dass der Kapialwer posiiv is Vorrag: Chrisina Riedel # 40

41 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkei! Vorrag: Chrisina Riedel # 41