Stochastische Analysis und Finanzmathematik

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1 Sochasische Analysis und Finanzmahemaik Prof. Dr. Jan Kallsen HVB-Sifungsinsiu für Finanzmahemaik TU München 4. Sepember 6

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhalsverzeichnis Einführung 4. Beispiel: Forward-Geschäf Beispiel: europäische Call-Opion Sochasische Analysis in diskreer Zei 7. Diskree Zei Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P Filrierung F =,,, Bedinge Erwarung einer Zufallsvariablen X Sochasischer Prozess X = X =,,, Maringal Sochasisches Inegral H X Eigenschafen Sochasisches Exponenial EX Doob-Zerlegung Irrpfad Maringal-Darsellung Sochasische Analysis in seiger Zei 4 3. Sochasischer Prozess X = X Sochasisches Inegral H X = H s dx s Eigenschafen Sochasisches Exponenial EX Doob-Meyer-Zerlegung Lévy-Prozess Brownsche Bewegung Geomerische Brownsche Bewegung Iô-Prozess Rechenregeln für Iô-Prozesse Arbirageheorie in diskreer Zei 4. Beispiel Selbsfinanzierende Handelssraegien Abzinsen Erser Fundamenalsaz der Preisheorie Beweren und Hedgen von Termingeschäfen Zweier Fundamenalsaz der Preisheorie Beispiele Werpapiere mi Dividenden Arbirageheorie in seiger Zei 3 5. Beispiel Begriffe analog zum Diskreen vgl. Abschni Erser Fundamenalsaz der Preisheorie Beweren und Hedgen von Termingeschäfen

3 INHALTSVERZEICHNIS Zweier Fundamenalsaz der Preisheorie Black-Scholes-Modell Ausblick: unvollsändige Märke Bewerung Hedging Zinsmodelle Zugrunde liegende Werpapiere Verschiedene Zinsen Verschiedene Zinspapiere Aspeke der Zinsmodellierung Numeraireansaz zur Bwerung von Zinsopionen Shor-Rae-Modelle Allgemeines Modell Affine Zinssrukur Beispiele affiner Shor-Rae-Modelle Allgemeines affines Shor-Rae-Modell Vasiček Cox-Ingersoll-Ross Ho-Lee Hull-Whie erweieres Vasiček Ein affines Zwei-Fakor-Modell Heah-Jarrow-Moron Ansaz Saz Arbiragefreihei Beispiel: Vasiček/Hull-Whie-Modell uner ÄMM Q vgl Bewerung/Hedging von Bond-Opionen LIBOR-Markmodelle 56. Neue Aspeke Diskrees lognormales LIBOR-Markmodell Bewerung von Caples Grafiken 58. Markmodelle und Daen Black-Scholes Vasiček-Zinsmodell

4 EINFÜHRUNG 4 Einführung Zwei zenrale Fragen: Bewerung redundaner Werpapiere Absicherung des aus Werpapiergeschäfen ensehenden Kursrisikos Zwei zenrale Hilfsmiel: duplizierende Porfolios Abwesenhei von Arbirage. Beispiel: Forward-Geschäf Kunde möche $ in einem Jahr =Zeipunk T zu heue =Zeipunk fesgelegem Kurs F e kaufen. Frage Welcher Kurs F is fair? Wie sicher die Bank das ensehende Kursrisiko ab? Voraussezungen Am Mark gehandel sind bei T fällige Nullkuponanleihen auf $; deren Kurs in e zum Zeipunk sei D, bei T fällige Nullkuponanleihen auf e; deren Kurs in e zum Zeipunk sei E. keine Arbiragemöglichkeien risikolose Gewinne am Mark Erselle Porfolio zum Zeipunk : - Kaufe T-$-Nullkuponanleihe; Kosen: D - Verkaufe D E T-e-Nullkuponanleihen; Kosen: D E E = D Behaupung D E is der einzige faire Forwardpreis in dem Sinne, dass keine Arbiragemöglichkeien ensehen. Das obige so genanne duplizierende Porfolio beseiig das Kursrisiko der Bank.

5 EINFÜHRUNG 5 Begründung Cashflows Porfolio Forwardgeschäf Käufer Zeipunk +D D = e e Zeipunk T +$ +$ D E e F e Annahme: F < D E Dann: Kaufe Forward, verkaufe Porfolio risikoloser Gewinn D E F e bei T Annahme: F > D E Dann: Verkaufe Forward, kaufe Porfolio risikoloser Gewinn D E + F e bei T Bei F = D E : Gewinne/Verluse des verkaufen Forwards werden durch das duplizierende Porfolio genau ausgeglichen.. Beispiel: europäische Call-Opion Sillhaler erhäl das Rech, Akie S zum Zeipunk T Fälligkei zum Preis Basispreis zu kaufen; d.h. er erhäl max, S T zum Zeipunk T. Fragen Fairer Preis C dieses Verrags zum Zeipunk? Wie sicher die Bank als Verkäufer das ensehende Kursrisiko ab? Voraussezungen Am Mark gehandel sind die Akie S, bei T fällige Nullkuponanleihen auf e; deren Kurs zum Zeipunk sei,99. keine Arbiragemöglichkeien am Mark ganz einfache Kursenwicklung der Akie: S = S T = mi Wahrscheinlichkei,6 S T = 9 mi Wahrscheinlichkei,4

6 EINFÜHRUNG 6 Ziel Erselle duplizierendes Porfolio, d.h. mi Wer max, S T bei T. φ Anleihen, φ Akien Wer des Porfolios:, 99φ + φ φ + φ φ + 9φ V V T Opion V T = max, S T gil für φ = 45, φ =, 5. Cashflow Porfolio Opion Zeipunk V =, 99φ + φ = 5, 45e C Zeipunk T V T max, S T Wie im Forward-Fall folg: C = 5, 45e is der einzige faire Preis der Opion. Durch den Kauf des Porfolios beseiig die Bank das Kursrisiko aus dem Verkauf der Opion vollsändig. Bemerkungen Wahrscheinlichkeien gehen nich in das Ergebnis ein. Im Gegensaz zum Forward is die Annahme eines unrealisischen Kursverlaufsmodells nöig.

7 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT 7 Sochasische Analysis in diskreer Zei. Diskree Zei. Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P Ω: Menge der möglichen Ausgänge of absrak F: σ-algebra P = uner abzählbaren Mengenoperaionen,, usw. abgeschlossene Familie von Mengen A Ω Wahrscheinlichkeismaß P A = Wahrscheinlichkei des Ereignisses A F.3 Filrierung F =,,,... wachsende Folge von σ-algebren auf Ω, d.h. F F F F. Idee: F seh für die zum Zeipunk vorhandene Informaion. A F bedeue: Zur Zei is bekann, ob Ereignis A einri oder nich..4 Bedinge Erwarung einer Zufallsvariablen X Formal: EX F is F -messbare Zufallsvariable, so dass EXY = EEX F Y für alle F -messbaren Zufallsvariablen Y. Idee: EX F is der erwaree Mielwer von X auf Grundlage der Informaion zum Zeipunk..5 Sochasischer Prozess X = X =,,,... Folge von Zufallsvariablen = zufällige Folge von Zahlen Beispiel: X Kurs eines Werpapieres zur Zei oder X Zahl der Werpapiere im Porfolio zur Zei..5. Adapierer Prozess X heiß adapier, falls X F -messbar. Idee: X is zum Zeipunk bekann z.b. Akienkurs.5. Vorhersehbarer Prozess X heiß vorhersehbar, falls X F -messbar. Idee: X is schon kurz vor bekann z.b. Zahl der Werpapiere im Porfolio, da Anruf beim Makler nowendig

8 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT 8.6 Maringal Ein adapierer Prozess X heiß Maringal, falls EX F s = X s für s. Idee: Bese Prognose für zukünfigen Wer X zum gegenwärigen Zeipunk s is gegenwäriger Wer X s. Prozess bleib im Miel auf heuigem Sand. Beispiel: Spielvermögen in einem fairen Spiel Beispiel: Z Zufallsvariable X := EZ F Maringal von Z erzeuges Maringal denn EX F s = EEZ F F s = EZ F s = X s.7 Sochasisches Inegral H X Seien X ein adapierer Prozess, H ein vorhersehbarer Prozess. Das sochasische Inegral H X = H X =,,,... is der durch H X := H s X s mi X s := X s X s s= definiere adapiere Prozess. Idee: H X Zahl der Werpapiere zum Zeipunk Handelssraegie/Porfolio Akienkurs zum Zeipunk Kursänderung von X auf X - Wahl von H H X H X Kursgewinn bzw -verlus zwischen und kumuliere Kursgewinne zwischen und Allgemeiner H, X R d -werig, H X reellwerig definier durch H X := s= Hs X }{{} s Skalarproduk = s= i= d Hs X i s i

9 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT 9 Idee: X = X,..., X d Kurse von d Werpapieren H = H,..., H d Porfolio aus d Werpapieren H X = d = Hi X i Saldo der Kursgewinne/-verluse aus allen Papieren zwischen und.8 Eigenschafen. X Maringal H X Maringal in der Regel Idee: Akie X wirf im Miel keine Gewinne/Verluse ab Dies gil auch für dynamische Handelssraegien. Begründung für s = :. H K X = HK X Begründung 3. Parielle Inegraion EH X F = EH X + H X F H K X = = H X + EH X F = H X + H E X F }{{} = = H X = H s K X s s= H s K s X s s= = HK X XY = X Y + Y Y + Y X + [X, Y ] wobei der Prozess X = X =,,,... definier is durch X := X und X = und der Kovariaionsprozess [X, Y ] = [X, Y ] =,,,... definier is durch [X, Y ] := X s Y s s= für X = Y quadraische Variaion von X

10 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT Begründung X Y = X Y + = X Y + X s Y s X s Y s s= Xs Y s Y s + s= Y s X s X s + X s X s Y s Y s = X Y + X Y + Y X + [X, Y ] 4. [H X, K Y ] = HK [X, Y ] Begründung [H X, K Y ] = = = H X s K Y s s= H s X s K s Y s s= H s K s [X, Y ] s= = HK [X, Y ] 5. Iô-Formel Sei f : R R zweifach seig differenzierbare Funkion. fx = fx + fx s fx s s= = fx + fx X + f X [X, X] + Res wobei Res = fx s fx s f X s X s f X s X s s= Idee: Res is klein, falls die Zuwächse X klein sind Taylorsche Näherung. Begründung f X X = f X [X, X] = f X s X s s= s= f X s [X, X] s }{{} = X s

11 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT.9 Sochasisches Exponenial EX Sei X ein adapierer Prozess. Die Gleichung Z = + Z X besiz eine eindeuige Lösung Z, das sochasische Exponenial EX := Z. Es gil: EX = + X s s= exp X X [X, X] falls Zuwächse X klein. Idee: Z = Z X bedeue, dass die Zuwächse von Z proporional vom gegenwärigen Wer abhängen. Begründung mi Indukion Z = Z + Z X = + X s + X = s= + X s s= In der Näherung o X s = gil: exp X X [X, X] = = = s= s= exp X s exp X s + X s + X s + o X s X s + o X s + X s + X s X s + o X s s= + X s = EX s=. Doob-Zerlegung Die meisen adapieren Prozesse X lassen sich eindeuig zerlegen in der Form X = X + M + A, wobei M Maringal mi M = und A vorhersehbar mi A =. A heiß Kompensaor oder Drif von X.

12 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT Begründung X = X + = X + X s s= X s E X s F s + s= } {{ } M E X s F s s= } {{ } A M Maringal, denn E M F = E X F EE X F F = Idee: A seh für den erwareen Trend von X zwischen und, M für die zufällige Abweichung von diesem Trend.. Irrpfad Ein Sandard-Irrpfad sei ein adapierer Prozess X mi a X = b X unabhängig von F d.h. von der Vergangenhei c P X = = P X = = Idee: Folge von Münzwürfen, addiere/subrahiere bei Kopf/Zahl. Maringal-Darsellung Seien X Sandard-Irrpfad und F =,,... die von X erzeuge Filrierung d.h. aller Zufall im Modell resulier aus der Münzwurffolge. Dann gib es für jedes Maringal M ein vorhersehbaren Prozess H mi M = M + H X d.h. alle Maringale sind sochasische Inegrale nach X. Idee: Jede zufällige Auszahlung Z = M T läss sich mi Anfangskapial M und Handelssraegie H als Endkapial Z = M + H X T bei T erhalen.

13 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN DISKRETER ZEIT 3 X M H=, H=,, H=,9, 9 H=,, H=,99, 99 H=,99, 99 H=,8, 8 3, 33, 89, 89, 89, 89, 89, 89 3, 79

14 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 4 3 Sochasische Analysis in seiger Zei wie bisher: Wahrscheinlichkeisraum Ω, F, P mi Filrierung F jez in seiger Zei 3. Sochasischer Prozess X = X Familie von Zufallsvariablen = zufällige Funkionen der Zei X heiß seig bzw. càdlàg, von endl. Variaion,..., falls X ω seig bzw. càdlàg, von endl. Variaion,... für feses ω. càdlàg: rechsseiig seig mi linksseiigen Grenzweren von endlicher Variaion: Der Graph der Funkion ha als Kurve im R endliche Länge bis zu jedem. Beispiel: seig differenzierbare Funkionen Gegenbeispiel: Brownsche Bewegung X heiß adapier, falls X F -messbar d.h. bei bekann. X heiß vorhersehbar, falls X kurz vor bekann mahemaische Definiion is schwierig. Ein adapierer càdlàg-prozess heiß Maringal, falls EX F s = X s für s. 3. Sochasisches Inegral H X = H s dx s Seien X adapierer càdlàg-prozess Akienkursverlauf, H vorhersehbarer Prozess Zahl der Akien im Porfolio = Handelssraegie. Ziel Definiion des sochasischen Inegrals H X = H X kumuliere Handelsgewinne/verluse bis Sinnvolle Eigenschafen a Für H = Y ]r,s] mi F r -messbarer Zufallsvariable Y kaufe Y Akien bei r, verkaufe alle wieder bei s is H X = Y X mins, X maxr,. b H X is linear in H. c H X is seig in H d.h. H n H punkweise H n X H X sochasisch. Allgemeine Theorie sochasischer Prozesse Für eine große Klasse von Prozessen X Semimaringale und eine große Klasse von Inegranden u.a. alle beschränken exisier genau eine solche Abbildung.

15 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 5 Schreibweisen H X = H sdx s Sa Y = H sdx s oder wegen dy s = dy s = Y Y dy s = H sdx s schreib man auch dy s = H s dx s sinnvoll nach Wiedereinführen der Inegralzeichen. Anderer Zugang: Sieljes-Inegraion Handelsgewinne im Inervall [, + d]: H dx, wobei dx Kursänderung zwischen und + d. Falls X differenzierbar mi Ableiung Ẋ = dx d, gil dx = X d. Definiere also H X = H sdx s := H sx s ds Sieljes-Inegral. Problem Wichigser Prozess Brownsche Bewegung is nich differenzierbar, nich einmal von endlicher Variaion Sieljes-Inegral nich definier. Allgemeiner H, X R d -werig, H X = H sdx s reellwerig definier durch H X = d H i X i i= Kursgewinne/-verluse aus ganzem Porfolio 3.3 Eigenschafen. X Maringal H X Maringal in der Regel. H K X = HK X differeniell geschrieben: H K dx = H K dx 3. parielle Inegraion XY = X Y + X Y + Y X + [X, Y ] wobei der Prozess X = X def. is durch X := lim s X s und der Kovariaionsprozess [X, Y ] = [X, Y ] definier is durch [X, Y ] = lim n k= n X k n X k für X = Y quadraische Variaion von X 4. [H X, K Y ] = HK [X, Y ] n Y k n X k n

16 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 6 5. Iô-Formel Seien X seig, f : R R zweifach seig differenzierbare Funkion. fx = fx + f X X + f X [X, X] d.h. dfx = f X dx + f X d[x, X] vgl. Keenregel dfx d Mehrdimensional = f X dx d Seien X R d -werig und seig, f : R d R zweifach seig differenzierbar mi pariellen Ableiungen f,..., d f und zweifachen Ableiungen ij f. fx = fx + d i fx X i + i= d ij fx [X i, X j ] i,j= bzw. dfx = d i= ifx dx i + d i,j= f ijx d[x i, X j ] 6. H X und [X, Y ] = [Y, X] sind linear in X 7. H X =, H X X = H X 8. X differenzierbar mi Ableiung Ẋ s H dx = H Ẋ d }{{} Lebegue Inegral s 9. X seig, X oder Y von endlicher Variaion [X, Y ] =. [X, Y ] is von endlicher Variaion; ferner seig, falls X oder Y seig. 3.4 Sochasisches Exponenial EX Sei X ein Semimaringal. Die Gleichung Z = + Z X d.h. Z =, dz = Z dx besiz eine eindeuige Lösung Z, das sochasische Exponenial EX := Z. Für seiges X gil EX = exp X X [X, X].

17 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 7 Begründung Iô-Formel für Y = X X [X, X] und fx = e x Für Z = e Y gil: dz = de Y = e Y dy + ey d[y, Y ] dy = dx X d[x, X] [Y, Y ] = [ [X, X] X, X ] [X, X] }{{ } von endl. Variaion und seig = [X, X] = dx d[x, X] [ + X + [X, X], X ] }{{ } [X, X] ebenso dz = Z dx Z d[x, X] + Z d[x, X] = Z dx 3.5 Doob-Meyer-Zerlegung Viele Semimaringale X lassen sich eindeuig zerlegen in der Form X = X + M + A, wobei M Maringal mi M = und A vorhersehbar, von endl. Variaion und A =. A heiß wieder Kompensaor oder Drif von X. 3.6 Lévy-Prozess Ein Lévy-Prozess Prozess mi unabhängigen, saionären Zuwächsen is ein Semimaringal X mi: a X =, b X X s is unabhängig von F s für s, c die Vereilung des Zuwachses X X s häng nur von s ab. Idee: X ha konsanes Wachsumsverhalen in sochasischem Sinne; sochasisches Analogon der linearen Funkion. 3.7 Brownsche Bewegung Ein Lévy-Prozess X heiß Sandard-Brownsche Bewegung Wiener-Prozess, falls X N, -vereil für.

18 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 8 Eigenschafen Sei W eine Sandard-Brownsche Bewegung. a W is ein Maringal. Begründung b W is seig. c [W, W ] = Es gil sogar: EW F s = W s + EW W s F s = W s + EW W s = W s + EW s W = W s + EW s SBB = W s + = W s X seiges Maringal mi X = und [X, X] = X Sandard-Brownsche Bewegung d Die Vereilung von W is eindeuig besimm Wiener-Maß. e Girsanow Sei Q ein weieres Wahrscheinlichkeismaß mi Dicheprozess EN für ein Maringal N. d.h. E dq dp F = EN, d.h. QA = A EN dp für alle A F. Dann is W := W [W, N] eine Sandard-Brownsche Bewegung bzgl. Q. f Maringal-Darsellungssaz vgl. Irrpfade Sei F die von W erzeuge Filrierung d.h. aller Zufall komm von W. Dann gib es für jedes Maringal M einen vorhersehbaren Prozess H mi M = M + H W d.h. alle Maringale sind sochasische Inegrale nach X. g Für vernünfige Inegranden H gil: i ii Begründung i E H s dw s = Var H s dw s = E Hs ds EH W = EH W =, da H W Maringal

19 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT 9 ii Var H s dw s = EH W nach i par. Ineg. = EH W H W + [H W, H W ] = + EH [W, W ] = E Hs ds Warum Brownsche Bewegung? Saz Jeder seige Lévy-Prozess is von der Form X = µ + σw mi Konsanen µ, σ und einer Sandard-Brownschen Bewegung W Brownsche Bewegung mi Drif. 3.8 Geomerische Brownsche Bewegung Idee: Bei Akienkursen sind eher die relaiven Zuwächse konsan. Z heiß geomerische Brownsche Bewegung, falls eine der folgenden äquivalenen Eigenschafen gil:. a Z =, b Z Z s is unabhängig von F s für s, c die Vereilung von Z Z s häng nur von s ab, d Z is seig.. Z = e X für eine Brownsche Bewegung mi Drif X. 3. Z = E X für eine Brownsche Bewegung mi Drif X. Zusammenhang: i X = X + [X, X] ii X = X [ X, X] Begründung des Zusammenhangs E X = exp X [ X, X] ii. [X, X] = [ X, X] + [ X, [ X, X] ] + [[ }{{} X, X], [ X, X]] = [ }{{} X, X] + i. seig, ebenso von endl. Var. 3.9 Iô-Prozess Jez allgemeiner: X heiß Iô-Prozess, falls dx = µ d + σ dw für vorhersehbare Prozesse µ, σ und eine Sandard-Brownsche Bewegung W.

20 3 STOCHASTISCHE ANALYSIS IN STETIGER ZEIT Idee: vergleiche Analysis: Differenzierbare Funkionen X sind von der Form dx = µ d, d.h. sie sehen lokal wie eine lineare Funkion mi Seigung µ aus. Iô-Prozesse sehen lokal wie eine Brownsche Bewegung mi Drifkoeffizien µ und Diffusionskoeffizien σ aus. 3. Rechenregeln für Iô-Prozesse Sei dx = µ d + σ dw. a d[x, X] = σ d Begründung [ [X, X] = µ s ds + σ s dw s, }{{ } seig, endl. Var. = [σ W, σ W ] = σ [W, W ] Lineariä b Iô-Formel = σ sds, da [W, W ] = Für f : R R zweifach seig differenzierbar gil: df, X = µ s ds + }{{} ebenso σ s dw s ] f, X + f, X µ + f, X σ + f, X σ dw d Begründung Iô-Formel angewand auf Y =, X und f df, X = dfy = fy + fy dx + fy d[, ] }{{} = = + fy d[, W ] }{{} = + fy d[w, W ] }{{} =d f, X + f, X µ + f, X σ d + f, X σ dw Anmerkung Lévy-Prozess, Brownsche Bewegung, Iô-Prozesse usw. exisieren auch mehrdimensional.

21 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT 4 Arbirageheorie in diskreer Zei Diskree Zei:... T T Gegeben d + -dimensionaler adapierer Prozess S = S,..., S d, =,..., T : Preisprozess der d + Werpapiere am Mark. Idee: S i : Kurs von Werpapier i zur Zei =,..., T 4. Beispiel Einfaches Markmodell mi Werpapieren: a fesverzinsliches Werpapier Geldmarkkono, Anleihe S = S expr, =,,..., T mi r konsan b Akie oder Fremdwährung S = S expx mi X =, X =..T unabhängig, idenisch vereil z.b. X N µ, σ, d.h. normalvereil 4. Selbsfinanzierende Handelssraegien Eine Handelssraegie Porfolio is ein d + -dimensionaler vorhersehbarer Prozess φ = φ,..., φ d, =,..., T. Idee: φ i : Zahl der Werpapiere vom Typ i im Porfolio zur Zei =,..., T Werprozess, Vermögensprozess V φ = V φ =,,..,T des Porfolios: V φ := φ S = d φ i S i i= φ heiß selbsfinanzierend, falls d φ i S i = für =,..., T. i= Idee: Vermögen wird nur umgeschiche, kein Kapial hinzugefüg oder ennommen. Lemma φ selbsfinanzierend V φ = V φ + φ S d.h. Vermögen = Anfangsvermögen + Handelsgewinne/-verluse

22 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT Begründung V φ = V φ + φ S φ S = φ S φ S φ S = φ S φ S φ φ S = 4.3 Abzinsen Umsändlich: d + -dimensionale Sraegien mi Nebenbedingung einfacher: Abzinsen d-dimensionale Sraegien ohne Nebenbedingung Ŝ := S = V φ := S, S S,..., Sd S heiß nach S diskonierer Preisprozess. V φ = φ Ŝ heiß diskonierer Werprozess Lemma φ selbsfinanzierend d φ i Ŝi = für =,..., T i= V φ = V φ + φ Ŝ für =,..., T Begründung wie oben 4.3. Lemma Seien φ,..., φ d =,...,T vorhersehbarer Prozess und V R gegeben. Dann gib es genau einen vorhersehbaren Prozess φ =,...,T derar, dass φ = φ,..., φ d selbsfinanzierend is mi Anfangskapial φ S = V. Begründung φ = φ,..., φ d selbsfinanzierend V φ = V φ + φ Ŝ }{{} φ Ŝ }{{} φ,...,φ d b S,..., b S d +φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd = V φ + φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd φ = V φ + φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd = V φ + φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd φ,..., φ d Ŝ,..., Ŝd Bemerkung: φ Ŝ häng nich von φ =,...,T ab.

23 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT Konvenion Idenifiziere Ŝ,..., Ŝd mi Ŝ = Ŝ,..., Ŝd und φ... φ d mi der selbsfinanzierenden Sraegie φ = φ,..., φ d aus dem Lemma zu V =. 4.4 Erser Fundamenalsaz der Preisheorie 4.4. Zenrale Annahme Es gib keine Arbirage =risikoloser Gewinn. Eine selbsfinanzierende Sraegie φ heiß Arbirage, falls 4.4. Saz V φ =, V T φ und P V T φ > > V φ =, VT φ. und P V T φ > > Der Mark is arbiragefrei d.h. es gib keine Arbirage es gib ein äquivalenes Maringalmaß ÄMM d.h. ein Wahrscheinlichkeismaß Q P also mi QN = P N = derar, daß Ŝ ein Q-Maringal is. Idee: Uner den hypoheischen Wahrscheinlichkeien Q wird der Mark zu einem fairen Spiel. Begründung : Sei φ selbsfinanzierende Sraegie mi φ Ŝ T. Ŝ Q-Maringal φ Ŝ Q-Maringal E Q φ Ŝ T = φ Ŝ = also Qφ Ŝ T > = also P φ Ŝ T > = : anschaulich: Xω Q Menge der Wahrscheinlichkeismaße Xω {φ Ŝ T : φ Handelssraegie} E Q φ S T = für alle φ, da Q orhogonal gewähl Ŝ Maringal uner Q

24 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT Beweren und Hedgen von Termingeschäfen Viele Termingeschäfe lassen sich durch eine Zufallsvariable X nämlich deren Auszahlung ausdrücken. Wir nennen diese zufällige Auszahlung, Deriva, Opion Beispiele a Europäischer Call X = S T K+ = max, S T K S : Underlying, T : Fälligkei, K: Basispreis b Europäischer Pu X = K S T + c Amerikanischer Call/Pu, d.h. Auszahlung jederzei möglich. keine Darsellung als Zufallsvariable X a Forward X = S F S : Underlying, T : Fälligkei, : Abschlussdaum Wähle den Forwardpreis F >, so dass Verrag bei nichs kose. b Fuure: keine Darsellung als Zufallsvariable X Unerschied zum Forward: Fuurpreisänderung U U wird äglich den Handelsparnern gugeschrieben/belase, so dass Kündigung ohne Kosen möglich Voraussezungen Der Mark S,..., S d sei arbiragefrei; ferner: keine Transakionskosen, beliebiger Handel möglich, keine Dividenden Redundane Werpapiere Die Auszahlung X heiß duplizierbar, falls eine selbsfinanzierende Sraegie φ exisier mi X = V T φ = V φ + φ S T d.h. abgezins X := X S T = V φ + φ Ŝ T. φ heiß Hedgingsraegie und V φ fairer Preis der Opion. Wann is X duplizierbar? Warum fairer Preis? Wie berechne man ihn?

25 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT Gesez des einen Preises Saz Sei X Auszahlung Opion.. X is duplizierbar durch Sraegie φ. Genau ein Preis π der Opion zum Zeipunk führ nich zu Arbirage nämlich π = V φ. Gesez des einen Preises 3 Für jedes ÄMM Q ha E Q X den gleichen Wer nämlich S E Q X = π = V φ. Begründung : Sei ewa π > V φ sons analog. Erselle Porfolio: Kosen zur Zei : kaufe φ V φ verkaufe Opion π lege π V φ risikolos an π V φ Saldo Wer zur Zei T: Handelssraegie φ X Opion X Anlage Saldo π V φ S T S π V φ S T S Arbiragegewinn 3: Sei Q ÄMM. Führe Opion als neues Werpapier d + ein durch Ŝd+ := E Q X F. Ŝ d+ is Maringal Mark S,..., S d, S d+ mi Opion is arbiragefrei.. π = S d+ = S Ŝd+ = S E Q X 3 : schwieriger Allgemeiner X duplizierbar durch φ Genau ein Preisprozess S d+ =,..,T für die Opion führ nich zu Arbirage, nämlich S d+ = V φ = S E Q X F. 4.6 Zweier Fundamenalsaz der Preisheorie Der Mark is vollsändig d.h. jede Auszahlung X is duplizierbar es gib genau ein ÄMM Q.

26 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT 6 Begründung : Folg nach vorigem Saz, 3 : Zu A F wähle diskoniere Auszahlung X = A. Dann is QA = E Q A = E Q X von Q unabhängig nach vorigem Saz, 3. Ziel Berechnung der duplizierenden Sraegie φ und des fairen Preises π π = V φ = S E Q X Zur Berechnung von π sind ÄMM nüzlich aber nich unbeding nöig. 4.7 Beispiele 4.7. Forwardpreis bei deerminisischem Zins d.h. S deerminisisch Forward auf S mi Fälligkei T und Forwardpreis F zum Zeipunk abgeschlossen: Duplizierende Sraegie: X = S T F φ = φ, φ = F ST, saische Sraegie, denn Fairer Preis von X: V T φ = φ T S T = F S T + S T = S T F = X π = V φ = φ S = F ST S + S = S S F ST Dies is, falls F = S ST fairer Forwardpreis. ST Also: φ = kaufe Akie und nimm dafür Kredi auf. allgemeiner: F = S bei S T S mi saischer Hedgingsraegie S,, falls Abschluss S 4.7. Europäischer Call im Binomialmodell Cox-Ross-Rubinsein-Modell S = e r feser Zins S : Akie S : Opion, genauer ST = X = S T K+ T = 3, K =, r =

27 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT 7 Wahrscheinlichkeien uner P uner Q: Ŝ Ŝ φ =,55 7, 48,6,5,4,5 φ =,75, 73 φ =,48 9, 3,6,5,4,5,6,5,4,5 φ 3 = φ 3 =, , 45 φ 3 =, , 45 φ 3 = 8,6,5,4,5,6,5,4,5,6,5,4,5,6,5,4,5 3 33, 33, 8, 9 8, 9 8, 9 8, 9 89, 8, 9 8, 9 89, 89, 7, 9 fairer Preis π = V φ = S Ŝ = 7, 48e Mark is vollsändig, da binärer Baum eindeuiges Maringalmaß Gleichungen mi Unbekannen in jeder Verzweigung Alernaiv: q q 3, q, 9 Maringalmaß, falls q + q + q 3 = und, q + q +, 9q 3 = Gleichungen mi 3 Unbekannen viele Maringalmaße Q kein perfekes Hedgen Berechnung von Ŝ bzw. π z.b. rekursiv im Baum = bedinge Erwarungswere uner Q Berechnung der Hedgingsraegie φ = φ, φ via φ Ŝ = Ŝ d.h. φ = S b S b und Selbsfinanzierungsbedingung 4.8 Werpapiere mi Dividenden Gegeben: d + -dimensionaler adapierer Prozess S = S,..., S d Werpapierprozess wie bisher d + -dimensionaler adapierer Prozess D = D,..., D d mi D =,...,. kumulaiver Dividendenprozess

28 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT 8 Idee: D i = D i D i : Dividende auf Werpapier i zur Zei. Handel φ φ DividendenausschÃijung D KursÃd nderung S S 4.8. Handelssraegien Eine Handelssraegie is wieder ein d + -dimensionaler vorhersehbarer Prozess φ = φ,..., φ d. Idee: φ i : Zahl der Werpapiere vom Typ i zur Zei vor der Dividendenausschüung. Werprozess V φ des Porfolios: V φ = φ S + D = d φ i S i + D i i= Idee: Wer des Porfolios nach der Dividendenausschüung Vor der Ausschüung wäre das wie bisher φ S. φ heiß selbsfinanzierend, falls φ S = φ S + D für =,..., T φ S = φ D Idee: Wer nach Umschichung φ φ gleich Wer vor Umschichung 4.8. Abzinsen Ŝ := =, S S,..., Sd S diskonierer Preisprozess S D := S D = S D,..., S D d diskonierer Dividendenprozess V φ := V S φ = φ Ŝ + D diskonierer Werprozess Lemma φ selbsfinanzierend φ Ŝ = φ D V φ + φ S + D V φ = V φ + φ Ŝ + D Lemma 4.3. gil weierhin Erser Fundamenalsaz der Preisheorie mi Dividenden Arbirage wird wie bisher definier.

29 4 ARBITRAGETHEORIE IN DISKRETER ZEIT 9 Saz Sei D = d.h. keine Dividenden auf den Numeraire. Der Mark is arbiragefrei es gib ein äquivalenes Maringalmaß ÄMM für Ŝ + D d.h. ein Wahrscheinlichkeismaß Q P, so dass Ŝ + D ein Q-Maringal is Beispiel: Bewerung und Hedging eines Fuures Akie T Fälligkei des Fuures U Fuures preis zum Zeipunk, d.h. U T = ST Preis des Fuureverrages S = da Abschluss, Kündigung jederzei kosenfrei Dividendenprozess D = U da U U Auszahlung zwischen und. Falls Mark aus Geldmarkkono, Akie, Fuure arbiragefrei, gib es ein ÄMM für Ŝ und Ŝ + D = + S D = S U. U = S S U Q-Maringal U = E Q ST F S Voraussezung Deerminisischer Numeraire S T U = E Q ST F = ST E Q Ŝ T F Q ÄMM = ST Ŝ = S T S S = F Fuurespreis = Forwardpreis Hedgingsraegie Fuure abgeschlossen zur Zei, Numeraire deerminisisch: diskonierer Werprozess der selbsfinanzierenden Sraegie Fuure : d.h. φ = φ, φ =, und V φ = : V φ = V φ + φ Ŝ + D + φ Ŝ + D = + + S S T Ŝ = S T S Ŝ diskonierer Werprozess der selbsfinanzierenden Sraegie S T S φ = φ, φ = S T, und V S φ = : Akien, d.h. V φ = V φ + φ Ŝ + D + φ Ŝ + D = + S T = V φ S Ŝ + d.h. φ duplizier den Zahlungssrom eines Fuures Hedgingsraegie. kein saischer Hedge im Gegensaz zum Forward

30 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT 3 5 Arbirageheorie in seiger Zei Seige Zei T Gegeben d + -dimensionales Semimaringal S = S,..., S d, [, T ]: Preisprozess der d + Werpapiere am Mark 5. Beispiel Osborne/Samuelson-Markmodell mi Werpapieren a fesverzinsliches Werpapier Geldmarkkono, Anleihe S = expr, [, T ] mi r konsan b Akie oder Fremdwährung S = S expµ + σw = S E µi + σw mi Konsanen µ, σ und Sandard-Brownscher Bewegung W I =, µ = µ + σ d.h. S is geomerische Brownsche Bewegung allgemeiner: d Akien d S i = S i exp µ i + σ ij W j j= mi unabhängigen Sandard-Brownschen Bewegungen W,..., W d und µ = µ,..., µ d R d, σ = σ ij i,j=,..,d R d d Kriik Modell pass nur mäßig zu den Daen. Große Kursänderungen sind häufiger. semiheavy ails, Ausweg: Sprungmodelle Große Kursänderungen reen geball auf. volailiy clusering, Ausweg: Modelle mi sochasischer Volailiä

31 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT 3 5. Begriffe analog zum Diskreen vgl. Abschni 4 Handelssraegie Porfolio: d + -dimensionaler vorhersehbarer Prozess φ = φ,..., φ d mi echnischer Zulässigkeisbedingung. Werprozess V φ := φ S φ selbsfinanzierend, falls V φ = V φ + φ S Ŝ := S S diskonierer Preisprozess V φ := V S φ = φ Ŝ diskonierer Werprozess 5.. Lemma φ selbsfinanzierend V φ = V φ + φ Ŝ 5.. Lemma φ,..., φ d, V gegeben Diese können auf eindeuige Weise zu selbsfinanzierender Sraegie φ = φ, φ,..., φ d mi Anfangskapial V ergänz werden. 5.3 Erser Fundamenalsaz der Preisheorie φ heiß Arbirage, falls 5.3. Saz V φ =, V T φ, P V T φ > > oder V φ =, VT φ, P V T φ > > Der Mark is arbiragefrei jedenfalls ungefähr es gib ein äquivalenes Maringalmaß ÄMM. 5.4 Beweren und Hedgen von Termingeschäfen Gegeben: Arbiragefreier Mark S,..., S d Auszahlung X heiß duplizierbar durch selbsfinanzierende Hedgingsraegie φ, falls X = V T φ. Saz Sei X Auszahlung. X duplizierbar durch φ. X ha genau einen arbiragefreien Anfangspreis π nämlich π = V φ. Gesez des einen Preises E Q X ha für jedes ÄMM Q denselben Wer V φ.

32 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT Zweier Fundamenalsaz der Preisheorie Der Mark is vollsändig d.h. jede beschränke Auszahlung is duplizierbar es gib genau ein ÄMM Q. 5.6 Black-Scholes-Modell = obiges Osborne-Samuelson-Modell S = expr S = S expµ + σw = S E µi + σw mi I =, µ = µ + σ Saz. Es gib ein eindeuiges ÄMM Q mi Diche dq dp = E µ r σ W T.. S = S exp r + σ + σ W = S ErI + σ W σ Ŝ = Ŝ exp + σ W = Ŝ Eσ W wobei W = W eµ r σ Q-Sandard-Brownsche Bewegung is. 3. Der Mark is arbiragefrei und vollsändig. Andere Schreibweise Begründung ds = S rd ds = S µd + σdw = S rd + σd W dŝ = da Ŝ = dŝ = Ŝ µ r + σdw = Ŝ σd W Q-Maringal. Nach Girsanow is [ W W, µ r ] σ W = W + µ r σ [W, W ] = W + µ r σ = W eine Q-Sandard-Brownsche Bewegung, insbesondere Q-Maringal.

33 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT 33 Wegen Ŝ = S S = Ŝ exp µ r + σ + σw σ = Ŝ exp + σ W = Ŝ Eσ W is Ŝ Q-Maringal da Inegral nach W. Eindeuigkei von Q folg aus 3 und dem zweien Fundamenalsaz.. elemenare Umformungen 3. Erser Fundamenalsaz Arbiragefreihei Vollsändigkei: Sei X diskoniere Auszahlung. Maringaldarsellungssaz angewand auf W und das Maringal M = E Q X F Es gib einen vorhersehbaren Prozess H mi 5.6. Derivae X = M T = M + = M + = M + H d W H Ŝ σ }{{} =:φ Ŝ σd W }{{} =d b S Wie bewere und hedg man konkree Auszahlungen? Berache eine Auszahlung der Form X = fs T. Saz φ d S = M + φ Ŝ T.. Der faire Preisprozess S von X is von der Form S = pt, S mi pτ, x = e rτ f x exp r σ τ + yστ φydy, wobei φy = exp y π Diche der N, -Vereilung sei.. pτ, x is auch Lösung der pariellen Differenialgleichung pτ, x + rx pτ, x + x σ pτ, x rpτ, x =.

34 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT Die Duplikaionssraegie is von der Form φ = φ, φ mi φ = pt, S das Dela der Opion φ = e r pt, S S pt, S. Begründung. X Ŝ = E Q ST F = e rt E Q fs T F r = e rt E Q f S σ exp T + σ W T W F }{{} }{{} N, T - bei bekann vereil = e rt f S exp r σ T + σy T N, dy. Ŝ = e r pt, Ŝ e r = p, Ŝ Iô-Formel für Iô-Prozess dŝ σdw und p, x: dŝ = p, Ŝ + p, Ŝ σŝ d + p, Ŝ σŝ dw is Q-Maringal, also Drif=, d.h Gleichung für p, x. = p, x + p, xτ, x 3. Ferner dŝ = p, Ŝ σŝ dw = pt, S dŝ. Andererseis: dŝ = d V φ = φ dŝ. φ = pt, Ŝ Außerdem: Europäischer Call φ = Ŝ φ Ŝ = e r pt, S pt, S, S. Spezialfall: europäischer Call X = S T K+ :

35 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT 35 Saz Black-Scholes-Formel Für den fairen Preisprozess S des europäischen Calls gil: logs S = S Φ /K + r + σ T σ T logs e rt Φ /K + r σ T σ, T wobei Φ die Vereilungsfunkion der Sandard-Normalvereilung sei. Fiel die Duplikaionssraegie φ = φ, φ gil logs φ = Φ /K + r + σ T σ, T logs φ = e rt KΦ /K + r σ T σ. T Begründung Voriger Saz S = pt, S mi pτ, x = e rτ Voriger Saz = e rτ z x exp x exp r σ τ + σ τy K + φydy r σ + τ + σ τy K φydy mi z = logx /K + r + σ T σ T = x π direk ausrechnen Exkurs z exp y σ τ dy e rτ KN, [z, = xn, [z σ τ, e rτ KN, [z, = xφ z + σ τ e rτ Kφ z φ = pt, S φ = e r S φ S Amerikanischer Pu im Black-Scholes-Modell Umausch des Pus gegen K S + jederzei vor T möglich Theorie eiziger fairer d.h. arbiragefreier Preis des Pus is S = sup E Q K ST + F τ τ [,T ] Soppzei

36 5 ARBITRAGETHEORIE IN STETIGER ZEIT 36 Soppzei τ: zufälliger Zeipunk, der mi der Informaionssrukur Filrierung verräglich is kein In-die-Zukunf-sehen D.h. Preis = Supremum der Preise von europäischen Pus, die zum zufälligen Zeipunk τ T fällig sind. Theorie S = pt, S, wobei p seig, pτ, x K x +, p, x = K x +, pτ, x + rx pτ, x + x σ pτ, x rpτ, x = falls pτ, x > K x + Bemerkung Im Fall r, keine Dividende lohn sich vorzeiiges Ausüben beim amerikanischen Call nich, d.h. die Preise von europäischen und dem amerikanischen Call simmen überein.

37 6 AUSBLICK: UNVOLLSTÄNDIGE MÄRKTE 37 6 Ausblick: unvollsändige Märke Problem der unvollsändigen Märke: keine Duplikaionssraegie, d.h. kein perfekes Hedging und daher auch keine eindeuigen Opionspreise 6. Bewerung Eine uner vielen möglichen Auswegen:. Selle paramerisches Modell uner dem unbekannen, aber noch Fundamenalsaz exisierenden ÄMM Q auf.. Besimme die unbekannen Parameer durch Gleichsezen der heoreischen Opionspreise E Q S T K+ mi den am Mark beobacheen Preise von Sandardopionen. Kalibrieren 3. Bewere mi Hilfe dieses Maßes dann z.b. nich gehandele Derivae. Problem Neue Preise hängen miuner sark von der paramerischen Modellklasse ab. Is diese asächlich angemessen? Die neuen Preise weisen keinen Bezug zu Hedgingsraegien auf. 6. Hedging Approximiere Opion so gu wie möglich, z.b. im quadraischen Sinne: min E V T φ X φ φ is dann die besapproximierende Sraegie für die Opion X.

38 7 ZINSMODELLE 38 7 Zinsmodelle 7. Zugrunde liegende Werpapiere a Geldmarkkono S = exp r sds wobei r sochasisch b für jedes T eine Nullkuponanleihe mi Fälligkei T T -Bond: Fragen p T [,T ] mi p T T = konkrees Modell für p T, r Bewerung, Hedging von Zinsderivaen 7. Verschiedene Zinsen 7.. r augenblicklicher kurzfrisiger Zins 7.. L S,T einfacher Zins für [S, T ], ausgehandel bei LIBOR-Forward-Rae + T SL S,T = ps p T Begründung Zei Porfolio Errag = Kosen Verkauf: S-Bond, Kauf: ps T -Bonds p S p T ps p T p T S S-Bond wird fällig. e T 7..3 R S,T T -Bond wird fällig. seiger Zins für [S, T ], ausgehandel bei p S e p T = e e RS,T = ps p T mi Zinseszins

39 7 ZINSMODELLE f T augenblickliche Forward-Rae für T, ausgehandel bei Zins für eine Anlage von T bis T + d f T T,T +ɛ R ɛ = lim = d dt log pt denn R S,T = log pt log p S T S Arbiragefreihei r = f, d.h. kurzfrisiger Zins is durch Nullkuponanleihen fesgeleg Zusammenhang 7.3 Verschiedene Zinspapiere 7.3. Kuponanleihe S = exp p T = exp Fixed coupon bond mi Nennwer T r s ds f s ds + rδ rδ rδ rδ Zei T fairer Preis p für T : T T 3 T n p = p Tn + n i= rδp T i Begründung Duplizieren des Zahlungssroms durch Porfolio Zei Porfolio Errag = Kosen Kaufe rδ T i -Bonds, für i =,.., n und rδ + T n -Bonds. n i= rδp T i p Tn T T -Bond wird fällig. rδ... T n T n -Bond wird fällig. rδ T n T n -Bond wird fällig. rδ +

40 7 ZINSMODELLE 4 Floaing rae bond mi Nennwer + L Tn,Tn T n δ L T,T T δ L T,T3 T δ Zei T fairer Preis p für T : T T p = p T T n Begründung duplizierendes Porfolio Zei Porfolio Errag = Kosen Kaufe einen T -Bond p T T T -Bond wird fällig, p T p T T = e T kaufe p T T T -Bonds. T T -Bond wird fällig; p T p T T p T T T kaufe T p T -Bonds. = L T,T T T T T... T n T n -Bond wird fällig; p T n T n kaufe T p Tn n -Bonds. = L T n,t n T n T n T n T n T n T n -Bonds werden fällig. = + L T n,t n p Tn T n T n T n T n 7.3. Swaps Zei: T = T + δ T = T + δ... T n = T n + δ Auszahlung L T,T T δ L T,T T δ... L T n,t n T n δ Rδ Rδ... Rδ Wähle Swaprae R so, dass Verrag bei Abschluss T nichs kose. p Tn faire Swaprae für T : R = pt δ n i= pt i Begründung duplizierendes Porfolio: + floaing rae bond fixed rae bond. Wähle R so, dass Preisdifferenz =.

41 7 ZINSMODELLE Bondopionen Call- und Pu-Opionen auf Anleihen: z.b. Auszahlung p T T K + bei T Bewerung/Hedging erforder sochasisches Modell. späer Caps und Floors hier: Cap Zei T = T + δ T = T + δ... T n = T n + δ Auszahlung L T,T T R + δ L T,T T R + δ... L T n,t n T n R + δ caple caple caple R: Caprae Sei S i Preis einer europäischen Pu-Opion auf einen T i -Bond mi Fälligkei T i und Basispreis +δr, d.h. Si T i = +δr pt i +. T i fairer Preis C des Caps für T : C = + δr n j= S j Begründung duplizierendes Porfolio Zei Porfolio Errag = Kosen Kauf: je + δr Pu-Opionen S,..., S n + δr n j= Sj T Opionen S werden fällig; + δr +δr pt T + T kaufe +δr p T +δr pt + T T -Bonds. T Opionen S werden fällig; T -Bonds werden fällig; kaufe +δr p T +δr pt + T T -Bonds. T +δr p T +δr pt +p T T T T = e + δr +δr + pt T + +δr p T +δr pt + T T +δr p T T +δr pt +p T T T = L T,T T R + δ T... T n ebenso +δr T n T n -Bonds werden fällig. p Tn +δr + ptn T n T n = L T n,t n T n R + δ Umgekehr folg analog: Mi Caples kann man Bond-Opionen duplizieren; der faire Preis der Opionen K p T T + und L T,T δk K + + simmen überein. T

42 7 ZINSMODELLE Swapions Call-Opionen auf die Rae r des Swaps p T p Tn n i= rδp T i = δ n i= p T i LT i,t i r Auszahlung bei T z. B. δ n i= p T i T L T i,t i T r + = ptn T δ P n i= pt i p Tn T n i= rδp T i T + = δr r + n wobei R = faire Swaprae bei T vgl T Bewerung/Hedging von Swapions erforder sochasisches Modell. 7.4 Aspeke der Zinsmodellierung i= p T i T,. Modellierung uner objekivem Maß P, uner risikolosem Maß der Arbirageheorie Q bzg. eines Numeraires oder uner P und Q?. Was wird zunächs bzw. durch einfache Gleichungen modellier? kurzfrisiger Zins r Shor-Rae-Modelle alle Forward-Raen f T Heah-Jarrow-Moron LIBOR-Forward-Raen L S,T LIBOR-Markmodelle Swap-Raen Swap-Markmodelle 3. Was wird als Numeraire für das risikoneurale Maß gewähl? Geldmarkkono T -Bond kurzfrisige Anlage aus nächsfälliger Anleihe Summe von T -Bonds 4. Diskree oder seige Srukur, d. h. endlich oder unendlich viele Werpapiere? 5. Zahl und Bedeuung der Fakoren ewa der Brownschen Bewegungen in den sochasischen Differenialgleichungen? 6. Modellierung mi deerminisischer/sochasischer Volailiä, seigen/unseigen Treiberprozessen usw.? wünschenswer: geschlossene Formeln für Bonds und Sandardopionen, z. B. dami Kalibrierung nich zu rechenaufwendig vgl. 6.

43 7 ZINSMODELLE Numeraireansaz zur Bwerung von Zinsopionen Viele Opionen Bondopionen, Caples, Swapions haben eine Auszahlung der Form C T = V T KV T + = V T D KV T D, wobei V, V Bondporfolios sind und D := {V T > KV T }. Sei P das äquivalene Maringalmaß der Arbirageheorie bzgl. des Numeraires V analog P für V. fairer Preis von X := VT D zur Zei is V E P X F VT = V P D F, fairer Preis von Y := KVT D zur Zei is V E P Y F VT = KV P D F. fairer Preis von C T is C = V T P V T V T > K F KV P V T V T > K F. Man erhäl explizie Preisformeln, falls die Vereilung von V T /V T uner P und P explizi bekann is z. B. Lognormalvereilung.

44 8 SHORT-RATE-MODELLE 44 8 Shor-Rae-Modelle 8. Allgemeines Modell Sei Q das äquivalene Maringalmaß des Markes bzgl. S = exp r sds. Modell für kurzfrisigen Zins r uner Q: dr r = b d + σ dw, wobei b, σ sochasiche Prozesse, W SBB uner Q p T = S E Q F ST = E Q exp T r s ds F s 8. Affine Zinssrukur Häen gern: explizie Formel für p T, ewa p T = exp G, T H, T r affine Zinssrukur mi deerminisischen G, H. Oder allgemeiner: p T = exp G, T H, T X H n, T X n mi gegebenen sochasischen Prozessen X,..., X n affine Mehrfakormodelle Zum Rechnen schön: r bzw. X,..., X n normalvereil p T lognormalvereil Black-Scholes-Formel für Bondopionen 8.3 Beispiele affiner Shor-Rae-Modelle. Vasiček 977: dr = b + βr + σdw mi b, β, σ deerminisisch. Cox-Ingersoll-Ross 985: dr = b + βr d + σ rdw mi b, β, σ deerminisisch 3. Ho-Lee 986: dr = bd + σdw mi b, σ deerminisisch 4. Hull-Whie erweieres Vasiček, 99: dr = b + βr d + σdw mi b, β, σ deerminisisch 5. Hull-Whie erweieres CIR, 99: dr = b+βr d+σ rdw mi b, β, σ deerminisisch 8.4 Allgemeines affines Shor-Rae-Modell dr = b + βr d + a + αr dw Dann p T = exp G, T H, T r mi GT, T = = HT, T, G, T = ah, T bh, T H, T = αh, T βh, T

45 8 SHORT-RATE-MODELLE 45 Begründung Seze M = exp r sds G, T H, T r Iô-Formel für fx = e x : dm = M r d G, T d H, T dr H, T r d + H, T d[r, r] = M H, T β H, T + H, T α r d + G, T bh, T + ah, T d + a + αr dw = M a + αr dw M is Q-Maringal mi M T = = pt T ST M = pt für [, T ]. S Forward-Raen: f T = g, T + h, T r mi g, T = T G, T h, T = T H, T Insbesondere df T = g, T d + h, T r d + h, T dr =... d + h, T a + αr dw 8.5 Vasiček dr = b + βr d + σdw r is Ornsein-Uhlenbeck-Prozess, insbesondere Gaußscher Prozess, H, T = eβt, β G, T = σ 4e βt e βt βt 3 4β 3 + b eβt βt β, df T =... d + σe βt dw Voreil: deerminisische Koeffizienen r normalvereil, T -Bonds lognormalvereil explizie Black-Scholes-Formeln für Bondopionen usw. Nacheil: negaive Zinsen möglich

46 8 SHORT-RATE-MODELLE Cox-Ingersoll-Ross 8.7 Ho-Lee H, T = G, T = b σ log r is Gaußscher Prozess, dr = b + βr d + r dw, r e γt γ βe γt + γ H, T = T, γe γ βt / γ βe γt + γ dr = bd + σdw G, T = σ 6 T 3 + T mi γ = β + σ, bst sds, df T =... d + σdw 8.8 Hull-Whie erweieres Vasiček hier: β, σ konsan r is Gaußscher Prozess, H, T = eβt, β G, T = σ dr = b + βr d + σdw T T H s, T ds + bshs, T ds. bt wird an die beobacheen Forward-Raen f T kalibrier. df T =... d + σe βt dw 8.9 Ein affines Zwei-Fakor-Modell dr = λr m d + σ dw + σ dw, dm = bd + σ dw, wobei λ, σ, σ, b deerminisisch, W, W unabhängige Q-SBB

47 8 SHORT-RATE-MODELLE 47 Dann p T = exp G, T H, T r K, T m mi H, T = e λt, λ K, T = e λt T, λ GT, T =, G, T = K, T b + H, T + K, T σ + H, T σ df T = T G, T + e λt r + e λt m df T =... d + σ dw + σ e λt dw Begründung Seze M = exp r sds G, T H, T r K, T m Analog 8.4 folg: M is ein Maringal mi M T = pt T S T M = pt S für [, T ] Auch hier sind r, f T, log p T Gaußsche Prozesse.

48 9 HEATH-JARROW-MORTON 48 9 Heah-Jarrow-Moron 9. Ansaz Modellierung der ganzen Forward-Rae-Kurve f T, T df T = α T d + σ T dw mi sochasischen Prozessen α T, σ T und Sandard-Brownscher Bewegung W bzw. Mehrfakormodell: W, σ mehrdimensional, d.h. hier nur Einfakormodelle df T = α T d + n i= σ T,i dw i ; Modellbildung Wahl von σ T und α T Beispiele. σ T = σ deerminisisch und konsan Hoo-Lee-Modell, vgl σ T = σe λt deerminisisch Vasiček/Hull-Whie-Modell, vgl Zweifakormodell vgl. 8.9: Fragen σ T, σ T, = σ e σ λt Dynamik von p T, r uner P und ÄMM Q? Arbiragefreihei? Bewerung/Hedging von Bond-Opionen? 9. Saz. r + A T + ΣT d + Σ T dw dp T = p T. mi mi A T T T := α s ds; Σ T := Σ s ds. dr = f + α d + σ dw f T := T f T

49 9 HEATH-JARROW-MORTON 49 Begründung.. T log p T = = Fubini = = + T T T f s ds f s + f s + f s f s + Fubini = log p T + + T T u f s ds + u A T u du + s α s udu + α s udsdu + α s udsdu + α s udsdu + σ s udw s ds T T u Σ T u dw u α s ududs + u s = log p T + fs s A T s ds + Σ T s dw s p T = p T exp r s + A T s ds + Σ T s dw s Iô = p T E r s + A Ts + ΣTs ds + σ s udsdw u σ s udsdw u σ s udsdw u σ s udw u ds Σ T s dw s T f s ds = f T f = f T + f = f T f + Fubini = f T f + = T Ableien f = f u + α T s ds + α sds T T f u + α u s ds + σ T s dw s σ sdw s α u s duds + α u s dsdu + α u s ds + T T σ u s dudw s σ u s dw s du σ u s dw s du σ u s dw s

50 9 HEATH-JARROW-MORTON 5 r = f = f + = f + Fubini = = = αsds + αs s + f s ds + + σsds s + αs s + s u f S + σ s sdw s + r α s s + f s sds + σsdw s α u s du ds + α s sds + u σ u s dsdu + f s α s udu + σ s sdw s + r σ s s + α u s dsdu + s s σ s udw u ds σ u s du dw s 9.3 Arbiragefreihei Fausregel Außer dem Numeraire können höchsens ebenso viele Werpapiere unabhängig modellier werden, wie es Zufallsquellen hier: Brownsche Bewegungen gib, wenn man Arbiragefreihei möche. Für Vollsändigkei benöig man in der Regel mindesens so viele Werpapiere außer S wie Zufallsquellen. hier: Brownsche Bewegung, viele T -Bonds Konsisenzbedingung nöig Saz. Der Mark is nur dann arbiragefrei, falls H := AT + ΣT Σ T oder H := αt σ T Σ T nich von T abhäng. HJM-Drifbedingung. In diesem Fall is er vollsändig. 3. Sei Q das zugehörige äquivalene Maringalmaß für die diskonieren T -Bonds p T = pt. S Für die Q-Sandard-Brownsche Bewegung W := W H sds gil: df T = σ T Σ T d + σ T d W dp T = p T r d + Σ T d W dr = f σ Σ d + σ d W

51 9 HEATH-JARROW-MORTON 5 Begründung. Sei Q ÄMM Girsanow W := W H sds is Q-Sandard-Brownsche Bewegung für einen Prozess H. d p T = d S p T parielle Inegraion = p T d S S = exp + S dp T + r s ds d S =, da S [ ] d S, p T }{{} vorhersehbar, von endl. Variaion = r S d r + A T + ΣT d + Σ T dw dp T = p T d + Σ T d W = p T d p T = p T r + A T + ΣT + H Σ T A T + ΣT + H Σ T d + Σ T d W Q-Maringal, falls Drif = A T + ΣT + H Σ T =. ähnlich wie im Black-Scholes-Modell 3. Ableien = d dt A T + ΣT + H Σ T = α T + σ T Σ T + H σ T df T = α T d + σ T dw = α T + σ T H d + σ T d W = σ T Σ T d + σ T d W dp T = p T r + A T + ΣT + H Σ T d + Σ T d W }{{} = = p T r d + Σ T d W dr = f + α d + σ dw = f + α + σ H d + σ d W = f σ Σ d + σ d W

52 9 HEATH-JARROW-MORTON Beispiel: Vasiček/Hull-Whie-Modell uner ÄMM Q vgl. 8.8 Also Saz σ T λt = σe Σ T = T σ s ds = σ e λt λ e λt df T = σ dp T = p T λ r d + σ λ dr = f d + σd W e λt d + σe λt d W e λt d W. mi f T g, T = f T + e λt f + σ = g, T + h, T r e λ λt e λt λ λt h, T = e affine Zinssrukur. mi p T = exp G, T H, T r affine Zinssrukur G, T = H, T = T T g, sds h, sds 3. Im Fall f = σ + c e λ is dies dr = f + λf r + σd W Ornsein-Uhlenbeck-Prozess. dr = λσ r d + σd W.

53 9 HEATH-JARROW-MORTON 53 Begründung 3.. r = f = f + f T = f T + f T = f T f = f σ e λ s e λ s ds + λ e λt s σ e λt s ds + λ = λr + f λf σ e λt s e λt s ds λ σ e λ s e λ s ds λ g, T + h, T r = f T + e λt f + e λt r σe λ s d W s σe λt s d W s = f T dg, T + h, T r = λe λt fd + e λt f d e λt +σ e λt d λ +e λt dr λe λt r d σe λt s d W s σe λ s d W s = e λt λf + f e λt + σ λ f λf + λr λr d + σd W. p T T T T = exp f s ds = exp g, sds h, sds r 9.5 Bewerung/Hedging von Bond-Opionen Saz Voraussezung: σ T sei deerminisisch. Berache europäischen Call auf p T mi Fälligkei T und Basispreis K, d.h. Auszahlung p T T K + bei T. Für dessen fairen Preisprozess S gil für T : S = p T Φ logpt /Kp T + T Σ T s Σ T s ds T Σ T s Σ T s ds Kp T Φ logpt /Kp T T Σ T s Σ T s ds. T Σ T s Σ T s ds

54 9 HEATH-JARROW-MORTON 54 Die Opion wird duplizier durch ein Porfolio φ = φ T, φ T aus T - und T -Bonds, wobei φ T = Φ logpt /Kp T + T Σ T s Σ T s ds, T Σ T s Σ T s ds φ T = KΦ logpt /Kp T T Σ T s Σ T s ds. T Σ T s Σ T s ds Begründung ähnlich der Black-Scholes-Formel, aber aufwendiger:. Schri: Numerairewechsel Zeige S = p T E Q T {p T T K} F Kp T E Q T {p T T K} F, wobei Q T das T -Forwardmaß bezeichne. Das is das eindeuige ÄMM, wenn sa des Geldmarkkonos S der T -Bond p T als Numeraire verwende wird. Es gil: dq T E dq F = S. pt. Schri Zeige für die nach den neuen Numeraires abgezinsen Nullkuponanleihen: d pt p T = pt p T Σ T Σ T dw für eine Q T -Sandard-Brownsche Bewegung W. Analog: pt T p T T = p T T p T exp Σ T s Σ T s dw s }{{} normalvereil uner Q T d pt p T = pt p T Σ T Σ T dw für eine Q T -Sandard-Brownsche Bewegung W pt T p T T = p T T p T exp Σ T s Σ T s dw s }{{} normalvereil uner Q T T Σ T s Σ T s ds }{{} zur Zei bekann T Σ T s Σ T s ds }{{} zur Zei bekann

55 9 HEATH-JARROW-MORTON 55 Beache ferner T K pt T K p T p T p T T T K pt T K p T T Dann ähnliche Argumenaion wie im Black-Scholes-Modell Beispiel: Vasiček/Hull-Whie-Modell 8.8 Besimm werden muss lediglich T Σ T s Σ T s ds = σ e λt T e λt. λ λ σ, λ werden z.b. aus den Daen geschäz Zweifakormodell 8.9 Definiere Σ T, T Σ T, := Obiger Saz gil ensprechend mi T σ T, s σ T σs T, ds = e λt σ λ Σ T, s Σ T, s + Σ T, s Σ T, s ds e = σ T T T + σ λt T e λt. λ λ

56 LIBOR-MARKTMODELLE 56 LIBOR-Markmodelle. Neue Aspeke LIBOR wird uner geeigneem Maß lognormal Black-Formal für Caples anwendbar ˆ= Black-Scholes-Formel mi LIBOR als Underlying Aber: Explizie Formeln ha man auch in Gaußschen Shor-Rae-/HJM-Modellen. Modellierung von nur endlich vielen sa unendlich vieler Anleihen Kalibrierung einfacher T -Bond sa Geldmarkkono als Numeraire verwende da r gar nich unbeding definier Vergleich L S,T + T SL S,T = ps p T is lognormal in lognormalen LIBOR-Markmodellen, hingegen is p S /p T lognormal in Gausßschen HJM-Modellen jeweils uner dem T -Forwardmaß. Diskrees lognormales LIBOR-Markmodell Gegeben: Wollen: T i = iδ, i =,..., M Modell für LIBOR-Forwardraen L T i,t i, i =,..., M Gegeben: deerminisische Funkionen λ i, [, T i ], i =,..., M Volailiä von L T i,t i posiive, in i fallende Anfangspreise p T i, i =,..., M posiive LIBOR-Forwardraen L T i,t i = δ p T i p T i, i =,..., M Exkurs T i -Forwardmaß Q T i : das Wahrscheinlichkeismaß, uner dem alle nach p T i diskonieren Preisprozesse Maringale sind Exisenz folg aus Arbiragefreihei und ersem Fundamenalsaz Zusammenhang Numerairewechsel Maßwechsel: Dicheprozess von Q T i bzgl. Q T j is Z = pt i p T j Idee: p T j. p T i Konsruiere nun indukiv Prozesse L T i,t i dl T i,t i mi Dynamik = L T i,t i λ i dw i mi Q T i -SBB W i L T i,t i is lognormal-vereiles Maringal uner Q T i.

57 LIBOR-MARKTMODELLE 57 Moivaion: Maringalbedingung muss erfüll sein, da p T i L T i,t i = δ pt i p T i handelbares Werpapier. Lognormaliä is wünschenswer für Black-Scholes-Formel. Achung: L T i,t i is weder lognormal noch Maringal uner Q T j für j i..3 Bewerung von Caples Saz Berache Caple mi Auszahlung C Ti = L T i,t i T i R + δ zur Zei T i. Für dessen fairen Preis C für < T i gil T C = δp T i logl i,t i /R + Ti λ i s ds Φ Ti λ i s ds T logl i,t i /R Ti λ i s ds RΦ. Ti λ i s ds Begründung Fairer Preis is C = p T i E Q T i L T i,t i T i R + δp T i T i F. p T i T i = und L T i,t i T i is lognormalvereil uner Q T i mi Erwarungswer sowie Var Q T i L T i,t i T i F = Ti λ i s ds Siuaion wie bei Herleiung der Black-Scholes-Formel