Hedging von Renten Futures im Modell von Heath, Jarrow und Morton

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1 Hedging von Renen Fuures im Modell von Heah, Jarrow und Moron Andreas Löffler Version: November 998 Zusammenfassung In dieser Arbei werden der Bund und der Bobl Fuure sowie der ers kürzlich aufgelege Jumbo Pfandbrief Fuure unersuch Für ein spezielles Zwei Fakoren Modell von Heah, Jarrow & Moron 99 werden diese Renen Fuures bewere und es wird die dazugehörige Hedging Sraegie ermiel Es zeig sich, daß diese Hedging Sraegie nich im Cash and-carry beseh Einleiung: Cash and Carry Hedging beim Renen Fuure? Zinserminkonrake sind als moderne Finanzierungsformen aus dem ökonomischen Leben nich mehr wegzudenken; sie sellen die Insrumene zur Seuerung des Zinsänderungsrisikos dar Man unerscheide grob zwischen unbedingen Konraken, also Forwards und Fuures, sowie bedingen Konraken, den Opionen Im folgenden sollen die Fuures näher unersuch werden Fuures sind, im Unerschied zu Forwards, sandardisier und äußers fungibel Um Verluse durch Insolvenz einer Verragsparei zu vermeiden und um den Abschluß eines Fuure leicher zu ermöglichen geringere Suchkosen, wird der Konrak über ein Clearing House abgewickel Die Verragspareien haben dabei dem Clearing House Sicherheisleisungen zu erbringen, die vom Kurs der gehandelen Anleihe abhängig sind Dieses Verfahren wird auch Marking o Marke oder äglicher Gewinn und Verlusausgleich genann, es sicher die Verragserfüllung FB Wirschafswissenschaf, FU Berlin, Bolzmannsr 0, 495 Berlin, andras@zedafu-berlinde Ich danke Luz Kruschwiz und Klaus Sandmann für hilfreichen Bemerkungen Auf dem WWW befinde sich uner hp://wwwwiwissfu-berlinde/w3/w3krusch/pub/fuurehm eine Excel Daei, die einen Teil der hier vorgesellen Rechnungen illusrier

2 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S Die am häufigsen gehandelen Renen Fuures sind in Deuschland zur Zei die an eine Lieferung von Saasanleihen gebundenen Tiel Dabei unerscheide man ypischerweise zwischen Fuures, die auf kurzfrisige Tiel 35 bis 5 Jahre lauen, und Fuures, die auf längerfrisige Anleihen 85 bis 0 Jahre geschrieben sind An der European Exchange exisieren zur Zei der Bobl Fuure für kurzfrisige Anleihen und der Bund Fuure für längerfrisige Tiel Der Fuure auf sehr langfrisige 30jährige Saasanleihen, der Buxl Fuure, wurde noch von der DTB wegen fehlender Markiefe eingesell Sei Juli 998 gib es einen Jumbo Pfandbrief Fuure In dieser Arbei soll die Bewerung und das Hedging dieser Konrake genauer unersuch werden Die Schwierigkei beim Hedging beseh in zwei Besonderheien der Fuures Der ägliche Gewinn und Verlusausgleich, der beim Bobl, Bund und beim Pfandbrief Fuure angewand wird, wurde bereis erwähn Eine andere Besonderhei is die delivery opion: um Markfrikionen zu vermeiden, beruhen die Fuures nich auf einer asächlichen, sondern einer synheischen Anleihe Die effekive Lieferung dagegen erfolg aus einer gegebenen Klasse börsennoierer Anleihen des Bundes oder der Treuhandansal bzw im Fall des Pfandbrief Fuures aus einer gegebenen Klasse von Pfandbriefen höchser Boniä Durch einen Konversionsfakor wird versuch, die Äquivalenz der lieferbaren Anleihen zu erreichen Da dies sysemaisch nich geling eine Äquivalenz der zu liefernden Anleihen is nur bei einer flachen Zinssrukurkurve von 6% gegeben, ergib sich eine Rangfolge der lieferbaren Anleihen Der Verkäufer des Fuure kann bei Lieferung nun die für ihn günsigse Anleihe cheapes o deliver CTD wählen, er besiz die delivery opion Vernachlässig man für einen Momen den äglichen Gewinn und Verlusausgleich, so leg die delivery opion die folgenden Cash and Carry Sraegie nahe: 3 im Zeipunk = 0 kauf der Verkäufer die in diesem Zeipunk günsigse Anleihe Bei Fälligkei des Fuure Konrakes ausch er gegebenenfalls die von ihm gehalene Anleihe gegen die jezige CTD Anleihe und befriedig dami die Lieferverpflichung Die Kosen dieser Posiion ensprechen dann der CTD Anleihe im Zeipunk = 0 Bei genauerer Berachung aber zeig sich, daß diese Sraegie nich selbsfinanzierend is Wenn im Lieferzeipunk asächlich die bisher gehalene Anleihe nich mehr CTD is, dann wurde beim Hedging ein Gewinn erziel und dami lieg keine vollsändige Duplizierung vor Im Zeipunk = 0 war der Preis für den Fuure offenbar zu hoch Es sell sich sofor die Frage, inwiewei diese Preisabweichung wesenlich is: welchen Wer ha die delivery opion des Renen Fuures? Is die mi der Cash and Carry Arbirage vorgenommene Sraegie uner Umsänden eine hinreichende Näherung, deren Anwendung durchaus verrebar erschein, Die 996 welwei größen Fuures waren der Treasury Bond Fuure und der Eurodollar Fuure CME Jumbo Pfandbriefe sind Pfandbriefe, die ein Mindesemmisionsvolumen von Mrd DM besizen und von Hypoheken und Landesbanken begeben werden Das Umlaufvolumen der Pfandbriefe is zur Zei Augus 998 annähernd so groß wie das der öffenlichen Hand Mi der Einführung des Jumbo Pfandbrief Fuures erhoff sich die Eurex, den deuschen Pfandbriefmark für den inernaionalen Webewerb zu rüsen Dieser Fuure is ähnlich dem Bund Fuure konsruier: es komm wesenlich die Besonderhei hinzu, daß ausschließlich Pfandbriefe mi einem AAA Raing geliefer werden können Es exisier ein genaues Regelwerk für den Fall, daß ein lieferbarer Pfandbrief dieses Raing während der Verragslaufzei des Fuure verlier 3 Vergleich dazu zum Beispiel Berendes & Bühler 994, S990

3 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 3 oder sind die Preisabweichungen zu hoch? In der vorliegenden Arbei wird dazu ein spezielles Zwei Fakoren Modell von Heah e al 99 HJM unersell Dieses Modell erlaub eine explizie Berechnung der Hedging Sraegie Man umgeh auf diese Weise auch elegan ein Problem, das sich in bisherigen Ansäzen zur Bewerung von Fuures auf Renenpapiere zeige Üblicherweise liegen die nowendigen Zeireihen der Werpapierkurse, aus denen die Varianz und Kovarianzbeziehungen berechne werden können, noch nich vor, wenn der Fuure aufgeleg wird Unersell man dagegen, daß sich die Preise der Anleihen aus einer Zinssrukur ermieln, so muß nur die Zinssrukurkurve geschäz werden Ziel dieser Arbei is die Herleiung einer Gleichung, mi der die Bewerung und auch das Hedging eines Renen Fuures möglich werden In einer späer nachfolgenden Arbei soll diese Bewerungsgleichung angewand werden um zu ermieln, ob in der Ta die delivery opion beim Renen Fuure uner realisischen Rahmenbedingungen einen wesenlichen Wer besiz oder das Cash und Carry Hedging eine hinreichend genaue Sraegie zur Bewerung darsell Dies sez jedoch ökonomerische Unersuchungen des Renenmarkes voraus, die im Rahmen dieser Arbei nich durchgeführ wurden Die Arbei is wie folg aufgebau Im nächsen Abschni wird das Modell vorgesell und der Renen Fuure bewere Im Abschni 3 wird ein Beispiel unersuch, das explizie Berechnungen erlaub Bewerung und Hedging des Renen Fuures im HJM Modell Die bisherige Lieraur zum Renen Fuure In diesem Abschni soll ein kurzer Abriß der bisherigen Lieraur zum Hedging von Renen Fuures gegeben werden Dabei werden auch Arbeien erwähn, die nur Teilaspeke dieses Fuures wie die delivery opion oder den äglichen Gewinn und Verlusausgleich behandelen Die delivery opion kann inerpreier werden als eine europäische Opion auf das Minimum verschiedener Tiel 4 bzw als eine Opion auf den Tausch eines Tiels gegen einen anderen Tiel eine Exchange Opion Für den Fall der Black Scholes Ökonomie dh geomerische Brownsche Bewegung mi konsaner Volailiä und konsaner Drif wurden Minimum Opionen auf Akien zum ersen Mal von Sulz 98 bewere Eine Verallgemeinerung der Preisgleichung auf mehrere Tiel samm von Johnson 987 Wegen des fesen Rückzahlungsermins kann jedoch keine zeikonsane Volailiä angenommen werden Die Ergebnisse dieser Arbeien lassen sich daher nich auf den Renen Fuure überragen 5 Zum ersen Mal wurde das Problem des äglichen Gewinn und Verlusausgleiches von Cox, 4 Siehe dazu den Abschni 3 5 Es gib einen Versuch von Hemler 990, der beide Probleme ignorier Hemler schreib: Admiedly, he assumpion ha each asse price x j der lieferbaren Anleihen AL follows geomeric Brownian moion is made for racabiliy raher han for heoreical reasons I is inconsisen wih bond price equaling one a mauriy and bond price variance approaching zero a mauriy, S57

4 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 4 Ingersoll & Ross 98 genauer behandel Die wahrscheinlich allgemeinse Theorie finde sich bei Duffie & Sanon 99 In beiden Arbeien werden nur elemenare Beispiele behandel, es finden sich keine Gleichungen für die Bewerung und das Hedging des hier ineressierenden Renen Fuures Eine allgemeine Theorie von Derivaiven mi nichkonsaner, aber deerminisischer Volailiä finde sich bei Jamshidian 993 Die Anwendung auf die Exchange Opionen unersuchen Frey & Sommer 996, dor werden Preisgleichung und Hedgingverhalen genauer beschrieben In beiden genannen Arbeien wird das Problem des äglichen Gewinn und Verlusausgleiches ignorier Das Marking o Marke ha auf die Preisbildung einen Einfluß, wenn der Tagesgeldzins sochasisch und mi dem zu bewerenden Tiel korrelier is für den uns ineressierenden Fall der Renenpapiere is dies eher die Regel Der Bund Fuure war Gegensand der Arbei von Berendes & Bühler 994 Die Auoren unersuchen den Einfluß des äglichen Gewinn und Verlusausgleiches und der delivery opion bei Zugrundelegung des zeidiskreen Modells von Ho & Lee 986 Im Rahmen dieses Modells sind keine geschlossenen Preisgleichungen möglich, daher kann auch nichs über das Hedging des Bund Fuures gesag werden Im Grenzübergang geh das Ho & Lee Modell in ein zeiseiges Ein Fakor Modell über, das in der Originalarbei von HJM genauer unersuch wurde Dieses Modell implizier aber, daß alle Zinsbewegungen vollsändig korrelier sind und daher ein CTD Bond mi sehr hoher Wahrscheinlichkei auch cheapes o deliver bleib Daher werden wir die realisischere Annahme reffen und ein Zwei Fakoren Modell unersuchen, welches eine Verallgemeinerung dieses zeiseigen Ein Fakor Modells darsell Die Arbei von Richken & Sankarasubramanian 995 berache das zeiseiges Zwei Fakoren Modell, welches wir ebenfalls verwenden Jedoch können beide Auoren keine geschlossene Preisgleichung herleien und sind daher auch nich in der Lage, ewas über das Hedgingverhalen zu sagen Beide Auoren nuzen numerische Näherungsverfahren, um die Bewerung des Renen Fuures vornehmen zu können Zur Ermilung der Hedging Sraegie kann dieses Verfahren jedoch nich verwende werden Des weieren exisier noch eine Lieraur, die nich die sochasische Bewegung der Preise der Renenpapiere voraussez, siehe zum Beispiel Benninga & Wiener 996 In diesen Modellen wird ypischerweise mi flachen Zinssrukurkurven gearbeie Das Modell von Heah, Jarrow und Moron Im folgenden wird übersichsarig das Modell nach HJM vorgesell Deails kann man in der Originalarbei Heah e al 99 nachlesen Wir berachen ein endliches Zeiinervall 0, T Es sei für T eine zweidimensionale Brownsche Bewegung W = W,, W d T gegeben, wobei die Brownschen Bewegungen unkorrelier seien 6 Die naürliche Filrierung 7 der Brownschen Bewegung werde mi F bezeichne; sie sell die im Zeipunk verfügbare Informaion dar 6 Vergleiche die mahemaischen Voraussezungen bei Duffie 988a oder Dybvig & Huang Siehe Duffie 988b, S 30ff

5 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 5 Wir nehmen an, daß auf dem Mark zu jedem Zeipunk s 0, T eine Nullkuponanleihe mi Fälligkei im Zeipunk s gehandel wird Diese Anleihe habe den Preis P s, Uner hinreichenden Regulariäsannahmen HJM, S79 kann man die insananeous forward rae zum Zeipunk s für eine Zahlung in ln P s, fs, = definieren Aus dieser Gleichung folg dann eine Darsellung des Bondpreises, P s, = exp s fs, u du Wir berachen eine Bewegung der gesamen Zinssrukurkurve Es wird das folgende Zwei Fakoren Modell vgl HJM, S9 dfs, T = µs, T ds + σ dw s + σ e T s dw s unersell Dabei is σ > 0 eine Konsane, die einen gleichmäßigen Schock der Zinssrukurkurve formalisier, σ > 0 beeinfluß die kurzfrisigen forward raes särker als die langfrisigen µs, is die Drif, die einigen echnischen Anforderungen genüge Eine Lösung dieser sochasischen Differenialgleichung exisier 8 HJM bemerken, daß wie auch beim Ho & Lee Modell negaive forward raes möglich sind 9 Nach Jarrow 997 beobache man ypischerweise drei Fakoren in einer Zinssrukurkurve sowohl im Treasury Mark, Eurodollar, Kupfer Fuures und Öl Fuures Mark Ein Zwei Fakoren Modell erklär dabei bis zu ca 86% der Bewegung Daher schein die Annahme zweier Fakoren eine realiäsnahe Voraussezung Eine Berechnung eines derivaiven Tiels is nur möglich in vollsändigen Märken, also in Märken, in denen sich jeder Tiel durch zulässige Sraegien duplizieren läß 0 Im Modell 8 Dies folg aus der Meßbarkei und Inegrierbarkei der Koeffizienen Für Deails siehe Duffie & Sanon 99, die dies leider auch nur in einer Fußnoe abhandeln 9 Die von HJM diskuieren beiden explizien Beispiele gesaen beide negaive forward raes Bis auf eine Arbei Cox e al exisier bis heue kein Zinssrukurmodell, das geschlossene Lösungen erlaub und bei dem die forward raes nichnegaiv sind Unersell man eine geomerische Brownsche Bewegung der forward raes dann wären sie immer posiiv, dann explodieren die forward raes mi posiiver Wahrscheinlichkei, siehe Moron In unserem Modellrahmen müssen die zulässigen Sraegien sorgfälig gewähl werden Wenn man sich hier nur auf Voraussehbarkei und quadraische Inegrierbarkei beschränk, exisieren sogenanne doubling sraegies diese auchen zum ersen mal bei Harrison & Kreps 979 auf, und es könne Arbiragemöglichkeien geben Um dieses Problem zu umgehen, gib es zwei Möglichkeien: enweder man beschränk sich auf särkere Inegrierbarkeisbedingungen siehe Harrison & Pliska 98, was ökonomisch schwer zu moivieren is, oder man gesae den Invesoren, sich nur bis zu einem fixem Berag K der beliebig hoch sein kann zu verschulden Hier zeigen Dybvig & Huang 989, daß die Märke asächlich arbiragefrei sind Uns schein der lezere Weg sehr plausibel

6 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 6 von Black & Scholes 973 sicher die Annahme eines risikolosen Asses, daß der berachee Mark vollsändig wird In der HJM Theorie wird die Exisenz eines lokal risikolosen Tagesgeldzinses spo rae r r = f, unersell B sei eine Anlage mi B0 =, die in jedem Zeipunk in das Tagesgeld invesiere money marke accoun, B = exp rs ds Der Wer der Anlage B is dami immer posiiv und folg einem absolu seigen Prozeß Weier gil die folgende Differenialgleichung für den Tiel B, 0 db B = r d Ein zu P äquivalenes Maß Q, bei dem die diskonieren Preisprozesse P, T /B Q Maringale darsellen, wird äquivalenes Maringalmaß genann Unser Modell erweis sich als vollsändig, wenn ein eindeuiges äquivalenes Maringalmaß exisier 3 HJM weisen nach, daß das hier gewähle Modell vollsändig is, siehe S9 Sei nun ein Tiel gegeben, welcher im Zeipunk T eine Zahlung XT leise Wie is ein solches Werpapier zu beweren, wenn ein äglicher Gewinn und Verlusausgleich unersell wird? Für den fairen Preis X des Werpapiers gil die Gleichung, X = E Q XT F 3 Warum is dieser Preis fair? Man berache einen Invesor, der ein Anfangskapial von X0 besiz und in jedem Zeipunk Zahlungen ensprechend dem marking o marke leise Dann kann dieser Invesor, wenn er einer ensprechend konsruieren Sraegie folg, im Zeipunk = T asächlich die Ansprüche XT befriedigen, ohne zusäzliche Gewinne oder Verluse zu realisieren Ein Beweis dieser Behaupung finde sich bei Duffie & Sanon 99, Theorem 3 Zahlungssrukur und Bewerung des Renen Fuure Der Renen Fuure liefer im Fälligkeisermin der delivery opion = d einen Tiel aus einer Klasse fesverzinslicher Anleihen i =,,, n Wir werden im folgenden annehmen, daß im Das bedeue, die Nullmengen P A = 0 und QA = 0 sind idenisch Ein Prozeß Y is ein Q Maringal, wenn für den bedingen Erwarungswer uner Q Y = E Q Y T F T, gil 3 Zum Beweis siehe Harrison & Pliska 98, Abschni 34 Man beache eine Ungenauigkei in der Formulierung des Theorems von Harrison & Pliska, siehe dazu Jarrow & Madan 993

7 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 7 Fall des Pfandbrief Fuures diese Anleihen über die gesame Laufzei höchse Boniä besizen und dieses Raing auch nich verlieren Dami wird die Herleiung der Bewerungsgleichung für den Pfandbrief Fuure sich nich von der des Bund oder Bobl Fuures unerscheiden Die lieferbaren Anleihen zahlen in fesen Zeiabsänden ypischerweise vierel, halb oder jährlich, Jumbo Pfandbrief zahlen ausschließlich jährlich Kupons Beim Bobl, Bund als auch der Pfandbrief Fuure erfolgen bis zum Zeipunk d keine Kuponzahlungen an den Käufer des Fuures Wir wollen, um die Mahemaik so einfach wie möglich zu gesalen, im folgenden annehmen, daß die lieferbaren Anleihen bis d keine Kupons zahlen Jede Anleihe i =,,, n, die nach Fälligkei der delivery opion im Zeipunk d geliefer werden kann, is durch drei Zahlen charakerisier den Kupon c i, die ganzzahlige Reslaufzei T i der Anleihe gemessen in Jahren, wobei abgerunde wird, die Zeispanne m i gemessen in Jahren, nach der im Anschluß an die Lieferung die erse Kuponzahlung erfolg m i is eine Zahl zwischen 0 und Es ergib sich nun für den Renen Fuure eine Zahlungssrukur wie in Abbildung gezeig Im Zeipunk = d wird die delivery opion ausgeüb; der Käufer des Fuures erhäl eine Anleihe Diese zahl in den darauffolgenden Zeipunken jeweils Kupons der Höhe c i und wird fällig mi dem Ablauf von m i + T i Jahren d d + m i d + m i + d + m i + T i heue Ausübung CTD Kupon Kupon Fälligkei Abbildung : Zahlungssrukur des Renen Fuure In einem Zeipunk 0 d is der Wer einer lieferbaren Anleihe mi Kupon c i, Reslaufzei m i + T i und ersem Kupon nach der Ausübung der CTD im Zeipunk m i durch die Summe der Barwere der Kuponzahlungen und der Rückzahlung bei Fälligkei gegeben T i c i P, d + m i + k + P, d + m i + T i Es wird sich im folgenden als sinnvoll erweisen, den uner Umsänden nich gehandelen Fuure F i zu berachen, der die gerade modelliere Anleihe im Zeipunk = d unbeding

8 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 8 liefer Dieser Fuure ha nach 3 den Preis F i F i := E Q T i c i P d, d + m i + k + P d, d + m i + T i F, d 4 Der Preis des Fuures F i unerscheide sich vom Kassapreis der Anleihe ensprechend der Korrelaion des Tagesgeldzinses mi den zugrundeliegenden Werpapierpreisen 4 Wir wollen auf diese Fragen und die Theorie des Hedging dieser Fuures nich näher eingehen, da die Ergebnisse in der Lieraur bereis ausreichend diskuier sind Eine ewas aufwendige Rechnung, die sich im Anhang befinde siehe Gleichung 6, liefer die folgenden Gleichungen zur Bewerung des Fuures T i F i = c i P, d + m i + k P, d wobei die Funkion h durch definier is h d, m i + k + + P, d + m i + T i P, d hs, T := exp σ s T 4 σ 3 e s e T h d, m i + T i, 5 Wir kommen nun zur Bewerung des Renen Fuures Um in der delivery opion die unerschiedlichen Kupons und Laufzeien der Anleihen vergleichbar zu machen, wird nich die vereinbare Menge, sondern dessen Produk mi einem Konversionsfakor geliefer Dieser Konversionsfakor is deerminisisch und häng vom Nominalzins c i, der Reslaufzei T i und dem ersen Kuponzahlungsermin m i ab, wir bezeichnen ihn im folgenden mi 5 Im Zeipunk = d zahl der Verkäufer des Renen Fuure dem Käufer den Quoienen aus dem Anleihepreis und dem Konversionsfakor der zu liefernden Anleihe, 6 F i d 7 Im Zeipunk = d wird uner Berücksichigung der Konversion die für den Verkäufer billigse Anleihe geliefer Die vom Käufer zu leisende Zahlung is daher idenisch dem Minimum der Anleihepreise 7 für die lieferbaren Anleihen n =,, n Der faire Preis des 4 Siehe zu diesem Zusammenhang insbesondere die Arbei Cox e al 98 sowie Duffie & Sanon 99 5 Vergleiche zum Beispiel Berendes & Bühler 994, S996 Der Konversionsfakor beim Bund Fuure laue an der Eurex und an der LIFFE, = 06 m i { ci 06 + } c i T i 06 T i 00 m i

9 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 9 Renen Fuures im Zeipunk d nun 6 wird mi RF bezeichne Aus Gleichung 3 folg RF = E Q RF d F 8 = E Q F i d min F i=,,n n = E Q F i d K { } F i j F i d F j d 9 i= Zur weieren Rechnung nuzen wir eine Idee, die sich bereis implizi bei Johnson 987 finde Johnson wechsele, um eine Opion auf das Minimum mehrerer Tiel zu beweren, das zugrundeliegende Maß Wir wollen diese neuen Maße hier vereinfach mi Q i bezeichnen; sie seien wie folg definier, dq i dq = F i d E Q F i d 0 Nach Gleichung 4 sind diese Prozesse Maringale mi einem Erwarungswer, also asächlich Wahrscheinlichkeismaße Aufgrund der Regel von Bayes vgl Karazas & Shreve 988, Lemma 353 und weil F i ein Maringal is vgl 4, gil die Gleichung E Q F i d K { } F i j F i d F j d = E Q Fi d F E Q i K { } F i j F i d F j d = F i Q i j F i d F j d F Dami können wir 9 zur Gleichung RF = n i= F i Q i j F i d F j d F vereinfachen Um den Preis des Renen Fuures berechnen zu können, benöigen wir noch die Ausübungswahrscheinlichkei uner dem Fuure Maß Q i j F i d F j d F Für dieses Maß exisier im allgemeinen kein geschlossener Ausdruck Jedoch kann dieses Wahrscheinlichkeismaß als gewichees arihmeisches Miel von Einzelwahrscheinlichkeien Q s j F i d F j d 6 Mi A werde die Indikaorfunkion der Menge A bezeichne, das heiß diejenige Funkion, die für Elemene aus A den Wer und sons den Wer 0 liefer

10 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 0 s = m i, m i +, m i + T i geschrieben werden zum Beweis siehe Anhang: Q i j F i d F j d F = T i c i P, d + m i + k h d, m i + k T i c i P, d +m i +k h d,m i +k+p, d +m i +T i h d,m i +T i + P, d + m i + T i h d, m i + T i T i c i P, d +m i +k h d,m i +k+p, d +m i +T i h d,m i +T i Q mi +k Die Einzelwahrscheinlichkeien berechnen sich aus dem Inegral Q s j F i d F j d = π d e d Q i s j F i d F j d + Q mi +T i j F i d F j d e x d + e d y dx dy, 3 wobei die Menge Q i s durch die Ungleichungen Q i s = { x, y R j T i {c i + exp T j {c j exp g d, m i + k, s σ m i + kx σ e mi+k y + g d, m i + T i, s σ m i + T i x σ } e m i+t i y exp g d, m j + k, s σ m j + kx σ e mj+k y + + exp g d, m j + T j, s σ m j + T j x σ e m j+t j y gegeben is und die Funkion g durch }} g d, T, s := σ T d d + T s σ { } 3 e d e T 4 + e d 3 e s + e T definier is 4 4 Hedging des Renen Fuure Bisher wurden keine Aussagen zum Hedging des Renen Fuures gemach Grundsäzlich sind in einem Zwei Fakoren Modell zwei Bonds ausreichend, um jedes fesverzinsliche Werpapier

11 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S zu duplizieren, vergleiche Duffie & Sanon, 99, Theorem Wir wollen hier jedoch der Frage nachgehen, wie eine Hedging Sraegie aussehen würde, die auf sämliche gehandelen Fuures F i zurückgreifen würde Uns ineressiere die Frage nach dem Wer der delivery opion beim Renen Fuure Vor dem Hinergrund dieses Problems is es naheliegend, von einer Handelbarkei der einzelnen Fuures F i ausgehend die Frage nach der Hedging Sraegie zu sellen Wir blenden auf diese Weise die Besonderheien beim Hedging aus, die durch den äglichen Gewinn und Verlusausgleich ensehen Diese Besonderheien bildeen nich den Gegensand unserer Unersuchungen Nach Duffie & Sanon 99, Lemma, sowie Gleichung läß sich berechnen, wie eine Hedging Sraegie, die auf die n Fuures F i zurückgreif, zu konsruieren is Der Invesor häe vom Fuure F i im Zeipunk die Mengen RF F i = exp rs ds 0 Q i j F i d F j d zu halen Die Wahrscheinlichkei Q i is eine reelle Zahl zwischen 0 und Berachen wir den Fall, in dem die Wahrscheinlichkei null wäre Die Gleichung Q i = 0 muß wegen der Äquivalenz der Maße auch P = 0 implizieren in diesem Fall wäre bereis uner dem subjekivem Maß P unwahrscheinlich, daß der Fuure F i CTD wird Daher is im allgemeinen davon auszugehen, daß sich der Wer Q i im offenen Inervall 0, befinde Dami häl der Invesor in seinem Hedge Porfolio in der Ta sämliche Anleihen F i, bei denen er uner dem subjekiven Maß P annehmen muß, daß sie im Lieferzeipunk asächlich CTD sein können Diese Hedging Sraegie ensprich offensichlich nich einem Cash and Carry 3 Ein illusrierendes Beispiel Anhand eines einfachen und insbesondere geschlossen berechenbaren numerischen Beispiels soll eine erse Annäherung an die Ergebnisse erreich werden Dazu unersellen wir im folgenden, daß nur asächlich zwei Anleihen lieferbar sind Diese beiden Anleihen sollen weiergehend Nullkupon Anleihen sein Die Rechnung wird mi Nullkupon Anleihen deshalb einfacher, da diese Anleihen lognormal vereil sind 7 Die Abbildungen wurden mi der in der Einleiung genannen Excel Daei berechne, nähere Informaionen sind vom Verfasser erhällich 8 Allerdings is dieser Fall unrealisisch, da weder der Bund, der Bobl noch der Pfandbrief Fuure Zerobonds liefern Ebenso muß in Berach gezogen werden, daß die Preise von Zerobonds viel särker auf Zinsänderungen reagieren, als dies bei Kuponanleihen der Fall is Wegen der einfachen Handhabbarkei is dieser Fall dennoch durchaus zur Illusraion geeigne 7 Vergleiche Frey & Sommer 996, Abschni Dor werden derarige Tiel lognormal claims genann 8 Siehe Anhang dieser Anhang soll nich veröffenlich werden!

12 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S Es seien weier die folgenden Parameer gewähl: 9 σ = 5%, σ = 5%, = hs, T T = T = s Abbildung : hs, T in Abhängigkei von der Laufzei bis delivery s in Jahren Um den Einfluß des äglichen Gewinn und Verlusausgleiches zu ermieln, zeichnen wir die in der Gleichung für F i aufauchende Funkion hs, T in Abhängigkei von der Laufzei bis Lieferung s Sie verdeulich die durch den äglichen Gewinn und Verlusausgleich hervorgerufene Preisänderung beim Fuure In Abbildung is der Funkionsverlauf graphisch dargesell Es fäll auf, daß durch die Wahl der Parameer der Funkionswer immer oberhalb vom Wer 098 bleib Durch die gewähle Modellspezifikaion unseres Zwei Perioden Modells is er höchsens gleich, dami is der Preis eines Fuure höchsens gleich dem Kassapreis 0 Im folgenden wird unersell, daß nur Zerobonds mi einer Reslaufzei ab delivery von 0 bzw 9 Jahren lieferbar sind Das Wahrscheinlichkeismaß Q is dann im Zeipunk < d vom Quoien P, /P, 0 abhängig Dieser Quoien kann durch die im Zeipunk gelende forward rae vom Jahr 0 auf das Jahr ausgedrück werden Bezeichnen wir diesen Zins einfacher mi F 0,, dann gil näherungsweise P, = 06 P, 0 + F 0, F 0, Also is die Wahrscheinlichkei Q in erser Näherung abhängig von der Differenz der asächlichen Zinssrukur zu einer flachen Kurve mi dem Referenzwer 6% Abbildung 3 sell diesen Zusammenhang für drei verschiedene Zeipunke graphisch dar Man erkenn, daß 9 In Richken & Sankarasubramanian 995 werden Volailiäen zwischen 0% und 0% als realisisch bezeichne 0 Dieses Ergebnis wird auch von Berendes & Bühler 994 im diskreen Ho & Lee Modell erhalen

13 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 3 im Zeipunk = 0 ein Jahr vor der Ausübung der delivery opion ein nich unrealisischer Wer von 9% für die forward rae F 0, dazu führ, daß die Ausübungswahrscheinlichkei ewa 3/4 beräg Mi forlaufender Zei änder sich diese Siuaion Im Zeipunk = 09 ewa einen Mona vor Ausübung ermiel sich bei derselben forward rae die Wahrscheinlichkei zu 097 Vier Tage vor Ausübung dies ensprich = 099 is die Wahrscheinlichkei prakisch Q =099 =09 = % 6% % P, P,0 F 0, Abbildung 3: Q für Nullkuponanleihen in Abhängigkei vom Quoienen 06 P, /P, 0 Dieses einfache numerisches Beispiel illusrier, daß die richige Hedging Sraegie zum Teil erhebliche Abweichungen zur Cash and Carry Sraegie aufweisen kann Das gleiche gil für die Bewerung des Renen Fuure Nehmen wir ein Jahr vor Ausübung eine flache Zinskurve mi Niveau 6% an, dann erhalen wir mi den gegebenen Parameern die folgenden Preise für die Fuures, welche die Nullkuponanleihen und uner Berücksichigung der Konversionsfakoren liefern F 0 K = 045 F 0 K = 0465 Der Renen Fuure dagegen würde ensprechend dieser Theorie mi einem Wer von RF0 = 050 bewere werden, also mi über 00 Basispunken weniger als bei der Cash and Carry Arbirage! Ob sich diese große Abweichung uner realisischen Rahmenbedingungen aufrech erhalen läß, kann nur eine ökonomerische Unersuchung zeigen 4 Anhang 4 Vorbemerkungen Wir beginnen mi einigen Vorüberlegungen zur Bewegung der Bondpreise in dem Spezialfall Gleichung 38 bei HJM beschreib die Bewegungsgleichung der forward raes uner dem äquivalenen

14 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 4 Maringalmaß für s T fs, T = f, T + σs T s + σ e T e s e e T e s e + s s + σ dw Q u + σ e T u dw Q u Beim ersen Prozeß handel es sich also um eine einfache Brownsche Bewegung, der zweie Prozeß kann in eine Ornsein Uhlenbeck Form überführ werden Sezen wir diese Gleichung in den Ausdruck ein, so ergib sich uner Benuzung des sochasischen Fubini Theorems siehe Heah e al 99, S 99 nach längerer, aber elemenarer Umformung die folgende sochasische Differenialgleichung für die Nullkupon Anleihen, ln P s, T = ln P, T P, s σ T s T s σ 3 e s e T s 4 + e s + e T s s σ T s dw Q u σ e T s s e s u dw Q u 5 Der einfachen Lesbarkei halber sei der nichsochasische Teil dieser Gleichung im folgenden mi der Variablen A s,t bezeichne Es wird noch der Erwarungswer des Bondpreises uner dem äquivalenen Maringalmaß benöig Dazu sellen wir zuers wie folg um, E Q P s, T F = e A s,t E Q exp = e A s,t E Q exp s s σ T s dw Q u exp σ σ T s dw Q u F s e T s e s u dw Q u F E exp Q σ s e T s e s u dw Q u F Der leze Schri folg aus der Unabhängigkei der beiden Brownschen Bewegungen Wenden wir uns dem ersen Fakor in dieser Gleichung zu Sei N µ, σ das Vereilungsgesez der Normalvereilung mi Erwarungswer µ und Varianz σ, dann gil wegen der Eigenschafen der Brownschen Bewegung, E Q exp s σ T s dw Q u F } {{ } N 0,s σ = exp T s s Ebenso können wir den zweien Fakor berechnen Es gil zuers für das sochasische Inegral, wenn X einen Ornsein Uhlenbeck Prozeß mi Drifparameer und Varianzparameer bezeichne In dier hier angegebenen Formulierung benöigen wir eine ewas geändere Gleichung, in der sa f0, T auf f, T zurückgegriffen wird Wir benuzen hier und in der folgenden Rechnung den Sachverhal, daß für eine N 0, σ normalvereile Zufallsvariable X gil E expa X = exp a σ

15 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 5 vgl zu Definiion und Eigenschafen derselben Karazas & Shreve 988, S358, die Gleichung s e s u dw Q u = Xs e s X Dami aber läß sich das Vereilungsgesez des sochasisches Inegrals sofor ermieln, es is normalvereil mi einem Erwarungswer von null und einer Varianz siehe ebd von Var Xs e s X = e s Diese Informaion ermöglich es uns, den zweien Erwarungswer in der Bondpreisformel zu berechnen, E Q exp σ s e T s e s u dw Q u F = exp σ } {{ } 3 e T s e s N 0, e s Die bisherigen Zwischenergebnisse zusammenfassend ergib sich wiederum nach elemenarer Rechnung endlich die folgende Gleichung für den bedingen Erwarungswer der Bondpreise, E Q P s, T F = P, T P, s exp σ s T s 4 σ 3 e s e T s 6 } {{ } =hs,t s 4 Das Maß Q i Berachen wir den Ausdruck Q i F i d F Aus Gleichung erhalen wir nach einfachem Umsellen für das gesuche Wahrscheinlichkeismaß die folgende Relaion, Q i j F i d F j d F = T i c i F j d E Q P d, d + m i + k { j F i d F j d F } T i c i + E Q P d, d + m i + T i F { j i d K F j d i K F } j E Q P d, d + m i + k F + E Q P d, d + m i + T i F Wir werden jez die Summanden des Zählers in 7 genauer unersuchen Dazu führen wir für posiive Zahlen s s = m i, m i +,, m i + T i die Maße Q s d Q s dq = P d, d + s E Q P d, d + s ein Wegen 5 erhalen wir mi einer geeigenen Konsane M die sich dadurch besimm, daß der Exponenialausdruck den Erwarungswer erhäl den erzeugenden Prozeß von Q s, 3 d Q s dq = M exp d 0 d σ s dw Q u σ e s e d u dw Q u Siehe Davis 996, der eine allgemeine Mehode, wie solche erzeugenden Prozesse berechne werden können, angib 7

16 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 6 Wiederum gil wegen der Regel von Bayes, E Q P d, d + s { j F i d F j d F } = E Q P d, d + s F E Q s { j F i d F j d F } = E Q P d, d + s F Q s j F i d F j d F Sezen wir dies in die Gleichung 7 ein, dann ergib sich der folgenden Ausdruck für das gesuche Wahrscheinlichkeismaß, Q i j F i d F j d F = T i T i c i + T i c i c i E Q P d, d + m i + k F E Q P d, d + m i + k F + E Q P d, d + m i + T i F E Q P d, d + m i + T i F E Q P d, d + m i + k F + E Q P d, d + m i + T i F Q mi +k j F i d F j d F + Q mi +T i j F i d F j d F 9 Dami is ersichlich, daß sich die gesuche Wahrscheinlichkei als ein gewichees arihmeisches Miel von Wahrscheinlichkeien Q s ergib Berücksichigen wir noch 6, dann beweis dies nach kürzen von P, d die Gleichung 3 Wir werden die Wahrscheinlichkeien Q s jez berechnen Dazu haben wir das Bewegungsgesez der Differenz F i d F j d uner dem Maß Q s abzuleien Wir beginnen mi Gleichung und sezen 5 ein, F i d = T i {c i exp A d,d +mi +k d σ m i + kdw Q u σ e m i+k d + exp A d,d +mi +Ti σ m i + T i dw Q u σ e m i+t i d d e d u dw Q u + e d u dw Q u } 0 Um das Bewegungsgesez der Differenz F i d F j d uner dem Maß Q s zu besimmen, werden wir das Theorem von Girsanov Proer 990, Theorem 6 auf die einzelnen Summanden anwenden Wir erhalen für einen ypischen Summanden aus 0 mi Laufindex k =,, T i zunächs uner Vernachlässigung des Exponenials, A d, d +m i +k d A d, d +m i +k d d σ m i + kdw Q u σ e mi+k σ m i + kdw Q s u σ e m i+k e d u dw Q u = d e d u dw Q s u + + σ m i + ks d + 4 σ 3 e s e m i+k e d

17 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 7 und dies führ nach Einsezen der Definiion der A d, d +m i +k und ewas mühsamer Rechnung auf, d = σ m i + k dw Q s u σ d e mi+k e d u dw Q s u } {{ } } {{ } N 0, d σ N 0, e d m i + k d d + m i + k s { } σ 3 e d e mi+k 4 + e d 3 e s + e mi+k Der nichsochasischen Teil dieses Ausdruckes ensprich gerade der Funkion g d, m i + k, s, vgl 4 Nun läß sich endlich der Ausdruck für Q s noieren, Q s j F i d F j d F = K Q s j j { + exp { c i T i exp g d,m i +k,s σ m i +k g d,m i +T i,s σ m i +T i d c j T j exp g d,m j +k,s σ m j +k + exp g d,m j +T j,s σ m j +T j d dw Qs u σ e m i +k dw Qs u σ e m i +T i d d d dw Qs u σ e m j +k d e d u dw Qs u e d u dw Qs u d dw Qs u σ e m j +T j + } e d u dw Qs u d e d u dw Qs u + } Das Vereilungsgesez des ersen sochasischen Inegral is eviden, das zweie Inegral is ein Ornsein Uhlenbeck Prozeß uner dem Maß Q s, dessen Varianz wir bereis oben ermielen Dami is aber endlich die zu beweisende Gleichung 3 verifizier Lieraur Benninga, S & Wiener, Z 996 An invesigaion of cheapes o deliver on reasury bond fuures conracs unpublished Berendes, M & Bühler, W 994 Analyse der Preisunerschiede von Zinsforward und Zinsfuure Zeischrif für beriebswirschafliche Forschung, Black, F & Scholes, M 973 The pricing of opions and corporae liabiliies Journal of Poliical Economy, Cox, J, Ingersoll, J & Ross, S 98 The relaion beween forward prices and fuures prices Journal of Financial Economics, Davis, M 996 A noe on he forward measure Tokyo Misubishi Inernaional Duffie, D 988a An exension of he black scholes model of securiy valuaion Journal of Economic Theory, Duffie, D 988b Securiy Markes San Diego: Academic Press, Inc Duffie, D & Sanon, R 99 Pricing coninuously reseled conigen claims Journal of Economic Dynamics and Conrol,

18 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 8 Dybvig, P & Huang, C 989 Nonnegaive wealh, absence of arbirage, and feasible consumpion plans Review of Financial Sudies, Frey, R & Sommer, D 996 A sysemaic approach o pricing and hedging of inernaional derivaives wih ineres rae risk Technical Repor B 306, Universiä Bonn, SFB 303 Harrison, J & Kreps, D 979 Maringales and arbirage in muliperiod securiies markes Journal of Economic Theory, Harrison, J & Pliska, S 98 Maringales and sochasic inegrals in he heory of coninuous ime rading Sochasic Processes and heir Applicaions, 5 60 Heah, D, Jarrow, R & Moron, A 99 Bond pricing and he erm srucure of ineres raes: A new mehodology for coningen claims valuaion Economerica, Hemler, M 990 The qualiy delivery opion in reasury bond fuures conracs Journal of Finance, Ho, T & Lee, S-B 986 Term srucure movemens and pricing ineres rae coningen claims Journal of Finance, 0 09 Jamshidian, F 993 Opion and fuures evaluaion wih deerminisic volailiies Mahemaical Finance, Jarrow, R A 997 The HJM model: Is pas, presen, and fuure Keynoe Address IAFE 997 Conference Jarrow, R A & Madan, D B 993 A characerizaion of complee securiy markes on a brownian filraion Mahemaical Finance, 3 43 Johnson, H 987 Opions on he maximum or minimum of several asses Journal of Financial and Quaniaive Analysis, Karazas, I & Shreve, S 988 Brownian Moion and Sochasic Calculus Vol 3 of Graduae Texs in Mahemaics, New York, Heidelberg: Springer Verlag Moron, A 988 A class of sochasic differenial equaions arising in models for he evoluion of bond prices Technical repor School of Operaions Research and Indusrial Engineering, Cornell Universiy Proer, P 990 Sochasic Inegraion and Differenial Equaions Vol of Applicaions of Mahemaics, Berlin: Springer Verlag Richken, P & Sankarasubramanian, L 995 A mulifacor model of he qualiy opion in reasury fuures conracs The Journal of Financial Research, 6 79 Sulz, R 98 Opions on he minimum or he maximum of wo risky asses Journal of Financial Economics, 6 85

19 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 9 Appendix no o be included Im folgenden soll gezeig werden, wie die in Fußnoe 9 angegebene Gleichung abgeleie werden kann Da die F i d nur aus Nullkupon Anleihen besehen, gil aufgrund von 4 und 7 Q F d F d F = Q ln P d, d + T ln P d, d + T 0 F K K K K Sez man die Gleichung 5 und die Definiion der Konversionsfakoren ein, dann erhäl man mi elemenarer Rechnung Q F d F d F = Q ln 06 T T P, d + T σ K K P, d + T d T T T + T + d σ 3 4 e d e T e T + e d e T e T σ T T + σ d dw Q u + d e T e T e d u dw Q u F Das sochasische Inegral is uner dem Maß Q berechne Wir haben einen Maßwechsel nach Q vorzunehmen Q besimm sich dabei nach Gleichung 0 sowie der Annahme, daß F eine Nullkuponanleihe is vergleiche auch Gleichung 8 dq dq = P d, d + T E Q P d, d + T = M exp d 0 σ T dw Q u σ e T d 0 e d u dw Q u, wobei M eine geeigne gewähle Konsane is, die einen Erwarungswer des Inegrals von sicher Girsanovs Theorem liefer nun unmielbar das Bewegungsgesez uner Q im Ausdruck Q F d F d F = Q ln 06 T T P, d + T σ K K P, d + T d T T T + T + d σ 3 4 e d e T e T + e d e T e T σ d σ T T d σ T du + σ T T + σ d dw Q u + e T + d u e T + d u σ e d u e T + d u du + d e T e T e d u dw Q u F

20 Hedging von Renen Fuures im HJM Modell S 0 Dieser Ausdruck läß sich zu Q F d F d F = Q ln 06 T T P, d + T σ K K P, d + T σ 3 vereinfachen 4e T e T e d + e d σ T T d d T T T +T + d e T e T + dw Q u + σ e d T d e T d e d u dw Q u F Die Summe beider sochasischer Inegrale auf der rechen Seie der Ungleichung is wegen der Unabhängigkei der Brownschen Bewegungen normalvereil mi dem Erwarungswer null und der Varianz σt T d + 4 σ 3 e d e T d e T d Sei die kumuliere Normalvereilung mi Φ bezeichne Dann gil für Q F d Q F d ln 06 T T P, d +T P, F = Φ d +T K K + g d, T, T σ T T d + 4 σ 3 e T e T e d, wobei sich die Funkion g aus g d, T, T := σ d T T T + T + d ergib σ 3 4e T e T e d + e d e T e T +