Das Durationskonzept einmal anders: alternative Darstellung der Preissensitivitäten eines festverzinslichen Wertpapiers*

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1 Prof. Dr. homas Zimmerer Das Duraionskonzep einmal anders: alernaive Darsellung der Preissensiiviäen eines fesverzinslichen Werpapiers*. Das Zinsänderungsrisiko. Das Endwerrisiko.2 Markwerrisiko 2. Einsazmöglichkeien der Zinsrisikomaße im Porfoliomanagemen 3. Vorüberlegungen und Analyse Seup 3.. Markpreisrisiken uner Variaion von Rendie und Reslaufzei bei konsanem Kupon 3.2. Markpreisrisiken uner Variaion von Kupon und Reslaufzei bei konsaner Rendie 4. Zusammenfassung Beirag is aufgeeil und gekürz veröffenlich in Form von zwei Arikeln: "Das Duraionskonzep einmal anders: alernaive Darsellung der Preissensiiviäen eines fesverzinslichen Werpapiers", in: Wirschafswissenschafliches Sudium (WiS), /25, S "Duraion und Convexiy: Zinssensiiviä eines fesverzinslichen Werpapiers", in: Wirschafswissenschafliches Sudium (WiS), /25, S

2 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders Das Duraionskonzep einmal anders: alernaive Darsellung der Preissensiiviäen eines fesverzinslichen Werpapiers Fesverzinsliche Anlagen sind genauso wie alle anderen akiv an Börsen gehandelen Werpapiere risikobehafee Invesmens, die Markpreisschwankungen unerliegen. Das Besondere an einer fesverzinslichen Anleihe (Bond) is jedoch, dass deren Preisschwankungen über den Hauppreisbesimmungsfakor, die Rendie der Anleihe, analyisch erklär- und quanifizierbar sind. Es exisier eine inverse, nichlineare Beziehung zwischen Rendien und Kursen einer fesverzinslichen Anleihe: seigende (fallende) Rendien gehen mi fallenden (seigenden) Kursen einher, wobei je nach Änderungsrichung beragsgleiche Rendieänderungen nich zu beragsgleichen Preisänderungen führen. Zum Vergleich der zinsänderungsbedingen Preissensiiviäen auf Bond- bzw. aggregier auf Porfolio-Ebene exisieren die Risikokennziffern Macauley Duraion, Modified Duraion und Convexiy. Die Risikokennziffern sind leich berechenbar und machen Bonds unerschiedlicher Aussaung, d.h. fesverzinsliche Anleihen mi unerschiedlichem Kupon und unerschiedlicher Reslaufzei hinsichlich ihres Markpreisrisikos mieinander vergleichbar. asächlich sind aber neben dem markspezifischen Parameer der laufzeiabhängigen Rendie auch die aussaungsspezifischen Parameer Kupon und Reslaufzei für Ausmaß und Grad der Markpreisbewegungen des Bonds (mi-)veranworlich. Der Beirag is inhallich wie folg aufgeeil: zunächs werden die das Zinsänderungsrisiko einer Anleihe ausmachenden Komponenen Endwerrisiko und Markwerrisiko vorgesell. Anschließend werden die Risikokennziffern Macauley Duraion, Modified Duraion und Convexiy analyisch hergeleie und konkre für eine exemplarische Anleihe berechne. Die Risikokennziffern in ihrer analyischen Darsellung erlauben lediglich eine parielle Berachung, d.h. ypischerweise die Beanworung der Frage nach der zinsänderungsbedingen Markpreissensibiliä eines Bonds uner Feshalung der beiden übrigen preisbesimmenden Fakoren Kupon und Reslaufzei. Dies sell den klassischen eil der Risikoanalyse eines Bonds dar, wenn unersuch wird, wie Anleihepreise auf Änderungen des Markzinsniveaus reagieren. Der exzepionelle eil der Risikoanalyse in diesem Beirag lös sich von der Parialberachung eines konkreen Rendieszenarios, d.h. der Änderung des markspezifischen Parameers Rendie um einen diskreen Ansieg bzw. Rückgang bei sons unveränderen Parameern, indem die Ceeris-Paribus-Prämisse hinsichlich der aussaungspezifischen Parameer Kupon und Reslaufzei zumindes eilweise aufgegeben wird: graphische Darsellungen der Preis- und Duraionssensiiviäen eines Bonds hinsichlich der simulanen, seigen Variaion zweier preisbesimmender Fakoren uner Feshalung des drien sind nich mehr auf nur ein Szenario beschränk, sondern erlauben Sensiiviäsanalysen hinsichlich eines ganzen Szenario-Raumes. Dadurch werden für unerschiedliche Konsellaionen der preisbesimmenden Fakoren Sensibiliäen auf einen Blick sichbar, die in dieser Form in der analyischen Berachung nur pariell oder gar nich möglich sind. Im Folgenden erfolg eine Graphical Invesigaion unerschiedlicher Rendie-Reslaufzei-Seups bei konsanem Kupon bzw. unerschiedlicher Kupon-Reslaufzei-Seups bei konsaner Rendie in zwei- und dreidimensionalen Darsellungen. Der Voreil der Graphiken gegenüber der reinen analyischen Darsellung lieg darin, dass Asymmerien und Nichlineariäen der Preis-Rendiefunkion visualisier werden.

3 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 2. Das Zinsänderungsrisiko Fesverzinsliche Anlagen gelen allgemein als sicheres Invesmen, da sie regelmäßig Kupons bezahlen und bei Endfälligkei der Nominalberag zurückbezahl wird. Da der Cash Flow fes vereinbar is, werden fesverzinsliche Werpapiere von vielen Anlegern - insbesondere wenn sie eine Buy-and-Hold -Sraegie bis zur Endfälligkei bereiben - häufig als risikolose Invesiion angesehen. asächlich sind jedoch die künfigen Cash Flows barwerig auf einen Zeipunk zu beziehen, um den ökonomischen Wer der Invesiion zu quanifizieren. Der Barwer einer Anlage in ein fesverzinsliches Werpapier mi Laufzei, d.h. der Markpreis P des Bonds ensprich dem Gegenwarswer der bekannen, künfigen Cash Flows CF zum beracheen Zeipunk den Kupons C und der Rückzahlung des Nominalweres N. Als Zinsfuss zum Abdiskonieren der Cash Flows fungier die laufzeikongruene Rendie y, die am Kapialmark abgegriffen werden kann. Formal läss sich der Preis schreiben als: C P = + + y C C + N = 2 ( + ( + ( + = ( + ( + = ( + C + N = CF () Die Begriffe Rendie oder (Mark-)Zins werden im Folgenden synonym verwende und ensprechen formal dem Markschwankungen unerliegenden Diskonfuss der Preisgleichung, der sog. Yield o Mauriy. Sreng davon zu unerscheiden is der Nominalzins (Kupon) als unveränderliche Größe in der Preisgleichung. Der Wer eines Reneninvesmens und dami dessen Werenwicklung hängen in erheblichem Ausmaß von der Veränderung des Rendie- oder Markzinsniveaus ab. Zum einen besimm das Markzinsniveau die Wiederanlagemöglichkeien der fällig werdenden Kuponzahlungen, zum anderen is der Preis eines fesverzinslichen Werpapiers vom Markzinsniveau abhängig. Demzufolge resulieren aus einer Veränderung des Rendieniveaus Änderungen der Reinvesiionsbedingungen sowie Kursänderungen und man unerscheide das Wiederanlagerisiko und das Kursänderungsrisiko als Formen des Zinsänderungsrisikos. Folgende Abb. zeig den hisorischen Verlauf der jährlichen Werenwicklung aus ordenlichen Zinserrägen und Preisenwicklungen im Deuschen Renenindex REX sei 97. 2% -Jahreswerenwicklung* 5% % 5% % -5% * Monalich rollierende -Jahresrendien des REX Performance Index Quelle: Zeireihendaenbank der Deuschen Bundesbank Abb. : Hisorische Performance eines Reneninvesmens

4 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 3 Der REX enhäl Bundesanleihen mi Laufzeien von bis Jahren mi Kupons von 6%, 7,5% und 9% und weis im langfrisigen geomerischen Durchschni eine Werenwicklung von rund 7,3 % p.a. auf, wobei im Exrem +9,5 % im Zeiraum 7/974-7/975 bzw. -5,% im Zeiraum 8/98-8/98 realisier wurden. Rendierückgänge können demnach zu Kursansiegen deulich über den Kuponerrag hinaus führen. Im Falle von Rendieansiegen kann der Jahreskupon durch die Kursrückgänge neuralisier oder gar überkompensier werden. Diese Enwicklungen provozieren die Frage nach Risikomaßen, die das zinsänderungsbedinge Preisverhalen quanifizieren. Die Risikomaße werden eingesez, um Zinsänderungsrisiken zu erfassen und zu seuern. Lezeres beinhale das Eliminieren des Risikos (Hedging, Immunisierung) sowie das bewusse Eingehen von Risiken, um Erwarungen bezüglich der künfigen Zinsenwicklung, abgeleie aus einer Zinsprognose, in akive Anlageenscheidungen umzusezen. Die Maße lassen sich nach ihrem Einsazgebie beschreiben. Im Rahmen der Markwerrisikoanalyse sehen zinsänderungsbedinge Kursrisiken einer fesverzinslichen Anleihe oder eines Porfolios aus Anleihen in der Berachung. Die Erfassung und Seuerung des Markwerrisikos is eine der zenralen Aufgaben eines Bond Porfoliomanagers. Im Rahmen der Endwerrisikoanalyse sehen zinsänderungsbedinge Kurs- und Wiederanlagerisiken gleichermaßen in der Berachung, wobei berücksichig wird, dass sich beide Risiken im Zeiablauf kompensieren können: End- und Markwerrisiko verhalen sich bei einer Rendieänderung gegenläufig, d.h. durch ein sinkendes Markzinsniveau seig zwar der Kurs der Anleihe, gleichzeiig sink aber der Endwer der Anleihe, da die fällig werdenden Kupons nur noch zu geringeren Rendieniveaus bis zur Fälligkei reinvesier werden können und umgekehr. Welches der beiden Risiken lezendlich dominier, häng vom Zeipunk, der Frequenz und vom Ausmaß der Rendieänderungen ab. Während Markwerrisiken grundsäzlich alle Invesorenkreise gleichermaßen bereffen, sind Endwerrisiken v.a. für Invesoren relevan, die bei der Porfolioseuerung ein konkrees Endvolumen für einen Ennahmeplan anseuern. Beide Risikoaren werden im Folgenden mi Risikomaßen unerleg.. Das Endwerrisiko Die Besonderhei und gleichzeiig der heoreische Kriikpunk der Yield o Mauriy-Preisformel nach Gleichung () liegen in der Unersellung einer flachen Zinssrukurkurve, da sämliche Zahlungssröme mi dem gleichen Diskonfuss y abdiskonier werden. Die Yield o Mauriy beschreib dami die Rendie, die den Durchschniserrag aus dem Besiz einer Anleihe über die gesame Laufzei uner der Annahme angib, dass alle Kuponzahlungen während der Laufzei der Anleihe zu eben dieser Rendie reinvesier werden können (kein Reinvesiionsrisiko). Mi dem Endwerkonzep wird der Vermögenswer einer Renenanlage nach Ablauf der Anlagefris ermiel, wobei Zinserräge, Zinseszinserräge und Kursgewinne bzw. verluse berechne werden. Sez man den berechneen Endwer in Relaion zum Barwer der Anleihe, so kann man Aussagen über die erwaree Performance im Planungszeiraum machen. Die auf Basis der akuellen Markrendie berechnee annualisiere Performance bezeichne man als ex-ane- Rendie, demgegenüber bezeichne man die asächlich realisiere Performance auf Basis des asächlichen Endweres als ex-pos-rendie oder oal Reurn des Bonds. Bei der Berechnung des Endweres, dem Fuure Value FV einer Kuponanleihe, wird jeder Cash Flow, der dem Invesor im Planungszeiraum zufließ, zum Planungszeipunk τ hin aufgezins, während Cash Flows außerhalb des Planungszeiraumes zum Planungszeipunk τ hin abgezins werden:

5 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 4 FV = CF = ( +, wobei τ < (2) τ Das beim Kauf geplane Endvermögen kann nur dann asächlich erreich werden, wenn während der Laufzei der Anleihe keine Markzinsänderungen aufreen. Da dies in der Praxis jedoch eher die Ausnahme denn die Regel is, wird das realisiere Endvermögen, d.h. die ex-pos-rendie von dem zum Kaufzeipunk geplanen Endvermögen, d.h. von der ex-ane-rendie immer abweichen. Diese Überlegungen sollen an einem konkreen prakischen Beispiel verdeulich werden. Anhand der Szenarioanalyse einer fesverzinslichen Anleihe kann die Reakion des Endweres bei unerschiedlicher Enwicklung der Rendien aufgezeig werden. Die Anleihe wurde am mi einem Kupon in Höhe von 4,5% und einer Laufzei von 5 Jahren pari zu einem Kurs von Euro erworben, d.h. die Emissionsrendie war idenisch mi dem Kupon. Auf diese Anleihe wird in den folgenden formalen Überlegungen immer wieder exemplarisch Bezug genommen. Unersell sei nun in Szenario der idealypische Fall, den die Yield o Mauriy-Preisformel beinhale, d.h. die Rendie bleib während der gesamen Laufzei unveränder bei 4,5%, so dass der Anleger einen Endwer in Höhe von 24,62 Euro (bezogen auf Euro nominal) erziel. In dem Fall würde die Anleihe immer zu pari noieren und die Kupons können zur Emissionsrendie reinvesier werden. In den folgenden beiden Szenarien wird unersell, dass die Rendien am Kapialmark zunächs unveränder bei 4,5% bleiben und vor der ersen Kuponzahlung um 2% fallen bzw. um 2% seigen. Dieses neue Zinsniveau soll dann bis zur Fälligkei der Anleihe Güligkei haben. In Szenario 2 sink das Zinsniveau von 4,5% auf 2,5%. Zunächs häe dies einen erfreulichen Kurseffek in Form eines Kursansieges zur Folge, allerdings könne die Reinvesiion der Kupons nur zu einem ungünsigeren Zins erfolgen, was einem weniger erfreulichen Wiederanlageeffek ensprich. Der weiere Vermögenszuwachs würde dami eher bescheiden ausfallen, was im flachen Ansieg der Geraden in Abb. 2 zum Ausdruck komm. Insgesam würde sich das Gesamvermögen am Ende der Laufzei bei 23,65 Euro einsellen. Nachfolgende ab. verdeulich die Berechnungen, die für die Ermilung des Endweres erforderlich sind: Daum Laufzei Szenario 2 4,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% CF 4,5 4,6 4,73 4,85 4,97 CF 2 4,5 4,6 4,73 4,85 CF 3 4,5 4,6 4,73 CF 4 4,5 4,6 CF 5 4,5 Kurs, 7,52 5,7 3,85,95, Endwere, 2,2 4,82 7,7 2,64 23,65 ab. : Endwerrechnung bei Rendierückgang um 2%

6 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 5 Szenario 3 nimm an, dass nach einem Jahr das Zinsniveau einen Sprung auf 6,5% mach und dor verharr. Das Gegeneil zu Szenario 2 würde sich einsellen: der Kurseffek wäre zunächs negaiv, aber der Wiederanlageeffek wäre in der Folgezei posiiv und würde am Ende der Laufzei sogar überwiegen, so dass mi 25,62 Euro der höchse Endwer aller drei Szenarien zu erzielen wäre. Abb. 2 verdeulich den Verlauf der Endwere der Anleihe uner den verschiedenen Rendieszenarien: Vermögensendwere Anfangswer = Szenario 2 Szenario 3 Szenario 4,58 Jahre Jahre Abb. 2: Endwere einer Anleihe bei verschiedenen Rendieszenarien Je nach Zinsenwicklung würde der Anleger somi am Ende der Laufzei eine posiive oder negaive Abweichung vom geplanen Endvermögen oder von der ex-ane-rendie erfahren. Es exisier aber genau ein Zeipunk, zu dem der Anleger dieses Risiko ausschalen kann. Dieser Zeipunk befinde sich in Abb. 2 im Schnipunk der drei Geraden und wird als Macaulay Duraion (vgl. Macauley, 938) oder kurz als Duraion eines fesverzinslichen Werpapiers bezeichne. Die von Macaulay im Jahre 938 ersmals vorgeselle Kennzahl kann als durchschniliche Bindungsdauer des eingesezen Kapials bezeichne werden. Die Duraion is ein Zeimaß, das angib, zu welchem Zeipunk unabhängig von Richung und Ausmaß der Zinsänderung der asächliche Endwer einer Anleihe dem berechneen ensprich. Sie sell den Zeipunk dar, an dem sich die beiden gegenläufigen Kurs- und Wiederanlageeffeke einer Zinsänderung kompensieren. Die aus unerschiedlichen Rendieszenarien berechneen Endwere sind zu diesem Zeipunk idenisch und immun gegen Rendieänderungen. Die Duraion wird daher auch als Immunisierungszeipunk bezeichne und in Jahren angegeben. Zur Immunisierung des Zinsänderungsrisikos solle ein Anleger darauf achen, dass die Duraion seiner fesverzinslichen Invesmens mi seinem Planungshorizon übereinsimm. Denn nur zum Zeipunk der Duraion kann der Anleger das Endvermögensrisiko roz aufreender Markzinsänderungen eliminieren und seine beim Kauf ermiele Rendie auch ex pos erwirschafen. Eine perfeke Immunisierung erreich man über den Erwerb von Nullkuponanleihen oder Zero Bonds mi einer Laufzei, die dem Planungshorizon ensprich. Nullkuponanleihen zahlen keine Kupons während ihrer Laufzei und noieren am Fälligkeisag zum Nominalwer. Sie unerliegen dami im Gegensaz zu Kuponanleihen keinem Wiederanlagerisiko, besizen jedoch ein erhöhes Kursänderungsrisiko. Da Zero Bonds für beliebige Reslaufzeien nich exisieren und für die wenigen Nullkoponanleihen im Mark keine ausreichende Markiefe gewährleise is, wird man die Gesamduraion eines Porfolios mi Kuponanleihen (Coupon Bonds oder Sraigh Bonds) seuern, indem man die durchschniliche Duraion der Anleihen im Porfolio berechne und dem Planungshorizon bzw. der Duraion eines Vergleichsindex anpass.

7 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 6 Das Duraionskonzep läss sich nämlich vom Single-Asse-Level auf das Porfolio-Level überragen, indem man die Porfolioduraion als markwergewichee Duraion der im Porfolio befindlichen Bonds berechne. Angesichs der Immunisierungseigenschaf ha sich die Duraion zur wichigsen Kennzahl bei der Absicherung von Finanzanlagen gegen das Zinsänderungsrisiko enwickel. Formal is die Duraion die gewichee Summe der Zeipunke, zu denen die Zahlungen bei einem Fixed Income-Insrumen anfallen, wobei als Gewichungsfakoren die Barwere der Cash Flows verwende werden. Sie läss sich wie folg darsellen (zur formalen Herleiung vgl. auch Fabozzi/Pis/Daareya, 99, S oder Rahjens, 998, S ): D = = = CF CF ( + ( + = = = CF CF ( + ( + = = CF P ( + = = w( ) (3) Die Gewiche w() repräsenieren die relaiven Barweraneile der jeweiligen Cash Flows an der Summe sämlicher Barwere gleichbedeuend mi dem Markpreis des fesverzinslichen Werpapiers. Die Duraion is eine viruelle Laufzei und der milere Zeipunk, zu dem der Invesor seine Zahlungen bezieh. Allgemein wird sie auch als barwergewichee Reslaufzei inerpreier. Gleichung (3) mach deulich, dass mi zunehmender Reslaufzei, die gewichee Summe der Reslaufzeipunke und dami die Duraion zunimm. Der Zeipunk, zu dem der Invesor im Miel seine angelegen Miel zurückerwaren kann, verlänger sich. Abb. 2 verdeulich den Zusammenhang, dass dieser Zeipunk unabhängig davon, wie sich die Markrendien bis zu diesem Zeipunk verhalen, konsan is und eben der Duraion ensprich. Ein Invesor, dessen Anlagehorizon der Duraion ensprich, is dami immun gegen Zinsänderungsrisiken. Die Berechnung der Macauley Duraion für die exemplarische Anleihe läss sich schriweise an folgender abelle nachvollziehen: Zinsermine Zeipunke Cash Flows Barwere Gewiche Duraion CF CF ( + w ( ) w() () (2) (3) (4) (5) (6) ,5 4,3 4,3%, ,5 4,2 4,2%, ,5 3,94 3,94%, ,5 3,77 3,77%, ,5 83,86 83,86% 4,9 P = 5 = CF ( + = ab. 2: Berechnung der Macauley Duraion 5, D = w( ) = 4,58 =

8 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 7 Spale zeig die Zinszahlungsermine und Spale 2 die Zeipunke in Jahren, zu denen die Cash Flows eingehen. Die Höhe der Cash Flows (Kuponzahlungen und ilgung) kann aus Spale 3 ennommen werden. Die Barwere gemäß Spale 4 werden ermiel, indem die Cash Flows mi der Rendie in Höhe von 4,5% abdiskonier werden. Die Summe der Barwere als Spalensumme ergib zugleich den akuellen Preis P der Anleihe. Die Gewichungsfakoren der Spale 5 erhäl man miels Division der Barwere durch die Summe der Barwere, d.h. durch den Markpreis P. Werden die einzelnen Zahlungszeipunke mi den Gewichungsfakoren in Spale 6 muliplizier und schließlich die Were der Spale 6 aufaddier, so erhäl man die Duraion D. Im Beispiel berug die Duraion der Anleihe bei Emission 4,58 Jahre. Die Formel für die Duraion gemäß Gleichung (3) bau auf folgenden drei Einflußgrößen auf: der Höhe der Kuponzahlungen, der Laufzei des Papiers bis zur Fälligkei, sowie der Rendie der Anleihe. Hochverzinsliche Papiere führen relaiv zu gleichlangen niedrigverzinslichen Aneilen zu einem früheren Kapialrückfluss und weisen dadurch eine geringere milere Kapialbindungsdauer auf, d.h. ihre Duraion is kürzer. Die Verringerung der Zinszahlungen im Verhälnis zum Nominalwer bewirk hingegen eine längere Duraion. Im Exremfall werden die Zinszahlungen Null und es erfolg nur eine einzige Zahlung in Form der ilgung bei Fälligkei. In diesem Fall würde es sich um einen Zero Bond handeln, bei dem die Duraion genau der Laufzei ensprich. Dies wird unmielbar klar, wenn man die Duraion als barwergewichee Reslaufzei inerpreier: da es beim Zero Bond nur einen Cash Flow gib, nimm dessen Barwergewich % an, mi dem der Fälligkeisermin des Cash Flows, nämlich die Laufzei des Zeros, muliplizier wird. Die Duraion einer Nullkuponanleihe nimm dami mi der Reslaufzei proporional zu, wodurch sich die Duraion eines Zero Bonds heoreisch unendlich verlängern läss. Im Gegensaz dazu konvergier die Duraion von Kuponanleihen gegen einen Grenzwer: mi zunehmender Laufzei eines Kupon Bonds wächs auch dessen Duraion, allerdings mi abnehmender Rae. Der Grenzwer is abhängig von der Rendie y und errechne sich mi ( + y ) / y (vgl. ieze, 22, S. 332). Insofern erhöh sich die Differenz zwischen Duraion und Laufzei, wobei die Konvergenz ers ab Laufzeien von 5 Jahren asympoisch erreich wird (vgl. dazu auch Abschni 3.2, Abb. 2). Der Grund, warum das Markwerrisiko bei Kuponanleihen mi zunehmender Laufzei gegen einen Grenzwer sreb und nich unendlich anseig, läss sich aus der Preisgleichung () inuiiv nachvollziehen: mi zunehmender Reslaufzei wird der Barwer des größen und lezen Cash Flows - die Rückzahlung des Nominalweres so klein, dass dessen Barwergewich in der Duraionsgleichung (3) relaiv gegenüber den anfänglichen Kuponzahlungen an Bedeuung verlier. Auf die durchschniliche Bindungsdauer des Kapials die Duraion ha die Nominalwerrückzahlung bei ulralangen Kuponanleihen keinen Einfluss mehr, genauso wie die sehr spä fällig werdenden Kuponzahlungen. Die Liquidiä von fesverzinslichen Anleihen, v.a. im Saasanleihenbereich, ersreck sich bis 3 Jahre Reslaufzei. Bis dahin gil allerdings der monoon zunehmende Verlauf der Duraion mi der Reslaufzei wenn auch mi abnehmender Geschwindigkei und dami mi eine Erhöhung des Markwerrisikos. Die Formel zur Ermilung der Duraion zeig außerdem, dass die Höhe der Rendie einen enscheidenden Einfluss auf die Duraion eines Werpapiers ha, da mi der Rendie die Gewichungsfakoren ermiel werden.

9 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 8 Je höher die Rendie einer Anleihe is, deso kleiner is die Duraion, wobei der Effek der Barwerverringerung um so deulicher wird, je weier der Cash Flow in der Zukunf lieg. Eine ausführliche Diskussion der Markpreis- und Duraionssensiiviäen in Abhängigkei von den drei Einflussfakoren in Rahmen einer graphischen Sensiiviäsanalyse erfolg in Abschni 3 des Beirages. Die Duraion besiz aufgrund ihrer Konsrukion als Bewerungskrierium einer Anleihe Voreile gegenüber der Reslaufzei als alernaiven Zeimaßsab. Da die Laufzei weder Zinszahlungen noch Diskonierungsfakoren berücksichig, kann sie nur ewas über den zeilichen Absand zum lezen Zahlungszeipunk aussagen. Sie is jedoch nich geeigne, den Rückfluß des invesieren Kapials zu messen. Die Duraion hingegen gib Aufschluß über die zeiliche Srukur, da neben der Laufzei auch noch die Höhe der laufenden Kupons und die Rendie in die Berechnung eingehen. Da in die Duraion die zeiliche Srukur der Zahlungssröme einfließ, is sie somi zum Vergleich unerschiedlicher Cash Flow-Srukuren ein geeigneeres Maß als die Reslaufzei. Die zenralen Eigenschafen der Duraion lassen sich wie folg kurz zusammenfassen: Die Duraion is umso kleiner, je kürzer die Reslaufzei is Die Duraion is umso kleiner je höher der Markzins is Die Duraion is umso kleiner je höher der Kupon is Die Duraion eines Zerobonds ensprich seiner Reslaufzei Das absolue Endwerrisiko läss sich eliminieren, wenn der Planungshorizon des Invesors mi der Duraion des Porfolios übereinsimm. Relaive Endwerrisiken zu einem Benchmarkporfolio werden eliminier, indem man die Porfolioduraion der Benchmarkduraion anpass. Die Macauley Duraion in ihrer originären Form ermöglich jedoch keine unmielbaren Rückschlüsse auf das Markwerrisiko des Poroflios. Hier sind die Sensiiviäsmaße Modified Duraion und Convexiy zu nennen, die formal auf der Macauley Duraion aufbauen und im folgenden Abschni behandel werden..2 Das Markwerrisiko Die Annahmen, die der Duraion zugrunde liegen, sind das Vorliegen einer flachen Zinssrukur: die Duraionsformel bau auf der Yield o Mauriy-Preisformel auf, bei der sämliche Cash Flows mi einem risiko- und laufzeiadäquaen Zinssaz auf den Bewerungsag abgezins werden. Rendieänderungen, die Preisreakionen auslösen, erfolgen über alle Laufzeien gleichsark und zwar in Form einer Parallelverschiebung der ursprünglichen, horizonalen Zinssrukurkurve. Bei der Bewerung fesverzinslicher Werpapiere handel es sich um ein klassisches Invesiionsrechenverfahren, dem Barwerkonzep. Der Barwer änder sich mi dem Bewerungszins, wobei fesverzinsliche Werpapiere auf einen Ansieg des Markzinses mi fallenden Kursen reagieren e vice versa. Inuiiv erklärbar is dieses inverse Kursverhalen über den fes besimmen Zahlungssrom, der selbs zinsimmun is und bei fallenden (seigenden) Zinsen relaiv zum Markzinsniveau wervoller (werloser) wird. Die Arakiviä bzw. Minderarakiviä des verbriefen Zahlungssroms schläg sich in den Kursen der Anleihen nieder.

10 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 9 Das Markwerrisiko, d.h. die Reakion des Bondpreises auf Rendieänderungen wird mi Hilfe der sog. modifizieren Duraion gemessen, die formal die prozenuale Preisänderung in Abhängigkei von Rendieänderungen beschreib. Die Modified Duraion is ein Sensiiviäsmaß, das für eine gegebene Rendieänderung die relaive Preisänderung angib. Die Modified Duraion unerscheide sich von der Duraion nach Macaulay nur geringfügig, wurde aber von Hicks 939 unabhängig als Maßsab des Markrisikos definier (vgl. Hicks, 939). Sie gib das Ausmaß der Preisänderung eines Werpapiers als Reakion auf die Änderung der Kapialmarkzinsen an. Formal berechne man sie, indem die erse Ableiung des Preises eines Werpapiers nach der Rendie ermiel wird. Gleichung () is demgemäß nach der Rendie zu differenzieren: P y = = ( ) CF ( + = CF ( + (4) + y = Gleichung (4) beschreib die absolue Preisänderung bei einer infiniesimalen Rendieänderung. Die Rendieänderung erfolg wieder über sämliche Laufzeien in gleicher Höhe. Sell man auf die relaive und nich auf die absolue Änderung des Kurses ab, so dividier man beide Seien der Gleichungen durch den Preis P und man erhäl einen negaiven erm /( + muliplizier mi der Macaulay Duraion D. Der resulierende Ausdruck wird als Modified Duraion MD bezeichne: P y P 23 P P P y P y ( + CF = = + y CF ( + = Macauley Duraion D Modified Duraion MD (5) Lös man sich von der infiniesimalen Berachung der Differenialrechung und sell auf diskree Rendiebewegungen y ab, so läss sich die prozenuale Preisänderung P / P eines Bonds als Reakion auf eine Änderung des Zinsniveaus berechnen, indem die Duraion ins Verhälnis zum Markzinsniveau formal durch den erm + y ausgedrück gesez wird. Im Gegensaz zur Duraion nach Macaulay wird die Modified Duraion als Sensiiviäsmaß nich in Jahren, sondern in Prozen gemessen (vgl. Eller, 99, S. 323). Dabei bezieh sich die prozenuale Kursveränderung immer auf den Diry Price einer Anleihe, d.h. auf den reinen Kurswer (Clean Price) zuzüglich der aufgelaufenen Sückzinsen (Accrued Ineres). Durch Verknüpfung mi der erwareen Markzinsänderung ermöglich die Anwendung der Modified Duraion eine Berechnung der Kursschwankungen einzelner Werpapiere oder eines Porfolios über folgende Formel: P P = MD y, wobei D MD = (6) + y Gleichung (6) is der zenrale Preis-Rendie-Kalkulus, wenn es darum geh, die Rendiesensiiviä einer fesverzinslichen Anleihe oder markwergewiche die eines gesamen Porfolios zu berechnen.

11 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders Porfoliomanagemen-Sraegien, die ein Porfolio duraionsneural gegen einen Benchmarkindex seuern, d.h. die Duraion des Porfolios ensprich der des Vergleichsindex, werden als Immunisierungssraegien oder passive Sraegien bezeichne (zum Performance-Poenzial von passiven Bondsraegien vgl. Zimmerer, 23). Im Gegensaz dazu werden bei akiven Sraegien, die Zinserwarungen oder Zinsprognosen in die Anlageenscheidungen mi einbeziehen, bewuss kürzere oder längere Duraionen als der Planungszeiraum oder der des Benchmarkindex eingegangen (zum Performance-Poenzial von akiven Bondsraegien vgl. Paulus, 2): werden fallende Zinsen erware, sollen relaiv längere Duraionsposiionen eingegangen werden. In diesem Fall profiier das Porfolio vom überproporional seigenden Markwer des Porfolios, der die negaiven Effeke der verschlecheren Wiederanlagemöglichkeien fälliger Kupons deulich überkompensier. Demgegenüber solle in Erwarung seigender Zinsen die Duraion relaiv kürzer implemenier werden, um die zinsansiegsbedingen Kursverluse relaiv zum Index zu minimieren und von den verbesseren Reinvesiionsmöglichkeen zu profiieren. Graphisch kann die Modified Duraion als angene an der Barwerfunkion, d.h. am Preis P zur beracheen Rendie y eines Bonds, dargesell werden: die Seigung der angene an der Barwerfunkion ensprich der Modified Duraion. Die Frage is, ob dieser Kalkulus einer exaken oder nur einer approximaiven Wiedergabe der asächlichen Preis-Rendiebeziehung einer Anleihe ensprich. Anhand des Beispiels der 4,5% Anleihe soll der Preis- Rendiezusammenhang analyisch und graphisch dargesell werden. Folgende ab. 3 berechne die Preise (Spale 3), sowie absolue (Spale 4) und prozenuale (Spale 5) Preisunerschiede der Anleihe relaiv zum Emissionskurs von Euro, indem Rendieansiege bzw. rückgänge (Spale 2) von % (= Basispunke oder bp) relaiv zur Emissionsrendie (Spale ) von 4,5% unersell werden. Rendie in % Änderung in bp Preis Änderung absolu Änderung in % () (2) (3) (4) (5),5% -4 9,7 9,7 9,7%,5% -3 4,35 4,35 4,35% 2,5% -2 9,29 9,29 9,29% 3,5% - 4,52 4,52 4,52% 4,5%,,,% 5,5% 95,73-4,27-4,27% 6,5% 2 9,69-8,3-8,3% 7,5% 3 87,86-2,4-2,4% 8,5% 4 84,24-5,76-5,76% ab. 3: Bondpreise für unerschiedliche Rendien

12 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders Die Were in den Spalen 4 und 5 machen deulich, dass Bondpreise nich mi beragsgleichen Preisänderungen auf gleichhohe Rendieansiege bzw. -rückgänge reagieren. Bei einem Rendierückgang von 2 bp seig der Bondpreis um 9,29%, während der Bondpreis bei gleich hohem Rendieansieg nur um 8,3% fäll. asächlich exisier also ein asymmerischer (nichlinearer ) Preis-Rendiezusammenhang und nich ein proporionaler (linearer) wie ihn Gleichung (6) unersell. Abb. 3 verdeulich beide Zusammenhänge graphisch: Preis 2 P = +9,29% Approximaionsfehler Approximaionsfehler P = 8,3% 9-2 bp +2 bp 8 % % 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% Rendie in % p.a. Abb. 3: Preis-Rendiezusammenhang für eine fesverzinsliche Anleihe Kuponanleihen weisen einen konvexen Verlauf der Preis-Rendiefunkion auf und man begeh bei der Unersellung eines linearen Preis-Rendiezusammenhangs einen Schäzfehler. In Abb. 3 is die Bedeuung des Approximaionsfehlers visualisier. Zunächs wurde für die Anleihe der finanzmahemaisch exake Kursverlauf bei verschiedenen Rendieniveaus abgeragen. In einem zweien Schri wird die Modified Duraion als angene an der Emissionsrendie von 4,5% an die Preis-Rendiefunkion abgeragen. Die verikale Differenz zwischen der Kurve und der Geraden repräsenier dann den Approximaionsfehler zwischen finanzmahemaisch errechneem und dem über die Modified Duraion geschäzen Kurs einer Anleihe. Die Abbildung unersreich, dass bei kleinen Zinsänderungen die Kursänderungen, die mi Hilfe der Modified Duraion approximier werden, hinreichend genau sind. Bei größeren Zinsänderungen wird ein sysemaischer Fehler in Form einer Unerschäzung der Kurse begangen. Dieser Approximaionsfehler bei größeren Rendiebewegungen is für jede Kuponanleihe unabhängig von Kupon und Reslaufzei fessellbar und durch den konvexen Verlauf der Preis- Rendiefunkion erklärbar. Der Werebereich der Preis-Rendiefunkion is begrenz: die Grenzwerberachung der Preisformel innerhalb des Definiionsbereiches der Rendien gem. Gleichung () bei endlich kleinen bzw. unendlich großen Rendien ergib: CF lim P( = CF (7) y = ( + ( + = bzw. lim P ( = CF (8) y =

13 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 2 Bei einem Rendieverfall gegen Null verlier die Barwerberachung immer mehr an Bedeuung und der Barwer der Cash Flows konvergier gegen die Summe der Cash Flows gem. Gleichung (7). Im Gegensaz dazu würde bei einem unendlich großen Zinsfuss der Barwer künfiger Zahlungen gem. Gleichung (8) gegen Null konvergieren. Da der Grenzpreis von Null nur für unrealisisch große Rendien annähernd erreich wird, is die asympoische Berachung mehr akademisch als prakisch moivier. Prakisch fessellbar sind allerdings für sämliche Kuponanleihen die relaiv särkeren Kursgewinne als Kursverluse bei gleich hoher Rendiebewegung in die ensprechende Richung. Der Schäzfehler durch die lineare Approximaion der Preis-Rendiefunkion kann durch die sog. aylor-reihenenwicklung (vgl. Doerks/Hübner, 993, S. 3 oder Kruschwiz/Wolke, 994, S. 384). relaivier werden. Die Idee der aylor-reihenenwicklung besag, dass zur Approximaion der Veränderung einer Funkion nich nur die erse Ableiung nach der unabhängigen Variablen, sondern beliebig viele Ableiungen berechne und mi abnehmendem Gewich berücksichig werden sollen. Die Ordnung der aylor-reihe reflekier die Anzahl der Ableiungen, die in die Approximaion einbezogen werden. Folgende Gleichung bezieh neben der ersen Ableiung der Preisfunkion nach der Rendie auch die zweie Ableiung in die Sensiiviäsberachung mi ein: lezere reflekier die Krümmung der Preis-Rendiefunkion und dien als Ergänzungsmaß zu deren Seigung. Sie wird als Convexiy C bezeichne. Die aylor-reihe der zweien Ordnung sieh wie folg aus: P P P = y + y P 23 MD 2 2 P 2 y P 4243 C 2 ( 2 + ε MD y + C ( 2 (9) Der erse Summand reflekier die approximaive Preisänderung über die Modified Duraion MD nach Gleichung (6), der zweie Summand die Erweierung über die Convexiy C plus einem Sörerm ε. Die Convexiy als zweie Ableiung der Preisformel () erhäl man, indem man Gleichung (4) nach der Rendie differenzier und durch den Preis P dividier: C P y P ( + 2 = = = 2 2 n n ( + ) CF ( + = CF ( + Durch die Poenzierung der Rendieänderung y im zweien Summanden wird dieser für kleine Zinsänderungen vernachlässigbar gering, so dass die Modified Duraion für Approximaionszwecke ausreich. Werden jedoch särkere Zinsveränderungen erware, so sind durch Berücksichigung der Convexiy deulich bessere Schäzwere zu erzielen. heoreisch kann die aylor-reihe beliebig weierenwickel werden. Der Nuzen aus der Hinzufügung weierer Ableiungserme is jedoch gering, da die Approximaionsbeiräge durch Muliplikaion mi höherer Poenzen von y < mi zunehmendem Poenzierungsgrad rapide abnehmen. Von daher wird die Reihe in der Regel nach dem zweien Glied abgebrochen. Anhand einer Szenarioanalyse am Beispiel der 4,5% Anleihe mi Fälligkeisdaum soll der Schäzfehler der Modified Duraion alleine sowie der mi Einbezug der Convexiy zur Berechnung zinsänderungsbedinger Preisreakionen zum Analysedaum erläuer werden. Folgende abelle zeig Preise, sowie absolue und prozenuale Preisänderungen bei Rendieansiegen bzw. rückgängen von 5 bp und einem Vielfachen davon relaiv zur Emissionsrendie von 4,5%. ()

14 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 3 Rendie in % Änderung in bp Diry Price Preisänderung exak Preisänderung Mod.Duraion Schäzfehler Mod.Duraion Preisänderung Mod.Duraion + Convexiy Schäzfehler Mod.Duraion + Convexiy () (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),% -35 7,57 5,32 4,,32 5,25,7,5% -3 5,2 2,95 2,,95 2,92,3 2,% -25 2,9,65,,65,64, 2,5% -2,65 8,4 8,,4 8,4 -, 3,% -5 8,46 6,2 6,,2 6,23 -,2 3,5% - 6,33 4,8 4,,8 4, -,2 4,% -5 4,25 2, 2,, 2,3 -,2 4,5% 2,25,,,,, 5,% 5,25-2, -2,, -,97 -,2 5,5% 98,33-3,92-4,,8-3,9 -,3 6,% 5 96,45-5,8-6,,2-5,77 -,3 6,5% 2 94,62-7,63-8,,37-7,59 -,4 7,% 25 92,84-9,4 -,,59-9,36 -,5 7,5% 3 9, -,5-2,,85 -,8 -,8 8,% 35 89,4-2,85-4,,5-2,74 -, ab. 4: Schäzfehler bei der Kursberechnung über Modified Duraion und Convexiy Für die Anleihe errechnee sich am bei einem unveränderen Rendieniveau von 4,5% ein Diry Price von 2,25 Euro (Pari Kurs Euro plus Sückzins für ein halbes Jahr in Höhe von 2,25 Euro). Aus dem Zahlungssrom der Anleihe kann eine Modified Duraion in Höhe von 3,9 sowie eine Konvexiä in Höhe von 2,4 abgeleie werden. Das Rendieniveau in Spale wird nun in 5 bp-schrien gem. Spale 2 relaiv zum Niveau von 4,5% erhöh bzw. abgesenk. Die dami korrespondierenden Bondpreise inkl. Sückzinsen (Diry Prices), d.h. die nach der finanzmahemaischen Rendieformel gem. Gleichung () errechneen Kurse, sehen in Spale 3. Spale 4 zeig die absoluen, exaken Preisänderungen relaiv zum akuellen Preis von 2,25 Euro. Spalen 5 bzw. 7 enhalen die approximieren Bondpreise, wenn zur Schäzung die Modified Duraion alleine gem. Gleichung (6) bzw. zusäzlich die Convexiy gem. Gleichung (9) verwende werden. Die Spalen 6 und 8 berichen den begangenen Schäzfehler in Preispunken als Differenz zwischen asächlichen und approximieren Preisen. Der Vergleich von Spalen 6 und 8 mach deulich, dass das Ausmaß des Schäzfehlers uner Hinzunahme der Convexiy v.a. bei großen Rendieänderungen abgenommen ha. Folgende Abbildung verdeulich den Verlauf der Schäzfehler relaiv zu den Rendieänderungen graphisch:

15 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 4 Schäzfehler in Preispunken,5,,5 Schäzfehler mi Modified Duraion Schäzfehler mi Modified Duraion und Convexiy, ,5 Rendieänderungen in bp Abb. 4: Schäzfehler bei der Kursermilung Zwei wesenliche Eigenschafen der Krümmung der Preis-Rendiefunkion werden bei Berachung von Abb. 4 zusammen mi ab. 4 deulich. Die Konvexiä erzeug Risikoasymmerie und is ein Auswahl- und Bewerungskrierium beim Vergleich von zwei oder mehr Anleihen. Risikoasymmerie bedeue, dass Zinsansiege eine andere Preisqualiä haben als gleich hohe Zinsrückgänge. Anleihen mi hoher Konvexiä, also mi sark gekrümmer Preis-Rendiekurve reagieren auf seigende Zinsen mi deulich geringeren Kursverlusen als im Vergleich zu den Kursgewinnen infolge einer Zinssenkung gleichen Ausmaßes. Dies zeig sich auch in Abb. 4: die Preis-Proxy über Modified Duraion alleine unerschäz die wahren Preise durchwegs - unabhängig von der Richung der Rendieänderung. Die Residuenkurve (Schäzfehler zwischen asächlichen und approximieren Preisen) verläuf als nach oben geöffnee Parabel. Die Parabel is allerdings nich symmerisch, da die Schäzfehler bei Zinsrückgängen größer sind also bei Zinsansiegen (vgl. Spale 6 in ab. 4). Das Korrekiv der Convexiy aus Gleichung (9) verringer zwar die Schäzfehler bis zu Rendieveränderungen von 5 bp fas gänzlich, bei Bewegungen darüber zeig sich allerdings die Asymmerie der asächlichen Preisänderungen auch im Vorzeichen der Schäzfehler mi Modified Duraion und Convexiy: der quadriere Rendieänderungserm im zweien Summanden gem. Gleichung (9) bedeue, dass zum Duraionserm im ersen Summanden ses ewas hinzugezähl wird. Bei sarken Rendieansiegen (Rendierückgängen) werden die asächlichen Kurse überschäz (unerschäz). Das posiive Korrekiv der Convexiy is also bei sarken Zinsrückgängen nich groß genug, bei sarken Zinsansiegen zu hoch geworden (vgl. Spale 8 in ab. 4). Konvexe Bonds weisen im Zinsansiegsszenario einen Asymmerievoreil auf, den man ensprechend quanifizieren kann. Der Voreil beseh darin, dass das Chancenpoenial aus fallenden Rendien größer is als das Risikopoenial bei gleich sark seigenden Rendien.

16 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 5 Der Asymmerievoreil ensprich der Differenz zwischen den Kursgewinnen und den absoluen Kursverlusen bei jeweils gleich hohem Zinsrückgang bzw. ansieg. Eine unmielbare Zinsseigerung um 2% bewirk l. ab. 4 einen Kursverlus um 7,63 Euro. Demgegenüber seig der Anleihekurs bei einer Zinssenkung um 2% um 8,4 Euro. Dami resulier ein absoluer Asymmerievoreil in Höhe von,77 Euro oder bezogen auf dem akuellen Preis von 2,25 Euro ein relaiver Asymmerievoreil in Höhe von,75%. räg man die prozenualen Asymmerievoreile relaiv zur Rendiebewegung auf, so erhäl man eine Kurve, die dem Gewinn- und Verlus-Diagramm von Long-Call-Opionen ähnel, worin die Werhaligkei der Konvexiä begründe wird. Asymmerievoreil in % 3,% 2,5% 2,%,5%,%,5% 4,5%,5% 7,5%,% Rendieänderung in Basispunken Abb. 5: Prozenualer Asymmerievoreil aus einer gleich hohen Rendieänderung Aus dieser für den Anleger posiiven Risikoasymmerie wird die Konklusion abgeleie, dass Konvexiä grundsäzlich eine wünschenswere Eigenschaf is und somi von gleicharigen Anleihen immer die mi der höchsen Convexiy zu erwerben is: Bonds mi geringer Kurssensiiviä bei seigenden Rendien und einer hohen Kurssensiiviä bei fallenden Rendien sind arakiv (vgl. Eller, 99, S. 323). Die Convexiy is genauso wie die Duraion eines Bonds aus der Preisformel abgeleie und dami von den gleichen Einflussfakoren Kupon, Laufzei und Rendie abhängig. Es gelen dabei folgende Zusammenhänge: Die Convexiy is umso größer, je kleiner der Kupon is. Dieser Zusammenhang is in Abb. 5 visualisier: die Seigung der Profi-Loss-Funkion, d.h. das Ausmaß des Asymmerievoreils nimm mi abnehmendem Kupon zu. Mi zunehmender Reslaufzei, d.h. mi zunehmender Duraion, nimm auch die Konvexiä zu: Gleichung () verdeulich, dass die Convexiy bei Verlängerung der Reslaufzei quadraisch anwächs. Der Einfluss der Rendie is wie im Falle der Duraion negaiv: je höher die Rendie, umso geringer die Convexiy.

17 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 6 2. Einsazmöglichkeien der Zinsrisikomaße im Porfoliomanagemen Während die Modified Duraion die zenrale Zinsrisikoseuerungsgröße im operaiven Bond Porfoliomanagemen is, finde die Convexiy vor allem im Rahmen von Laufzeiensraegien Anwendung. In Abhängigkei von der erwareen Zinsveränderung geh es hierbei um eine opimale Posiionierung auf der Zinssrukurkurve. Dabei wird der Laufzeienbereich übergewiche, in dem während des Planungshorizones uner einem besimmen Zinssrukurkurvenszenario die relaiv zu einem Vergleichsindex bese Werenwicklung erware wird. Falls keine Meinungen zur künfigen Zinssrukurkurve exisieren, kann die duraionsneurale Maximierung von Convexiy im Porfolio einen Zusazerrag erwirschafen. Ein Porfoliomanager wird versuchen, durch geziele Auswahl hochkonvexer Anleihen die zu erwarende Rendie unabhängig von der Richung der Zinsbewegung zu erhöhen. Eine duraionsneurale Posiionierung auf der Zinssrukurkurve relaiv zur Benchmark is dadurch gekennzeichne, dass das duraionsgewogene Exposure des Porfolios enlang der Zinssrukurkurve dem der Benchmark ensprich: das Poroflio weis enlang der Reslaufzeien bzw. einzelner Reslaufzeienklassen die gleiche Kurssensiiviä auf wie die des Indexporfolios. Die Konvexiä des Porfolios kann nun erhöh werden, indem bewuss von diesem Profil abgewichen wird, ohne die Kurssensiiviä insgesam zu verändern (zur deaillieren Darsellung des akiven Zinssrukurkurvenmanagemens sei verwiesen auf Hagensein/Bangemann, 2, S.7 ff.): sog. Barbell-Sraegien zielen darauf ab, Anleihen mi kurzen und langen Laufzeien so zu kombinieren, dass sie bei richiger Mischung die gleiche Duraion ergeben, wie eine Alernaivanlage mi Konzenraion auf milere Laufzeien ( Bulle-Sraegie ). Da eine quadraische Beziehung zwischen Reslaufzei und Konvexiä beseh, is der Konvexiäszuwachs durch Beimischung langer Anleihen größer als der Konvexiäsverlus durch die Hinzunahme kurzer Anleihen: die Konvexiä des Barbell-Profils is höher als die des duraionsgleichen Bulle-Profils. Is der Porfoliomanager hinsichlich der Zinskurvenenwicklung indifferen, d.h. wenn aus Duraiongesichspunken weder Barbell- noch Bulle- Sraegie zu präferieren wäre, so kann die Komponene Konvexiä eine Barbell-Sraegie opporun erscheinen lassen. Zu berücksichigen is dabei jedoch, dass die Konvexiä eines Bonds nich kosenlos is. Die Maximierung von Konvexiä ensprich im Wesenlichen der Eablierung einer Volailiäswee: hochkonvexe Porfolios profiieren von Zinsniveauänderungen unabhängig von der Änderungsrichung. Wenn die Mehrhei der Markeilnehmer von volailen Seiwärsmärken ausgeh und Volailiä kauf, indem Konvexiä maximier wird, dann wird sich dies im Preis der konvexen iel, respekive in einer niedrigeren Rendie niederschlagen. Die Rendie eines Bonds mi hoher Konvexiä wird in der Regel uner der eines iels mi geringerer Konvexiä liegen. Gleiches gil für eine Barbell-Posiion, die ebenfalls niedriger renier als eine Bulle-Sraegie. Insofern gil es immer zwischen höherer Rendie und höherer Konvexiä abzuwägen. reen nur kleinere Rendieschwankungen auf, wird der Voreil höherer Konvexiä den Nacheil in Form von Rendieeinbußen nich immer kompensieren. Zu bedenken is außerdem, dass den relaiven Erragschancen aus einer konvexiäsbedingen, wenn auch duraionsneuralen Barbell-Posiionierung erhöhe Risiken einer unvoreilhafen Zinssrukurkurvenposiionierung gegenübersehen. Eine Barbellisierung aufgrund einer Konvexiäswee bedeue implizi auch das Eingehen einer Zinssrukurkurvenwee hinsichlich eines Abflachens der Zinssrukurkurve, also die bewusse oder unbewusse Erwarung eines Flaening- Szenarios.

18 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 7 Solle die Kurve am langen Ende verseilen, so is der negaive Beirag im dann einreenden Seepening-Szenario durch die Underperformance der langen Laufzeien deulich höher als der konvexiäsbedinge Zusazerrag aus der Barbellisierung. Jede akive Kurvenposiionierung egal ob konvexiäsbeding, aufgrund von Duraionsposiinierungen oder aufgrund von Meinungen zur Zinssrukurkurvengesal solle auf ihre Opporuniäskosen hin überprüf werden. Neben dem akiven Beirag der Kurvenwee, solle auch der pure Zeiablauferrag (Roll Down) für den Fall erhoben werden, dass die Kurve unveränder bleib oder gar das Gegeneil einri (vgl. Zimmerer, 23). Die Unersuchung der Fragesellung, welcher Performance-Beirag enseh, wenn alles bleib so wie es is, is eine unabdingbare Analyse, bevor man sich akiv auf der Kurve posiionier. (zur Seuerung des Zinssrukurkurvenrisikos im Rahmen der Porfoliokonsrukion vgl. Walher/Zimmerer, 2). Ansonsen läuf man Gefahr, Performance-Beiräge aus einer akiven Posiionierung zu realisieren, die gar nich beabsichig war (Uninenional Be). Die Darsellung der Konvexiäseffeke mache klar, dass man durch die lineare Approximaion der Preis-Rendiefunkion einer Anleihe einen Schäzfehler begeh, wobei berächliche Ausmaße allerdings ers ab Rendiebewegungen von größer als,5% fessellbar sind. Die lineare Approximaion von Anleihepreisen in Abhängigkei von Rendiebewegungen über die Modified Duraion alleine is mi einem Schäzfehler behafe, den die Convexiy zu korrigieren versuch. Da es im prakischen Porfoliomanagemen normalerweise nich auf absolue, sondern auf relaive Preis- und Performance-Approximaionen ankomm, verlier die absolu gemessene Ungenauigkei der Duraion-Only-Analyse an Relevanz: werden Porfolio und Benchmark mi dem gleichen Ansaz auf ihre Zinssensiiviä hin unersuch, komm es auf den relaiven Unerschied zwischen beiden an, egal ob mi oder ohne Einbeziehung der Convexiy gerechne wurde. Da das Haupkursrisiko ohnehin von der Veränderung des Markzinsniveaus erzeug wird und der zusäzliche Yield-Pickup aufgrund einer Konvexiäsmaximierung relaiv dazu sehr klein is, lieg der Fokus bei der Seuerung des Zinsrisikos in der Praxis auf der relaiven Duraionsseuerung Porfolio vs. Benchmark. Der Schäzfehler, der bei der Seuerung der Preissensiiviäen über die Modified Duraion gemach wird, beriff Porfolio und Benchmark gleichermaßen und kürz sich quasi heraus. Ein weieres Argumen, das gegen eine Überakzenuierung der Konvexiä sprich, is, dass Preissensibiliäsrechnungen immer von adhoc-rendiebewegungen ausgehen, indem die Zinssrukurkurve in einer logischen Sekunde geschock wird: Rendieansiege (-rückgänge) von 5 bp und mehr, ab denen der Einbezug der Convexiy überhaup ers Preisrelevanz ha, sind ad hoc nich, sondern nur über einen besimmen Analysezeiraum realisisch. Das Korrekiv der Convexiy wird dann durch Zeiablaufeffeke sowie durch Änderungen in der Zinssrukur während des Analysezeiraumes überlager. Auch im Bondbereich gil das porfolioheoreische Gesez, dass zusäzlicher Errag nich ohne zusäzlichem Risiko möglich is. Konvexiäsmaximierung bedeue, dass die zusäzliche Convexiy dor eingekauf wird, wo mehr Zinssensiiviä und/oder weniger ordenlicher Errag zu verzeichnen is: am langen Laufzeiende und/oder bei niedrig verzinslichen ieln. Mehr Konvexiä bei Low Coupon Bonds geh einerseis zu Lasen von ordenlichem Errag und bedeue andererseis bei Erhöhung der Duraion eine Zunahme des Zinsänderungsriskos. Darüber hinaus solle v.a. die erwaree Veränderung der Zinssrukur berücksichig werden, da eine Bewegung der Zinssrukur einen deulich größeren Einfluß auf die Gesamperformance ausüb als der separae Performance-Beirag aus der Konvexiässraegie, der davon ausgeh, dass alles bleib so wie es is. Konvexiä als wünschenswere Eigenschaf von Anleihen im Porfolio zu maximieren is daher im operaiven Porfoliomanagemen mehr Nebenbedingung als Zielfunkion.

19 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 8 3. Vorüberlegungen und Analyse Seup Unersuchungsgegensände der folgenden Analyse sind die Preis- und Duraionssensiiviä eines fesverzinslichen Werpapiers bei simulaner Variaion von zwei der drei preis- und duraionsbesimmenden Einflussfakoren. Formale Ausgangspunke sind die Gleichungen für den Markpreis P P = CF = + ( () sowie für die Macauley Duraion D einer fesverzinslichen Anleihe D = = = CF CF ( + ( +, (2) wobei CF die Cash Flows zum Zeipunk und y die laufzeiabhängige Rendie, die sog. Yield o Mauriy darsellen. Die klassische Sensibiliäsanalyse berache hinsichlich des Kursrisikos lediglich die Preisreakion auf Veränderungen im Haupbesimmungsfakor, in der Rendie y des Bonds. Der ransformaionsmechanismus zwischen Rendiebewegungen und Anleihekursen wird über die Modified Duraion MD hergesell, die Rendiebewegungen umgekehr proporional in relaive Kursbewegungen übersez: P P = MD y, wobei D MD = (3) + y Analyisch ensprich die Modified Duraion der aus der ersen Ableiung der Preisfunkion nach der Rendie über die Division durch den Preis ermielen prozenualen Preissensiiviä eines Bonds bei Veränderung der Markrendie um diskree Rendiebewegungen. Fragesellungen wie, um wie viel Prozen Bondpreise bei einem Rendieansieg (-rückgang) um ein Prozen fallen (seigen), werden dami beanworbar. Gleichung (3) unersell einen linearen Zusammenhang zwischen Rendie- und Preisbewegungen, der fakisch so nich gegeben is. Der Approximaionsfehler, den man begeh, wird allerdings ers ab Rendiebewegungen von,5% und mehr relevan und kann über die Convexiy korrigierend erfass, aber nich vollsändig eliminier werden. Der isoliere Einfluss der Kuponhöhe und/oder der Reslaufzeienwahl alleine wird in der Praxis of nich unersuch. Formal müsse analog zur Modified Duraion eine parielle Ableiung nach dem Kupon bzw. der Reslaufzei gebilde werden und die daraus resulierenden absoluen Preisänderungen durch Division durch den Bondpreis zu einem relaiven Sensiviäsmaß ransformier werden. Das Vorzeichen der pariellen Differeniale reflekier dann die Wirkungsrichung, mi der Variaionen von Kupon oder Reslaufzei ce. par. auf die Anleihenpreise wirken. Die aussaungsspezifischen Parameer Kupon und Reslaufzei sind deerminisisch und unerliegen anders als die markspezifische Rendie keinen sochasischen Änderungen.

20 Prof. Dr. homas Zimmerer: Das Duraionskonzep einmal anders 9 Die Fragesellung, welchen isolieren Einfluss die deerminisischen Komponenen Kupon und Reslaufzei auf Bondpreise ausüben, is genauso ineressan wie die nach dem kombinieren Einfluss zusammen mi der sochasischen Komponene Rendie. Indexorieniere, d.h. relaive Anlagesraegien gegenüber einem Vergleichsporfolio definieren indirek die aussaungsspezifischen Eigenschafen der im Porfolio enhalenen Anleihen vor, wenn es darum geh, einen benchmarknahen Kupon oder eine ähnliche Reslaufzeiensrukur wie im Index abzubilden. Der Grad der Abweichung zwischen Porfolio und Index äußer sich lediglich darin, ob es sich um eine akive oder passive Sraegie handel. Absolue Anlagesraegien, d.h. benchmarklose Ansäze, die nur darauf abzielen, z.b. eine gewisse Rendie oder einen gewissen ordenlichen Errag (Kupon) darzusellen, lassen dem Porfoliomanager bei der Spezifizierung der Reslaufzei der Anleihen freien Lauf. Absolue Ansäze, bei denen eine Benchmark gar nich oder evl. nur nachrichlich migeführ wird, finden sich im volumensrächigen Renendirekbesand von Versicherungen oder Pensionskassen. Der Renendirekbesand mach den deckungssockfähigen und dami den Löwenaneil der Kapialanlagen dieser Invesorengruppe aus. Die Anlagepoliik beseh in einer Buy-and-Hold -Sraegie, bei der Mielzuflüsse und fällig werdende Kuponerräge aus dem besehenden Porfolio i.d.r. in zehnjährige Zinsräger invesier werden, die bis zur Endfälligkei gehalen werden. Das Ziel dieser einfachen Anlagepoliik is nich, die Werenwicklung eines Vergleichsindex zu erreichen oder gar zu überreffen, sondern eine vorgegebene Neoverzinsung bzw. den gesezlich vorgeschriebenen Garaniezins (sei..24 bei 2,75%) für Lebensversicherungen zu erwirschafen. Markpreissensiiviäen spielen im Renendirekbesand aus bilanzieller Sich keine Rolle, da hochboniäre, mündelsichere Namensiel oder Schuldscheindarlehen erworben werden, die nich zum Markwer, sondern zum Buch- oder Nominalwer bilanzier werden, unabhängig davon, ob aufgrund der jeweiligen Markrendie das Papier über oder uner dem Erwerbskurs noieren würde. Das Renendirekbesandsporfolio unerlieg somi zumindes bilanziell keinen zinsänderungsbedingen Kursrisiken. Das Rundschreiben 29/22 der Bundesansal für Finanzdiensleisungsaufsich (BaFin) schreib jedoch Richlinien zur Einführung eines srukurieren Anlageprozesses für Versicherungen und Pensionskassen vor, die der Komponene Markpreisrisiko im Renendirekbesand ungeache vom bilanziellen Ausweis zu Buch- bzw. Nominalweren zenrale Bedeuung beimessen. Konkre wird im bisher meis benchmarklosen Renendirekbesand die Feslegung eines Zielporfolios basierend auf den Risiken auf Akivund Passivseie und ihres Verhälnisses zueinander sowie der Risikoragfähigkei und bereischaf des Versicherungsunernehmens vorgeschrieben. Dies soll u.a. durch eine Analyse und Konrolle des Markpreisrisikos erfolgen. Markwerbezogene Perspekiven werden obgleich bilanziell nich erforderlich - im Versicherungsdirekbesand ohnehin sei langem angewand, wenn es darum geh, die Buch- Markwerreserve des Gesamporfolios, d.h. die Relaion von bilanziell auf Basis von Buchweren ermielem zu auf Basis von Markweren erhobenem Direkbesand zu ermieln. Ewaige Reserven werden als Risikokapial genuz, um die Akienquoe, die wiederum zu Markweren bilanzier werden muss, zu seuern und um ewaige Werminderungen in Form von Abschreibungspoenzialen zu managen. Späesens an dieser Selle, wenn es darum geh, Reservepoeniale zur Besimmung der sraegischen, langfrisig orienieren Ausrichung der Vermögenseile (Asse Allocaion) z.b. Akien vs. Renen im Versicherungsporfolio zu besimmen, is eine markwerbezogene Sich unumgänglich.