Der Roll Down im Bondmanagement: Theoretisches Phänomen und praktische Implementierung*

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1 Der Roll Down im Bondmanagemen: heoreisches hänomen und prakische Implemenierung* rof. Dr. homas Zimmerer alpha porfolio advisors GmbH Beraung insiuioneller Anleger Wiesbadener Weg a 658 Bad Soden/s. German el.: +49 ( Fax.: +49 ( homas.zimmerer@alphapor.de * erschienen in: Finanz-Berieb, 04/003, S. 43-5

2 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen rof. Dr. homas Zimmerer Der Roll Down im Bondmanagemen: heoreisches hänomen und prakische Implemenierung I. Einleiung Akive Bondmanagemenansäze erfordern eine rognose, d.h. die Spezifikaion eines von der heuigen Wel unerschiedlichen Szenarios. In der Regel wird das Szenario durch eine Zinsniveauprognose oder durch die Vorhersage einer künfigen Zinssrukur zu einem besimmen Zeipunk spezifizier. Die sich anschließende orfoliokonsrukion soll ein orfolio liefern, dessen Werenwicklungsbeirag uner Zugrundelegung dieses Szenarios höher is als der des Referenzporfolios, der Benchmark. Die Frage, welcher Werenwicklungsbeirag resulier, wenn die rognose nich einri, sondern alles bleib so wie es derzei is, wird in diesem Zusammenhang nich gesell. Genau diese Frage beanwore der sog. Roll Down, den man auch als Value of assing ime oder als Zeiablauferrag eines Bond orfolios beschreiben kann. Der Roll Down miß die erformance, die ausschließlich durch Reslaufzeienverkürzung bei Konsanhalung des Zinsumfeldes beschrieben durch die akuelle Rendiesrukurkurve resulier. Im wörlichen Sinne quanifizier der Roll Down zwei Erragskomponenen eines fesverzinslichen Werpapiers: die verdiene Rendie im Zeiablauf und das Abrollen auf der laufzeiabhängigen Rendiesrukurkurve, d.h. den reiseffek der sich daraus ergib, daß ceeris paribus zwischen zwei Berachungszeipunken normalerweise unerschiedliche, den Anleihepreis besimmenden Rendien gelen. Die Quanifizierung des Roll-Down-Errages eines Anleihenporfolios für eine besimme Berachungsperiode is für den akiven wie passiven Bondmanager von Ineresse. Im passiven anagemen ohne Abgabe einer rognose miß der Roll Down die zu erwarende erformance des Anleihenporfolios. Im akiven anagemen liefer der Roll Down die zu erwarenden Opporuniäskosen bzw. erräge für den Fall, daß die rognose nich einri, sondern das akuelle Szenario unveränder am Ende der Berachungsperiode gil. Der vorliegende Beirag beschäfig sich mi der heoreischen Definiion des Roll-Down- hänomens und der Implemenierung in die prakische orfoliokonsrukion. Der Arikel is wie folg aufgebau: Abschni II definier die zur Berechnung des Roll Down nöigen Rendiebegriffe und grenz sie voneinander ab. In Abschni III werden zwei Ansäze zur formalen Berechnung des bondspezifischen Roll-Down-Errages dargesell. In Abschni IV erfolg der Übergang von der ielspezifischen Berachungsweise in den orfoliokonex. Es wird ein linearer Opimierungsansaz zur aximierung des Roll-Down-Errages eines Bondporfolios relaiv zu einem Referenzindex dargesell, um quanifizieren zu können, wieviel erformance-oenial im Roll Down seck. Ausgehend von der akuellen Rendiesrukur wird ein Beispielporfolio opimier. Abschni V faß den Beirag zusammen.

3 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen II. Definiion und Abgrenzung von verschiedenen Rendiebegriffen Um eine heoreische Darsellung des Roll-Down-Effeks zu ermöglichen, sind Definiion und saubere Differenzierung von verschiedenen Rendiebegriffen nowendig. Im Folgenden werden die Yield o auri, Spo Yield und Implied Forward Yield definier und abgegrenz. Ausgangspunk is die reisformel zur Besimmung von Anleihepreisen. Grundsäzlich kann man zwischen ullkuponanleihen (Zero Bonds und Kuponanleihen (Sraigh Bonds oder Coupon Bonds unerscheiden.. Yield o auri ullkuponanleihen zahlen keine Kupons während ihrer Laufzei und noieren am Fälligkeisag zum ominalwer. Der reis eines Zero Bonds is der Gegenwarswer des ominalwers, abdiskonier mi der zugehörigen Rendie. Formal bedeue dies: ( + ( mi : reis des Zero Bonds : ominalwer bei Fälligkei : Rendie (Yield o auri des Zero Bonds mi Laufzei Den Diskonfuß, der den akuellen arkpreis des Zero Bonds ergib, bezeichne man als Yield o auri oder allgemein als Rendie des apiers. Analoge Überlegungen gelen für die Kuponanleihe. Ein Coupon Bond zahl in regelmäßigen pischerweise jährlichen oder halbjährlichen Absänden Kuponzahlungen in der Höhe C sowie den ominalberag am Ende der Laufzei. Analog zum Zero Bond is der arkpreis des Coupon Bonds der Barwer seiner künfigen Zahlungssröme: C C C C ( ( + ( + ( + ( ( Die Besonderhei und gleichzeiig der heoreische Kriikpunk der Yield-o-auri- reisformel liegen in der Unersellung einer flachen Zinssrukurkurve, da sämliche Zahlungssröme mi dem gleichen Diskonfuss abdiskonier werden. Die Yield o auri beschreib dami die Rendie, die den Durchschniserrag aus dem Besiz einer Anleihe über die gesame Laufzei uner der Annahme angib, daß alle Kuponzahlungen während der Laufzei der Anleihe zu eben dieser Rendie reinvesier werden können (kein Reinvesiionsrisiko. Die Yield o auriies für verschiedene Laufzeien definieren die sog. Rendiesrukurkurve. Zur formalen Herleiung und Inerpreaion der verschiedenen Rendiebegriffe sei verwiesen auf Fabozzi, in: Fabozzi/Fabozzi/ollack (Hrsg., he Handbook of Fixed Income Securiies, 3 rd Ediion 99, S und S sowie Ilmanen, Overview of Forward Rae Analsis, Undersanding he Yield Curve: ar, 995 S. -9 und Ilmanen, arke s Rae Expecaions and Forward Raes, Undersanding he Yield Curve: ar, 995 S. -, Salomon Brohers Unied Saes Fixed Income Research.

4 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 3 Die Yield o auri wird of auch als Effekivzins oder inerner Zinsfuss bezeichne, der für eine Kuponanleihe die Äquivalenz sichersell, daß die Abdiskonierung der künfigen Cash Flows CF eines Bonds exak den arkpreis ergib:! ( + CF (3 Insofern beseh ein direker Zusammenhang zwischen arkpreisen und rendien, da sie über Gleichung (3 ineinander übergeführ werden können. Die raxis verwende beide Größen: so werden besimme Bonds auf reisbasis (z.b. Saasanleihen oder Rendiebasis (z.b. fandbriefe gehandel.. Spo Yield Spo Yields oder Spo Raes knüpfen an den heoreischen Kriikpunken des Yield-o- auri-konzepes bei der Bewerung von Kuponanleihen an. Wie bereis erwähn, unersell die Yield-o-auri-reisformel folgende Annahmen:. Gleicher Zinsfuß für sämliche Cash-Flows eines Bonds. Flache Rendiesrukurkurve 3. Kein Wiederanlagerisiko Obwohl der Realiäsbezug dieser Annahmen nich gegeben is, is die Yield o auri eine von den arkeilnehmern akzepiere Größe, da sie es erlaub, die relaive Arakiviä von Bonds auch über verschiedene Laufzeien hinweg in einem Rendieargumen auszudrücken. Spo Raes oder Zero Coupon Raes beschreiben die Yield o auri einer ullkuponanaleihe. Das Konzep läß sich direk auf einen Coupon Bond überragen. Ziel is die Zerlegung der Cash Flows eines Coupon Bonds in ein Bündel von Zero Coupon Bonds, so daß alle Cash Flows des Coupon Bonds mi unerschiedlichen, laufzeiadäquaen Rendien abdiskonier werden. Die mahemaische Realisierung erfolg über die Äquivalenzforderung, daß egal, ob die Cash Flows eines Coupon Bonds mi einer einheilichen Rendie (Yield o auri oder mi den Zero Coupon Rendien der einzelnen Laufzeisegmene abdiskonier werden, den arkpreis des Bonds ergeben müssen. CF! CF ( (4 + ( + s KuponBond mi einheilicher Rendie ullkuponbonds mi laufzeispezifischen Spo Raes s Der einzige Unerschied zwischen linker und recher Seie der Gleichung (4 beseh darin, daß die linke Seie nur eine einzige Rendie enhäl, während auf der rechen Seie die Rendien s mi dem Laufindex indexier sind, wobei,,...,. Die formale Überführung von Yield o auriies in Spo Raes nach Gleichung (4 is prakisch nur uner besimmen Voraussezungen applizierbar: uner der Annahme, man berache ar Bonds mi gleichen Kuponzahlungserminen und ganzzahligen Reslaufzeien, läß sich durch sog. Boosrapping rekursiv aus den Yield o auriies ausgehend vom. Kuponzahlungsermin, an dem Spo Rae und Yield o auri gleich sind, jährlich anseigend die ensprechende Spo Rae Vgl. Gruber/Overbeck, Finanzmark und orfolio anagemen,. Jahrgang, r., 998 S.64.

5 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 4 berechnen 3. Formal bedeue dies, obige Äquivalenzgleichung sukzessive nach den Spo Raes aufzulösen. Die Spo Yield für Laufzei n erhäl man durch: n CF n s n, wobei s n ( und n,..., (5 n CF + s Lieg eine normale, anseigende Kupon-Rendiesrukur vor, liegen die ullkuponrendien immer darüber, is sie invers, liegen sie immer daruner 4. Diese Relaion is zwingend, um die Äquivalenz lau Gleichung (4 für zunehmende Reslaufzeien sicherzusellen. Die Spo Raes gebrochener nich ganzjähriger Reslaufzeien werden durch lineare Inerpolaion zwischen den ganzjährigen Süzpunken dargesell. Der acheil des Boosrapping-Verfahrens lieg in seinen sarren Annahmen: in der raxis fehl es zum einen an ar Bonds mi exak -jährigen, äquidisanen Reslaufzeiklassen, zum anderen is man an einer seigen Form der Spo Raes ineressier, um auch gebrochene Laufzeien ensprechend abbilden zu können 5. Um lezeres zu gewährleisen, haben sich in der Lieraur und der prakischen Anwendung nichlineare Schäzmodelle zur Besimmung von Spo-Rae-Funkionen eablier 6. Sämlichen odellansäzen gemeinsam is die inimum-quadra-ehode, wobei versuch wird, die quadriere Abweichungssumme zwischen asächlichen und geschäzen Anleihepreisen einer repräsenaiven Schäzmenge zu minimieren. Das Schäzproblem läß sich wie folg formalisieren: ( ˆ i i β in i, wobei CFi ˆ, i + sˆ mi sˆ ( f, βˆ k, k,..., K (6 ( ar Bonds sind Anleihen, bei denen der Kupon mi der Yield o auri übereinsimm. ar Bonds noieren daher zum reis von 00. Die sog. ar Yields über verschiedene Laufzeien definieren die ar Yield Curve, die vor allem bei der Emission von Bonds eine Rolle spiel. ar Yield Curves sind z.b. fandbriefrendiekurven oder die Swap Curve, die als Referenz für euemissionen dienen, aus denen sich umielbar je nach Kuponaussaung der zu emiierenden Anleihen der Über-ar- bzw. Uner-ar- Emissionskurs berechnen läß. Ein numerisches Beispiel zum Boosrapping finde man bei Fabozzi, a.a.o, (Fn. S oder Bühler, in: Gehrig, Zimmermann (Hrsg., Fi for Finance, 996, S Die konkree Schwäche des Boosrappings lieg gerade darin, dass keine segige funkionale Form des laufzeiabhängigen Rendieverlaufs gefunden werden kann. So können vielmehr zackige Verläufe der Zinssrukurkurve resulieren, wenn eine einzelne ar Yields unsauber gepreis is. Fehler der Ableiung der Spo Raes kürzerer Reslaufzeien sezen sich bei der Berechnung der nachfolgenden Laufzeien for, da die vorhergehenden Spos im ieraiven Berechnungsmodus als Inpu für die nachfolgenden Spos dienen. Exreme Spo Raes können sich daher auf die nachfolgenden auswirken und zu einer nich gegläeen Spo-Rae-Srukur führen. Siehe dazu auch Kehrmann, Renenporfoliomanagemen auf Basis von ehrfakormodellen, 000, S. 0. Vgl. Ferguson/Ramar, he Journal of Fixed Income, 998 S oder elson/siegel, he Journal of Business, 987 S oder Schich, Schäzung der deuschen Zinssrukurkurve, Diskussionspapier 4/97, Volkswirschafliche Forschungssgruppe der Deuschen Bundesbank, 997 S. 3 ff oder Vasicek/Fong, Journal of Finance, 98 S

6 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 5 Der heoreische reis der Anleihe i is definier als die Summe der Gegenwarswere der mi dieser Anleihe verbundenen Zahlungssröme, wobei die künfigen Zahlungen mi Hilfe von geschäzen Spo Raes ŝ auf ihre Gegenwarswere abdiskonier werden. Die Spo Raes selbs sind eine nichlineare Funkion f der Reslaufzei und der zu spezifizierenden K Schäzparameer β k. Die Spo Raes für verschiedene Reslaufzeien zusammengefaß ergeben eine Zinssrukurkurve basierend auf Zero Coupon Raes. Eine Schäzmehode is voreilhaf, die eine glae Kurve generier und nich durch einzelne Ausreißer sark verzerr wird. Zudem solle ein geschlossener Funkionserm erzeug werden, der leich für jede beliebige Reslaufzei ausgewere werden kann. Eine Zinssrukurkurve schäzen bedeue, Schäzparameer zu finden, so daß die resulierende Funkion die arkgegebenheien möglichs gu abbilde. Dies erfolg, indem miels Regression auf Basis einer repräsenaiven enge von Bonds diejenigen arameer berechne werden, mi denen die heoreisch fairen reise im iel möglichs nah an den ech am ark beobacheen liegen. 3. Implied Forward Yield Die durch die Spo Raes definiere Zinssrukur enhäl Implikaionen über künfige Zinssäze, die in der Zinssrukur der implizien erminzinssäze (Implied Forward Yields zum Ausdruck komm. Während Spo Raes eine Verzinsung zum gegenwärigen Zeipunk über eine oder mehrere erioden ausdrücken, geben Implied Forwards die Verzinsung von einem gegebenen zukünfigen Zeipunk für einen besimmen Zeiraum an. Sie heißen implizi, da sie aus den Spo Raes berechne werden können. Der Grundgedanke der Berechnung der Forward Raes is die Indifferenz in der realisieren Rendie zwischen einem Einmalinvesmen über Jahre und einem gesplieen Invesmen über je - Jahre und der rolongaion nach Ablauf der - Jahre um ein weieres Jahr. Der -jährige erminzinssaz zum Zeipunk - kann als der marginale Zusazerrag inerpreier werden, der nöig is, dami eine (--periodige Zero-Coupon-Anleihe, die für ein Jahr reinvesier wird, den gleichen Errag realisier wie eine -periodige Zero-Coupon-Anleihe. Formal kann diese Indifferenz der beiden Invesiionsalernaiven wie folg dargesell werden: ( + ( + s ( + f, s (7 wobei: s : Spo Rae mi der Laufzei f : -jährige Implied Forward Rae zum Zeipunk -, Die Arbirage-Überlegung nach Gleichung (7 für den -jährigen Konex läß sich verallgemeinern zu: ( s ( + s ( + f, mi > (8 +, wobei: f, : (--jährige Implied Forward Rae zum Zeipunk Lös man Gleichung (8 nach der Forward Rae auf, so erhäl man folgende allgemeine Besimmungsformel für die Forward Rae:

7 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 6 ( + s ( + s f, (9 bzw. durch Logarihmieren von Gleichung (8 und Anwendung der äherungsregel von ln( + x x für x < resulier: f s s, (0 III. Der Roll Down als Erragskomponene eines Bonds Berache man den Gesamerrag eines fesverzinslichen Werpapiers zwischen zwei Zeipunken, so sell man fes, daß der Roll Down nur einen eil des Gesamerrages darsell. Üblicherweise is der Errag r eines fesverzinslichen Bonds wie folg definier: C r + ( ( C Grob läß sich der Errag in zwei Komponenen zerlegen: neben dem ordenlichen Errag über die Kuponzahlung der Höhe C beseh ein Erragseil, der ausschließlich reisänderungen des Bonds im Zeiablauf reflekier. Diese reisänderungen können verschiedene Ursachen haben und sind auf Veränderungen der Rendiesrukur, die lezendlich den reis des Bonds in eriode + und besimmen, zurückzuführen. Derarige preisbesimmende Rendieänderungen können durch pische Zinssrukurkurvenbewegungen (arallelverschiebung, Verseilung/Abflachung, Auswölbung, durch Spread-Bewegungen der jeweiligen Anleiheklassen zueinander oder rein durch Reslaufzeienverkürzung verursach werden. Der Roll-Down-Errag miß die Erragskomponene eines fesverzinslichen Werpapiers, die ausschließlich auf die Reslaufzeienverkürzung bei unveränderer Zinssrukurkurve zurückzuführen is. Insofern werden im Folgenden nur reisveränderungen, die durch puren Zeiablauf und nich durch Veränderung der Rendiesrukur verursach werden, behandel 7. Da im Zeiablauf auch aneilig Kupons verdien werden, is auch die ordenliche Erragskomponene Besandeil des oal Reurn. Der Roll-Down-Errag miß dami den rice Reurn eines fesverzinslichen Bonds über eine besimme Zei uner Konsanhalung der Rendiesrukur. Berache man die reisberechnungsformel für einen Zero Bond lau Gleichung (, so beschreib der Roll-Down-Effek den Errag, der im Zeiablauf durch das Diskonieren mi einem neuen, zu der kürzeren Reslaufzei gehörenden Zinsfuss resulier. 7 Die diskree Berachung beim Übergang von eriode + auf innerhalb feser Kuponzahlungsermine mach eine exake Differenzierung zwischen reisen exklusive Sückzinsen (Clean rice und inklusive Sückzinsen (Dir rice in Gleichung ( nowendig. Da der enner in Gleichung ( die Höhe des eingesezen Kapials für den Kauf eines Bonds miß, is hier der Dir rice anzusezen. Im Zähler unerscheide man zwischen zeianeiligem ordenlichen Errag und reisänderung aufgrund von Zeiablauf. Die Zeiablauferräge werden in Form von Clean rices gemessen.

8 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 7 Da der Zero Bond keine Kupons zahl, fehl die ordenliche Erragskomponene lau Gleichung ( in der Erragsrechnung.. Darsellung des Roll Down über Forward Raes Unersell man zur Evaluaion des Zeierrags eine konsane Zinssrukurkurve, so sind die Forward Raes ein geeignees aß zur Quanifizierung der beschriebenen Roll-Down- Effeke.Uner Bezugnahme auf die formale Darsellung der -jährigen Implied Forward Raes kann man den Roll-Down-Errag anhand eines einfachen Beispiels mi einem -jährigen Zero Bond darsellen. Es seien + s der reis des -jährigen Zeros zu Beginn der Laufzei ( 0 ( und + s der reis des dann -jährigen Zeros nach Ablauf eines Jahres. Folgende Abbildung veranschaulich den Roll-Down-Effek bei einer normalen, konkaven Zinssrukur graphisch: s s s s s s ( + s 0 ( + s Die reisänderungsrae Abb. : Der Roll-Down-Effek für einen Zero Bond ( + s ( + s f, s s s + ( s s ( beschreib den Roll-Down-Effek analisch und miß den Zeiablauferrag, der sich durch Verkürzung der Reslaufzei um Jahr ergib 8. Uner Einbeziehung von Gleichungen (9 und (0 läß sich der Roll Down als -jähriger Forward der beracheen Spo Rae inerpreieren. Sowohl Gleichung ( als auch Abb. veranschaulichen die beiden Erragskomponenen des Roll-Down: 8 Zu beachen is, daß der Zeiablaufeffek mi einer Reslaufzeienverkürzung verbunden is. Dies bedeue, daß der zeiliche Übergang in Abb. von rechs nach links erfolg. Die Indizierung in den reisen und Zero Raes s behandeln daher gegeneilige Zeieffeke: ein Ansieg des Zeiindex im reis bedeue eine Verkürzung der Reslaufzei mi ensprechender sinkender Zero Rae.

9 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 8 Horizonal (Konsanhalen der Rendie: verdiene Rendie s im Zeiablauf Verikal (Konsanhalen der Zei: reiserrag aufgrund eines Rendierückgangs bei unveränderer Reslaufzei in Form eines Yield ick Up der Höhe s s Im allgemeinen Fall der -jährigen Forwards gil: ( + s ( + s, ( s s f s s s + (3 wobei Geomerisch berache ensprich der Roll-Down der Seigung der Spo Rae Curve zum Berachungszeipunk. Analisch berache ensprich der Roll-Down der -jährigen Forward Rae und markier dami den -jährigen Zeierrag bei konsaner Zinssrukur, der sich als Summe aus der periodisieren laufenden Spo Rae (horizonale Komponene und der Veränderung der Spo Rae s s aufgrund der Verkürzung der Reslaufzei um ein Jahr gewiche mi der Reslaufzei des Zero Bonds (verikale Komponene ergib. Aus Abb. wird klar, daß Seilhei und Krümmung der Rendiesrukurkurve unmielbar das Ausmaß des Roll-Down-Effekes beeinflussen. Für eine normale, konkave Zinssrukur lieg die Forward-Rae-Kurve oberhalb der Spo-Rae-Kurve und die Roll-Down-Erräge sind durchwegs posiiv. Anders bei einer inversen, konvexen Zinssrukur, bei der die Forward- Rae-Kurve unerhalb der Spo-Rae-Kurve lieg und die Roll-Down-Erräge wesenlich geringer ausfallen. s. Darsellung des Roll Down über Yield o auriies Den Ausgangspunk für die Darsellung des Roll-Down-Errages für einen Coupon Bond bilde die reisformel, wobei von der diskreen Form der Diskonierung auf die seige übergegangen wird: CF ( + CF e (4 Wie in Abschni a dargesell, is der Roll-Down-Errag eine Komponene des Gesamerrages eines Bonds. Die Erragsgleichung ( behandel als Zeidisanz zwischen den beiden Berachungszeipunken eine diskree Zeieinhei (pischerweise ein Jahr. Wähl man die Zeidisanz infiniesimal klein, so läß sich der Errag eines Coupon Bonds als oales Differenial der reisfunkion (, gemäß Gleichung (4 differenzier nach den beiden Variablen Yield o auri und der Zei darsellen 9. 9 Die infiniesimale Zeidisanz zwischen zwei Berachungszeipunken bewirk, daß die ordenliche Erragskomponene in Form des zeianeiligen Kupons an Bedeuung verlier. Insofern erübrig sich eine Differenzierung zwischen Dir und Clean rices. Das oale Differenial einer -variabligen Funkion f ( x, x is definier als d dx + dx bzw. x + x. x x x x

10 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 9 ( ROLL DOW CURVE SHOCKS D, + + (5 Der. Summand von Gleichung (5 beschreib reisänderungen, die aufgrund der Veränderungen der Rendiesrukur hervorgerufen werden (Curve Shocks. Formal is dies das roduk aus der odified Duraion D des Bonds muliplizier mi der Rendieänderung. Diese reisänderungen werden hier nich berache, da eine konsane Zinssrukur unersell wird. Somi verbleib der. Summand, der den Roll-Down-Errag des Coupon Bonds repräsenier. Dieser Ausdruck läß sich weier vereinfachen zu 0 : D + (6 i dieser Formel is die Analogie zur Darsellung des Roll-Down-Errages über Spo Raes direk erkennbar. Greif man das einfache Beispiel von Abschni III. mi der Berachung des Roll-Downs über eine diskree Berachungsperiode auf, so läß sich der Roll-Down mi Yield o auriies in seinen zwei Bewegungskomponenen wie folg darsellen: 0 Allgemein is folgende Funkion abzuleien:. ( ( x g e x f Es gil:, wobei nach der rodukregel differenzier wird. '( '( ( x g e x f x g g(x { D D e CF e CF e CF D x g e x g '( ( an beache, daß man einen Zeiablaufeffek miß, d.h. is sreng genommen negaiv. Berücksichig man dies ensprechend in obiger Gleichung, so resulier der Roll-Down-Errag für einen Coupon Bond mi: Verikaleffek Horizonaleffek D +.

11 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 0 ( D Abb. : Der Roll-Down-Effek für einen Coupon Bond Einziger Unerschied zum Fall mi Spo Raes is die verikale Bewegungskomponene: während im Fall von Spo Raes die Rendiedifferenz mi der Reslaufzei des Zero Bonds muliplizier wird, wird im Fall des Coupon Bonds die Rendiedifferenz mi der odified Duraion des Bonds muliplizier. Bedenk man aber, daß im Falle eines Zero Bonds die Reslaufzei und die odified Duraion des Zeros bis auf den je nach Rendieniveau konsanen Korrekurfakor /( + gleich sind, so sind beide Darsellungsformen egal ob über Zero Raes oder Yield o auriies inhallich idenisch. Analog zur Darsellung über Zero Raes is allerdings auch bei den Yield o auriies die Kennnis einer zeiabhängigen Rendiesrukur nowendig: während der akuelle arkpreis zum akuellen Rendieniveau direk beobachbar is, is das Rendieniveau nach Zeiablauf nich beobachbar. Insofern müssen die mi dem Zeiablauf einhergehende Rendieänderung wiederum aus einer geschäzen Yield-o-auri-Funkion abgegriffen und der ensprechende reiseffek daraus berechne werden. Als Schäzfunkion kann analog zur Spo- Rae-Funkion eine nichlineare Funkion miels Regression in die Beobachungsmenge eines repräsenaiven Bond Universums gefie werden. IV. Roll Down und orfoliokonsrukion Die bisherigen Ausführungen zum Roll Down waren bondspezifisch. Es wurde deulich, daß sowohl Gesal als auch osiionierung enlang der Zinssrukurkurve das Ausmaß des Roll- Down-Errages deerminieren. Eine alleinige aximierung des Roll-Down-Errages bei der Konsrukion eines Bondporfolios würde zur Folge haben, sich am seilsen Abschni der Zinssrukurkurve zu plazieren und ein Bulle-rofil in der Laufzeienallokaion aufzubauen. Dies eröffne allerdings Sensiiviäen gegen Zinssrukurkurvenänderungen, besonders gegen Verseilungs- und Abflachungsszenarien. pischerweise miß man im Bondporfoliomanagemen sämliche Risiken relaiv zu einem Referenzindex. Die aximierung des Roll Downs muß uner Beachung der relaiven Laufzeienallokaion zur Benchmark erfolgen, um keine ungewollen Zinssrukurkurvensensiiviäen im orfolio aufzubauen. Für einen Zero Bond is die Reslaufzei idenisch mi seiner acaule Duraion D. Der Zusammenhang zwischen odified Duraion D und acaule Duraion D is: D D/(+ /(+.

12 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen Im Folgenden soll demonsrier werden, wie die Seuerung des Roll-Down-Errages sinnvoll in einen orfoliomanagemenprozess inegrier werden kann. Als Referenzindex is der J.. organ EU Governmen Bond Index gewähl. Das Ziel der orfoliokonsrukion beseh darin, die im Anlageuniversum enhalenen und mi einem konkreem Roll-Down-Errag versehenen Anleihen so zu gewichen, daß ein opimaler ix aus Risiko und Errag realisier wird. Gesuch is ein orfolio, das einen ehrerrag gegenüber der Benchmark aufweis, wobei ex ane fesgelege Risikodimensionen relaiv zur Benchmark eingehalen werden müssen. Somi lieg ein Opimierungsproblem mi dem Roll Down als zu maximierende Zielgröße und einer Reihe von ebenbedingungen vor 3. Die ebenbedingungen müssen eine geziele und flexible Risikoseuerung ermöglichen und einige weiere prakische Erfordernisse abbilden. Die wesenlichen Risikofakoren eines Euroland-Saasanleihenporfolios sind die Länderund Zinssrukurkurvenallokaion. Die beiden Risikodimensionen lassen sich für das berachee orfolio in Form einer Länder-Laufzeienallokaionsmarix darsellen. Folgende abelle gib einen Überblick über das Länder-Laufzeienallokaionsprofil des J.. organ EU Governmen Bond Index: Laufzeiklassen AS BEF DE ES FI FRF GRD IE IL LG E Summe Anzahl I (-3Y 0,5, 5,4,3 0,5 5,0 0,9 7,0,6 0, 4,5 66 II (3-5Y 0,7,8 5,,0 0,4 5,3 0,7 0, 3,6, 0,5 0,5 49 III (5-7Y 0,9,0 3,4,6 0, 3,4 0,5 0, 3,0 0,9 0,3 6,5 3 IV (7-0Y,0, 5,,8 0,3 4,3 0,9 3,6,3 0,7 0, 35 V (> 0Y 0,3,8 3,4,9 0,3 3,7 0,8 0,4 4,7 0,8 0, 8,5 43 Summe 3,5 7,9,6 8,7,6,8 3,7 0,7,9 5,8,8 00,0 5 Anzahl ab. : Länder-Laufzeienallokaionsmarix des J.. organ EU Governmen Bond Index Die Länder-Laufzeienallokaionsmarix ensprechend ab. is für Benchmark wie orfolio einfach zu konsruieren. ach dem gleichen rinzip lassen sich landweise absolue bzw. relaive Duraion berechnen. Die beschriebenen Exposures der Aggregae Länder- bzw. Laufzeiklassen in Form von Zeilen- und Spalensummen sind zenraler Besandeil bei der orfoliokonsrukion. Sie definieren je nach Invesmensil als fese Vorgaben oder als erlaube Abweichungen davon u.a. den ebenbedingungsraum bei der Konsrukion eines konkreen Anleihenporfolios. Abweichungen von der Länderallokaion der Benchmark bergen erformance-risiken (sog. Spread-Risiken in sich, da die Zinsenwicklungen der verschiedenen Länder zwar ähnlich, aber nich idenisch sind. Deshalb muß sichergesell werden können, daß die Länderallokaion des orfolios nur in einem vorgegebenen Ausmaß von der Benchmark abweich. Dies kann an den Spalensummen der arix aus ab. im Vergleich mi den Weren der ensprechenden arix des ofolios fesgemach werden. Ganz ähnlich beschreiben die Zeilensummen dieser arizen die grobe Allokaion von Benchmark bzw. orfolio enlang der Zinssrukurkurve, indem die apiere in fünf Laufzeisegmene eingeeil werden. Große Unerschiede hier zeigen an, daß das orfolio sensibel gegen Veränderungen der Zinssrukurkurve is. 3 J.. organ EU Governmen Bond Index für den ona Dezember 00. Zur Darsellung des Opimierungsansazes vgl. Walher/Zimmerer, in: Kleeberg/Schlenger (Hrsg. Handbuch Spezialfonds: Ein prakischer Leifaden für insiuionelle Anleger und Kapialanlagegesellschafen, 000 S. 555ff.

13 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen Eine Beschränkung der erlauben Abweichungen is eine öglichkei, Zinssrukurkurvenrisiken wirksam einzuschränken, ohne zu sark in den Opimierungsprozess einzugreifen. Aus der prakischen Handhabung des Verfahrens können sich noch weiere Resrikionen für die Opimierung ergeben. So wird man in der Regel nich in ein neues orfolio aus Kasse invesieren, sondern ein bereis exisierendes an eine neue einung oder geändere Bedingungen effizien anpassen wollen. Der Lösungsvorschlag solle dann nich zu viel Umschichungsaufwand erfordern. Eine ebenbedingung, die den maximal zulässigen, mi ransakionskosen belaseen urnover vorgib, kann dies sichersellen. Evenuell kann es auch sinnvoll sein, aus Liquidiäsgründen die kleinen Länder der Benchmark aus dem Anpassungsprozess auszuschliessen oder Grenzen für das Gewich einzelner iel feszulegen. Auch dies läß sich in einer ebenbedingung formulieren. Schliesslich besiz ein orfolio einen Cash-Aneil, der midisponier werden muss. Durch Einführung einer zusäzlichen Benchmarkanleihe mi Gewich ull und sinnvollen Risiokoparameern wird dies in den Ansaz inegrier. Sowohl die Erragsmaximierung als auch die einzuhalenden Risikoresrikionen und sonsigen ebenbedingungen lassen sich als lineare Gleichungen darsellen, so daß die orfoliokonsrukion als klassisches lineares rogramm formulier werden kann. In Kurzform läß sich das lineare rogramm schreiben als: ax w'r (7 w uner den ebenbedingungen A w b 0 w (8 wobei w : n x Vekor der orfoliogewiche r : n x Vekor der Roll-Down-Erräge A: m x n arix zur Darsellung des ebenbedingungsraums b : m x Vekor mi ebenbedingungsweren n : Anzahl der Asses im Anlageuniversum m : Anzahl der ebenbedingungen Ausgangspunk für die orfoliokonsrukion is der Vekor r der Roll-Down-Erräge, der als Alpha-Vekor für die Werenwicklungsmaximierung in der linearen Opimierung fungier. Wie beschrieben, kann der Roll Down auf Basis von Zero Raes oder Yield o auriies berechne werden. Dazu is eine Spezifizierung der Schäzfunkionen für die ensprechenden Rendiesrukurkurven nowendig. Im Folgenden wird aus dem Universum des J.. organ EU Governmen Bond Index eine Euroland-Saasanleihenrendiesrukur geschäz. Die Schäzung der Rendiesrukurkurve erfolg miels Regression, wobei nach dem inimum-quadra-ansaz die Quadrasumme der Differenzen zwischen asächlichen und geschäzen Bond-reisen minimier wird. Je nach Rendiesrukur wird folgendes Schäzproblem gelös:

14 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 3 Zero-Rae-Rendiesrukur: in ( ˆ i i, wobei ˆ i β mi i CF i + ˆ ( s + β 5 + β β β5 s ( β β β e β 3 e β 4 e (9 β 5 Yield-o-auri-Rendiesrukur: ( ˆ CF in i i, wobei ˆ i β i i + ˆ + 4 ( 3 mi ( β β + β + β β (0 3 Die Schäzung der Zero-Rae-Rendiesrukur erfolg in Anlehnung an ein modifizieres elson/siegel-olnom 4. Dazu is es nöig, die Bonds im Universum in ihre Cash-Flow- Srukur zu zerlegen und die nichlineare Schäzfunkion frisenkongruen in jeden Cash Flow zu inegrieren. Dies erfolg durch Generierung einer Cash-Flow-arix für das gesame Bonduniversum. Die Schäzung der Yield-o-auri-Rendiesrukur verwende ein olnom 3. Grades als Schäzfunkion für die Yield o auriies. Der Schäzansaz is hier weniger anspruchsvoll und als lineare Regression darsellbar. ach Besimmung der Schäzparameer lassen sich aus den jeweiligen Euroland-Rendiesrukuren für beliebige Laufzeien Roll-Down-Erräge berechnen. Die Ergebnisse sind graphisch in folgender Abbildung zusammenfass: 5.5%.0% 5.0%.8% Rendie in % p.a. 4.5% 4.0% 3.5% Zero-Rae-Rendiesrukur Yield-o-auri-Rendiesrukur Roll Down über Zero Raes Roll Down über Yield o auriies.6%.4%.%.0% 3-onas-Roll-Down in % 3.0% 0.8% Laufzei in Jahren Abb. 3: Geschäze Euroland-Zinssrukurkurven und Roll-Down-Erräge Wie bereis erwähn lieg bei einer normalen Rendiesrukur die Zero-Rae-Zinssrukurkurve oberhalb der Yield-o-auri-Zinssrukurkurve. Die Grundform der Zinssrukurkurven is für beide Rendiearen gleich, lediglich am langen Laufzeiende zeigen sich leiche Unerschiede im Krümmungsverhalen, was auf die funkionale Spezifikaion der Schäzfunkionen und ihrem Verhalen am langen Laufzeiende bei geringer Anzahl an Beorbachungen zurückzuführen is. 4 Vgl. elson/siegel, a.a.o. (Fn. 6.

15 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 4 Die Gesal der Rendiesrukurkurven spiegel sich direk in den ensprechenden Roll-Down- Funkionen wieder: unerschiedliches Seigungs- und Krümmungsverhalen der Rendiesrukur sind auch in der laufzeiabhängigen Roll-Down-Funkion erkennbar. Die Roll-Down-Erräge sind auf Basis eines 3-onasfensers berechne, d.h. den abgeragenen Kurven lieg die Annahme zu Grunde, daß sich die Rendiesrukurkurven die nächsen drei onae nich ändern sollen. Lieg keine akive einung über die künfige Zinssrukurkurve vor, wird besonders im passiven Bondmanagemen die riviale rognose, daß die Zinssrukur unveränder bleib, verreen. Als realisiischer rognosehorizon mi quanifizierbarem relaivem erformance-oenial zur Benchmark eigne sich eine 3-onassich. Die berechneen Roll-Down-Funkionen erlauben die Berechnung eines durchschnilichen Roll-Down-Errages für die Benchmark. Je nach zugrundegeleger Rendiear ergeben sich leiche absolue erformance-unerschiede: 3-onas-Roll-Down mi Zero Raes:,09% 3-onas-Roll-Down mi Yield o auries:,06% Der Wer für den 3-onas-Roll-Down mi Yield o auriies bedeue inhallich, daß derzei bei unveränderer Zinssrukurkurve ein oal Reurn des Benchmarkporfolios in Höhe von,06% nach Ablauf von drei onaen zu erwaren is. Bei einem durchschnilichen Kupon der Benchmark in Höhe von knapp 6% bedeue dies, daß dem zeianeiligen 3-onas- Kupon-Errag in Höhe von,5% einen negaiver reiserrag gegenübersehen muß, dami ein oal Reurn von,06% resulier. Die Rendie eines Bonds sez sich nämlich aus den Komponenen Kuponerrag und reisveränderung zusammen. Die negaive reisänderungsrae läß sich so erklären: die durchschniliche Kuponhöhe von 6% bei einer gewogenen Yield o auri des Benchmarkporfolios von ca. 4,% bedeue, daß der durchschniliche Benchmark Bond über pari noier. Der zeiablaufbedinge reiserrag (sog. ull-o-ar-effek muß daher negaiv sein. Bei Bonds idenischer Laufzei und gleicher Rendie, aber unerschiedlicher Kuponaussaung wird die unerschiedliche Kuponerragskomponene gerade eben durch eine ensprechende reiskomponene kompensier, um auf die gleiche effekive Rendie zu kommen. oieren beide apiere über pari, so is die reisveränderung (ull-o-ar-effek für beide apiere negaiv, der Kursverlus is dann jedoch bei niedriger Kuponaussaung ensprechend geringer. Die absoluen Unerschiede in den einzelnen Alpha-Vekoren führen nich zwingend zu unerschiedlichen orfoliosrukuren. Die Srukur des opimalen orfolios is unabhängig von der absoluen Höhe der ielspezifischen Roll-Down-Erräge der einzelen Reslaufzeien, solange die Grundform der beiden Roll-Down-Funkionen laufzeiabhängig gleich is. Dies heiß wiederum, daß die Spo-Rae-Zinssrukur in seiner Form nich grundsäzlich von der Yield-o-auri-Zinssrukur abweichen soll, was l. Abb. 3 auch nich der Fall is. Opimier wird zudem nich die absolue Höhe des Roll-Down-Errages, sondern die relaive Differenz zur Benchmark, so daß die marginalen iveau-unerschiede in den einzelnen Varianen irrelevan sind. Das Opimierungsproblem mi aximierung des relaiven 3-onas-Roll-Down-Errages wird im passiven anagemenansaz dargesell, um quanifizieren zu können, wieviel erformance-oenial bei gegebener Rendiesrukur ohne der Eablierung von akiven osiionen im orfolio in der Roll-Down-aximierung seck. Die orfoliokonsrukion beschäfig sich mi der Realisierung des Anlagezieles bei euralisierung aller performancerelevanen Risikomerkmale bei einer deulich geringeren Anzahl an ieln als im Benchmark Universum (ca. 0-5% der iel.

16 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 5 Die Risikomerkmale definieren gleichzeiig die ebenbedingung für die lineare Opimierung und adressieren Duraions-, Länder-, sowie Zinssrukurkurvenrisiken. Das Duraionsrisiko wird konrollier, indem das orfolio an der Benchmarkduraion gehalen wird. Das orfolio reflekier demnach keine Zinsmeinungen für ein fallendes bzw. seigendes Zinsniveau. Die Konrolle der Länder-Exposures seuer das Spread-Risiko gegen sich verändernde Rendieabsände der Index-Länder unereinander. Eine grobe Seuerung der Zinssrukurkurvenrisiken is möglich, indem man die relaive Reslaufzeienallokaion auf den fünf Reslaufzeienklassen in gewissen Bandbreien konrollier. Eine Feinseuerung kann durch die Berechung sog. Shif-, wis- und Buerfl-Fakoren erfolgen, die die silisiere orfoliosensiiviä gegen sich ändernde Zinssrukurkurven (arallelverschiebung, Verseilung oder Abflachung bzw. Wölbung reflekieren. Eine indexnahes Seuern dieser Fakoren münde lezendlich ebenso in einer änlichen Reslaufzeienallokaion zwischen orfolio und Benchmark. Das Ergebnis der orfoliokonsrukion is ein orfolio, das sämliche ebendbedingungen einhäl, dabei aber das relaive Arakiviäskrierium in Form von Roll-Down-Errägen der einzelnen Bonds im Universum voll ausnuz. Die Seuerung der ebendbedingungen Länderbzw. Laufzeineuraliä bewirk, daß sich die Allokaionsmarix des orfolios gemäß ab. in seinen Spalen- bzw. Zeilensummen an den Zahlen der Benchmarkmarix orienieren wird, ohne daß die einzelnen arixzellen zwingend komple besez sein müssen. Folgende abelle zeig die Allokaion des opimalen orfolios in den Dimensionen Ländern und Laufzeiklassen sowie die Differenzen zur Benchmark. Laufzeiklassen AS BEF DE ES FI FRF GRD IE IL LG E Summe Anzahl Differenz I (-3Y,,7 3,8,0 0, 8,3 7,0 7-7,5 II (3-5Y,9 9,0,0 5,8 7,7 9 7, III (5-7Y 3,9 4, 4,4,6 4,0 4 -,5 IV (7-0Y 4,0,5 6,9 3,5 3,9 9,8 6-0,3 V (> 0Y,6,6,8 3,8 5, 5, 0,3,5 0 3,0 Summe 3,7 8,,5 8,9,5, 3,5,0,8 6,,6 ok 36 Anzahl ,8 4,, 4,5 0,7 0,6,7 0,5 0,9 3, 0,8 Differenz 0, 0, -0, 0, -0, -0,6-0, 0,3-0, 0,3-0, ab. : Länder-Laufzeienallokaionsmarix des opimalen orfolios Die Ergebnisse der Opimierung lassen sich aggregier wie folg darsellen: orfolio Benchmark Differenz 3-Roll Down Zero Raes in %,0,09 0,0 3-Roll Down Yield o auri in %,07,06 0,0 odified Duraion 5,60 5,46 0,4 Rendie in % p.a. 4, 4,9 0,0 Bonds ab. 3: Ergebnis der orfolio-opimierung Das Ergebnis der Opimierung is ein konzenrieres orfolio mi nur 36 Bonds vs. 5 Anleihen im Universum. Das opimale orfolio weis unabhängig ob man in Form von Zero Raes oder Yield o auriies miß auf 3-onassich einen um bp höheren Roll- Down-Errag auf als die Benchmark. Dies schein auf den ersen Blick niedrig, würde aber bedeuen, daß ceeris paribus auf Jahressich ein relaives erformance-oenial in Höhe von 4 bp möglich is, ohne Duraions-, Länder- oder Zinssrukurkurvenrisiken eingegangen zu sein.

17 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 6 Die Duraion is annähernd gleich, das Länderprofil is bis auf marginale Abweichungen von plus/minus 0,5% relaiv zur Benchmark idenisch. Der höhere Roll-Down-Errag is demnach auf die Reslaufzeienallokaion zurückzuführen. Ein Blick auf ab. mach deulich, daß das orfolio in den Spalensummen (Länderallokaion nahe am Index lieg, in den Zeilensummen (Laufzeienallokaion allerdings eine akive osiion aufweis. Dies wird umso deulicher, wenn man die relaive Reslaufzeienallokaion von -0 Jahren in - Jahresinervallen und darüber in 5-Jahresinervallen darsell: Differenz zu Benchmark in % Zero-Rae-Rendiesrukur Yield-o-auri-Rendiesrukur Rendie in % p.a. Laufzei in Jahren Abb. 4: Relaive Reslaufzeienallokaion orfolio vs. Benchmark Das relaive Laufzeienprofil mach deulich, wo der Roll-Down-ehrerrag im orfolio generier wird: insgesam is das rofil relaiv ausgeglichen, es besehen keine Flaening/Seepening-Sensiiviäen. Es erfolg eine Akzenuierung der Laufzeisegmene 4-5 Jahre und 9-5 Jahre. Es is aber kein kein pisches Bulle-rofil mi aggressiver Übergewichung eines einzigen, seilen Kurvenabschnies erkennbar. Vielmehr werden die eingegangenen Übergewiche durch die benachbaren Laufzeiklassen ausgeglichen. Auffallend is lediglich die Übergewichung der Laufzeiklasse II (3-5 Jahre zu Lasen von Laufzeiklasse I und III. Bedenk man, daß die Benchmark die Haupmasse in Laufzeiband II allokier ha und daß die Duraion in dieser Klasse uner der Gesamduraion lieg, is das punkuelle Übergewich im Schwerpunk der Benchmarkallokaion verrebar. Das akive Gewich in längeren Laufzeien mi höherer Zinssensiiviä is dagegen deulich geringer. Die leich höhere Duraion als Benchmark is logische Konsequenz der Zielfunkion: der Opimierer wird im Rahmen seiner erlauben Bandbreie Roll-Down maximieren, indem er beding durch die anseigende Rendiesrukurkurve längere, höher renierliche apiere mi ensprechend höherem Roll-Down kauf. Auf onassich is es legiim, sich ewas länger als die Benchmark zu posiionieren, da durch die Verjüngung des orfolios die Duraion auomaisch kürzer wird und sich der am onasulimo readjusieren Benchmarkduraion annäher 5. 5 Bei einer odified Duraion von 5,5 Jahren beräg der monaliche Verjüngungseffek ca. -,5%. Die Benchmark unerlieg zwar dem gleichen Verjüngungseffek wie das orfolio, wird jedoch am onasulimo uner Reinvesiion aufgelaufener Kuponerräge und evenueller Exi-Enr-Effeke wieder auf die Ausgangsduraion gesez. Die im Ausmass des Verjüngungseffekes längere osiionierung relaiv zur Benchmark verhinder ein duraionsgewogenes Unerinvesmen in der Rendie und generier bei seigender Zinssrukurkurve über längere Zei hinweg einen ssemaischen Yield ickup in Form des Roll-Down-Errages.

18 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 7 Das passive Seup mach deulich, daß bei einer sriken Konrolle des Duraions- und Länderrisikos eine leiche Lockerung in der relaiven Reslaufzeienallokaion nöig is, um einen ehrerrag gegenüber der Benchmark zu generieren. Die Benchmarkneuraliä wird in der Opimierung geseuer, indem die Zeilen- und Spalensummenabweichungen der Länder- Laufzeienallokaionsmarix zusammen mi der Gesamduraion konrollier werden. Der ehrerrag enseh, indem der Opimierer innerhalb der arix arakive Kurvenabschnie über die Länder hinweg such. Alernaive Verfahren der Indexreplikaion z.b. Sraified Sampling implizieren, die Benchmarkneuraliä in jeder arixzelle zu fordern und dadurch ex ane das orfolio in Länder-Laufzei-Segmene zu zwingen, die evl. gemessen an ihrem relaiven Roll-Down-Beirag unarakiv sind. Anders die lineare Opimierung mi der Risikoseuerung auf Zeilen- und Spalensummenebene: sie biee den klaren Voreil, das Bond-icking-oenial im Universum opimal auszunuzen, ohne das Gesamrisiko zu gefährden. So reich es beispielsweise aus, kleine Länder wie Finnland, Irland oder orugal mi nur einem Bond abzubilden und öffne dem Opimierer den Freiraum, in anderen Ländern asse in seilen Laufzeisegmenen zu allokieren, dabei aber die Zeilensummen(Laufzeien- und Spalensummen(Länder-neuraliä sicherzusellen. Die geringe Größenordnung des relaiven Roll-Down-Errages auf Jahressich von max. 5 bp (bei flachen Rendiesrukurkurven ensprechend geringer im passiven Konex implizier, dass ein signifikan höherer Roll Down Beirag nur uner Eingehen von akiven Duraionsund Zinssurkurposiionierungen möglich is 6. Die dann höheren Roll Down Beiräge reflekieren allerdings dann die akiven Ween, die dem orfolio innewohnen. Besonders deulich wird dies, wenn man akive Duraionsposiionen bei normaler, anseigender Zinssrukurkurve eingeh. Bei einer akiven Duraion-Long-osiion wird der Opimierer auomaisch den Schwerpunk in längere apiere mi höheren Roll-Down-Errägen verlagern, die Zielfunkion is bei Implemenierung der rognose fallender Zinsen leich zu erfüllen. Anders im Fall einer akiven Duraion-Shor-osiion: die nöige Reslaufzeienverkürzung führ zu einer Verlagerung der Laufzeien nach vorne in apiere mi geringerem Roll-Down- Errag mi der Konsequenz eines negaiven, relaiven Zeiablauferrages zur Benchmark. Das onioren dieser Größe is im Falle der rognose seigender Rendien besonders ineressan: der Roll Down markier in diesem Fall die Zeiablaufkosen für das ich-einreen der abgegebenen rognose. Der Roll Down kann hier als Opporuniäskosenmaß herangezogen werden, wie aggressiv man die Shor-Duraion-osiion im orfolio implemenieren will. Die nichlineare Beziehung zwischen Reslaufzei und Duraion bewirk, daß bei einer seilen, konkaven Zinssrukurkurve die marginalen Roll-Down-Erräge bei einer Duraionsverlängerung nich beragsgleich zu den marginalen Roll-Down-Kosen bei einer gleichen Duraionsverkürzung sind. Eine Shor-osiionierung bei konkaver Zinssrukurkurve verlang somi eine höhere rognosekonfidenz als die enpsrechende Long- osiionierung 7. Das onioring und Quanifizieren des Zeiablaufeffeks is daher im akiven und passiven Bondmanagemen unabdingbar. 6 7 Zum erformance-oenial von Laufzei und Duraionssraegien sei verwiesen auf aulus, in: Kleeberg/Rehkugler (Hrsg.,. Aufl., 00 S Vgl. Kalenbacher/Rohweder, in: Kleeberg/Rehkugler (Hrsg.,. Aufl., 998 S. 7.

19 rof. Dr. homas Zimmerer: Der Roll Down im Bondmanagemen 8 V. Zusammenfassung Sell man im Bereich von Szenario- und Horizon-Analsen die relaive erformance eines orfolios bei Einreen verschiedener rognosen gegenüber der Benchmark dar, so beschreib der Roll Down den erformance-beirag bei Einreen des ull -Szenarios, d.h. bei unveränderer Ausgangslage. Im passiven Konex is das ull-szenario per definiionem das künfige Szenario, im akiven Konex is der Roll Down die akive erformance in einem der möglichen künfigen Zukunfsszenarien. Der Roll Down is dami eine wichige Größe bei der Seuerung der relaiven Reslaufzeienallokaion in einem Bondporfolio uner Einbeziehung der akuellen Zinssrukurkurve. Der Beirag mach deulich, daß der Roll Down-Errag bei Vorliegen einer funkionalen Form zwischen Reslaufzei und Rendie (Spo Rae oder Yield o auri auf Einzelielebene oder im orfoliokonex einfach berechenbar is. Insofern solle der relaive Roll Down in das regelmäßige orfolio onioring und in die orfoliokonsrukion, sei es konkre als Zielfunkion im passiven anagemen oder als zu beachende ebenbedingung im akiven anagemen, einbezogen werden. Lieraur: Bühler, A. anagemen komplexer Zinsänderungsrisiken in: Fi for Finance, Gehrig, B./Zimmermann H. (Hrsg., Verlag eue Zürcher Zeiung, 996, S Fabozzi, F.J./Fabozzi,.D/ollack, I.. (99: he Handbook of Fixed Income Securiies, 3 rd Ediion, Business One Irwin, 99, S Ferguson, R./Ramar, S. (998: A Comparaive Analsis of Several opular erm Srucure Esimaion odels, in: he Journal of Fixed Income, Vol. 3, pp Ilmanen, A. (995: Overview of Forward Rae Analsis, Undersanding he Yield Curve: ar, 995 S. -9, Salomon Brohers Unied Saes Fixed Income Research. Ilmanen, A. (995: arke s Rae Expecaions and Forward Raes, Undersanding he Yield Curve: ar, 995 S. -, Salomon Brohers Unied Saes Fixed Income Research. Gruber, W./Overbeck, L.: ie mehr Boosrapping, in: Finanzmark und orfoliomanagemen,. Jahrgang, 998, r., S Kalenbacher,./Rohweder, H.C.: Visualisierung der Zinssensiiviä von Renenporfolios, in: Handbuch orfoliomanagemen, J.. Kleeberg/H. Rehkugler (Hrsg., Uhlenbruch Verlag, 998, S elson, C.R./A.F., Siegel, A.F (987: arsimonious odelling of Yield Curves, in: he Journal of Business, Vol. 60, 4, pp Schich, S.. (997: Schäzung der deuschen Zinssrukurkurve, Diskussionspapier 4/97, Volkswirschafliche Forschungsgruppe der Deuschen Bundesbank. Vasicek, O./Fong, H.G. (98: erm Srucure odeling Using Exponenial Splines, in: Journal of Finance, Vol. 37 (98, S Walher, U./Zimmerer,. (000: Ansäze zum anagemen von europäischen Renen- Spezialfonds in: Handbuch Spezialfonds: ein prakischer Leifaden für insiuionelle Anleger und Kapialgesellschafen, J. Kleeberg/C. Schlenger (Hrsg., Uhlenbruch Verlag, S