Schätzung von Renditestrukturkurven für Euroland- Staatsanleihen: Gibt es teuere und billige Bonds?*

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1 Thomas Zimmerer / Florian Herlein Schäzung von Rendiesrukurkurven für Euroland- Saasanleihen: Gib es euere und billige Bonds?* I. Einleiung... II. Abgrenzung von Rendiebegriffen... III. Arbiragefreier Preis und Schäzfunkion... 4 IV. Seige Schäzverfahren zur Rendiesrukurkurvenbesimmung... 8 IV.. Polynom-Modelle... 8 IV.. Vasicek-Fong-Modelle... IV.3. Nelson-Siegel-Polynome... V. Fair-Value-Analyse... 3 V.. Querschnianalyse... 3 V.. Längsschnianalyse... 5 VI. Zusammenfassung... Prof. Dr. Thomas Zimmerer is Professor für Allgemeine Beriebswirschafslehre mi Sudienschwerpunk Finanz-, Bank- und Invesiionswirschaf an der Fachhochschule Ansbach und Senior Consulan bei der alpha porfolio advisors GmbH, Bad Soden. Forschungsschwerpunke: Quaniaive Porfolio- und Risikomanagemenmodelle, Renenporfolioanalyse, Porfolio Insurance- und Absolue Reurn-Sraegien. Florian Herlein, Diplom-Beriebswir (FH) is Consulan bei der alpha porfolio advisors GmbH, Bad Soden. Täigkeisschwerpunke: Srukuriere Managerauswahl und quaniaive Performanceanalyse. * erschienen in: FINANZ BETRIEB, /7, S

2 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie I. Einleiung Mi Einführung des Euro is eine Harmonisierung des Euroland Zinsniveaus verbunden. Während eine einheiliche Geldpoliik der Europäischen Zenralbank die Homogeniä am kurzen Laufzeienende sichersell, führen v.a. die langen Laufzeienbereiche ab Jahren Reslaufzei eine messbare Eigendynamik. Dies äußer sich an beobachbaren Länder- Laufzei-Spreads zueinander. Insofern kann es länderübergreifend oder relaiv zum durchschnilichen Euroland Rendieniveau zu signifikanen Preisabweichungen von Saasanleihen gleicher Laufzei kommen. Das Insrumen zur funkionalen Beschreibung des Zusammenhanges zwischen Reslaufzeien und Rendien is die Rendiesrukurkurve. Die Rendiesrukurkurve is nich direk am Mark beobachbar, kann aber aus einem Universum repräsenaiver Anleihen über saisische Schäzverfahren besimm werden. Anwender derariger Schäzverfahren sind Noenbanken, die dadurch Implikaionen über die Rendiesrukur für ihre geldpoliischen Maßnahmen erhalen. Daneben dien die Rendiesrukur im Porfoliomanagemen als Grundlage zur Bewerung sämlicher zinsbasierer Finanzinsrumene, um darauf aufbauend auf Porfolio- oder Einzelielebene Analysen anzusellen. Der vorliegende Beirag beschäfig sich mi der Frage, ob Euroland Saasanleihen fair bewere sind oder nich. Der Beirag is wie folg aufgebau. Nach einer Abgrenzung von Rendiebegriffen in Abschni II wird in Abschni III das Konzep des arbiragefreien Preises erläuer und die Grundsrukur des Schäzproblems einer Rendiesrukurkurve skizzier. Abschni IV beschreib die Schäzmehoden, die im Abschni V einer empirischen Fair-Value-Analyse unerzogen werden. Abschni VI fass die Ergebnisse zusammen und beanwore resümierend die Frage nach dem Bondpicking Poenzial im Euroland Saasanleihenbereich.

3 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie II. Abgrenzung von Rendiebegriffen Bei der Bewerung fesverzinslicher Werpapiere (Bonds) handel es sich um ein klassisches Invesiionsrechenverfahren, dem Barwerkonzep. Der Barwer einer Anlage in ein fesverzinsliches Werpapier mi Laufzei T, d.h. der Markpreis P des Bonds ensprich dem Gegenwarswer der bekannen, künfigen Cash Flows CF zu deren Fälligkeiszeipunk den Kupons C und der Rückzahlung des Nominalweres N. Als Zinsfuß zum Diskonieren der Cash Flows fungier die laufzeikongruene Rendie y, die am Kapialmark abgegriffen werden kann. Formal läss sich der Preis schreiben als: C P = + + y C C + N = T T T ( + y) ( + y) ( + y) = ( + y) ( + y) = ( + y) T C + N = T CF () Die Besonderhei und gleichzeiig der heoreische Kriikpunk der Yield o Mauriy- Preisformel nach Gleichung () liegen in der Unersellung einer flachen Zinssrukurkurve, da sämliche Zahlungssröme mi dem gleichen Diskonfuß y diskonier werden. Die Yield o Mauriy beschreib die Rendie, die den Durchschniserrag aus dem Besiz einer Anleihe über die gesame Laufzei uner der Annahme angib, dass alle Kuponzahlungen während der Laufzei der Anleihe zu eben dieser Rendie reinvesier werden können (kein Reinvesiionsrisiko). Obwohl eine flache Zinssrukurkurve nich der Realiä ensprich, denken die Markeilnehmer in Yield o Mauriies, da sie die relaive Arakiviä von Bonds verschiedener Laufzeien in einem Rendieargumen ausdrücken. So erlaub Gleichung (), aus der am Mark beobacheen Laufzeirendie einen korrespondierenden Markpreis zu berechnen oder aber zwar nich durch eine geschlossene analyische Lösungsformel, aber über ieraive Näherungsverfahren zum quoieren Markpreis die korrespondierende Rendie anzugeben. Im Renenhandel werden beide Größen verwende: besimme Bonds werden auf Preisbasis (z.b. Saasanleihen) oder Rendiebasis (z.b. Pfandbriefe) gehandel. Spo Yields oder Zero Yields knüpfen an den heoreischen Kriikpunken des Yield o Mauriy-Konzepes bei der Bewerung von Kuponanleihen (Coupon Bonds) an. Sie beschreiben die Yield o Mauriies von Nullkuponanleihen (Zero Bonds), die als Abzinsungspapiere nur einen Cash Flow, nämlich die Rückzahlung des Nennwers bei Endfälligkei aufweisen. Das Barwerkonzep aus Gleichung () läss sich nun so modifizieren, dass eine Kuponanleihe auch mi Zero Yields bewere werden kann. Der Grundgedanke dabei is die Zerlegung der Cash Flows eines Coupon Bonds in ein Bündel von Zero Bonds, so dass alle Cash Flows des Coupon Bonds mi jez unerschiedlichen, laufzeiadäquaen Nullkuponrendien diskonier werden. Die mahemaische Realisierung erfolg über die Äquivalenzforderung, dass egal, ob die Cash Flows eines Coupon Bonds mi einer einheilichen Yield o Mauriy oder mi unerschiedlichen Zero Yields der einzelnen Fälligkeiszeipunke diskonier werden, den Markpreis des Bonds ergeben müssen: T T CF! CF P = = ( ) () = + y = ( + s ) Kupon Bond mi einheilicher Rendie y Null Kupon Bonds mi T laufzeispezifischen Spo Yields s Vgl. Zimmerer, Finanz Berieb, 4/3 S. 43.

4 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 3 Die formale Überführung von Yield o Mauriies in Spo Yields nach Gleichung () is mi diskreen Rechen- und seigen Schäzverfahren möglich. Die Anwendung des diskreen Boosrapping-Verfahrens is nur uner besimmen Voraussezungen anwendbar: es is auf Anleihen ganzzahliger Reslaufzeiensrukur beschränk, die zu pari, d.h. zum Nennwer noieren (Par Bonds). Am Sarpunk der Rendiesrukurkurve, i.d.r. bei der einjährigen Laufzei, werden Par Yield und Zero Yield gleichgesez und die nachfolgenden Zero Yields rekursiv aus sämlichen darunerliegenden Laufzeien herausgerechne. 3 Der Nacheil des Boosrapping-Verfahrens lieg jedoch in seinen sarren Annahmen, da es in der Praxis zum einen an Par Bonds mi ganzjährigen, äquidisanen Reslaufzeien fehl. Zum anderen is man an einer seigen Form der Spo Yields ineressier, um auch gebrochene Laufzeien ensprechend abbilden zu können und nich zwischen zwei Süzpunken inerpolieren zu müssen, wodurch die Rendiesrukurkurve lezendlich abschnisweise begradig wird. Um die Seigkei zu gewährleisen, haben sich in der Lieraur und der prakischen Anwendung Schäzmodelle zur Besimmung von Zero Yield-Funkionen eablier, die in diesem Beirag einem heoreischen und empirischen Vergleich unerzogen werden. Die Vielzahl von Einsazmöglichkeien, die durch die Schäzung von Nullkuponrendiesrukurkurven (Zero Yield Curves) gegeben sind, finde sowohl bei Kapialmarkforschern als auch im Praxisbereich große Anwendung. So werden sämliche Derivae oder srukuriere Produke, deren Pricing einen arbiragefreien Zins erforder, über Zero Yields bewere, die frisenkongruen von einer Zero Yield Curve abgegriffen werden. Daneben erlaub eine Nullkuponrendiesrukurkurve die faire Bewerung sämlicher gaungsgleicher Kuponanleihen, d.h. Coupon Bonds gleicher Raing- oder Sekorkaegorie. Durch den Abgleich der so ermielen fairen Preise mi den asächlichen Markpreisen können über- bzw. unerbeweree Anleihen idenifizier und nach Abzug von Transakionskosen Relaive Value Trades eablier werden. Somi is man in Theorie und Praxis an Funkionen ineressier, die für beliebige auch gebrochene Laufzeien die ensprechende Nullkuponrendie liefern. Dabei is generell ein leich implemenierbarer, zuverlässiger und für das jeweilige Aufgabengebie zugeschniener Schäzansaz zu präferieren. Die nachfolgende Tabelle zeig die verwendeen Schäzmodelle ausgewähler Naionalbanken. 4 Alle aufgeführen Modelle eignen sich grundsäzlich für die Darsellung von Zinssrukuren. 3 4 Vgl. Gruber/Overbeck, Finanzmark und Porfolio Managemen,. Jahrgang, Nr., 998 S. 64. Gegensand dieses Beirages is nich die Darsellung von diskreen Verfahren zur Generierung einer Nullkuponrendiesrukurkurve, sondern die Beschreibung und der Vergleich nachfolgend vorgeseller seiger Schäzverfahren. Zur formalen Darsellung des Boosrappings vgl. Fn. und Fn.. Vgl. Bank for Inernaional Selemens, BIS Papers No. 5, 5 S..

5 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 4 Zenralbank Belgien Kanada Finnland Frankreich Deuschland Ialien Japan Norwegen Spanien Schweden Schweiz Großbriannien Vereinige Saaen Schäzmehode Svensson oder Nelson-Siegel Merrill Lynch Exponenial Spline Nelson-Siegel Svensson oder Nelson-Siegel Svensson Nelson-Siegel Smoohing Splines Svensson Svensson Smoohing Splines und Svensson Svensson Smoohing Splines Smoohing Splines Tab. : Schäzmehoden zur Rendiesrukurkurve ausgewähler Zenralbanken III. Arbiragefreier Preis und Schäzfunkion Die Preisgleichung eines Zinsrägers läss sich uner Rückgriff auf Gleichung () auch wie folg darsellen: P = T = CF ( + s ) = T = CF d, wobei d = ( + s ) (3) Nachdem die Höhe der Cash Flows in Form der Kuponzahlungen und der Rückzahlung des Nennweres bei Endfälligkei sowie die Zahlungsermine (jährliche oder halbjährliche Zahlungsweise) deerminisische Größen sind, is die Preisbesimmung ausschließlich von den verwendeen laufzeiadäquaen Spo Yields s oder Diskonfakoren d abhängig. Der Barwer eines Cash Flows CF is durch die Muliplikaion des Cash Flows mi dem frisenkongruenen Diskonfakor d gegeben. Gil es, den Barwer eines Zahlungssroms einer Kuponanleihe mi T Zahlungen zu ermieln, ri an die Selle der einfachen Muliplikaion das innere Produk aus Cash Flows und den korrespondierenden Diskonfakoren wie in Gleichung (3) dargesell. Würden am Mark für jede Fälligkei eines zu bewerenden Zahlungssromes Zero Bonds gehandel, dann können die Diskonfakoren direk aus den Preisen der Zero Bonds berechne werden. Bei frisenadäquaer Anwendung der so exrahieren Diskonfakoren auf einen beliebigen Zahlungssrom enspräche der Barwer dieses Zahlungssroms exak seinem arbiragefreien oder fairen Preis. Wenn nun der asächliche Markpreis dieses Zahlungssroms über (uner) seinem Barwer lieg, kann durch Verkauf (Kauf) des Zahlungssroms und gleichzeiigem Kauf (Verkauf) eines diesen Zahlungssrom replizierenden Porfolios von Zero Bonds ein Arbiragegewinn erziel werden. 5 In einem funkionierenden Mark würden dann einsezende Arbirage-Akiviäen in Form von Käufen und Verkäufen des Zahlungssromes und dessen Replikaionsporfolios solange auf die Preisbildung einwirken, bis unfairer Markpreis mi fairem Barwer übereinsimmen. In der Realiä jedoch werden Zero Bonds für beliebige Fälligkeien nich in der ausreichenden Markiefe gehandel, um die Diskonfakoren und dami die Zero Yields direk am Mark beobachen zu können. 5 Vgl. Binder/Fingerlos/Jankowisch/Pichler/Zeipel, Öserreichische Konrollbank, 999 S. 3.

6 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 5 Wenn im Mark nich genügend Zero Bonds vorhanden sind, dann können Nullkuponanleihen aber auch durch ein Porfolio aus Kuponanleihen synheisch replizier werden. Dies is in Anlehnung an Gleichung () dann möglich, wenn der Mark vollsändig is, d.h. Kuponanleihen mi beliebiger Laufzei und Frisigkeissrukur am Mark verfügbar sind. Dies is in der Realiä wiederum nich gegeben: beliebige Zahlungssröme können somi in unvollsändigen Märken nich exak replizier werden. Für die Generierung einer Nullkuponrendiesrukurkurve heiß das nun, dass die Diskonfakoren respekive Zero Yields nur uner Zuhilfenahme einer Annahme über den funkionalen Verlauf der Diskonierungsfunkion oder der Zero Yields in Abhängigkei der Laufzei geschäz werden können. 6 Zur Generierung einer Rendiesrukurkurve is somi die Spezifikaion eines funkionalen Zusammenhangs zwischen Laufzei und Nullkuponrendien erforderlich. Der ermiele Barwer eines Zahlungssromes ensprich dann nich mehr exak, sondern nur mehr näherungsweise dem arbiragefreien oder fairen Markpreis. Sämlichen Schäzfunkionen und -verfahren gemeinsam is die Minimum-Quadra-Mehode, wobei versuch wird, die quadriere Abweichungssumme zwischen asächlichen Markpreisen P i und geschäzen Anleihepreisen Pˆ i einer repräsenaiven Schäzmenge von i =,..., N Anleihen zu minimieren. 7 Das Schäzproblem läss sich wie folg formalisieren: Min β N ( i= P i Pˆ i ), wobei mi s ˆ = f (, β k ) bzw. dˆ CF Pˆ i = ε CFi dˆ + ε i, T T i + i = = ( + sˆ ) = = und k =,...,K (4) + f (, β ) k Der heoreische Preis einer Anleihe i is definier als die Summe der Gegenwarswere der mi dieser Anleihe verbundenen Zahlungssröme, wobei die künfigen Zahlungen mi Hilfe von geschäzen Spo Yields ŝ auf ihre Gegenwarswere diskonier werden. Die Spo Yields selbs sind eine Funkion f der Reslaufzei und der im Rahmen des Schäzverfahrens besimmen K Schäzparameer β k und können in Anlehnung an Gleichung (3) in Diskonfakoren überführ werden. Der Fehlererm ε i reflekier die Differenz zwischen asächlichen und geschäzen Preisen, d.h. das Residuum der Schäzgleichung, das nich durch den Parameervekor β erklär werden kann. 6 7 Die formalen Überlegungen der nachfolgenden Schäzmodelle formulieren eilweise als Ausgangspunk einen funkionalen Zusammenhang zwischen Implied Forward Yields und der Reslaufzei. Die Zinssrukur kann nämlich nich nur durch Zero Yields, sondern auch durch Implied Forward Yields beschrieben werden. Dabei ensprich die Implied Forward Yield der arbiragefreien Spo Yield in der Zukunf für einen zukünfigen Zeiraum. Mahemaisch können die verschiedenen Yields, je nachdem ob man von einer diskreen oder seigen Verzinsung ausgeh, formal ineinander übergeführ werden. Die folgenden formalen Darsellungen der Schäzmodelle beschränken sich auf die Darsellung über Diskonfunkionen oder Funkionen für die Zero Yield-Srukur. Zu den Abgrenzungen der Yield- Konzepe in diskreer Noaion vgl. Zimmerer, Finanz Berieb, 4/3 S. 44 ff bzw. in seiger Noaion vgl. Bank for Inernaional Selemens, BIS Papers No. 5, 5 S Zu beachen is bei der Opimierung, dass zu den am Mark abgegriffenen Preisen (Clean Prices) die Sückzinsen addier werden müssen, da die Barwerformel die Preise inklusive aufgelaufener Sückzinsen (Diry Prices) liefer.

7 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 6 Je nach funkionaler Spezifikaion von f sind lineare oder nichlineare Schäzmodelle möglich. Lineare Modelle in Form von Polynom- oder Spline-Funkionen 8 werden analyisch in Form einer linearen Regression gelös. Die nichlinearen Modelle erfordern compuergesüze Opimierungsverfahren, die uner Vorgabe eines Sarvekors die Schäzparameer ieraiv besimmen. Zu den bekannesen Modellen, die in diesem Beirag komparaiv gegenübergesell werden und in der Praxis sark verbreie sind, zählen: 9 Polynom-Modelle Vasicek-Fong-Modell Nelson-Siegel-Polynome Eine Zinssrukurkurve schäzen bedeue, Schäzparameer zu finden, so dass die resulierende Funkion die Markgegebenheien möglichs gu abbilde. Dabei is es enscheidend, dass die geschäzen Zinssrukurkurven folgende essenziellen Eigenschafen aufweisen: Exakhei: Sichersellung, dass die ermiele Kurve das beobachbare Markverhalen adäqua widerspiegel und flexibel genug is, sich an die unerschiedlichen Zinssrukurkurvenverläufe (normal anseigend, invers, flach und/oder ausgewölb) anzupassen. Modellkonsisenz: Is die empirisch geschäze Kurve mi den heoreischen Zinssrukurkurvenmodellen konsisen oder weis die Kurve unkonrolliere Verläufe verursach durch einzelne Ausreißer oder an den Enden der Kurve auf? Simpliziä: Das Schäzverfahren solle einfach zu implemenieren sein und eine benuzerfreundliche Anwendung ermöglichen. Dazu solle ein geschlossener Funkionserm erzeug werden, der leich für jede beliebige Reslaufzei ausgewere werden kann. Zweckorienierung: Das verwendee Modell muss geeigne sein, sinnvolle Ergebnisse für das ensprechende Unersuchungsgebie (z.b. Bewerung von Derivaen oder Anleihen) zu liefern. Eine Schäzmehode is voreilhaf, wenn sie eine glae Kurve generier und nich durch einzelne Ausreißer in Form von falsch oder unsauber gepreisen Anleihen sark verzerr wird. 8 9 Spline-Funkionen modellieren die Zinssrukur als eine Aneinanderreihung von abschnisweise definieren Funkionen, meis Polynomfunkionen. Die Problemaik beseh in der Feslegung von deren Anzahl, deren formaler Spezifikaion, der konkreen Feslegung der Schnisellen und der Gewährleisung eines seigen Übergangs. Der seige Übergang is nich nur durch die Gleichhei der Funkionswere an den Schnisellen sicherzusellen. Zusäzlich is auch eine Äquivalenz der ersen und zweien Ableiung der Splines erforderlich, dami deren Seigung und Krümmung an den Übergangssellen übereinsimmen und keine Knickpunke in den Rendiesrukurkurven ensehen. Grundsäzlich saren Spline-Techniken mi überparamerisieren Polynomfunkionen und einer Vielzahl von Schnisellen und nähern sich einer zunehmend sparsameren Paramerisierung, indem die Schäzgüe relaiv zur Parameerzahl opimier wird. Spline-Funkionen wurden in dieser Sudie nich weier unersuch. Siehe dazu McCulloch, Journal of Business 44, 97 S. 9 3, Shea, The Journal of Finance, 4. Jg., 985 S oder Seeley, Journal of Business Finance & Accouning, 8(4), 99 S Vgl. Vasicek/Fong, Journal of Finance 37, 98 sowie Nelson/Siegel, Journal of Business, Vol. 6, 4, 987 S und Svensson, Naional Bureau of Economic Research, Working Paper 487, 994. Vgl. Choudhry, in: Fabozzi (Hrsg.): The Handbook of Fixed Income Securiies, 5, S. 965.

8 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 7 Neben diesen subjekiven Beureilungsmaßsäben führ die Verwendung saisischer Güekrierien zur nowendigen Objekiviä. Aus der Vielzahl der in der Lieraur diskuieren saisischen Güekrierien werden im Folgenden ausschließlich Lagemaße verwende. Hieruner fallen die drei Fehlermaße Mean Error (ME), Mean Square Error (MSE) und Roo Mean Square Error (RMSE). Nachfolgend is die Berechnungsweise der verwendeen Güekrierien formalisier dargesell, wobei N für die Anzahl der Bonds im Schäzuniversum seh. ( ˆ ) N ME = P i P i (5) N i= N ( MSE = P i Pˆ i ) (6) N RMSE = i= N N ( P i Pˆ i ) i= (7) Die Fehlermaße drücken im Prinzip die milere Abweichung der asächlichen Preise P i von den geschäzen Preisen Pˆ i aus. Der Effek, dass sich beim ME posiive und negaive Fehlbewerungsdifferenzen kompensieren können, wird beim MSE bzw. RMSE umgangen, indem die Fehlbewerungen quadrier in die Berechnung eingehen. Die Fehlermaße in Preisnoaion können in das korrespondierende Rendieargumen umgerechne werden, indem man die Fehlermaße duraionsbereinig: 3 die resulierenden Fehlermaße drücken dann die durchschniliche Rendieabweichung aller Anleihen von der geschäzen Rendiesrukurkurve aus. 3 Die Unersuchung folg bei der Auswerung der Schäzverfahren dem Vorgehen von Ferguson/Raymar, die eine vergleichbare Unersuchung für den US-amerikanischen Mark durchführen. Vgl. Ferguson/Raymar, The Journal of Fixed Income, Vol. 3, 998 S Da es nich auf das Vorzeichen, sondern auf die Höhe der mileren Fehlbewerung ankomm, wird beim ME der Absoluberag der mileren kumulieren Fehlbewerung berache. Dazu wird das Fehlermaß jeweils durch die durchschniliche Duraion des Schäzuniversums dividier. Der Divisor ensprich dabei nich der Macaulay Duraion, sondern is die milere barwergewichee Reslaufzei basierend auf den jeweils vom Modell geschäzen Spo Raes. Diese Kennzahl bezeichne man als Effecive Duraion.

9 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 8 IV. Seige Schäzverfahren zur Rendiesrukurkurvenbesimmung In den folgenden Abschnien werden die seigen Schäzverfahren zunächs heoreisch beschrieben und anschließend exemplarisch für das Euroland Saasanleihenuniversum des J.P. Morgan EMU Governmen Bond Index an einem Handelsag angewand. 4 Die Schäzergebnisse werden graphisch visualisier und anschließend über saisische Güekrierien komparaiv ausgewere. IV.. Polynom-Modelle Das Weiersrass Theorem besag, dass sich in einem abgeschlossenen Definiionsbereich für jede seige und differenzierbare Funkion ein Polynom berechnen läss, das diese Funkion beliebig genau approximier. 5 Die Spezifikaion der Polynomfunkion kann dabei für die Spo Yields oder für die Diskonfakoren erfolgen. Konkre ermöglichen Schäzfunkionen in Form eines Polynoms des Grades n grundsäzlich die Darsellung der üblicherweise aufreenden Zinssrukurkurven. 6 Die polynomiale Schäzfunkion über Diskonfakoren für den Preis einer Anleihe laue für ein Polynom vom Grade n allgemein: N Pˆ = CF dˆ n mi d ˆ ( β ) = β + β + β... + β, wobei β (5) i = i n = Die Nebenbedingung β = bewirk, dass ein sofor fälliger Bond ( = ) mi dem Nennwer von Euro asächlich zu Euro bewere wird. 7 Da das Schäzuniversum nur Anleihen mi einer Reslaufzei größer als ein Jahr umfass, is diese Nebenbedienung in der vorliegenden Unersuchung gegensandslos. Sofern man als definieres Inervall den gesamen Frisigkeisbereich der Zinssrukur verwende, sind operaive Implemenierung des Polynoms und Besimmung der kompleen Zinssrukurkurve aufgrund der Lineariä der Funkion über ein lineares Regressionsmodell relaiv einfach möglich. Die prakischen Probleme zeigen sich aber in der Feslegung des Polynomgrades vor allem bei abnehmender Zahl an Anleihen im langfrisigen Laufzeibereich. Polynomfunkionen zeichnen sich zwar mi zunehmendem Polynomgrad durch eine särkere Flexibiliä in der Anpassung an die Daenmenge aus, reagieren aber an den Rändern der Sichprobe, d.h. im exrem kurz- und langfrisigen Laufzeibereich mi einer zunehmendem Sensibiliä gegenüber Ausreißern. Besonders am n langen Laufzeiende beseh die Gefahr des Kurvenflaerns, da der leze Term β n in der Schäzgleichung (5) mi zunehmendem n exrem an Bedeuung gewinn. Das Phänomen, dass sich saisische Schäzfunkionen im Exrem an einzelne Daenpunke anschmiegen, is als Konkre wurde das Schäzuniversum des gewähl. Der J.P. Morgan EMU Governmen Bond Index repräsenier die Markkapialisierung der im Umlauf befindlich Saasanleihen von Euroländern und umfass ca. 3 Anleihen im Reslaufzeispekrum von ein bis 5 Jahren Reslaufzei. Zwischen 3 und 5 Jahren Laufzei is allerdings nur eine französische Saasanleihe am Mark verfügbar. Insofern wird das Schäzuniversum auf Anleihen bis Fälligkeien 37 verkürz. Eine deailliere Beschreibung des J.P. Morgan EMU Governmen Bond Index finde man bei Walher/Zimmerer, in: Kleeberg/Schlenger (Hrsg.): Handbuch Spezialfonds: ein prakischer Leifaden für insiuionelle Anleger und Kapialanalgegesellschafen,, S. 54 ff. Vgl. Weiersrass, Sizungsberiche der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschafen zu Berlin, 885. Vgl. Hun/Terry, Working Paper No. 8, Universiy of Technology Sydney, 998, S. 8. Vgl. Ferguson/Raymar, The Journal of Fixed Income, Vol S. 9.

10 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 9 Overfiing bekann. Allgemein gil für Polynomfunkionen wie für die nachfolgend vorgesellen Schäzmodelle auch, dass ein Trade Off zwischen einer guen Anpassung an die Daenmenge (Goodness of Fi) und der Robushei des Modells beseh. Um das unkonrolliere Verhalen der Schäzfunkionen zu begrenzen, is daher auf eine sparsame Paramerisierung, d.h. Limiierung der Anzahl der Schäzparameer zu achen. Eine prakische Abhilfe kann darin besehen, dass man die Schäzfunkion am kurzen wie langen Laufzeiende durch eine vorgegebene Rendie durch Vorgabe von Nebenbedingungen bei der Opimierung zwing. Die Nebenbedingung am kurzen Laufzeiende kann im Vergleich zum langen Laufzeiende über die Vorgabe einer realen Nullkuponrendie relaiv einfach formulier werden, da für kurze Laufzeien ausreichend liquide Nullkuponanleihen gehandel werden. 8 Die Nebenbedingung am langen Ende gesale sich dagegen als erheblich schwieriger, da repräsenaive Nullkuponanleihen für lange Laufzeien am Mark fehlen. Zur Verdeulichung der Sensibiliä der Polynomfunkion hinsichlich des Polynomgrades wurden zwei Schäzfunkionen für die Diskonfakoren gerechne: 3 Polynom Grad 3: dˆ ( β ) = β + β + β + β 3 (6) Polynom Grad 4: ˆ 3 4 ( β ) = β + β + β + β + β (7) d 3 Nachfolgende Abb. zeig in der linken oberen Graphik den Verlauf der über die beiden Polynom-Modelle ermielen Rendiesrukurkurven im Reslaufzeispekrum ein bis 3 Jahre. Man erkenn sofor, dass das Polynom vom Grad 3 deulich besser geeigne is, die Zinssrukur abzubilden. 4 Nullkuponrendien in % p.a. 5.% 5.% 4.8% 4.6% 4.4% 4.% 4.% 3.8% 3.6% 3.4% Rendiesrukurkurven Polynomial-Modelle Polynom Grad 3 Polynom Grad 4 3.% Laufzei in Jahren Nullkuponrendien in % p.a. 5.% 5.% 4.8% 4.6% 4.4% 4.% 4.% 3.8% 3.6% 3.4% Rendiesrukurkurven Vasicek-Fong-Modelle Vasicek-Fong 4 Vasicek-Fong 6 3.% Laufzei in Jahren Rendiesrukurkurven Nelson-Siegel-Polynome Rendiesrukurkurven Bes of Three Nullkuponrendien in % p.a. 5.% 5.% 4.8% 4.6% 4.4% 4.% 4.% 3.8% 3.6% 3.4% 3.% Nelson-Siegel Modified Nelson-Siegel Original Svensson Laufzei in Jahren Nullkuponrendien in % p.a. 5.% 5.% 4.8% 4.6% 4.4% 4.% 4.% 3.8% 3.6% 3.4% 3.% Nelson-Siegel Modified Polynom Grad 3 Vasicek-Fong Laufzei in Jahren Abb. : Zero Yield Curves für unerschiedliche Schäzverfahren 8 Zur besseren Vergleichbarkei der alernaiven Schäzmodelle wurden die Rendiesrukurkurven am kurzen Laufzeiende bei der einjährigen Laufzei durch eine exogen vorgegebene Nullkuponrendie von 3,4% gezwungen. Dies ensprich dem Rendieniveau einjähriger deuscher Nullkuponanleihen (Finanzierungsschäze) zum Analysezeipunk.

11 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie IV.. Vasicek-Fong-Modelle Die Modelle von Vasicek-Fong basieren auf expoeniellen Splines und versuchen den Schwächen des eben beschrieben Polynomansazes engegenzuwirken, indem die Yield o Mauriy des längsen Bonds im Schäzuniversum in die Schäzfunkion mi einbezogen wird und so die Rendiesrukurkurve am langen Laufzeiende sabilisier. Vasicek-Fong- Funkionen kommen als vier- bzw. sechsparamerige Ansäze vor. Die Diskonfunkionen lauen jeweils: R R R Vasicek-Fong 4: dˆ 3 ( β ) = β + β e + β e + β e (8) mi der Nebenbedingung β + β + β + β3 = R R Vasicek-Fong 6: dˆ ( β ) = β + β e + β e 3R + β e 4R + β e 5R + β e (9) 3 + β + β + β 3 + β 4 + β 5 = mi der Nebenbedingung β Dabei sell R die Yield o Mauriy der längsen Anleihe im Schäzuniversum dar und kann ökonomisch als Grenzwer der aus der Zero Yield Curve exrahieren Implied Forward Yield Curve inerpreier werden. 9 Die mi dem Vasicek-Fong Modell generiere Implied Forward Yield Curve zeichne sich besonders durch einen asympoischen Verlauf mi einer Annäherung an Null für sehr große Were von aus, wodurch das ypische Kurvenflaern der Polynom-Modelle bei langen Reslaufzeien verhinder wird, da die Spo und Implied Forward Yields für seigende Laufzeien auf einen Grenzwer konvergieren. Die Nebenbedingungen, dass sich die Schäzparameer jeweils zu Eins aufaddieren, sind nowendig, dami der Preis eines sofor fälligen Bonds seinem Nominalwer ensprich. Diese Nebenbedingung wird wiederum analog zu den Polynom-Modellen durch die Vorgabe einer Zero Yield für die einjährige Laufzei abgelös. Durch Modellierung des asympoischen Grenzweres am langen Laufzeiende und die Vorgabe der Zero Yield am einjährigen Sarpunk der Zero Yield Curve is das Schäzergebnis relaiv sabil. Abb. zeig in der rechen oberen Graphik das Schäzergebnis für die beiden Vasicek-Fong-Modelle. Es fäll auf, dass beide Rendiesrukurkurven annähernd deckungsgleich verlaufen, so dass für die prakische Anwendung auf das sparsamere vierparamerige Modell zurückgegriffen werden kann Konkre wurde in der vorliegenden Unersuchung für R = 4,66% gewähl.

12 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie IV.3. Nelson-Siegel-Polynome Das Modell von Nelson und Siegel is eine nichlineare Weierenwicklung von linearen Schäzmodellen und basier auf einer Laguerre-Funkion. Aus dem Nelson-Siegel- Originalmodell wurden im Zeiablauf verschiedene Abwandlungen abgeleie, die man uner die Familie von Nelson-Siegel-Funkionen subsumieren kann. Das Originalmodell zeichne sich durch eine außerordenliche Flexibiliä aus, wodurch eine Vielzahl von Kurvenverläufen, ob monoon seigend oder fallend, gekrümm, S-förmig bzw. U-förmig mi und ohne Buckeln, d.h. Auswölbungen abgebilde werden kann. Die Schäzgleichung für die Spo Raes ŝ anhand des Nelson-Siegel Originalmodells läss sich wie folg formalisieren: τ τ e e τ Nelson-Siegel-Original s ˆ ( β ) = β + β + β e () τ τ mi den Nebenbedingungen β >, β + β > und τ > Neben der flexiblen Srukur des Kurvenverlaufs is vor allem die ökonomische Inerpreierbarkei der Schäzparameer von Voreil: Der Parameer β ensprich dem langfrisigen Zinssaz, da gil: lim s = β. Die Parameerkombinaion β + β ensprich dem Sarpunk der Zero Yield Curve, da gil: lim = β + β. Der Parameer β reflekier somi den Unerschied s zwischen lang- und kurzfrisigem Rendieniveau. Die Parameer β und τ gesaen eine flexible Modellierung eines Buckels (Hump), wobei der Berag von β die absolue Höhe und das Vorzeichen von β die Richung (U- oder umgekehr U-förmig) des Buckels angeben. Die Posiion des Buckels wird durch den Parameer τ besimm. Ein Kurvenflaern am langen Ende wird durch das Konvergieren der Zinssäze im langen Bereich auf einen langfrisigen Zinssaz β verhinder. Die posiive Bedingung der Parameer β, β + β und τ is nowendig, um negaive Spo Yields bzw. Implied Forward Yields zu verhindern. Um mehr Flexibiliä in der Schäzfunkion zu erhalen und einen zusäzlichen Buckel modellieren zu können, wurde von Svensson ein erweieres Nelson- Siegel-Modell enwickel. Dazu wurde das Nelson-Siegel-Originalmodell um einen zusäzlichen drien Term mi zwei zusäzlichen Schäzparameern erweier. Die dadurch erreiche höhere Flexibiliä is erforderlich, wenn die Rendiesrukurkurve im Bereich von kurzen Laufzeien komplexe Verläufe aufweis. Das Svensson-Modell sell sich formal wie folg dar: Svensson: τ τ τ e e τ e τ s ˆ ( β ) = β + β + β e + β3 e () τ τ τ Vgl. Nelson/Siegel, Journal of Business, Vol. 6, 987 S Der Parameervekor β umfass die zu ermielnden Parameer β, β, β und τ. Vgl. Bank for Inernaional Selemens, BIS Papers No. 5, 5, S. 6. Vgl. Svensson, Naional Bureau of Economic Research, Working Paper 487, 994.

13 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie mi den Nebenbedingungen β, β + β, τ und τ > > Das Svensson-Modell verfüg über die gleichen Grenzwereigenschafen der Parameer β bis β wie die Nelson-Siegel-Originalfunkion. Die beiden zusäzlichen Parameer β 3 und τ sorgen für die Modellierung eines zweien Buckels, wobei die Charakerisika von β 3 und τ denen von β und τ wie im Nelson-Siegel-Originalmodell ensprechen. Durch die zusäzlichen Schäzparameer soll das Svensson-Modell insbesondere in Zeien hoher Zinsvolailiäen komplexere Verläufe im kurzfrisigen, speziell im unerjährigen Reslaufzeienbereich ermöglichen. 3 Der unerjährige Laufzeibereich is besonders für Noenbanken ineressan, um Implikaionen für die Geldpoliik zu erhalen. Da das Universum von gängigen Saasanleihenindices i.d.r. keine Anleihen mi einer Laufzei von weniger als einem Jahr Reslaufzei enhäl, is diese Flexibiliä in der Schäzfunkion im Porfoliomanagemen nich zwingend nowendig. Die Enscheidung, ob man mi einem One- Hump -Nelson-Siegel-Originalmodell oder einem Two-Hump -Svensson-Modell operier, is daher auch anwendungsgerieben. Deshalb wird nachfolgend eine Variane vorgesell, die sich als Kompromiss zwischen Nelson-Siegel-Original- und Svensson-Modell in der Praxis im Porfoliomanagemen für Analysezwecke, die nachfolgend noch demonsrier werden, als äußers geeigne erwiesen ha. Das Modell wird foran als modifizieres Nelson-Siegel-Modell oder Nelson-Siegel-Modified bezeichne und läss sich formal schreiben als: > > Nelson-Siegel-Modified: β 4 β 4 β e 4 sˆ ( β ) = β + βe + β β4 e + β3 () β 4 mi den Nebenbedingungen β > und β + β > Tendenziell weis diese Schäzfunkion mi ihren fünf Parameern einen ewas besseren Fi als die Nelson-Siegel Originalfunkion auf und verfüg zusäzlich über eine höhere Robushei als das Svensson-Modell. Abb. sell in der linken uneren Graphik die drei Nelson-Siegel- Varianen komparaiv gegenüber. Dabei fäll auf, dass Nelson-Siegel-Original und Nelson- Siegel-Modified annähernd deckungsgleich und die nach dem Svensson-Verfahren geschäze Kurve ewas seiler verläuf. Die opische Auswerung der sieben Schäzmodelle gesale sich bis auf die beiden Polynom- Modelle schwierig. Deshalb werden in der nachfolgenden Tab. die saisischen Fehlermaße dargesell: Fehlermaße Polynom Grad 3 Polynom Grad 4 Vasicek- Fong 4 Vasicek- Fong 6 Nelson- Siegel Original Svensson Nelson- Siegel- Modified Priesbasier ME,47,758,,5,59,596,7 Priesbasier MSE,373 4,6,69,67,5,566,36 Priesbasier RMSE,85,45,34,33,7,755,8 Rendiebasier ME,78,35,4,9,85,44, Rendiebasier MSE,8,45,7,7,75,94,7 Rendiebasier RMSE,67,358,647,647,659,76,645 Tab. : Saisische Fehlermaße für unerschiedliche Schäzverfahren 3 Vgl. Schich, Diskussionspapier 8/96, Volkswirschafliche Forschungsgruppe der Deuschen Bundesbank, 996, S. 5.

14 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 3 Die Tabelle reflekier die Schäzgüemaße preis- und rendiebasier: die oberen drei Zeilen berechnen die Fehlermaße durch Differenzbildung der asächlichen Markpreise von den geschäzen Preisen, während die uneren drei Zeilen duraionsrelaivier die Fehlermaße in Rendienoaion ausdrücken. Die Schwäche des ME beseh darin, dass sich posiive und negaive Schäzfehler durch Summaion kompensieren können. Die Quadrierung im MSE bzw. RMSE verhinder diesen Effek. Inhallich inerpreierbar is der RMSE: er repräsenier die Sreuung der Preis- bzw. Rendieabweichung sämlicher Anleihen im Schäzuniversum von der Fair-Value-Preislinie bzw. von der geschäzen Rendiesrukurkurve. MSE und RMSE fallen für das Nelson-Siegel-Modified-Modell am besen aus. Im Schni sreuen die Anleihen einen Preispunk vom fairen Preisniveau bzw. rund 7 bp von der geschäzen Rendiesrukurkurve. 4 Dies erschein auf den ersen Blick hoch. Im Rahmen der nachfolgenden Fair-Value-Analysen geh es darum, die Fehlbewerungsdifferenzen, die im Durchschni offensichlich signifikan sind, genauer zu unersuchen. Abb. zeig in der rechen uneren Graphik die jeweils besen ( Bes of Three ) aus den drei analysieren Verfahren der Polynom-, Vasicek-Fong- und Nelson-Siegel-Modelle. 5 Die folgenden Fair-Value-Analysen auf Basis des Nelson-Siegel-Modified-Modells beschäfigen sich mi der Frage, ob Fehlbewerungen saisisch erklärbar sind und ob diese Fehlbewerungen sich im Zeiablauf abbauen. V. Fair-Value-Analyse V.. Querschnianalyse Die Güemaße aus Tab. deuen bereis darauf hin, dass der asächliche Markpreis einer Anleihe im Durchschni mehr oder weniger sark von seinem auf Basis der geschäzen Rendiesrukurkurve ermielen fairen Preis abweichen kann. Nachfolgende Abbildung zeig die Differenzen zwischen asächlichen und geschäzen Markpreisen in Abhängigkei von der Reslaufzei für sämliche Anleihen im Schäzuniversum, wobei zusäzlich das Ländermerkmal durch Verwendung unerschiedlicher Symbole pro Land zusäzliche Informaionen liefer. Man erkenn, dass zum einen die Fehlbewerungen heeroskedasisch mi zunehmender Laufzei anseigen und dass es endenziell eure und billige Länder gib. Teure Länder sind Naionen mi Benchmarksaus wie Deuschland und Frankreich, billige Länder im Universum sind die Naionen Porugal, Ialien und Griechenland. 4 5 Die preisbasieren Fehlermaße werden aus der Differenz zwischen asächlichen und geschäzen Preisen abgeleie. Ein Preispunk ensprich demnach bei einer auf einen Nominalwer von Euro normieren Anleihe einer mileren Schwankungsbandbreie von Euro oder Basispunken (bp) ausgedrück in Preiseinheien. Bei einer volumensgewicheen Effecive Duraion des Universums von 6,8 Jahren resulier eine rendiebasiere milere Sreuung von bp / 6,8 = 6,45 bp oder gemessen in Preispunken,645. Zum Zusammenhang zwischen preis- und rendiebasieren Fehlermaßen siehe Fn. 3. Obwohl das Nelson-Siegel-Modified-Modell bei der Sichagsschäzung die besen Güemaße erziele, is ein allgemeiner Rückschluss auf die Validiä eines Modells bei lediglich einer vergleichenden Sichagsberachung für einen Bondmark wenig zielführend. Die Sudie wurde daher für sämliche Rendiesrukurkurvenmodelle für den US-amerikanischen, japanischen und briischen Saasanleihenmark über eine Hisorie von Handelsagen ausgeweie. Hierbei zeigen sich insbesondere die Nelson-Siegel Verfahren als äußers robus und wiesen im Quer- und Längsschni die besen Güekrierien auf.

15 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 4 3 Fair Value Spread in Preispunken ATS BEF DEM ESP FIM FRF GRD IEP ITL NLG PTE Reslaufzei in Jahren Abb. : Fehlbewerungsdifferenzen von Euroland Saasanleihen Die mi zunehmender Laufzei signifikan seigenden Preisabweichungen pro Land sind Reflex des länderspezifischen Rendiespreads gegenüber der Euroland Rendiesrukurkurve: da Rendiespreads über die Modified Duraion in Price Spreads umgerechne werden können, nehmen mi zunehmender Reslaufzei und dami auch zunehmender Modified Duraion die Preisabweichungen zu, was sich in der richerförmigen, sich öffnenden Punkewolke in Abb. zeig. Abb. beleg aber auch, dass die Preisabweichungen pro Land laufzeispezifisch nich sreng monoon zu- bzw. abnehmen, sondern die Monoonie in kurzen Laufzeisegmenen unerbrochen oder gar umgekehr verläuf. Die Frage die zu klären is, is die, ob derarige Abweichungen von der grundsäzlichen Länder-Laufzeisysemaik kurzfrisig aufreen und ob man diese als Picking Poenzial in Relaive Value Trades abschöpfen könne. Eine weiere Ursache für Fair Value Spreads könne seuerlich moivier sein. Low Coupon Bonds, d.h. Uner-Pari-Anleihen mi einem niedrigen, uner dem Markzins liegendem Kupon gelen als euer, da diese Anleihen für seuerpflichige Invesoren arakiv sind: der seuerbare Kuponaneil is gering, während der bis Endfälligkei einreende Kursgewinn (Pull-o-Par- Effek) seuerfrei is, sofern die Anleihe länger als Monae gehalen wird. Eine graphische Analyse des Kupon-Effeks in Anlehnung an Abb. konne den seuerlichen Kuponeffek in seiner Tendenz über sämliche Länder und Laufzeien nich besäigen. 6 Eches Picking Poenzial schein bei länderübergreifenden Trades gegeben. Ineressan is daher die Frage, wie lange derarige Spread-Opporuniäen im Mark besehen bleiben. Anworen darauf gib die nachfolgende Längsschnianalyse. 6 Ein saisischer Ansaz zur Erklärung der Fehlbewerungsdifferenzen auf Basis einer Querschnisregression gegen das Länder-Laufzeimerkmal und die Kuponhöhe finde sich bei Walher/Zimmerer, a.a.o., (Fn. 4).

16 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 5 V.. Längsschnianalyse Inwiewei die Fehlbewerungsbeiräge lediglich emporär aufreen und mean revering sind, soll im Weieren geprüf werden. Dazu erfolge eine Längsschnianalyse über einhunder Handelsage für deusche und ialienische Saasanleihen im Reslaufzeienspekrum bis zehn Jahre. 7 Die Fehlbewerungsanalyse über die Zei erfolg miels Z-Score und Box Plo, wobei der Z-Score als numerischer und der Box Plo als graphischer Fehlbewerungsindikaor zu versehen is. Beide Messverfahren basieren auf einer hunderägigen Schäzhisorie und sezen die Fehlbewerung einer Anleihe am akuellen Rand in Relaion zu den Fehlbewerungen ihrer Hisorie. 8 Der Z-Score Z basier auf der Normalvereilungsannahme der Fehlbewerungsdifferenzen (Fair Value Spread) und miss als saisische Kennzahl die Disanz in Sandardabweichungsvielfachen zwischen akuellem Daenpunk (akueller Fair Value Spread) und dem Erwarungswer (arihmeisches Miel sämlicher Fair Value Spreads). Formalisier kann dies wie folg dargesell werden: Z = ( ˆ ) P i P i σ s µ s Dabei drück µ s den Mielwer und σ s die Sandardabweichung der hisorischen Fair Value Spreads aus. Leg man symmerische Inervalle um den Mielwer einer normalvereilen Zufallsvariablen und drück man die Inervallbreie in Vielfachen der Sandardabweichung, d.h. in Z-Scores aus, dann liefer der in die Sandardnormalvereilungsfunkion eingeseze Z- Wer die Wahrscheinlichkei dafür, dass die Zufallsvariable innerhalb der vorgegebenen Sandardabweichungsbandbreie sreu. In der Praxis sprich man dann von den sog. Sigma- Evens, die die Ein-, Zwei- bzw. Drei-Sandardabweichungsvielfachen der Mielwerabweichung repräsenieren. Die dazu korrespondierenden Were aus der Sandardnormalvereilung sind 68,7%, 95,45% bzw. 99,73%. Je größer der Z-Wer, umso größer dami die Wahrscheinlichkei, dass die Spreads innerhalb dem Z-vielfachen der Sandardabweichung um den Mielwer sreuen. Umgekehr heiß es, dass die Wahrscheinlichkei dafür, dass der akuelle Spread außerhalb dieses Bereiches lieg, mi zunehmendem Z kleiner wird. (3) 7 8 Die Begrenzung auf dieses Sub-Universum erfolg zum Zwecke der abgekürzen Darsellung der Längsschnianalyse für ein ypisch eures und billiges Land. Die Analyse wurde in der Sudie für sämliche Anleihen im Universum durchgeführ. Die Verkürzung des Reslaufzeispekrums auf ein bis zehn Jahre ha dagegen einen ökonomischen Hinergrund. Die Anleihen jenseis von zehn Jahren erweisen sich für Relaive-Value-Trades als weniger geeigne, da das Picking Poenzial, das für diese Anleihen sicherlich gegeben is, relaiv zum eingegangenen zusäzlichen Zinsänderungsrisiko dieser Anleihen in keinem vernünfigen Verhälnis seh, wenn es an einem duraionsneuralen Gegenkandidaen fehl. M.a.W. is die zinsrisikoadjusiere Exrarendie auf Basis einer langen Eurolandanleihe nich ausreichend, um am langen Ende der Rendiesrukurkurve Bondpicking zu bereiben. Generell solle darauf geache werden, dass ein Relaive Value Trade möglichs duraionsneural eablier wird. Die Schäzhisorie umfasse einhunder Handelsage im Zeiraum.. bis Der akuelle Rand der Längsschnianalyse is die Schäzung zum 7.7.6, die bereis als Grundlage für den Vergleich der Schäzverfahren aus Abschni IV. diene.

17 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 6 Für die konkree Anwendung bedeue das wiederum, dass Anleihen mi einem hohen absoluen Z-Wer akuell relaiv zur Hisorie billig oder euer sind, wobei das Vorzeichen des Z-Scores für eine Überbewerung (posiiv) bzw. Unerbewerung (negaiv) seh. Ein Z-Score mi Berag größer zwei deue demnach mi ca. 95% Konfidenz auf einen Ausreißer hin und kann somi als Trading-Kandida gelen. Dabei seh es dem Anwender frei, ab welcher absoluen Höhe des Z-Weres sich Bonds als Trading-Kandidaen qualifizieren. Alernaiv zur Konfidenzwahrscheinlichkei dafür, dass die Spreads innerhalb einer vorgegebenen Sandardabweichungsbandbreie sreuen, kann als Gegenwahrscheinlichkei dazu auch eine Oulier -Wahrscheinlichkei berechne werden. Der dami synonyme p-value gib an, mi welcher (Irrums-)wahrscheinlichkei der akuelle Spread außerhalb der Z-Bandbreie um den Mielwer liegen kann. Z-Scores von korrespondieren somi mi einem p-value von 5%. Die nachfolgende Tabelle veranschaulich die Ergebnisse für die analysieren deuschen und ialienischen Bonds. Lokale ID Land Fälligkei Kupon Z-Score p-value Lokale ID Land Fälligkei Kupon Z-Score p-value W44 DE ,5 -,47 4% IT37 IT , -,87 6% W37 DE 3.9.3,5 -,5 3% IT7 IT , -,4 % W37 DE 3..3,75 -,68 5% IT34389 IT ,5 -, 99% W355 DE ,5 -,44 5% IT38485 IT 3..4,75 -,43 5% W44 DE ,5 -,3 3% IT43 IT , -,86 39% W44 DE.4.4 3, -,9 37% IT38777 IT 4.6.4,5 -,8 94% W357 DE ,3 -, 99% IT3539 IT ,5,64 % W359 DE ,75,73 46% IT48 IT ,,49 6% W43 DE ,5 -,58 56% IT3657 IT ,,53 6% W35 DE ,75,9 6% IT7336 IT ,5 -, 9% W444 DE ,5,49 6% IT3386 IT ,5,5 6% W35 DE ,, 3% IT IT ,,37 7% W35 DE ,5,6 % IT3879 IT 4.6.6,75 -,84 4% W445 DE ,5,46 4% IT4486 IT ,5 -,4 68% W353 DE ,38,7 9% IT384 IT ,5,84 7% W446 DE ,5 -,7 47% IT399 IT ,,6 9% W355 DE ,5 -,73 47% IT IT ,75 -,5 3% W447 DE 7..6,5,79 43% IT34733 IT ,5 -,75 8% W356 DE ,5 -,86 39% IT36838 IT ,5 -,94 35% W358 DE ,, 3% IT3799 IT 3.. 4,5,96 34% W359 DE , -,58 56% IT IT ,75,58 56% W35 DE , -, 83% W35 DE ,5 -,87 38% W353 DE ,75 -,98 33% W354 DE 3.. 4,5 -,4 69% W355 DE ,5 -,5 6% W356 DE 3.. 3,75 -, 3% W358 DE ,5,78 44% W359 DE 3.. 3,5,3 75% Tab. 3: Z-Scores und p-values für deusche und ialienische Saasanleihen Auffallend is, dass lediglich eine ialienische Anleihe mi mehr als 95% Konfidenz eine signifikane Fehlbewerung aufweis. Zudem sind deusche Anleihen nich durchwegs euer bzw. ialienische durchwegs billig. Zu beachen is, dass hier keine länderspezifischen Fehlbewerungskennziffern ausgewiesen werden, sondern bondspezifisch die akuelle Fehlbewerung in Relaion zu deren Normalvereilung gesez wird, wobei die Normalvereilung selbs durch die Sichprobenschäzer Mielwer und Sandardabweichung beschrieben wird. Offensichlich schein die Durchführung eines Relaive Value Trades mangels ausreichend signifikaner Fehlbewerungen äußers schwierig. Zudem muss nich gewährleise sein, dass die Fehlbewerungen asächlich normalvereil sind. Ein genaueres Bild über den hisorischen Fehlbewerungsverlauf auf Einzelielebene ohne Normalvereilungsannahme liefer der grafische Fehlbewerungsindikaor Box Plo. Der Box Plo is eine hisogrammähnliche Mehode zur gleichzeiigen Darsellung der akuellen Fehlbewerung relaiv zu folgenden Lagemaßen:

18 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 7. Upper Oulier [75 %-Quaril Q3 zuzüglich der,5-fachen Differenz der Inerquaril- Range (Q3-Q)]. Maximaler Fair Value Spread %-Quaril Q3 (5 % der Spreads sind größer) 4. Median Q (Die Hälfe der Fair Value Spreads lieg ober- bzw. unerhalb) 5. 5 %-Quaril Q (5 % der Spreads sind kleiner) 6. Minimaler Fair Value Spread 7. Lower Oulier [5 %-Quaril Q abzüglich der,5-fachen Differenz der Inerquaril- Range (Q3-Q)] Folgende Abbildung visualisier die ach saisischen Lagemaße für einen fikiven Bond: 7 Akueller Spread Upper Oulier 55 4 Maximum 4 75%-Quaril 5 3 Median 8 5%-Quaril 5 Minimum Lower Oulier -5,5 - Inerquaril-Range Fair Value Spread in bp - -3 Akueller Spread Upper Oulier Maximum Median Minimum Low er Oulier Abb. 3: Exemplarische Darsellung eines Box Plos für einen fikiven Bond Aus dem Box Plo des fikiven Bonds lassen sich diverse Charakerisika erkennen. Es handel sich hierbei um einen ypischen Halekandidaen, da sein akueller Spread mien in der Inerquaril-Range lieg und hisorisch gesehen weder euer noch billig is. Aus der nich zenrieren Lage des Medians innerhalb der Inerquaril-Range läss sich eine schiefe Vereilung der Fair-Value-Spreads ableien, da die Mehrhei der 5%-Fälle größer als der Median sind. Überdies signalisier die hohe Inerquaril-Range von Basispunken (bp) relaiv wei beweree Spreads. Die nachfolgenden Abbildungen zeigen die Box Plos für die deuschen und ialienischen Anleihen sorier nach aufseigender Reslaufzei. Der Analysevorgang und die Wahl des Berachungszeiraums erfolge analog zu den Z-Scores, daher sollen die signifikan fehlbewereen Bonds auch bei den Box Plos auffallen.

19 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 8 5 Fair Value Spreads in bp Akueller Spread Upper Oulier Maximum Median Minimum Lower Oulier W44 W37 W37 W355 W44 W44 W357 W359 W43 W35 W444 W35 W35 W445 W353 W446 W355 W447 W356 W358 W359 W35 W35 W353 W354 W355 W356 W358 W359 Deusche Saasanleihen IT37 IT7 IT34389 IT38485 IT43 IT38777 IT3539 IT48 IT3657 IT7336 IT3386 IT IT3879 IT4486 IT384 IT399 IT IT34733 IT36838 IT3799 IT Fair Value Spreads in bp Akueller Spread Upper Oulier Maximum Median Minimum Lower Oulier Ialienische Saasanleihen Abb. 4 Box Plos für deusche und ialienische Saasanleihen Aus den beiden Abbildungen sind keine laufzeispezifischen Preisvolailiäen dahin erkennbar, dass im analysieren Zeifenser lange Laufzeien größere Preisschwankungsbandbreien aufgewiesen häen als kurze Laufzeien. Die Lage der Boxes um den Median weis auf eilweise schiefe Spread-Vereilungen hin. Die Inerquaril-Range is auffallend gering und beweg sich in der Bandbreie weniger Basispunke. Die Beureilung der Schiefe der Preisvereilung bei derar engen Box Plos is allerdings wenig sinnvoll, da eine minimale Verschiebung des Medians um ein oder zwei Basispunke bereis darüber enscheide, ob die Vereilung symmerisch oder schief is. Zusäzlich zur engen Inerquaril- Range fäll auf, dass auch die Spannweie zwischen minimalem und maximalem Fair Value Spread unwesenlich größer als bp is.

20 Zimmerer / Herlein: Gib es euere und billige Bonds? Seie 9 Relaive-Value-Trades verfolgen das Ziel (emporäre) Markineffizienzen auszunuzen und durch Rich-Cheap-Trading basierend auf der ielspezifischen Fehlbewerung einen Yield- Pick-Up zu generieren. Auf Grund der minimalen Fehlbewerungen im Basispunkebereich müssen die Transakionskosen berücksichig werden, um durch den Relaive Value Trade einen echen posiiven Neo-Mehrerrag für das Bondporfolio zu erwirschafen. Im Renenbereich manifesieren sich die Kosen für den Kauf bzw. Verkauf einer Anleihe im Wesenlichen in volumensabhängigen Depobankgebühren und in der halben Geld-Brief- Spanne. 9 Tab. 4: Durchschniliche Transakionskosen europäischer Saasanleihen Transakionsabhängige,4 bp Depobankgebühren Geld-Brief-Spanne bp Durchschniliche Transakionskosen europäischer Saasanleihen Die Transakionskosenanalyse ermiel somi Kosen in Höhe von 3,4 bp pro zweiseiigem Trade, d.h. Verkauf einer Anleihe und gleichzeiigem Kauf einer anderen oder umgekehr. Der bereis fesgeselle enge Fehlbewerungskorridor mi einer durchschnilichen Inerquaril-Range von -4 bp, ermöglich somi keinen sinnvollen Fair-Value-Trade, da die minimalen Fehlbewerungen durch die Tranksakionskosen fas vollsändig kompensier werden. Innerhalb des beracheen Zeiraums erweisen sich Relaiv Value Trading-Sraegien im liquiden Euroland-Saasanleihenmark für Bonds mi einer max. Reslaufzei von Jahren nach Kosen als unrenabel. Von Bond Picking Poenzial kann nach Kosen somi keine Rede sein. 9 Vgl. Johanning/Kleeberg/Schlenger, in: Dichl,/Kleeberg/Schlenger (Hrsg.): Handbuch Asse Allocaion Innovaive Konzepe zur sysemaischen Porfolioplanung, 3, S. 463.