Exponentialfunktion und Logarithmus. 1 Lineares und exponentielles Wachstum
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- Robert Lang
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1 Seie 6 66 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus III Eponenialfunkion und Logarihmus Lineares und eponenielles Wachsum S. 6 Die Bevölkerung wächs alle Jahre mi dem Fakor,. Jahr Anzahl in Mrd. 6, 6,89 7,79 8,80 9,95,,70 Triff die Gesezmäßigkei zu, dann werden fas doppel so viele Menschen auf der Erde leben wie im Jahr 00. Der Pegelsand seig jede Sunde um die gleiche Höhe 8 cm. Zei in Sd. 0 0 Pegelsand in cm Seig der Wasserspiegel konsan weier, so is nach ca. Sunden mi der Überfluung von großen Teilen der Alsad zu rechnen. S. 66 a) a = = =,5 b) a = = = 0,75 a) eponenielles Wachsum; a =,5; f(0) =,; Änderung: 5 % b) eponenielles Wachsum; a = 0,8; f(0) = f () a = ; Änderung: % c) lineares Wachsum; d = 0,8; f(0) =, + 0,8 = d) f () f() =,0 kein lineares Wachsum f () f() =,5 f ( ) f( ) ( ) 0,90 f 0,80 kein eponenielles Wachsum f( ) e) lineares Wachsum; d = 0,6; f(0) = 5, 0,6 = f) f ( ) f( ) f() f(0) 5 0 f () 5,5 9,06 8,8 ( ) f g h i j =,; f =, =, f( ) ; a =,; f(0) = 5, :, =,5; Änderung: % w Mi Kohlensäure angereicheres Regenwasser lös auf dem Weg durch den Dolomi Kalk, der sich beim Tropfen von der Höhlendecke als sog. Siner ablager. Das Wachsum häng sark von der Regenmenge und von den Veränderungen des Wasserweges durch das Gesein ab. Es is also nich mi einer konsanen absoluen Zunahme pro Zeieinhei zu rechnen. Über lange Zeispannen können sich die Einflüsse für das Wachsum mieln. Für die Teufelshöhle in Poensein wird ein durchschniliches Wachsum von mm pro Jahre angegeben. Angenäher lineares Wachsum is nur über lange Zeiräume anzunehmen. f () f () 5 a) in Jahren 0 Taschengeld in $ f () = 5+5 ; lineares Wachsum Aussage zureffend für [ 5; + [ b) in Jahren 0 5 Sundenlohn in $,,0,6,8,0 f () =,0 ; eponenielles Wachsum Aussage zureffend für [0; + [ c) in min 0 0 Länge in mm f () = ; lineare Abnahme Aussage zureffend für [0; 60],8, 0 f (),7,,,8,5
2 Seie Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus d) e) 5 in Jahren 0 5 Wer in $ ,5,5 f() = 00 0,5 ; eponenielle Abnahme Aussage sinnvoll für [0; 6] Gesezmäßigkei gil heoreisch unbegrenz. in Jahren Masse m m 9m 7m 8m m 79m f m () = m ; eponenielles Wachsum Aussage zureffend für [0; + [ Graph zu a) Graph zu b) Graph zu c) $ $ mm 0 f() f() Graph zu d) Graph zu e) $ m f() Min. 0 f() f m () 0 5 f) Individuelle Lösungen 5 6 a) lineares Wachsum; d = f() f() = 5,5 b) eponenielles Wachsum; a = f =, f ( ) f() 9, ,5 66 7,5 77 f() 55 60,5 66,55 7, 80, f() 8,5 88 9,5 99,5 f() 88,58 97, 7,8 7,90 9, m f() S Die Temperaur T seig mi konsaner Geschwindigkei; T seig mi wachsender Geschwindigkei; T fäll mi abnehmender Geschwindigkei; T seig mi abnehmender Geschwindigkei; T fäll mi konsaner Geschwindigkei m f() ( ) 5
3 Seie 67 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 8 a) eponenielles Wachsum: f(n) = 00,05 n lineares Wachsum: g(n) = n n 0 0 Die Behaupung is falsch. Auf lange f(n) Sich, d.h. für großes n überhol das g(n) eponenielle Wachsum das lineare. b) f(n) = 00,0 n Probieren in er-schrien ergib: f(70) = 86 Die Behaupung is falsch. Nach 70 Monaen ha sich der Absaz verdoppel. c) f(n) = 00 0,95 n ; f() = 860 Die Behaupung is falsch. Nach Monaen werden noch 860 Sück verkauf. v y a) 0,887; ,88; 7 0 0,88; 6 6 0,879; ,877; 7 0,87; 0,87; 56 0, In grober Näherung können die Quoienen aufeinanderfolgender Were als konsan angesehen werden, obwohl sie insgesam mi der Höhe ewas abnehmen. b) Mielwer der Quoienen: 0,878; pro km nimm der Lufdruck im Miel um,% ab. c) Abnahme des Lufdrucks pro km: 0,878 0,9 =,9 % d) Mihilfe des funkionalen Zusammenhangs zwischen Lufdruck und Meereshöhe läss sich für ein Baromeer aus der Druckskala eine Höhenskala errechnen. Diese Höhenskala is drehbar gegenüber der fesen Druckskala angebrach. Bei einer Wanderung sell man die Höhenskala so ein, dass der Zeiger die Höhe des Sarpunks angib. Der Druckunerschied zwischen Sarpunk und akuellem Sandor is dann als Höhe des Sandors ablesbar. a) d(0) = (mm); d() = +0,; d() = +0, ; d(n) = +0, n b) l () = d(0) π = π l () = l ()+d() π = π +0, π l () = l ()+d() π = π +0, π (+). (n ) n l (n) = π n+0, π(++ +n ) = π n+0, π = 9,8πn+0,πn c) d(n) = = +0, n n = 5 l (5) = 9,8 π 5+0, π 5 6mm,6km a) Spiel = Möglichkeien; Spiele = = 9 Möglichkeien; Spiele = = 7 Möglichkeien; usw. Mi jedem Spiel wächs die Anzahl der Möglichkeien mi dem Fakor. b) Anzahl der Möglichkeien: = 777 P ( Gewinn im. Rang ) = 5,6 6 0,006% c) P ( Gewinn im. Rang ) = = 9 = P 9 P Prozenuale Verringerung der Gewinnchancen: P = P 88,9% 9 a) Kapial im Jahr 0 = a J(0) = a J() = a,0; J() = a,0,0; J() = a,0,0,0; J(9) = a,0,0,0,0,05,06,07,08,09,57 a Das Kapial ha sich in den neun Jahren um ca. 5,7 % vermehr. b) 5% is das arihmehische Miel der einzelnen Prozensäze. J(9) = a,05 9,55a Das Kapial wäre bei diesem Zinssaz in neun Jahren um 55,% angewachsen. p a) n = bedeue halbjährliche Verzinsung zu n = % pro Zinsabschni. Die Zahl der Zinsabschnie verdoppel sich auf 5 =. K(5) = 00 (+0,0) $ 8,99 $ b) = ; p = 0,0 n = : K() = 00,0 $ 80, $; n = : K() = 00,0 0 $ 88,86 $ +0,0 n = : K() = 00 $ 90,8 $ Bei weierer Verkürzung der Zinsabschnie (z.b. wöchenliche oder ägliche Verzinsung) würde das Kapial in Jahren noch einen leich höheren Errag bringen. 6
4 Seie 68 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus S. 68 a) K() = K (+p) ; K() = K (+0,05) K (+p) = K (+0,05) K (+p),65 K () +p,087 K () +p 8,7% b) in Jahren: K (+p) = K (+p) = +p = p 7,8% analog in Jahren: (+p) = p,5% 5 a) = = 8 80 p = 5%: k(80) = $,05 80 = $,7 9 $ p = %: k(80) = $, 80,8 7 $ b) 60km = 6 7 m Grundsückspreis bei p = 5%;,7 9 $ 5 m $ 6 7 m p = %:,8 7 $, 9 m $ 6 7 m 6 a) D() = D (0) 0,8 in min D() in C 0 5,6,5 6,,,5 8, 6,7 5, T() in C , 0,5 6,, 0,5 8, 6,7 5, b) C 0 0 T () c) T() = U+D(); D() = D (0) 0,8 T() = U +D(0) 0,8 T() = + 0,8 T(5) = + 0,8 5,8 Der Kaffee ha nach 5 Minuen eine Temperaur von ca.,8 C. d) T ( U T( ) 0) = ,857; T ( ) = 5 0,867; T ( ) = 5, 0,869; 0 T( ) 60 T( ) 5 Der Abnahmefakor wächs langsam, also lieg kein eponenielles Wachsum vor. e) T(0) = 5; U = 0; D(0) = 5; D() = 5 0,9 T() = 0 5 0,9 T() = 0 5 0,9, Nach Minuen ha die Limonade eine Temperaur von, C. f) C 0 D () a) Kein lineares Wachsum, da die absoluen Zuwächse seigen., 5 Kein eponenielles Wachsum:,,6; 6, 5,8; 6, 7,55;, 0, b) Die särkse absolue Zunahme (05 auf 06) bezieh sich auf einen höheren Grundwer., 7 0,, 9 7
5 Seie 68 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 8 a) Zeichnung individuell Sei d der Absand zwischen h und k bzw. h und g A ABC = A B d = A B d A ABE = A B d = A ABC A BDE = E D d = A B d A EDC = A BDE = A ABC b) E D = A B unabhängig von der Länge von AB und d (Srahlensaz). c) Die Flächeninhale der Dreiecke ändern sich nich, wenn C auf g wander, weil nach dem Srahlensaz mi A B auch D E konsan bleib und die Dreieckshöhen ebenfalls. 9 a) b) a 5 + a 5 6 b 6 +b c) d) e) 5 f) 5 ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. Eponenialfunkionen S. 69 a) Ansaz: f () = f (0) a f (0) =, f () =,5,5 = a a =,5 f () =,5 g (0) =, g () = 5, = a a = g () = h (0) =, h () =,5,5 = a a = h () = b) Bei den Funkionen f und g is a > und die Funkionsgraphen seigen. Bei der Funkion h is a < und der Funkionsgraph is fallend. c) f,g und h geben den Wer der Wachsumsgröße nach Ablauf einer halben Zeieinhei an. S. 7,5,5,5 0,5 0 0,5,5,5,5 a) f() = 0, 0, 0,0 0,6 0, 0,5 0,67 0,8,,,8,5,76,8, 5,06 b) f() = 5,06,,8,76,5,8,, 0,8 0,67 0,5 0, 0,6 0,0 0, 0, c) f() = 0, 0,5 0,9 0,5 0, 0, 0,58 0,76,,7,8,95 5, 6,8 9,00 d) f() = 0,0 0,5 0, 0,56 0,6 0,7 0,79 0,89,,6,,59,78,,5 y 9 c) b) 5 a) d) 8
6 Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) < a < b individuelle Lösung mi f (0) = g (0) = f () > g () für < 0; f () < g () für > 0 b) 0 < a < b < individuelle Lösung mi f (0) = g (0) = f () < g () für < 0; f () > g () für > 0 6 y 5 und für 0 und für 5 gil 5 5 Ein DIN-A-Bla is ca. cm brei und ca. 0 cm hoch. a) f () =, ; f() 7,0 Der Punk des Graphen von f am rechen Rand is 7, cm vom uneren Rand enfern. b) Individuelle Schäzung für f () = 0; f (5) 8,; f(6) 0,9 Das Bla müsse nach rechs hin um ca. 5 cm verbreier werden. c) Individuelle Schäzung: Am rechen Rand gil nun = ; f() =, 5,76; 5,76 0,5cm = 7,8 cm Der Graph erreich nich ganz den oberen Rand. 6 a) f () = a ; f(+) = a + = a a = a f() b) f () = a ; f() = a = (a ) = a f() 7 Ansaz für Funkion f: f() = b a a) f () = I.I b a = II:I f () = 0, II. b a a = 0, in I: b = 5 f () = 5 0, = 0, b) Rechenweg analog a) f () = 8 5 c) Rechenweg analog a) f () = 8 d) Rechenweg analog a) f () = 65 0, e) f (0) = b a0 = = b = f () = a f) Die Punke Q ( ) und R() können nich auf dem Graphen einer Funkion liegen, weil die Zuordnung f () eindeuig is. 8 Der Funkionserm b a enhäl zwei Variablen (Parameer), die zu besimmen sind. Zur Besimmung von a und b is ein Sysem mi zwei Gleichungen nowendig. Jeder Punk, der auf dem Graphen von f lieg, liefer eine Gleichung. Soll der Funkionserm durch einen Punk fesgeleg sein, so muss also einer der beiden Parameer schon bekann sein. 9 Funkionserm zu f: f (0) = b a 0 = b = f () =,5 a =,5 a =,5 f() =,5 Funkionserm zu g: g (0) = b = g () = 0,5 a = 0,5 a = 0,5 g () = 0,5 Funkionserm zu h: h (0) =,5 b =,5 h () =,5 a = a =, h () =,5, Funkionserm zu k: k (0) = b = k () =,5 a =,5 a = 5 8 k () = 5 8 9
7 Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus S. 7 a) = = b) + = = 8 = 8 c) = 6 d) + = + = = y b) d) c) a) a) Graph seig, wenn a + >, also für a > 0. Graph fäll, wenn 0 < a+ <, also für < a < 0. b) Der Graph is für alle a 0 eine nach oben geöffnee Parabel. Der Graph fäll für < 0 und seig für > 0. c) Graph seig, wenn a >, also für a + < < a <. Graph fäll für a < oder a >. d) Graph is konsan für alle. e) Graph seig, wenn a >, also für a > a < oder a >. Graph fäll, wenn 0 < a <. a > 0 a > also für a < oder a > Graph fäll, wenn < a < oder < a <. f) Der Graph is eine Gerade. Gerade seig für a > 0, sie fäll für a < 0. a) f () = b 0,6 ; b 0,6 = 000 b = 00 f () = 00 0,6 m 0 k m k 88,8, 0 8 b) Individuelle Lösung; z. B. f () = 0 für, c) 00 0,6 = 0, 0,6 = 5 Probieren: 0,6, ,6 9,8,09 5 0,6 9,8, In ca. 9,8 m Tiefe beräg die Beleuchungssärke ungefähr 0, l. a) Es werden immer ca. die Hälfe der Schokolinsen LS zeigen. Anzahl der nach dem n-en Wurf übrig gebliebenen Schokolinsen: f(n) = 80 n b) Anzahl der nach dem n-en Wurf verzehren Schokolinsen: g (n) = 80 f(n) Die Funkionswere von g wachsen mi zunehmendem n, erreichen aber nie den Wer 80. Eine wachsende Eponenialfunkion erreich aber beliebig große Were. g is also keine Eponenialfunkion. c) Bei realen Schokolinsen wird der Abnahmefakor nur ungefähr beragen, da nich alle Schokolinsen eine Idealform haben. Beim einzelnen Eperimen kann es uner Umsänden zu berächlichen Abweichungen von den berechneen Idealweren kommen. 00 l m
8 Seie 7 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) a > 0 a >,5 b) a + > 0 für alle a; die Funkion (a +) is für alle a 0 definier. c) a 0 a d) a + > 0 + a > 0 a. Fall: + a > 0 und a > 0 a > 0 Funkion + a is definier. Fall: + a < 0 und a < 0 a > für a < oder a > 0. e) a+ > 0 und a+ > 0 a > und a+ < a > und a < Funkion a+ definier für < a <. f) a + a a + a + > 0 und a a und a 0 = a a = 0 a,; a, Funkion a + a is definier für a > und a,0,a 0,a,. 5 5 a) f (0) = 0, b = 0, f (6) = 0,6 0,6 = 0, a 6 a 6 = a = 6 f () = 0, 6 b) Die Wassermelone wächs äglich um,%. c) Individuelle Lösung Es handel sich mi Sicherhei um beschränkes Wachsum, d. h. es lieg nur während einer begrenzen Zei eponenielles Wachsum vor. 6 a) f (0) = 0 b = 0 f (8) = = 0 a 8 a 8 = a = f () = 0 0,5 8 Zerfall in einem Jahr: 0 0 0,5 8,5% b) f () = 0 0,5 8 9 Nach Jahren sind noch 9mg vorhanden. 7 a) Die Behaupung is gleichwerig mi der Gleichung a = (a) oder a = (a) a = a a = a = Für a is die Aussage falsch. b) Analog a) gil: a = a a = a a = a= Die Aussage is für a falsch. c) f () = b = b; die Funkionswere bleiben konsan b; Aussage is richig. d) (+p) = (+p) = +p +p = + p +p+p = +p p = 0 p = 0 Für p = 0 lieg kein Wachsum vor, die Aussage is falsch. 8 a) Ansaz: f() = a +b+c AG f I.II a+b+c = BG f II.I a+b+c =,5 CG f III. a b+c = f () = ++,5 = ( ) + b) Ansaz: f() = a ( )(+) PG f 6a = a = f () = ( )(+) = +,5 8 ö j Hisorisches: Pyhagoras und das Ende seines Geheimbundes; Kopiervorlage S. ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. 5
9 Seie 7 75 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus Modellieren von Wachsum S. 7 a) Die Messpunke werden durch die lineare Funkion h am besen angenäher. Sie liefern aber keinen eindeuigen Hinweis, ob die Beschreibung durch eine lineare oder eine Eponenialfunkion erfolgen soll. b) Die Zusazinformaion veranlass die Ausscheidung von h, denn für > gil h () < 0. S. 7 Die absolue Abnahme der Blualkoholwere schwank um den Mielwer 0,8. Es lieg also lineares Wachsum vor. f () =,6 0,8 Die relaive Abnahme schwank um den Wer 0,89. Es lieg also eponenielles Wachsum vor. f () = 00 0,89 S. 75 a) Sowohl lineare als auch eponenielle C Abnahme scheide aus, da die absolue und relaive Abnahme mi der Zei 60 geringer wird. f() b) f () = s + b a 0 f (0) = 60 III s+b a 0 = 60 0 Durch Lösen des Gleichungssysems erhäl f () = 5 III s+b a = 5 f () = 5,6 III s + b a = 5,6 man a = 0,8; b = 0; s = man y = +0 0, c) s is die Umgebungsemperaur. b is die Temperaurdifferenz zum Zeipunk = 0. d) Die Modellierung pass genau. Alle Messpunke liegen auf dem Graphen (siehe Teilaufgabe a)) f() ,6 0,5 6,, 0,5 8, 5 a) C Die absolue und die relaive Zunahme der Temperauren wird mi der Zei geringer. Linearer und eponenieller Temperauransieg f() scheiden aus b) f () = 8 0,5 0 5 f () ,5 9,75 Graph zu b) Der Graph seig mi zunehmendem weniger an und näher sich dem Wer. c) Die Funkionen vom Typ f () = s b a zeigen den gleichen Verlauf wie die gemessenen Temperauren. Der Parameer s gib die Grenzemperaur an, der Parameer b die Temperaurdifferenz zum Zeipunk = 0. Für b > s is die Anfangsemperaur negaiv. 0 < a < muss gelen, weil nur dann die Funkionswere mi zunehmendem wachsen. d) f () = 5 0,7 Lösungsweg analog b) e) f(5),9; der Körper erreich nach 5 Minuen eine Temperaur von ca.,9 C. C f() 5
10 Seie Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 6 a) 0 5 y abs. Abn rel. Abn. 0,5 0, 0,5 0, 0,5 lineare Funkion f : 60 Eponenialfunkion g : 60 0,76 (Mielwer der relaiven Abnahme pro Zeieinhei: 0,) 0 5 f () g () 60 5,6,7 6, 5, b) Berache man die Abweichung der Funkionswere von den vorgegebenen Weren, so läss sich aus den sechs Weren nich enscheiden, welche Modellierung zureffender is. c) Die Punke (6,5) und (7) lassen die Funkion f ausscheiden, da f(6) = 0 und f (7) = is. Dagegen gil g (6) =,5 und g (7) = 8,8. Die Funkion g is die geeignee Modellierung. d) S g = (60 60) +(5 5,) +(0 5,6) +(0 6,) +(,0) + (5 5,) S g = +(,5,5) +( 8,8) S g =,6 e) Die Funkion liefer überwiegend ewas zu kleine Were. Deshalb wähl man besser einen ewas größeren Wachsumsfakor. h () = 60 0,77 S h = (60 60) +(5 6,) +(0 5,6) +(0 7,) +(,) + (5 6,) S h = +(,5,5) +( 9,6) S h = 0,7 7 0% von 80% =, 0,8 =, = % Der Endpreis is um % höher als der Anfangspreis. 8 a) 0,5 b) c) 0,86 d) 0,9 e) 9,5 f) 9, C f() g() 5 ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. Logarihmen S. 76 a),09 0,7588 Wenn die jährliche relaive Änderung,9 % beräg, wächs die Welbevölkerung in 0 Jahren um ca. 75,9 %. b),09 0,;,09 5,9;,09 7,007 Bei einem jährlichen Zuwachs von,9 % verdoppel sich die Welbevölkerung nach 7 Jahren. S. 77 a) = log b) log 000 = c) log 7 = 0 d) log = e) log 9 = f) log 6 6 = g) log 5 = h) log = 5 00 a) b) 7 c) d) 5 e) f) g) h) i) k) 5 l) m) 0 a) log a a 5 = 5 b) log a a = log a (a ) = c) log a a = log a a = 8 8 5
11 Seie Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 5 a) Gesuch is eine Zahl, deren 5. Poenz gleich is. Also: = b) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man poenzieren muss, um 8 zu erhalen. Also: = c) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man 7 poenzieren muss, um 9 zu erhalen. Also: = d) Gesuch is eine Hochzahl, mi der man 5 poenzieren muss, um 5 zu erhalen. Also: = e) Gesuch is das Quadra der Zahl. Also: = 6 f) Gesuch is eine Zahl, deren 5. Poenz is. Also: = 6 a) lg 5,0 b) log, c) nich lösbar, da > 0 für alle r d) log 0,, e) log 0,6 0 7, f) nich lösbar, da > 0 für alle r S a) a = 5 a = 5 b) a = a = 7 c) b = 6 b = 9 d) b = 7 b = 9 e) a = 5 = 5 a = 5 f) a = 7 = = 9 a = 9 g) (a ) = = a = h) b = 5 = 5 b = 5 8 0, 0, f(), 0,58,,58,80,7, g() 0, 0 0,0 0,8 0,60 0,70 0,78 0,85 0,90 0,95 y f() g() Gemeinsam: f () = g () = 0 f () < 0 für 0 < < ; g () < 0 für 0 < < Beide Graphen seigen im gesamen Definiionsbereich r +. Unerschiedlich: Der Graph von f seig schneller als der Graph von g. 9 a) f () = log,9; g() = log, Der Graph von f is,9 cm vom uneren Rand enfern, der Graph von g, cm. b) f () = 9,6; = 9,6 8, 8 ; g () = 9,6; = 9,6,98 9 Dami der Graph von f den oberen Rand des DIN-A-Blaes erreich, müsse das Bla nach rechs hin auf ca. 8, 8 cm verbreier werden. Beim Graphen von g müsse es auf,98 9 cm verbreier werden. aw c) 8, 8 cm = 8, km z.b. Enfernung New York Lissabon,98 9 cm km Lichjahr ca. 9,5 km, also,98 9 cm 9 Lichjahre; Aler des Universums ca. 9 Lichjahre. Das Lich häe vom Beginn der Wel an bis heue ca. % der Srecke zurückgeleg. Randspale: log 7 = = 7 = 89 also log 7 = 89 a) 5 = 5 = 0, richig b) 5 = 0,5 5 = 0,065 richig c) log ( 8) is nich definier: falsch d) log ( 8) = log 8 = log 6 = 6 richig e) Individuelle Lösung a), = 5,78 b),8 = 0,8 0,796 c) = 0, d), =,80 e) =,5 0,80 f) 5 = 0,686 5
12 Seie Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus p K() = K 0 + n n vgl. Schülerbuch S. 67, Aufgabe a) 00 = 000,05,05 =,5,57 Nach ewas mehr als,5 Jahren sind die 000 $ auf 00 $ angewachsen. b) 5955 = 00 a a =,9 a =,9,06 Das Kapial wurde mi 6 % pro Jahr angeleg. c) =,06,895 Das Kapial ha sich nach Jahren ewas mehr als verdoppel. a) Eponenielles Wachsum lieg vor, wenn die Quoienen aufeinanderfolgender Were um einen Mielwer schwanken. =,5; 0 =,5; 0 =,8; 5 00 =, f () = 0,5 b) 0,5 = 00 5,68 Nach 6 Sunden enhäl die Kulur mehr als 00 Bakerien. c) Wachsum um 00 % bedeue das -fache des Anfangsweres.,5 = 5,9 Nach knapp 6 Sunden wächs die Zahl der Bakerien um 00%. a) ( 0,08) = 0,5 8,0 Die Halbwerszei von Jod- beräg 8 Tage. b) f (8) = ; f (6) = ; f() = 8 Nach Tagen is noch 8 der ursprünglichen Menge Jod- nich zerfallen. 5 a) log 8 = = 8 log 8 = y 8 y = b) log a b = a = b log b a = y b y = a y = 8 y =, also log 8 log 8 = b y = b y =, also log a b log b a = 6 a) b) 7 = < also < also 0 7 c) + > d) 9 5 = 9 < = 0,5 Aussage falsch < 0 Aussage richig Aussage richig für >,75 Aussage falsch ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. ö AB Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. 5 Rechnen mi Logarihmen S = 6 = 8 = = 6 = = = 7 = = :79 = : 6 = = 8 7 = = 9 = 968 Mihilfe der Tabelle wandel man die an der Rechenoperaion beeiligen Zahlen in Dreierpoenzen um und wende die Poenzgeseze an. Mihilfe der Tabelle ermiel man dann das Ergebnis der Rechenoperaion. S. 80 a) lg,7 = lg,7+,67 b) lg,6 0 = 0 lg,6 7,9 c) lg 5 = lg5 9,0 d) log 0 = log +0,585 a),6 b) 8,6 c),8 d),5 e),5 f),6 lgb = lga lgb = lga b = a 55
13 Seie 80 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 5 a) lg = lg+lg =,0798 b) lg 8 = lg = (lg+lg) =,5 c) lg7 = lg =,6 d) lg 6 = lg(lg+lg) = 0,89075 e) lg 8 = (lg+ lg) = 0,875 f) lg70 = lg = lg+ lg =,6 g) lg = lg(00:) = lg0+lg lg =,7609 h) lg,5 = lg(9:) = lg lg = 0,65 i) lg0,8 = lg :0 = lg+lg lg0 = 0,77 k) lg 8 = lg 7 aber lg 7 nich gegeben 6 a) log = log = = 9 b) lg = lg6 lg lg = lg = c) lg = lg5+lg8 lg = lg0 = 0 d) log = = = 7 e) lg = lg lg = lg lg = lg = f) log (5) = +log 6 log (5 ) = log +log 6 log (5) = log 5 = =, h) lg +lg lg = lg6 lg lg5 = lg6 5 = 6 =, i) log +log = log 5 log = log 5 = 6,5 7 a) lg 0 = 0lg,599; 0 =,599 = 0,599,7 b) lg 0 = 0lg 95,5; 0 = 95,5 = 0,5 95 0,768 95,76 96 c) lg 0 = 0 lg 7,98; 0 = 7,98 8,8 7 8 a) log a ++log a b b) log a u+log a v log a w c) log a b d) log a (+y) e) log a (+y)+log a ( y) f) log a b g) log( a) h) log a (+) log a i) lg(+)+lg( ) lg 9 a) log a u b) lg(a+b) c) 0 d) log a e) lg(+) f) lg a) falsch lga+lgb = lg(a b) b) richig log a b = a = b a = b log a b = y a y = b c) richig, denn log a a = a = a für alle a > 0 a) log a b = u (a) u = b log a b = u (a ) u a = b = a a = (a = 0 keine Lösung, da log b) log a b = u (a) u = b (a) u = b 0 b nich definier is. log a b = u a u = b (a) = a a = c) log a b = u a u = b log a b = u (a)u = b (a) u (a) = b = a a = 9 5 a) Auf 0, werden alle Zahlen des Inervalls [0,05; 0,5[ gerunde. 5 0,05,0 ;5 0,5,9 Der Wer der Poenz kann nach der Rundungsregel mi einer gelenden Ziffer angegeben werden. b) 0,05, 5 ; 0,5,67 5 Nach der Rundungsregel is keine Ziffer gesicher. c) 0 0,05,7 8 ; 0 0,5,7 8 Auch hier is keine Ziffer gesicher. d) 0,005,9 8 ; 0,05,7 8 Nur die erse Ziffer des Poenzweres is gesicher. e) 0 0,005 6,7; 0 0,05 6,5 Beide Were liegen im Inervall [6,5; 6,55[; also 0 0,0 6, a = a y = y 56
14 Seie 8 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus S. 8 a) S = lg I0 = lg00 = I b) lg = 6, I = I 0 6, I 0,5 6 I0 c) Bayern: I B = I 0 5,8 ; Sumara: I S = I 0 9, I also: S =, 995 I B Das Beben bei Sumara (am 6.. 0) war ewa 00-mal särker als das särkse Beben in Bayern. I d) S = lg I0 I I I 0 wird halbier: S = lg = lg I0 I0 +lg = S+lg I I 0 wird verdoppel: S = lg = S lg S. 8 a) lg = 0; lg00 = lg = ; lg0,00 = lg = b) lg n = n n is also auf der logarihmischen Skala n Längeneinheien von der Eins enfern. Der Plaz für Null rück ins Unendliche. I in mw 5 a) In einem Koordinaensysem auf einfach logarihmischem Papier liegen die Messpunke auf einer Geraden g. Ansaz für g: g (d) = lg f (d) = lg f (0)+d lga = lg f(0) a d 0 f(d) = f (0) a d g f(0) = 0 0 a f() = 5 = 5 a = 0,5 f(d) = 0 0,6 d a 0,6 g(d) = lg0+ lg0,6 = lg 0 0,6 d 5 b) (0,6) 9 0,056,56% d in cm 6 a) 0 00 I 0 U in V 5 I0 g = lg f in s 5 5 b) Pro Sekunde nimm die Spannung um 7 % ab. c) 0,9 H = lg 0, 5 H = l 9,55 g 0, 9 Die Halbwerszei beräg ca. 9,6 s. f: f(0) a f (0) = 0 0 a f () = = a = 0, 0,9 5 y = 0 0,9 7 f() = a lg f () = lg a = lga g () = a +d = a a d lg g () = lg a a d = lga +lga d = lga+d lg a Auf einfach logarihmischem Papier aufgeragen sind die Graphen der Funkion f und g parallele Geraden mi der Seigung lg a. 57
15 Seie 8 8 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus 8 a) Von I = 00I 0 auf I = 00I 0 S = lg00 = 0dB S = lg00,db analog von I = 000I 0 0auf I = 0000I 0 : S = 0dB S,8dB analog von I = 0000I 0 auf I = 00I 0 : S = db S,8dB b) S = 0dB I = I 0 ; S = 80dB I = 8 I 0 = I Bei einer Seigerung der Lausärke von 0dB auf 80dB seiger sich die Reizinensiä auf das 000-fache. I c) L = db lg = 5 I = 5 I I0 0 ; I = 7 W m I 0 = 7 W m 5 = W m I d) S = lg I0 I I I S = lg = lg lg0 = lg 0 I0 I0 I0 = S Der Schwerhörige empfinde die Lausärke gegenüber dem normal Hörenden um db verringer. e) Individuelle Lösungen 9 a Zeichnung im Maßsab : V = 5 = 5 a = 5 a zeichnerisch: e 8,8 a β = 5 β e rechnerisch: e = a = 75 8,7 a 5 sin β = = = e β = 5, 75 a) = ; y =,5 b) (I) = y y 5 ( )(y 5) = ( )(y ) y = 5 5y (II) = (5 ) = (5y ) y = = ; y = ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. ö 6 Eponenialgleichungen S. 8 a) y f S(0,9,) g b). Möglichkei: d () = f () g(); d (0,9) = 0,0; d (0,89) = 0,0 Die Nullselle von d lieg im Inervall [0,89; 0,9], In diesem Inervall lieg auch die -Koordinae des Schnipunks. Durch sysemaisches Probieren kann man das Inervall verkleinern.. Möglichkei: Umformen der Gleichung f() = g ();,5 = 8,05 = 8 = 8 lg = lg 8 lg = lg lg,5 8 8 = 0,5 0,8979 lg. Möglichkei: lg f() = lg g () lg 8 lg lg+ lg,5 = lg8+ lg0,5 0,8979 lg,5 lg 0,5 S. 8 a) b) 0,6 c) d),6 e) 0,8 f),5 g) h) 5 58
16 Seie 8 85 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) 5 0,8 =,6 =, b),5 = + = lg 0,8 lg,6 lg,5 lg 9, c) keine Schnipunke, da f () < 0 und g () > 0 für alle r., = 0,6 0,6 Wochen = 0,6 7 Tage,5 Tage Nach Wochen, Tagen und Sunden erreich die Alge die Wasseroberfläche. 5 a),05 =,5 Nach ewa,5 Jahren ha sich das Kapial verdreifach. b) 7000,055 = 0,07 Nach ewa Jahren sind die 7000 $ auf 0 $ angewachsen. 6 a) = u u u+ = 0 u = = 0 u = = b) 7 = u u +u = 0 u = 0,565 u = 7 keine Lösung für, da 7 > 0 für alle c) 5,5 + = 0 5 = u u u+ = 0 u = = 0 u = 0, d) = u u 5u = 0 u = 8 = u = keine Lösung für, da > 0 für alle 7 7 lg lg 5 7 a) 5 = 5 = =,5 b) = = =,5 8 a) g y Die Gleichung,5 =,07 + läss sich durch Logarihmieren nich in eine nach auflösbare Gleichung umformen. 8 f 7 6 Die Rechengeseze erlauben keine Umformung von lg( 0,7 +) b) d () =,07 +,5 d(,5) 0,7; d(,7) 0,0; d(,6) 0,55; d(,69) 0,07; d(,696) 0,0007 S [,696;,70] Auf zwei Nachkommasellen is S,70. c) S,70; d (,7) = 0,06 0,0; f(,70),65; g(,70),6 S a) Ansaz für die akuelle Akiviä: A () = 5, a ; a 570 = a = 0,5 570 ; A () = 5, 0,5 A ( +00) 570 ; = 0,5 5 A () In 00 Jahren nimm der C--Gehal um, % ab. b) A () = 5, 0,5 lg A () lg 5, 570 = 570 lg 0,5 Aler von Buch Jesaia: A () = 08 Jahre Grabuch von Twin: A() =,8 85 Jahre Ägypischer Holzsarg: A () = Jahre Holzkohle aus Sonehenge: A () = 9,5 90 Jahre Knochen eines Mammu: A () =,9 7 Jahre c) A(0000) = 5, 0, , Bei dieser geringen Akiviä wird die Messung zu ungenau. lg5+lg ,879 a) lg5+( )lg = 0 = lg,7 lg 5+ lg + lg b) lg+( )lg = lg5+(+) lg = lg lg 5,09 c) 6 +8 = 0; = u u 6u+8 = 0; u = = 0,5; u = = d) 7 = 6 5 lg 6+ lg 7 ( )lg7 = lg6+ lg5 = lg7 lg 5,68 e) 5,5 = 0; 5 = u u u = 0; u = +6 0,975; u = 6 < 0 keine Lösung, da 5 > 0 für alle r f) = = = 6 +5 lg +lg,5 59
17 Seie 85 Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus a) Phosphor : ( 0,07) = 0,5 H, Tage b) Kobal 58: 0,99 = 0,5 H 69 Tage c) Polonium 8: 0,8 = 0,5 H Minuen d) Pluonium 9: ( 0,08) 00 = 0,5 H 07 Jahre e) Es sind noch,5% = 8 = der ursprünglich vorhanden radioakiven Aome nich zerfallen. Dies is nach der dreifachen Halbwerszei der Fall. Phosphor :, Tage; Kobal 58: 7 Tage; Polonium 8: 9, Minuen; Pluonium 9: 7 Jahre 0,5 = 0,6,5 cm; Die Bleiplae müsse ewa,5cm dick sein. Aluminium: 0,5 = a 9 a 0,96 0,5 9 = 0, 9 lg 0, = lg 0,5,9 Nach dem Durchdringen von,9 cm Aluminium is die Inensiä auf 0, I 0 gesunken. analog: Eisen: 0,5,8 = 0, 6,5cm Wasser: 0,5 5 = 0, 58,0cm a) 7 = lg7+lg = lg lg + lg = lg7,0 lg lg b) = 5 lg = lg 9 lg 5,87 c) 7 = lg 7 lg =,5 5 a) A = Zweimal Zahl A A lg lg H T N H T P (H) = + = N b) P (N) = + = 8 + = = Die Sekorfläche für N muss auch beim. Glücksrad auf % der Kreisfläche vergrößer werden. 6 Inhal des Flächensücks: Kreissekor (r = cm; α = ) gleichseiiges Dreieck (a = cm) a A = π,5 A = 6π,5 A,06cm 5 6 ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. ö AB Arbeisbla: Pyhagoras und Konsruieren von Quadrawurzeln; Kopiervorlage S. 7 f. Das Arbeisbla kann nach Behandlung des Sazes von Pyhagoras bearbeie werden. 60
18 Seie Lösungen vorläufig Eponenialfunkion und Logarihmus Thema: Wachsum mi Grenzen S. 86 a) b) y y i) f () = 5 0,8 Maimale Fallgeschwindigkei: 5 m s c) f: S a S besimm die maimale Fallgeschwindigkei, a den Ansieg der Fallgeschwindigkei. Ein kleineres a bewirk ein schnelleres Anwachsen der Fallgeschwindigkei. 8 6 iii) ii) iv) a) f: y Die Zahl der Erkranken näher sich dem Wer b) f () = 60 S. 87 a) Erkranke a m b) f () = S +a m ; S = 000 a f () = 000 a m +a m f (0) = a 000 m +a m = a m = 9 99 a f () = a W f(5) = a 5 = 960 a 5 =,5 a,0 a 5 f () = Individuelle Lösungen 6
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