Musso: Physik II Tel 22 Elektrisches Feld II Seite 1

Transkript

1 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 1 Tiple-Mosca ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS. Das ektische Fd I: kontinuieliche Ladungsveteilungen (The ectic fid II: continuous chage distibutions).1 Beechnung von E mit dem Coulomb'schen Gesetz (Calculating E fom Coulomb's law). Das Gauß'sche Gesetz (Gauss's law).3 Beechnung von E mit dem Gauß'schen Gesetz (Calculating E fom Gauss's law).4 Diskontinuität von E n (Discontinuit of E n ).5 Ladung und Fd auf Leiteobeflächen (Chage and fid at conducto sufaces).6 Ableitung des Gauß'schen Gesetzes aus dem Coulom'schen Gesetz (Deivation of Gauss's law fom Coulomb's law) Univesität Salzbug Seite

2 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite Univesität Salzbug Seite

3 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 3 Die Bescheibung eine seh goßen Zahl von disketen Ladungen mit eine kontinuielichen Ladungsdichte ist ähnlich de Vewendung eine kontinuielichen Massendichte. Gegeben sei ein ein endliches Raumgebiet V mit kontinuielich veteilten Ladungen dq im Volumement d V sei die Ladung d q enthalten Raumladungsdichte ρ( ) = ; dv dq analog fü eine kontinuieliche Ladungsveteilung auf eine Obefläche A σ ( ) = ; da dq analog fü eine kontinuieliche Ladungsveteilung längs eine Linie im Raum λ( ) = ; d.1 Beechnung von E mit dem Coulomb'schen Gesetz (Calculating E fom Coulomb's law) Mit Hilfe des Fdes d E eines Ladungsementes dq kann duch Integation übe die gesamte Ladungsveetilung das Fd E inm Aufpunkt P beechnet weden. Analog fü eine Obeflächenladung bzw. fü eine Linienladung. Univesität Salzbug Seite

4 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 4 E auf de Achse eine endlichen Linienladung Eine Ladung q sei gleichmäßig längs de -Achse dq q von 1 = bis = + L veteilt Linienladungsdichte λ = = ; d L gesucht Fd E im Aufpunkt P bei > L entlang de -Achse Mit dem Coulomb'schen Gesetz de 1 λd Integation E =, ( ) E außehalb de Achse eine endlichen Linienladung L P = 1 dq 1 λd = 4 ( ) πε ( ) mit Substitution = u bzw. d = d u wobei fü = u = und fü = L u = L L L du ( L) L 1 u u L ( L) ε ( ) λ λ λ λ λ E = = = = = 4π 1 q fü L E in diesem Fall de = dee + d Ee hie Beechnung de -Komponente, im Beispi.1 -Komponente beechnet: Ein positives Ladungsement dq = λd ezeugt den Betag des Fdes 1 dq λ d de = = -Komponente de d cos d = E θ = E λ d λ d λ d = + E = = E = wobei d q = L L Univesität Salzbug Seite

5 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 5 1 cosθ mit = tan θ d = d θ; mit = cos θ = eingesetzt cos θ E θ 3 λ d λ cosθ λ 1 λ 1 1 q = dθ cosθdθ sinθ sinθ sinθ sinθ 1 = = = = cos θ θ ( ) ( ) 3 1 θ θ L Fü die -Komponente siehe Beispi.1 Elektische Fdlinien in de Nähe eines langen Dahtes, und Koona-Entladung Univesität Salzbug Seite

6 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 6 Das ektische Fd E eine unendlichen Linienladung Das ektische Fd in einem biebigen Punkt P, das von eine unendlich ausgedehnten Linienladung ezeugt wid, ehält man wenn und + θ π / und θ + π / λ 1 λ 1 λ aus Gl. (.8a) E = ( sinθ sin θ1) = = wobei 1 λ bzw. aus Gl (.8b) E = ( cosθ cosθ1) = = Beispi.1: Das ektische Fd auf de Mittsenkechten eine endlichen Linienladung Gesucht: ektisches Fd in de Mittebene eines homogen gadenen Liniensegments mit lineae Ladungsdichte λ und Länge L mit = L/ und =+ L/ bzw. θ = θ = θ und Gl. (.8a) E λ 1 λ 1 λ = ( sinθ sinθ1 ) = ( sinθ sin( θ) ) = sin θ, 1 1 L L 1 λ mit sin θ = E = 1 1 L + L + 1 λ 1 λ mit Gl. (.8b) E = ( cosθ cosθ ) = ( cosθ cos( θ) ) = 4 1 πε 1 L 1 λ E = Ee + Ee = e 1 L + Univesität Salzbug Seite

7 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 7 Beispi.: Das ektische Fd als Nah- und Fenfd eine endlichen Linienladung mögliches Püfungsbeispi Beispi.3: Das ektische Fd eine Linienladung und eine Punktladung Eine unendlich lange Linienladung mit λ =.6 μc m esteckt sich länges de z-achse, eine Punktladung q = 8 μc befindet sich auf de -Achse bei = 3 m. Gesucht E bei P auf de -Achse bei = 4 m 1 λ Fd EL de Linienladung: EL = mit = = 4 m E L ( ) ( μ ).6 C m = N m C =.7 kn C ( 4 m) ( 8 μc) ( 3 m) + ( 4 m) ( ) 9-1 q Fd E de Punktladung: E e mit P P = = EP = ( N m C ) e = (.88 kn C ) e EP, = EP cos( θ) = EP =.8 EP, EP, = EP sin( θ) = EP =.6 EP Gesamtfd: E = E + E = 5. kn C, E = E + E = 1.73 kn C, L, P, L, P, E E E = E + E = 5.9 kn C, mit = tan ϕ ϕ = atan = 19.1 E E e Univesität Salzbug Seite

8 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 8 Das ektische Fd E auf de Achse eine Ringladung Ringladung mit gleichmäßige Ladungsveteilung, mit Radius a und Gesamtladung q. Siehe Abbildung: Fd d E duch Ladungsement d q besteht aus Komponente d E längs de Ringachse und Komponente d E senkecht dazu die paaweise senkechte Komponenten heben sich auf das esultieende liegt Fd längs de Ringachse, die senkechte Komponente ist null. 1 dq 1 dq 1 dq de = cos θ = = a ( + a ) dq ( + a ) πε ( + a ) 3/ 3/ ( + ) 3/ wobei cos θ = = Integation + a 1 dq E = da und a sich nicht änden 3/ E 1 dq 1 = = 4 q Univesität Salzbug Seite

9 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 9 Das ektische Fd E auf de Achse eine homogen gadenen Keisscheibe Homogen gadene Scheibe mit Radius R und Gesamtladung q. Beechnung des ektischen Fdes auf de Achse indem die Scheibe als einen Satz konzentische Ringladungen betachtet wid Ring mit Radius a und Beite d a hat die Fläche da= π ad a und die ( ) Ladung dq = σda= σπad a, wobei σ = q/ πr die Flächenladungsdichte 1 dq 1 σπada ist mit Gl. (.1) d E = = 4 ( + a ) πε ( + a ) 3/ 3/ 1 σπada σ ada Integation von a = bis a = R E = 3/ 3/ = a 4ε + + a R ( ) ( ) + R + R 1/ 3/ u 4 4 ( 1/) σ σ σ 1 1 Substitution u = + a bzw. du = ad a E = u d u = = ε ε ε + R σ σ σ E = = = ε + R ε + R ε 1 ( R) + Fü goße endliche Entfenung Wuzausduck in eine Talo-Reihe R ( u) 1/ ( ( R) ) entwickt 1 + = (1 + nu+...) R 1+ 1 n E σ R 1 πr σ 1 q = fü wobei = = R q = π R σ ε Univesität Salzbug Seite

10 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 1 Beispi.4: Das ektische Fd auf de Achse eine gadenen Keisscheibe Keisscheibe mit R = 5 cm und mit homogene Obeflächenladungsdichte σ = 4 μc m. Gesucht ektische Fd bei a) =.1 cm, b) =.3 cm, und c) = 6 m unte Ausnutzung eine geeigneten Näheung und de Gl. (.11): Teil a) da =.1 cm R = 5 cm in de Nähe de Scheibe ist das ektische Fd näheungsweise ( 4 μc m ) 1 - ( ) σ das eine unendlichen ebenen Scheibe E = = 5.88 kn C ε C N m Teil b) da =.3 cm R = 5 cm in de Nähe de Scheibe ist das ektische Fd näheungsweise ( 4 μc m ) 1 - ( ) σ das eine unendlichen ebenen Scheibe E = = 5.88 kn C ε C N m Teil c) da = 6 m R = 5 cm das ektische Fd weit entfent von de Scheibe wikt wie jenes eine ( ) ( ) ( μ ) 1 πr σ m 4 C m Punktladung E = N m C = N C 6 m ( ) ( ) σ 1/ Teil d) Eakte Lösungen aus Gl. (.11) E = ( R ) ε ( ) ( ) 1/ ( ) ( ( R) ) ( ) zu Teil a) 1 1+ = =.998 = 5.43 kn C 1/ 1/ 4 zu Teil b) 1 ( 1+ ( R) ) = 1 1+ ( ) =.994 E = 4.53 kn C 1/ 5 zu Teil c) 1 ( 1+ ( R) ) = 1 1+ ( 5 1 6) = E = N C 1/ 1/ 4 E Univesität Salzbug Seite

11 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 11 Das Fd eine gadenen Scheibe nähet sich dem Fd eine Punktladung fü goße Entfenungen, und ist gleich dem Fd eine unendlichen ebenen Flächenladung in de Genze fü Das ektische Fd E eine unendlichen ebenen Flächenladung Elektisches Fd eine unendlichen ebenen homogenen Flächenladung ehältlich aus Gl. (.11) mit R/ E σ = fü > ε Das Fd ist nicht von abhängig, somit homogen. Auf de andeen Seite de unendlich ebenen Fläche (d.h. fü negative Wete von ), zeigt das Fd in die negative -Richtung E σ = fü < ε + σ E hat eine Unstetigkeit (Diskontinuität) E E = wenn ε de Aufpunkt des Fdes die unendliche Flächenladung duchscheitet (siehe auch Teil.4) Univesität Salzbug Seite

12 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 1. Das Gauß'sche Gesetz (Gauss's law) Elektische Dipol, eingeschlossen von eine Obefläche von biebige Gestalt. Die Obefläche schließt beide Ladungen ein die Zahl de Fdlinien von innen he und von außen duch ist gleich, unabhängig von de Gestalt de Obefläche Fü statische Ladungen und zeitunabhängige Fde sind das Gauß'sche Gesetz und das Coulomb'sche Gesetz äquivalente Bescheibungen (siehe auch Teil.6) Die Diffeenz de eine Obefläche velassenden und eintetenden Fdlinien ist popotional de von de Obefläche eingeschlossenen Gesamtladung = qualitative Aussage des Gauß'schen Gesetzes De ektische Fluß Die mathematische Göße, die de Zahl de Fdlinien entspicht, die eine Fläche senkecht duchstoßen, nennt manektischen Fluß Φ, Einheit N m C E duchdingt die Fläche A senkecht Φ = EA De ektische Fluß Φ duch eine ebene Fläche A mit biebige Oientieung nˆ (Nomalichtung) zwischen E und A ist gegeben duch Φ = E A= E Acosθ = En A wobei E = E nˆ n Univesität Salzbug Seite

13 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 13 Wenn En auf de Fläche vaiiet, entwede weil E sich ändet ode de Wink zwischen E und nˆ veändelich ist, dann ist es zweckmäßig die Fläche in kleine Flächenemente ΔA einzuteilen Gesamtfluß duch die Fläche duch Aufsummieung übe die Flüsse alle Flächenemente: Φ = E i ΔA i i i Fü die mathematische Fomulieung des Gauß'schen Satzes ist man an dem Fluß duch eine geschlossene Obefläche (n ˆ zeigt dabei nach außen) inteessiet Φ = E da = E da A A n De Gesamtfluß duch eine geschlossene Obefläche kann positiv ode negativ sein, abhängig ob an de Obefläche vowiegend nach außen ode nach innen zeigt. E Univesität Salzbug Seite

14 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 14 Quantitative Dastlung des Gauß'schen Gesetzes Kugobefläche mit eine eingeschlossenen Punktladung. Elektisches Fd de Punktladung steht übeall senkecht auf diese Obefläche 1 q En = aus Gl. (.17) Gesamtfluß Φ = End R A A 1 q q Kugobefläche A Φ = En da= En4πR = 4 π R = A R ε Gesamtfluß Φ ist unabhängig vom Radius R de Kug Übetagung des Egebnisses auf Ssteme mit meheen Ladungen qi mit Hilfe de Tatsache, daß E in igendeinem Punkt an de Obefläche als Vektosumme E = Ei de duch die einznen Punktladungen ezeugten i ektischen Fden E sich egibt Φ = Φ, wobei Φ Flüsse duch die einzne Punktladungen. i i i i Univesität Salzbug Seite

15 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 15 Beispi.5: Beechnung des ektischen Flusses duch die geschlossene Obefläche eines Zlindes und seine inneen Ladung Gegeben E = ( N C ) e fü > und E = ( N C ) e fü <. Zlindische Obefläche, Achse paall zu E, Länge L = cm, Radius R = 5 cm. Koodinatenuspung im Mittpunkt de Zlindeachse = -Achse =± 1 cm. die Enden des Zlindes liegen bei Gesucht: a) de nach außen geichtete Fluß, b) die Gesamtladung innehalb de geschlossenen Obefläche Teil a) Φ ˆ duch die echte Keisfläche: mit n = e Φ,echts = Eechts Aechts = EechtsπR e e = EechtsπR ( ) π ( ) Φ,echts = N C.5 m = 1.57 N m C Φ duch die linke Keisfläche: mit nˆ = e Φ = E A = E πr ( e ) ( e ) = E πr ( ) π ( ),links links links links links Φ,links = N C.5 m = 1.57 N m C Φ duch den Mant: Φ = E A da nˆ e E A = Φ,Mant Mant Mant Mant Mant, Mant Φ =Φ +Φ +Φ = 1.57 N m C N m C + = 3.14 N m C, ges,echts,links,mant 11 =.78 1 C = 7.8 pc, ges, ges q 1 - Teil b) aus Gl. (.19) Φ = q = ε Φ = ( C N m )( 3.14 N m C ) ε q = Univesität Salzbug Seite

16 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 16.3 Beechnung von E mit dem Gauß'schen Gesetz (Calculating E fom Gauss's law) Wenn eine hoch smmetische Ladungsveteilung gegeben ist, dann kann das ektische Fd oft leichte mit Hilfe des Gauß'schen Gesetzes beechnet weden als unte Benutzung des Coulomb'sches Gesetzes. Ebene Smmetie Eine Ladungsveteilung hat ebene Smmetie, wenn die Ladung übe eine unendlich ausgedehnte ebene Fläche gleichmäßig veteilt ist. Aufgund de Smmetie muß E senkecht zu Ladungsebene stehen. Auf de Mantfläche ist E nˆ = Φ, Mant =, duch jede de ebenen Deckflächen ist E A= EA Φ = EA; innen innen, ges da die Gesamtladung innehalb de Obefläche q = σ A ist aus Gauß'sches Gesetz q E n σ = ε = σ A = ε Φ = ε EA n, ges (vegleiche Gl. (.13a) bzw. Gl. (.13b)) n E n n ist positiv (negativ), wenn σ positiv (negativ) ist. Beispi.6: Das ektische Fd zwischen zwei unendlichen planpaallen Ebenen Gegeben sind zwei unendliche Ebenen mit de Obeflächenladungsdichte σ =+ = σ = = nc m in de Ebene bei, und 4.5 nc m bei m, gesucht E bei a) = 1.8 m und bei b) = 5 m: Teil a) Teilfde, die von den Ladungsebenen ezeugt weden σ σ E = E = bei = 1.8 m E = E + E = e 1 1 ε ε bei = 5 m E = E + E = 1 Univesität Salzbug Seite

17 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 17 Kugsmmetische Ladungsveteilungen Ladungsveteilung mit Kugsmmetie in jedem Punkt eine Kugobefläche liegt die gleiche Ladungsveteilung vo aus paktischen Günden Gauß'sche Fläche auch kugsmmetisch Zu Veanschaulichung: Punktladung q E adialsmmetisch nach außen ode nach innen E senkecht zu Gauß'schen Obefläche im Abstand von de Punktladung E ˆ n = E n = E q 1 q Φ = EdA = EdA = E da = E( 4 π ) = E = ε A A A (siehe auch Abschnitt.6) Das ektische Fd eine homogenen gadenen dünnen Kugschale Homogen gadene Kugschale mit Radius R und Gesamtladung q Aufgund de Smmetie E adial Gauß'sche Kugfläche mit Radius > R q 1 q da E nˆ Φ = Ed A = Ed A= E da= E( 4 π ) = E = ε fü > R A A A Fd innehalb de Kugschale wahl eine kugfömigen Gauß'schen Obefläche mit < R ( π ) da q = fü < R Φ = E 4 = q/ ε = Univesität Salzbug Seite

18 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 18 Elektisches Fd E fü die Ladungsveteilung eine Kugschale in Abhängigkeit von Das ektische Fd E ist bei = R unstetig Beispi.7: Elektisches Fd, ezeugt duch eine Punktladung und eine gadene Kugschale - Kugschale mit Radius R = 3 m, Mittpunkt im Koodinatenuspung, und mit Obeflächenladungsdichte σ = 3 nc m. Punktladung mit q = 5 nc auf de -Achse bei = m. Gesucht ektisches Fd auf de -Achse bei a) = m und b) = 4 m. 4 Univesität Salzbug Seite

19 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 19 Teil a) Innehalb de Kugschale wid das ektische Gesamtfd E1 allein duch die Punktladung ezeugt E = e mit = + = m + m = 8 m E = N m C = 81 N C, 9 1 q C 1 ( ) ( ) ( ) m m aus tanθ = = = 1 θ = atan( 1) = 45 E = E e + E e = E cos θ e + E sin θ e , 1, m E1 = ( 81 N C ) cos(-45 ) e+ ( 81 N C ) sin(-45 ) e = ( 199 N C ) e ( 199 N C ) e Teil b) Außehalb de Kugschale ezeugt die Schale ein ektisches Fd Es äquivalent das eine Punktladung 1 q s - im Uspung Es = e mit qs = σ4πr = ( 3 nc m ) 4π ( 3 m) = 339 nc 1 σ4πr nc Es = e ( N m C = ) e = ( 19 N C ) e; ( 4 m) 1 q Fd de Punktladung q: EP = e mit ( ) ( ) = + = 4 m + m = m C EP = ( N m C ) = 11 N C, m m 1 1 aus tan θ = = = θ = a tan( ) = 6. 6 EP = EP, e+ EP, e = EP cos θe+ EP sin θe 4 m EP = ( 11 N C ) cos(-6.6 ) e+ ( 11 N C ) sin(-6.6 ) e = ( 1 N C ) e ( 5.1 N C ) e E = E + E = 19 N C e + 1 N C e 5.1 N C e = 9 N C e 5.1 N C e s P ( ) ( ) ( ) ( ) Beispi.8: Das ektische Fd eine homogenen gadenen Kug mögliches Püfungsbeispi ( ) Univesität Salzbug Seite

20 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite Zlindesmmetische Ladungsveteilung Eine Ladungsveteilung besitzt Zlindesmmetie, wenn auf allen Punkten eine Zlindeobefläche von unendliche Länge die gleiche Ladungsdichte gegeben ist. Beispi.9: Das ektische Fd eine unendlichen langen Linienladung Vewendung des Gauß'schen Gesetzes zu Beechnung des ektischen Fdes eine unendlich langen Linienladung mit homogene Ladungsdichte λ koaiale zlindiche Gauß'sche Obefläche, bestehend aus Gund- und Deckfläche und aus Mantfläche siehe Abbildung, Beücksichtigung de Zlindesmmetie beim Zeichnen von E und nˆ Mantfläche des Gauß'schen Zlindes: Φ, Mant = E A1 Mant = E π RL; Gund- und Deckfläche des Gauß'schen Zlindes: Φ = E A = Φ = E A = da hie nˆ E, Gund Gund, Deck Deck q λl λl da Φ = = Φ =Φ +Φ +Φ = E π RL = E = innen, Mant, Gund, Deck ε ε ε πε siehe auch Gl. (.9) 1 λ R Univesität Salzbug Seite

21 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 1.4 Diskontinuität von E n (Discontinuit of E n ) Fläche mit eine Obeflächenladung σ Das ektische Fd E in einem Punkt nahe de Obefläche setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: E = E + E', d.h aus dem Fd de gadenen Keisscheibe E, und aus einem Fd E' biebig andee disk Fdqulen außehalb de Ladungsfläche. Wenn Scheibe klein genug Scheibe eben und homogen gaden auf de Achse gilt Gl. (.11) σ nahe de Scheibe Edisk =, Achse de Scheibe Nomalkomponente de Fde, ε Betag und Richtung von E' unbekannt, bei P sei E' stetig und homogen Nomalkomponente: E = E + E' n disk, n n σ σ (+)-Seite E = + E' ( )-Seite E = + E' unte de Voaussetzung E' = E' n, + n, n, n, ε + ε disk n, + n, Die Diskontinuität des ektischen Fdes an Spungstlen eine endlichen Ladungsdichte titt nu im zweidimensionalen Fall, also bei Flächenladungsdichten, auf Univesität Salzbug Seite

22 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite.5 Ladung und Fd auf Leiteobeflächen (Chage and fid at conducto sufaces) Eine Gauß'sche Obefläche im Inneen eines Leites im ektostatischen Gleichgewicht Elektische Fd innehalb eines Leites ist übeall null, Gesamtfluß duch die Gauß'sche Obefläche ist ebenfalls null (gilt fü jede Gauß'sche Fläche im Inneen des Leites) Die Ladungsdichte ρ innehalb des Leites ist null. Ein biebig gefomte Leite im ektostatischen Gleichgewicht tägt eine Ladung nu auf seine Obefläche Gauß'sche Obefläche, die den gesamten gadenen Leite einschließt, hat die Ladung q im Inneen Φ, und in jedem Punkt de Leiteobefläche E Flächenement d A σ da auf eine gadenen Obefläche En eine Unstetigkeit besitzt und innehalb des Leites E= ε ektisches Fd unmittba außehalb de Leiteobefläche: E t σ = und En = ε Univesität Salzbug Seite

23 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 3 kleine keisfömige Beeich an de Obefläche des Leites um P Eine positive Punktladung q im Mittpunkt eine leitenden Kugschale endliche Dicke Gesamtladung de Obefläche= Ladung im Beeich um P plus Rest de Ladung auf de Fläche Innehalb de Gauß'schen Obefläche (blau) im Leite Gesamtladung null auf de inneen Obefläche de Kugschale Obeflächenladung - q influenziet da Leite neutal, Ladung + q auf de äußeen Obefläche ezeugt Rest de Ladung ezeugt Gegenfd zu E im Inneen des Leites 1 Univesität Salzbug Seite

24 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 4 Beispi.1: Die Ladung de Ede Elektisches Fd de Ede im Mitt 1 N C, senkecht nach unten Gesucht Gesamtladung de Edobefläche: σ Die Ede ist ein Leite es gilt Gl. (.5) E n =, ε Auf de Edobefläche nˆ zeigt nach außen (oben) und E zeigt nach innen (unten) E ˆ ˆ n = E n = E n cos18 = E = 1 N C q = σa= ε E A = ε E A= ε E 4π = 4 πε E n Ede Ede ( )( )( ) mit Ede = m q = 4π C N m 1 N C m = C Beispi.11: Das ektische Fd auf den Flächen eine leitenden Keisscheibe mögliches Püfungsbeispi Univesität Salzbug Seite

25 Musso: Phsik II T Elektisches Fd II Seite 5.6 Ableitung des Gauß'schen Gesetzes aus dem Coulom'schen Gesetz (Deivation of Gauss's law fom Coulomb's law) Das Gauß'sche Gesetz stlt einen Zusammenhang zwischen de Ladung im Inneen de Gauß'schen Fläche und dem ektischen Vektofluß duch diese Fläche nach außen da. Flächenement d A, dessen Nomale nˆ mit de Vebindungslinie ˆ = / von O zum Mittpunkt des Elements einen Wink θ einschließt. De Raumwink d Ω, de duch dieses Element von danˆ ˆ dacosθ dem Punkt O aufgespannt wid, ist duch d Ω= = definiet. da 1 1 De Raumwink fü die gesamte Kugobefläche ist dω= = da = 4π = 4π Kug Kug Kug Ableitung des Gauß'schen Gesetzes fü eine biebig geschlossene Obefläche A: Eine Punktladung q wid von eine biebig gefomten Obefläche A eingeschlossen ektisches Fd E auf Flächenement da 1 q 1 q q dacosθ q E = ˆ dφ ˆ ˆ = E da = nd A= = dω Integation übed die geschlossene Obefläche q q q Φ = E da = dω = 4 π = ε A A Univesität Salzbug Seite