Gleichstromtechnik. Vorlesung 4: Strom und Stromdichte. Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

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1 Gleichstromtechnik Vorlesung 4: Strom und Stromdichte Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

2 Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern Leiterausschnitt mit dem Kontrollquerschnitt A, in dem Leiter bewegen sich positive und negative Ladungsträger In einem definierten Volumen V des Leitermaterials befinden sich P frei bewegliche positive und frei bewegliche negative Ladungsträger Größen n und n P geben die Ladungsträgerdichte der negativen und positiven Ladungsträger in dem Material an In der Zeit t bewegen sich alle Ladungsträger entlang der Wegstrecke L und überstreichen damit den Volumenabschnitt V - + Geschwindigkeit v n + V V = A L - Querschnittsfläche A - + Geschwindigkeit n P V P vp V = A L P P Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

3 Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern In dem Zeitabschnitt t fließen die positiven Ladungsträger in Richtung des Stromes, die negativen Ladungsträger entgegen der Stromrichtung durch den Querschnitt A Insgesamt fließt durch den Querschnitt damit die Ladungsmenge Q Q Q P e e e n A L e n A L P P P e A n L n L P P Darstellung des Stromes in einen Stromanteil aus positiven und einen Stromanteil aus negativen Ladungsträgern Q e A np LP n L LP L I e A np n t t t t Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 3

4 Ladungstransport in homogenen elektrischen Leitern Darstellung des Stromes in einen Stromanteil aus positiven und einen Stromanteil aus negativen Ladungsträgern, Ausdruck L/ t kann als Geschwindigkeit v interpretiert werden Q e A np LP n L LP L I e A n n e A n v n v t t t t P P P Dabei ist v P die Driftgeschwindigkeit der positiven Ladungsträger und v die der negativen Ladungsträger Bei Halbleitern und Elektrolyten treten beide Arten von Ladungsträgern auf, sodass im allgemeinen n P > 0 und n > 0 anzunehmen ist Für den Fall eines metallischen Leiters, bei dem keine beweglichen positiven Ladungsträger vorhanden sind, gilt diese Gleichung ebenfalls, in diesem Fall ist allerdings n P = 0 und der zweite Ausdruck in der Klammer wird null Besitzt jeder Ladungsträger ein Vielfaches der Elementarladung, wie das zum Beispiel bei Kupferionen Cu ++ der Fall ist, ist der entsprechende Term mit diesem Vielfachen zu multiplizieren Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 4

5 Beispiel: Ladungstransport in Kupfer Kupfer besitzt die Ladungsträgerdichte n = / cm 3 mit jeweils der Ladung e Bei einem Strom von 16 A und einem Drahtquerschnitt von 1,5 mm 2 ergibt sich für die Leitungselektronen eine Geschwindigkeit von v I e n A 3 16 A cm mm 0, ,6 10 A s ,5 mm s Geschwindigkeit der Ladungsträger ist eher gering Geschwindigkeit darf aber nicht mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des elektrischen Stromes verwechselt werden, direkt nach dem Einschalten ist der Strom praktisch sofort im gesamten Stromkreis wirksam Zum Vergleich wird bei Wassermodell im Anhang eine inkompressible Flüssigkeit in einem Rohr betrachtet, bei einem vollständig gefüllten Rohr fließt die Flüssigkeit auch direkt aus dem geöffneten Ventil, die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist damit unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeit Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 5

6 Stromdichte in homogenen Leitern Die Stromdichte J ist definiert als das Verhältnis der Stromstärke I zur Querschnittsfläche A, durch die der Strom hindurchtritt, sie kennzeichnet damit die Belastung eines Leiters durch den Strom I I e A np vp n v J e n v n v A A P P Typischerweise wird die Stromdichte J angegeben mit der Einheit A mm J 2 Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit v der Ladungsträger in einem homogenen stabförmigen Leiter v 1 I 1 J e n A e n v P 1 I 1 J e n A e n p p Geschwindigkeit hängt bei einem bestimmten Material mit der Ladungsträgerdichte n P beziehungsweise n lediglich vom Quotienten I/A beziehungsweise der Stromdichte J ab Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6

7 Stromdichte in homogenen Leitern Bei stabförmigen, homogenen Leitern strömen die Ladungsträger mit einer konstanten Geschwindigkeit durch den Leiter Stromdichte ist direkt proportional zur Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger Geschwindigkeit darf nicht beliebig hoch werden, durch die Bewegung der freien Ladungsträger werden nämlich die Atomrümpfe im Leiter zu thermischen Schwingungen angeregt Bei zu hoher Stromdichte wird der Leiter zu heiß, und er selbst oder die umgebende Isolation kann zerstört werden Zulässige Stromstärke für ein bestimmtes Leitermaterial ist keine Absolutgröße, sondern hängt von zahlreichen Faktoren ab Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 7

8 Stromdichte in homogenen Leitern Maximal zulässige Ströme für Kupfer bei unterschiedlichen Verlegearten und einer Umgebungstemperatur von 30 C Querschnitt A / mm² Maximal zulässiger Strom I MAX / A Verlegung in wärmegedämmter Wand Verlegung im Elektroinstallationsrohr 2 Adern 3 Adern 2 Adern 3 Adern 1,5 15,5 13,0 16,5 15,0 2,5 18,5 17, Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 8

9 Beispiel: Stromdichte bei Hausinstallationen Zahlenbeispiel geht von einem Strom von 16 A aus, das ist der maximale Dauerstrom, der in modernen Haushaltsinstallationen für Kupferleitungen mit einem Leitungsquerschnitt von 2,5 mm 2 fließen darf Es ergibt sich eine Stromdichte von J 16 A A 6,4 2,5 mm mm 2 2 Der Wert von 16 A liegt selbst unter den ungünstigsten Bedingungen unter dem zulässigen Grenzwert von 17,5 A für einen Leiterquerschnitt von 2,5 mm 2 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 9

10 Strommessung Bei Strommessungen muss der zu messende Strom durch das Messgerät fließen, deshalb wird ein Strommessgerät, das auch Amperemeter genannt wird, in den Stromkreis geschaltet Leitung wird aufgetrennt und die beiden Anschlüsse des Messgeräts werden an die durch die Auftrennung entstandenen Leitungsenden angeschlossen werden Erzeuger I A Verbraucher Bei Gleichstrommessungen muss auf die Polarität geachtet werden, zeigt das Messgerät einen positiven Wert an, fließt der Strom in die Richtung des Zählpfeils und von dem (+) zu dem (-) Pol des Amperemeters Messgerät soll den Stromfluss nicht beeinflussen, der sogenannte Innenwiderstand muss möglichst klein sein Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 10

11 Beispiel: Strommessung bei einem Rauchmelder Rauchmelder haben die Aufgabe, vor einer Rauchentwicklung zu warnen Viele Rauchmelder werden mit einer 9 V Blockbatterie versorgt, die in diesem Beispiel eine Ladung von 1200 mah besitzt Stromverbrauch ist mit maximal I S = 25 ma angegeben, mit der ausgewählten Batterie ergibt sich damit nach Datenblatt eine Betriebsdauer von T S C 1200mAh I 25mA S 48h Betrieb eines Rauchmelders sollte mit einer Batterie über einen wesentlich längeren Zeitraum gewährleistet sein Strommessung erforderlich Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 11

12 Beispiel: Strommessung bei einem Rauchmelder Gemessene Stromwert schwankt stark Messung mit einem Oszilloskop zeigt, dass der Ruhestrom typischerweise 3,5 µa beträgt, während der Strom in den aktiven Zeitintervallen kurzzeitig auf bis zu 12 ma ansteigt Im Mittel ergibt sich ein gemessener Strom von ungefähr I M =15 µa ach dieser Messung liegt die Laufzeit der Batterie damit bei T M C 1200mAh 1 d 1Jahr 9,132 Jahre I 15 A 24 h 365d M Versprechen des Herstellers wird weitgehend eingehalten Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 12

13 Zusammenfassung Coulombsche Kraft F = Q E Ladung als Vielfaches der Elementarladung Q n e Elementarladung Ladungsträgerdichte als Quotient der Anzahl von Ladungsträgern pro Volumen Strom Transportierte Ladungsmenge Stromdichte durch Querschnitt eines homogenen Leiters e 19 1,6 10 C n V dq Q I e A np vp n v dt t t 2 1 Q I t dt I t t I t t J I A 2 1 Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 13