WBK Bonn Abendrealschule Mathematik Lernzielkontrolle II

Transkript

1 Aufgabe 1: Basiswissen x² 15x x x 15 x ± x 0 x 65 wurzel a) Lösen Sie folgende quadratische Gleichung: x² -15x 100 x²-15x b) Der Durchmesser eines Kreises beträgt 7 cm. Wie lang ist sein Radius? r d d/ r r 3,5 cm c) Die links abgebildete Figur zeigt ein Glücksrad. Welche Winkelgrößen passen zu Gewinnwahrscheinlichkeiten? den 5% von , d) Geben Sie einen Bruch an, der zwischen und liegt. Zeigen Sie durch eine 3 4 Rechnung, dass Ihr Bruch wirklich dazwischen liegt. Falsches Addieren führt zum Bruch: 7 Hauptnenner von 3,4 und 7: W. Dutkowski, 1/015

2 > 4 84 > 1 84 W. Dutkowski, 1/015

3 e) f) Der Fernsehturm in Dortmund hat eine Höhe von 0 Metern. Sie nehmen zunächst einen 1- -Münze. In jedem weiteren Schritt verdoppeln Sie die Münzanzahl. Wie viele Münzen benötigen Sie, um die Höhe des Turms theoretisch zu erreichen? Schätzen: Münzdicke mm, max. 3 mm 0m 0000 mm Kein Logarithmus nötig, weil nicht das n (Schrittanzahl) erfragt wurde. (Formulierungsfehler von mir! ;-) ) Einfache Dreisatz: 1 Münze entspricht z.b.,5 mm, dann entsprechen 0000 mm x Münzen. 0000mm /,5 mm / Münze Münzen W. Dutkowski, 1/015

4 Aufgabe : Funktionen a) Im 18. Jahrhundert war die Naturwissenschaft auf dem Höhepunkt ihres Schaffens. Insbesondere die Temperaturmessung war interessant. Es gab mehrere Ansätze für eine Temperaturmessskala, unter anderem die Fahrenheit-Skala. Somit konnte man Temperaturen nicht nur in Grad Celsius (1 C) messen, sondern auch in Grad Fahrenheit (1 F). - Wenn 0 C 3 F sind und 0 C 68 F, wie viel F sind dann -1 C? Finden Sie eine Funktion, die eine Umrechnung von C in F beschreibt und zeichnen Sie diese. Punktsteigungsformel (Steigungsdreieck) y y y x x Steigung. Da die Fahrenheitgröße gesucht ist Fahrenheit von Celsius abhängig. Die Funktion lautet: f(x) 9/5x + 3 f(-1) -1 * 9/5+3 10,4. Somit entsprechen -1 C 10,4 F! W. Dutkowski, 1/015

5 b) Jenny spielt mit ihren Freunden Ball. Unglücklicherweise ist der Ball im Nachbargarten gelandet. Jenny steigt über den Zaun, findet den Ball und wirft ihn über die Garage. Jenny soll im Ursprung eines Koordinatensystems stehen. Wenn Sie von dort wirft, gehorcht die Flugbahn des Balls der Funktion: 1 5 f ( x) : x + x + 1, In dieser Funktion bedeutet x den Abstand von Jenny vor der Garage in Metern. a. Fertigen Sie eine Skizze der Flugbahn des Balls an x² + x x² 10x 4 b. Wie weit muss Jenny mindestens von der Garagenwand entfernt stehen, damit der Ball die andere Seite erreicht? Wie weit darf sie höchstens entfernt stehen? 1 Maße der Garage: Breite: 3 m 0 * x1, ± 4 W. Dutkowski, 1/015 x x 0 pq Formel Höhe:,50 m Es geht um eine x² + x x² 10x 4 ( x 5) ( x 5) x 5 x x ², ± wurzel 4

6 Nullstellenberechnung. Die Nullstellen geben die Auftreffpunkte des Balls an. Um zu sehen, wann der Ball über die Garage fliegt, muss man den Funktionswert an der Garagenhöhe berechnen, also f(x),5 Somit muss Jenny mindestens zwei Meter von der Garage entfernt stehen, damit der Ball nicht an die Garage kommt. W. Dutkowski, 1/015

7 Aufgabe 3: Stochastik a) Glücksrad mit 1 Feldern soll so gefärbt werden, dass eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 5% erzielt wird. Wie viele Felder müssen gefärbt werden? Begründen Sie Ihr Ergebnis durch eine Rechnung. 1 5 % 1/4 3 Felder müssen 4 gefärbt werden. Welche anderen Gewinnwahrscheinlichkeiten sind durch Färbung möglich? 8,3 % 1 Feld. Dementsprechend alle Vielfachen von 8,33333 %. Kann man eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 7% durch Färbung erreichen? Begründen Sie Ihre Entscheidung. Nein, denn 7% von 1 Feldern sind kein ganzes Feld. Man müsste eine entsprechende Feldanzahl finden, z.b. 100 Felder und dann 7 färben. b) Folgendes Gummibärchenspiel ist möglich: Zwei Spieler würfeln mit einem Würfel. Die Augenzahl ergibt die Anzahl der abzugebenden Gummibärchen. Würfelt A die Augenzahlen 1 4, muss ihm Spieler B die entsprechende Anzahl von Bärchen geben. B dagegen bekommt die entsprechende Anzahl von Bärchen bei einer Fünf oder Sechs. Ist das Spiel fair? Wählen Sie eine geeignete Darstellung ,5 Gummibärchen 5,5 Gummibärchen p(1;;3;6) /3 p(5;6) 1/3 Gewinnerwartung: 5/*/3 10/6 Gewinnerwartung: 55/10*1/3 55/30 11/6 Somit lässt sich das Spiel als gerade noch fair bzw. etwas unfair interpretieren, weil die Gewinnerwartung annähernd gleich hoch ist. W. Dutkowski, 1/015

8 Aufgabe 4: Exponentialfunktion In einer Nährlösung wurde eine Bakterienart vermehrt. Der Laborant Fitz zählte zu Beginn 5800 Bakterien, nach 3 Stunden betrug sie bereits a) Stellen Sie eine Funktionsgleichung auf, die die Anzahl an Bakterien zu einem Zeitpunkt t beschreibt (1+x) *(1 + x) : (1 + x)³ 3. Wurzel x 1 0,56 x A(t) : 5800(1+0,56) t b) Geben Sie an, wie viele Bakterien nach 5 Stunden vorhanden waren. A(5) 5800*(1,56) , W. Dutkowski, 1/015

9 t 1,56 umschreiben t ln(1,56) e log arithmieren 9 58 ln t ln(1,56) : ln(1,56) 9 58 ln 9 t ln(1,56) t 3, (1,56) t : 5800 c) Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis sich die Population verdoppelt hat. Verdoppeln: * gesucht t für A ,08 Stunden 88 Sekunden 4 Minuten 48 Sekunden (4 48 ) d) Das Experiment wurde morgens um 7.30 Uhr gestartet. Es soll abgebrochen werden, wenn die Anzahl an Bakterien beträgt. Laborant Fitz befürchtet, dass er dafür Überstunden machen muss. Hat er Recht? Es gibt hier zwei Möglichkeiten: 1. Ausrechnen, wann Bakterien erreicht sind!. Ausrechnen, wie viel Bakterien nach 8 Stunden vorhanden sind! (Das die reguläre tägliche Arbeitszeit 8 Stunden beträgt ist Allgemeinwissen!) Wahl : A(8) 5800(1,56) , Somit Muss Fitz 500 überstunden machen. Es ist ln 58 nicht gefragt, wievile 9,56... ln(1,56) Überstunden. Dafür muss man Weg 1 wählen. 0,6 Stunden sind etwa 36 Minuten ca. 1,5 W. Dutkowski, 1/015

10 Überstunden. Bildnachweis: W. Dutkowski, 1/015