Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010

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1 Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion April 2010

2 Kapitel 7. Integralrechnung in mehreren Veränderlichen (Fortsetzung)

3 Kurvenintegral über geschlossene Kurven Abschließend sei noch ein wichtiger Zusammenhang zum Integral über geschlossene Kurven aufgezeigt: Definition 71. Wir nennen eine Kurve C mit der Parametrisierung p(t), (t [a, b]) geschlossen, wenn ihr Start- und Endpunkt zusammenfallen, wenn also gilt. p(a) = p(b)

4 Kurvenintegral über geschlossene Kurven Satz 52. Die Aussage Das Kurvenintegral ist wegunabhängig. ist dann gleichwertig zur Aussage Das Kurvenintegral über jede geschlossene Kurve C hat den Wert 0.

5 Kurvenintegral über geschlossene Kurven Beweis. Haben wir es mit zwei Kurven C 1 und C 2 zu tun, so ist die Kurve C 2 C 1 geschlossen. Zur Äquivalenz der Aussagen

6 Kurvenintegral über geschlossene Kurven Ist das Wegintegral über jede geschlossene Kurve gleich null, so auch über diese Kurve C 2 C 1, also 0 = C 2 C 1 = C 1 + C 2 = C 1 C 2, woraus sich =, C 1 C 2 also die Wegunabhängigkeit ergibt.

7 Kurvenintegral über geschlossene Kurven Ist umgekehrt das Wegintegral wegunabhängig, so gilt für eine geschlossene Kurve C, die sich in C 1 und C 2 aufspalten und als C = C 2 C 1 schreiben lässt, C = C 2 C 1 = C 2 + C 1 = C 1 C 2 Wegunabh. = 0.

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9 Gegeben sei eine Gasportion vom Volumen V mit gegebener Temperatur T. Erhöht man die Temperatur der Gasportion um einen Betrag dt und lässt das Volumen konstant, so ändert sich die des Gases um einen Betrag Q(T, V ) = C ν dt mit einer Konstanten C ν, die lediglich von der Stoffmenge ν der Gasportion abhängt.

10 Andererseits Q(T, V ) = RT V dv, wenn er das Volumen des Gases isotherm, d.h. bei konstanter Temperatur T, um dv erhöht. (R ist die allgemeine Gaskonstante).

11 Zusammengenommen haben also gleichzeitige Änderungen dv und dt in Volumen und Temperatur eine Änderungen der um zur Folge. Q(T, V ) = C }{{} ν dt + RT dv }{{} V =:f (T,V ) =:g(t,v )

12 Frage: Gibt es eine differenzierbare Funktion Q(T, V ), die einer Gasportion vom Volumen V und Temperatur T ihre Q zuordnet? Wäre dies so, so müsste es sich bei dem Differential Q(T, V ) = um ein totales Differential handeln. C }{{} ν dt + RT dv }{{} V =:f (T,V ) =:g(t,v )

13 Jedoch stellen wir fest, dass wegen f V (T, V ) = 0, g T (T, V ) = R V 0 kein totales Differential vorliegt und es demzufolge auch keine solche Wärmefunktion Q(T, V ) geben kann. Wenn wir Volumen V und Temperatur T des Gases entlang einer Kurve C ändern, ist das Kurvenintegral Q = C ν dt + RT V dv in diesem Fall wegabhängig. C C

14 Im Allgemeinen macht es dabei also wohl einen Unterschied, ob wir ausgehend von T 1 und V 1 das Gas zuerst isotherm auf V 2 ausdehnen und dann bei konstantem Volumen V 2 auf T 2 erwärmen, oder ob wir umgekehrt das Gas bei konstantem Volumen V 1 auf T 2 erwärmen und dann das Volumen auf V 2 vergrößern.

15 Temperatur/Volumen Änderung mit unterschiedlicher Wärmeänderung Die Wärmeänderung C Q auf diesen beiden Wegen ist in aller Regel verschieden.

16 Die S eines idealen Gases vom Volumen V bei einer Temperatur T ändert sich bei konstantem Volumen um S(T, V ) = C ν T dt, wenn wir die Temperatur des Gases um eine kleinen Betrag dt ändern.

17 Lassen wir hingegen die Temperatur konstant und vergrößern das Volumen des Gases um dv, so zieht dies eine änderung um nach sich. S(T, V ) = R V dv. (C ν und R sind wieder Konstanten).

18 Insgesamt haben wir S(T, V ) = C ν dt + R dv (7.7.1) }{{} T }{{} V =:f 1 (T,V ) =:f 2 (T,V ) Frage: Gibt es eine von T und V abhängige funktion S(T, V ), so dass es sich bei (7.7.1) um deren totales Differential in (T, V ) handelt?

19 Die Existenz einer solchen Funktion S(T, V ) ist im Gegensatz zur nichtexistenten Wärmefunktion gesichert: Denn wegen C ν V T = 0 = R T V liegt hier tatsächlich ein totales Differential vor.

20 Die Ausdrucke f 1 (T, V ) := C ν T, f 2(T, V ) := R V können dabei als Funktionen auf dem Rechteck { } D = (T, V ) R 2 : 0 < T <, 0 < V < aufgefasst werden.

21 Es ist dann S(T, V ) = = T 1 T 1 V f 1 (t, 1)dt + C V ν dt + t 1 1 f 2 (T, t)dt R t dt = C ν ln T + R ln V eine Stammfunktion S(T, V ) gegeben, welche die einer Gasportion vom Volumen V mit der Temperatur T angibt.

22 Wir können dann die änderung berechnen, wenn wir die Temperatur T und das Volumen V des Gases auf beliebige Weise, d.h. entlang einer beliebigen Kurve C von ändern. (T 1, V 1 ) auf (T 2, V 2 ) Es ist C ν T dt + R V dv = S(T 2, V 2 ) S(T 1, V 1 ) = C ν ln T 2 + R ln V 2. T 1 V 1 C