Mathematik Online Kurs. Vektoranalysis.

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1 Mathematik Online Kurs Vektoranalysis

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3 Mathematik Online Kurs Vektoranalysis tand: 2. Februar 24 Konzipiert von K. Höllig unter Mitwirkung von A. App, J. Hörner und A. Much c 24 Mathematik-Online Diese Veröffentlichung ist urheberrechtlich geschützt. Weder Mathematik-Online noch einer der Autoren übernehmen Haftung für die Aktualität, Korrektheit, Vollständigkeit oder Qualität dieser Veröffentlichung. Haftungsansprüche, welche sich auf chäden materieller oder ideeller Art beziehen, die durch die Nutzung oder Nichtnutzung der dargebotenen Informationen bzw. durch die Nutzung fehlerhafter und unvollständiger Informationen verursacht wurden, sind grundsätzlich ausgeschlossen.

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5 5 Vorwort Diese Broschüre wurde im Rahmen des Projektes Mathematik Online begleitend zu dem entsprechenden Kursmodul erstellt. ie richtet sich an tudenten der Ingenieur- und Naturwissenschaften und ist insbesondere zum elbststudium und zur Prüfungsvorbereitung geeignet. An der Entwicklung des Kurses haben eine Reihe meiner Mitarbeiter und tudenten mitgewirkt. Ich danke insbesondere J. Hörner für die technische Leitung sowie A. App, J. Hörner, und A. Much für die Ausarbeitung der mathematischen Grundlagen. Die gemeinsame Arbeit an dem Projekt hat mir viel Freude bereitet, und ich wünsche den Lesern viel paß mit Mathematik Online und Erfolg in ihrem tudium. tuttgart, im November 23 Klaus Höllig

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7 Inhaltsverzeichnis Differentiation. kalar- und Vektorfelder kalarfeld Vektorfunktion Vektorfeld Visualisierung von Vektorfeldern mit MATLAB Vektorfelder in Polarkoordinaten Quellen und Wirbel Vektorfelder in Zylinderkoordinaten Umrechnung zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten Vektorfelder in Kugelkoordinaten Umrechnung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten Differentialoperatoren Gradient eines kalarfeldes Gradient eines Vektorfeldes Divergenz Rotation Laplace-Operator Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung Aufgaben Interaktive Aufgaben Koordinatentransformation Transformation von Differentialoperatoren Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten Axialsymmetrische kalarfelder und Vektorfelder Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten Radialsymmetrische kalarfelder und Vektorfelder Aufgaben Integration 3 2. Kurvenintegrale Kurvenintegral für kalarfelder Weg Arbeitsintegral Geradliniger Weg pulenwindung Vektorielles Kurvenintegral Aufgaben Interaktive Aufgaben

8 8 INHALTVERZEICHNI 2.2 Flächenintegrale Flächenintegral für kalarfelder Flussintegral Fluss durch einen Funktionsgraph Fluss eines konstanten Vektorfeldes durch eine Ebene Fluss durch einen Zylindermantel Fluss durch Rotationsfläche Fluss durch eine phäre enkrechte tömung durch Halbkugelschale Fluss eines axialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche Vektorielles Fächenintegral Aufgaben Interaktive Aufgaben Gauß sche Integralsätze Orientierter Rand eines ebenen Bereichs Gauß scher Integralsatz Integralsatz von Gauß bei einem radialen Feld Volumenberechnung mit Hilfe des atzes von Gauß Varianten des Gauß schen Integralsatzes Koordinatenfreie Definition der Divergenz Quellenfreie Felder Koordinatenfreie Definition des Gradienten Elektrostatisches Feld Gauß scher Integralsatz in der Ebene Flächenberechnung mit dem Gauß schen Integralsatz Aufgaben Interaktive Aufgaben Green sche Integralsätze Erster Green scher Integralsatz Zweiter Green scher Integralsatz Aufgaben Interaktive Aufgaben Integralsatz von tokes atz von tokes in der Ebene inguläres wirbelfreies Feld atz von tokes Kreisförmige trömung Koordinatenfreie Definition der Rotation Variante des Integralsatzes von tokes Wirbelfreie Felder Aufgaben Interaktive Aufgaben Potentialtheorie 7 3. kalares Potential Potential eines Gradientenfeldes Potential eines radialen Feldes Existenz eines Potentials Integrabilitätsbedingung

9 INHALTVERZEICHNI Konstruktion eines Potentials Hakenintegral Aufgaben Interaktive Aufgaben Vektorpotential Vektorpotential Existenz eines Vektorpotentials Konstruktion eines Vektorpotentials Vektorpotential eines zweidimensionalen Feldes Aufgaben Hauptsatz Poisson-Gleichung im Raum Hauptsatz der Vektoranalysis

10 INHALTVERZEICHNI

11 Kapitel Differentiation. kalar- und Vektorfelder.. kalarfeld Ein kalarfeld P U(P ordnet jedem Punkt P des Definitionsbereiches D eine reelle Zahl U zu. Alternative chreibweisen sind U = U(x, y, z = U( r, wobei (x, y, z die Koordinaten und r der Ortsvektor von P sind. Zur Visualisierung können die Niveaumengen U(x, y, z = const verwendet werden, und für ebene kalarfelder auch der Graph z = U(x, y, (x, y D Die linke Abbildung zeigt den Graphen der Funktion z = U(x, y = sin r r, r = x 2 + y 2.

12 2 KAPITEL. DIFFERENTIATION In der rechten Abbildung ist die Funktion U(x, y, z = x exp( (x 2 + y 2 + z 2 durch farbliche Kennzeichnung ihrer Werte auf den Ebenen x = 5, x = 5, x = 2, y = 2, z = und z = dargestellt. Beispiel: >> [X,Y]=meshgrid(-2:.:2,-:.:; >> Z=X.*exp(-X.^2-Y.^2; >> mesh(x,y,z; >> surf(x,y,z;

13 .. KALAR- UND VEKTORFELDER 3 Beispiel: >> [X,Y,Z]=meshgrid(-:.5:; >> V=sqrt(X.^2+Y.^2+Z.^2; >> slice(x,y,z,v,,, >> colormap(hsv >> V(V>=NaN; >> colormap(jet; >> contourslice(x,y,z,v,,,[] >> view( Vektorfunktion Eine Vektorfunktion t a(t = a x (t e x + a y (t e y + a z (t e z ordnet einer skalaren Variablen t einen Vektor a(t zu. Die Komponenten in kartesischen Koordinaten werden mit a x, a y, a z bezeichnet.

14 4 KAPITEL. DIFFERENTIATION..3 Vektorfeld Ein Vektorfeld P F (P ordnet einem Punkt P des Definitionsbereichs D einen Vektor F zu. Alternative chreibweisen sind F = F (x, y, z = F ( r, wobei (x, y, z die Koordinaten und r der Ortsvektor von P sind. Die Komponenten von F bezüglich eines kartesichen Koordinatensystems werden mit (F x, F y, F z bezeichnet: F = F x e x + F y e y + F z e z. Zur Visualisierung können Richtungsfelder oder Feldlinien verwendet werden. Bei einem Richtungsfeld werden die Vektoren F (P mit dem Punkt P in Form von Pfeilen P P + F assoziiert. Feldlinien sind Kurven, die in jedem Punkt tangential zu dem Richtungsfeld sind...4 Visualisierung von Vektorfeldern mit MATLAB Mit dem folgenden Programm kann das Vektorfeld, das der Ableitung der Funktion entspricht, visualisiert werden: f(x, y = exp( x 2 y 2 % X- und Y-Intervalle angeben IX = linspace(-2,2,4; IY = linspace(-,,2; % Definitionbereich in ein Netz unterteilen [X,Y] = meshgrid(ix,iy;

15 .. KALAR- UND VEKTORFELDER 5 % Funktion an den tellen auswerten F = X.* exp(-x.^2 - Y.^2; % Vektorfeld der Ableitung berechnen [DX,DY] = gradient(f,.2,.2; % und ausgeben quiver(x,y,dx,dy; Erzeugte Grafik: Vektorfelder in Polarkoordinaten Bezüglich der auf den Punkt (x, y = (r cos ϕ, r sin ϕ bezogenen orthonormalen Basis besitzt das Vektorfeld die Darstellung e r = ( cos ϕ sin ϕ, e ϕ = F (x, y = F x e x + F y e y F r e r + F ϕ e ϕ ( sin ϕ cos ϕ mit F r = F e r, F ϕ = F e ϕ.

16 6 KAPITEL. DIFFERENTIATION y e ϕ e r Pfrag replacements e r e ϕ r ϕ ϕ r x..6 Quellen und Wirbel Das Vektorfeld einer typischen Quelle hat die Form F (r, ϕ = f(r e r, wobei die Funktion f die tärke des Feldes im Abstand r vom Ursprung beschreibt. Für das abgebildete Beispiel ist f(r = /r, d.h. F (r, ϕ = cos ϕ r sin ϕ r = x x 2 +y 2 y x 2 +y 2.

17 .. KALAR- UND VEKTORFELDER 7 Entsprechend hat das Vektorfeld eines typischen Wirbels die Form F (r, ϕ = f(r e ϕ. Für das abgebildete Beispiel ist F (r, ϕ = ( r sin ϕ r cos ϕ = ( y x...7 Vektorfelder in Zylinderkoordinaten Bezüglich der auf den Punkt (x, y, z = (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, z bezogenen orthonormalen Basis e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ, e z = besitzt das Vektorfeld F (x, y, z = F x e x + F y e y + F z e z die Darstellung F (ϱ, ϕ, z = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z mit F ϱ = F e ϱ, F ϕ = F e ϕ.

18 Pfrag 8 replacements KAPITEL. DIFFERENTIATION e z z-achse e z e ϱ Q P e ϕ e ϕ O ϕ ϱ z e ϱ x-achse y-achse..8 Umrechnung zwischen kartesischen und Zylinderkoordinaten Das Vektorfeld F (x, y, z = x yz y + xz z besitzt in Zylinderkoordinaten die Darstellung ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ z F (ϱ, ϕ, z = ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ z = ϱ e ϱ + ϱz e ϕ + z e z. z Dies ist unmittelbar aus der Definition der Basisvektoren ersichtlich. Verwendet man die allgemeine Formel, so folgt ebenfalls ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ z cos ϕ F ϱ = ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ z sin ϕ = ϱ, z sowie F ϕ = F e ϕ = ϱz. Die z-komponente bleibt unverändert. Das Vektorfeld ϱ e ϱ + e ϕ + e z besitzt in kartesischen Koordinaten die Darstellung ϱ cos ϕ sin ϕ x y x ϱ sin ϕ + cos ϕ 2 +y 2 x = y + x 2 +y 2 die man durch Einsetzen der Koordinaten der Basisvektoren gewinnt...9 Vektorfelder in Kugelkoordinaten Bezüglich der auf den Punkt (x, y, z = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ bezogenen orthonormalen Basis cos ϕ sin ϑ e r = sin ϕ sin ϑ, e ϑ = cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϕ cos ϑ sin ϑ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ

19 .. KALAR- UND VEKTORFELDER 9 besitzt das Vektorfeld F (x, y, z = F x e x + F y e y + F z e z die Darstellung F (r, ϑ, ϕ = F r e r + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ mit F r = F e r, F ϑ = F e ϑ, F ϕ = F e ϕ. z-achse e r Pfrag replacements Q e r e ϕ e ϑ eϕ ϑ r P ϕ e ϑ x-achse y-achse.. Umrechnung zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten Das Vektorfeld F (x, y, z = x yz y + xz z besitzt in Kugelkoordinaten die Darstellung: F (r, ϑ, ϕ = r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ r cos ϑ r sin ϕ sin ϑ + r cos ϕ sin ϑ r cos ϑ r cos ϑ = r e r + r 2 cos ϑ sin ϑ e ϕ. Dies ist unmittelbar aus der Definition der Basisvektoren ersichtlich. Das Vektorfeld r e ϑ + e ϕ besitzt in kartesischen Koordinaten die Darstellung r cos ϕ cos ϑ sin ϕ r sin ϕ cos ϑ + cos ϕ r sin ϑ = x2 + y 2 zx y zy + x (x 2 + y 2 die man durch Einsetzen der Koordinaten der Basisvektoren gewinnt.,

20 2 KAPITEL. DIFFERENTIATION.2 Differentialoperatoren.2. Gradient eines kalarfeldes Der Gradient eines kalarfeldes U(x, y, z wird durch x U grad U = y U z U definiert. Er ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und gibt die Richtung des stärksten Anstiegs des kalarfeldes an. Beweis: Der Gradient stimmt bis auf Transposition mit der Jacobi-Matrix überein: grad U = (J U t. Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation ξ x η = Q y, V (ξ, η, ζ = U(x, y, z ζ z folgt somit aus der Kettenregel (J V Q = J U grad V = Q grad U, was mit der der Transformationsformel für Vektoren übereinstimmt..2.2 Gradient eines Vektorfeldes Der Vektorgradient eines Feldes F (x, y, z ist die Jacobi-Matrix der Abbildung r F ( r: x F x y F x z F x grad F = x F y y F y z F y, x F z y F z z F z d. h. die Zeilen von grad F entsprechen den Gradienten der Feld-Komponenten F x, F y, F z..2.3 Divergenz Die Divergenz eines Vektorfeldes wird durch F (x, y, z = F x e x + F y e y + F z e z. div F = x F x + y F y + z F z definiert. ie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Quelldichte des Vektorfeldes.

21 .2. DIFFERENTIALOPERATOREN 2 Beweis: Die Divergenz läßt sich auch als pur der Jacobi-Matrix der Abbildung r F ( r schreiben: div F = pur J F. Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation ξ x η = Q y, G(ξ, η, ζ = F (x, y, z ζ z folgt somit aus der Kettenregel (J GQ = Q(J F. Die Jacobi-Matrizen gehen also durch eine Ähnlichkeitstransformation auseinander hervor. Die pur als umme der Eigenwerte bleibt damit invariant. Beispiel: Zur Illustration wird die Divergenz zweier typischer Felder berechnet. Für das zentrale Kraftfeld x F (x, y, z = y = r e r, z ist Für eine wirbelförmige trömung div F (x, y, z = + + = 3. F (x, y, z = y x = ϱ e ϕ ist div F (x, y, z =..2.4 Rotation Die Rotation eines Vektorfeldes wird durch F (x, y, z = F x e x + F y e y + F z e z. rot F = y F z z F y z F x x F z x F y y F x definiert. ie ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen und entspricht physikalisch der Wirbeldichte des Vektorfeldes. Benutzt man die Indexschreibweise 3 F = F i e i, i=

22 22 KAPITEL. DIFFERENTIATION so läßt sich die Rotation mit Hilfe des ε-tensors in der Form ( rot F = i 3 ε i,j,k j F k schreiben. Diese Definition ist unter anderem bei der Manipulation von ummen vorteilhaft. Für ebene Vektorfelder F (x, y setzt man j,k= rot F = x F y y F x was man leicht nachvollziehen kann, wenn man eine zusätzliche dritte Komponente F z = einführt und die Rotation in R 3 wie oben berechnet. Beweis: Die Rotation läßt sich auch mit Hilfe der Jacobi-Matrix der Abbildung r F ( r ausdrücken. Für einen beliebigen Vektor a gilt (rot F a = (J F (J F t a, wie man unmittelbar nachrechnen kann. Bei einer orthogonalen Koordinatentransformation ξ x η = Q y, G(ξ, η, ζ = F (x, y, z ζ z mit det Q = folgt aus der Kettenregel (J GQ = Q(J F und somit (rot F a = (J F (J F ( t a = Q t (J G (J G t Q a = Q t ((rot G (Q a = (Q t rot G a. Die Rotation transformiert sich also in der gleichen Weise wie das Vektorfeld, rot G = Q rot F, hängt also nicht von der Wahl der Koordinaten ab. Beispiel: Zur Illustration wird die Rotation zweier typischer Felder berechnet. Für das zentrale Kraftfeld x F (x, y, z = y = r e r, z ist rot F =.

23 .2. DIFFERENTIALOPERATOREN 23 Für eine wirbelförmige trömung F (x, y, z = y x = ϱ e ϕ ist rot F = + = Laplace-Operator Für ein kalarfeld U bezeichnet U = div(grad U = 2 U x + 2 U 2 y + 2 U 2 z 2 den Laplace-Operator. Wie Divergenz und Gradient ist invariant unter orthogonalen Koordinatentransformationen..2.6 Rechenregeln für Differentialoperatoren erster Ordnung Im folgenden seien F, G räumliche Vektorfelder und U, V räumliche kalarfelder. Für die Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt rot(grad U = div(rot F = rot(rot F = grad(div F F, dabei ist der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren, d. h. F = F x e x + F y e y + F z e z. Für die Differentiation von Produkten gilt grad(uv = U grad V + V grad U grad( F G = (grad F t G + (grad G t F div(uf = U div F + F grad U div( F G = G rot F F rot G

24 24 KAPITEL. DIFFERENTIATION 8. rot(u F = U rot F F grad U. Die Gleichungen, 4, 5, 6 und 8 gelten auch für ebene Felder, wenn man die Definitionen ( Fx rot F y = x F y y F x, a b = a x b y a y b x verwendet. Beweis: Der Beweis erfolgt durch einfaches Nachrechnen. Exemplarisch werden nur einige der Identitäten betrachtet. 5. Der Gradient von F x G x + F y G y + F z G z ist die umme der Gradienten der einzelnen ummanden. Mit der Formel 4 erhält man beispielsweise grad (F x G x = F x grad G x + G x grad F x. Addiert man die entsprechenden Ausdrücke für die y- und z-komponente und berücksichtigt, dass ( grad H t = (grad Hx, grad H y, grad H z so folgt die behauptete Identität. 6. div(u F = x (UF x + y (UF y + z (UF z = U x F x + U y F y + U z F z + F x x U + F y y U + F z z U = U div F + F t grad U. 8. Die x-komponente von rot(u F ist y (UF z z (UF y = ( y UF z ( z UF y + U y F z U z F y, was der x-komponente von U rot F + (grad U F entspricht. Durch zyklische Vertauschung der Variablen folgt die behauptete Identität.

25 .2. DIFFERENTIALOPERATOREN 25 Beispiel:. Für ist Alternativ ist rot(uf = rot U = z, F = yz xz z = y x x y z + z rot(uf = U rot F F grad U = z rot = z + y x y x = = 2z x y 2z y x. grad z x y. 2. Für ist Alternativ ist F = rot(rot F = rot x 2 z y 2 x z 2 y z 2 x 2 y 2 = 2y 2z 2x grad(div F F = grad(2xz + 2yx + 2zy = 2z + 2y 2x + 2z 2y + 2x 2z 2x 2y. x 2 z y 2 x z 2 y = 2y 2z 2x..2.7 Aufgaben Aufgabe.2.: Berechnen ie die Rotation und Divergenz der Vektorfelder F = r α r und G = r α c r für α R, c R 3 und r = r..2.8 Interaktive Aufgaben Interaktive Aufgabe.2.:

26 26 KAPITEL. DIFFERENTIATION Berechnen ie für die Ausdrücke Lösung: ϕ = y z, f = div(ϕf, rot(ϕf, rot(grad ϕ, div(grad ϕ. div(ϕf = keine Angabe,,, 2 y z 3 xy z 2, rot(ϕf = keine Angabe,,, 2 y z 3 xy z 2, rot(grad ϕ = keine Angabe,,, 2 y z 3 xy z 2, div(grad ϕ = keine Angabe,,, 2 y z 3 xy z 2, x,,,, x/z y/z, x/z y/z, x/z y/z, x/z y/z,.3 Koordinatentransformation.3. Transformation von Differentialoperatoren Für eine lokal orthogonale Koordinatentransformation (x, y, z (ξ, η, ζ mit den orthonormalen Basisvektoren e ξ = ξ x ξ y, e η = η x η y, e ζ = ζ x ζ y α β γ ξ z η z ζ z transformieren sich die elementaren Differentialoperatoren für räumliche kalarfelder U(x, y, z = Ψ(ξ, η, ζ und Vektorfelder F (x, y, z = F x e x + F y e y + F z e z = Ψ ξ e ξ + Ψ η e η + Ψ ζ e ζ = Ψ(ξ, η, ζ gemäß grad U = α ξψ e ξ + β ηψ e η + γ ζψ e ζ, div F = αβγ ( ξ(βγψ ξ + η (γαψ η + ζ (αβψ ζ rot F = βγ ( η(γψ ζ ζ (βψ η e ξ + γα ( ζ(αψ ξ ξ (γψ ζ e η + αβ ( ξ(γψ η η (αψ ξ e ζ. Insbesondere folgt, daß für α = β = γ = alle elementaren Differentialoperatoren unverändert bleiben. Für den Laplace-Operator erhält man U = αβγ ( ξ ( βγ α ξψ ( ( γα αβ + η β ηψ + ζ γ ζψ.

27 .3. KOORDINATENTRANFORMATION Differentialoperatoren in Zylinderkoordinaten Für Zylinderkoordinaten x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, z = z gilt für räumliche kalarfelder U(x, y, z = Ψ(ϱ, ϕ, z und Vektorfelder F x e x + F y e y + F z e z = Ψ ϱ e ϱ + Ψ ϕ e ϕ + Ψ z e z für die Differentialoperatoren grad U = ϱ Ψ e ϱ + ϱ ϕψ e ϕ + z Ψ e z U = ϱ ϱ(ϱ ϱ Ψ + ϱ 2 2 ϕψ + 2 zψ div F = ϱ ϱ(ϱψ ϱ + ϱ ϕψ ϕ + z Ψ z ( rot F = ϱ ϕψ z z Ψ ϕ e ϱ + ( z Ψ ϱ ϱ Ψ z e ϕ + ϱ ( ϱ(ϱψ ϕ ϕ Ψ ϱ e z. Beweis: Die Formeln folgen unmittelbar durch pezialisierung der allgemeinen Transformationsregeln. Es gilt ϱ x cos ϕ ϱ y = sin ϕ, ϱ z d. h. α =, β = ϱ, γ =. omit ist beispielsweise e ϱ = α e ϕ = β e z = γ ϕ x ϕ y ϕ z z x z y z z = ϱ = ϱ sin ϕ ϱ cos ϕ grad U = α ϱψ e ϱ + β ϕψ e ϕ + γ zψ e z = ϱ Ψ e ϱ + ϱ ϕψ e ϕ + z Ψ e z.,,.3.3 Axialsymmetrische kalarfelder und Vektorfelder ( Für das axialsymmetrische kalarfeld U(x, y, z = ψ x2 + y 2 = ψ(ϱ ist grad U = ψ e ϱ und U = ψ + ϱ ψ.

28 28 KAPITEL. DIFFERENTIATION peziell erhält man für U(x, y, z = ϱ s grad U = sϱ s e ϱ = s(x 2 + y 2 s/2 x y und U = s 2 ϱ s 2. Die Divergenz des quellenförmigen Feldes F (x, y, z = ψ(ϱ e ϱ ist div F = ψ + ϱ ψ. peziell erhält man für F (x, y, z = ϱ s e ϱ div F = (s + ϱ s. Für s = ist das Feld bis auf die ingularität im Ursprung divergenzfrei. Die Rotation des wirbelförmigen Feldes F (x, y, z = ψ(ϱ e ϕ ist rot F = ψ + ϱ ψ. peziell erhält man für F (x, y, z = ϱ s e ϕ rot F = (s + ϱ s Für s = ist das Feld bis auf die ingularität im Ursprung rotationsfrei Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten Für Kugelkoordinaten x = r cos ϕ sin ϑ, y = r sin ϕ sin ϑ, z = r cos ϑ gilt für räumliche kalarfelder U(x, y, z = Ψ(r, ϑ, ϕ und Vektorfelder F x e x + F y e y + F z e z = Ψ r e r + Ψ ϑ e ϑ + Ψ ϕ e ϕ

29 .3. KOORDINATENTRANFORMATION 29 für die Differentialoperatoren grad U = r Ψ e r + r ϑψ e ϑ + r sin ϑ ϕψ e ϕ U = r ( 2 r r 2 r Ψ + r 2 sin 2 ϑ 2 ϕψ + div F = r 2 r r 2 sin ϑ ϑ (sin ϑ ϑ Ψ ( r 2 Ψ r + r sin ϑ ϕψ ϕ + r sin ϑ ϑ (sin ϑψ ϑ rot F = r sin ϑ ( ϑ(sin ϑψ ϕ ϕ Ψ ϑ e r + r sin ϑ ( ϕψ r sin ϑ r (rψ ϕ e ϑ + r ( r(rψ ϑ ϑ Ψ r e ϕ. Beweis: Die Formeln folgen unmittelbar durch pezialisierung der allgemeinen Transformationsregeln. Es gilt r x cos ϕ sin ϑ r y = sin ϕ sin ϑ, r z cos ϑ e r = α e ϑ = β e ϕ = γ d. h. α =, β = r, γ = r sin ϑ. omit ist beispielsweise ϑ x ϑ y ϑ z ϕ x ϕ y ϕ z = r = r sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ r cos ϕ sin ϑ grad U = α rψ e r + β ϑψ e ϑ + γ ϕψ e ϕ = r Ψ e r + r ϑψ e ϑ + r sin ϑ ϕψ e ϕ..3.5 Radialsymmetrische kalarfelder und Vektorfelder ( Für das radialsymmetrische kalarfeld U(x, y, z = ψ x2 + y 2 + z 2 = ψ(r ist, grad U = ψ e r und U = ψ + 2 r ψ. peziell erhält man für U(x, y, z = r s grad U = sr s e r = s(x 2 + y 2 + z 2 s/2 x y z und U = s(s + r s 2.

30 3 KAPITEL. DIFFERENTIATION Für s = ist U bis auf die ingularität im Ursprung harmonisch. Die Divergenz des quellenförmigen Feldes F (x, y, z = ψ(r e r ist div F = ψ + 2 r ψ. peziell erhält man für F (x, y, z = r s e r div F = (s + 2r s. Für s = 2 ist das Feld bis auf die ingularität im Ursprung divergenzfrei..3.6 Aufgaben Aufgabe.3.: Bezüglich der kartesischen Koordinaten x, y, z seien die folgenden Felder definiert: x y U(x, y, z = x 2 ( y + 3yz, F (x, y, z = x 2 + y 2. xz 3 Bestimmen ie a U in Kugelkoordinaten, b rot F bezüglich der Zylinderkoordinatenbasis e ϱ, e ϕ, e z, c div (rot (U F in kartesischen Koordinaten. Aufgabe.3.2: Die Vektorfelder F ( r = A r, G(ϱ, ϕ, z = g(ϱ eϕ, H(r, ϑ, ϕ = h(r er sind in kartesischen Koordinaten, Zylinderkoordinaten bzw. Kugelkoordinaten gegeben. A ist eine konstante 3 3 Matrix, g und h sind skalare Funktionen. a Bestimmen ie A, g und h so, dass die Divergenz der Vektorfelder in kartesischen Koordinaten jeweils wird. b Bestimmen ie A, g und h so, dass die Rotation der Vektorfelder in kartesischen Koordinaten jeweils wird.

31 Kapitel 2 Integration 2. Kurvenintegrale 2.. Kurvenintegral für kalarfelder Für eine Kurve C mit regulärer Parametrisierung [a, b] t r(t = x(t y(t z(t und ein kalarfeld U(x, y, z wird das Integral C b U = U( r r (t dt a als Kurvenintegral von U über der Kurve C bezeichnet. Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Parametrisierung, insbesondere auch von der Orientierung Weg Ein Weg C : [a, b] t r(t = x(t y(t z(t ist eine Kurve mit festgelegtem Durchlaufsinn, der i. a. durch Pfeile angedeutet wird. Man sagt, die Kurve verläuft von A = (x(a, y(a, z(a nach B = (x(b, y(b, z(b. Gilt A = B, so spricht man von einem geschlossenen Weg. 3

32 32 KAPITEL 2. INTEGRATION nicht zusammenhängender zum teil mehrfach durchlaufener offener Weg C mit Weg C = C + C 2 Weg C = C + C 2 C + C 3 umgekehrter Durchlaufrichtung Für zusammengesetzte Wege ist die Notation C + + C m gebräuchlich. Dabei können einzelne Wegstücke mehrfach durchlaufen werden ( C i C i, und die Vereinigung der Wege muß nicht zusammenhängend sein. chließlich bezeichnet man mit C den in entgegengesetzter Richtung durchlaufenen Weg C Arbeitsintegral Für einen Weg C mit regulärer Parametrisierung und ein Vektorfeld F (x, y, z wird mit [a, b] t r(t = x(t y(t z(t F d r = b F ( r(t r (t dt C a das Arbeitsintegral bezeichnet. Pfrag replacements F ( r ( r r F C Es entspricht dem Kurvenintegral der Projektion von F in tangentialer Richtung, F ( r, ( r = r r, und ist unabhängig von der Parametrisierung bei gleichbleibender Orientierung des Weges. Bei Umkehrung der Durchlaufrichtung ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

33 2.. KURVENINTEGRALE 33 In Komponentenschreibweise hat das Arbeitsintegral die Form F x dx + F y dy + F z dz C mit dx = x (t dt, dy = y (t dt, dz = z (t dt. Beweis: Das Arbeitsintegral kann durch die Riemann-umme F (P i r i i approximiert werden, was die physikalische Interpretation verdeutlicht. Dabei kann unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung bei der Grenzwertbildung r i durch r (t i t i r (t dt ersetzt werden. r i P i+ P i Pfrag replacements F (P i Der i-te ummand in der Riemann-umme ist die Kraft, die näherungsweise entlang des Weges von P i nach P i+ wirkt. Die ummanden entsprechen also der entlang den Kurvenstücken verrichteten Arbeit. Beispiel: Beim Durchlaufen des Viertelkreises r(t = ( cos t sin t, t [, π/2] im Kraftfeld F (x, y = ( x y

34 34 KAPITEL 2. INTEGRATION wird die Arbeit F d r = π/2 F ( r(t r (t dt C = = π/2 π/2 ( cos t sin t 2 cos t sin t dt ( sin t cos t dt = [ cos 2 t ] π/2 = verrichtet Geradliniger Weg Die in einem Kraftfeld F entlang eines Geradenstücks t p + t d, t [a, b] verrichtete Arbeit ist b F ( p + t d d dt. Als konkretes Beispiel seien mit t [a, b] = [, 3] und p = a ( Für die verrichtete Arbeit erhält man dann 3 ( 2t(2t + t 2 + 2t pulenwindung ( 2, d = ( 2 F (x, y = ( 2xy x 2 + y dt = 3. 6t 2 + 6t + 2 dt = [ 2t 3 + 3t 2 + 2t ] 3 = 87. Ein Elektron bewegt sich in einer pulenwindung der Höhe h, C : r(t = cos t sin t ht/(2π, t [, 2π], im elektrischen Feld F ( r = r 2 e r, r = r

35 2.. KURVENINTEGRALE 35 das von einer Punktladung im Ursprung induziert wird. Die dabei verrichtete Arbeit ist 2π cos t sin t F d r = (cos 2 t + sin 2 sin t cos t dt t + h 2 t 2 /(4π 2 3/2 C ht/(2π h/(2π 2π [ ] h 2 t/(4π 2 2π ( 2π = dt = =. ( + h 2 t 2 /(4π 2 3/2 4π2 + h 2 t 2 + h Vektorielles Kurvenintegral Für einen Weg C mit regulärer Parametrisierung r(t, a t b, und ein Vektorfeld F bezeichnet man C C F = F d r = b a b a F ( r(t r (t dt = F x C F y C F z C C (F y dz F z dy C F ( r(t r (tdt = (F z dx F x dz C (F x dy F y dx mit dx = x (t dt, dy = y (t dt, dz = z (t dt, als vektorielle Kurvenintegrale. Das zweite Integral ändert das Vorzeichen bei Umkehrung des Durchlaufsinns, ansonsten sind die Integralwerte unabhänig von der Parametrisaierung Aufgaben Aufgabe 2..: Berechnen ie das Arbeitsintegral für das Vektorfeld F = ( y y x entlang der folgenden Wege von P = (, nach Q = (, : a x = t 2, y = t b y = x n, n N c y = sin ( πx 2 Aufgabe 2..2: Berechnen ie ( y 2 dx x 2 dy für die abgebildeten Wege von (, nach (,. C

36 36 KAPITEL 2. INTEGRATION Aufgabe 2..3: Berechnen ie für das Feld F = y x z(x 2 + y 2 das Arbeitsintegral F d r längs des Weges, der vom Punkt P = (,, geradlinig zum Punkt Q = (a, b, und dann geradlinig zum Punkt R = (,, führt. Wie müssen a und b gewählt werden, damit das Arbeitsintegral ein Extremum annimmt? Handelt es sich dabei um ein Maximum? Aufgabe 2..4: Berechnen ie für das Vektorfeld ( a + a F = x + a 2 y + a 3 x 2 + a 4 xy + a 5 y 2 b + b x + b 2 y + b 3 x 2 + b 4 xy + b 5 y 2 das Arbeitsintegral s ε = C ε Grenzwert F d r entlang des Kreises Cε : x 2 + y 2 = ε 2 und bestimmen ie den lim ε s ε πε 2. Aufgabe 2..5: Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt ein ebenes magnetisches Feld der Form F = ( y x 2 + y 2 x Berechnen ie das Arbeitsintegral entlang eines achsenparallelen Rechtecks ABCD mit A = (u, v und C = (u + p, v + q.. D C A B

37 2.2. FLÄCHENINTEGRALE 37 Aufgabe 2..6: Geben ie ein Vektorfeld an, für das das Arbeitsintegral über die abgebildeten Wege die angegebenen Werte hat Interaktive Aufgaben Interaktive Aufgabe 2..: Berechnen ie die Arbeit, die ein Massenpunkt im Kraftfeld ( x F = 2 + y 2 x 2 y 2 bei der Bewegung von P = (, nach Q = (, 2 verrichtet a längs der geradlinigen Verbindung, b längs des Polygonzugs von P über (, 2 nach Q, c längs der Kurve y = 2 sin πx 2. Lösung: (Eingaben sind auf vier Nachkommastellen zu runden a b c 2.2 Flächenintegrale 2.2. Flächenintegral für kalarfelder Für eine Fläche mit regulärer Parametrisierung D (u, v r(u, v = x(u, v y(u, v z(u, v und ein kalarfeld U(x, y, z wird das Integral Ud = U( r(u, v n(u, v dudv, n = u r v r D als Flächenintegral von U über bezeichnet. Der Wert des Integrals ist unabhängig von der Parametrisierung.

38 38 KAPITEL 2. INTEGRATION Flussintegral Der Fluss eines stetigen Vektorfelds F (x, y, z durch eine Fläche mit regulärer Parametrisierung x(u, v D (u, v r(u, v = y(u, v z(u, v in Richtung der Normalen ist Man bezeichnet dabei F d = d = n d, n = u r v r F n = D F ( r(u, v n(u, v dudv. d = n(u, v dudv als vektorielles Flächenelement. Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors ist das Flussintegral unabhängig von der gewählten Parametrisierung. Die Umkehrung der Normalenrichtung bewirkt eine Änderung des Vorzeichens. n F Pfrag replacements D r Die Glattheitsvoraussetzungen an F und r(u, v können abgeschwächt werden, indem man das Integral über einen geeigneten Grenzprozess definiert. Beispiel: Es soll der Fluss des Vektorfeldes F (x, y, z = x yz durch die Fläche berechnet werden. : r(u, v = u 2 u + v v 2, u, v.

39 2.2. FLÄCHENINTEGRALE 39 Die partiellen Ableitungen in u- und v-richtung sind 2u u r(u, v =, v r(u, v = und damit Für das Flussintegral ergibt sich also F d = n(u, v = u r(u, v v r(u, v = = = = = u 2 uv 2 + v 3 2v 4uv 2u 2v 2v 4uv 2u. du dv 2u 2 v 4uv + 2u 2 v 2 + 2uv 3 du dv [ 2 3 u3 v 2u 2 v u3 v 2 + u 2 v v v2 + v 3 dv = Fluss durch einen Funktionsgraph ] dv [ 2 3 v v3 + 4 v4 ] Der Fluss in z-richtung eines stetigen Vektorfelds F (x, y, z durch den Graph einer differenzierbaren, skalaren Funktion z = f(x, y über dem Definitionsgebiet D R 2 ist F d = F x x f F y y f + F z dxdy D Beweis: Die angegebene Formel folgt aus der Definition des Flussintegrals, wenn man in der Form x(u, v u : (u, v r(u, v = y(u, v = z(u, v v f(u, v parametrisiert. Es ist dann u r = f, v r = 2 f, n(u, v = u r v r = f 2 f,

40 4 KAPITEL 2. INTEGRATION und damit D F ( r(u, v n(u, v dudv = = = D F x F y F z f 2 f dudv F x f F y 2 f + F z dudv = D F x x z F y y z + F z dxdy D Beispiel: Es soll der Fluss in z-richtung des Vektorfeldes durch den Graph der Funktion über dem Bereich F = x z z(x, y = x 2 y D : x + y berechnet werden. Da sowohl das Vektorfeld als auch der Funktionsgraph symmetrisch zur yz-ebene sind, genügt es den Bereich D für x zu betrachten und das Ergebnis zu verdoppeln. Für den Gesamtfluss erhält man damit F x x z F y y z + F z dxdy = 2 x x(2x + + x 2 y dy dx D = 2 = = x [ x 2 y + y 2 y2 ] y= x 4x 3 4x 2 4x + 4 dx [ x x3 2x 2 + 4x = 5 3. y=x ] dx Fluss eines konstanten Vektorfeldes durch eine Ebene Es soll der Fluss eines konstanten Vektorfeldes F (x, y, z = p durch einen Teilbereich einer Ebene E : z(x, y = ax + by, (x, y D R 2

41 2.2. FLÄCHENINTEGRALE 4 von unten nach oben berechnet werden. Als Normalenvektor für die Ebene erhält man x z n(x, y = y z = a b und für den Fluss somit F d = D F x F y F z a b dxdy = ( ap x bp y + p z area(d Fluss durch einen Zylindermantel Der Fluss eines Feldes F (ϱ, ϕ, z = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z in Richtung e ϱ durch den Mantel eines Zylinders mit Randkurve ϱ = ϱ(ϕ ist 2π z max z min F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ dz dϕ. Der Fluss des Feldes in Richtung e ϱ durch eine Rotationsfläche die durch Drehung der Kurve ϱ = ϱ(z um die z-achse entsteht ist 2π z max z min F ϱ ϱ F z ϱ z ϱ dz dϕ. Der Fluss von innen nach außen durch den Mantel eines Kreiszylinders mit ϱ = a ist demnach 2π a z max z min F ϱ dz dϕ, d. h. nur die axialsymmetrische Komponente des Feldes liefert einen Beitrag. Insbesondere ist beim Kreiszylinder der Fluss für ein axialsymmetrisches Feld F = f(ϱ e ϱ gleich 2πa(z max z min f(a. Beweis: Die Mantelfläche kann mit Hilfe von Zylinderkoordinaten parametrisiert werden: : r(ϕ, z = ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ z.

42 42 KAPITEL 2. INTEGRATION Für ϱ = ϱ(ϕ ist die Flächennormale n(ϕ, z = ϕ r z r = ϕ ϱ cos ϕ ϱ sin ϕ ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ ϕ ϱ sin ϕ + ϱ cos ϕ = ϕ ϱ cos ϕ + ϱ sin ϕ = ϕ ϱ e ϕ + ϱ e ϱ, und das kalarprodukt mit dem Vektorfeld mit den Komponenten F ϱ, F ϕ, F z ergibt aufgrund der Orthogonalität der Basisvektoren F n = F ϱ ϱ F ϕ ϕ ϱ. Ist ϱ = ϱ(z von z abhängig ergibt sich entsprechend ϱ sin ϕ n(ϕ, z = ϕ r z r = ϱ cos ϕ ϱ cos ϕ = ϱ sin ϕ ϱ z ϱ = ϱ e ϱ ϱ z ϱ e z und das kalarprodukt mit dem Vektorfeld ist F n = F ϱ ϱ F z ϱ z ϱ. z ϱ cos ϕ z ϱ sin ϕ Für den Kreiszylinder ist ϱ konstant und somit fallen die Terme, in denen eine Ableitung von ϱ vorkommt, weg. Beispiel: Es soll der Fluss des Feldes F (x, y, z = xz 2 yz 2 z(x 2 + y 2 = ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z von innen nach außen durch den Mantel eines Zylinders mit Abstand a zur z-achse und z min =, z max = b berechnet werden. Man erhält und somit für den Fluss 2π z max F ϱ = F e ϱ = z min F ϱ (a, ϕ, z a dz dϕ = a 2 ϱz 2 cos ϕ ϱz 2 sin ϕ ϱ 2 z 2π b cos ϕ sin ϕ = ϱz 2 z 2 dz dϕ = 2π 3 a2 b 3 dϕ = 2 3 πa2 b 3.

43 2.2. FLÄCHENINTEGRALE 43 Beispiel: Der Fluss des Vektorfeldes F = ϱ e ϱ + z e z in Richtung e ϱ durch einen Zylindermantel, der durch die Kardioide ϱ(ϕ = cos ϕ im Bereich z [, a] erzeugt wird, ist 2π a ϱ 2 (ϕ dz dϕ = a 2π ( cos ϕ 2 dϕ = a ( 2π + + 2π 2 = 3πa Fluss durch Rotationsfläche Der Fluss eines parallel zur z-achse verlaufenden, konstanten Vektorfeldes F = c e z in Richtung e ϱ durch eine Rotationsfläche mit ϱ = ϱ(z, z [a, b], ist 2π b a [ ] b cϱ(zϱ (z dz dϕ = 2πc 2 ϱ2 (z = πc(ϱ 2 (a ϱ 2 (b. a Der Fluss entspricht also dem c-fachen der Differenz der Inhalte der Boden- und Deckfläche des von ϱ(z beschriebenen Rotationskörpers Fluss durch eine phäre Der Fluss eines Vektorfeldes F (r, ϑ, ϕ = F r e r + F ϑ e ϑ + F ϕ e ϕ von innen nach außen durch eine phäre mit Abstand r = a zum Ursprung ist π 2π F r a 2 sin ϑ dϕ dϑ, d. h. nur die radiale Komponente des Feldes liefert einen Beitrag. Insbesondere ist der Fluss für ein radiales Feld F = f(r e r gleich 4πa 2 f(a. Beispiel: Es soll der Fluss des Vektorfeldes F (x, y, z = (x 2 + y 2 α/2 x y = (r sin ϑ α r cos ϕ sin ϑ r sin ϕ sin ϑ von innen nach außen durch die phäre mit Radius a berechnet werden. Man erhält F r (r, ϑ, ϕ = F r cos ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ e r = (r sin ϑ α r sin ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ = (r sin ϑ α r sin 2 ϑ

44 44 KAPITEL 2. INTEGRATION und somit für den Fluss π 2π π 2π F r (a, ϑ, ϕ a 2 sin ϑ dϕ dϑ = a α+3 sin α+3 ϑ dϕ dϑ = 4πa α+3 π/2 sin α+3 ϑ dϑ = 2π 3/2 α+3 Γ(2 + α/2 a Γ(5/2 + α/ enkrechte tömung durch Halbkugelschale Es soll der Fluss der senkrechten trömung F (r, ϑ, ϕ = von unten nach oben durch die Halbkugelschale r cos ϑ r = a, ϕ 2π, ϑ π/2 berechnet werden. Man erhält F r (r, ϑ, ϕ = F e r = = r cos 2 ϑ r cos ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ und somit für den Fluss π/2 2π F r (a, ϑ, ϕ a 2 sin ϑ dϕ dϑ = π/2 2π a 3 cos 2 ϑ sin ϑ dϕ dϑ = 2πa 3 [ cos 3 ϑ 3 = 2πa3 3. ] π/2 ϑ= Fluss eines axialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche Die Projektion eines axialsymmetrischen Feldes F (ϱ, z = F ϱ e ϱ + F ϕ e ϕ + F z e z auf die Einheitsnormale der Kugeloberfläche mit Radius a sin ϑ cos ϕ n = sin ϑ sin ϕ cos ϑ

45 2.2. FLÄCHENINTEGRALE 45 ergibt mit den Fluss 2π π e ϱ n = sin ϑ, e ϕ n =, e z n = cos ϑ, π (F ϱ sin ϑ + F z cos ϑ a 2 sin ϑdϑ dϕ = 2πa 2 (F ϱ sin ϑ + F z cos ϑ sin ϑ dϑ. peziell gilt für F ϱ = ϱ 2s, F z = c F ϱ sin ϑ + F z cos ϑ = a 2s sin 2s ϑ + c cos ϑ. Der zweite ummand verschwindet bei der Integration, so dass sich als Fluss insgesamt ergibt. π 2πa 2 a 2s sin 2s+ ϑ dϑ = 2πa 2 a 2s 22s (s! 2 (2s +! 2 = π(2a2(s+ (s! 2 (2s +! 2.2. Vektorielles Fächenintegral Für eine Fläche mit regulärer Parametrisierung r(u, v, ein kalarfeld U und ein Vektorfeld F definiert man F x d F d = F y d F z d Ud = U( r n d F d = F ( r n d wobei n(u, v den Normalenvektor auf bezeichnet. Bei gleicher Orientierung des Normalenvektors, sind alle Integrale von der Parametrisierung unabhängig Aufgaben Aufgabe 2.2.: Berechnen ie den Fluß des Vektorfeldes F = r α e r, r = r durch den Zylinder : x 2 + y 2 = a, z b. Aufgabe 2.2.2: Berechnen ie für eine Matrix A den Fluss des Vektorfeldes F ( r = r (A r durch den Zylinder Z : x 2 + y 2, z.

46 46 KAPITEL 2. INTEGRATION Aufgabe 2.2.3: Berechnen ie den Fluß eines linearen Feldes F = A r, durch die Oberfläche einer Kugel mit Radius s. Aufgabe 2.2.4: Berechnen ie den Fluß des Vektorfeldes F = r 2α+ e r Mittelpunkt O. durch eine Kugel mit Radius a und Interaktive Aufgaben Interaktive Aufgabe 2.2.: Die abgebildete Fläche F sei durch x y = z parametrisiert. r cos t r sin t t, r [, ], t [, 2π] a Bestimmen ie den Normalenvektor n(r, t von F. b Berechnen ie den Betrag Φ des Flusses des Vektorfelds v = (y, x, z t durch die Fläche F. c Die Randkurve der Fläche F besteht aus 3 Geradenstücken sowie der chraubenlinie C : t (cos t, sin t, t t. Berechnen ie die Länge L von C. Lösung: a n(r, t = (t - (t b Φ = π+ π 2. c L = 2π

47 2.3. GAU CHE INTEGRALÄTZE Gauß sche Integralsätze 2.3. Orientierter Rand eines ebenen Bereichs Der orientierte Rand R eines Bereichs D setzt sich aus Wegen C i zusammen, deren Durchlaufsinn so gewählt ist, daß D links von C i liegt: R = C + + C m. Dies bedeutet, daß die nach außen gerichtete Kurvennormale n und der Tangentenvektor t ein Rechtssystem bilden. Pfrag replacements D C 2 t n C 3 n t C C 5 C 4 orientierter Rand R = C + + C 5 Entsprechend setzt sich der orientierte Rand R einer räumlichen Fläche mit orientierter Normalen n aus Wegen C i zusammen, deren Orientierung so gewählt ist, dass an einem Kurvenpunkt das Kreuzprodukt aus Tangentenvektor t an die Kurve und Normalenvektor n der Fläche von der Fläche weg zeigt. Pfrag replacements C t n n t

48 48 KAPITEL 2. INTEGRATION Gauß scher Integralsatz Ist F ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einem regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellen Flächenelement d berandet wird, so gilt div F dv = F d. V Die Glattheitsvoraussetzungen an F und können abgeschwächt werden, indem man die Integrale über geeignete Grenzprozesse definiert. Beweis: Die Identität ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale. Danach gilt für F = F ν e ν ν F ν dv = F ν n ν d, V und ummation über ν =, 2, 3 ergibt die Behauptung, da d = n d ist. Beispiel: Zur Illustration des Gauß schen atzes wird das Vektorfeld x F (x, y, z = xy z 3 in der Einheitskugel betrachtet. Für die Divergenz ergibt sich V : x 2 + y 2 + z 2 div F = + x + 3z 2 = + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑ und somit für die linke eite im atz von Gauß div F dv = π 2π ( + r cos ϕ sin ϑ + 3r 2 cos 2 ϑr 2 sin ϑ dϕdϑdr V = 4 3 π + + 2π π r 4 (3 cos 2 ϑ sin ϑ dϑdr Mit der Parametrisierung = 4 3 π + 2π [ 5 r5 ] r= r(ϑ, ϕ = cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ [ cos 3 ϑ ] π ϑ= = 4 3 π π = 32 5 π., ϕ 2π, ϑ π

49 2.3. GAU CHE INTEGRALÄTZE 49 für die Oberfläche der Einheitskugel ergibt sich und mit n (ϑ, ϕ = r(ϑ, ϕ, F (r, ϑ, ϕ = folgt für die rechte eite im atz von Gauß F d = π 2π d = n sin ϑ dϕdϑ cos ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϕ sin 2 ϑ cos 3 ϑ (cos 2 ϕ sin 2 ϑ + sin 2 ϕ cos ϕ sin 3 ϑ + cos 4 ϑ sin ϑ dϕdϑ = π π π sin ϑ( cos 2 ϑ dϑ + + 2π cos 4 ϑ sin ϑ dϑ = π ( [ cos ϑ] π + [ 3 cos3 ϑ = 2π 2 3 π π = 32 5 π, in Übereinstimmung mit dem Volumenintegral. ] π + 2π [ ] π 5 cos5 ϑ Integralsatz von Gauß bei einem radialen Feld Bei einem radialen Feld ist die Divergenz F = r s e r div F = r 2 r(r 2 r s = (s + 2r s. Das Volumenintegral über eine Kugel V mit Radius a ist a div F = 4π (s + 2r s+ dr = 4πa s+2, (s > 2, V wobei das uneigentliche Integral für s > 2 konvergiert. Da das Vektorfeld senkrecht auf der Kugel steht, entspricht das Flussintegral dem Betrag des Feldes auf der Kugel multipliziert mit dem Inhalt der Kugeloberfläche F d = (4πa 2 a s in Übereinstimmung mit dem Integralsatz von Gauß Volumenberechnung mit Hilfe des atzes von Gauß Für einen regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen weisender Normalen berandet wird, gilt wegen div r = 3 3 vol(v = r d.

50 5 KAPITEL 2. INTEGRATION Beispiel: Als Beispiel soll das Volumen der Kugel V mit Radius a >, Mittelpunkt im Ursprung und Oberfläche berechnet werden. In Polarkoordinaten erhält man für den Rand die Parametrisierung a cos ϕ sin ϑ : r(ϑ, ϕ = a sin ϕ sin ϑ, ϕ 2π, ϑ π, a cos ϑ mit omit erhält man 3 vol(v = = π 2π = a 3 d = a 2 sin ϑ 2π r d a cos ϕ sin ϑ a sin ϕ sin ϑ a cos ϑ π dϕ cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ sin ϑ dϑ = 4πa 3 dϕdϑ. cos ϕ sin ϑ sin ϕ sin ϑ cos ϑ und damit für das Volumen der Kugel vol(v = 4 3 πa3 wie erwartet. a 2 sin ϑ dϕdϑ Varianten des Gauß schen Integralsatzes ei V ein regulärer räumlicher Bereich, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellem Flächenelement d berandet wird. Dann gelten für ein kalarfeld U und ein Vektorfeld F die Beziehungen grad U dv = U d V V rot F dv = F d. Beweis: Wegen d = nd ist die erste Identität äquivalent zum Hauptsatz für Mehrfachintegrale ν U dv = Un ν d. V Für die i-te Komponente des Integrals von rot F erhält man unter Verwendung des ε-tensors ε ijk j F k dv = ε ijk F k n j d, j,k j,k was mit der i-ten Komponente von F d übereinstimmt. V

51 2.3. GAU CHE INTEGRALÄTZE Koordinatenfreie Definition der Divergenz Die Divergenz eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes läßt sich als Grenzwert des Flusses durch die Oberfläche eines den Punkt P enthaltenden räumlichen Bereichs V definieren: lim F d diam V vol V, wobei d nach außen orientiert ist. Dies folgt unmittelbar aus dem atz von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz der Divergenz unter orthogonalen Koordinatentransformationen Quellenfreie Felder Auf einem räumlichen Gebiet D gilt für ein stetig differenzierbares Vektorfeld div F = genau dann, wenn F d = für jede geschlossene Fläche in D Koordinatenfreie Definition des Gradienten Der Gradient eines stetig differenzierbaren kalarfeldes U läßt sich als Grenzwert von Integralen über die Oberfläche eines den Punkt x enthaltenden räumlichen Bereichs V definieren: lim Ud diam V vol V, wobei d nach außen orientiert ist. Dies folgt unmittelbar aus dem atz von Gauß und dem Mittelwertsatz und zeigt insbesondere die Invarianz des Gradienten unter orthogonalen Koordinatentransformationen Elektrostatisches Feld Durch Punktladungen wird ein elektrisches Feld F ( r = P a P r p r p 3 erzeugt, wobei a P = Q P /(4πε, Q P die Ladung im Punkt P und ε die Dielektrizitätskonstante ist. Der Fluss dieses Feldes durch eine die Punkte P umschließende glatte Fläche ist F d = 4π a P = Q P. ε P Dabei sind für Punkte P auf der Fläche die Ladungen Q P mit dem Faktor /2 zu gewichten. P

52 52 KAPITEL 2. INTEGRATION Beweis: Aufgrund der Linearität beider eiten der Identität genügt es, einen ummanden ohne Vorfaktor zu betrachten. Das Koordinatensystem kann so gewählt werden, dass p = ist. Es bleibt nun zu zeigen, dass r 2 e r d =, O / V 4π, O V 2π, O wobei V das von eingeschlossene Gebiet ist. Da div e r 2 r = für r gilt, folgt der erste Fall (O / V direkt aus dem Integralsatz von Gauß. Für den zweiten Fall (O V betrachtet man zunächst eine phäre mit Radius s um den Ursprung. Der Fluss des radialen Feldes F = f(r e r durch diese phäre ist F d = 4πs 2 f(s = 4π., div F = Pfrag replacements O Ein allgemeines Gebiet das O enthält, kann in eine Kugel um die Ladung und ein Restgebiet aufgeteilt werden, das keine Ladung enthält. Da der Gesamtfluss durch die Oberfläche ( des Restgebietes Null ist, muss der Fluss durch die Randfläche dem Fluß durch die Kugeloberfläche entsprechen. Für den dritten Fall (O betrachtet man eine phäre mit Radius s um (,, s. Für die Parametrisierung s sin ϑ cos ϕ r(ϑ, ϕ = s sin ϑ sin ϕ s( + cos ϑ, ϑ [, π], ϕ [, 2π] ist r = r = 2s 2 ( + cos ϑ und n(ϑ, ϕ = s 2 sin ϑ sin ϑ cos ϕ sin ϑ sin ϕ cos ϑ.

53 2.3. GAU CHE INTEGRALÄTZE 53 Damit ist der Fluss π 2π s 2 sin ϑs( + cos ϑ 2π dϕdϑ = (2s 2 3/2 ( + cos ϑ 2 3/2 π sin ϑ + cos ϑ dϑ = 2π 2 3/2 [ 2 + cos ϑ ] π = 2π. div F = 2 Pfrag replacements O 3 Für ein allgemeines Gebiet kann davon ausgegangen werden, dass das Koordinatensystem so gewählt ist, dass die Ebene z = tangential an die Fläche im Ursprung liegt. Entfernt man nun aus dem Gebiet eine Kugel und vom Rest noch einen Zylinder mit Radius ε < s um die z-achse, so enthält das schraffierte Restgebiet keine Ladung und der Fluss durch dieses Gebiet ist also Null. Die Oberfläche dieses Gebietes setzt sich aus drei Teilen zusammen. Dabei ist das erste Flächenstück Teil der Randfläche und geht für ε in über. Das zweite Flächenstück 2 wird zur phäre und das dritte Flächenstück 3 ist Teil des Zylindermantels. Es ist also F d + F d2 = F d Mit dem Grenzübergang folgt nun F d + F d = da area 3 ε 3 und F ε Gauß scher Integralsatz in der Ebene Für einen regulären ebenen Bereich A mit orientiertem Rand C C : t r(t,

54 54 KAPITEL 2. INTEGRATION gilt für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F = F x e x + F y e y div F da = F n dc = F d r A C C wobei div F = x F x + y F y, F d r = (Fx y (t F y x (t dt. Beispiel: Wir betrachten das ebene Vektorfeld ( x y 2 F = y x 2 über dem Bereich A, der von der Kurve C, bestehend aus den zwei Kurvenstücken ( t r (t =, t [ π/2, π/2], ( t r 2 (t =, t [ π/2, π/2], cos( t Pfrag replacements berandet wird. y y = cos x π/2 O π/2 x Für die linke eite im atz von Gauß erhält man div F da = π/2 cos x + dy dx = π/2 2 cos x dx = 4. A x= π/2 y= x= π/2 Mit obiger Parametrisierung erhält man für die rechte eite F d r = π/2 t 2 dt + π/2 ( t cos 2 ( t sin( t (cos( t t 2 ( dt C = π/2 π/2 π/2 t 2 + t sin t + cos 2 t sin t + cos t t 2 dt π/2 = [2 sin t t cos t] π/2 π/2 = 4.

55 2.3. GAU CHE INTEGRALÄTZE Flächenberechnung mit dem Gauß schen Integralsatz Der Inhalt einer ebenen Fläche A mit Rand C : t r(t läßt sich durch area(a = r d r 2 berechnen. Anstatt r kann auch ein anderes Vektorfeld F mit div F = c verwendet werden, wobei der Faktor /2 dann durch den Faktor /c zu ersetzen ist. C Beispiel: Es soll der Flächeninhalt des Gebiets A, das von einer Ellipse C mit Halbachsenlängen a, b > berandet wird berechnet werden. Die Randkurve C wird mit ( a cos t r(t =, t [, 2π] b sin t parametrisiert. Für den Flächeninhalt der Ellipse erhalten wir mit dem atz von Gauß dann A da = 2 C r d r = 2 2π ( a cos t b sin t ( a sin t dt b cos t dt = 2 2π ab dt = πab Aufgaben Aufgabe 2.3.: Berechnen ie für den Einheitswürfel W = [, ] 3 und das Vektorfeld F = grad(xyz beide im Gauß schen Integralsatz auftretenden Integrale. Aufgabe 2.3.2: Das Flächenstück : x 2 4x + y 2 + 2z =, z und die xy Ebene schließen einen Körper K ein. a Berechnen ie das Volumen von K. b Berechnen ie für das Vektorfeld F (x ln(z + = y 2 z + den Fluß von F durch nach außen. Aufgabe 2.3.3: Berechnen ie den Fluß eines linearen Feldes F = A r, durch die Oberfläche des Einheitswürfels [, ] 3.

56 56 KAPITEL 2. INTEGRATION Aufgabe 2.3.4: Transformieren ie das Feld xz F = yz z 2 auf Zylinderkoordinaten und berechnen ie mit Hilfe des atzes von Gauß den Fluß durch den Zylinder Z : x 2 + y 2 a 2, z b. Aufgabe 2.3.5: Berechnen ie den Fluß des Vektorfeldes F = r α e ϑ, α >, durch den Kegel K : r z, z b. Aufgabe 2.3.6: Berechnen ie mit Hilfe des atzes von Gauß den Fluß des Vektorfeldes ( x + exp(sin y F = cos(exp(x + y durch die Ellipse C : x 2 + 4y 2 = 4 nach außen. Aufgabe 2.3.7: Berechnen ie den Fluß eines ebenen radialen Vektorfeldes F = r α r, r = r durch den Rand des Quadrates [ s, s] 2. Aufgabe 2.3.8: Berechnen ie für die Kreisscheibe K : x 2 + y 2 das Integral wobei F (x, y = ( x exp (sin (πr 2 y exp (cos (πr 2 K div F dk,, r 2 = x 2 + y Interaktive Aufgaben Interaktive Aufgabe 2.3.: Berechnen ie den Fluß von F = z 2 e z durch die Oberfläche des Körpers K : y x 2, z 2 x y. Lösung: Fluß: (auf vier Nachkommastellen gerundet

57 2.4. GREEN CHE INTEGRALÄTZE 57 Interaktive Aufgabe 2.3.2: Berechnen ie mit Hilfe des atzes von Gauß für das Vektorfeld x 2 F = 2xy 2z den Fluß nach außen durch den abgebildeten Körper, der von den Flächen begrenzt wird. : x 2 + y 2 + (z 2 = 4, z, 2 : (z = 9(x 2 + y 2 Lösung: Fluß: (auf vier Nachkommastellen gerundet 2.4 Green sche Integralsätze 2.4. Erster Green scher Integralsatz ind U und W ein- beziehungsweise zweimal stetig differenzierbare kalarfelder auf einem räumlichen Bereich V, der durch eine reguläre Fläche mit nach außen gerichtetem vektoriellen Flächenelement d berandet ist, so gilt U grad W d = grad U grad W + U W dv. V Insbesondere folgt für U = grad W d = W dv. V Für Vektorfelder F die ein Potential W besitzen, ist F = grad W und W = div F. Für diese Felder entspricht die Formel dem Integralsatz von Gauß. Ein entsprechendes Resultat gilt ebenfalls in der Ebene U grad W d r = grad U grad W + U W da. A A

58 58 KAPITEL 2. INTEGRATION Beweis: Ist n die nach außen gerichtete Einheitsnormale, so folgt aus dem Hauptsatz für Mehrfachintegrale U ν W n ν d = ν (U ν W dv. V ummation über ν =, 2, 3 liefert die Behauptung Zweiter Green scher Integralsatz ind U und W zweimal stetig differenzierbare kalarfelder auf einem räumlichen Bereich V, der durch eine reguläre Fläche mit nach außen gerichtetem vektoriellen Flächenelement d berandet ist, so gilt (U grad W W grad U d = (U W W U dv. V Ein entsprechendes Resultat gilt ebenfalls in der Ebene. Beweis: Diese Identität folgt unmittelbar aus dem ersten Green schen Integralsatz durch Vertauschen von U und W und ubtraktion der entsprechenden Identitäten Aufgaben Aufgabe 2.4.: Die Randkurve C des Einheitsquadrates A = [, ] 2 sei durch r parametrisiert. Bestimmen ie mit Hilfe der Green schen Integralsätze die beiden Integrale a (U grad U d r b (U grad W W grad U d r C für die kalarfelder U(x, y = x 2 e y und W (x, y = xy 2 3. Aufgabe 2.4.2: a Zeigen ie, daß U( p = p q für p q harmonisch ist, d.h. daß U =. C b Zeigen ie mit Hilfe der Green schen Formel, daß für eine harmonische Funktion V das Integral der Normalenableitung über eine Kugeloberfläche s : p q = s verschwindet: s (grad V d s =. c Wenden ie nun die Green sche Formel mit der Funktion U aus a auf die Kugelschale ε, < ε an und zeigen ie durch Grenzübergang ε, daß V ( q = V. 4πs 2 ε