Messtechnik und Analytik

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1 VE 2: Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsberechnung und Statistik Zufällige Ereignisse Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zufallsgrößen Grundgesamtheit Verteilungen Stichprobenparameter Klaus-Dieter Sommer MDA F 1 Wiederholung: Vollständiges Auswertemodell der Messung Berücksichtigung zusätzlicher Kenntnisse Messgröße Y 10 kg Darstellung in Anlehnung an Beyerer mögliche Werte MDA F 2 Messverfahren Zuweisung Daten q 1,, q n Einflüsse, Parameter Auswertung Kombination, Schätzverfahren Endergebnis 3. Frage: Wie konsistent In dieser Vorlesung betrachten wir nur den oberen einrechnen Teil mit Zusätzliche Kenntnisse (kombinieren)? wiederholter Beobachtung der gemessenen Werte z.b. - Temperatur - magnetische 1. Frage: Empfindlichkeit Wie erfassen? - Auflösung 2. Frage:... Wie beschreiben? KDSOMMER2014 S. 1

2 Generalisierter Messprozess Klassische Auswertung wiederholter Beobachtungen Messgröße Y 10 kg mögliche Werte Messprozess: Wertezuweisung Beobachtungen Auswertung: Wiederholte Beobachtungen unter Wiederholbedingungen Schätzwert: Klassische Auswertung erfolgt mit den Mitteln der statistischen (Stichproben-)Analyse! (Schätzverfahren!) 3 8 behandelt (wiederholt) die Grundlagen der statistischen Analyse MDA F 3 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Zufällige Ereignisse Häufigkeit & Wahrscheinlichkeit Zufallsgrößen MDA F 4 KDSOMMER2014 S. 2

3 Zufällige Ereignisse Definition 1) : Ein Ergebnis eines Zufalls-Versuchs wird als zufälliges Ereignis bezeichnet. 1) Otfried Beyer: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Beispiele: Zufälliger Versuch Zufälliges Ereignis Werfen eines Würfels Die Augenzahl k wird geworfen (k =1, 2, 6) Eine gerade Augenzahl wird geworfen Es wird mindestens die Augenzahl 3 geworfen Dreimaliges Werfen einer Münze Erfassung der Zahl der Anrufe in einem Call-Center Zahl liegt zweimal oben Wappen liegt dreimal oben Es erfolgen genau k Anrufe (k =0,1, ) Es erfolgen nicht mehr als 25 Anrufe Es erfolgen mindestens 25 Anrufe MDA F 5 Zufällige Ereignisse Beispiele: Zufälliger Versuch Zufälliges Ereignis Laufleistungsmessung eines PKW-Reifens unter vorgegebenen Bedingungen Zählung der Ausschussteile wenn n Teile auf einer Maschine in einer Schicht produziert werden Messung der CO 2 - Konzentration in einer Stadt zu einem bestimmten Zeitpunkt Die Laufleistung beträgt mindestens km Die Laufleistung liegt zwischen und km In der Schicht treten genau k Ausschussteile auf (k = 0, 1,, n) In der Schicht treten nicht mehr als l Ausschussteile auf (l =0, 1,, n) Die CO 2 -Konzentration überschreitet einen Grenzwert von 10 mg/m 3 nicht Die CO 2 -Konzentration liegt im Bereich zwischen 7 mg/m 3 und 8 mg/m 3 MDA F 6 KDSOMMER2014 S. 3

4 Zufällige Ereignisse Relationen zwischen Ereignissen (1) Es sei die Menge aller möglichen Ereignisse (im Ergebnis) eines Versuchs, auch Ereignisfeld genannt. Jede Teilmenge heißt (zufälliges) Ereignis. Die nennt man Elementarereignisse. A 2 A 1 A 2 A 1 heißt Teilereignis von A 2, wenn jedes Ereignis, das zu A 1 gehört, auch A 2 angehört. A 1 zieht das Ereignis A 2 nach sich Zwei Ereignisse sind gleich,, wenn gilt: und Die Gesamtmenge ist ein sicheres Ereignis; das Ereignis heißt unmögliches Ereignis. MDA F 7 Zufällige Ereignisse Relationen zwischen Ereignissen (2) Summe von Ereignissen, : A enthält alle Elementarereignisse, die zu A 1 oder A 2 (oder zu beiden) gehören. Es tritt ein, wenn mindestens eines der Ereignisse A 1 oder A 2 eintritt, stellt also mengenmäßig die Vereinigung von A 1 und A 2 dar A 1 A 2 schraffierter Bereich: schraffierter Bereich: Produkt von Ereignissen, : A enthält alle Elementarereignisse, die zugleich zu A 1 als auch zu A 2 gehören, stellt also mengenmäßig den Durchschnitt (Schnittmenge) von A 1 und A 2 dar. Es tritt ein, wenn beide Ereignisse A 1 und A 2 eintreten. MDA F 8 KDSOMMER2014 S. 4

5 Zufällige Ereignisse Relationen zwischen Ereignissen (3) Differenz von Ereignissen, : A enthält alle Elementarereignisse, die zu A 1 aber nicht zu A 2 gehören. A 1 A 2 schraffierter Bereich: Die Differenz zwischen dem sicheren Ereignis S und einem Ereignis A heißt das zu A komplementäre Ereignis Relationen zwischen (zufälligen) Ereignissen folgen den Gesetzen der Mengenlehre MDA F 9 Zufällige Ereignisse Morgansche Formeln Ersetzen der Differenz durch ein Produkt: A 2 A 2 A 1 A 1 Allgemein gilt: MDA F 10 KDSOMMER2014 S. 5

6 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Zufällige Ereignisse Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zufallsgrößen MDA F 11 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Definition 1) : Ist bei n unabhängigen Wiederholungen eines zufälligen Versuchs ein Ergebnis A des Ereignisfeldes E h n (A)-mal aufgetreten, so wird der Quotient als relative Häufigkeit des Ereignisses A in n Versuchen bezeichnet. sicheres Ereignis: unmögliches Ereignis: 1) Otfried Beyer: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik H n (A) ist für kleine n eine zufällige, evtl. stark schwankende Zahl. Wenn sich H n (A) mit wachsendem n stabilisiert, wird H n als (frequentistische) Wahrscheinlichkeit bezeichnet. MDA F 12 KDSOMMER2014 S. 6

7 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung (1) Axiom 1: Axiom 2: Für jedes Ereignis Es gilt: gilt: Axiom 3: Schließen sich die Ereignisse einander aus und dann gilt: Ergänzende Sätze: Satz 1: Es gilt: MDA F 13 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung (2) Ergänzende Sätze (Fortsetzung): Satz 2: Satz 3: Es gilt: Es gilt: Additionstheorem: Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Summe von sich nicht gegenseitig ausschließenden Ereignissen und sind mögliche gemeinsame Elementarereignisse von und zu beachten: Satz 4: Es gilt: Schnittmenge nur 1-mal berücksichtigen! MDA F 14 KDSOMMER2014 S. 7

8 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Axiomatischer Aufbau der Wahrscheinlichkeitsrechnung (3) Bedingte Wahrscheinlichkeit : Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Ereignisses Bedingung, dass das Ereignis bereits eingetroffen ist: unter der Satz 5: Es gilt: Schnittmenge entspricht dem Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten von Schnittfläche zur Fläche Multiplikationstheorem: folgt direkt aus Satz 5: Satz 6: Es gilt: MDA F 15 Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes-Theorem (1) Beispiel: Zufälliger Prozess mit mehreren Ereignissen A i Vorgabe: Ein Erzeugnis wird auf drei Maschinen M i, mit i = (1, 2, 3), produziert. Anteile an der Produktion: A 2 A 3 B A 1 Gesucht ist Wahrscheinlichkeit P(B): ein (dem gemeinsamen Lager entnommenes) Erzeugnis ist Ausschuss Bekannt sind die Ausschussquoten der einzelnen Maschinen: Gesucht ist Wahrscheinlichkeit : ein Erzeugnis wurde auf der Maschine produziert unter der Bedingung, dass es Ausschuss ist MDA F 16 KDSOMMER2014 S. 8

9 Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes`sche Formel (2) Beispiel: Zufälliger Prozess mit mehreren Ereignissen A i Lösung: Ereignisse mit bilden ein vollständiges System paarweise unverträglicher Ereignisse: für A 2 A 1 E B A 3 MDA F 17 Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes`sche Formel (3) Totale Wahrscheinlichkeit eines beliebigen bedingten Ereignisses B: Satz 7: Bayes-Theorem: Satz 8: In der Messtechnik ist Verständnis der Bayes sche Formel wichtig für Betrachtung der Messung als Lernprozess (Berücksichtigung von Zusatzwissen) MDA F 18 KDSOMMER2014 S. 9

10 Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes`sche Formel (4) Beispiel: Zufälliger Prozess mit mehreren Ereignissen A i A 2 A 1 E Lösung B mithilfe der Bayes schen Formel möglich A 3 Ergebnisse: Totale Ausschussquote Anteile der Maschine am Ausschuss (Rückwärts-Schluss!): MDA F 19 Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes`sche Formel (4) Messtechnische Interpretation als Ausblick auf VE7 A 2 B A 1 E A 3 Messgröße Y Messverfahren Zuweisung Anzeige Q 10 kg MDA F 20 Ergebnis: P(Y) Daten q 1,, q n Einflüsse, Parameter X 1,,X n Rückschluss auf Y ist Ziel einer Messung! KDSOMMER2014 S. 10

11 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Zufällige Ereignisse Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Zufallsgrößen MDA F 21 Zufallsgrößen Eine Größe X nimmt im Ergebnis eines zufälligen Versuchs in Abhängigkeit von dessen Ergebnis jeweils einen bestimmten Wert aus der Menge der reellen Zahlen an. X bezeichnen wir als Zufallsgröße. Definition : Eine Zufallsgröße X bezeichnen wir als diskret, wenn sie nur endlich viele, abzählbare Werte x 1, x 2, x 3, annehmen kann. Definition : Die Wahrscheinlichkeit heißt Einzelwahrscheinlichkeit. Satz 9: Es gilt: (für diskrete Zufallsgrößen) MDA F 22 KDSOMMER2014 S. 11

12 Zufallsgrößen Definition 1) : Eine Zufallsgröße heißt stetig, wenn sie überabzählbar unendlich viele Werte annehmen kann, z.b. jeden Wert in einem Intervall. Definition 1) : Die Funktion heißt Verteilungsfunktion für die der Zufallsgröße gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit X Werte annimmt, die kleiner als ein gegebener Wert sind. sind die möglichen Werte der Größe X. 1) Otfried Beyer: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Satz 10: Es gilt: 1 MDA F 23 0 Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) (1) Definition 1) : Existiert für eine stetige Zufallsgröße X eine in nicht negative integrierbare Funktion mit der Eigenschaft so heißt die Funktion Dichtefunktion (PDF) für die stetige Zufallsvariable X. sind die möglichen Werte, die X annehmen kann. 1) Otfried Beyer: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik Satz 11: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Werte liegen, ist der Größe X im Intervall Beispiel: 1,0 0,5 0 MDA F 24 1 A=1 2 KDSOMMER2014 S. 12

13 Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) (2) Hinweis: Für stetige Zufallsgrößen X können keine Einzelwahrscheinlichkeiten dp für einen speziellen Wert angegeben werden, da Praktisch kann man nur Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, dass Werte in einem gegebenen Intervall liegen (siehe Satz 11). Beispiel: 1 0 MDA F 25 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Grundgesamtheit Verteilungen Stichprobenparameter MDA F 26 KDSOMMER2014 S. 13

14 Grundgesamtheit Statistisches Auswertungsmodell (1) Messung bestimmt ein Ergebnis innerhalb einer charakteristischen Variationsbreite Galton- 2) Brett Statistische (frequentistische) Modellannahmen: Verfälschung des Messprozesses durch zufällige Einflüsse Wiederholung führt zu einer Verteilung von Ergebnissen, die den Messprozess charakterisieren 2) Henrion, PTB MDA F 27 Grundgesamtheit Statistisches Auswertungsmodell (2) Grundgesamtheit (GG): Gesamtheit der Realisierungen, die aus dem Wurf ein und derselben Kugel resultieren mögen: Begriff GG abstrakt GG nur denkbar, nicht einsehbar Realität: Wir sehen nur einige Realisierungen, nicht die Startposition Begriff GG hat aber zentrale Bedeutung für Auswertung von Beobachtungsergebnissen MDA F 28 KDSOMMER2014 S. 14

15 Grundgesamtheit Statistisches Auswertungsmodell (3) Grundgesamtheit (GG): Bezogen auf den Messprozess wäre die Kenntnis der Grundgesamtheit identisch mit der Kenntnis der Größe Q bzw. ihrer Verteilung : Anm.: Der Messprozess mögliche Werte Messprozess: Wertezuweisung wird als determiniert betrachtet. Beobachtungen Begriff GG hat aber zentrale Bedeutung für Auswertung von Beobachtungsergebnissen Schätzwert: Der Messtechnik zugänglich sind aber nur einige Beobachtungen! Auswertung: Begriff GG abstrakt GG nur denkbar, nicht einsehbar Realität: Wir sehen nur einige Realisierungen, nicht die Startposition MDA F 29 Grundgesamtheit Beschreibung von Grundgesamtheiten GG (1) Diskreter Wertevorrat an Realisierungen Wahrscheinlichkeitsfunktion Ordnet jeder Realisierung die Häufigkeit (Wahrscheinlichkeit) ihres Auftretens zu: Nur im Fall eines ausgeschöpften Wertevorrats an diskreten Realisierungen besteht Zugang zur Grundgesamtheit MDA F 30 Realisierung KDSOMMER2014 S. 15

16 Grundgesamtheit Beschreibung von GGs (2) Kontinuierlicher Bereich an Realisierungen Darstellung als Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (PDF) Anmerkung: für sich nicht interpretierbar als Wahrscheinlichkeit für Beobachtung eines Wertes! Stattdessen: Wahrscheinlichkeit, dass in ein bestimmtes Intervall fällt: MDA F 31 Grundgesamtheit Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen (1) Bester Schätzwert der Größe (Lageparameter): Varianz der Größe (Streuparameter): (mittlere Weite der Verteilung) Bildhafte Darstellung für Galton-Brett: Wohin wäre die Kugel gerollt, wäre ihr Lauf nicht durch Nägel gestört worden? In welcher Umgebung zum Erwartungswert ist der Wert der Größe X zu vermuten? MDA F 32 KDSOMMER2014 S. 16

17 Grundgesamtheit Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen (2) Erwartungswert (auch: Mittelwert 1) für diskreten Wertevorrat x i : ) einer Verteilung: 1) Im Falle symmetrischer Verteilungen für kontinuierlichen Bereich der Werte : - Wahrscheinlichkeit für den (Einzel-)Wert - Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für X MDA F 33 Grundgesamtheit Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen (3) Eigenschaften des Erwartungswertes: E[X] ordnet nach gegebener Vorschrift einer Verteilung eine reelle Zahl zu Wie anhand der Definition leicht nachzuvollziehen, ist E ein linearer Operator, das heißt: Für zwei beliebige voneinander unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt: entspricht unserer Vorgehensweise in der Messtechnik Beispiel: Reihenschaltung von zwei Spannungsquellen: V = V 1 + V 2 MDA F 34 KDSOMMER2014 S. 17

18 Grundgesamtheit Beispiel 1: Mittelwert der Augenzahl beim Würfeln Diskrete Werte von X: MDA F 35 Grundgesamtheit Beispiel 2: Erwartungswert Gleichverteilung Kontinuierlicher Bereich der Werte für X: MDA F 36 KDSOMMER2014 S. 18

19 Grundgesamtheit Parameter zur Charakterisierung von Verteilungen (4) Varianz Für diskrete Werte: Für stetige Größen um den Mittelwert ( Zweites zentralisiertes Moment ): Zentralisierung : sinnvoll für Messtechnik, da Angabe der Streuung um den Erwartungswert (d. h. um den Schätzwert für das Messergebnis) wenn X und Y unvereinbar sind MDA F 37 Grundgesamtheit Beispiel 1: Varianz Ergebnisse beim Würfeln MDA F 38 KDSOMMER2014 S. 19

20 Grundgesamtheit Beispiel 2: Varianz Gleichverteilung (Rechteckverteilung) MDA F 39 Grundgesamtheit Zielstellung: Sinnvolle Angabe eines Messergebnisses Streuung, Verteilung der Werte um den Schätzwert der Lage Schätzwert der Lage (Schätzwert des Messergebnisses) Mögliche Werte der Messgröße MDA F 40 KDSOMMER2014 S. 20

21 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Grundgesamtheit Verteilungen Stichprobenparameter MDA F 41 Verteilungen Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Binomialverteilung: (Absolute) Häufigkeit k des Eintreffens eines Ereignisses x der Wahrscheinlichkeit p nach n gleichartigen Versuchen ( Kugelziehen mit Zurücklegen) Binomialverteilung zu den Parametern n (Anz. Versuche) und Notwendige Bedingung: Mittelwert: Varianz: MDA F 42 KDSOMMER2014 S. 21

22 Verteilungen Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Illustration Binomialverteilung: Galton Brett: Zahl der Fälle, in denen die Kugel nach rechts rollt hier: MDA F Verteilungen Praxisbeispiel: Isotope Man stelle sich den Einbau von Kern-Typen (Isotope) in ein gegebenes Molekül als Zufallsprozeß vor, z.b. C 157 H 232 N 40 O 47 S 2 (Insulin, B-Kette) n = 157 Chancen, 13 C einzubauen p = 0,01 Wahrscheinlichkeit 13 C M M+1 M+2 M MDA F 44 KDSOMMER2014 S. 22

23 Verteilungen Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Poisson-Verteilung Grenzfall der Binomialverteilung für sehr kleines p, großes n Mittelwert: Varianz: Beispiele: Messen an der Nachweisgrenze mit zählenden Detektoren, z. B. SEV Zählen von seltenen Ereignissen je Zeitintervall im Zerfallsprozess MDA F 45 Verteilungen Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Illustration: Poisson-Verteilung: Binomialverteilung für sehr kleines p (bei großem n) MDA F 46 KDSOMMER2014 S. 23

24 Verteilungen Verteilungsformen von Beobachtungsergebnissen Gauss- oder Normalverteilung Verteilung metrisch skalierter Messgrößen, soweit fernab der Nachweisgrenze Mittelwert: Varianz: MDA F 47 Verteilungen Weitere Verteilungsformen Gleich- oder Rechteckverteilung Wird verwendet, wenn man (nur) weiß, dass sich die möglichen Werte der Größe in einem Intervall [a, b] befinden Mittelwert: Varianz: MDA F 48 KDSOMMER2014 S. 24

25 Verteilungen Weitere Verteilungsformen Dreieckförmige Verteilung Anwendungssituation ähnlich wie zuvor: Verteilungsform nicht bekannt, nur Unter- und Obergrenze. Man nimmt zusätzlich an, dass Wahrscheinlichkeit in der Mitte am höchsten Mittelwert: Varianz: MDA F 49 Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik Grundgesamtheit Verteilungen Stichprobenparameter MDA F 50 KDSOMMER2014 S. 25

26 Stichprobenparameter Grundgesamtheiten sind nicht vollständig einsehbar! und bleiben verborgen Aus Stichproben lassen sich nur Schnappschüsse gewinnen, z.b.: Messserie 1 Messserie 2 usw. MDA F 51 Quelle: Henrion, PTB Stichprobenparameter Wiederholte Beobachtungen Erhebung einer Stichprobe unabhängiger Beobachtungen Ziel: Bestmögliche Schätzung von und anhand dieser Daten Klassische Schätzer: Arithmetisches Mittel Stichprobenvarianz als Schätzer für als Schätzer für MDA F 52 KDSOMMER2014 S. 26

27 Stichprobenparameter Schätzer für Parameter von GG sind ihrerseits Zufallsgrößen (!) Quelle: Henrion, PTB MDA F 53 Stichprobenparameter Stichprobenfunktion für das Stichprobenmittel: Funktion: Realisierung: Das Stichprobenmittel als Funktion von Zufallsgrößen ist selbst eine Zufallsgröße, d.h. man kann Erwartungswert und Varianz berechnen: Für das Stichprobenmittel gilt: Erwartungswert: Varianz: MDA F 54 KDSOMMER2014 S. 27

28 Stichprobenparameter Beweis für bedeutet: Erwartungstreue des Stichprobenparameter: ist ein erwartungstreuer Schätzer für Erinnerung: - Erwartungswert der Grundgesamtheit MDA F 55 Stichprobenparameter Stichprobenfunktion für die Stichprobenvarianz: Funktion: Realisierung: Für die Stichprobenvarianz gilt somit: Erwartungswert: Varianz: MDA F 56 KDSOMMER2014 S. 28

29 Stichprobenparameter Schlussfolgerung charakterisiert das Messverfahren (Varianz des Einzelwerts) charakterisiert die aktuelle Stichprobe (Ergebnis der Messserie) und wird vom Fleiß des Experimentators mitbestimmt (Varianz des arithmetischen Mittels) GUM 1) : wird verwendet als Standardmessunsicherheit 1) Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement MDA F 57 Stichprobenparameter Anmerkungen: Für die Ableitung war die Annahme einer bestimmten Verteilungsform nicht erforderlich. Die Feststellungen bzw. ( und sind erwartungstreu) sowie gelten also grundsätzlich* (Robustheit) Erwartungstreue Schätzer werden auch als unverzerrt (unbiased) bezeichnet. * vorausgesetzt ist natürlich, dass die Erwartungswerte überhaupt existieren MDA F 58 KDSOMMER2014 S. 29

30 Statistik Auswertung von Stichproben (7) Chi 2 -Verteilung, Teil 1: Gegeben: X 1, X 2,..., X n unabhängige Zufallsgrößen, die alle einer (gleichen) Standardnormalverteilung unterliegen (μ = 0; σ =1) Zufallsgröße unterliegt der folgenden Dichtefunktion: Chi 2 - Verteilung MDA F 59 VE 2 Statistik Auswertung von Stichproben (8) Chi 2 -Verteilung, Teil 2: Die Zufallsgröße hat folgende Kennwerte: E[Y n ] = n und Var[Y n ]= 2n n=5 n=10 n=15 n=20 Es lässt sich zeigen, dass die Stichprobenvarianz eine Chi 2 -Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden ist MDA F 60 VE 2 KDSOMMER2014 S. 30

31 Statistik Auswertung von Stichproben (9) Student-t-Verteilung, Teil 1: Gegeben: 2 unabhängige Zufallsgrößen X (normalverteilt mit μ = 0; σ = 1) und (Chi 2 -verteilt mit v Freiheitsgraden) Zufallsgröße unterliegt der folgenden Dichtefunktion: Student-t- Verteilung MDA F 61 VE 2 Statistik Auswertung von Stichproben (10) Student-t-Verteilung, Teil 2: Die Zufallsgröße hat folgende Kennwerte: υ=10 υ=5 g(t,υ) υ=3 υ=1 Es lässt sich zeigen, dass das Verhältnis des Stichprobenmittelwertes zu seiner Standardabweichungt-verteilt ist: t MDA F 62 VE 2 KDSOMMER2014 S. 31

32 Statistik Auswertung von Stichproben (5) Eigenschaften (Zusammenfassung für normalverteilte Grundgesamtheit, Teil 1): Es sei {X 1, X 2,..., X n } eine Stichprobe aus einer normalverteilten Grundgesamtheit X mit dem Erwartungswert E[X] = μ und der Varianz Var[X]= σ 2. Dann gilt: MDA F 63 Statistik Auswertung von Stichproben (6) Eigenschaften (Zusammenfassung für normalverteilte Grundgesamtheit, Teil 2): Es gilt darüber hinaus: 1) siehe Folien 60 bis 63 MDA F 64 KDSOMMER2014 S. 32

33 Methoden zur Bewertung von messbaren Größen Ausblick auf die nächste Vorlesung: nichtstatistische Kenntnisse BKenntnisse über die Parameter und (Einfluss-) Größen nichtstatistischer Art statistischer Art Beispiel: untere und obere Grenzen Beispiel: Beobachtungsreihe UG OG X A a - x a + 2 a Beispiel: Angabe im Kalibrierschein Methode: statistische Analyse: 95% y U y y + U s q s (Näherung für große n) MDA F 65 VE 2 KDSOMMER2014 S. 33