Kennwerteverteilungen von Häufigkeiten und Anteilen

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Ernst Stein
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1 Kennwerteverteilungen von Häufigkeiten und Anteilen 6. Sitzung 32 S., SoSe 2003 Die hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Häufigkeit eines binären Merkmals bei Einfacher Zufallsauswahl Ohne Zurücklegen 6. Sitzung 32 S., SoSe

2 Die hypergeometrische Verteilung II 6. Sitzung 32 S., SoSe #%$ $ &' (*) +,.- / : 3 ; 3<8 = >*3 5? AB3 C D243 5C3 9EF ;? 3 ; GKMNOGKMN GKPK GK NQ GIKL GIKL GH IJ GH IJ GH NK GIQJ GHPR GHHI GKMM GPKR GPKR GKPLSGKPL T!" GHHP GHPQ GIMJ GIMJ GHHIGHHLUGH II*GHQN GHQNVGH II GHHL T GHHI GPQN!" GHHP 6. Sitzung 32 S., SoSe Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 65 2

3 Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung 6. Sitzung 32 S., SoSe Erwartungswert und Varianz der Hypergeometrischen Verteilung 6. Sitzung 32 S., SoSe

4 Die Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit der Häufigkeit eines binären Merkmals bei Einfacher Zufallsauswahl Mit Zurücklegen 6. Sitzung 32 S., SoSe Wahrscheinlichkeit der Stichprobenzusammensetzung: ( π ) *( π ) = ( π ) *( π ) n n n n-n 2 2 N=Anzahl der Elemente der Gesamtmenge N =Häufigkeit der Ausprägung N 2 =Häufigkeit der Ausprägung 0 π = N / N π = N 0 0 / N 6. Sitzung 32 S., SoSe

5 ;:98 ;: ;:98 ;: Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen X Häufigkeit der Ausprägung bzw. 0 eines binären Merkmals in einer einfachen Zufallsauswahl mit Zurücklegen heißt Binomialverteilung. Die Realisierungswahrscheinlichkeit für die Häufigkeit n bei einer Binomialverteilung entspricht. P(X = n ) = n n π * * ( π ) n n n 6. Sitzung 32 S., SoSe ! " # $ %&'( )&* < =>?@? AN C +,- +,. +,/ +,0 OQ RQUOQ RQ +,- +,. +,/ +,0 ORST ORST OPQR OPQR +-2.3/4065 +D-E.D/F0D5FGIHFJFKL-+ OPPTOPVP ORW R OW RS OWSR OWPR ORRW OPVQ OP RR OPPWXOPPR < =>?@? ABC < =>?@? AM C +,- +,. +,/ +,0 +,- +,. +,/ +,0 +D-E.D/F0D5FGIHFJFKL-+ OPPROP RP OPVV ORRY OWPS OWVT OWPS ORRY OPVV OP RP OPPRZ Z +D-E.D/F0D5FGIHFJFKL-+ OPPR OPPR OPPR[OPP\]OPQY ORPQ OWPP OWTY OWQV ORW R OPW^ 6. Sitzung 32 S., SoSe Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 70 5

6 Binomialverteilung Die Verteilungsfunktion (die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung) für die Binomialverteilung kann wie folgt berechnet werden: n n j n P( X n ) = * π *( π) j= 0 j j 6. Sitzung 32 S., SoSe 2003 Die Binomialverteilung Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung Erwartungswert : µ = n* π Varianz : n* π * ( π ) Die Bernoulliverteilung Spezialfall der Binomialverteilung Stichprobenumfang n = x 6. Sitzung 32 S., SoSe

7 Relative Häufigkeiten Der Erwartungswert für den Anteil p der Ausprägungen eines binären Merkmals ist gelich den Erwartungswert der absoluten Häufigkeiten, dividiert durch den Stichprobenumfang n: µ ( p ) = 0 + * *( n* ) n µ = n π = π x Bei einer einfachen Zufallsauswahl ist der Erwartungswert des Stichprobenanteils gleich dem Populationsanteil. Dies gilt für einfache Zufallsauswahlen mit und ohne Zurücklegen. 6. Sitzung 32 S., SoSe Relative Häufigkeit 2 Varianz eines Stichprobenanteils σ (p ) Bei einer einfachen Zufallsauswahl mit Zurücklegen (Binomialverteilung) 2 2 σ ( p ) = * σ 2 x = * ( n * π 2 * ( π ) = n n π * ( π ) = n 6. Sitzung 32 S., SoSe

8 σ Relative Häufigkeit Varianz eines Stichprobenanteils (p ) σ Bei einer einfachen Zufallsauswahl ohne Ersetzung (hypergeometrische Verteilung) p π *( π N n = σ = = n n N 2 2 ) ( ) *... * 2 X 2 6. Sitzung 32 S., SoSe Beziehungen hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung Beide Verteilungen haben identische Erwartungswerte Die Varianzen nähern sich für große Stichproben aneinander an Verteilungen werden sich insgesamt für große Stichproben (bzw. Populationen) ähnlicher: Sog. Asymptotische Annäherung 6. Sitzung 32 S., SoSe

9 ! " # $ %'& " #(! ) *" # % " +,-". # / 0! " 324" #. " / 5$ %'6 & / "78/ +,-/ 6 59 " #. " / 5$ %? AN? A? A? A>?? > N B M >? C C < =>?@? ABC 6. Sitzung 32 S., SoSe Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 76 Die Normalverteilung und verwandte Wahrscheinlichkeitsverteilungen Kennwertverteilungen von Mittelwerten und Varianzen 6. Sitzung 32 S., SoSe

10 Wahrscheinlichkeitsdichten kontinuierlicher Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariable Die Ausprägungen sind abzählbar also durch ganze Zahlen erfassbar. Z.B. die absolute Häufigkeit einer Ausprägung. Kontinuierliche Zufallsvariable Die Ausprägungen liegen beliebig dicht beieinander und können nur durch reelle Zahlen erfasst werden. Z.B. die exakt gemessene durchschnittliche Körpergröße in einer Population. 6. Sitzung 32 S., SoSe Dichte Häufigkeitsdichte Wird als Quotient aus der relativen Häufigkeit einer Klasse und der Klassenbreite berechnet. Wahrscheinlichkeitsdichte Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariable kann in Intervalle aufgeteilt werden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist definiert als die Höhe eines Intervalls dessen Breite gegen null geht. 6. Sitzung 32 S., SoSe

11 ?D =?A =?D =?A = I Dichte Über die Wahrscheinlichkeitsdichten können die Wahrscheinlichkeiten von Intervallen berechnet werden. P ( a x b ) = f ( x ) d x b a a m it f ( x ) d x = b estimm tes Integral von a bis b a ü b er die Dichte d er Zufallsvariablen X 6. Sitzung 32 S., SoSe ! # 0! " / 5/! " /. " $ & 6! # 0! " / 5/! " /. 0 & /!. " 30. ". / % " # $ # / 6 5"! " # $% & # ' & (! ( ' & ) ( * # % +,# (!-.! * / % E FG! * * (! (! #.! * / % # (! H ( (! * / % :C>?C< :B> :? : ;<= :C>?C< :B> :? : ;<= Sitzung 32 S., SoSe Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 84

12 { O. - Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F(x) einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist definiert als das bestimmte Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte von minus unendlich bis zur Stelle x: x F( x) = P( X x) = f ( u) du 6. Sitzung 32 S., SoSe ŒŠ ˆƒ ƒ ~ ~ ~ ƒ ~ƒ }! &%&! ' ( " )*! #! + " #!, $ j T U V V X Ya WX^YZ[\ e a ^W] mnz` ^_` ]] Yaa ZX [Z`] b a ZY W[_ k [l`] a ST U V e a ^WX f YZ[\ a ^YaW] Z[V^_` X g ]_hv a ZX X [Z`] b YZibXa ZY W[_ cx d a ^_a RPQ /0 / /2 /3 /4 /5 /6 /7 /80 LHKJI ME FNI FGHI BCD EC ; A op op orp orq os os ot ot ou p q p q p 6% p q Žvu vt vs vr pwrxsytzu ::2:3 Ž r = Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 86 š œ ž Ÿ = = = 6. Sitzung 32 S., SoSe

13 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariable: + µ x = x* f ( x) dx wobei µ x = Erwartungswert einer Zufallsvariablen X 6. Sitzung 32 S., SoSe Erwartungswert und Varianz Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X ist gleich: X X σ = ( x µ ) * f ( x ) d x = + - w obei (x - µ ) 2 2 x X 2 f x d x µ x * ( ) 6. Sitzung 32 S., SoSe

14 H Normalverteilungen: Die Gauß sche Normalverteilung Symmetrische, unimodale, glockenförmige Verteilung, deren Ausprägungen von bis + reichen. Kennzeichnend: feste Realisierungswahrscheinlichkeiten in Intervallen, die +/- k σ x Standardabweichungen um den Erwartungswert µ x liegen; 6. Sitzung 32 S., SoSe !" # $ # % &, ' &+ ( &+ ' &* ( &* ' & ) ( & ) ' &' ( &' ' / 0 µ µ : ; < = ; > B.,. +. *. ) -' ) * E E C J K µ4 = µ476l= : M N O O P G B I G I F I A I E C E A F G E E C J K µ4 Q µ476lq : M M R = P A B Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 90 I G I F I A I E C E A F G 6. Sitzung 32 S., SoSe

15 Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung f ( x) = * e 2 2πσ π = Kreiskonstante Pi e = Eulersche Zahl x 2 x 2 x ( x µ ) 2σ (Basis des Natürlichen Logarithmus) 6. Sitzung 32 S., SoSe Standardnormalverteilung und Z-Transformation Jede Normalverteilte Zufallsvariable X kann mit Hilfe der Z-Transformation (auch Standardisierung genannt) in eine Standardnormalverteilte Variable überführt werden. Standardisierte (d.h. standardnormalverteilte) Variablen haben einen Erwartungswert µ x = 0, und eine Standardabweichung σ x = Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer standardnormalverteilten Variablen wird mit Φ( z) bezeichnet. 6. Sitzung 32 S., SoSe

16 Z-Transformation Standardisiert eine normalverteilte Zufallsvariable (weist ihr einen Quantilwert der Standardnormalverteilung zu) z α = q α µ X σ x z q α α = Quantilwert der standardisierten Zufallsvariablen X = Quantilwert der normalverteilten Zufallsvariablen X 6. Sitzung 32 S., SoSe Quantilwerte und Quantilwahrscheinlichkeiten Quantilwerte können als Ausprägungen von Standardnormalverteilungen betrachtet werden Diesen Quantilwerten können Auftretenswahrscheinlichkeiten zugewiesen werden: Dies geschieht über die sogenannte Z- Tabelle der Quantile der Normalverteilung. (S.642-Kühnel/Krebs) 6. Sitzung 32 S., SoSe

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Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Füllmenge. Mean = 500,0029 Std. Dev. = 3,96016 N = 10.000. 485,00 490,00 495,00 500,00 505,00 510,00 515,00 Füllmenge 2.4 Stetige Zufallsvariable Beispiel. Abfüllung von 500 Gramm Packungen einer bestimmten Ware auf einer automatischen Abfüllanlage. Die Zufallsvariable X beschreibe die Füllmenge einer zufällig ausgewählten