Aufgabenblatt zum Seminar 02 PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik)

Transkript

1 Aufgabenblatt zum Seminar 0 PHYS70356 Klassische und relativistische Mechanik (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt, Nebenfach Physik) Othmar Marti, (othmar.marti@uni-ulm.de) Aufgaben 1. Berechnen Sie mit a) b) c) d) e) f (x, y) = e (x +y )/σ f (x, y) x f (x, y) y f (x, y) x f (x, y) y f (x, y) x y. Sie wollen mit einem Pendel den Betrag des Feldvektors der Gravitation g bestimmen. Sie kennen die Pendelgleichung π g T = l Es liegen die folgenden Messungen für T und l vor

2 KRM , Aufgabenblatt Nr. 0 Nummer l in m T in s 1 0,669 0,913 0,691 0, ,641 0, ,681 0, ,675 0, ,654 0, ,85 8 0, , , ,850 Berechnen Sie dazu a) l, T, σ l, σ T, σ l, σ T. b) Berechnen Sie mit dem Gaussschen Fehlerfortpanzungsgesetz σ g. c) Wie gross ist g und σ g? 3. Eine Strecke von 100 m soll von einem Fahrzeug, das eine Beschleunigung von 3 m s und eine Bremsverzögerung von m s aufweist, aus dem Stand heraus in möglichst kurzer Zeit befahren werden. Am Ende der Strecke soll das Fahrzeug wieder anhalten. Zu welchem Zeitpunkt muss die Bremsung einsetzen? Wie gross sind Fahrzeit und Höchstgeschwindigkeit? 4. In welcher Entfernung vom Anfang müssen Kugeln an einer Schnur angebracht werden, damit sie, wenn die senkrecht gehaltene Schnur fallengelassen wird, im zeitlichen Abstand von jeweils 0, 3 s auf dem Boden auftreen? 5. Die Schwingungen einer Stimmgabel (Eigenfrequenz 100 Hz) werden mittels einer kleinen Feder auf einer mit Russ geschwärzten Glasplatte registriert, die neben der Stimmgabel herabfällt. Der Abstand der Nulldurchgänge nach 6; 1; 18; 4 bzw. 30 Schwingungen vom Anfang betrage 18; 71; 159; 83 bzw. 441 mm. Man zeige, dass es sich beim Fall der Glasplatte um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt und ermittle aus den Daten die Fallbeschleunigung. (Skizze auf der nächsten Seite) c Ulm University, Othmar Marti Aufgaben

3 3 KRM , Aufgabenblatt Nr Auf eine Strassenbahn, die mit der Geschwindigkeit 0 km h 1 fährt, wirke eine zeitabhängige Beschleunigung a (t) = a 0 + bt (a 0 = 0, 3 m s, b = 0, 5 m s 3 ). Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit verdoppelt, und welcher Weg wurde dabei zurückgelegt? 7. Von einem anfangs ruhenden Boot (m B = 180 kg) springt ein Schwimmer (m S = 70 kg) ins Wasser und lässt beim Absprung über 0, 5 s eine durch F (t) = a + bt (a = 100 N, b = 100 N s 1 ) beschreibbare Kraft horizontal wirken. Wie gross sind die Geschwindigkeiten von Boot und Springer unmittelbar nach dem Absprung? 8. Ein Vogel mit einer Masse von 300 g iegt mit einer Geschwindigkeit von 0 m s 1 in einer Höhe von 10 m über dem Erdboden in horizontaler Richtung. Ein in gleicher Höhe auf einem Baum sitzender Jäger schiesst mit einem Pfeil (Masse 100 g) auf den Vogel, der diesen mit einer Geschwindigkeit von 50 m s 1 senkrecht zur Flugbahn trit. In welcher Entfernung vom Ort des Treers trit der vom Pfeil getötete Vogel auf den Boden auf? Die Luftreibung wird vernachlässigt. 9. Ein Güterwagen mit einer Masse 60 t rollt reibungsfrei einen Ablaufberg mit einem Höhenunterschied von m herab und kuppelt automatisch an einen stehenden Wagen von 30 t Masse an. Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich beide Wagen nach dem Ankuppeln? 10. Eine Stahlkugel springt auf einer elastischen Platte auf und ab. Die Aufschläge haben den zeitlichen Abstand t. Welche Maximalhöhe z m erreicht die Kugel? t = 0, 40s 11. Ein Junge, ein Mädchen und ein Hund setzen sich gleichzeitig vom gleichen Punkt einer schnurgeraden Strasse aus in Marsch. Der Junge geht mit 6 km/h, das Mädchen mit 4 km/h und der Hund pendelt ständig mit 10 km/h zwischen beiden hin und her. Wo benden sich der Junge, das Mädchen, der Hund nach genau einer Stunde, und in welche Richtung läuft der Hund? Aufgaben c Ulm University, Othmar Marti 3

4 KRM , Aufgabenblatt Nr Ein Flugzeug iegt mit der Reisegeschwindigkeit v eine Strecke d hin und zurück. Es weht ein Wind mit der Geschwindigkeit w genau in Flugrichtung bzw. beim Rückug in Gegenrichtung. Gleicht der Gewinn an Flugzeit beim Hinug den Verlust beim Rückug aus? 4 c Ulm University, Othmar Marti Aufgaben

5 5 KRM , Aufgabenblatt Nr Lösungen 1. Es ist f (x, y) = e (x +y )/σ a) Hier leiten wir nach x ab und betrachten y als Konstante. Wir benötigen die Kettenregel f(x, y) x = x x +y σ e σ b) Hier leiten wir nach y ab und betrachten x als konstant. f(x, y) y = y x +y σ e σ c) Hier leiten wir zweimal nach x ab und halten dabei y konstant f(x, y) x = x +y σ e σ + 4 x x +y σ 4 e σ d) Hier leiten wir zweimal nach y ab und halten dabei x konstant f(x, y) y = x +y σ e σ + 4 y x +y σ 4 e σ e) Hier nehmen wir die erste partielle Ableitung nach x (Resultat von 1a), halten nun x fest und leiten nach y ab. f(x, y) y x = 4 xy x +y σ 4 e σ Zum gleichen Resultat kommt man, indem man die erste partielle Ableitung nach y (Resultat von 1b) nimmt, und dann y fest hält und nach x ableitet. f(x, y) y x. Wir verwenden die Gleichungen x = 1 n x i n i=1 σ x = 1 n 1 = 4 xy x +y σ 4 e σ n (x i x ) i=1 σ x = σ x n m ( σ f(x1,...,x m) = f(x1,..., x m ) x j j=1 g = 4π l T σ xj ) Lösungen c Ulm University, Othmar Marti 5

6 KRM , Aufgabenblatt Nr. 0 6 a) Wir erhalten b) Aus berechnen wir l = m T = s σ l = m σ T = s σ l = m σ T = s g = 4π l T g l = 4π T g T = l 8π T 3 Das Gausssche Fehlerfortpanzungsgesetz lautet hier: ( g ) ( ) g σ g = l σ l + T σ T Für Funktionen, die nur aus Produkten bestehen, ist es vorteilhaft, links und rechts durch g = 4π l/t zu teilen. Wir erhalten ( g ) σ ( ) g g = l σ l g + g T σ T g Eingesetzt ergibt sich σ g = g (σ l l ) + ( σ T T Wir ersetzen nun überall die Werte durch die Mittelwerte berechnet aus den Messdaten. σ g = g (σ l l ) ) ( + σ ) T T c) Wir verwenden und erhalten g = 4π l T g = m s ( σ g = m ) ( m s ) =0.84 m s m s s 6 c Ulm University, Othmar Marti Lösungen

7 7 KRM , Aufgabenblatt Nr Wir können also sagen, dass g = 36.1 ± 0.8 m s ist (innerhalb der 1 σ Fehlerschranke) oder dass g = 36.1 ±.5 m s ist (innerhalb der 3σ Fehlerschranke). 3. t ges = t 1 + t v max = a 1 t 1 = a t also t = a 1 a t 1 Über den zurückgelegten Weg s = a 1 t 1 + [ v max t a t ] = a 1 t 1 + a t ergibt sich t 1 = sa a 1 (a 1 + a ) t 1 = 5, 16 s ( t ges = t a ) 1 = 1, 9 s a v max = 15, 5 m s 1 4. s n = g (n t) s 1 = 0, 44 m s = 1, 77 m s 3 = 3, 97 m usw Schwingungen entsprechen 0,06 s. Aus den Messungen ergibt sich die folgende Tabelle: Nr. t in s s (t) in m 1 0,06 0,018 0,1 0, ,18 0, ,4 0,83 5 0,30 0,441 Lösungen c Ulm University, Othmar Marti 7

8 KRM , Aufgabenblatt Nr. 0 8 Eine Potenzfunktion der Form s (t) = a tn ergibt in doppelt-logarithmischer Darstellung eine Gerade mit dem Anstieg n. ( ) ( ) s t lg = n lg s 1 Eine Untersuchung dieser Geraden ergibt gemäss Tabelle n =. Aus den einzelnen Wertepaaren folgt a = 5 m s, 4, 93 m s, 4, 91 m s, 4, 91 m s, 4, 90 m s und ein Mittelwert a = 4, 93 m s. Verwendet man nur die drei letzten (genaueren) Messungen, folgt a = 9, 81 m s. t 1 6. Wir starten mit und integrieren einmal. a(t) = a 0 + b t v (t d ) = v 0 + a 0 t d + b t d = v 0 also t d = 1 b ( ) a 0 + a 0 + v 0 b = 5, 57 s 7. Achtung! korrigierte Lösung Kraftstoss (τ = 0.5 s) τ p = = 0 τ 0 s (t d ) = v 0 t d + a 0 t d + b 6 t3 d = 4, 8 m F (t)dt (a + bt) dt = aτ + b τ =100 N 0.5 s N/s (0.5 s) = 6.5 m kg s Der Anfangsimpuls ist 0, der Endimpuls muss auch 0 sein. Wir haben also 0 = p B + p S p = p B = p S Also p = p B p B = p = p S 8 c Ulm University, Othmar Marti Lösungen

9 9 KRM , Aufgabenblatt Nr v B = p B m B v S = p S m S = p m B = p m S = 6.5 m kg s 180kg = 6.5 m kg s 70kg =0, 348 m s 1 =0, 90 m s 1 Eine konsistente alternative Lösung verwendet die reduzierte Masse. Jedes Zweikörperproblem kann als Einkörperproblem mit einer reduzierten Masse aufgefasst werden. Dann ist wenn v rel = v S v B ist µ = m Bm S m B + m s µv rel = p v rel = p µ m S v S + m B (v B ) = m S v S + m B (v S v rel ) =0 (m S + m B )v S = v rel m B = m B µ p =m B(m S + m B ) p m S m B m S v S = p und weiter wie oben. ( Gesamtimpuls von Vogel und Pfeil kg 0 m s ) ( ) kg 50 m s = 36 n s + 5 N s = 7, 81 N s, Gesamtmasse nach dem Treer: 0.4 kg, Geschwindigkeit unmittelbar nach Treer 7,81 N s = 19, 5 m s 1, Fallzeit=Flugzeit 0.4 kg t = s/g = ( 10 m/9.81 ms = 1.48 s, Auftrepunkt Geschwindigkeit mal Zeit 19.5 ms s = 7, 9 m vom Treerort entfernt. 9. Aus der Energieerhaltung mgh = 1 mv v = gh Impulserhaltung m 1 v + m 0 = (m 1 + m )v e m 1 v e = gh m 1 + m 60 t v e = 9.81 ms m = 60 t + 30 t 39.4 m s 3 = 4, 18m s Senkrechter Wurf: (z 0 = 0) z = g t + v z0 t v z = gt + v z0 Lösungen c Ulm University, Othmar Marti 9

10 KRM , Aufgabenblatt Nr Steigzeit bis Maximalhöhe = Fallzeit t = t. z ( ) t v z = 0 = g t + v z0 v z0 = g t ( ) t = z m = g ( ) t t + v z0 z m = g t 8 + g t 4 z m = g 8 t = 0 cm Das Ergebnis folgt auch sofort aus der Formel für den freien Fall: z m = g ( ) t 11. Diese Aufgabe zeigt, dass kinematische Probleme, die wohldeniert aussehen, es manchmal gar nicht sind. Die Antwort heisst: Der Hund könnte überall zwischen 4 und 6 km sein und in jeder der beiden Richtungen laufen - man weiss es nicht. Diese Unbestimmtheit sieht man ein, wenn man das umgekehrte Problem betrachtet: Wo immer der Hund anfangs war, er muss bei seiner Verhaltensweise immer gleichzeitig mit den beiden Kindern am Kilometerstand 0 ankommen. Dies gilt für einen beliebigen Anfangspunkt zwischen Junge und Mädchen. Dreht man von diesem umgekehrten Vorgang mit verschiedenen Ausgangspositionen je einen Film, den man dann wieder rückwärts spielt, so erfüllt jeder dieser Filme genau die Bedingungen der Aufgabe. 1. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs gegen den Boden ist beim Hinug v + w, die Flugzeit d/ (v + w), beim Rückug v w, Flugzeit d/ (v w). Dass der Gewinn den Verlust nicht ausgleichen kann, sieht man schon am Fall w = v, wo sich die Hinugzeit halbiert, die Rückugzeit aber unendlich lang würde. Allgemein ist die Gesamtugzeit T = dv/ (v w ), z.b. bei w = v/ : T = 4 3 d/v. 10 c Ulm University, Othmar Marti Lösungen