Physik Formelsammlung

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1 Physik Formelsammlung et-juergen Seite 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Kinematik Translation Formelzeichen Gleichförmige Bewegung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung Translation allgemein D-Translation D-Translation Rotation Formelzeichen Gleichförmige Rotation Gleichmäßig beschleunigte Rotation Rotation allgemein Zusammenhang Translation-Rotation Formelzeichen Übersicht Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung Zentrifugalbeschleunigung Tangentialbeschleunigung Coriolisbeschleunigung...11 Dynamik Newtonsche Axiome Formelzeichen Trägheitsprinzip Aktionsprinzip Reaktionsprinzip...1. Dynamik der Translation Formelzeichen Kraft Impuls Kraftstoß Impulserhaltungssatz Kraft Formelzeichen Zusammengesetzte Kräfte Geneigte Ebene Festkörperreibung Kraftarten Dynamik der Rotation Formelzeichen Drehung um Schwerpunktachse...18 Seite

3 .4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse Drehmoment Drehimpuls Drehkraftstoß Drehimpulserhaltungssatz Spezielle Massenträgheitsmomente Formelzeichen Kreisring, dünn Kreisscheibe, dünn Kugel Zylinder Hohlzylinder Stab, lang und dünn Quader Kegel....6 Schwerpunktberechnung Formelzeichen Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers Schwerpunkt für n Punktmassen Arbeit und Energie Arbeit Formelzeichen Allgemein Hubarbeit Beschleunigungsarbeit Reibungsarbeit Federspannarbeit Rotationsarbeit Gravitationsarbeit Energie Formelzeichen Potentielle Energie Kinetische Energie Spannungsenergie Rotationsenergie Energieerhaltungssatz Mechanische Stöße Leistung Formelzeichen Leistung Wirkungsgrad Gravitation Formelzeichen Keplersche Gesetze Newtonsches Gravitationsgesetz Hubarbeit und potentielle Energie...31 Seite 3

4 4 Mechanik und Schwingung Mechanik deformierbarer Körper Formelzeichen Dehnung Querdehnung Allseitige Kompression Scherung Torsion Mechanische Schwingung Formelzeichen Federschwinger Mathematisches Pendel Physisches Pendel Torsionspendel Elektromagnetische Schwingung Formelzeichen Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung Gedämpfte elektromagnetische Schwingung Zusammenhang mechanische elektromagnetische Schwingung Schwingungsarten Formelzeichen Freie gedämpfte Schwingung Schwingfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Erzwungene Schwingung Resonanz Überlagerung Fluiddynamik Ruhendes Fluid Formelzeichen Kolbendruck Druckarbeit Schweredruck Volumen-Druck-Gesetz Auftrieb Molekularkräfte Formelzeichen Oberflächenspannung Kapillarität Bewegtes Fluid Formelzeichen Massenstrom und Massenstromdichte Laminare Strömung, innere Reibung Laminare Strömung zwischen Platten Laminare Strömung im Rohr...55 Seite 4

5 5.3.6 Laminare Umströmung einer Kugel Drehung in der Strömung Druck im bewegten Fluid Torricellisches Ausflussgesetz...56 Seite 5

6 1 Kinematik 1.1 Translation Formelzeichen s m Weg, zurückgelegter v m/s Geschwindigkeit a m/s Beschleunigung t s Zeit s 0 m Anfangsweg v 0 m/s Anfangsgeschwindigkeit a 0 m/s Anfangsbeschleunigung e Einheitsvektor 1.1. Gleichförmige Bewegung Bedingung: a=0 ; v 0= const. v = adt= v 0 = const. v = ds dt s= vdt= v 0 t s Gleichmäßig beschleunigte Bewegung Bedingung: a= a 0 0= const. v = a 0 dt= a 0 t v 0 s= vdt= a 0 t v 0 dt= a 0 t v 0 t s Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung Bedingung: a= at const. v = at dt= at t v 0 Seite 6

7 s= vdt= a t v 0 dt= at t v 0 t s Translation allgemein t s= v t dt t 1 v = t at dt v = ds dt = s' t t 1 a= dv dt = v't a= d s dt = s'' t Beschleunigung v 0 =0 s= a t s = v t v = a t v = a s Beschleunigung v 0 0 s= a t v 0 t s= v v 0 t v = a t v 0 v = a s v 0 Durchschnittsgeschwindigkeit: v = s t Durchschnittsbeschleunigung: a= v t D-Translation Y Vy getrennt berechnen: s t= x t y t = x y Vx x t= v x t t x 0 y t= v y t t y 0 X Seite 7

8 s t= x t ex y t e y z t e z v t= v x t e x v y t e y v z t e z at= ax t e x a y t e y a z t e z D-Translation 1. Rotation o α r n S V 1..1 Formelzeichen r m Radius φ rad Winkel in Bogenmaß ω s -1 Winkelgeschwindigkeit α s - Winkelbeschleunigung T s Dauer eines Umlaufes f s -1, Hz Umlauffrequenz, Drehfrequenz v m/s Bahngeschwindigkeit n s -1 Drehzahl 1.. Gleichförmige Rotation Bedingung: = const. = t 0 = T = f n= 1 T Seite 8

9 1..3 Gleichmäßig beschleunigte Rotation Bedingung: = const. = t 0 t Rotation allgemein t = t dt t 1 t = t dt = d dt =t' t 1 = d dt = t' = d dt =t'' 1.3 Zusammenhang Translation-Rotation Formelzeichen r m Radius φ rad Winkel in Bogenmaß ω s -1 Winkelgeschwindigkeit α s - Winkelbeschleunigung s m Länge des vom Winkel eingeschlossenen Kreisbogens v m/s Bahngeschwindigkeit v E m/s Eigengeschwindigkeit auf dem Rotationskörper a m/s Beschleunigung a ZP m/s Zentripetalbeschleunigung a ZF m/s Zentrifugalbeschleunigung a R m/s Radialbeschleunigung a T m/s Tangentialbeschleunigung a C m/s Coriolisbeschleunigung Seite 9

10 1.3. Übersicht s= r s = e r v = r v = r a= r a= r v a T a ZF a C Coriolisbeschleunigung v E r a ZP a R Zentripetal- und Tangentialbeschleunigung Zentripetalbeschleunigung, Radialbeschleunigung Nach innen gerichtete Beschleunigung: a ZP = a R = r a ZP = v a ZP = v r gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung a ZP = r [ 0 0 t t 0 ] Zentrifugalbeschleunigung a ZF = a ZP Tangentialbeschleunigung Gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung: a T = 0 r Gleichförmige Kreisbewegung a T =0 Seite 10

11 1.3.6 Coriolisbeschleunigung a C = v E a C = v E Seite 11

12 Dynamik.1 Newtonsche Axiome.1.1 Formelzeichen F N Kraft v m/s Geschwindigkeit m kg Masse a m/s Beschleunigung t s Zeit.1. Trägheitsprinzip Bedingung: solange keine Kraft wirkt v =0 v = const. n i =1 F i =0.1.3 Aktionsprinzip Die Kraft F auf eine Masse bewirkt deren Beschleunigung a. Bedingung: m = const. F = m a Bedingung: m= m t const. F = d dt m v F = d dt m v d dt m v F = ú m v m a.1.4 Reaktionsprinzip actio = reactio F 1 = F Seite 1

13 . Dynamik der Translation..1 Formelzeichen F N Kraft v m/s Geschwindigkeit m kg Masse a m/s Beschleunigung p Ns Impuls I Ns Kraftstoß.. Kraft F = m a a= F m = dv dt dv= F m dt t t 1 t t Fdt= m t t adt Fdt= t 1 v Fdt= m d v = m v v 1 t 1 t 1 m d v dt dt t 1 v 1..3 Impuls p= m v p= d p= m v dp= m dv..4 Kraftstoß Kraftstoß bewirkt Impuls: I = F t= m v = p Kraft ist die zeitliche Impulsänderung: F = m dv = dp dt dt Seite 13

14 ..5 Impulserhaltungssatz p 1 p p 3 = n p ges = i =1 p i = const. t m 1 v 1 t 1 Fdt= m v m 1 v 1 = m v.3 Kraft.3.1 Formelzeichen F N, kg m/s Kraft F G N Gewichtskraft F H N Hangabtriebskraft F N N Normalkraft, senkrecht zur Ebene F R N Reibungskraft µ GR Gleitreibungszahl µ HR Haftreibungszahl µ RR Rollreibungszahl v m/s Geschwindigkeit m kg Masse g m/s Erdbeschleunigung ω s -1 Winkelgeschwindigkeit r m Radius M Nm Drehmoment Seite 14

15 .3. Zusammengesetzte Kräfte F = F 1, F F F = F 1 F F 1 F cos F 1 γ Bedingung: F 1 = F F 1 = F = F 1cos.3.3 Geneigte Ebene F H sin = F H F G γ γ F N cos = F N F G F G tan = F H F N.3.4 Festkörperreibung F H F R γ F G F N Gleitreibung (Bewegung) Bedingung: F H F R F R = GR F N F R = GR F G cos Seite 15

16 Haftreibung (Ruhelage) Bedingung: F H F R F R = HR F N Rollreibung (Drehbewegung) F R = RR F N r.3.5 Kraftarten Gewichtskraft F G = m g Normalkraft F N = F G cos Reibungskraft F R = GR F N Hangabtriebskraft F H = F G sin Zentripetalkraft F ZP = m r Corioliskraft F C = m v Tangentialkraft F T = M r Seite 16

17 .4 Dynamik der Rotation.4.1 Formelzeichen M Nm Drehmoment J kg m Massenträgheitsmoment J S kg m Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt J A kg m Massenträgheitsmoment bzgl. Drehachse um A m kg Masse ρ kg/m 3 Dichte V m 3 Volumen r m Radius F N Kraft L kg m /s Drehimpuls p kg m/s Impßuls I D kg m /s Drehkraftstoß α s - Winkelbeschleunigung ω s -1 Winkelgeschwindigkeit v m/s Geschwindigkeit t s Zeit Seite 17

18 .4. Drehung um Schwerpunktachse m s r V ges J = r dv 0 J = m ges n r dm J = 0 i =1 r i m i J = r m speziell: J S = r m.4.3 Drehung um Achse parallel zur Schwerpunktachse Satz von Steiner: A s S J A = J S m s J = v r x, y, z dxdy dz.4.4 Drehmoment Angriffspunkt der Kraft r Drehpunkt F M = J M = r dm M = r F M = F r sin r, F= F tan r Seite 18

19 .4.5 Drehimpuls L= J L= r p L= m r v L= m r r L= m r r r M = dl dt M = d r p dt M = d r dt m v r d p dt.4.6 Drehkraftstoß Drehkraftstoß bewirkt Drehimpulsänderung: I D = L I D = Mdt I D = t t Mdt= J dt t 1 t 1 t I D = t 1 J d dt dt I D = J 1 = J.4.7 Drehimpulserhaltungssatz t L 1 Mdt= L L= L 1 L L n = const. t 1 Seite 19

20 .5 Spezielle Massenträgheitsmomente.5.1 Formelzeichen J kg m Massenträgheitsmoment J S kg m Massenträgheitsmoment bzg. Drehachse durch Scheibenmittelpunkt m kg Masse r m Radius h m Höhe, Länge.5. Kreisring, dünn x: J S = r y: J S = m r x y.5.3 Kreisscheibe, dünn x: J S = m r y: J S = m 4 r x y Seite 0

21 .5.4 Kugel Vollkugel: J S = 5 m r Hohlkugel: J S = 5 m r 5 5 r a r r 3 3 a r r Hohlkugel, dünnwandig: J S = 3 m r.5.5 Zylinder x: J S = m r x r y: J S = m 1 3 r h y.5.6 Hohlzylinder x: J S = m r r i a r i x y: J S = m 4 r r i a h 3 r a y dünnwandig: r i r a x: J S = m r y: J S = m 4 r h 3 Seite 1

22 .5.7 Stab, lang und dünn J S = m 1 l.5.8 Quader x: J S = m 1 b c x b a c y: J S = m 1 a c y z z: J S = m 1 a b.5.9 Kegel y x: J S = 3 10 m r x h r x: J S = 3 0 m r h 4 Seite

23 .6 Schwerpunktberechnung.6.1 Formelzeichen r SP m Schwerpunktvektor m kg Masse V m 3 Volumen ρ kg/m 3 Dichte d m Richtungsvektor.6. Schwerpunkt eines kontinuierlichen Körpers r SP = m 0 m 0 ddm dm = x SP y SP z SP x SP = m 0 m 0 xdm dm y SP = z SP = Für homogene Körper gilt: dm= dv.6.3 Schwerpunkt für n Punktmassen r SP = n i =1 n i =1 m i d i m i = x SP y SP z SP x SP = n i =1 n i = 1 m i x i m i y SP = z SP = Seite 3

24 3 Arbeit und Energie 3.1 Arbeit Formelzeichen W J, kg m /s Arbeit F N Kraft F G N Gewichtskraft F B N Beschleunigungskraft F N N Normalraft F R N Reibungskraft F A N Äußere Kraft s m Weg h m Höhe γ rad, Winkel m kg Masse a m/s Beschleunigung g m/s Erdbeschleunigung v m/s Geschwindigkeit k N /m Federkonstante φ rad, Drehwinkel ω s -1 Winkelgeschwindigkeit α s - Winkelbeschleunigung r m Abstand zum Massenmittelpunkt f N m / kg Gravitationskonstante 3.1. Allgemein F W = F s cos γ s speziell: W = F s S S W = F cos ds W = F s d s S 1 S 1 Seite 4

25 3.1.3 Hubarbeit h, s F G, g W HUB = F G ds W HUB = F G s cos W HUB = m g s cos Bedingung: =180 W HUB = m g h Beschleunigungsarbeit W B = m a s W B = m v W B = m v v 0 W B = F B ds W B = F B s W B = m a ds W B = m d v dt ds W B = m d s dt d v W B = m v d v Reibungsarbeit F R F W R = F R s γ F N W R = F N s F G W R = F G s cos W R = F R d s Bedingung: =0 W R = m g s Seite 5

26 3.1.6 Federspannarbeit W F = 1 k s W F = F ds S MAX W F = k s ds S MIN Rotation, Torsion W F = 1 k W F = 1 k Rotationsarbeit 1 W ROT = M d 0 W ROT = J ds W ROT = J d dt ds W ROT = J ds dt d W ROT = J d W ROT = 1 J W ROT = 1 J Gravitationsarbeit B F A Arbeit, die verrichtet wird, um die kleinere Masse m1 von A nach B zu heben (Hubarbeit). A F G r W AB = F A dr m r 1 m 1 r W AB = F G dr r 1 W AB = r f m 1 m 1 r 1 r dr W AB = f m 1 m 1 r 1 1 r Gravitationskonstante: f =6, N m kg Seite 6

27 3. Energie 3..1 Formelzeichen E J Energie E V J Verlustenergie h m Höhe s m Weg v m /s Geschwindigkeit m kg Masse k N /m Federkonstante J Kg m Massenträgheitsmoment ω s -1 Winkelgeschwindigkeit 3.. Potentielle Energie g(h) E POT h E POT = m gdh h 1 h 1 h h Bedingung: g = const. E POT = m g h 3..3 Kinetische Energie E KIN = m v E KIN = m v v Spannungsenergie Potentielle Energie E P = 1 k s Seite 7

28 3..5 Rotationsenergie E ROT = 1 J Rollendes Rad: E KIN = E ROT E TRANS E TRANS = m v 3..6 Energieerhaltungssatz n E = i =1 E i = const. Bedingung: konservative Kräfte (verlustlos) E POT E KIN = const. Bedingung: dissipative Kräfte (verlustbehaftet durch Reibung) E POT vor E KIN vor = E POT nach E KIN nach E V 3..7 Mechanische Stöße Elastischer Stoß m E KIN 1 E KIN = E KIN 1 nach E 1 KIN nach v m 1 v = m 1 v' m 1 v' Unelastischer Stoß m E KIN 1 E KIN = E KIN nach E 1 V v m 1 v = m m 1 v E V E V = E 1 E E V = m 1 m m 1 m v 1 v Seite 8

29 3.3 Leistung Formelzeichen P W Leistung η Wirkungsgrad W J Arbeit E J Energie F N Kraft v m /s Geschwindigkeit s m Weg t s Zeit 3.3. Leistung P = dw dt P = F d s dt P = F v mittlere Leistung: P m = W ges t ges Wirkungsgrad = W ab W zu = E ab E zu = P ab P zu t ZU P ab dt 0 = t ZU = i = 1 3 P dt zu 0 n i =1 Seite 9

30 3.4 Gravitation Formelzeichen A m überstrichene Fläche t s Zeit T s Umlaufzeit a m Halbachse des Planeten F G N Gewichtskraft m kg Masse m E kg Masse der Erde f m 3 /kg s Gravitationskonstante r m Radius, Entfernung zwischen den Punktmassen e Richtungsvektor g m /s Gravitationsbeschleunigung Φ m /s Gravitationspotential W J Arbeit bei der Bewegung im Schwerefeld E J Energie 3.4. Keplersche Gesetze t Perihel A M Planet A Aphel t. Keplersches Gesetz A t = const. 3. Keplersches Gesetz a a T 1 3 T = a 1 3 a Seite 30

31 3.4.3 Newtonsches Gravitationsgesetz m1 r m F G = f m m 1 e r r f =6, m 3 kg s Bedingung: r r E g = f m E r e r Hubarbeit und potentielle Energie W = f m E m K 1 r 1 r 1 W M = f m E r m W = m = f m E r W = m 1 r = g r d r = E W = F G Seite 31

32 4 Mechanik und Schwingung 4.1 Mechanik deformierbarer Körper Formelzeichen σ N /m Spannung, Normalspannung ε Dehnung ε q Querdehnung E N /m Elastizitätsmodul (Materialwert) F ZUG N Zugkraft, Normalkraft F T N Schubkraft (tangential) A m Fläche V m 3 Volumen l m Anfangslänge, Länge des Körpers l' m Endlänge d m Anfangsdicke d' m Enddicke µ Poissonzahl ν Querdehnungszahl K N /m Kompressionsmodul κ 1/Pa Kompressibilität p N / m Druckänderung G N /m Schubmodul, Torsionsmodul τ N /m Schubspannung γ rad Schiebung, Scherung, Schubwinkel φ rad Drillwinkel, Torsionswinkel r m Radius M Nm Drehmoment M T Nm Drehmoment bei Torsion D Nm /rad Richtmoment (Winkelrichtgröße), Federkonstante für Torsion I POL rad / m 4 Polares Flächenträgheitsmoment Seite 3

33 4.1. Dehnung l l= l l' l l' F ZUG = l l d F ZUG d A = F ZUG A = df ZUG da Hookesches Gesetz: Bedingung: nur für elastischen Bereich = E E, t= d d E = l l E = F ZUG A l l Querdehnung Längenänderung und Änderung der Dicke d d' l d = d d' l l' F ZUG = d d l l = 1 q = 1 q = q = d d q = E relative Volumenänderung: V V = 1 V V = l d l d Seite 33

34 4.1.4 Allseitige Kompression σ F Z, p V V = K F Y F Y V V = p K F X dv = 1 V dp K F Z K = 1 E K = 3 1 V V =3 1 = 1 = E = p Scherung A F T =G γ b a = F T A - F T = G a d G, t= d d G = E Torsion l M r φ F = l M G r 4 D= G r4 l Seite 34

35 M = D M = D e D J =0 T = D J = M T l G I POL Zylinder: = M l M T = T 0,196 d 3 0,089 G d 4 4. Mechanische Schwingung 4..1 Formelzeichen F I N Innere Kräfte F RÜCK N Rücktreibende Kraft F G N Gewichtskraft m kg Masse a m /s Beschleunigung k N /m Federkonstante x m Auslenkung, Elongation s h m Horizontale Auslenkung φ rad, Auslenkungswinkel ω 0 s -1 Eigenkreisfrequenz f Hz Eigenfrequenz T s Periodendauer l m Fadenlänge g m /s Fallbeschleunigung M RÜCK Nm Rücktreibendes Drehmoment J A kg m Massenträgheitsmoment bezogen auf Drehpunkt J S kg m Massenträgheitsmoment bezogen auf Schwerpunkt r m Abstand zwischen Drehpunkt und Schwerpunkt α s - Winkelbeschleunigung D Nm /rad Richtmoment, Winkelrichtgröße, Federkonstante für Torsion Seite 35

36 4.. Federschwinger 1-D geradlinige, freie, ungedämpfte Schwingung Bedingung: äußere Kräfte= F A =0 m F I = m a F RÜCK = k x x x(t) F RÜCK F RÜCK = m a m a k x =0 m ẍ k x =0 Differentialgleichung: x k x =0 m 0 = k m x 0 x =0 T = m k f = 1 k m ω 0 t x x Phasenverschobene Schwingung φ x t= x sin 0 t 0 φ 0 t T Seite 36

37 4..3 Mathematisches Pendel Horizontale Auslenkung h φ s h l m F G s h = l sin F RÜCK = F G sin F RÜCK Differentialgleichung: g sin =0 l Bedingung: sin 0 5 Vereinfachung: g l =0 t= cos 0 t t= cos 0 t 0 0 = k m T = m k k = F RÜCK s h k = m g l Schwingfrequenz und Schwingungsdauer sind massunabhängig 0 = g l T = l g Seite 37

38 4..4 Physisches Pendel A φ s h r M RÜCK = r F G M RÜCK = r m g sin M = J S F G r m g sin J A =0 Steinerscher Satz: J A = J S m r Differentialgleichung: m g r J A sin =0 Bedingung: sin 0 5 Vereinfachung: m g r =0 J A t= cos 0 t t= cos 0 t 0 0 = m g r J A 0 = g r T = J A m g r = r m g J A Massenträgheitsmoment J S = m r g T 0 4 r Seite 38

39 4..5 Torsionspendel M RÜCK = r F RÜCK φ M RÜCK = J M RÜCK M RÜCK = D M = J = J = D J = T 0 4 D Differentialgleichung: D J sin =0 0 = D J T = J D Seite 39

40 4.3 Elektromagnetische Schwingung Formelzeichen U C V Spannung am Kondensator U L V Spannung an der Induktivität I A Strom L H, Vs /A Induktivität C F, As /V Kapazität Q As Ladung q As Momentanladung u V Momentanspannung i A Momentanstrom φ rad, Phasenwinkel ω 0 s -1 Eigenkreisfrequenz f Hz Eigenfrequenz T s Periodendauer R Ω Ohmscher Widerstand δ s -1 Abklingkoeffizient ω s -1 Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung Q D Güte Dämpfungsgrad 4.3. Ungedämpfte elektromagnetische Schwingung U C = Q C + - C U, Q L U L = L di dt Q C L di dt =0 Differentialgleichung: q q L C =0 Seite 40

41 qt= q sin 0 t 0 qt= q sin ut= u sin 0 t 0 ut= u sin it= i sin 0 t 0 it= i sin T = L C I = dq dt L d dt dq dt = L Q Gedämpfte elektromagnetische Schwingung Differentialgleichung: + - C U, Q R L q R L ú q 1 L C q=0 qt= q e t sin 0 t 0 = R L = 0 = 1 L C R L Q= 1 R L C Q= 1 D D= R C L D= Zusammenhang mechanische elektromagnetische Schwingung Mech: Auslenkung, Elongation x El: Ladung des Kondensators q Seite 41

42 Mech: El: Geschwindigkeit Stromstärke v = ú x i= ú q Mech: Masse m El: Induktivität L Mech: Federkonstante k El: 1/ Kapazität 1/C Mech: Dämpfungskonstante b El: Widerstand R Potentielle Energie Mech: E POT = k x E POT = k x El: E EL = q C sin Kinetische Energie Mech: E KIN = m v E KIN = m v cos El: E MAG = L i Ungedämpfte Schwingung Mech: x = x sin 0 t 0 0 = k m El: q= q sin 0 t 0 0 = 1 L C Gedämpfte Schwingung Mech: x = x e t sin t 0 = 0 = b m El: q= q e t sin t 0 = 0 = R L Seite 4

43 4.4 Schwingungsarten Formelzeichen F RÜCK N Rücktreibende Kraft F R N Reibungskraft, Dämpfungskraft F ERR N Erregerkraft m kg Masse a m /s Beschleunigung v m /s Geschwindigkeit k N /m Federkonstante x m Auslenkung, Elongation φ rad, Auslenkungswinkel ω 0 s -1 Eigenkreisfrequenz ω d s -1 Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung ω E s -1 Erregerkreisfrequenz, Kreisfrequenz in eingeschwungenem Zustand T d s Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung µ Reibungszahl b kg /s Dämpfungskonstante δ s -1 Abklingkoeffizient D d Q Λ Dämpfungsgrad Verlustfaktor Güte, Resonanzüberhöhung Logarithmisches Dekrement α rad, Phasenverzögerung des Resonators gegenüber dem Erreger x RES m Resonanzamplitude x R m Resultierende Schwingung x STAT m Statische Auslenkung bei konstanter Kraft f S Hz Schwebungsfrequenz Seite 43

44 4.4. Freie gedämpfte Schwingung F RÜCK = m a F RÜCK = k x F R Geschwindigkeitsunabhängige Reibung F R = F N Differentialgleichung: m ẍ F N k x =0 x = x x 0 cos 0 t 0 x 0 Geschwindigkeitsabhängige Reibung, viskose Reibung F R = b v Differentialgleichung: m ẍ b ú x k x =0 x ú x 0 x =0 x D 0 ú x 0 x =0 0 = k m = b m D= 0 Q= 1 d d = D d = b m 0 d = b m k Schwingfall Schwache Dämpfung Bedingung: 0 D1 x x i x i+1 t T D Seite 44

45 x t= x 0 e t cos d t 0 d = k m b 4 m d = 0 d = 0 1 D x i T =e d x i 1 = ln x i x i 1 = T d Aperiodischer Grenzfall Mittlere Dämpfung x t Bedingung: = 0 D=1 x t= x 0 x 1 t e t x t= x 0 1 t e t b= m k Kriechfall Starke Dämpfung x t Bedingung: 0 D1 x t= x 0 e t cosh d ' t Eigenkreisfrequenz wird imaginär: d ' = j b m k Seite 45

46 4.4.6 Erzwungene Schwingung Bedingung: äußere Kräfte=0 F ERR F RÜCK F R = m ẍ F ERR = F ERR cos E t F RÜCK = k x F R = b ú x F R = b v Differentialgleichung: m ẍ b ú x k x= F ERR t x = ú x 0 x F x = E m cos t E x t= x cos E t x = F E m 0 E b E =arctan E b m 0 E =arctan E 0 E x t= x E sin E t 0 E x = F E m 0 k b E b E =arctan E m E k Resonanz RES = 0 b m RES = 0 x RES = F ERR b 0 x RES = F ERR b d x RES = F ERR m d Seite 46

47 ú Q= 0 d Q x x STAT = 0 0 E E Überlagerung x x R Gleiche Richtung und gleiche Frequenz x 1 x t x R = x 1 x x 1 x cos R =arctan x 1 sin 01 x sin 0 x 1 cos 01 x cos 0 Bedingung: x 1 = x x R = x 1 cos 01 0 Bedingung: = Auslöschung, Subtraktion der Auslenkungen Gleiche Richtung, ungleiche Frequenz Schwebung, geringe Frequenzunterschiede x R t= x cos 1 t sin 1 t Schwebungsfrequenz f S = f 1 f Seite 47

48 5 Fluiddynamik 5.1 Ruhendes Fluid Formelzeichen p Pa Druck p S Pa Schweredruck p H Pa Luftdruck in der Höhe h p 0 Pa Luftdruck an Erdoberfläche F N Kraft, die auf die Fläche wirkt F A N Auftriebskraft F G N Gewichtskraft F HUB N Hubkraft A m Fläche V m3 Volumen V m3 Volumenabnahme bei Drucksteigerung W P J Druckarbeit s m Weg h m Höhe ρ kg /m 3 Dichte ρ F kg /m 3 Dichte des Fluids ρ K kg /m 3 Dichte des Körpers im Fluid g m /s Fallbeschleunigung 5.1. Kolbendruck F 1 A 1 A F p= F A p= F 1 A 1 = F A p= df da Seite 48

49 5.1.3 Druckarbeit W P = F s d s V W P = pdv W = pdv P V Schweredruck h p p ~ h p S = g h p S = g V A Schweredruck von Gasen, bariometrische Höhenformel 0 g f p p H = p 0 e Volumen-Druck-Gesetz p 1 V 1 = p V p V = const. = 1 V dv dp V = p V GAS = 1 p Auftrieb F A F A = F V K g F HUB F A = m F g= F GF h p 1 p F A = F K F G K F G Seite 49

50 p= p p 1 p A= A g h F HUB = F A F G F HUB = F g V K g V 5. Molekularkräfte 5..1 Formelzeichen σ N /m Oberflächenspannung der Flüssigkeit W J Arbeit A m Fläche s m Weg l m Länge, Durchmesser F N Kraft, senkrecht zur Oberfläche F A N Adhäsionskraft (Kraft zwischen verschiedenen Stoffen) F K N Kohäsionskraft (Zusammenhangskraft) p Pa Druck r m Radius des Röhrchens r K m Radius der kugelförmigen Flüssigkeitsoberfläche α rad, Randwinkel ρ kg / m 3 Dichte g m /s Fallbeschleunigung 5.. Oberflächenspannung F = W A s l = dw da = F s l s = F l Seite 50

51 Oberflächendruck einer Flüssigkeitskugel p= r 5..3 Kapillarität α Benetzende Flüssigkeit F A Gasförmig G 90 F Fest W F K Flüssig F F A F K Kapillaraszension h F A α Fest W Gasförmig G Flüssig F F F K Nicht benetzende Flüssigkeit 90 F A F K Kapillardepression h GF cos = GW FW h= cos g r Seite 51

52 α r K α r Kapillarer Unterdruck p= r K cos = r r K 5.3 Bewegtes Fluid Formelzeichen j kg /m s Massenstromdichte I M kg /s Massenstrom ρ kg / m 3 Dichte v m /s Fließgeschwindigkeit v M m /s Mittlere Fließgeschwindigkeit t s Zeit A m Querschnittsfläche s m Weg m kg Masse V m 3 Volumen F Z N Zugkraft F R N Reibungskraft F A N Auftriebskraft F G N Gewichtskraft F N N Normalkraft, senkrecht zur Oberfläche η Pa s Dynamische Viskosität υ m /s Kinematische Viskosität h m Abstand, Höhe φ Pa -1 s -1 Fluidität Re Reynoldszahl L m Charakteristische Länge für den jeweiligen Körper τ N /m Schubspannung γ rad Schergeschwindigkeitsgefälle R m Innenradius des Rohres r m Radius des bewegten Zylinders Seite 5

53 a m Halber Plattenabstand a m /s Beschleunigung b m Breite l m Länge x m Abstand zur Platte V K m 3 Volumen der Kugel g m /s Fallbeschleunigung ω Z s -1 Drehung in z-richtung p Pa Druck p ges Pa Druck gesamt p STAT Pa Statischer Druck, Luftdruck p DYN Pa Dynamischer Druck, Staudruck p GEOD Pa Geotätischer Höhendruck, Schweredruck 5.3. Massenstrom und Massenstromdichte j= v j= da ds da dt j= dq da dt dq = da ds I M = dm dt I M = ú m I M = v A I M = 0 v da I M = A jda ú V = ú m = A v = const. Seite 53

54 5.3.3 Laminare Strömung, innere Reibung h F R F Z v F Z = A dv dh dh dv F R = A dv dh v = 0 = 1 Re= L v Re= L v = F R τ γ = F R A = ú Laminare Strömung zwischen Platten b l v x= p 1 p l a x a x v MAX F R = 6 l b v M a p 1 v = 0 p dv /dt v M = a b Volumenstrom dv dt = b p p a 1 3 l 3 Massenstrom I M = b p p 1 a3 3 l Seite 54

55 5.3.5 Laminare Strömung im Rohr r v = 0 v r= p 1 p 4 l R r l F R =8 l v M R v(r) dv /dt v M = R dv dt = R 4 p 1 p 8 l I M = R4 p 1 p 8 l laminarer Druckverlust p= 8 l R v kritische Reynoldszahl Re KRIT =30 (darüber turbulente Viskosität im Rohr) Laminare Umströmung einer Kugel Stokesches Gesetz F A F R v(t) F R =6 Re v v = const. F A = FLUID V K g F G 1. v = v t m a= F G F A F R. v = const. 0= F G F A F R Drehung in der Strömung y ω Plättchen dreht sich Z = v Y x v X y x Seite 55

56 Bedingung: v Y =0 Z = v X y 3-Dimensional = rot v = v Druck im bewegten Fluid Bernoulli-Gleichung p ges = p STAT p DYN p GEOD = const. p STAT = F N A (nicht immer so einfach möglich) p DYN = v p GEOD = g h Bedingung: h= const. p ges = p DYN p STAT Verlustbehaftet: p ges = p STAT p DYN p GEOD p V Kontinuität Bedingung: I M = const. v 1 A 1 = v A Torricellisches Ausflussgesetz v 1 Bedingung: v 1 0 h v = g h v I M = A g h Seite 56