Erzwungene Schwingung

Transkript

1 Erzwungene Schwingung Eine periodische äußere Kraft soll die Schwingung antreiben: F c F R m F(t)=F o cos(ωt) v 0 x Einfache Lösungen der Schwingungsgleichung: kosinusförmige Zeitabhängigkeit der anregenden Kraft, ω beliebig, auch ungleich ω 0

2 Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung: 2 dx dx m = β k x + F cos( ω ) 2 o t dt dt 2 dx dx m + β + k x = F cos( ω ) 2 o t dt dt Nach Abklingen des komplizierten Einschwingvorgangs: stationäre Lösung x() t = x cos( ω t + ϕ) o Schwingung mit Kreisfrequenz ω der anregenden Kraft. x o ( ω) = m F o ( ω ω ) + ω β o Amplitude x o und Phasenverschiebung ϕ hängen von ω ab: [ ϕω] tan ( ) β ω = m ( ω 2 ω 2 ) o

3 Erzwungene Schwingung Amplitude und Dämpfung: Phase und Dämpfung: Amplitude Schwache Dämpfung ϕ ω o Starke Dämpfung ω ο β=1 ω o β=10 ω ω o Antriebsfrequenz Resonanzfrequenz einer Feder: ω = o k m Resonanzfrequenz eines Pendels: ω = o g L

4 Erzwungene Schwingung Für ω << ω ο benimmt sich der Oszillator so, als sei nur die Feder vorhanden (k x dominiert): Auslenkung x und Kraft F sind in Phase. Für ω >> ω ο benimmt sich der Oszillator so, als sei nur die Masse vorhanden (m d²x/dt² dominiert): Auslenkung und Kraft sind gegenphasig und die Auslenkung nimmt proportional zu 1/ω 2 ab. Für ω = ω ο sind Kraft und Geschwindigkeit in Phase. Der Schwingung wird von der periodischen Kraft dauernd Energie zugeführt. Die Amplitude wird umso größer, je geringer die Dämpfung ist: Resonanz

5 Experiment: Pohlsches Rad Das Gerät nach Pohl Kupfer-Schwungscheibe, mit Markierung versehen, von Skala umgeben, Scheibe durch Spiralfeder in Nullstellung, Motorantrieb: kleine Auslenkungen mit variabler Frequenz, Elektromagnet = Wirbelstrombremse, Amplitude und Phase der erzwungenen Schwingung in Abhängigkeit von Anregungsfrequenz und Dämpfung

6 Wellen

7 Wellen Welle: räumlich und zeitlich periodischer Vorgang. Keine Teilchenwanderung, nur Fortpflanzung des Schwingungszustands. Wellen treten auf, wenn ein System aus Teilsystemen besteht, die alle Schwingungen ausführen können, die Teilsysteme miteinander wechselwirken, mindestens eines der Teilsysteme durch eine äußere Störung aus seinem Gleichgewicht gebracht wird. Sonderformen: Ebene Wellen, Zylinderwellen, Kugelwellen In der Natur: Wasserwellen, Schallwellen Charakterisiert durch Wellenlänge λ = Abstand zwischen Wellenbergen, Ausbreitungsgeschwindigkeit c

8 Sonderfall: Harmonische Schwingung, ebene Welle 2 2 Axt (, ) 2 Axt (, ) Lösung der Wellengleichung = c : 2 2 t x Axt (, ) = A sin t k x 0 ( ω ) ( ω ) ( φ ) t = t A( x, t ) = A sin t k x = A sin k x Axt (, ) = Ax ( + λ, t ): k λ = 2 π oder 0 0 k = 2 π / λ. -1 k = Wellenzahl, [ k] = m ; λ = Wellenlänge, [ λ] = m. 2π Ausbreitung Knoten: Axt (, ) = A0 sin ω t x = 0 λ 2π 2π f t x = 0 c = x/ t = f λ! λ A(x,t 0 ) A(x 0,t) x Transversalwellen: Schwingungsrichtung Ausbreitungsrichtung Seilwellen, ~Wasserwellen Longitudinalwellen: Schwingungsrichtung Ausbreitungsrichtung Schallwellen

9 Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen Ausbreitungsgeschwindigkeit: c = F μ F: Kraft, die Seil spannt μ : Masse pro Länge Beispiel: wenn ein Seil durch ein Kraft von F = 30 N gespannt wird und die Massenbelegung: μ =0.02 kg/m beträgt, dann ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c: c = 39 m/s

10 Frage: Frequenz von Licht- und Schallwellen

11 Antwort: Frequenz von Licht- und Schallwellen Wir hatten gezeigt, dass c = λ f, c also f =. λ In beiden Fällen ist λ gleich! 8 clicht flicht Da = 10,folgt 1'000'000. c 300 f Schall Schall

12 Beispiel: Wellen Was bedeuten diese Frequenzen? c 300 m/s Für Schall mit λ = 3 m: f = = = 100 Hz λ 3 m (tiefer Ton) 8 c 310 m/s Für Licht mit λ = 3 m: f = = = 100 MHz λ 3 m (UKW)

13 Wellen im Raum a) Ebene Wellen (Laserlicht) Ausbreitungsrichtung λ Flächen gleicher Phase sind Ebenen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung z: ψ = ψ o cos(kz ± ωt)

14 Wellen im Raum b) Kugelwellen Diese breiten sich von einem Punkt in alle Richtungen aus. Die Flächen gleicher Phasen sind konzentrische Kugeln mit dem Sender als Mittelpunkt Wellenlänge λ Flächen gleicher Phase Die Amplitude nimmt mit dem Abstand vom Sender ab: ψ ψ( rt, ) = o cos( kr ωt) r

15 Experiment:Transversalwellen Man legt eine etwa 10 Meter lange Segelleine auf den Boden, beschwert es an einem Ende mit einem Bleiklotz und erzeugt am anderen Ende einen vertikalen "Buckel". Er läuft mit immer kleiner werdender Höhe das Seil entlang.

16 Tsunami Teile der Erdkruste brechen auf vielen Kilometern ein (l = 1500 km im Dezember 2004!), Eine Wassersäule (ρ = 10 3 kg/m 3, Höhe h = 5000 m) stürzt auf einer Breite von b = 300 m um Δh = 50 m nach unten oder wird nach oben gedrückt, Auslösung einer Welle, Unglaublich große Energien werden frei (Exajoule= Joule!): ΔU = ρ l b h g Δh , , , J, Tsunami-Wellen: λ km, c = (g h) 1/2 800 km/h bei h = 5000 m, A 1 m (c = Fortpflanzungsgeschwindigkeit, A = Amplitude), Wellen mit kleinem λ: Dämpfung groß, Reichweite klein, Wellen mit großem λ: Dämpfung klein, Reichweite groß, In der Küstennähe: c sinkt, da h kleiner wird, A steigt stark an, da Energiefluss ~ konstant!! the ITSU web site.html tsunami-indonesia qt

17 Schallwellen (longitudinale Wellen) Longitudinale Schallwellen sind Druck- und Dichteschwankungen Wellenlänge λ p(z,t) =p o + p so cos(kz ωt) Mittlerer Luftdruck p o Schalldruck, p so << p o

18 Schallgeschwindigkeit Luft (0 o C) : 331 m/s (1190 km/h) He (0 o C): 970 m/s Experiment Frequenz der Stimme in He H 2 (0 o C): 1260 m/s H 2 O (20 o C): 1480 m/s

19 Experiment: Schallgeschwindigkeit Zwei Mikrophone gleicher Bauart werden in einer Entfernung von 1m voneinander aufgestellt. Beide Mikrophone werden an eine Torsteuerung angeschlossen, die eine Digitaluhr bedient. Das erste Signal schaltet die Uhr ein, die zweite stoppt sie. Nun muss man lediglich ein kurzes Geräusch erzeugen - etwa mit zwei Stativstangen die man aufeinander schlägt - um die Zeit zu messen, die der Schall benötigt, um die Entfernung zwischen den beiden Mikrophonen zurückzulegen.

20 Doppler-Effekt Bewegter Empfänger Empfänger bewegt sich auf Quelle zu (von Quelle weg): Schallgeschwindigkeit nicht mehr c, sondern c± v. f E E λ0 = c± v E fe =. λ0 ( ± c) Es folgt: f = f 1 v /! E S E c (1± v / c) Sender und Medium ruhen: Abstand zwischen den Knoten der Welle fest! E Bewegter Sender Rechts von der Quelle (Quelle nähert sich): Die Wellenfront bewegt sich während T um λ, S 0 λ v T λ v / f 1 v = = = 0 S S 0 S S S der Sender um vs TS TE 1. c c fs c Links von der Quelle (Quelle entfernt sich): Die Wellenfront bewegt sich während T um λ nach links, E S S 0 λ + v T λ + v / f 1 v = = = + 0 S S 0 S S S der Sender um v S TS nach rechts TE 1. c c fs c Es folg t: f 1 = fs 1 v! / c FendtApplets\ph14d\doppler.htm Medium und Empfänger ruhen: Schallgeschwindigkeit konstant!

21 Versuch: Dopplereffekt Kleiner Lautsprecher an etwa 1 m langem Arm Rotiert in der Waagrechten Drehzahl maximal etwa 2/s Lautsprecher: Ton mit in Ruhe konstanter Frequenz Deutliche Frequenzschwankung im Rhythmus der Drehfrequenz.

22 Huygens-Fresnel sches Prinzip Jeder Punkt eines Wellenfeldes ist Erregerpunkt, also Ausgangspunkt einer sog. Elementarwelle; das Wellenfeld ergibt sich als Überlagerung aller Elementarwellen Elementarwelle = Kreiswelle in 2D, Kugelwelle in 3D Ebene Welle Beugung Kreiswelle Reflexion Brechung Fokussierung: Optik FendtApplets\ph14d\huygens.htm λ

23 Stehende Welle Wenn eine Welle auf ein Hindernis trifft, in das sie nicht eindringen kann, dann wird sie reflektiert Einfallende Welle z Ψ Ε (kz-ωt) Reflektierte Welle Ψ R (kz-ωt) z=0

24 Stehende Welle Reflexionsbedingung: Ψ E (z=0, t) + Ψ R (z=0, t) = 0 Muss für alle Zeiten erfüllt sein! Dies ist der Fall für: Ψ E = Ψ o cos(ωt - kz) Ψ R = -Ψ o cos(ωt+kz) Denn man kann die Summe Ψ E + Ψ R umformen zu Ψ = Ψ E +Ψ R = 2 Ψ o sin(kz) sin(ωt) da cos( α ± β) = cosα cos β sinα sin β Wegen des Faktors sin(kz) ist Ψ(z = 0) = 0, wie wir gefordert haben!

25 Stehende Welle Keine laufende Welle. Vielmehr ist es eine stehende Schwingung mit der Kreisfrequenz ω und einer ortsabhängigen Amplitude. Beispiel: Auslenkung einer fest eingespannten Seite: Schwingungsknoten: λ = n (λ n /2) mit n = 1, 2, 3, 4,... Resonanzfrequenzen: ν = c/λ Eigenschwingungen ausgedehnter Körper kann man als solche stehende Wellen auffassen. Meist sind mehrere Schwingungsmoden mit verschiedenen Frequenzen möglich: Grund und Oberschwingungen!

26 Stehende Welle Schwingung einer Saite: Grundschwingung: λ 1 = 2 l f 1 = v/l 1 = v/(2l) 1. Oberschwingung: λ 2 = l f 2 = v/l 2 = v/l 2. Oberschwingung λ 3 = 2 l/3 f 3 = v/λ 3 = 3v/(2 l) Experiment Es gilt: f = F, µ = Massenbelegung μ

27 Saite mit einem festen Ende

28 Schallwellen Schallgeschwindigkeit in Luft c = 332 m/s (0º C) c = 344 m/s (20º C) in Helium c = 1020 m/s (20º C) in Wasser c = 1480 m/s Hörbarer Schall: f 16 Hz khz λ 20 m mm λ f = c Stehende Longitudinalwellen v = v max p = 0 v = 0 p = p max v = v max p = 0 f z.b. Schallwellen in Orgelpfeifen l = λ/2, λ, 3λ/2,... n n c =, n= 1,2, l

29 Schallwellen Stehende Longitudinalwellen v = v max, p = 0 v = 0, p = p max l = λ/4, 3λ/4,... f n 2n 1 c =, n= 1,2, l

30 Experiment: Kundtsche Staubfiguren Glasröhre (Länge ca. 50 cm, Durchmesser ca. 2 cm) an einem Ende durch einen verschiebbaren Stempel abgeschlossen, am anderen Ende offen, Dünne Lage Korkmehl, Galtonpfeife vor der offenen Mündung, Ton hoher Frequenz und großer Lautstärke, Resonanz: Korkmehl wird zu charakteristischen Häufchen zusammengewirbelt, Abstand = λ/2; Oberwellen sichtbar.

31 Tonleitern Tonleiter: diatonisch chromatisch Prime 1:1 1:1 c Sekunde, klein 16:15= ,05946 des Sekunde, groß 9:8=1,125 1,122 d Terz, klein 6:5=1,20 1,189 es Terz, groß 5:4=1,25 1,260 e Quarte 4:3=1,333 1,335 f Quinte 3:2=1,50 1,498 g Sexte, klein 8:5=1,60 1,587 as Sexte, groß 5:3=1,667 1,682 a Septime, klein 16:9=1,778 1,782 b Septime groß 15:8=1,875 1,888 h Oktave 2:1 2:1 c Violine: g d a e 196, Hz

32 Monochord Als Versuchsgerät benützen wir ein Monochord mit einstellbarer Saitenspannung. Beim Anzupfen der Saite entsteht ein Ton bestimmter Frequenz, welcher nun durch Drehen der Einstellschraube verstellt werden kann. Da die Wellenlänge durch die Ausmaße des Monochords bestimmt ist, und die Frequenz mit steigender Spannung zunimmt, lässt sich unmittelbar ableiten dass, die Dichte des Materials proportional zur Schallausbreitung sein muss. Große Terz: 5:4 Quart: 4:3 Quinte: 3:2 c = F μ

33 Fourier-Analyse und -synthese Jedes periodische Signal kann als Summe von harmonischen Schwingungen dargestellt werden Fourier-Synthese a xt a k t b k t () = k = 1 k cos( ω ) + k sin ( ω ), T 2 2 ak = x( t) cos( k ω t) d t, k = 0,1,2,3..., b = x( t) sin ( k ω t) d t, k = 0,1,2,3... T k T 0 0 T Ton, Klang, Geräusch, Knall Fourier-Zerlegung eines Rechtecksignals Spektralanalyse: Programm (freeware) freq.exe,

34 Fourieranalyse Frequenzspektrum verschiedener Musikinstrumente Violine Klarinette Triangel