Diskrete Modellierung

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Julius Frank
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1 Diskrete Modellierung Wintersemester 2013/14 Prof. Dr. Isolde Adler

2 Letzte Vorlesung: Korrespondenz zwischen der Page-Rank-Eigenschaft und Eigenvektoren zum Eigenwert 1 der Page-Rank-Matrix Markov-Ketten Existenz und Eindeutigkeit eines Tupels, das die Page-Rank-Eigenschaft hat Ergodische Markov-Ketten Heute: Eigenschaften Ergodischer Markov-Ketten Effizientes Verfahren für die Näherungsweise Berechnung des Page-Rank Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 2/14

3 Inhalt 5. Markov-Ketten als Grundlage der Funktionsweise von Suchmaschinen im Internet 5.1 Die Architektur von Suchmaschinen 5.2 Der Page-Rank einer Webseite 5.3 Der Zufalls-Surfer 5.4 Markov-Ketten 5.5 Die effiziente Berechnung des Page-Rank Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 3/14

4 Bemerkung 5.19 (Eigenschaften ergodischer Markov-Ketten) Ist P = (p i,j ) i,j=1,...,n eine stochastische Matrix, die eine ergodische Markov-Kette beschreibt, so gilt offensichtlicherweise folgendes: Siehe Tafel Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 4/14

5 Bemerkung 5.19, II Daher gilt: (a) p = (p 1,..., p n) ist die einzige stationäre Verteilung (b) wenn der Zufalls-Surfer im zu P gehörenden Graphen seinen Startknoten gemäß einer beliebigen Anfangsverteilung X = (X 1,..., X n ) wählt und hinreichend viele Schritte macht, so ist für jedes j V die Wahrscheinlichkeit, bei Knoten j zu landen beliebig nah bei p j. Die Wahl des Anfangsknotens ist für einen Zufalls-Surfer, der hinreichend lange surft, also egal! Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 5/14

6 Bemerkung 5.19, III Aus den Gleichungen (5.6) und (5.7) folgt: Siehe Tafel Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 6/14

7 Bemerkung 5.19, IV Um eine Näherung für das Tupel p zu berechnen, können wir also so vorgehen: starte mit einer beliebigen Verteilung X (etwas der Gleichverteilung X = ( 1 n,..., 1 n )) berechne nacheinander für k = 1, 2, 3,... das Tupel X (k+1) = X (k) P Dieser Prozess wird beendet, sobald das Tupel X (k+1) sich nicht mehr viel vom Tupel X k unterscheidet d. h. sobald f. a. j {1,..., n} gilt: X (k+1) X (k) < ε (Für eine geeignet gewählte Schranke ε > 0.) j j Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 7/14

8 Folgerung 5.20 (Lösung von Problem 2) Sei P := P(G, d) die Page-Rank-Matrix für ein d mit 0 d < 1 und einen gerichteten Graphen G = (V, E) ohne Senke. Wir wissen: P ist ergodisch (Bem. 5.18). Bem = Die stationäre Verteilung p von P ist das (eindeutig bestimmte) Tupel, das die Page-Rank-Eigenschaft bzg. d besitzt. Das am Ende von Beobachtung 5.19 beschriebene Vorgehen liefert ein effizientes Verfahren, um eine Näherung für das Tupel p zu berechnen. Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 8/14

9 Anmerkungen Eigenschaften von P(G, d) & Theorie der Markov-Ketten = (für 0 d < 1) Die Folge der Tupel X (k) für k = 1, 2, 3,... konvergiert sehr schnell gegen p (i. d. R. reichen k Schritte aus.) Die Wahl von d = 0, 85 lässt sich mathematisch begründen. Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 9/14

10 Zur schnellen Berechnung des Vektor-Matrix-Produkts x (k+1) := X (k) P(G, d) wird ausgenutzt, dass die Matrix P(G, d) viele identische Einträge der hat. Form 1 d n Außerdem ist die Berechnung des Vektor-Matrix-Produkts sehr gut parallelisierbar. Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 10/14

11 Derzeit werden mehrere Tausend PCs eingesetzt, die mehrere Stunden zur Berechnung des Page-Ranks benötigen. was angesichts der Tatsache, dass es mehr als 1 Billion Webseiten gibt, erstaunlich gering ist. Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 11/14

12 Literatur Amy N. Langville and Carl D. Meyer. Google s Pagerank and Beyond: The Science of Search Engine Rankings. Princeton University Press, Sergey Brin and Lawrence Page. The anatomy of a large-scale hypertextual web search engine. Computer Networks, 30(1-7): , Jon M. Kleinberg. Authoritative sources in a hyperlinked environment. Journal of the ACM, 46(5): , Ayman Farahat, Thomas LoFaro, Joel C. Miller, Gregory Rae, and Lesley A. Ward. Authority rankings from HITS, PageRank, and SALSA: Existence, uniqueness, and effect of initialization. SIAM Journal on Scientific Computing, 27(4): , Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 12/14

13 Für die DisMod und darüber hinaus... Hartnäckigkeit und Ausdauer Selbstdisziplin und -vertrauen Mut und Neugier Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 13/14

14 Schöne Feiertage und einen guten Start ins neue Jahr! Isolde Adler Diskrete Modellierung WS 2013/14 14/14

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