Lektion 3. 1 Theorie. NTS1-P Natur, Technik und Systeme 1 Praktikum Herbstsemester 2012

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1 NTS1-P Natur, Technik und Systeme 1 Praktikum Herbstsemester 2012 Dr Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lektion 3 In dieser Lektion werden Sie in MATLAB mit Vektoren und Matrizen rechnen 1 Theorie Wie Sie aus der Lineare-Algebra-Vorlesung wissen, erfolgt die Addition von Vektoren und Matrizen (z B v + w oder A + B) sowie die Multiplikation eines Vektors oder einer Matrix mit einem Skalar (wie λv oder λa) komponentenweise Transponierte Vektoren und Matrizen (z B v oder A ) haben Sie in Lektion 2 gesehen (und in MATLAB mit ' berechnet) In diesem Abschnitt werden wir auf die Multiplikation von Matrizen und Vektoren eingehen Eine (m n)-matrix A R m n kann mit einer (n p)-matrix B R n p multipliziert werden; das Resultat ist eine (m p)-matrix C R m p Beachten Sie die Kompatibilitätsbedingung an A und B: die inneren Dimensionen (n) müssen gleich sein, sonst kann das Produkt nicht deniert werden! A B = C m n n p m p Wenn diese Bedingung erfüllt ist, dann werden die Einträge der Matrix C wie folgt aus den Einträgen der Matrizen A und B berechnet: c ij := a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj = (1) a ik b kj, i = 1,, m, j = 1,, p, (2) wobei n als Abkürzung für die Summation über den Index k von 1 bis n verwendet wird Wenn wir (Spalten-)Vektoren mit n Komponenten als (n 1)-Matrizen auassen und Zahlen als (1 1)-Matrizen, dann können wir einen Zusammenhang mit dem Skalarprodukt zweier Vektoren herstellen: v w := v i w j (2) = v w n n 1 Der ij-te Eintrag der Matrix C ist also gegeben durch das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B Es sollte Sie nun nicht überraschen, dass das folgende Produkt zweier Vektoren mit n Komponenten eine (n n)-matrix ergibt: v 1 w 1 v 1 w n v w (2) = v i w j v n w 1 v n w n n 1 1 n n n 1 (3) (4)

2 Wichtig ist auch das Produkt einer (m n)-matrix mit einem Vektor mit n Komponenten: m n n 1 m 1 n a 1kv k (2) A v = n a ikv k = a 1k a ik v k (5) = v 1 n a mkv k a 11 + v 2 a 12 a mk + + v n a 1n a m1 a m2 a mn Das Resultat ist ein Vektor mit m Komponenten, der auch als Linearkombination der Spalten von A geschrieben werden kann 2 Vektoroperationen Denieren Sie zwei Vektoren in MATLAB (% beginnt einen Kommentar, das müssen Sie nicht eingeben): >> v = [2;3;5;7] % eckige Klammern verwenden >> w = [ ]' % alternative Definition als transponierter Zeilenvektor Überprüfen Sie, dass die Addition von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar in MATLAB tatsächlich komponentenweise erfolgt: >> 3*v >> -w >> (-1)*w >> v+w >> v-w >> v+(-w) Probieren Sie verschiedene Produkte aus: >> v*w % 4x1-Matrix multipliziert mit 4x1-Matrix >> v'*w % 1x4-Matrix multipliziert mit 4x1-Matrix >> dot(v,w) % alternative Berechnung des Skalarprodukts >> v*w' % 4x1-Matrix multipliziert mit 1x4-Matrix Die meisten MATLAB-Funktionen operieren komponentenweise auf Vektoren Falls die Funktionsweise nicht eindeutig ist, muss der Punkt () verwendet werden, um die komponentenweise Operation zu erzwingen: >> v^2 >> v^2 >> v*w >> v*w 2

3 >> sqrt(v) >> exp(w) >> sin(w) >> v/w >> v\w >> w/v Der Kolon-Operator (:) oder die MATLAB-Funktion colon können zur einfachen Konstruktion von (Zeilen-)Vektoren mit konstantem Abstand zwischen den Komponenten verwendet werden: >> [ ] >> 1:10 >> 1:1:10 >> 1:2:10 >> a = 1:3:10 >> 0:001:1 Mit dem Kolon-Operator und der komponentenweisen Operation auf Vektoren kann man schnell Wertetabellen von Funktionen erzeugen Tun Sie dies in den folgenden zwei Beispielen: f(x) := x 2 g(x) := x + 1 x cos(x) x i f(x i ) g(x i ) Mit der MATLAB-Funktion reshape kann man aus einem Vektor eine Matrix erzeugen Finden Sie heraus, wie der Befehl funktioniert und konstruieren Sie dann die ( 5 5)-Matrix (6) Matrixoperationen Mit MATLAB können aus einer Matrix einzelne Elemente, aber auch ganze Zeilen, Spalten oder Blöcke extrahiert werden: 3

4 >> A = [ ; ; ; ] >> A(2,1) >> A(1:2,1) >> A(1,:) >> A(:,2) >> A(1:2,2:4) >> A([1 3],[1 2 4]) >> A(:,1) = 2*A(:,2)+3 Erzeugen Sie in MATLAB eine (4 3)-Matrix B mit zufälligen Einträgen (s Lektion 2) und führen Sie darauf folgende Operationen aus: Addition der ersten zur zweiten Zeile, Multiplikation der ersten Zeile mit 5 Wie bei Vektoren operieren die meisten MATLAB-Funktionen auch auf Matrizen elementweise: >> b = 1:4 >> B=[a;b;v';w'] % die Vektoren a, v, w wurden in Abschnitt 2 definiert >> 2*A - 3*B >> sqrt(a)+sin(b) >> A/B >> A\B >> B/A Unterscheiden Sie zwischen folgenden Produkten, und beachten Sie auch, dass die Multiplikation von Matrizen im Allgemeinen nicht kommutativ ist (AB BA)! >> A*B % Produkt nach (1), (2) >> B*A >> A*B % komponentenweise Multiplikation >> A^2 >> A^2 Finden Sie durch Ausprobieren das neutrale Element der Multiplikation, d h eine Matrix I mit AI = IA = A Berechnen Sie die multiplikative Inverse der Matrix B, d h nden Sie die Matrix C mit CB = BC = I Diese Matrix wird üblicherweise mit B 1 bezeichnet Mit der Inversen ergeben die folgenden Divisionen einen Sinn: >> A/B % A*inv(B) >> B\A % inv(b)*a Denieren Sie in MATLAB die Matrizen A := , B := (7) Werden die folgenden Befehle von MATLAB akzeptiert und falls nicht, wieso? 4

5 >> A+B >> A*B >> B*A >> A^2 Berechnen Sie die Matrix-Vektor-Produkte Aw und ab Prüfen Sie das Assoziativgesetz für die Matrixmultiplikation sowie das Distributivgesetz für Multiplikation und Addition an den folgenden drei Matrizen nach: A = >> (A*B)*C >> A*(B*C) >> A*B*C >> (A+B)*C >> A*C + B*C , B = , C = (8) Kurswebseite: kirs/nts1-p 5