Übungen zu Matrixgruppen

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1 Übungen zu Matrixgruppen Andreas Cap Sommersemester 2018 Kapitel 1: Einleitung Analysis und Matrizen (1 Seien G und H Gruppen und sei ϕ : G H ein Homomorphismus. Zeigen Sie, dass das Bild Im(ϕ eine Untergruppe von H ist und dass der Kern ker(ϕ eine normale Untergruppe von G ist. (2 Erklären Sie die Definition des Quotienten einer Gruppe nach einer normalen Untergruppe und zeigen Sie, dass in der Situation von Beispiel (1 der Homomorphismus ϕ einen Isomorphismus zwischen G/ ker(ϕ und Im(ϕ induziert. (3 Zeigen Sie, dass die reellen 2 2 Matrizen der Form ( a b b a mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen einen Körper bilden, der isomorph zu C ist. Überlegen Sie genau, was dabei tatsächlich bewiesen werden muss und was aus allgemeinen Eigenschaften der Operationen auf Matrizen folgt. (4 Erklären Sie, warum das direkte Analogon von Beispiel (3 für komplexe Matrizen nicht funktioniert, also warum die komplexen 2 2 Matrizen der Form ( w z w z mit den üblichen Matrizenoperationen keinen Körper bilden. (5 Zeigen Sie, dass die komplexen 2 2 Matrizen der Form ( w z w z mit der üblichen Addition und Multiplikation von Matrizen einen Schiefkörper bilden, also alle Körperaxiome außer der Kommutativität der Multiplikation erfüllt sind. (6 Beweisen Sie, dass es in dem Schiefkörper aus Beispiel (5 eine Basis (über R gibt, die aus der Einheitsmatrix 1, sowie drei Matrizen I, J und K besteht, die I 2 = J 2 = K 2 = 1, sowie IJ = JI = K erfüllen. (7 Sei f eine reellwertige, stetig differenzierbare Funktion, die auf einer offenen Umgebung von 0 in R 3 definiert ist, f(0, 0, 0 = 0 und f x 3 (0 0 erfüllt. Zeigen Sie, dass es offene Umgebungen U von 0 in R 2 und V von 0 in R und eine stetig differenzierbare Funktion g : U V gibt, sodass folgendes gilt: Sind (x 1, x 2 U und x 3 V, dann gilt f(x 1, x 2, x 3 = 0 genau dann, wenn x 3 = g(x 1, x 2 gilt. Anleitung: Wenden Sie den inversen Funktionensatz auf die Funktion F : R 3 R 3 an, die durch F (x 1, x 2, x 3 := (x 1, x 2, f(x 1, x 2, x 3 gegeben ist. (8 Beweisen Sie in der Situation von Beispiel (7, dass es eine offene Umgebung W von 0 in R und eine stetig differenzierbare Funktion σ : W R 3 gibt, sodass f σ = id W gilt. Schließen Sie daraus, dass W im Bild von f enthalten ist und dass eine Funktion h : W R m genau dann stetig differenzierbar ist, wenn h f : f 1 (W R m stetig differenzierbar ist. (Das ist einfacher, als es aussieht. 1

2 2 Übungen zu Matrixgruppen, A. Čap, SoSe 2018 (9 Versuchen Sie, eine passende Verallgemeinerung der Aussage von Beispiel (7 auf die Situation zu finden, dass für eine offene Teilmenge U R 3, eine stetig differenzierbare Funktion f : U R und einen Punkt x 0 U die Ableitung Df(x 0 ungleich Null ist. Beweisen Sie diese allgemeinere Version, indem Sie sie auf die Situation von Beispiel (7 zurückführen. Anleitung: Für die Formulierung ersetzen Sie die x 1 x 2 Ebene durch den Kern von Df(x 0 und die x 3 Achse durch das orthogonale Komplement dieses Kerns und verschieben dann alles zum Punkt x 0. Für den Beweis verwenden Sie eine passende Translation und eine Rotation um in die Situation von Beispiel (6 zu gelangen. (10 Betrachten Sie eine Norm auf R n, also eine Funktion : R n R, die folgende Bedingungen erfüllt: (N1 Für jedes x R n gilt x 0 und x = 0 gilt nur für x = 0. (N2 Für x R n und λ R gilt λx = λ x. (N3 Für x, y R n gilt x + y x + y. Sei 2 die übliche Euklidische Norm auf R n, also x 2 = x, x. Zeigen Sie, dass die Funktion : R n R stetig ist und folgern Sie daraus, dass sie auf der Einheitssphäre {x R n : x 2 = 1} ein Minimum und ein Maximum annimmt, die beide positiv sind. Folgern Sie daraus, dass es positive, reelle Konstanten c 1 und c 2 gibt, sodass die Abschätzungen c 1 x 2 x c 2 x 2 für alle x R n gelten. (11 Benutzen Sie Beispiel (10 um zu zeigen, dass man in der üblichen Definition der Konvergenz von Folgen in R n sowie in der ɛ δ Definition der Stetigkeit von Funktionen R n R m die auftretenden euklidischen Normen durch beliebige andere Normen ersetzen kann, also jede Wahl von Normen zu den gleichen konvergenten Folgen und stetigen Funktionen führt. (12 Zu einer beliebigen Norm auf R n definiere eine Abbildung O : M n (R R durch A O := sup x: x =1 Ax. Zeigen Sie, dass diese Vorschrift eine Norm auf M n (R definiert, die Operatornorm zu. Zeigen Sie weiters, dass für A, B M n (R die Abschätzung AB O A O B O gilt und dass I O = 1 ist. (13 Sei f = k a kx k eine Potenzreihe auf R mit Konvergenzradius R > 0. Zeigen Sie mit Hilfe der Operatornorm aus dem letzten Beispiel, dass für jede Matrix A M n (R mit A O < R die Reihe k a ka k absolut konvergiert und man somit f(a bilden kann. Zeigen Sie damit insbesondere, dass für das Matrizenexponential e A O e A O gilt. (14 Sei H (die Hamilton schen Quaternionen der Schiefkörper aus Beispiel 5 und sei H n die Menge aller Vektoren (q 1,..., q n mit Eintragungen q l H, mit der komponentenweisen Addition und einer komponentenweisen Skalarmultiplikation von rechts, also (q 1,..., q n q := (q 1 q,... q n q. Zeigen Sie, dass man H lineare Abbildungen (im offensichtlichen Sinn H n H m (wie über Körpern durch Matrizen mit m Zeilen und n Spalten mit Eintragungen in H beschreiben kann. Zeigen Sie weiters, dass (trotz der Nichtkommutativität von H die Komposition von H linearen Abbildungen der üblichen Matrizenmultiplikation entspricht.

3 Übungen zu Matrixgruppen, A. Čap, SoSe (15 In der Situation des letzten Beispiels zeigen Sie, dass der Raum M n (H der quaternionischen n n Matrizen mit der komponentenweisen Addition und der Matrixmultiplikation eine assoziative Algebra über R bildet. Zeigen Sie, wie man die Definition von H aus Beispiel 5 benutzen kann um M n (H mit einer reellen Teilalgebra von M 2n (C zu identifizieren (Blockmatrizen. (16 Betrachten wir weiterhin H und die Basis {1, i, j, k} entsprechend zu Beispiel 6. Für ein Element q H mit q = a+bi+cj+dk definiert man q = a bi cj dk und dadurch die quaternionische Konjugation. Zeigen Sie, dass dies ein anti Homomorphismus ist, also q 1 q 2 = q 2 q 1 gilt und dass für q wie oben qq = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 gilt. Anleitung: Man kann entweder direkt rechnen, oder die Konjugation im Bild der Matrizen aus Beispiel 5 interpretieren. (17 In der Situation des letzten Beispiels, definieren Sie für q H den Realteil Re(q := 1 (q + q und den Imaginärteil Im(q := 1 (q q. Zeigen Sie dass die reellen Quaternionen (also die mit Imaginärteil 0 genau die reellen Vielfache von 1 sind und dass 2 2 q H rein imaginär ist (also Re(q = 0 erfüllt, wenn q 2 = λ1 für eine reelle Zahl λ 0 gilt. (18 In der Situation der letzten beiden Beispiele zeigen Sie, dass (p 1,..., p n, (q 1,..., q n := l p lq l H eine quaternionisch Hermite sche Form definiert, also p, q a = p, q a und q, p = p, q für p, q H n und a H gelten. Zeigen Sie weiter, dass Re( p, q ein positiv definites inneres Produkt auf H n = R 4n definiert. Kapitel 2: Matrixgruppen und ihre Lie Algebren (19 Beweisen Sie Lemma 2.1 der Vorlesung. (20 Sei β eine Bilinearform auf R n. Zeigen Sie, dass es eine eindeutige lineare Abbildung Φ : R n R n gibt, sodass β(x, y = x, Φ(y für alle x, y R n gilt, wobei, das standard innere Produkt auf R n ist. (21 In der Situation von Beispiel 20 zeigen Sie, dass β genau dann nicht degeneriert ist, wenn die lineare Abbildung Φ invertierbar ist, sowie dass β genau dann symmetrisch (bzw. schiefsymmetrisch ist, wenn Φ t = Φ (bzw. Φ t = Φ gilt. (22 In der Situation der letzten beiden Beispiele, betrachten Sie Φ als Matrix. und zeigen Sie, dass eine invertierbare Matrix A M n (R genau dann in O(β liegt, wenn A t ΦA = Φ ist. Benutzen Sie das, um einen alternativen Beweis für Proposition 2.1 der Vorlesung zu geben. (23 Sei N R 2 die Vereinigung der x Achse und der y Achse. Für einen Punkt a N betrachten Sie die Teilmenge V a R n, die, analog wie in Definition 2.2 der Vorlesung aus allen Ableitungen von glatten Kurven durch a besteht, die Werte in N haben. Zeigen Sie, dass V a genau dann ein Teilraum von R 2 ist, wenn a 0 gilt. (24 Zeigen Sie, dass für eine invertierbare obere Dreiecksmatrix A auch A 1 eine obere Dreiecksmatrix ist.

4 4 Übungen zu Matrixgruppen, A. Čap, SoSe 2018 (25 In der Situation von Beispiel 22, zeigen Sie analog zur Beschreibung von O(β dort und unter Benutzung von Proposition 2.4 der Vorlesung, dass die Lie Algebra o(β durch {X M n (R : X t Φ = ΦX} gegeben ist. Zeigen Sie damit insbesondere, dass für eine nicht degenerierte, symmetrische Bilinearform β auf R n die Dimension von o(β immer n(n 1 ist. 2 (26 Ein Vektor v R n heißt isotrop bezüglich einer Bilinearform β auf R n, wenn β(v, v = 0 gilt. Betrachten Sie die symmetrische Bilinearform β auf R 2, die explizit durch β( ( x 1 ( y 1, x2 y 2 = x1 y 2 + x 2 y 1 gegeben ist. Zeigen Sie, dass β nicht degeneriert ist und Signatur (1, 1 hat. Beschreiben Sie die Menge aller bezüglich β isotropen Vektoren in R 2 und benützen Sie diese, um die Gruppen O(β und SO(β zu beschreiben. Wie viele Zusammenhangskomponenten haben O(β und SO(β? (27 Betrachten Sie R 2 mit der symmetrischen Bilinearform γ( ( x 1 t 1, ( x2 t 2 = x1 x 2 t 1 t 2, die offensichtlich ebenfalls Signatur (1, 1 hat. Benutzen Sie die Resultate des letzten Beispiels um SO(γ explizit als Matrixgruppe (bezüglich der Standardbasis zu beschreiben. (28 Sei β eine symmetrische Bilinearform auf R n. Zeigen Sie, dass N := {v R n : w R n : β(v, w = 0} ein Teilraum von R n ist und dass β eine symmetrische Bilinearform β auf R n /N induziert, die nicht degeneriert ist. (29 Für eine symmetrische Bilinearform β wie im letzten Beispiel, sei A O(β. Zeigen Sie, dass für x N auch Ax N gilt und dass der von x Ax induzierte lineare Isomorphismus R n /N R n /N orthogonal bezüglich β ist. (30 In der Situation der letzten beiden Beispiele nehmen Sie an, dass dim(n = k ist. Wählen Sie eine Basis von R n bezüglich derer β eine einfache Form hat, und beschreiben Sie O(β und o(β explizit bezüglich dieser Basis. Bestimmen Sie insbesondere die Dimension von o(β und vergleichen Sie mit dem Ergebnis für nicht degeneriertes β aus Beispiel 25. (31 Sei M R n eine Teilmenge, x M ein Punkt, U R n eine offene Teilmenge mit x U und f : U R n k eine glatte Funktion. Nehmen wir an, das M U = f 1 ({0} gilt und dass für jeden Punkt y U M die lineare Abbildung Df(y : R n R n k surjektiv ist. Zeigen Sie, dass es offene Teilmengen V U und W R n und einen Diffeomorphismus Φ : V W gibt, sodass x V und M V = Φ 1 (W R k gilt. Anleitung: Definieren Sie g : U R k indem Sie für z U den Punkt z x orthogonal auf ker(df(x projizieren und dann diesen Teilraum mit R k identifizieren. Dann definieren Sie Φ(z = (g(z, f(z R m und wenden den inversen Funktionensatz an. (32 Zeigen Sie, dass eine Teilmenge M R n genau dann eine k dimensionale Teilmannigfaltigkeit ist, wenn es für jeden Punkt x M ein Paar (U, f mit den Eigenschaften aus Beispiel 31 gibt ( M ist lokal eine reguläre Nullstellenmenge. Zeigen sie auch, dass in diesem Bild die Tangentialräume durch T x M = ker(df(x gegeben sind.

5 Übungen zu Matrixgruppen, A. Čap, SoSe (33 Benutzen Sie das letzte Beispiel um zu zeigen, dass für jede k dimensionale Teilmannigfaltigkeit M R n die Menge T M := {(x, v : x M, v T x M} eine Teilmannigfaltigkeit von R n R n = R 2n der Dimension 2k ist. Anleitung: Für x M betrachten Sie (U, f wie in Beispiel 31, die Teilmenge U R n R 2n und darauf die Funktion (x, v (f(x, Df(v mit Werten in R 2(n k. (34 Zeigen Sie, dass ein bogenzusammenhängender topologischer Raum X zusammenhängend ist. (35 Erklären Sie im Detail, wie man für einen endlichdimensionalen R Vektorraum V und eine abgeschlossene Untergruppe G GL(V eine wohldefinierte Lie Algebra g erhält, die ein Teilraum von L(V, V ist. (36 Sei g eine endlichdimensionale Lie Algebra über R und D : g g eine Derivation von g. Zeigen Sie, dass exp(d := 1 k=0 k! Dk ein Automorphismus von g ist. Dabei können Sie die Tatsache, dass die Exponentialreihe absolut und gleichmäßig konvergiert als bekannt voraussetzen. (37 Erklären Sie, wie man mit Hilfe von Beispiel 15 parallel zu Proposition 3.1 der Vorlesung zeigen kann, dass die Gruppe GL(n, H der invertierbaren quaternionischen n n Matrizen und allgemeiner jede abgeschlossene Untergruppe von GL(n, H eine Matrixgruppe ist. (38 In der Situation von Beispiel 18 definieren Sie für eine Matrix A M n (H die (quaternionisch adjungierte Matrix A als die konjugierte Transponierte, d.h. für A = (q lm und A = (p lm gilt p lm = q ml. Zeigen Sie dass für Matrizen A, B M n (H die Gleichung (AB = B A gilt und folgern Sie daraus, dass die Menge Sp(n := {A M n (H : A A = AA = I} eine abgeschlossene Untergruppe von GL(n, H bildet und daher eine Matrixgruppe ist. (39 Für n 2 und p, q > 0 mit p + q = n betrachten sie die unitäre Gruppe U(p, q der Hermite schen Form h(z, w = p j=1 z j w j n j=p+1 z j w j mit (p, q auf C n und die Untergruppe SU(q, p. Beschreiben Sie so explizit wie möglich die Lie Algebren u(p, q und su(p, q (Blockmatrizen. Zeigen Sie, dass SU(p, q für p, q > 0 nicht kompakt ist. (40 Beweisen Sie explizit dass für n 1 die Sphäre S n bogenzusammenhängend ist. (41 Verifizieren Sie explizit, dass für Darstellungen einer Lie Algebra g auf Vektorräumen V und W die Vorschrift (X f(v = X f(v f(x v eine Darstellung von g auf L(V, W definiert. (42 Verifizieren Sie explizit, dass für eine Darstellung einer Lie Algebra g auf einem Vektorraum V die Vorschriften am Ende von Abschnitt 3.6 der Vorlesung Darstellungen von g auf k V, S k V und Λ k V definieren. (43 Zeigen Sie, dass für die Standarddarstellung der Matrixgruppe B(n, R auf R n die invarianten Teilräume von R n genau die Teilräume R k R n für k = 0,..., n sind.